Con los dos conectivos y en las formulas que tienen una sola variable proposicional distinta, no hay forma de construir una contradicción.

Transcripción

1 1) No se puede formar una contradicción usando solamente los dos conectivos, {*,->}, en las formulas que tienen una sola variable proposicional distinta. Con los dos conectivos y en las formulas que tienen una sola variable proposicional distinta, no hay forma de construir una contradicción. Las formulas con 1 solo conectivo, primero tienen que tener una variable proposicional, luego uno de los conectivos y por ultimo una variable proposicional. Todas las formulas con 1 solo conectivo y una sola variable proposicional distinta son: p*p, p->p Haciendo la tabla de verdad vemos que ninguna de estas formulas es una contradicción y estas son todas las formulas que se pueden formar con uno solo de los dos conectivos y una sola variable proposicional distinta. Las formulas con 2 conectivos y una sola variable proposicional distinta, primero tienen una variable proposicional (o una formula formada con dos variables proposicionales y un conectivo) luego un conectivo y luego una formula formada por un conectivo y dos variables proposicionales (o una variable proposicional). Todas las formulas con 2 conectivos y una sola variable proposicional distinta son: p*(p*p), (p*p)*p, p->(p->p), (p->p)->p, p*(p->p), (p*p)->p, p->(p*p), (p->p)*p Haciendo la tabla de verdad vemos que ninguna de estas formulas es una contradicción y estas son todas las formulas que se pueden formar con 2 conectivos y una sola variable proposicional distinta. Todas las formulas con 3 conectivos y una sola variable proposicional distinta son muchas, y las formulas con 4 conectivos son un montón. Supongamos que no se pudo encontrar ninguna contradicción con formulas con n conectivos y una sola variable proposicional distinta, veremos que no se va a poder encontrar una contradicción en una formula de n+1 conectivos. Sea f(n) una fórmula que tiene n conectivos y una sola variable proposición distinta. Todas las formulas con n+1 conectivos primer tienen una variable proposición (o una formula con n conectivos) luego uno de los conectivos y por ultimo una formula con n conectivos (o una variable proposicional)

2 Todas las formulas con n+1 conectivos y una sola variable proposicional distinta son: p * f(n), p -> f(n), f(n)*p, f(n)->p Por hipótesis inductiva f(n) no es una contradicción, esto es, para alguna asignación de valores de verdad de la variable proposicional la forma es verdadera. Haciendo la tabla de verdad de todas las formulas de n+1 conectivos y una sola variable proposicional distinta se puede ver que ninguna de la formulas es una contradicción. Esto demuestra por inducción que para las formulas de una variable proposicional distinta, usando solamente los conectivos {*, ->} no se puede formar una contradicción. Por lo tanto no es cierto que cualquier función booleana se pueda expresar usando solamente los conectivos {*, ->}, por ejemplo las contradicciones en formulas proposicionales de una sola variable proposicional distinta, no se pueden expresar. 2a) Por ser (A B) maximal consistente, para toda formula a se da que: a ϵ (A B) o a ϵ (A B) Por propiedad de a ϵ (A B) si y solo si a ϵ A y a ϵ B a ϵ (A B) si y solo si a ϵ A y a ϵ B esto dice que para toda formula a, o a esta a en A o a esta en A. No puede estar a y a en A porque A es consistente, además, si a esta en A entonces a esta en B y si a esta en A entonces a esta en B o sea, todo elemento que está en A esta en B esto es por definición A B de la misma manera

3 para toda formula a, o a esta a en B o a esta en B. si a esta en B entonces a esta en A y si a esta en B entonces a esta en A o sea, todo elemento que está en B esta en A esto es B A o sea A es igual a B si (A B) es maximal consisistente y A y B son consistentes 2b) Sea: A B maximal consistente Y sea: A = {p p, p} (A B) o sea A p p o se p, tal que A p p esto es A es inconsistente B = {p, p} (A B) o sea B p p o se p, tal que B p p esto es B es inconsistente A y B son inconsistentes pero (A B) es maximal consistente. Este ejemplo muestra que es falso que: si A y B son inconsistentes entonces (A B) no puede ser maximal consistente o lo que es lo mismo si (A B) es maximal consistente entonces A y B tienen que ser consistentes 3) Clase de los modelos de equivalencia C = {A R es de equivalencia} Axiomas de equivalencia x. (x,x) R(x,x) x, y. (x,y) R (y, x) R x, y.(x, y) R (y,z) R(x,y) (x,z ) R Como se demuestra que la axiomatizacion es correcta y completa con respecto a la clase de modelos

4 de equivalencia? Estuve pensando todo el fin de semana y no me salió. Demostrar que la axiomatización es completa con respecto a la clase de todos los modelos. Todas las cosas que pueda demostrar con un conjunto de axiomas las voy a poder demostrar si agrego más axiomas al conjunto de axiomas. Esto es: A a y A B entonces B a y recordando que una demostración es una cadena a1,,an, donde an=a y a1,..,an son algunos de los axiomas, son elementos de A, o se obtienen por modus ponen de los anteriores. Si hay una demostración de a a partir de A, entonces la misma demostración es una demostración un un conjunto mas grande de axiomas. Esto es, la axiomatización es completa respecto a la clase de todos los modelos Demostración de que la axiomatización no es correcta respecto a la clase de todos los modelos. Por ejemplo, para el modelo: U = {Analia, Juan, Pedro} Relación es profesor esprofesor = {(Analia, Juan), (Analia, Pedro)} El modelo cumple los axiomas de todos los modelos menos los axiomas de equivalencia, en particular el axioma de simetría no se cumple: (Analia, Juan) esprofesor (Analia, Juan) esprofesor Analia es profesora de Juan pero Juan no es profesor de Analia Esto es, la axiomatización no es correcta respecto a un modelo de la clase de todos los modelos. Tengo que demostrar que el modelo satisface todos los axiomas? Este punto no me salió, lo pensé todo el fin de semana, como se demuestra que los modelos de las clases de equivalencia satisfacen los axiomas. 4) Esta bien esta demostración con palabras? Sea: la formula que expresa que hay un ciclo en la relación R que no está bajo control.

5 Sean: (1) la formula que expresa que hay un ciclo de largo 1 que no está bajo control. (2) la formula que expresa que hay un ciclo de largo 2 o menor que no está bajo control. (n) la formula que expresa que hay un ciclo de largo n o menor que no está bajo control. = { (n) n > 0} { } es insatisfactible, la primer parte dice que no hay ningún ciclo de largo n o menor, para todo n, que no está bajo control. La segunda parte dice que hay un clico que no está bajo control. Supongamos que todos los ciclos menores o iguales a k están bajo control, entonces { (k) } { } Dice que no hay ningún ciclo de largo menor o igual a k que no esté bajo control y lo segundo dice que hay un ciclo que no está bajo control, el ciclo que no está bajo control puede ser un ciclo que tiene largo mayor a k. Este conjunto es satisfactible y es un subconjunto de { (k) } { } { (n) n > 0} { } Pero por el teorema de compacidad el subconjunto tendría que ser insatisfactible, pero es satisfactible, significando que no se podía expresar la propiedad con lógica de primer orden. Saludos, Marcos