Métodos en diferencias en regiones irregulares Pablo Barrera Sánchez, Guilmer González Flores, Francisco Domínguez Mota XXII ENOAN, 19-23.03.2012
Índice 1 Introducción y motivación Introducción y motivación 2 Dominios rectangulares Diferencias finitas Ecuación de calor 1D Ecuación de Poisson 1D Ecuación de Poisson 2D Comentarios finales 3 Dominios irregulares 4 Bibliografía Bibliografía
Introducción y motivación Un número importande de ecuaciones diferenciales, que describen el comportamiento de fenómenos reales", no pueden ser resueltos en forma cerrada: Shallow water (uh) t (vh) t h t + (uh) + (vh) x y + (u2 h+ 1 2 gh2 ) x + (uvh) x + (uvh) y + (v 2 h+ 1 2 gh2 ) y = 0 = 0 = 0
Introducción y motivación Figure: Circulación del viento en chapala.
Introducción y motivación Un problema clásico y simple en su formulación Péndulo simple θ = g L sen θ, θ(0) = θ 0, θ(0) = v 0 involucra un esfuerzo en resolver de manera aproximada la solución.
Introducción y motivación Diversos Métodos Algunos de ellos son Colocación Diferencias Finitas Elemento Finito Volúmenes Finitos Métodos Espectrales Métodos sin mallas
Introducción y motivación Clasificación de las EDPs Planteamiento general Algunas ecuaciones diferenciales parciales se pueden escribir en la forma A 2 u(x, y)+b 2 x2 x y ( ) 2 u(x, y)+c u(x, y) = f x, y, u, y 2 x u(x, y), u(x, y) y la cual permite una clasificación análoga a las cónicas Elíptica, si B 2 4AC < 0 Parábolica, si B 2 4AC = 0 Hiperbólica si B 2 4AC > 0.
Introducción y motivación Ejemplos de la Física Ecuación de Laplace 2 x 2 u(x, y)+ 2 y 2 u(x, y) = 0, representa un problema elíptico bidimensional relativo al fenómeno de calor, distribución de potenciales eléctricos en un campo electrostático, deformación elástica de un sólido, etc. Ecuación de calor 2 t u(x, t) κ u(x, t) = 0, con κ > 0. x 2 Representa usualmente el calor dentro de un alambra aislado (condiciones de dirichlet). Ecuación de onda 2 u(x, t) α 2 2 u(x, t) = 0, representa t 2 x 2 un problema hiperbólico unidimensional.
Diferencias finitas Diferencias finitas Métodos La idea principal del Metodo de Diferencias Finitas consiste en reemplazar las derivadas de las ecuaciones diferenciales por combinaciones lineales. Sabemos por definición du dx lim u(x + h) u(x) h 0 h
Diferencias finitas Figure: Una aproximación.
Diferencias finitas Esquemas Diferencia hacia adelante du u(x i + h) u(x i ) = dx i+1/2 (x i + h) x i u i+1 u i x i+1 x i Diferencia hacia atrás du u i u i 1 = dx 1 1/2 x i x i 1
Diferencias finitas Lectura1 Revisemos la lectura1.pdf. Diferencia centrada du u i+1 u i 1 =. dx i x i+1 x i 1
Diferencias finitas Esquemas Diferencia de segundo orden d 2 u i u i+1 2u i + u i 1 = dx 2 h 2 d 2 u dx 2 i = u i+1 2u i + u i 1 h 2 +O(h 2 )
Ecuación de calor 1D Ecuación de calor 1D Ecuación de calor Se tiene una varilla a la cual se le aplica una fuente de calor inicia y el interés en determinar el comportamiento a lo largo del tiempo u(x, 0) = f(x) u t = κu xx x ( L/2, L/2) condicion inicial u( L/2, t) = T l u(l/2, t) = T r condicion de frontera La primera idea es usar un esquema hacia adelante en el tiempo y un esquema central para la variable espacial. Este esquema es un clásico y se conoce en la literatura como FTCS.
Ecuación de calor 1D Práctica 1 Usemos la Practica1.PDF 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 25 20 15 10 5 0 5 10 Figure: Primeros pasos en el tiempo.
Ecuación de calor 1D Ejercicio 1 Implementar una versión implícita: usar diferencias hacia atrás en el tiempo y diferencias centrales en el espacio u n i u n 1 i Δt = κ un i+1 2un i + u n i 1 Δx 2 Nuevamente, es necesario resolver una sistema de ecuaciones en casa paso del tiempo, un sistema tridiagonal. Pero ganamos estabilidad en el método. Ejercicio implementar este método y comparar con el anterior explícito.
Ecuación de calor 1D Ejercicio 2 Implementar Crack-Nicholson La idea es sencilla, aproximar la derivada espacial por un promedio entre diferencias centrales del paso del tiempo siguiente y el actual u xx 1 2 (un+1 i+1 2un+1 i + u n+1 i 1 Δx 2 + un i+1 2un i + ui 1 n Δx 2 ) Nuevamente, es necesario resolver una sistema de ecuaciones en casa paso del tiempo, un sistema tridiagonal el algoritmo de Thomas puede ser usado. Por una parte ganamos estabilidad en el método; sin embargo, el costo por cálculo sube. Ejercicio implementar este método y comparar con el anterior explícito.
Ecuación de Poisson 1D Poisson 1D Ecuación Poisson 1D Considere uno de los problemas más sencillo y en 1D u = f, x (0, 1) u(0) = α, u(1) = β, x R. donde el lado derecho es conocido. Si hacemos una partición o una malla del intervalo [0, 1], pensado nuevamente en una malla uniforme de n puntos y usando un esquema de diferencias ceentrales de orden 2
Ecuación de Poisson 1D Poisson 1D Esquema en diferencias Como resultado u i+1 2u i + u i 1 h 2 = f(x i ) 2 1 0 0 1 2 1 0..... 0 1 2 1 0 0 1 2 u 1. u n 1 h 2 f(x 1 )+α h 2 f(x 2 ) =. h 2 f(x n 1 )+β Debemos resolver un sistema tridiagonal.
Ecuación de Poisson 2D Ecuación de Poisson 2D Ejemplo 2 u = F, (x, y) R = (0, 1) (0, 1) u = f, (x, y) R. Como resultado tenemos u j+1,k 2u j,k + u j 1,k Δx 2 u j,k+1 2u j,k + u j,k 1 Δy 2 = F j,k j = 1,..., M 1, k = 1,..., N 1 Es necesario resolver una sistema de ecuaciones.
Ecuación de Poisson 2D Algorithm 2.1: Algoritmo de la ecuación de Poisson 1 Data: n 2 dx = 1/(n 1);dy = dx; 3 itersor = 1; 4 5 6 7 8 while flag y itersor < kmaxsor do uold = u(2 : (n 1), 2 : (n 1)); for i = 2 to n 1 do for j = 2 to n 1 do u(i, j) = soreval(f(i, j), u((i 1) : (i + 1),(j 1) : (j + 1)), dx, dy,ω); 9 10 11 12 13 14 itersor = itersor + 1; err = norm(uold u(2 : (n 1), 2 : (n 1))); if err < tolsor then flag0 = 0; return u ;
Ecuación de Poisson 2D Algorithm 2.2: Función soreval 1 Data: f, x, dx, dy,ω 2 dxx = Δx 2 ; 3 dyy = Δy 2 ; 4 dxy = 4ΔxΔy; 5 p = Ω (f +2 0/dxy (x(3, 1) x(1, 1)+x(1, 3) x(3, 3))+1/dxx (x(2, 1)+x(2, 3))+... 6 1/dyy (x(1, 2)+x(3, 2)))/2/(1/dxx + 1/dyy)+... 7 (1 Ω) x(2, 2); 8 return p ;
Ecuación de Poisson 2D poisson2d.m Usemos el script de Matlab. 5 t=0.9 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figure: Solución final.
Comentarios finales En general 1 Discretización 2 Métodos explícitos 1 sencillos 2 inestables 3 Métodos implícitos 1 Pueden ser complejos 2 estables Tenemos 3 problemas centrales: 1) Construir una malla de puntos. 2) Elegir el esquema en diferencias a emplear. 3) Resolver un sistema Ax = b.