P =

RECULL DE PROBLEMES SOBRE MTRIUS I DETERMINNTS QUE HN SORTIT LES PROVES DE SELECTIVITT ) PU LOGSE 004 Sèrie Qüestió 3: Considereu les matrius compleixi X + = B. = i B =. Trobeu una matriu X que ) PU LOGSE 004 Sèrie 4 Qüestió 5: Considereu el vector w = i la matriu = 3 4 0 5 x a) Trobeu tots els vectors v = y que fan que v = w. z a b) Quina condició han de complir a, b i c per tal que v = b no tingui cap c vector v solució? 3) PU LOGSE 004 Sèrie 5 Qüestió 3: 3 Donades les matrius = i B = : a) Trobeu una matriu X tal que X = B; 00 b) Calculeu B. Raoneu la resposta. 4) PU 005 Sèrie Qüestió : La matriu següent expressa els preus unitaris, en euros, de quatre articles,, B, C i D, procedents de les fàbriques f, f i f3: 34 40 36 8 P = 3 7 3 5 30 C = x, y, z, t, què representa Si una comanda és representada per un vector fila cadascun dels elements del resultat del producte C P? Si volem comprar 5 unitats de, 30 de B, 60 de C i 75 de D, quina de les fàbriques ens ofereix el millor preu? Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya

5) PU 005 Sèrie 4 Qüestió : Donades les matrius a b = 0 i B = 0, on a i b són nombres reals, trobeu els valors de a i b que fan que les dues matrius commutin, és a dir, que fan que es compleixi B = B. 6) PU 006 Sèrie Qüestió 3: Donades les matrius = i B = 4 a) Calculeu B i B. b) Comproveu que + B = + B 7) PU 006 Sèrie 3 Qüestió 4: 0 Sigui la matriu = 4 m. Determineu els valors de m per als quals 0 m 3 Rang ( ) < 3. Pot ser Rang ( ) = per algun valor de m? 8) PU 007 Sèrie 3 Qüestió 3: Considereu la matriu verifiqui 0 = p q =. En aquest cas, raoneu que val sense calcular. Trobeu els valors de p i q que fan que es 0. 9) PU 008 Sèrie Qüestió : 3 3 Considereu les matrius = i B =. a) Trobeu la matriu M, quadrada d ordre, tal que M = B. b) Comproveu que M I = (matriu identitat d ordre ) i deduïu l expressió de n M. 0) PU 008 Sèrie 4 Qüestió : 0 0 Considereu la matriu = 0 0 0 0 a) Calculeu i 3. b) Determineu, raonadament el valor de 604. Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya

) PU 008 Sèrie 5 Qüestió : a + b Considereu la matriu = 0 a b a)calculeu el valor de a i b per tal que = 0., on a i b són nombres reals. 3 4 b) Segons els valors obtinguts en l apartat anterior, calculeu i. n c) Si n és un nombre natural qualsevol, doneu l expressió de en funció de n. ) PU 009 Sèrie Qüestió : Considereu la matriu 0 =. a 0 = b. Calculeu els valors dels paràmetres a i b perquè 3) PU 009 Sèrie 3 Qüestió : Considereu la matriu que la matriu tingui rang. = a b b a. Trobeu els valors dels paràmetres a i b per a 4) PU 009 Sèrie 4 Qüestió : 0 0 0 0 Siguin = 0 0 i B = 0 0. 0 0 0 0 a) Comproveu que la inversa de és. 58 b) Comproveu també que = B. 5) PU 00 Sèrie Qüestió 6: Sigui x 3 = y =. 6) PU 00 Sèrie Qüestió 4: Considereu la matriu. Trobeu els valors de les variables x i y perquè es compleixi que = 7 3. a) Comproveu que compleix la igualtat 5 I =, on d ordre. b) Utilitzeu aquesta igualtat per a calcular la matriu inversa de. c) Resoleu l equació matricial 0 X = 0 I és la matriu identitat, utilitzant la matriu inversa de. Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 3

7) PU 00 Sèrie 4 Qüestió : + B = + B + B. Considereu la igualtat matricial a) Comproveu si les matrius = i B = compleixen o no la igualtat anterior. b) En general, donades dues matrius qualssevol i B quadrades del mateix ordre, expliqueu raonadament si hi ha alguna condició que hagin de complir perquè la igualtat de l enunciat sigui certa. 8) PU 00 Sèrie 5 Qüestió 4: Siguin, B i C matrius quadrades d ordre n. a) Expliqueu raonadament si és possible que det 0, det B 0 i det ( B) = 0. Si és possible, poseu-ne un exemple. b) Si sabem que det 0 i que B = C, expliqueu raonadament si podem assegurar que B = C. 9) PU 0 Sèrie Qüestió : Si tenim la matriu invertible i l equació matricial X +B=C: a) ïlleu la matriu X. b) Trobeu la matriu X quan =, B 3 = i C =. 0) PU 0 Sèrie Qüestió 4: 3 0 3 Sigui la matriu = 0 0 0 3 a) Calculeu i. 0 b) Deduïu el valor de. NOT: Treballeu amb radicals; no utilitzeu la representació decimal dels elements de la matriu. ) PU 0 Sèrie Qüestió 3: Sigui una matriu quadrada d ordre n de manera que matriu nul la (la formada completament per zeros). + I = + I. a) Comproveu que b) Comproveu que les matrius n n n = O, en què O és la B = I i C = + Insón l una inversa de l altra. ) PU0 Sèrie Qüestió 5: Contesteu les preguntes següents: a) Expliqueu raonadament si una matriu d ordre 3 i una matriu d ordre poden tenir el mateix determinant. b) Considereu les matrius següents: Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 4

p 4 = p i B = 0 p p 0 p 4 Calculeu, si és possible, el valor del paràmetre p perquè det= detb. 3) PU 0 Sèrie 3 Qüestió 4: Donades les matrius 3 = i B = 3, + B B = B. a) Comproveu que es compleix la igualtat b) És certa aquesta igualtat per a qualsevol parell de matrius quadrades i B del mateix ordre? Responeu raonadament utilitzant les propietats generals de les operacions entre matrius, sense utilitzar matrius i B concretes. 4) PU 0 Sèrie 4 Qüestió : k Determineu el rang de la matriu = k k en funció del paràmetre k. 5) PU 03 Sèrie Qüestió 4: Siguin les matrius a 5 b 8 4 7 = b 4, B = c 3 i C = 5 5 3 c 5 4 a 3 b a on a, b i c són paràmetres reals. Calculeu el valor d aquests paràmetres perquè cap de les tres matrius tingui inversa. 6) PU 03 Sèrie 3 Qüestió : Considereu la matriu a = a +. Sigui I la matriu identitat d ordre. a)trobeu el valor del paràmetre a perquè es compleixi que b) Calculeu la matriu inversa de la matriu quan a =. I =. 7) PU 03 Sèrie 4 Qüestió 3: 3 6 Sigui = 0. 3 6 p 3 6 a) Què significa que la matriu B sigui la matriu inversa de? b) Trobeu el valor del paràmetre p perquè la matriu inversa de i la matriu transposada de coincideixin. NOT: No aproximeu les arrels mitjançant valors amb decimals; treballeu amb els radicals. Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 5

8) PU 04 Sèrie 3 Qüestió : Considereu la matriu M = a + ( a + ) a ( a ) a a, per a a R. a)calculeu el rang de la matriu M en funció dels valors del paràmetre a. x b)discutiu i resoleu el sistema d equacions lineals M y = segons els valors z del paràmetre a. 9) PU 04 Sèrie 3 Qüestió 6: Responeu a les qüestions següents: a) Demostreu que si és una matriu quadrada que satisfà la igualtat és la matriu identitat, aleshores és invertible i satisfà( ) = I. b) Calculeu l expressió general de les matrius de la forma que satisfan la igualtat = I. = I on I a b = c amb b 0 30) PU 04 Sèrie 4 Qüestió 5: Responeu a les qüestions següents: a) Si i B són dues matrius quadrades d ordre n, demostreu que + B = + B + B B = B b) Si M i M són dues matrius de la forma a b b a, amb a, b R, comproveu M M = M M. que el producte M M té també la mateixa forma i que 3) PU 04 Sèrie 5 Qüestió 6: Considereu l equació matricial X = B, en què 3 4 = a 3 a i B = 0 5 5 a) Per a quins valors del paràmetre a l equació matricial té una solució única? b) Trobeu la matriu X que satisfà l equació matricial quan a = 3. 3) PU 05 Sèrie Qüestió 5: Responeu a les qüestions següents: Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 6

a) Calculeu la matriu de la forma la matriu identitat, b) Calculeu deduir la matriu 0 I = 0. a = 0 que satisfà = I, en que I és i comproveu que el resultat es correspon amb el que obteniu de a partir de la igualtat = I. 33) PU 05 Sèrie 4 Qüestió 5: Sigui una matriu quadrada que compleix que identitat, 0 I = 0. a) Demostreu que la matriu té inversa i que b) En el cas de qual 3 = I. a = 3 =. = I, en què I és la matriu, calculeu si hi ha cap valor del paràmetre a per al 34) PU 05 Sèrie 5 Qüestió : 0 a Sigui la matriu = 0. a a) Determineu per a quins valors de a existeix b) Calculeu per a a = 0.. 35) PU 05 Sèrie 5 Qüestió 6: Trobeu totes les matrius de la forma mateixes, és a dir, que 0 = 0. a 0 = b que siguin inverses d elles 36) PU 06 Sèrie Qüestió 5: Responeu a les qüestions següents: 4 a) Trobeu l única matriu de la forma = a comproveu que i I no són invertibles. que satisfà que =, i b) Justifiqueu raonadament que si és una matriu quadrada d ordre n diferent de la matriu nul la, 0, i de la matriu identitat, I, i satisfà la igualtat =, aleshores les matrius i I no són invertibles. 37) PU 06 Sèrie 3 Qüestió 4: Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 7

Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu totes les matrius de la forma I + =, en què I és la matriu identitat, 0 = m 0 I = 0. que satisfan la igualtat b)justifiqueu que si és una matriu quadrada que compleix la igualtat + = I, aleshores és invertible, i calculeu l expressió de en funció de les matrius i I. 38) PU 06 Sèrie 5 Qüestió 4: I = I, en Sigui una matriu quadrada d ordre n que satisfà la igualtat què I és la matriu identitat. a) Justifiqueu que la matriu és invertible i que b) Calculeu el valor de a que fa que la matriu ( I ) = I. Calculeu a partir del resultat de l apartat anterior. I =. = a compleixi la igualtat i comproveu que es correspon amb la matriu calculada Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 8

SOLUCIONRI: ) PU LOGSE 004 Sèrie Qüestió 3: Considereu les matrius compleixi X + = B. = i B =. Trobeu una matriu X que X + = B X = B X = B X = B t dj = i = = = t = dj ( ) = = = = = = dj t t 0 X = ( B ) = = = 3 ) PU LOGSE 004 Sèrie 4 Qüestió 5: Considereu el vector w = i la matriu = 3 4 0 5 x a) Trobeu tots els vectors v = y que fan que v = w. z a b) Quina condició han de complir a, b i c per tal que v = b c vector v solució? no tingui cap Podem resoldre l apartat a) de dues maneres diferents, matricialment o mitjançant un sistema d equacions: Matricialment: v = w v = w v = w (quest mètode es basa en calcular la matriu, per tant, si no és invertible, aleshores no podrem utilitzar aquest mètode) Però = 3 = 5 + + 0 0 + 3 0 = 0 0 5 Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 9

Mitjançant un sistema d equacions: x x y + z = x y + z = F F + F v = w 3 y = x + y + 3z = y + 5z = 4 0 5 z 4 y 5z 4 + = y + 5z = 4 x y + z = x y + z = x ( 5z 4) + z = x 5z + 4 + z = y + 5z = 4 y = 5z 4 x = 3 + 4 z x, y, z = 3 + 4 z,5z 4, z L apartat b) ens demana saber quines condicions han de complir a, b i c per a que a el sistema v = b no tingui cap solució. quest apartat el podríem resoldre pel c teorema de Rouché-Frobenius fent que el rang de la matriu del sistema i la matriu ampliada siguin diferents. ixí: a x a v = b 3 y b = c 0 5 z c a a F F + F B = 3 b 0 5 b a + 0 5 c 0 5 c El sistema tindrà solució si la a i la 3a fila són iguals, és a dir, si c = a + b. 3) PU LOGSE 004 Sèrie 5 Qüestió 3: 3 Donades les matrius = i B = : a) Trobeu una matriu X tal que X = B; 00 b) Calculeu B. Raoneu la resposta. X = B X = B X = B t dj = i 3 = = 3 4 = 0 3 t 3 t dj ( ) = = = = = 3 3 3 3 3 X B = = = 3 5 5 Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 0

B = B = B B = = 3 3 3 4 4 3 B = B B = B 3 3 = = = 4 4 leshores: B 00 00 99 99 00 00 = B = 00 00 99 99 4) PU 005 Sèrie Qüestió : La matriu següent expressa els preus unitaris, en euros, de quatre articles,, B, C i D, procedents de les fàbriques f, f i f3: 34 40 36 8 P = 3 7 3 5 30 C = x, y, z, t, què representa Si una comanda és representada per un vector fila cadascun dels elements del resultat del producte C P? Si volem comprar 5 unitats de, 30 de B, 60 de C i 75 de D, quina de les fàbriques ens ofereix el millor preu? 34 40 36 8 C P = ( x, y, z, t) = 3 7 3 5 30 ( 34x y 3z 5t 40x 8y 7z t 36x y 3z 30t ) = + + + + + + + + + Les tres columnes de la matriu producte C P representa el preu total d una comanda d x unitats del producte, y unitats de B, z unitats de C i t unitats de D segons sigui fabricada en la fàbrica, la fàbrica o la fàbrica 3. Per acabar el problema mirem en el cas d una comanda concreta on (,,, ) ( 5,30,60,75) x y z t = quina de les 3 fàbriques ens resultaria més barata: 34 40 36 8 C P = ( 5,30,60,75) = 3 7 3 5 30 Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya

= ( 34 5 + 30 + 3 60 + 5 75 40 5 + 8 30 + 7 60 + 75 36 5 + 30 + 3 60 + 30 75) = = ( 4435, 4435, 5430) Per tant, en aquesta comanda concreta ens interessa qualsevol de les dues primeres fàbriques perquè amb ambdues surt el mateix preu total de 4435. 5) PU 005 Sèrie 4 Qüestió : Donades les matrius a b = 0 i B = 0, on a i b són nombres reals, trobeu els valors de a i b que fan que les dues matrius commutin, és a dir, que fan que es compleixi B = B. a b b a b + a a + b B = B = = 0 0 0 0 0 0 b + a = a + b Les matrius commuten sempre. 6) PU 006 Sèrie Qüestió 3: Donades les matrius = i B = 4 a) Calculeu B i B. b) Comproveu que + B = + B 3 B = = 4 3 i 3 B = = 4 3 ( B) 0 0 0 4 0 + = + = = = 4 6 6 6 0 4 + B = + = + = 4 4 4 0 5 0 4 0 = + = + = + 0 0 5 0 4 B B 7) PU 006 Sèrie 3 Qüestió 4: 0 Sigui la matriu = 4 m. Determineu els valors de m per als quals 0 m 3 Rang ( ) < 3. Pot ser Rang ( ) = per algun valor de m? Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya

0 0 0 F F 4F F3 F3 mf = 4 m 0 m + 4 0 m + 4 0 m 3 0 m 3 0 0 3 + m 4m m = Rang < 3 m 4m + 3 = 0 m = 3 0 0 m = aleshores 0 + 4 = 0 3 rang = 0 0 3 + 4 0 0 0 0 0 m = aleshores 0 3 + 4 = 0 rang = 0 0 3 + 3 0 0 0 Si Si 3 Per tant, no hi ha cap valor del paràmetre m que faci que Rang ( ) =. 8) PU 007 Sèrie 3 Qüestió 3: 0 Considereu la matriu =. Trobeu els valors de p i q que fan que es p q 0 verifiqui =. En aquest cas, raoneu que val sense calcular. 0 0 0 p q p q p q p q p q p + q = = = p = 0 p = 0 0 q p q = q = p = 0 = = p q p + q p q p q = p 0 = 0 q = p + q = q 0 + = = = 0 = = = = = = = = = = 9) PU 008 Sèrie Qüestió : 3 3 Considereu les matrius = i B =. a) Trobeu la matriu M, quadrada d ordre, tal que M = B. b) Comproveu que M I = (matriu identitat d ordre ) i deduïu l expressió de n M. M = B M = B M = B Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 3

3 = = + 6 = 8 0 t 3 t t 3 dj 3 = = dj ( ) = = = 3 8 M 3 3 3 3 4 6 4 6 8 8 = B = = = = = 8 8 8 8 4 8 4 8 8 4 6 3 8 8 4 4 = = 8 4 4 8 8 4 4 M 3 3 3 4 4 4 4 4 4 3 3 6 0 = M = = = = 4 4 4 4 6 0 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0 = = I 0 0) PU 008 Sèrie 4 Qüestió : 0 0 Considereu la matriu = 0 0 0 0 a) Calculeu i 3. b) Determineu, raonadament el valor de 604. 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 = = = = I3 604 3 / 004 004 604 3 004+ 3 604 = 004 3 + = = = 004 004 004 004 3 3 3 3 3 = I = I = I = I = I = Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 4

) PU 008 Sèrie 5 Qüestió : Considereu la matriu a + b = 0 a b a) Calculeu el valor de a i b per tal que, on a i b són nombres reals. = 0. 3 4 b) Segons els valors obtinguts en l apartat anterior, calculeu i. n c) Si n és un nombre natural qualsevol, doneu l expressió de en funció de n. a + b a + b = = 0 0 a b 0 a b 0 ( a b) + = a = ( a + b) a a = a = ( b) 0 ( a b) = b = = + = 0 0 0 0 ( b) = ( a b) = a + b a= = = b= 0 0 a b 0 = = = 0 0 0 3 3 = = = 0 0 0 4 3 3 4 = = = 0 0 0 En general podem dir que: n n = 0 ) PU 009 Sèrie Qüestió : Considereu la matriu 0 =. a 0 = b. Calculeu els valors dels paràmetres a i b perquè a 0 a 0 a 0 a 0 = = = b b b a b b Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 5

a = = 0 a 0 0 0 0 = = = a b = a = ± a b b a b = b = b = ± b = a 3) PU 009 Sèrie 3 Qüestió : Considereu la matriu = a b. Trobeu els valors dels paràmetres a i b per a b a que la matriu tingui rang. F F af = a b 0 b a F3 F3 bf b a 0 a b b a = 0 b = a Rang = a 4a 0 a( a 4) 0 = = a b = 0 a a = 0 a = = a = b = b= a 0 b 0 b= a 4 8 Per tant, hi ha dues possibles solucions: a = b = 0 i a = 4ib = 8. 4) PU 009 Sèrie 4 Qüestió : 0 0 0 0 Siguin = 0 0 i B = 0 0. 0 0 0 0 a) Comproveu que la inversa de és. 58 b) Comproveu també que = B. La inversa de és = I 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 = 0 0 0 0 = 0 0 = B 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 = 0 0 = I = 0 0 0 0 0 0 3 Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 6

58 3 / 7 7 = = = = I = I = = B 58 3 7 + 3 7 3 7 3 3 5) PU 00 Sèrie Qüestió 6: Sigui x 3 = y =.. Trobeu els valors de les variables x i y perquè es compleixi que x 3 x 3 x 3 x 6 3x + 3y = = = y y y x y y 6 x = x x x = 6 6 0 6 3 3 3 3 x y 3 x x + y x + = x + y = = = x y y 6 y ( x + y) = x + y = y 6 y = y y 6 = 0 x = 3, x = x + y = y = 3, y = Si x = 3, com x y aleshores 3 ( x, y ) = (,3). + =, aleshores y = mentre que si x =, com x + y =, y =, per tant, hi ha dos parells de solucions que són: (, ) ( 3, ) x y = i 6) PU 00 Sèrie Qüestió 4: Considereu la matriu = 7 3. a) Comproveu que compleix la igualtat 5 I =, on d ordre. b) Utilitzeu aquesta igualtat per a calcular la matriu inversa de. c) Resoleu l equació matricial = = = 0 X = 0 5 7 3 7 3 7 3 35 6 I és la matriu identitat, utilitzant la matriu inversa de. 5 5 0 5 0 35 6 7 3 35 6 35 5 0 5 = 5 = + = = I Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 7

0 5 = I ( 5I ) = I = 5I = 5 = 7 3 0 5 0 3 = + = 7 3 0 5 7 0 0 0 X X X 0 0 0 = = = = 3 0 3 = = 7 0 4 7 7) PU 00 Sèrie 4 Qüestió : + B = + B + B. Considereu la igualtat matricial a) Comproveu si les matrius = i B = compleixen o no la igualtat anterior. b) En general, donades dues matrius qualssevol i B quadrades del mateix ordre, expliqueu raonadament si hi ha alguna condició que hagin de complir perquè la igualtat de l enunciat sigui certa. 0 0 0 B + = + = = = I I = I 0 0 0 + B + B = + + = = + + = 0 0 0 = + + = + = = I 0 0 0? + B = + B + B = + B + B + B = + B + B?? B + B= B B + B= B + B B = B Per tant, la igualtat de l enunciat serà certa sempre i quan les matrius i B commutin. Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 8

8) PU 00 Sèrie 5 Qüestió 4 Siguin, B i C matrius quadrades d ordre n. a) Expliqueu raonadament si és possible que det 0, det B 0 i det ( B) = 0. Si és possible, poseu-ne un exemple. b) Si sabem que det 0 i que B = C, expliqueu raonadament si podem assegurar que B = C. Una de les propietats dels determinants és que B = B per tant, el primer apartat és fals i evidentment no es pot trobar cap exemple. En el segon apartat, com 0 aleshores podem assegurar que i per tant: B = C B = C B = C. Cal notar però que aquest raonament és cert, pel fet que 0 perquè en general, B = C B = C. 9) PU 0 Sèrie Qüestió : Si tenim la matriu invertible i l equació matricial X +B=C: a) ïlleu la matriu X. b) Trobeu la matriu X quan =, B 3 = i C =. X + B = C X = C B X = C B X = C B = = = 0 t dj dj ( ) dj t t t = = = = = = = = 3 0 4 X = ( C B) = = = 3 4 0) PU 0 Sèrie Qüestió 4: 3 0 3 Sigui la matriu = 0 0 0 3 a) Calculeu i. 0 b) Deduïu el valor de. NOT: Treballeu amb radicals; no utilitzeu la representació decimal dels elements de la matriu. Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 9

3 3 3 3 0 0 0 0 4 4 = 0 0 = 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 4 4 3 3 0 0 0 0 3 3 3 = = 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 / 33 33 0 = 3 33 + = = = = I = 0 3 33+ 3 33 3 33 3 = I = 3 ) PU 0 Sèrie Qüestió 3: Sigui una matriu quadrada d ordre n de manera que matriunuŀla (la formada completament per zeros). + I = + I. a) Comproveu que b) Comproveu que les matrius n n n = O, en què O és la B = I i C = + Insón l una inversa de l altra. n n n n n n n n + I = + I + I = + I + I + I I = + + + I = = 0+ + I = + I Les matrius n n B I = n i C In = + seran una la inversa de l altra sii al multiplicarles entre si donen la matriu identitat d ordre n. = 0 B C = I + I = I + I I I = + I = n n n n n n n = 0 n n 0 n = I = I = I i B són matrius inverses. ) PU 0 Sèrie Qüestió 5: Contesteu les preguntes següents: a) Expliqueu raonadament si una matriu d ordre 3 i una matriu d ordre poden tenir el mateix determinant. b) Considereu les matrius següents: p 4 = p i B = 0 p p 0 p 4 Calculeu, si és possible, el valor del paràmetre p perquè det= detb. Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 0

El determinant d una matriu és un escalar, és a dir, un número que és independent de l ordre de la matriu, per tant, dues matrius de diferents ordres poden donar el mateix determinant. Per exemple I3 = I =. = = ( ) p p ( p) p p p p p 4 p B = 0 p = = 4 p p 4 0 p 4 + + 4 p = p p = = B p = 4 p p + p 6 = 0 p = 3 3) PU 0 Sèrie 3 Qüestió 4: Donades les matrius 3 = i B = 3, + B B = B. a) Comproveu que es compleix la igualtat b) És certa aquesta igualtat per a qualsevol parell de matrius quadrades i B del mateix ordre? Responeu raonadament utilitzant les propietats generals de les operacions entre matrius, sense utilitzar matrius i B concretes. 3 3 + = + = 3 3 ( B)( B) 4 0 4 8 6 = = 0 4 8 8 3 3 3 B = = = 3 3 3 7 8 8 7 8 8 8 6 = = + = 4 4 7 4 4 7 8 8 ( B)( B)? B B B B B? B B B? + = + = + = 0 B = B Per tant, per a que la igualtat sigui certa cal que les dues matrius i B commutin. Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya

4) PU 0 Sèrie 4 Qüestió : k Determineu el rang de la matriu = k k en funció del paràmetre k. Com és una matriu quadrada podem calcular el seu determinant: k = k = k + k + k k = k + k 3 3 3 k Com el determinant de és un polinomi de grau 3 apliquem la regla de Ruffini: 0 3 ( ) k = k k + = 0 k + k = 0 k = 0 Per tant, els valors que anul len al determinant són k = (arrel doble) i k =. Estudiem ara els diferents casos: Cas k = : F F F = 0 0 0 ( ) Rang F3 F3 F = 0 0 0 Cas k = : F F F F 3 F = 0 3 3 F3 F3 + F 0 3 3 0 0 3 3 Rang = Cas k i k : En aquest cas Rang 0 = 3 NOT: Es pot arribar a la mateixa conclusió esgraonant la matriu i estudiant els valors de k que anul lin els membres de la diagonal de la matriu esgraonada: k k k F F F F3 F3 + F = k 0 k k 0 k k F3 F3 kf k 0 k k 0 0 k k + En aquest cas estudiaríem els valors que anul len k i obtindríem els mateixos valors que abans. k k + i evidentment 5) PU 03 Sèrie Qüestió 4: Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya

Siguin les matrius a 5 b 8 4 7 = b 4, B = c 3 i C = 5 5 3 c 5 4 a 3 b a on a, b i c són paràmetres reals. Calculeu el valor d aquests paràmetres perquè cap de les tres matrius tingui inversa. Per a no tenir inversa el seu determinant ha de ser zero. a 7 = = + + = + = 0 b 4 0 0b c a 3b 8c 5a 0 7a 7b 7c 0 a + b c = 3 c 5 0 5 b 8 B = 0 c 3 = 0 5c + 8a + b 3c 5a 3b = 0 7a + 9b 7c = 0 4 a 3 4 7 C = 0 5 5 = 0 0 + 7a 0b + 35b + 0a 8 = 0 b a 7a + 5b 8 = 0 7a + 5b = 8 juntant les tres condicions tenim el següent sistema: a + b c = 0 0 0 7a + 9b 7c = 0 7 9 7 0 0 6 4 0 F3 F3 7F 7a + 5b = 8 7 5 0 8 0 7 8 F F + 7 F F F 8 0 0 F3 F3 + F 0 3 0 0 3 0 0 7 8 0 0 4 8 4c = 8 c = b 3c = 0 b 3 = 0 b 6 = 0 b = 6 b = 3 a + b c = 0 a + 3 = 0 a + = 0 a = Per tant, la solució al problema és la terna a =, b = 3, c = 6) PU 03 Sèrie 3 Qüestió : Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 3

Considereu la matriu a = a +. Sigui I la matriu identitat d ordre. a)trobeu el valor del paràmetre a perquè es compleixi que a a a + a + a + = = = a + a + a + a + + ( a + ) I =. a a + + a a a + a = = a + a + a + a a + a + a a + a a = = a a + a + a + a a + a a + a 4a + 4 a = + = a a + a + a a a I a a = a a + = 4 4 a 4a + 4 a 0 a = 0 = = 0 a = 0 a a + = a = o a = 4 3 0 3 a = a = a = ± a = o a = Podem observar que solament hi ha un valor del paràmetre a que compleix totes les equacions. quest valor és a = a b) Calculeu la matriu inversa de la matriu quan a =. a 3 a + a= = = = = det 3 0 3 t 3 t dj ( ) = = = 3 = = = t dj ( ) 3 3 Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 4

7) PU 03 Sèrie 4 Qüestió 3: 3 6 Sigui = 0. 3 6 p 3 6 a)què significa que la matriu B sigui la matriu inversa de? b)trobeu el valor del paràmetre p perquè la matriu inversa de i la matriu transposada de coincideixin. NOT: No aproximeu les arrels mitjançant valors amb decimals; treballeu amb els radicals. Què B = B = I3 Si la matriu inversa de és la matriu t t = = I s haurà de complir que 3 0 p 3 6 t = 0 = 3 6 3 3 3 p 3 6 6 6 6 t aleshores, per ser matrius inverses p 0 p + + 0 + 3 6 3 6 3 6 3 6 t 4 = 0 = 0 + 0 + + 0 + 3 6 3 3 3 3 6 3 6 3 6 = p p 0 + p + + 3 6 6 6 6 3 6 3 6 3 6 p 0 = 0 0 p 0 p + p 0 0 0 t = I3 0 0 = 0 0 p 0 p 0 0 + p p = 0 = p = p = p p p p + = = = = ± Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 5

8) PU 04 Sèrie 3 Qüestió : Considereu la matriu M = a + ( a + ) a ( a ) a a, per a a R. a)calculeu el rang de la matriu Men funció dels valors del paràmetre a. a a a a a a F F F F3 F3 + F M = a + a + 0 a + a 0 a F3 F3 F + a a 0 a a 0 a + a a 0 a + 0 0 Podem observar que independentment del valor de a, la matriu sempre tindrà rang 3 perquè els elements de la diagonal principal no depenen de a i per tant mai es podrà anul lar cap valor.ixí, Rang ( M ) 3 = a R b)discutiu i resoleu el sistema d equacions lineals del paràmetre a. x M y = z segons els valors En aquest cas no hi ha res que discutir perquè com el Rang de la matriu M sempre es 3 tindrem que Compatible Determinat. Passem a resoldre el sistema: a R Rang ( M ) = Rang ( M ') = 3 = nº incògnites Sistema x a a a a M y = M ' = a + ( a + ) 0 a 0 F3 F3 F + z a ( a ) 0 a + 0 F F F F3 F3 + F a a 0 a + 0 0 0 0 De la 3a equació tenim z = 0 z = 0. z = 0 y + a + z = 0 y + 0 = 0 y = 0. Substituint en la a: Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 6

Substituint en la a: y = 0 x ay a z x x z = 0 + + = + 0 + 0 = =. Per tant la solució del sistema és ( x, y, z ) = (,0,0 ) que no depèn del valor de a. 9) PU 04 Sèrie 3 Qüestió 6: Responeu a les qüestions següents: a) Demostreu que si és una matriu quadrada que satisfà la igualtat és la matriu identitat, aleshores és invertible i satisfà( ) = I. = I on I = I = I Donada la matriu, existeix una matriu, que en aquest cas també és, de manera que al multiplicar-les dóna la matriu identitat, per tant compleix la definició de matriu invertible i per tant és invertible. Donat que la inversa de la matriu és ella mateixa tenim que I = = demostrant la segona part del problema. = i per tant b)calculeu l expressió general de les matrius de la forma que satisfan la igualtat = I. a b = c amb b 0 a b a b a b a + bc ab + b = = = c c c ca + c cb + 4 a + bc = () ab + b = 0 b ( a + ) = 0 () 0 0 + = 0 ( + ) = 0 (3) ca + c cb + 4 3 cb + 4 = cb = 3 c = b 0 (4) b a + bc ab + b = I = ca c c a b = 0 b ( a + ) = 0, però l enunciat ens diu que b 0, per a + = 0 a = tant estem amb la segona possibilitat, és a dir, a =. 3 a= ( 4) c= 3 b a + bc = 4 + bc = bc = 3 b = 3 3 = 3 0 = 0 b 3 c a + = c 0 = = a= 0 0 0 0 Per tant, les quatre equacions del sistema queden així: Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 7

( 3) a = 0 = 0 0 = 0 3 ( 4) c = b I la matriu a b = c queda b = 3 b 30) PU 04 Sèrie 4 Qüestió 5: Responeu a les qüestions següents: a) Si i B són dues matrius quadrades d ordre n, demostreu que + B = + B + B B = B + B = + B + B = + B + B + BB = + B + B + B () () + B = + B + B + B + B + B = + B + B B + B = B B = B B B = B b) Si M i M són dues matrius de la forma a b b a, amb a, b R, comproveu M M = M M. que el producte M M té també la mateixa forma i que M Sigui a b c d = b a i M = d c aleshores: a b c d ac bd ad bc M M = = b a d c ad + bc ac bd que és de la mateixa forma que les matrius anteriors perquè l element M coincideix amb l element M i l element M = M. Finalment comprovem que M M = M M: M M El producte l acabem de calcular, fem per tant M M: M c d a b ca db cb da M = = d c b a da + cb db + ca Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 8

ac bd = ca db ac bd ad bc ca db cb da ad bc = cb da M M = M M = ad + bc ac bd da + cb db + ca ad + bc = da + cb ac bd = db + ca Però aquestes quatre igualtats són òbvies perquè la suma i el producte dels nombres reals a, b, c i d són operacions commutatives. 3) PU 04 Sèrie 5 Qüestió 6: Considereu l equació matricial X = B, en què 3 4 = a 3 a i B = 0 5 5 a) Per a quins valors del paràmetre a l equació matricial té una solució única? X = B X = B X I = B X = B (*) L equació tindrà solució si és possible fer el pas (*) de la deducció anterior, és a dir, si existeix la matriu. En aquest cas la solució del sistema serà X = B que serà única per la unicitat de la matriu inversa. Però la matriu determinant no nul. existirà si la matriu d ordre 3 té rang 3, és a dir, si té = a 3 a = 3 + 0 + a 3 0 + a = 3 + a 3 + a = a 7 0 7 = 0 a 7 = 0 a = 7 a = 7 Per tant, el sistema tindrà solució única si a b) Trobeu la matriu X que satisfà l equació matricial quan a = 3. a= 3 = a 3 a = 3 3 0 0 En aquest cas la solució del sistema serà X = B. Càlcul de : = dj t Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 9

= 3 3 = 3 + 0 + 3 0 + 3 = 0 3 3 t t = 3 3 = 3 0 dj ( ) = 5 0 3 0 3 3 3 t = dj ( ) = 5 = 5 = 5 3 0 3 0 3 0 Càlcul de la solució de l equació matricial: 3 3 4 3 5 X B = = 5 5 5 = 0 6 3 3 0 Per tant, la solució de l equació matricial és X 3 5 = 0 6 3 3) PU 05 Sèrie Qüestió 5: Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu la matriu de la forma la matriu identitat, 0 I = 0. a a + a a = = = 0 0 a + a a a a 0 = = a 0 0 a a = 0 que satisfà = I, en que I és a 0 0 = I = a = 0 a 0 Per tant, la matriu que satisfà la igualtat és = 0 Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 30

b) Calculeu deduir la matriu i comproveu que el resultat es correspon amb el que obteniu de a partir de la igualtat = I. Calculem la inversa de mitjançant la fórmula dj ( t ) = = 0 0 = : t t 0 0 = = dj ( ) = = = 0 0 0 0 = = Calculem la inversa utilitzant la igualtat = I : I I I = =, per tant, al multiplicar les matrius i I obtenim la matriu identitat, és a dir, les matrius i 0 0 = I = = 0 0 I són matrius inverses, per tant: 33) PU 05 Sèrie 4 Qüestió 5: Sigui una matriu quadrada que compleix que identitat, 0 I = 0. a) Demostreu que la matriu té inversa i que 3 =. = I, en què I és la matriu Una matriu B és la matriu inversa de si B = B = I. 3 En el nostre cas = I = I = La matriu compleix la definició de matriu inversa de i per tant és la matriu inversa de. b) En el cas de qual 3 = I. a =, calculeu si hi ha cap valor del paràmetre a per al a a a a a a a a + a + 4 a + 4 = = = = Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 3

3 a a a a + a a a + a 3a a = = = = a + 4 + a 4 a + a 8 a 3 3a 8 = = 0 3 3a a 3a a = 0 a( 3 a) = 0 = I = a 3 3a 8 0 a 3 = 0 a = 3 3a 8 = 3a = 9 Podem observar que l únic valor que satisfà les 4 equacions és a = 3 34) PU 05 Sèrie 5 Qüestió : 0 a Siguila matriu = 0. a a) Determineu per a quins valors de a existeix. tindrà inversa sii té determinant no nul 0 a = 0 = a + a a = a + a = a = a = ± a = a = 0 0 0 0 0 Per tant, existeix sempre que a b) Calculeu per a a = 0. 0 a 0 0 a= 0 = 0 = 0 a 0 Calcularem mitjançant la fórmula = dj ( t ) Per l apartat a) sabem que = 0 = = = a, per tant, si a = 0 aleshores 0 0 0 0 t t = 0 = 0 0 dj ( ) = 0 0 0 0 Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 3

t Finalment: dj ( ) 0 0 0 = = = = 0 0 0 0 0 0 35) PU 05 Sèrie 5 Qüestió 6: Trobeu totes les matrius de la forma mateixes, és a dir, que 0 = 0. a 0 = b que siguin inverses d elles a a a = = = = 0 0 b b 0 ba + b 0 0 0 0 0 0 0 0 a = a = ± 0 = 0 a = a = a = ± ba + b = 0 b( a + ) = 0 b( a + ) = 0 b( a + ) = 0 b = 0 a = = Per tant els parells de valors de a i b que satisfan les dues equacions a la vegada són a = i b = 0o a = i en aquest cas b pot assolir qualsevol valor. Per tant tenim dos tipus de matrius possibles: 0 = = I 0 i 0 = b b R 36) PU 06 Sèrie Qüestió 5: Responeu a les qüestions següents: 4 a) Trobeu l única matriu de la forma = a comproveu que i I no són invertibles. que satisfà que =, i + + = = = a 4 4 4 4 4 8 8 4 a a a a a a + + a 4 4 + a = 4 + a 4 4 4 4 = 4 + a ( a) 4 + a = = + = a a 4 a = a 4 + a = 4 Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 33

+ a = 4 a = a = Per tant, la única matriu que satisfà la condició és: = 4 Evidentment no és invertible perquè la segona fila és el doble de la primera. 4 0 4 I = = = 0 que tampoc serà invertible perquè F = F b) Justifiqueu raonadament que si és una matriu quadrada d ordre n diferent de la matriu nul la, 0, i de la matriu identitat, I, i satisfà la igualtat =, aleshores les matrius i I no són invertibles. I = = 0 = 0. nem ha demostrar que tant com I no poden ser invertibles. Suposem que és invertible, aleshores: I = 0 I = 0 I I = 0 I = 0 = I que és una contradicció perquè per hipòtesis I. Suposem que I és invertible, aleshores: I 0 I I = = 0 I I = 0 = 0 que és una contradicció perquè per hipòtesis 0. 37) PU 06 Sèrie 3 Qüestió 4: Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu totes les matrius de la forma I + =, en què I és la matriu identitat, 0 = m 0 I = 0. que satisfan la igualtat 0 0 0 + = I + = m m 0 0 0 0 0 + = m m m 0 0 0 0 0 0 + = = m 4 m 0 0 0 Hem obtingut que la part esquerra de la igualtat sempre dóna la matriu 0 0 independentment del valor de m. Per tant, la resposta al problema són totes les matrius de la forma 0 = m. Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 34

b) Justifiqueu que si és una matriu quadrada que compleix la igualtat + = I, aleshores és invertible, i calculeu l expressió de en funció de les matrius i I. + = I + I = I + I = I I Tenim que la matriu multiplicada per la matriu + dóna la matriu identitat, per tant és invertible i la seva inversa és la matriu = ( + I ) 38) PU 06 Sèrie 5 Qüestió 4: I = I, en Sigui una matriu quadrada d ordre n que satisfà la igualtat què I és la matriu identitat. a) Justifiqueu que la matriu és invertible i que = I. Una matriu és invertible si existeix una altra matriu B de manera que B = B = I. En el nostre cas la inversa de la matriu és I perquè es I = I. satisfà la igualtat b) Calculeu el valor de a que fa que la matriu ( I ) = I. Calculeu a partir del resultat de l apartat anterior. = a compleixi la igualtat i comproveu que es correspon amb la matriu calculada Càlcul del valor de a que satisfà la condició: 0 0 0 0 ( I ) = I = = a a 0 0 a a 0 = a + 0 a 0 a = 0 = a a ( a = + ) 0 a a a + 0 a = 0 a a + = a = 0 a = 0 a a + = Càlcul de la matriu inversa de : = dj t Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 35

= = 0 = 0 0 t t 0 = = dj ( ) = 0 0 0 0 0 t dj = = = = Comprovació de que = I : 0 = 0 0 I = = 0 0 En l apartat anterior hem obtingut que Calculem ara que coincideix amb l anterior. Exercicis de matrius i determinants de les PU Catalunya 36