"Guide to the expression of Uncertainty in Measurement (GUM) Norma IRAM 35050:001
Es un documento propuesto en 1980 por la autoridad internacional en metrología, el Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM), bajo la denominación INC-1. Se ha convertido en un procedimiento aceptado mundialmente para la expresión de la incertidumbre de medición, de manera que mediciones realizadas en diferentes países puedan compararse fácilmente. Se emplea para: - Comparaciones internacionales de patrones - Investigación y desarrollo - Calibraciones y mediciones en general - Certificación de materiales de referencia - Generación de normas de referencia A esta guía se la conoce comúnmente como GUM La norma IRAM 35050:001 denominada Estadística Procedimientos para la evaluación de la incertidumbre de la medición es un documento nacional que sigue la recomendación INC-1.
Filosofía de la GUM: Distingue claramente entre el concepto de error y el de incertidumbre. Error Incertidumbre Es la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero de la magnitud en cuestión. Es un único valor. Puede ser positivo o negativo. Es un concepto teórico pues el valor verdadero nunca se conoce. Es un parámetro que caracteriza la dispersión de los valores que pueden atribuirse razonablemente a una magnitud determinada. Nunca es negativa. Sumado o restado al valor medido define un intervalo con cierta probabilidad de contener el valor verdadero. Refleja la falta de un conocimiento completo del valor de una magnitud. 3
Filosofía de la GUM: En la práctica de la medición existen muchas posibles fuentes de incertidumbre, entre ellas: a) definición incompleta del mensurando. b) realización imperfecta de la definición del mensurando. c) muestra no representativa del mensurando. d) conocimiento inadecuado de los efectos de las condiciones ambientales sobre la medición, o medición imperfecta de dichas condiciones ambientales. e) lectura sesgada de instrumentos analógicos, por parte del operador. f) resolución finita del instrumento de medida. g) valores inexactos de los patrones de medida o de los materiales de referencia. h) valores inexactos de constantes y otros parámetros. i) aproximaciones y suposiciones establecidas en el método y procedimiento de medición. j) variaciones en la repetición de las observaciones del mensurando bajo condiciones aparentemente idénticas. 4
Filosofía de la GUM: MEDICIONES ELÉCTRICAS I La GUM considera un enfoque más realista que pesimista, es decir, presenta un método que contrasta con otros enfoques más antiguos, en los cuales se le daba a la incertidumbre un valor deliberadamente grande. Para la GUM todas las magnitudes son tratadas como variables aleatorias. Como todas las magnitudes son tratadas como variables aleatorias es la desviación normal o típica (lo que denominamos σ en la clase anterior) el parámetro que se usa como incertidumbre de una medición, y la ley de propagación de la varianza la que entra en juego como veremos enseguida. 5
Desarrollo matemático de la GUM: Sea un mensurando Y que se puede determinar a partir de otras N magnitudes de entrada X 1, X.. X N a través de una relación funcional f: Y = f(x 1, X, X N ) Cada magnitud de entrada X 1, X.. X N no se puede conocer con exactitud por lo que cada una de ellas tendrá una incertidumbre: X 1 = x 1 ± u(x 1 ) X = x ± u(x ) X N = x N ± u(x N ) En general: Donde: X i = x i ± u(x i ) X i valor de la magnitud "i" x i valor estimado ( medido ) de la magnitud " i" u( x i ) incertidumbre en la estimación de la magnitud " i" 6
Desarrollo matemático de la GUM: Según la GUM, tanto el valor de x i como el de u(x i ), se obtienen a partir de una distribución de valores posibles, porque para la GUM todas las variables de entrada tienen errores aleatorios. La distribución de probabilidad de la variable X i puede estar basada en frecuencias, es decir, basadas en una serie de observaciones de X i o puede ser una distribución que se supone a priori con base en la experiencia del operador. Esto da origen a dos métodos de evaluación de la incertidumbre u(x i ): de cada variable X i : Evaluación Tipo A y Evaluación Tipo B. 7
Formas de evaluar o encontrar cada u(x i ) en la GUM Evaluación Tipo A Evaluación Tipo B La incertidumbre u(x i ) se determina mediante el análisis estadístico de una serie de observaciones La incertidumbre u(x i ) se determina mediante un procedimiento distinto al análisis estadístico de una serie de observaciones, como por ejemplo: a partir de datos de mediciones previas, experiencia, conocimiento del comportamiento y las propiedades de los materiales e instrumentos, especificaciones de los fabricantes, datos obtenidos de certificados o manuales, de libros, etc. 8
Evaluación Tipo A de la incertidumbre u(x i ): Se utiliza cuando se han realizado n observaciones independientes de una de las magnitudes de entrada X i. En este caso: El mejor estimador de X i se considera que es la media aritmética de las observaciones: x i = x i = 1 n El mejor estimador de u(x i ) se considera que es la desviación de la media de la muestra: n j =1 x ij u(x i ) = σ(x i) S (x i) = S (x i ) n 9
Evaluación Tipo A de la incertidumbre u(x i ): El número de observaciones n debe ser lo suficientemente grande para que se pueda asegurar que x es un buen estimador de X i y que, S (xi ) es un buen estimador de σ(x i) n Si el número de observaciones n es pequeño (<10) y se asume que la distribución de los valores x i es normal, se puede usar la distribución de Student para mejorar la estimación. En ese caso: u(x i ) = σ(x i) S (x i) = t S (x i ) n Siendo: t : Factor extraído de la tabla de valores de t de Student para una probabilidad de 68,7% y grado de libertad n-1, que estima la dispersión entre la media de una muestra y la media de un universo. 10
Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(x i ): La incertidumbre u(x i ) se evalúa aplicando un juicio científico basado en toda la información disponible sobre la posible variabilidad de x i. Se pueden presentar varios casos: Caso 1: Si la estimación x i se obtiene a partir de una especificación, un certificado de calibración, de manual, o de otra fuente, y su incertidumbre evaluada se indica como un múltiplo k de una desviación estándar σ, simplemente hay que utilizar σ que se puede encontrar desafectando el dato proporcionado por el k utilizado: u(x i ) = σ = dato proporcionado k 11
Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(x i ): Caso : Si la estimación x i se obtiene a partir de una especificación, un certificado de calibración, de manual, o de otra fuente, y su incertidumbre evaluada define un intervalo que posee una probabilidad de cobertura del 90%, 95% o 99% por ejemplo, a menos que se indique otra cosa, se puede suponer que ha sido asumida una distribución normal y calcular con esa probabilidad el valor σ. u( x i ) calculado Desviación calculada a partir de una probabilidad que es dato (un área bajo la curva de Gauss o de otra distribución que se informe), 1
Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(x i ): Caso 3: Si sólo pueden estimarse los límites superior e inferior, +a y -a para la magnitud X i. (p.e. especificaciones del fabricante de un instrumento de medición, intervalo de temperaturas, error de redondeo o de truncamiento, etc), se puede asumir una distribución rectangular. En ese caso: u(x i ) = σ = a 3 13
Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(x i ): De donde surge que σ = a / 3 para una distribución rectangular? Partiendo de la varianza para n variantes que se calcula como: Varianza = 1 n n i=1 (v i v ) Se puede demostrar que se llega a la siguiente ecuación usando una distribución de probabilidades f (v) (una función continua) en lugar de las n mediciones, quedando esta expresión: Varianza = v μ f v dv 14
Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(x i ): De donde surge que σ = a / 3 para una distribución rectangular? Resolviendo para una distribución de probabilidades rectangular de µ = 0 y ancho a se tiene: Varianza = x μ 1 x a Varianza = a 3 a = 1 a a 3 3 ( a)3 3 f x dx = x 1 dx a = a 3 a a σ = Varianza = a 3 15
EJEMPLOS DE DISTRIBUCIONES RECTANGULARES El error límite de un instrumento se puede usar para calcular u : valor medido clase Alcance 100 valor medido clase Alcance 100 La resolución de un instrumento digital: 1dígito El valor verdadero puede estar con igual probabilidad en cualquier punto entre: u V medido ( instrument o) clase Alcance 100 clase Alcance 100 3 Dos mediciones que difieran en menos de la resolución de un instrumento digital se mostrarán iguales con la misma probabilidad. u( resolución ) Valor de 1 3 dígito 16
Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(x i ): Caso 4: Si además del conocimiento de los límites superior e inferior hay evidencia de que la probabilidad es más alta para valores en el centro del intervalo y se reduce hacia los límites, puede ser más adecuado basar la estimación de la incertidumbre típica en una distribución triangular. En ese caso: u(x i ) = σ = a 6 17
Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(x i ): De donde surge que σ = a / 6 para una distribución triangular? Resolviendo para una distribución de probabilidades triangular de µ = 0 y ancho a se tiene: 0 Varianza = x a Varianza = x μ 1 f x dx a x + 1 dx+ x a a 0 1 a x + 1 a dx Varianza = a 6 σ = Varianza = a 6 18
EJEMPLO DE DISTRIBUCION TRIANGULAR La temperatura de un baño termostático En un baño termostático, que se utiliza para medir la densidad de un líquido, la temperatura puede tener variación a lo largo del ensayo. Si se mide la temperatura antes y después de la medición de la densidad (resultando T inicial y T final ), se puede suponer que en el momento de la medición de la densidad la temperatura fue de (T inicial + T final )/ con una distribución triangular entre T inicial y T final. Así, la temperatura del ensayo podría ser: T ensayo T inicial T final u( T ensayo ) T final T 6 inicial Tinicial T ensayo Tfinal 19
Desarrollo matemático de la GUM: Cálculo de la incertidumbre combinada: Una vez calculada la incertidumbre de cada estimación de entrada x i, se debe calcular la incertidumbre del mensurando y denominada incertidumbre combinada que se simbolizada como u c (y), para obtener: Y = y ± u c (y) X 1 = x 1 ± u(x 1 ) X = x ± u(x ) Y = y ± u c (y) X N = x N ± u(x N ) 0
Desarrollo matemático de la GUM: Cálculo de la incertidumbre combinada: La incertidumbre combinada u c (y) representa la desviación estándar del resultado de la medición. La incertidumbre combinada se obtiene combinando las incertidumbres obtenidas de la evaluación tipo A y las incertidumbres obtenidas de la evaluación tipo B, utilizando la Ley de propagación de la incertidumbre Se pueden presentar en general dos casos posibles: que las magnitudes de entrada x i no estén correlacionadas o en el peor de los casos que estén correlacionadas. 1
Cálculo de la incertidumbre combinada si las magnitudes de entrada x i no están correlacionadas: En este caso, la incertidumbre combinada se calcula con la ley de propagación de la varianza para variables no correlacionadas, es decir: u c (y) = f X 1 u(x 1 ) + f X c i = f(x 1, X, X N ) X i u(x ) + + f X N X 1 =x 1, X N =x N u(x N ) A las derivadas parciales GUM las denomina coeficientes de sensibilidad : u c (y) = N i=1 f X i u(x i ) = Esta expresión es la ley de propagación de la varianza o de la incertidumbre para variables no correlacionadas ya vista en tratamiento estadístico (clase 4) N i=1 c i u(x i )
Cálculo de la incertidumbre combinada si las magnitudes de entrada x i están correlacionadas: En este caso, la incertidumbre combinada se calcula con la ley de propagación de la varianza para variables correlacionadas, es decir: u c N 1 ( ) ( f N N ) ( ) f y f X u x covarianza i i X i X j ( xi, x j ) i1 i1 ji1 Esta expresión es la ley de propagación de la varianza o de la incertidumbre para variables correlacionadas ya vista en tratamiento estadístico (clase 4) En la práctica, es más fácil evaluar la covarianza mediante el coeficiente de correlación lineal 3
4 MEDICIONES ELÉCTRICAS I Cálculo de la incertidumbre combinada si las magnitudes de entrada x i están correlacionadas: El coeficiente de correlación lineal r es un número que varía entre los límites +1 y -1 que indica el grado de correlación o asociación entre dos variables (X i e X j en este caso). Se calcula como: Puede existir correlación significativa entre dos magnitudes de entrada si se utiliza para su determinación el mismo instrumento de medida, el mismo patrón o el mismo dato de referencia. ) ( ) ( covarianza ), ( ), ( j i x x j i x u x u X X r j i n k j jk n k i ik n k j jk i ik j i X X n X X n X X X X n X X r 1 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) )( ( 1 1 ), (
Incertidumbre combinada si las magnitudes de entrada x i correlacionadas: están Entonces, la incertidumbre combinada escrita en función de r es: u c (y) = N i=1 f X i u(x i ) + N 1 N i=1 j =i+1 f X i f X j u x i u x j r(x i, x j ) En la práctica no hay correlación entre las variables cuando: Las magnitudes de entrada X i y X j son independientes; por ejemplo, cuando se han observado reiterada, pero no simultáneamente, en diferentes experimentos independientes, o cuando representan magnitudes resultantes de diferentes evaluaciones que se han realizado de forma independiente. Cualquiera de las magnitudes de entrada X i y X j puede tratarse como constante. No existe información suficiente para valorar la existencia de una correlación entre las magnitudes de entrada X i y X k. 5
Para interpretar mejor lo presentado vamos a realizar algunos ejemplos: EJEMPLO 1: Se mide la tensión con un voltímetro de las siguientes características: Alcance = 150 V Clase = 0,5 Cantidad de divisiones = 150 Calcular la incertidumbre combinada de cualquier medición según GUM. Solución: Para este caso, con los datos disponibles, la medición se vería afectada por dos incertidumbres: la que viene por el error del propio instrumento y la que viene por error de lectura. Incertidumbre debida al instrumento Incertidumbre debida a una mala lectura Incertidumbre combinada de la medición 6
EJEMPLO 1: Incertidumbre debida al instrumento: Como la evaluaremos a partir de la clase (no un estudio estadístico sino un dato suministrado por el fabricante) entonces será una evaluación tipo B según la GUM. Al ser una evaluación tipo B hay que basarse en la experiencia para suponer una distribución de probabilidades para poder calcular una u (instrumento). Por lo visto, una distribución rectangular representa adecuadamente esta situación: a valor medido clase Alcance 100 valor medido clase Alcance 100 Incertidumbre debida al instrumento Incertidumbre debida a una mala lectura u u u ( instrumento ) ( instrument o) 3 clase Alcance 100 3 0,5150V 100 3 Incertidumbre combinada de la medición ( instrument o) 0, 433 7 V
EJEMPLO 1: Incertidumbre debida a la lectura del instrumento: Como la evaluaremos a partir de una información extraída de la bibliografía (no un estudio estadístico) será otra evaluación tipo B según la GUM. Al ser una evaluación tipo B hay que basarse en la experiencia para suponer una distribución de probabilidades para poder calcular una u (lectura). También una distribución rectangular representa adecuadamente esta situación, porque existe igual probabilidad de interpretar cualquier valor dentro de ±1/10 de división: 1 valor medido 10 C E u( lectura ) 1 valor medido 10 a 3 C E Incertidumbre debida al instrumento Incertidumbre debida a una mala lectura u ( lectura) 1 10 Alcance div 3 MAX Incertidumbre combinada de la medición 1 150V div u 10 150div ( lectura ) 0, 057V 3 8
EJEMPLO 1: Calculamos la incertidumbre combinada: Como no hay información para evaluar una correlación calculamos la incertidumbre combinada como: u c (y) = N i=1 f X i N u(x i ) = c i u(x i ) i=1 Donde los coeficientes de sensibilidad c i son iguales a 1, es decir: u c (V) = u (instrumento ) + u (lectura ) u c V = 0,436 V 9
Desarrollo matemático de la GUM: Cálculo de la incertidumbre expandida U : Si se desea una mayor probabilidad de la que implica u c (y), lo que se hace es expandir el intervalo de incertidumbre por un factor k llamado factor de cobertura. El resultado se llama incertidumbre expandida U : U = k u c y Con lo que finalmente, la medición siguiendo la GUM o la norma IRAM 35050 queda: y ± U Típicamente, k toma valores entre y 3, y se basa en la probabilidad o nivel de confianza que se le quiere dar al intervalo: y U Y y + U 30
Elección del factor de cobertura k : El factor de cobertura k se elige dependiendo del grado de confianza que se le quiere dar al resultado y de la distribución de probabilidades que tenga el mensurando Y. Resulta muy complejo saber exactamente cual es la distribución de Y, por lo que se usan distintos criterios para estimarla, y de esa manera elegir k: Criterio 1: Cuando la incertidumbre combinada está dominada por una contribución Tipo A con pocos grados de libertad (pocas muestras), se recomienda que k sea igual al valor de t de la distribución de t de Student, para el número de grados de libertad de la contribución dominante y para el nivel de confianza que se requiera (normalmente se usa el 95% o más). 31
Elección del factor de cobertura k : Criterio : Cuando la incertidumbre combinada está dominada por una contribución Tipo B, se puede asumir que la distribución resultante de y tiene la misma forma de la distribución dominante. Por ejemplo: si una incertidumbre combinada está dominada por una componente Tipo B con distribución rectangular, un k=1 corresponde a un intervalo de 57,7% de probabilidad, un k=1,65 corresponde a un intervalo de 95% de probabilidad, un k=1,71 corresponde a un intervalo de 99% de probabilidad como se muestra en la siguiente tabla. 3
Elección del factor de cobertura k : La siguiente tabla muestra los valores de k que se pueden usar para distintos niveles de confianza y para distintas distribuciones supuestas del mensurando y : Nivel de confianza Si y tiene Distribución Normal Si y tiene Distribución Rectangular Si y tiene Distribución Triangular 57,7 % k = 0,8 k = 1 k = 0,85 68,3 % k = 1 k = 1,19 k = 1,08 95 % k = 1,96 k = 1,65 k = 1,9 95,45 % k = k = 1,66 k = 1,94 99 % k =,57 k = 1,71 k =,1 99,73 % k = 3 k = 1,73 k =,34 33
Elección del factor de cobertura k : Criterio 3: Cuando hay 3 o más fuentes de incertidumbres comparables se cumplen las condiciones del llamado Teorema del Límite Central y puede suponerse, con un elevado grado de aproximación, que la distribución y es normal, pudiéndose usar la tabla de Gauss para elegir el k, no teniendo importancia la forma de las distribuciones que intervengan. Ejemplo: Un k= dará un intervalo con 95% de probabilidad (en realidad un k= da 95,45% como se muestra en la tabla de la transparencia anterior) 34
Elección del factor de cobertura k : Criterio 4: Cuando no se cumple ninguno de los criterios anteriores también se utiliza la distribución t de Student pero se calcula el llamado grado de libertad efectivo a través de la ecuación de Welch-Satterhwaite: v ef = N i=1 u c (y) 4 c i u (xi ) 4 v i Siendo: v ef : es el grado de libertad efectivo u c (y): es la incertidumbre combinada de y u (xi ): es la incertidumbre de la estimación de entrada x i v i : es el grado de libertad usado para el cálculo de la incertidumbre de x i Nota: Se asume como infinito los grados de libertad de las evaluaciones TIPO B que intervengan. Una vez determinado v ef se lo redondea al entero inferior más próximo, y con este valor se ingresa a una tabla de t de Student para encontrar un k con la probabilidad deseada (normalmente el 95%). 35
Para interpretar mejor lo presentado vamos a realizar algunos ejemplos: EJEMPLO 1. (continuación) Se mide la tensión con un voltímetro de las siguientes características: Alcance = 150 V Clase = 0,5 Cantidad de divisiones = 150 Si el instrumento indica 138 V expresar el resultado de la medición con un 95% de probabilidad. Solución: Como vimos, para este caso hay dos fuentes de incertidumbre que se combinan para sacar la incertidumbre combinada: Incertidumbre debida al instrumento Incertidumbre debida a una mala lectura Incertidumbre combinada de la medición 36
EJEMPLO 1. (continuación) Ya teníamos la incertidumbre combinada: u c (V) = u (instrumento ) + u (lectura ) u c V = 0,436 V Calculamos la incertidumbre expandida: Como la u (instrumento) es mucho mayor que u (lectura) este sería un caso donde predomina una incertidumbre Tipo B rectangular (la u (instrumento) ) sobre el resultado final, entonces podemos suponer que el resultado también tiene una distribución rectangular. De lo anterior, el factor de cobertura k para una probabilidad de 95% debe ser 1,65 (ver tabla transparencia 33): U k uc ( V) 1,65 0,436V 0, 7194V Finalmente se expresa la medida y siempre se acompaña una nota aclaratoria: V 138V 0, 7 La incertidumbre expandida fue calculada con un k=1,65, que corresponde a una probabilidad de 95% asumiendo una distribución rectangular 37 V u 0,5150V 100 3 ( instrument o) 0, 433 1 150V div u 10 150div ( lectura ) 0, 057V 3 V
EJEMPLO : Con un termómetro digital se realizan 0 mediciones repetidas en aparentemente las mismas condiciones ambientales, obteniéndose una media aritmética de 100,145 C con una desviación estándar experimental (S) de 1,489 C. El termómetro posee las siguientes características: Rango = 00 C Error límite = ±(0,5% rdg + 3 dg) Cantidad de dígitos = 3 ½ Expresar la medición con una probabilidad de 95% Solución: Incertidumbre debida al instrumento Incertidumbre combinada de la medición Incertidumbre debida a mediciones repetidas en aparentemente mismas condiciones (errores accidentales) Incertidumbre debida a resolución finita 38
EJEMPLO : Incertidumbre debida a mediciones repetidas: Incertidumbre debida a mediciones repetidas en aparentemente mismas condiciones Incertidumbre debida al instrumento Incertidumbre debida a resolución finita Incertidumbre combinada de la medición Como la evaluaremos a partir de un estudio estadístico (0 observaciones) será una evaluación Tipo A según la GUM. Al ser una evaluación Tipo A con n relativamente grande, la incertidumbre de esta componente será la desviación estándar experimental de la media, es decir: u( repetición ) S n u( repetición ) 1,489C 0, 333C 0 39
EJEMPLO : Incertidumbre debida al instrumento Incertidumbre combinada de la medición Incertidumbre debida al instrumento: Como la evaluaremos a partir del error límite (no un estudio estadístico sino un dato suministrado por el fabricante) será una evaluación Tipo B según la GUM. Al ser una evaluación Tipo B hay que basarse en la experiencia para suponer una distribución de probabilidades para poder calcular una u (instrumento). Por lo visto, una distribución rectangular representa adecuadamente esta situación: valor medido Error límite u Incertidumbre debida a mediciones repetidas en aparentemente mismas condiciones ( instrument o) valor medido Error límite a 3 u u ( instrument o) ( instrument o) u Incertidumbre debida a resolución finita ( instrument o) 0,5% rdg 3 dg 3 0,5% 100,145C 3 0,1 C 3 0, 463C 40
EJEMPLO : Incertidumbre debida a la resolución: Como la evaluaremos a partir de un dato del fabricante (no un estudio estadístico) será otra evaluación Tipo B según la GUM. Al ser una evaluación Tipo B hay que basarse en la experiencia para suponer una distribución de probabilidades para poder calcular una u (resol). También una distribución rectangular representa adecuadamente esta situación, porque existe igual probabilidad de ver cualquier valor dentro de 1 dígito: u( resolución ) Incertidumbre debida a mediciones repetidas en aparentemente mismas condiciones a 3 Incertidumbre debida al instrumento u( resolución ) Incertidumbre debida a resolución finita Valor de 1 dígito 3 Incertidumbre combinada de la medición 1dígito u( resolución ) 0,1 C 3 0, 08C 41
EJEMPLO : Calculamos la incertidumbre combinada: Como no hay información para evaluar una correlación calculamos la incertidumbre combinada como: u c (y) = N i=1 f X i N u(x i ) = c i u(x i ) i=1 Donde los coeficientes de sensibilidad c i son iguales a 1, es decir: u c ( C) u( repetición) u( instrument o) u( resolución) u c ( C) (0,333C) (0,463C) (0,08C ) u c ( C) 0, 571C 4
EJEMPLO : Calculamos la incertidumbre expandida: Este seria un caso donde hay menos de tres incertidumbres comparables y ninguna es dominante, por lo que calculamos el grado de libertad efectivo: 4 u c (y) 4 uc ( C) vef v 4 4 4 ef = u( repetición) u( instrument o) u( resolución) c i u 4 (xi ) N i=1 v i v ef 164,5 0 1 164 De una tabla de t para un grado de libertad de 164 y probabilidad 95%, k (es una distribución casi normal) T( C) (100,145 x 0,571) C T( C) (100,145 1,14) C Incertidumbre debida a mediciones repetidas en aparentemente mismas condiciones Incertidumbre debida al instrumento La incertidumbre expandida fue calculada con un k=, que corresponde a una probabilidad de 95% asumiendo una distribución normal Incertidumbre debida a resolución finita Incertidumbre combinada de la medición T( C) (100,1 1,) C 43
EJEMPLOS Revisar los ejemplos del Apunte complementario II Expresión de la Incertidumbre disponible en el sitio web de la asignatura 44