Problemas Sesión 5: Matrices I P) Sean A 2 3 6 sin embargo B C. ; B 3 8 2 3 y C 5 2 2. Comprueba que AB AC y que El resultado de calcular los productos es: AB AC 7 2 2 6
P2) Considera las matrices A y B M n n K. Prueba que la igualdad: Es cierta si y sólo si, A y B conmutan*. A + B 2 A 2 + 2AB + B 2 Supongamos que conmutan, es decir que AB BA: A + B 2 A + B A + B A 2 +AB + BA + B 2 A 2 + AB + AB + B 2 A 2 + 2AB + B 2 Supongamos que (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2 : (A + B) 2 A + B A + B A 2 +AB + BA + B 2 A 2 + 2AB + B 2 AB + BA 2AB AB + BA AB + AB BA AB *Se dice que una matriz B conmuta con una matriz A, si AB BA.
P3) Determina las matrices que conmutan con la matriz A 2 3 4 a b Buscamos una matriz B tal que AB BA: c d 2 3 4 a b c d a b c d 2 3 4 2a + 3c 2b + 3d a 4c b 4d 2a + 3c 2a + b b 3c 0 2b + 3d 3a 4b 3a 6b 3d 0 a 2b d 0 a 4c 2c + d a 6c + d 0 b 4d 3c 4d b 3c 0 Agrupamos las 4 ecuaciones y formamos el sistema: a 2b + 0c d 0 a + 0b 6c + d 0 0a + b 3c + 0d 0 0a + b 3c + 0d 0 2a + b 3a 4b 2c + d 3c 4d Tenemos un sistema homogéneo de 4 ecuaciones con 4 incógnitas. Por ser homogéneo, la a b solución trivial c d 0 0 es inmediata. Buscamos una solución no trivial. 0 0 Observamos que las ecuaciones 3ª y 4ª son iguales, así que trabajamos con los coeficientes de las tres primeras: 2 0 0 6 0 3 0 F 2 F 2 0 0 2 6 2 0 3 0 F 2 2 2 0 0 3 0 3 0 F 3 F 2 2 0 0 3 0 0 0 F 2 +F 3 2 0 0 3 0 0 0 0 F +2F 2 0 6 0 3 0 0 0 0 F 3 F 0 6 0 0 3 0 0 0 0 a 6c 0 b 3c 0 d 0 a b c d 6c 3c c 0 c.
P4) (i) Prueba que si A M n n (K) entonces A + A T es simétrica y A A T es antisimetrica. (ii) Prueba que toda matriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matriz simétrica y una antisimétrica. (iii) Escribe la matriz A 2 3 como suma de una matriz simétrica y una antisimétrica. 4 i) Por definición una matriz es simétrica si es igual a su traspuesta: A A T. Una matriz es antisimétrica si es igual a menos su traspuesta: A A T. La matriz traspuesta de la suma es la suma de las traspuestas: A + A T T A T + A T T A T + A A + A T, es decir, A + A T es simétrica. La matriz traspuesta de la resta es la resta de las traspuestas: A A T T A T A T T A T A (A A T ), es decir, A A T es antisimétrica. ii) Por el ejercicio (i) la matriz (A + A T ) es simétrica, por lo que la matriz 2 A + AT también lo es. Análogamente por el ejercicio (i) la matriz 2 A AT es antisimetrica, como: 2 A + AT + 2 A AT 2 A + 2 AT + 2 A 2 AT A Queda probado que A es la suma de una parte simétrica y un antisimétrica.
iii) Por el ejercicio (ii): A 2 A + AT + 2 A AT 2 A + 2 AT + 2 A 2 AT A 2 3 4 ; AT 2 3 4 2 A + AT 2 2 3 4 + 2 3 4 2 2 2 4 2 A AT 2 2 3 4 2 3 4 0 0 Finalmente: A 2 2 2 4 + 0 0
P5) Prueba que si A M n n (K) es una matriz hermítica*, entonces las entradas diagonales de A son reales. En particular la definición de matriz hermítica aplicada a las entradas diagonales (i j): a ii a ii a ii a ii 0 Podemos escribir cada a ii separando su parte real y su parte compleja: a ii Re a ii + iim a ii a ii Re a ii iim a ii a ii a ii 2iIm a ii 0 Im(a ii ) 0 Es decir la parte imaginaria del numero complejo a ii es cero, por lo que solo tiene parte real. *A es hermítica si a ij a ji, para todo i, j,2,, n. (es decir si al trasponer los elementos de la matriz y conjugar cada uno de ellos obtenemos la misma matriz).
P6) Prueba que si A 0 0, entonces: A n 0 I, si n es par. 0 A si n es impar. A 2 A A 0 0 0 0 0 0 I ; A4 A 2 2 0 0 2 I 2 I Si m N, 2m es par, hacemos n 2m: A n A 2m A 2 m 0 0 m I m I. Si m N, 2m + es impar, hacemos n 2m + : A n A 2m+ A 2 m A I m A I A A.
P7) Escribe la matriz C como producto de matrices elementales. Observa que si mediante las operaciones elementales E, E 2, E 3,,E n, hacemos: E n E 3 E 2 E C I 3 3 C E E 2 E 3 E n Primero transformamos la matriz C en la identidad mediante operaciones elementales: C F F 3 F 3 3F 2 2 F 2 F 2 2F 3 I 3 3 Las matrices elementales correspondientes se obtienen aplicando las mismas operaciones elementales a la matriz identidad I 3 3 : F F 3 F 3 3F 2 0 3 E E ; E 2 E 2 F 3 +3F 2 0 3 E : F i F j ; E E E 2 : αf i ; E 3 : F i + αf j ; E 2 α F i E 3 F i αf j 2 F 2 0 E 3 E 3 2F 2 0 2 0 ; F 2 2F 3 0 2 E 4 E 4 F 2 +2F 3
Podemos verificar que E 4 E 3 E 2 E C I 3 3 : 0 2 0 0 3 2 0 3 0 0 3 3 2 2 3 2 0 2 3 0 I 3 3. Podemos verificar que E E 2 E 3 E 4 C: 0 3 0 2 0 0 3 0 2 0 0 6 0 2 0 C
ANEXO A Operaciones Elementales sobre filas de matrices Llamaremos operación elemental de tipo I sobre filas a la operación que permuta la fila i-ésima y la fila j-ésima de A. Escribiremos abreviadamente F i F j Llamaremos operación elemental de tipo II sobre filas a la operación que multiplica la fila i-ésima de A por un escalar α K 0. Escribiremos abreviadamente αf i. Llamaremos operación elemental de tipo III sobre filas a la operación que suma a la fila i-ésima de A, la fila la j-ésima de A multiplicada por α K 0. Escribiremos abreviadamente F i + αf j. Diremos que una matriz E M n n K es una matriz elemental si se obtiene al aplicar una operación elemental sobre la matriz identidad I n n. La matriz elemental será del mismo tipo que la operación elemental que se haya realizado. Matrices elementales inversas Si E es una matriz elemental de tipo I, entonces E E. Si E es una matriz elemental de tipo II que se obtiene multiplicando la fila i-ésima de I n n por α 0, entonces E es la matriz elemental que se obtiene multiplicando la fila i-ésima de I n n por α. Si E es una matriz elemental de tipo III que se obtiene sumando a la fila i-ésima de I n n la fila j-ésima multiplicada por α 0, entonces E es la matriz elemental que se obtiene restando a la fila i-ésima de I n n la fila j-ésima multiplicada por α.
ANEXO B DEFINICIONES Una matriz M m n K se dice que está en forma escalonada por filas si verifica las siguientes condiciones: Las filas nulas (si existen) se encuentran en la parte inferior de la matriz. La primera entrada no nula de la fila i ésima (i 2,., m ) se encuentra a la derecha de la primera entrada no nula de la fila anterior. Diremos M m n K que está en forma escalonada reducida por filas si además de estar en forma escalonada por filas verifica: La primera entrada no nula de cada fila no nula es. La primera entrada no nula de cada fila no nula es la única entrada no nula de su columna. A los unos que son primeras entradas no nulas de la forma escalonada reducida por filas los llamaremos unos principales.