Oscilaciones Raúl Rechman de mayo de. Oscilador armónico amoriguado mẍ = k cẋ, () Con ẍ + c mẋ + k =. () m γ = c m, ω = k m, (3) ẍ + γẋ + ω =. (4) Para enconrar la solución de la Ec. (4) proponemos una solución de la forma De aquí Hay que esudiar res casos. () = e λ. (5) λ = γ ± γ ω. (6).. Movimieno sobre amoriguado, γ > ω con La solución general es () = e γ ( Ae α + Be α), (7) ẋ() = e γ ( ( γ + α)ae α B(γ + α)e α), (8) Con la condición inicial () =, ẋ() = α = γ ω. (9) A = (α + γ), B = (α γ), () α α por lo que la solución paricular es () = α e γ ( (α + γ)e α + (α γ)e α). ()
.8 Caso Caso Caso 3.6.4. -. -.4..4.6.8 Figura : Los res casos de movimieno armónico amoriguado... Movimieno criicamene amoriguado, γ = ω La solución general es () = e γ (A + B) () Con las condiciones iniciales () =, ẋ() = () = e γ ( + (γ )) (3).3. Movimieno sub amoriguado, γ < ω () = e γ (A sin λ + B cos λ) (4) con λ = ω γ (5) Con las condiciones iniciales () =, ẋ() = () = e γ sin λ (6)
.5 -.5-3 4 5 Figura : El caso sub amoriguado.. Oscilador armónico no amoriguado con forzamieno periódico En ese caso, la segunda ley de Newon es mẍ = k + f() (7) con f( + T ) = f() y T el período. Proponemos f() = cos ω con ω = π/t la frecuencia. Enonces, ẍ + ω = cos ω (8) con ω = k/m la frecuencia naural de oscilación del resore, i.e la frecuencia de oscilación en ausencia de forzamieno. La ecuación del oscilador armónico es ẍ + ω =. (9) Como anes proponemos una solución como la de la Ec. (5) por lo que λ = ± iω. () Para una de las dos soluciones, ano la pare real como la imaginaria son soluciones, por lo que la solución general es de la forma () = A cos ω + B sin ω o () 3
Para enconrar la solución de la Ec. (8) escribimos esa ecuación como ẍ + ω = e iω. () Buscamos la pare real de la solución. Suena razonable proponer como una solución paricular a p = ae iω. Eso se conoce como el méodo de los coeficienes indeerminados. Enonces, Al comparar con la Ec. (), por lo que ẍ p + ω p = a(ω ω )e iω (3) a = /(ω ω ) (4) p () = eiω ω = (cos ω + i sin ω). (5) ω ω Como solo nos ineresa la pare real, la solución paricular buscada es p () = ω ω por lo que la solución general de la Ec. (8) es () = A cos ω + B sin ω o + Con la condición inicial () =, ẋ() = por lo que A = () = Esa solución se puede escribir como la pare real de ω Para simplificar esa solución, definimos cos ω. (6) ω ω cos ω. (7) ω, B = (8) ω ω ω (cos ω cos ω ). (9) () = a ( e iω e iω) (3) de donde La solución paricular es α = ω + ω, β = ω ω, (3) ω = α + β ω = α β. (3) ( p () = a e i(α+β) e i(α β)) (33) = ae iα ( e iβ e iβ). (34) 4
De aquí y la solución que buscamos es la pare real de Es decir, () = are[e iα (i sin β)] e iβ e iβ = i sin β (35) () = ae iα (i sin β) (36) = are[(cos α + i sin α)(i sin β)] = are[ sin α sin β + i cos α sin β] = a sin α cos β ( ) ( ) (ω + ω ) (ω ω ) = a sin sin = ( ) ( ) (ω + ω ) (ω ω ) ω sin sin. (37) ω En el úlimo paso usamos la Ec. (4). En la Fig. 3 mosramos los resulados para algunos valores de ω y ω. Vemos que la ampliud cambia lenamene y es con la frecuencia (ω ω )/ que es la envolvene en rojo en las Figs. 3 (b) y (c). La ampliud máima esá dada por el érmino /(ω ω) que mosramos en la Fig. 3 (d). Dado que la ampliud máima es disconinua en ω, vemos ese caso apare... Solución general en el caso resonane Buscamos la solución general de ẍ + ω = cos ω. (38) o, lo que es lo mismo, la pare real de la solución general de ẍ + ω = e iω. (39) La solución general esá dada por la Ec. () como anes. La solución paricular no es p () = ae iω pues ésa es una solución del oscilador no forzado. Proponemos como solución a p () = ae iω. Enonces, por lo que ẋ p = a ( e iω + iω e iω), ẍ p = a ( iω e iω ω e iω), (4) ẍ + ω = a ( iω e iω ω e iω) + aω e iω = aiω e iω. (4) 5
(a) (b).5 3.5 -.5 - - - -.5 4 6 8 (c) -3 4 6 8 (d) 6 6 4 4 - -4-6 5 5 Figura 3: Movimieno armónico con forzamieno periódico. en odos los casos ω =. (a) ω =.4, (b) ω =.8 y (c) ω =.9.(d) Ampliud máima de la oscilación. 6
Al comparar las Ecs. (39) y (4) y a = iω = i ω (4) p () = i ω (cos ω + i sin ω ) = ω (sin ω i cos ω ). (43) Dado que nos ineresa la pare real, La solución general de la Ec. (38) es () = A cos ω + B sin ω o + ω sin ω. (44) Cualquier solución oscila con la freecuencia naural ω que en ese caso es ambién la frecuencia de forzamieno para iempos coros, la solución asemeja a la de un oscilador no forzado. Para iempos largos, la solución es dominada por el úlimo érmino de la solución general y crece linealmene con. Con la condición inicial () = ẋ(), A = B = y () = En la Fig. 4 mosramos esa solución. ω sin ω. (45) 3. Oscilador armónico amoriguado con forzamieno periódico Buscamos la solución de que escribimos como ẍ + γẋ + ω = cos ω (46) ẍ + γẋ + ω = e iω (47) y buscamos la pare real de lasolución. Suponemos que γ < ω por lo que la solución de la ecuación homogénea es un movimieno armónico sub amoriguado dado por la Ec. (4) con λ dado por la Ec. (5). Proponemos una solución paricular de la forma Al susiuir en la ecuación diferencial de arriba p () = ae iω. (48) ẍ + γẋ + ω = a( ω + iγω + ω )e iω. (49) 7
3 - - -3 3 4 5 Figura 4: ω =. Al comparar las Ecs. (47) y (49) a = ω ω + iγω = ω ω iγω (ω ω ) + 4γ ω (5) (5) La solución paricular es ( ω p () = ω ) iγω (ω ω ) + 4γ ω (cos ω + i sin ω) [ = (ω (ω ω ) + 4γ ω ω ) cos ω + γω sin ω+ i [ (ω ω ) sin ω γω cos ω ]]. (5) Nos ineresa solo la pare real, por lo que la solución general es () =e γ (A sin λ + B cos λ) + (ω ω ) cos ω + γω sin ω (ω ω ) + 4γ ω. (53) 8
(a) (b).5 4 3.5 p p -.5 - - - -3 -.5 4 6 8-4 4 6 8 Figura 5: ω =, γ =.. (a) ω =.5, (b) ω =.9. La solución de la ecuación diferencial homogénea va a cero como e γ por lo que para iempos largos la solución es p () que mosramos en la Fig. 5. Se puede simplificar el reulado dado por la Ec. (53) como sigue. Usando la Ec, (5) a = /b con b = ω ω + iγω, b = (ω ω ) + 4γω. (54) Enonces a = / b, a = a e φ con φ la fase y la solucón paricular se puede escribir como p () = a e i(ω+φ). (55) Dado que ab =, b = b e iφ con ( ) γω φ = an ω. (56) ω De aquí y la pare real de la solución paricular es ( ) γω φ = an ω ω (57) p () = cos(ω + φ). (58) (ω ω ) + 4γω con φ dado por la Ec. (57). Para iempos largos, la solución de la ecuación homogénea va a cero y la solución esá dada por la solución paricular p de la Ec, (58). Hay reonacia cuando b, el denominador del érmino derecho de esa Ec. va a cero. En la Fig. 6 mosramos b para disinos valores del amoriguamieno γ. Para cada valor de γ, la resonancia se presena cuando b =. Para γ =, la resonancia se presena cuando ω = ω =. De la Fig. vemos que solo hay resonancia si γ < γ c = /4. 9
.5.5 γ =. γ =.5 γ =. γ =. γ =.5 γ =.3 b -.5 - -.5-3 4 5 ω Figura 6: ω =.