Geometría Vectorial y Anaĺıtica

Geometría Vectorial y Anaĺıtica Tema 3 - Geometría de las Transformaciones Lineales del Plano Daniel Cabarcas Jaramillo Escuela de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia, Sede Medelĺın Medelĺın, 9 de marzo de 2018 Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 1 / 36

Funciones Notación f : A B denota una función f que toma valores en A y devuelve valores en B. Al conjunto A se le llama dominio, y al conjunto B codominio. Si x A, f (x) representa la imagen de x bajo f, y se lee f de x. Si C A, f (C) representa el conjunto de imágenes de elementos en C, es decir, f (C) = {f (x) x C}. En particular f (A) representa el conjunto de todas las imágenes de elementos en el dominio, al cual llamamos rango de f. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 2 / 36

Propiedades de las Funciones Una función f : A B es inyectiva si para todo x 1, x 2 A, x 1 x 2 implica f (x 1 ) f (x 2 ). (Equivalentemente f (x 1 ) = f (x 2 ) implica x 1 = x 2 ) Una función f : A B es sobreyectiva si para todo y B, existe x A tal que f (x) = y. (Equivalentemente f (A) = B) Si una función es inyectiva y sobreyectiva decimos que es biyectiva. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 3 / 36

Transformaciones del Plano Una transformación del plano es una función f : R 2 R 2. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 4 / 36

Motivación - Campos Vectoriales Fluido Campo Magnético Campo Gravitacional Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 5 / 36

Motivación - Procesamiento de Imágenes Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 6 / 36

Traslaciones Sea X 0 R 2, X 0 O. La función T X0 : R 2 R 2 dada por T X0 (X ) = X + X 0 se llama traslación por X 0. Propiedades Toda traslación es biyectiva. Si L es una recta entonces T X0 (L) es una recta paralela a L. T X0 conserva la distancia entre puntos del plano, es decir, cualesquiera sean X y Y en R 2 se tiene que T X0 (X ) T X0 (Y ) = X Y. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 7 / 36

Movimiento Euclidiano Una transformación del plano F : R 2 R 2 se llama movimiento euclidiano si preserva la distancia entre puntos del plano; es decir, si cualesquiera sean X y Y en R 2, se verifica la ecuación F (X ) F (Y ) = X Y. Nota Todo movimiento Euclidiano es una función inyectiva. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 8 / 36

Transformación Lineal Una transformación del plano T : R 2 R 2 se llama transformación lineal si es de la forma ( ) ( ) ( ) x ax + by x T =, para R 2, y cx + dy y donde a, b, c, d son escalares fijos. Nota Para toda transformación lineal T, T (O) = O Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 9 / 36

Ejemplo - Homotecias Sea r un número real distinto de cero. La homotecia de razón r, denotada por H r, es la transformación del plano definida por H r (X ) = rx. Propiedades Toda homotecia es una transformación lineal biyectiva. Para todo par de puntos X Y, H r (X ) H r (Y ) = r. X Y Para todo P, Q, R R 2, ( PQ, PR) = ( H r (P)H r (Q), H r (P)H r (R)). Sea L una recta que pasa por un punto P 0. Entonces H r (L) es la recta paralela a L que pasa por H r (P 0 ). Sea C la circunferencia con centro en X 0 y radio ρ. Entonces H r (C) es la circunferencia con centro H r (X 0 ) y radio r ρ. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 10 / 36

Ejemplo - Proyecciones ortogonales Consideremos ( una ) recta L que pasa por el origen y es generada por el d1 vector D =. Definimos la transformación del plano proyección d 2 ortogonal sobre L por P L (X ) = X D D 2 D. Propiedades P L es transformación lineal. P L NO es sobreyectiva ni inyectiva. P L (X ) = X sii X L. Sea L cualquier recta perpendicular a L. P L (L ) = {P} donde P es el punto de intersección entre L y L. Sea L una recta no perpendicular a L. Entonces P L (L ) = L. P L no es un movimiento Euclidiano Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 11 / 36

Ejemplo - Reflexiones Consideremos ( una ) recta L que pasa por el origen y es generada por el d1 vector D =. Definimos la transformación del plano reflexión con d 2 respecto a L por S L (X ) = 2P L (X ) X. Propiedades S L es una transformación lineal. S L es un movimiento Euclidiano. S L es biyectiva. S L (X ) = X sii X L. Sea L una recta diferente a L. S L (L ) = L si y solo si L y L son perpendiculares. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 12 / 36

Ejemplo - Rotaciones Sea θ un ángulo. Definimos la transformación del plano R θ como la función que rota todo vector un ángulo θ. Propiedades para X = ( ) x, R y θ (X ) = ( ) cos(θ)x sin(θ)y sin(θ)x + cos(θ)y R θ es una transformación lineal biyectiva. R θ es un movimiento Euclidiano. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 13 / 36

Caracterización de Transformaciones Lineales Proposición Sea T : R 2 R 2 una transformación lineal. Para todo X, Y R 2 y c R tenemos (a) T (X + Y ) = T (X ) + T (Y ), y (b) T (cx ) = c T (X ). Teorema Si F : R 2 R 2 es una transformación del plano que verifica las propiedades (a) y (b) entonces F es una transformación lineal. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 14 / 36

Observación Sea T una transformación lineal. Entonces ( ) ( x ax + by T = y cx + dy ), para todo ( ) x R 2, y si y solo si T (E 1 ) = ( ) a, yt (E c 2 ) = ( ) b. d Transformación Lineal en Vectores LI Una Transformación lineal está completamente determinada por lo que hace a un par de vectores linealmente independientes. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 15 / 36

Teorema Fundamental (de Transformaciones Invertibles) Sea F : R 2 R 2 una transformación del plano. El conjunto N (F ) = { X R 2 : F (X ) = O }, se llama núcleo de F. Teorema Sea T : R 2 R 2 una transformación lineal. Los siguientes enunciados son equivalentes a) T es inyectiva. b) El núcleo de T consiste sólamente del vector nulo. c) Los vectores T (E 1 ) y T (E 2 ) son linealmente independientes. d) T es sobreyectiva. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 16 / 36

Nucleo y Rango Teorema Sea T : R 2 R 2 una transformación lineal no inyectiva y no nula. Entonces el nucleo de T y el rango de T son rectas que pasan por el origen. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 17 / 36

La Matriz de una Transformación Lineal Sea ( T ): R 2 ( R 2 una ) transformación lineal dada por x ax + by T =. La esencia de T está en los coeficientes a, b, c, d. y cx + dy El arreglo ( a ) b c d se llama matriz de T y se denota por m(t ). A cada transformación lineal le corresponde una única matriz 2 2, y a cada matriz 2 2 una única transformación lineal. Esto es, hay una correspondencia biunívoca entre transformaciones lineales y matrices 2 2. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 18 / 36

Matriz por Vector ( ) a b Definimos el producto de una matriz M = por un vector c d ( ) x X = por y ( ) ( ) ( ) a b x ax + by MX = = c d y cx + dy Se sigue que si T es una transformación lineal y X es un vector, T (X ) = m(t )X. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 19 / 36

Operaciones con Matrices ( ) ( ) a b α β Sean A = y B = matrices, y r R. Definimos c d γ δ ( ) ( ) ( ) a b α β a + α b + β La suma A + B = + = c d γ δ c + γ d + δ ( ) a b El inverso aditivo A = c d ( ) ( ) a b ra rb El producto por escalar ra = r =. c d rc rd ( ) ( ) ( ) a b α β aα + bγ aβ + bδ El producto AB = = c d γ δ cα + dγ cβ + dδ ( ) 1 0 Decimos que A es invertible si existe B tal que AB = BA = 0 1 El determinante de A es det(a) = ad bc. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 20 / 36

Suma de Transformaciones Sean T y S transformaciones del plano. La suma de T y S es la transformación del plano (T + S)(X ) = T (X ) + S(X ), para X R 2. Similarmente T se define por ( T )(X ) = T (X ), para X R 2. Propiedades Para T, R, S transformaciones del plano se tiene que T + S = S + T (T + S) + R = T + (S + R) T + O = T T + ( T ) = O Si T y S son transformaciones lineales, entonces m(t + S) = m(t ) + m(s) Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 21 / 36

Producto de un Escalar por una Transformación Sea T una transformación del plano y r R. El producto de r por T es la transformación del plano (rt )(X ) = rt (X ), para X R 2. Propiedades Para T, S transformaciones del plano, c, d R se tiene que c(dt ) = (cd)t = d(ct ) 1T = T c(t + S) = ct + cs (c + d)t = ct + dt Si T es transformación lineal, entonces m(ct ) = cm(t ) Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 22 / 36

Compuesta de Dos Transformaciones Sean T y S transformaciones del plano. La compuesta de T y S es la transformación del plano (T S)(X ) = T (S(X )), para X R 2. Propiedades Para R, S, T transformaciones del plano, y c R se tiene que (T S) R = T (S R) T I = T = I T T (S + R) = (T S) + (T R) (S + R) T = (S T ) + (R T ) (rt ) S = r(t S) = T (rs) T O = O = O T Si S y T son transformaciones lineales, entonces m(t S) = m(t )m(s) Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 23 / 36

La Inversa de una Transformación Sea T una transformación del plano. Si T es biyectiva, se puede definir la transformación inversa de T, denotada T 1 : R 2 R 2 por T 1 (Y ) = X si y solo si T (X ) = Y para X, Y R 2. En tal caso decimos que T es invertible. Si T es invertible T T 1 = I = T 1 T Si S es tal que T S = I = S T entonces S = T 1. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 24 / 36

La Matriz de la Inversa Proposición ( ) a b Si T es una transformación lineal invertible con matriz m(t ) =, c d entonces la matriz de la inversa es ( ) ( ) m(t 1 1 d b 1 d b ) = =. ad bc c a det(t ) c a Se sigue que T 1 también es transformación lineal. Proposición Sea T una transformación lineal. T es invertible si y solo si m(t ) es invertible. En tal caso m(t ) 1 = m(t 1 ). Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 25 / 36

Teorema Fundamental de Transformaciones Invertibles Versión 2 Teorema ( ) a b Sea T una transformación lineal con A = m(t ) =. Los siguientes c d enunciados son equivalentes: a) T es biyectiva b) T es invertible c) A es invertible d) N (T ) = {O}. e) El único X R 2 tal que AX = O es X = O f) Las columnas de A son vectores linealmente independientes. g) det(t ) 0. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 26 / 36

Imagen de una Recta bajo Transformación Lineal Proposición Las transformaciones lineales inyectivas envían rectas en rectas. Más precisamente, si T es una transformación lineal inyectiva y L es una recta que pasa por P, y tiene vector director D, entonces T (L) es la recta que pasa por T (P) y tiene vector director T (D). Las imágenes de rectas paralelas son rectas paralelas Lo mismo no es cierto para rectas perpendiculares. Proposición Si T es una transformación lineal no inyectiva y no nula, su rango es la recta generada por T (E 1 ) o T (E 2 ). Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 27 / 36

Imagen de un Paralelogramo bajo Transformación Lineal Proposición La imagen de un segmento de recta PQ, bajo una transformación T es el segmento T (P)T (Q), el cual se reduce al conjunto {T (P)} si T (P) = T (Q). Proposición Sea T una transformación lineal y P el paralelogramo determinado por dos vectores LI X y U. La imagen de P bajo T es el paralelogramo determinado por T (X ) y T (U), si estos vectores son LI. Si T (X ) y T (U) son LD entonces dicha imagen es un segmento o el conjunto O. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 28 / 36

Determinante de una Transformación Lineal ( ) a b Sea T una transformación lineal con A = m(t ) =. El c d determinante de T es det(t ) = det(a) = ad bc. Proposición Si A y B son matrices, entonces det(ab) = det(a) det(b). Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 29 / 36

Área de un Paralelogramo Teorema Sean X 1 = ( x1 y 1 ), X 2 = ( x2 y 2 ) vectores LI, y P el paralelogramo determinado ( ) por X 1 y X 2. Entonces el área de P es igual a det(a), con x1 x A = 2. y 1 y 2 Teorema Sea T una transformación lineal invertible, X 1, X 2 vectores LI, y P el paralelogramo determinado por X 1 y X 2. Entonces el área de T (P) es igual a det(t ) Area(P). Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 30 / 36

Movimiento Euclidiano Una transformación del plano T : R 2 R 2 se llama movimiento euclidiano si preserva la distancia entre puntos del plano; es decir, si cualesquiera sean X y Y en R 2, se verifica que T (X ) T (Y ) = X Y. Nota Todo movimiento Euclidiano es una función inyectiva. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 31 / 36

La Transpuesta de una Matriz ( ) ( ) a b a c La transpuesta de la matriz A = es A c d T =. b d ( ) x La transpuesta del vector X = es X y T = ( x y ). Propiedades Sean A, B matrices, X, Y R 2 y r R (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (ra) T = r(a T ) Si A es invertible (A T ) 1 = (A 1 ) T (AB) T = B T A T X Y = X T Y y por tanto X 2 = X T X Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 32 / 36

Matriz Ortogonal Una matriz A se llama ortogonal si A T A = I Proposición Una matriz A es ortogonal si y solo si sus columnas son vectores unitarios y ortogonales entre si. Si A es ortogonal entonces A es invertible A 1 = A T det(a) = ±1 Una transformación lineal se llama ortogonal si su matriz es ortogonal. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 33 / 36

Movimientos Euclidianos y Matrices Ortogonales Teorema Sea T una transformación del plano tal que T (O) = O. Entonces T es un movimiento Euclidiano si y solo si T es una transformación ortogonal. Teorema Sea T una transformación del plano. Entonces T es un movimiento Euclidiano si y solo si existen X 0 R 2 y una matriz ortogonal A tales que para todo X R 2, T (X ) = AX + X 0. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 34 / 36

Valores y Vectores Propios Sea T una transformación lineal con matriz A = m(t ). Un escalar λ se llama valor propio de T (o de A) si existe X R 2, X O tal que T (X ) = λx (equiv. AX = λx ). A cada X O tal que T (X ) = λx se le llama vector propio de T correspondiente a λ. La colección de todos los vectores propios de T correspondientes a λ, junto con O, se llama espacio propio de λ. En general Una transformación lineal T : R 2 R 2 puede tener 0,1, o 2 valores propios. Si λ es valor propio de T, el espacio propio de λ puede ser una recta que pasa por O o todo R 2. Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 35 / 36

Hallar Valores y Vectores Propios ( ) a b Sea T una transformación lineal con matriz A =. c d Hallar Vectores Propios Si conocemos un valor propio λ de T, para hallar los vectores propios correspondientes a λ basta resolver el sistema AX = λx, es decir, (a λ)x + by = 0 cx + (d λ)y = 0 (1) Hallar Valores Propios Un escalar λ es valor propio de T sii existe X O( tal ) que ( AX ) = λx sii x 0 existe X = solución de (1) sii y 0 ( ) a λ b det = 0 (llamada ecuación característica de T ) c d λ Cabarcas (UNAL-Medelĺın) Transformaciones Lineales Medelĺın, 2018-01 36 / 36