PARA EL DOCENTE. Directora de la serie Liliana Kurzrok. Andrea Novembre. Con instrucciones para. Índice. Primaria

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1 Con instrucciones para PARA EL DOCENTE Índice Cómo es Matimática Cómo es la Guía Docente... 3 Planificación anual... 4 El enfoque didáctico... 6 Capítulo 1: Los números naturales... 8 Capítulo 2: Multiplicación y división entre números naturales...20 Capítulo 3: Figuras circulares...35 Capítulo 4: Los números racionales fraccionarios...40 Capítulo 5: Ángulos y triángulos...44 Capítulo 6: Propiedades de los números fraccionarios Capítulo 7: Cuadriláteros y cuerpos...58 Capítulo 8: Números con coma...65 Capítulo 9: Medidas...72 Cómo se usa Mati.net?...81 Directora de la serie Liliana Kurzrok Andrea Novembre Primaria

2 Cómo es el libro Pistas para resolver los problemas Definiciones y sistematizaciones Azul: definiciones. Anaranjado: conclusiones. Secuencias didácticas Secciones especiales Aprender con la calculadora Actividades para resolver con la calculadora Actividades de integración Actividades para realizar en la carpeta que integran los temas del capítulo Aprender Actividades para resolver con la computadora Aprender con la computadora JUGANDO Juegos para aprender jugar entre todos 2

3 Cómo es... Cómo es la Guía Docente Título del capítulo Objetivos NAP Página del libro Problemas para resolver de manera individual Problemas para resolver en parejas Problemas para resolver en pequeños grupos Problemas Tratamiento de los problemas Posibles estrategias de los alumnos Posibles intervenciones docentes Aspectos a considerar Conclusiones Sistematizaciones Problemas para resolver de tarea Problemas para resolver con toda la clase Respuestas de las actividades Posibles debates Respuesta 3

4 Propósitos Contenidos Actividades Marzo Reconocer y usar los números naturales. Explicitar las características del sistema decimal de numeración en situaciones que requieran: - interpretar, registrar, comunicar y comparar cantidades y números; - argumentar sobre el resultado de comparaciones entre números y sobre procedimientos de cálculo usando el valor posicional de las cifras. Números naturales. El sistema de numeración decimal. Valor posicional de las cifras. Operaciones con el sistema de numeración. El sistema romano de numeración. Estrategias para sumar y restar. Usar, leer y escribir números naturales. (Páginas 6 y 7) Caracterizar el sistema de numeración. (Páginas 8 y 9) Reconocer el valor posicional de las cifras. (Páginas 10 y 11) Operar con el sistema de numeración. (Página 12) Leer y escribir números con el sistema romano. (Página 13) Resolver problemas. (Páginas 14 y 15) Usar diversas estrategias para sumar y restar. (Páginas 16 y 17) Resolver con la calculadora. (Página 18) Resolver actividades de integración. (Páginas 19 y 20) Abril Reconocer y hacer operaciones entre números naturales. Explicitar las propiedades del sistema en situaciones problemáticas que requieran: - multiplicar y dividir con diversos significados; decidiendo si se quiere un cálculo exacto o aproximado y evaluando la razonabilidad del resultado obtenido; - analizar relaciones numéricas para formular reglas de cálculo, producir enunciados sobre las propiedades de las operaciones y argumentar sobre su validez. Multiplicación y división entre números naturales. Estrategias para multiplicar y dividir. Estrategias de cálculo mental. Estimación de resultados. Múltiplos y divisores. Proporcionalidad directa. Resolver problemas con sumas y multiplicaciones. (Páginas 22 y 23) Usar estrategias de cálculo mental. (Páginas 24 y 25) Resolver problemas combinando operaciones. (Páginas 26 a 29) Usar estrategias para multiplicar y dividir. (Páginas 30 y 31) Estimar resultados. (Páginas 32 y 33) Encontrar múltiplos y divisores. (Páginas 34 y 35) Resolver problemas de proporcionalidad directa. (Páginas 36 y 37) Resolver con la calculadora y la computadora. (Páginas 38 a 40) Resolver actividades de integración. (Páginas 41 a 44) Mayo Junio Julio Reconocer figuras circulares. Producir y analizar construcciones de figuras considerando sus propiedades en situaciones que requieran: - construir figuras con determinados instrumentos; - componer y descomponer figuras estableciendo relaciones entre las propiedades de sus elementos. Reconocer y usar fracciones en situaciones problemáticas que requieran: - interpretar, registrar o comparar el resultado de una medición, de un reparto o una partición, con fracciones, a través de varias escrituras; - comparar fracciones entre sí y con números naturales, a través de varios procedimientos. Reconocer figuras geométricas; producir y analizar construcciones considerando las propiedades involucradas en situaciones problemáticas que requieran: - copiar y construir figuras usando las propiedades conocidas, mediante el uso de escuadra, regla y compás; - evaluar la figura obtenida en relación con la información dada; - comparar y medir ángulos con varios recursos. Figuras circulares. Circunferencia y círculo. Copia de figuras. Números racionales fraccionarios. Situaciones de reparto. Repartos equivalentes. Repartos usando la división. Fracciones y medida. Ángulos y triángulos. Relaciones entre los lados de un triángulo. Ángulos. Uso del transportador. Clasificación de los triángulos. Rectas paralelas y rectas perpendiculares. Trazar figuras circulares con compás. Dar y recibir instrucciones. (Páginas 46 y 47) Usar compás y reglas graduadas y no graduadas. (Páginas 48 y 49) Diferenciar circunferencia y círculo. (Páginas 50 a 53) Copiar figuras. (Páginas 54 y 55) Resolver con la calculadora. (Página 56) Resolver actividades de integración. (Página 57 y 58) Resolver situaciones de reparto. (Páginas 60 y 61) Resolver repartos equivalentes. (Páginas 62 y 63) Repartir usando la división. (Páginas 64 y 65) Reconocer fracciones de una unidad. (Página 66 y 67) Resolver con la computadora. (Página 68) Resolver actividades de integración. (Páginas 69 y 60) Construir triángulos a partir de figuras circulares. (Páginas 72 y 73) Comprobar las relaciones entre los lados de un triángulo.. (Páginas 74 y 75) Trazar y medir ángulos. (Páginas 76 y 77) Usar el transportador. (Páginas 78 y 79) Clasificar triángulos. (Páginas 80 y 81) Trazar rectas perpendiculares y paralelas. (Páginas 82 y 83) Usar el programa Regla y compás (GeoGebra) en MATI.net.. (Página 84) Resolver actividades de integración. (Páginas 85 y 86) 4

5 Planificación anual Propósitos Contenidos Actividades Agosto Reconocer y usar fracciones en situaciones problemáticas que requieran: - interpretar, registrar o comparar el resultado de una medición, de un reparto o de una partición, con fracciones, a través de diversas escrituras; - comparar fracciones entre sí y con números naturales, con varios procedimientos. Propiedades de los números fraccionarios. Las partes y los enteros. Del entero a las partes y viceversa. Fracción de una cantidad. Fracciones equivalentes. Comparar y ordenar fracciones. Relaciones entre números fraccionarios. Números fraccionarios en la recta numérica. Cálculo mental. Estrategias para sumar y restar. Reconocer las partes y los enteros. (Páginas 88 y 89) Relacionar enteros y partes. (Páginas 90 y 91) Reconocer fracciones de una cantidad. (Páginas 92 y 93) Reconocer y operar con fracciones equivalentes. (Páginas 94 y 95) Comparar y ordenar fracciones. (Páginas 96 y 97) Establecer relaciones entre números fraccionarios. (Páginas 98 y 99) Ubicar números fraccionarios en la recta numérica. (Páginas 100. y 101) Efectuar cálculos mentales y usar estrategias variadas. (Páginas 102 a 105) Resolver con la computadora. (Página 106) Resolver actividades de integración. (Páginas 107 a 110) Septiembre Reconocer y usar relaciones espaciales en situaciones problemáticas que requieran: - establecer las referencias necesarias para ubicar objetos en el espacio tridimensional o sus representaciones en el plano; - interpretar y elaborar representaciones del espacio próximo teniendo en cuenta las relaciones espaciales entre los objetos representados; - componer y descomponer figuras estableciendo relaciones entre las propiedades de sus elementos. Cuadriláteros y cuerpos. Características de algunos cuadriláteros. Construcciones de cuadrados y rectángulos. Diagonales de cuadrados y rectángulos. Cuerpos geométricos. Características y desarrollos planos de prismas. Reconocer características de algunos cuadriláteros. (Páginas 112. y 113) Construcciones de cuadrados y rectángulos. (Páginas 114 y 115) Diagonales de cuadrados y rectángulos. (Páginas 116 y 117) Construir con regla y escuadra. (Páginas 118 y 119) Construir con regla y compás. (Páginas 120 y 121) Copiar figuras. (Páginas 122 y 123) Caracterizar cuerpos geométricos y sus desarrollos planos. (Páginas 124 a 129) Usar el programa Regla y compás (GeoGebra) en MATI.net.. (Página 130) Resolver actividades de integración. (Páginas 131 a 134) Octubre Noviembre - Diciembre Reconocer y usar expresiones decimales de uso social habitual en situaciones problemáticas que requieran: - interpretar, registrar o comparar cantidades usando expresiones con una o dos cifras decimales; - interpretar la equivalencia entre las expresiones fraccionarias y decimales de uso frecuente para una misma cantidad; - comparar fracciones y expresiones con una o dos cifras decimales de uso frecuente, con números naturales, a través de varios procedimientos. Comprender el proceso de medir, considerando varias expresiones posibles para una misma cantidad en situaciones problemáticas que requieran: - estimar, medir efectivamente eligiendo el instrumento y registrar cantidades usando la unidad adecuada según la situación; - comparar y calcular cantidades de uso social habitual estableciendo equivalencias si la situación lo requiere. Números con coma: lectura y escritura. Comparación de números con coma. Estrategias de cálculo mental. Estrategias para sumar y restar. Números con coma y medidas. Medidas de longitud, peso, capacidad y tiempo. Estimación de pesos, capacidades y longitudes. Determinación de perímetros y áreas. Usar números con coma y centavos. (Páginas 136 y 137) Leer y escribir números con coma. (Páginas 138 y 139) Comparar números con coma. (Páginas 140 y 141) Usar estrategias de cálculo mental. (Páginas 142 a 145) Usar números con coma para expresar medidas. (Página 146) Usar el programa para programar con la computadora, en MATI.net. (Página 148) Resolver actividades de integración. (Páginas 149 a 152) Resolver problemas de medición. (Páginas 154 y 155) Usar medidas de longitud. (Páginas 156 y 157) Usar medidas de peso. (Páginas 158 y 159) Usar medidas de capacidad. (Páginas 160 y 161) Usar medidas de tiempo. (Páginas 162 y 163) Estimar pesos, capacidades y longitudes. (Páginas 164 y 165) Determinar perímetros y áreas. (Páginas 166 a 171) Usar el programa Regla y compás (GeoGebra) en MATI.net.. (Página 172) Resolver actividades de integración. (Páginas 173 a 176) 5

6 El enfoque didáctico Cuando pensamos en qué queremos que nuestros alumnos se lleven de las clases de matemática aparecen varias preguntas. Qué significa saber sumar, restar, multiplicar y dividir? Alcanza con conocer los algoritmos de las operaciones para decir que los niños saben operar? Saber matemática es saber las operaciones? Qué queremos que nuestros alumnos sepan de geometría? Para qué es necesaria la geometría? Para qué queremos que aprendan las propiedades de las figuras y los cuerpos? Antiguamente se consideraba que una persona no era analfabeta si sabía leer, escribir y operar. Hoy en día sabemos que eso no alcanza. El mundo que nos rodea es lógica, razonamiento, deducción y creación. Lo que alcanzaba hasta ayer, hoy no es suficiente. Un nuevo programa, una nueva estrategia: el mundo cambia a nuestro alrededor, mucho más rápido que cuando nosotros íbamos a la escuela. Uno de los objetivos centrales de nuestra enseñanza debe ser, entonces, que nuestros alumnos sean capaces de razonar, deducir y crear. Que puedan adaptarse satisfactoriamente a las circunstancias cada vez más cambiantes. Queremos educar niños pensantes, capaces de analizar, de resolver situaciones, de buscar estrategias innovadoras; en síntesis, niños preparados para afrontar, cuando crezcan, el mundo que los rodea. Pero cómo lograrlo? La propuesta didáctica de nuestra serie se basa en la perspectiva constructivista e interaccionista. Queremos generar en el aula una actividad de producción de conocimiento semejante al quehacer matemático, es decir que, a medida que los alumnos se apropian de los saberes, se apropian también de los modos de producir esos saberes. Construir el sentido de un conocimiento no es solo reconocer las situaciones para las cuales es útil, sino también conocer los límites de su empleo, es decir, en qué condiciones se cumplen ciertas propiedades, en qué casos es necesario apelar a otra técnica o a otro concepto, cómo se relacionan los conceptos entre sí, cuáles son las formas de representación más útiles para obtener más información, cómo se controla la coherencia de la respuesta, cómo se recomienza desde el error. En los siete libros de la serie, estudiar y aprender matemática es fundamentalmente hacer matemática, construirla, fabricarla y producirla, como hacen los matemáticos. Es cierto que ellos tienen muchos conocimientos y recursos; sin embargo, cuando se les plantea un problema, en primera instancia no saben cuáles de todos los conocimientos y recursos les conviene usar, y deben seleccionarlos entre los muchos que están a su disposición. Esto es lo que proponemos que hagan los alumnos. 6 Esta serie plantea problemas, muchos de los cuales no son de aplicación sino que fueron pensados para enseñar contenidos, lo cual puede producir sorpresa. Muchos se preguntarán cómo es posible que los alumnos resuelvan si antes no se les explica cómo hacerlo. Esta es una de las riquezas del modelo de enseñanza y aprendizaje al que adherimos. Qué es un problema? Un problema es una situación que el alumno, en principio no sabe con qué herramienta puede resolver, pero..tiene recursos para empezar a hacerlo. Para ser considerada un problema, una situación tiene que ser un desafío para el alumno y permitir diversas estrategias de resolución. A veces los problemas permiten resolver situaciones externas a la matemática, como por ejemplo: Y otras, para resolver problemas internos de la matemática. Por lo tanto, una situación no es un problema por el solo hecho de tener un texto. Cuando nos referimos a problemas usados para enseñar contenidos, no esperamos que los alumnos los resuelvan

7 Enfoque didáctico completamente, ni con la estrategia más económica o convencional, ya que, si fuese así, o ya sabían el contenido que se pretende que aprendan o alguien les dijo previamente cómo hacerlo. Sin embargo, es esperable que establezcan relaciones que el docente luego retomará en una instancia colectiva. Para que esta actividad sea llevada a cabo con éxito es necesario estructurar la clase pensando esencialmente en 4 momentos diferenciados. La gestión de la clase Proponemos una primera instancia de actividad individual por parte del alumno. En este momento cada uno se enfrenta con la situación y esboza sus primeras ideas. Puede ser que sean escasas, cortas y muy poco claras; pero les damos el momento para que se enfrenten con la situación de análisis y la confronten. La segunda instancia es el de trabajo en pequeños grupos. En él, los alumnos confrontan sus ideas, comienzan las discusiones y arman los primeros acuerdos. Es muy importante que, en este momento, no seamos nosotros, los docentes, los que determinemos si un razonamiento es correcto o no. Permitamos que piensen solos aunque sus razonamientos sean erróneos. Esta interacción entre ellos permite que: confronten las respuestas elaboradas individualmente, comprendan las divergencias en las estrategias para llegar a una respuesta, comuniquen su método o su solución y lo defiendan, comprendan otros procesos, los cuestionen e interpreten, identifiquen los procesos trabajados, a menudo de modo no convencional. Los alumnos saben que nosotros tenemos más conocimientos que ellos, por lo que a nosotros no nos discutirán tanto como a sus pares. Es por eso que, en este momento, es importante que nos mantengamos al margen. Ante las consultas de los alumnos, es aconsejable contestar con otras preguntas que los hagan reflexionar. Por ejemplo: pero el enunciado dice?, te acordás cuando vimos?, viste lo que hizo?, etcétera. La tercera instancia es la de la discusión colectiva. Cada pequeño grupo llega a ella con una idea, un acuerdo entre los integrantes del pequeño grupo. Ese acuerdo vuelve a ponerse en discusión. Se genera entonces un debate. Debatir no consiste en oponer una opinión a otra sino que exige a todos aportar argumentos basados en hechos que los demás puedan constatar. El objetivo de este debate, entonces, es confrontar procedimientos y producir conclusiones colectivas. La cuarta instancia es aquella en la que el docente sintetiza lo aprendido y pone nombre a las propiedades. En este momento se establecen las relaciones entre el conocimiento que ha circulado en clase y el que se pretendía enseñar. En todo este proceso el docente tiene un rol fundamental. Sus funciones son: elegir y proporcionar los problemas, organizar las actividades de los alumnos, ayudar a que se hagan cargo de la situación, plantear preguntas, enseñar a debatir y a justificar, moderar en el debate sacar a la luz los razonamientos que pudo ver en los diferentes grupos, mientras pasaba a mirar lo que iban haciendo, gestionar el estudio de los alumnos, definir finalmente los nuevos conceptos que los alumnos fueron construyendo. Pensamos esta guía para ayudar a los docentes a transitar estos momentos, fundamentalmente los dos últimos. Aquí encontrarán el análisis de todos los problemas planteados en los libros con posibles estrategias de los alumnos, sugerencias de intervenciones docentes a partir de ellas y sistematizaciones. [el maestro] es aquel que ayuda al alumno a adquirir un poder aprendiendo a forjar, a comprender y a utilizar instrumentos matemáticos. 1 Esperamos que la guía los ayude en el desafío diario de enseñar y aprender. 1 R. Bkouche (1991) 7

8 Capítulo 1: Los números naturales Objetivo: Analizar y comprender las características del sistema de numeración. NAP: El reconocimiento y uso de los números naturales, de la organización del sistema decimal de numeración y la explicitación de sus características, en situaciones problemáticas. Problema 1 a. Comience la clase pidiendo a los alumnos que resuelvan el problema de manera individual. Aquí aparecen los números como portadores de diferentes tipos de información, no solamente cantidades. Como no es un problema que plantee diferentes estrategias de resolución, la puesta en común debería ser un intercambio corto, aunque conviene que queden las conclusiones registradas en los cuadernos de los alumnos, por ejemplo: Los números no solo sirven para contar sino que también pueden representar: una dirección, un teléfono, el número de documento, una patente, etcétera. La escritura de las conclusiones es, desde nuestro punto de vista, un trabajo valioso, ya que recoge lo que merece recordarse de un problema y ayuda a organizar el estudio posterior de los alumnos. Ellos no saben hacerlo solos, por lo cual el docente debe ayudarlos a aprender a estudiar, y una de las herramientas necesarias en esta tarea es el cuaderno o la carpeta. No es posible estudiar de un cuaderno hermético, lleno de números, sin explicaciones ni conclusiones ni ideas para recordar. 1. a. Los números representan: el número de una calle, un código postal, un número de teléfono, el número de factura, el número de CUIT y una cantidad de dinero. Problemas 1 b. y 2 Proponga a los alumnos que resuelvan en parejas estos problemas sobre la numeración oral y escrita. Es esperable que muchos niños, para escribir el número dos mil cuatrocientos veintiocho, anoten o alguna otra escritura similar. Por qué sucede esto? En general, traducen literalmente la numeración oral a la escrita. Cuando decimos dos mil cuatrocientos veintiocho nos referimos a varias operaciones: Muchos alumnos desconocen esto y directamente yuxtaponen los números: La numeración oral y la escrita no funcionan de la misma manera, por lo cual es necesario aclarar esto. Una manera de hacerlo es analizar las regularidades de la escritura de los números. Por ejemplo: los números entre 10 (diez) y 99 (noventa y nueve) se escriben con dos cifras; los que están 8 entre 100 (cien) y 999 (novecientos noventa y nueve) con 3 cifras. El primer número que se escribe con 4 cifras es 1.000, mientras que el último es 9.999, etc. Esto permite que los alumnos controlen la escritura o incluso que anticipen algunas cuestiones: si se les pide que escriban el número tres mil doscientos cuatro, los alumnos saben que se escribe con 4 dígitos (es menor que 9.999). Si las escrituras anteriores no aparecen, puede proponerlas para discutirlas. Por ejemplo, María tenía que escribir el número mil trescientos cincuenta y seis y escribió Qué les parece lo que hizo María?. Como parte de la puesta en común plantee preguntas con el objetivo de que surjan pistas que ayuden a escribir números, y que tendrían que quedar registradas en las carpetas, por ejemplo: Podemos saber cuántas cifras va a tener un número antes de escribirlo? Podemos saber con qué cifra empieza? Y con cuál termina?. De esta manera, ante la pregunta de un alumno sobre cómo escribir un número, recomiéndele que lea su carpeta, devolviéndole la responsabilidad de la resolución del problema y corriéndose del lugar de proveedor de respuestas. 1. b. Cuatro mil veinte Problema 3 Este problema funciona como una referencia y usted puede proveer una estrategia de escritura: sabiendo que la

9 Capítulo 1 propongan pistas para ayudar a otros a escribirlos. Por ejemplo: El último número que se escribe con 4 cifras es El número que le sigue a es y es el primero que se escribe con 5 cifras. El último número que se escribe con 5 cifras es Todo esto debe quedar registrado para completar una lista de cuestiones que sirvan para estudiar cómo se escriben los números numeración oral muchas veces indica una suma, escriba en el pizarrón algo similar a lo siguiente: Tres mil ocho: = Tres mil ochenta: = Tres mil ochocientos: = , y Problema 4 Proponga este problema como tarea casera ya que no requiere demasiada discusión porque no admite diversas estrategias. En caso de ser necesario, explique que cada valor que forma un número se llama dígito o cifra y que para formar el mayor número posible es necesario poner la cifra mayor en el primer dígito. En cuanto a la menor cifra es posible considerar el número 0246 pero este no tiene 4 cifras sino 3. Por lo tanto, el menor número de 4 cifras que se puede formar con esos números es: En cambio, si se pudieran repetir, sería a. El mayor número que se puede escribir sin que se repitan las cifras es b. Si se pudieran repetir las cifras, el número mayor sería Problemas 5 y 6 Estos problemas vuelven a destacar la relación entre la numeración oral y la escrita, pero para números mayores. Organice pequeños grupos y pida que los niños Problema 7 Este problema pone el acento sobre la serie numérica, en particular en lo que se refiere al anterior y posterior de números que terminan en 9, lo cual suele ser difícil para los niños. Para facilitar la tarea, en la puesta en común elabore las regularidades de la serie numérica que ayudan a determinar el orden en que están los números: Si un número termina en 0, el siguiente termina en 1 y tiene el mismo dígito en el lugar de las decenas; el anterior tiene un dígito menos en el lugar de las decenas y termina en 9. Si un número termina en 9, el siguiente termina en 0 y el dígito que ocupa el lugar de las decenas es uno más; el anterior tiene el mismo dígito en el lugar de las decenas y termina en Uno menos Número Uno más Problema 8 Mientras resuelven este problema pida que consulten en las carpetas cualquier duda que les surja. En la puesta en común pida a los alumnos que digan cómo hicieron para darse cuenta de qué números debían escribir. Esto es más útil que solo corregir el problema, porque pone en juego algo que habitualmente queda afuera de las reflexiones colectivas y que tiene que ver con el modo que se emplea para darse cuenta de cómo resolver un problema. En el caso del problema 8 b., las preguntas que permiten descubrir un número ponen en juego las relaciones y las regularidades aprendidas. Pero, además, hay preguntas que sirven para descartar más números que otros, por ejemplo: es mayor que ? Concluya que para completar cada fila hay que cambiar la cifra 9

10 que ocupa el lugar de las unidades y en cada columna cambia la cifra que ocupa el lugar de los dieces. 8. Los números que faltan para completar el cuadro son: , , , , , , , , , , , , , , Problema 9 Pida que resuelvan el problema de tarea y plantee una puesta en común solo si es necesario. 9. a. diez mil uno. b. veinte mil doscientos. c. treinta y tres mil. d. cuarenta y cinco mil cuarenta y cinco. e. cien mil. f. ochenta y nueve mil ciento seis. Problema 10 Este problema requiere lo que ya se discutió en los anteriores. Surge la relación entre contar de 1 en 1, de 10 en 10 y de 100 en 100. Proponga que lo resuelvan y luego realice una puesta en común. Pregunte qué cambia en cada fila y en cada columna y concluya que no es lo mismo que en el problema a. 51 casilleros. b. 31 casilleros. Problema 11 Pida que resuelvan el problema y que expongan, en la puesta en común, lo que pensaron. Registre que si un número está entre y seguro tiene 5 cifras. Pero, además, el número pedido termina en 555. Por lo tanto será 555. Es necesario determinar entonces qué dígitos poner en los primeros lugares. Para el primer lugar seguro que va 5 o 6. Según lo que se ponga allí quedarán distintas posibilidades para el segundo lugar. Es decir, se pueden poner: Hay 10 números posibles. Es muy valioso analizar con los alumnos problemas que tengan más de una solución y otros que no tengan ninguna y también incentivar la indagación de los problemas sacando conclusiones parciales ; ; ; ; ; ; ; ; y Problema 12 Pida que resuelvan el problema y pregunte luego qué cambia en un número cuando se le suma o resta 1. Es posible que los alumnos contesten que solo cambia la última cifra. Si ese es el caso pida que observen el número que esta en la tabla y que cuenten cómo lo calcularon. Registre las conclusiones en la carpeta, por ejemplo: Cuando se suma o resta 1 a un número, siempre cambia la última cifra. A veces también cambian las otras. 12. a. Uno menos Número Uno más b. El número que deben rodear es Problemas 13 a 15 A partir de estos problemas se analizan las características de la recta numérica. Proponga que resuelvan el problema 13. La escala ocupa aquí un rol central: solamente a partir de ella se pueden ubicar los números en la recta. Conviene que los niños se den cuenta y este tiene que ser uno de los objetivos de la puesta en común que midiendo la distancia entre dos números pueden determinar la ubicación de cualquier otro. Pida que registren en los cuadernos o carpetas, junto a un ejemplo, para que esté disponible cuando estudien. Por ejemplo, si ya esta elegida la distancia entre 10 y 20, esta se tendrá que mantener entre 20 y 30, 30 y 40, etcétera. Para reforzar estas conclusiones pida que resuelvan los problemas 14 y 15 en parejas o de manera individual.

11 Capítulo 1 que discuta con ellos el tipo de escritura que propusieron. Es también posible que se proponga una escritura consensuada. En este problema no solo hay que explicitar cómo darse cuenta de que los números 576 y 765 son diferentes, sino que también puede usarse para discutir sobre la explicación y cómo escribirla. Por ejemplo: Si quiero pagar 576 con la menor cantidad de billetes de 1, 10 y 100, voy a usar 5 billetes de 100; en cambio para pagar 765 con las mismas cantidades hay que poner 7 billetes de 100; por lo tanto, los números son diferentes porque las cifras están ubicadas en otro lugar. 16. Los números 576 y 765 tienen los mismos dígitos pero ubicados en distintos lugares y, por eso, los dígitos representan diferentes cantidades y los números son distintos. Por ejemplo, el 5 de 576 representa la cantidad de cienes, y el 5 de 765 la cantidad de unidades. b. 14. a. b a Problema 16 Los problemas 16 a 24 tratan sobre la posicionalidad y la descomposición de números en potencias de 10, teniendo en cuenta que no hay una única manera de hacerlo y que la descomposición polinómica es una forma más. Proponga a los alumnos que resuelvan el problema 16. Luego plantee una puesta en común. Este problema propone la escritura de una relación. Es esperable que los niños no sean demasiado claros o que la explicación no sea completa. Debido a esto, y porque la explicación es, desde nuestra forma de pensar el aprendizaje, una actividad inherente a hacer matemática, es necesario Problemas 17 y 18 Estos problemas proponen resolver cálculos mentales. Para el problema 17 pregunte qué cambia en un número cuando se descuenta 100. Concluya que si se resta 100 siempre cambia la cifra que ocupa el lugar de los cienes pero que también pueden cambiar otras cifras. Por ejemplo, cuando se descuenta 100 de cambia el 0 y el 1. Si bien los cálculos del problema 18 reciben el nombre de mentales, deben ser por escrito, porque la escritura requiere que se expliciten las propiedades que se usaron. No significa que los alumnos nombren las propiedades, sino que las apliquen. Cuando hablamos de cálculo mental, nos referimos siempre a un cálculo pensado, reflexionado, que no excluye el lápiz ni la calculadora. Por ejemplo: = = = La puesta en común es el momento para explicitar el proceso que lleva a obtener el resultado. Ayude a plantear la escritura que explica cada cálculo, por ejemplo: = = = = = = = = = = Las descomposiciones, en este caso, facilitan un cálculo. Es probable que algunos alumnos no puedan despegarse del algoritmo y lo apliquen mentalmente. Aclare que no deben hacer cálculos convencionales sino solo mostrar qué procedimiento usaron. 11

12 17. Producto Precio sin descuento Precio con descuento Secador de pelo $452 $352 Licuadora $856 $756 Heladera $2.640 $2.540 Lavarropas $1.054 $ a b c d e f Problema 19 En este problema se ponen en juego las formas de descomponer números en sumas y restas que se usaron hasta ahora, por lo cual, la primera parte puede resolverse de manera individual y la segunda en grupos para que comparen las posibles descomposiciones. En la puesta en común pida que digan algunas descomposiciones y regístrelas en el pizarrón. Podrán aparecer, por ejemplo: = ; = ; = Luego, plantee las siguientes preguntas: Cómo podemos darnos cuenta si una descomposición es correcta? Cómo se hace para pensar maneras de descomponer un número? La primera pregunta brinda a los alumnos un mecanismo de control de sus respuestas: la suma y/o la resta tiene que resultar igual al número que se está descomponiendo. En cuanto a la segunda pregunta, el objetivo es explicitar las estrategias que se usan para descomponer números. El registro de las respuestas en las carpetas es una buena herramienta de estudio. 19. Hay muchas maneras. Por ejemplo: = = = = = = Problemas 20 a 24 Estos problemas vuelven a plantear descomposiciones en potencias de 10. Como esto ya se ha tratado, proponga que formen grupos y luego, una puesta en común. En ella, además de verificar las respuestas, pregunte cómo saben si la descomposición es correcta aplicando la conclusión de los problemas anteriores y compare las descomposiciones del problema 19 con las del problema 20. Explique la diferencia entre una descomposición cualquiera y la polinómica, donde los números que multiplican a cada potencia de 10 no pueden ser mayores que 9. Esta descomposición puede obtenerse con solo mirar el número. Es también el momento de definir qué es un 12 sistema de numeración y dar sus características; para ello pida que lean el lateral de la página 11 y remita cada una de las características a alguno de los problemas de este capítulo. Pida que registren que no hay una única manera de descomponer a un número como suma de números multiplicados por potencias de 10 y que la descomposición polinómica es solo una de esas maneras. 20. Billetes de $100 Billetes de $10 Monedas de $1 $ $ $ $ $ $ Para pagar $ se necesitan 123 billetes de $100 y $1.230 billetes de $ a = b = c = d = x a = = = = b. Producción personal. 24. a =

13 Capítulo 1 Cuántos billetes de $10 se necesitan para pagar $2.350? En el problema 26 es probable que intenten calcular Pero algunos alumnos dirán que no saben resolver divisiones cuando el divisor tiene 2 cifras o más; diga en este caso que intenten resolver las divisiones como puedan, que piensen qué están tratando de calcular. Es interesante señalar que no se espera que los alumnos resuelvan estos problemas completamente. Por eso aproveche lo que hayan planteado como apoyo para su explicación aunque el tiempo no les haya alcanzado para resolverlo por completo. 25. Sí, porque = Se necesitan 64 talonarios = = = = b. Producción personal. Problemas 25 y 26 Es muy probable, casi seguro, que los niños usen los algoritmos para realizar los cálculos propuestos en los problemas 25 al 30. Muestre que se pueden realizar de otra manera y explique por qué. La puesta en común debe tratar sobre estas relaciones insistiendo en la escritura de la explicación. Es factible que no tengan dificultad para decidir qué cálculo permite resolver cada problema, pero seguramente aplicarán el algoritmo tradicional. En el caso del problema 25, algunas estrategias de los alumnos pueden ser: : Restar varias veces 10 a para luego contar la cantidad de veces que pudieron hacerlo. Sumar 10 varias veces hasta llegar a y contar la cantidad de sumas que hicieron. Multiplicar 10 por un número, de manera que el resultado sea Todas estas estrategias remiten a la cantidad de veces que 10 entra en y esto puede responderse con conocimientos del sistema de numeración. A los que tienen dificultades para responder esta pregunta, plantéesela en términos de dinero: Problemas 27 a 29 En los problemas 27 y 28, la escritura de las conclusiones ocupa un lugar central, ya que explica cómo multiplicar y dividir por una potencia de 10. Es para ello que aparecen estos problemas. Pida que realicen los tres juntos y luego, en la puesta en común, anote las conclusiones con un ejemplo para que los alumnos puedan comprenderlas. Por ejemplo: son 23 dieces, o sea, 230. Otra forma es pensar que con 23 billetes de $10 se tienen $ son 23 cienes, o sea, Con 23 billetes de $100 se tienen $ son 23 miles, o sea, : 10 significa encontrar la cantidad de veces que entra 10 en 230, es decir, 23 porque = : 100 significa encontrar la cantidad de veces que entra 100 en 2.300, es decir, 23 porque = : significa encontrar la cantidad de veces que entra en , es decir, 23 porque = = 230; = 2.300; = : 10 = 23; : 100 = 23; : = La relación es la siguiente: si = , entonces, : = 23. Problema 30 Este problema plantea una extensión de lo aprendido en los anteriores y conviene que lo resuelvan en grupos de no más de 4. Los números que hay que dividir por 10 no contienen una cantidad exacta de dieces y es posible que algunos niños no recuerden o no sepan qué es el resto de la división. Recuérdeles que una de las maneras de pensar la división de por 10 es como la cantidad de veces que 10 entra en (o la cantidad máxima de billetes de $10 que se necesitan para pagar $7.208). Como contiene 720 dieces y sobran 8, el cociente de la división es 720 y el resto, 8 (no alcanza para formar otro 10, por eso es lo que sobra). Esta explicación debería registrarse en las carpetas para que puedan usarla como referencia en el momento de resolver otras divisiones por 10 u otra potencia de

14 Otro aspecto a tener en cuenta es analizar que el resto es el último dígito del dividendo y que este hecho no es casual. La dificultad está en cómo se explica. Puede hacerlo así: contiene 425 dieces, por lo que se puede descomponer como Esto indica que el cociente de la división es 425 y el resto es 9. Si se pone otro número para dividir por 10 también resulta que el último dígito, que siempre es menor que 10, indica lo que sobra y por eso no alcanza para formar otro 10. Además, conviene recordar que, si se divide por otro número que no sea una potencia de 10, el resto no tiene por qué coincidir con el último dígito del dividendo. Esto sucede porque nuestro sistema de numeración es decimal. 30. a b. Porque cada número se puede escribir como una multiplicación de otro número por 10 más la última cifra. Por ejemplo: = c. Si pensamos el problema como la cantidad máxima de billetes de $5 necesarios para pagar en este caso se necesitan 685 billetes y no sobra nada. Problema 31 En los problemas 31 a 35 se propone que aprendan el sistema romano de numeración con el único objetivo de comparar un sistema no posicional con nuestro sistema de numeración. Es decir, se enseñarán solamente las nociones fundamentales sobre los números romanos. La mayoría de los niños alguna vez ha visto relojes de agujas, y no les resultará difícil darse cuenta de cuáles tienen que ser los números que ahí aparecen (números de 1 a 12). Esto permitirá conocer la escritura de los primeros doce números naturales. Arme la tabla y pida que la escriban en las carpetas. Decimal Romano I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII Si los chicos no conocen los relojes de agujas, explique cómo son y qué significa cada uno de los números que ahí aparecen. Concluya y registre que el sistema de numeración romano es otra forma de escribir números Primer reloj, 10:10; segundo reloj, 1:55; tercer reloj, 6:05. Problema 32 Este problema agrega la escritura de otros números y, a partir de ellos, se pide que interpreten algunas escrituras. Como los chicos no disponen todavía de las reglas de escritura de los números romanos, proponga que discutan qué números están representados. Para esto pueden usar como referencia los números de los relojes. En la puesta en común, luego de escuchar las propuestas de los grupos, indique que lean y analicen con su ayuda las reglas que aparecen en el lateral de la página. 32. III = 3; VI = 6; IV = 4; MDLXXVII = 1.577; IX = 9; LIII = 53; XI = 11; CXXVIII = 128. Problema 33 Proponga que resuelvan el problema y luego plantee una puesta en común. Es posible que algunos alumnos indiquen que 90 se puede escribir como XXXXXXXXX (porque es 9 veces 10) o como LXXXX (50 y 4 veces 10). Es importante remarcar en ese caso que si bien es cierto que esos números parecen ser 90, no cumplen una de las condiciones de este sistema de numeración, que es que un símbolo solo puede repertirse 3 veces. 33. La escritura que representa el número 90 es XC. Problema 34 Este problema pone en juego lo aprendido en los problemas anteriores. Cuando terminen de resolverlo, haga una puesta en común rápida para verificar los resultados obtenidos.

15 Capítulo 1 piensen que la suma no sirve porque el problema dice agua que se pierde, sin embargo se pierde agua y se busca la cantidad total de agua perdida. En la puesta en común retome los dos problemas juntos. Pregunte qué cálculo permite resolver cada uno y cómo hacen para darse cuenta. Registre en el pizarrón y en la carpeta las conclusiones. Por ejemplo: En el problema 36 sabemos cuántas entradas populares y plateas se vendieron y se quiere saber la cantidad de personas que asistirán, lo cual se puede encontrar sumando. En el problema 37 conocemos cuánto líquido se pierde un día y el día siguiente. La suma indica la cantidad total de líquido que se pierde en los dos días. 36. Asistirán personas. 37. El cálculo es Romano VIII DCII CDIII MCC CMV X XX CL Decimal Problema 35 Este problema admite diferentes respuestas. Hay números que se escriben con menos símbolos en el sistema romano que en el decimal, por ejemplo, C y 100. Otros, usan más símbolos en el sistema romano que en el decimal, como MCCXXXIII y En la puesta en común, destaque que en el sistema de numeración romano no se cumple una propiedad que sí se cumple en nuestro sistema: cuanto más largo es un número, más grande es. 35. a. Por ejemplo X = 10. b. Por ejemplo: 8 = VIII. Problemas 36 y 37 El problema 36 puede calcularse con una suma porque se busca averiguar la cantidad de entradas vendidas conociendo la cantidad de los dos tipos de entradas que se vendieron. No deberían tener dificultades para identificar la operación que permite resolverlo. El problema 37 plantea una diferencia respecto del 36. No se pide que resuelvan el problema sino que identifiquen qué cálculo permite encontrar la solución. Es posible que los alumnos Problemas 38 y 39 Estos problemas pueden plantearse como una suma o una resta. Según la destreza que tengan los alumnos para resolver cálculos, elegirán una u otra forma. En la puesta en común pida que enuncien brevemente las respuestas y pregunte cómo hicieron para darse cuenta qué había que hacer. Es esperable que haya dos tipos de respuestas: A las personas que había, hay que sacarle las que se fueron para ver cuántas quedan. Hay que encontrar cuántas personas le faltan a para llegar a Escriba las explicaciones anteriores, ayudando para que queden claras, y los cálculos que permiten traducirlas, por ejemplo: o = o = Se quedaron personas. 39. El cálculo es Problema 40 Este problema retoma lo elaborado en el 37. Pida que contesten la pregunta a., centrando el interés en la explicación. Concluya que los dos valores dados corresponden a peso perdido, por lo cual para obtener el peso total perdido hay que sumarlos. Si los restaran, hallarían la diferencia entre lo que bajó durante cada semana. 40. a. No es correcto lo que dice Tatiana. El cálculo es b. Después de la segunda semana habrá adelgazado 620 g. Problemas 41 y 42 Estos problemas tratan de varias transformaciones sucesivas que no son iguales: cuando un pasajero sube, se suma, mientras que si baja, se resta al total. Es probable que los alumnos no se den cuenta de esta diferencia y sumen todos los valores. En ese caso pida que digan en 15

16 palabras qué representa el resultado. También puede pedirles que estimen qué sucede luego de cada transformación. Por ejemplo, si en la primera parada bajan 23 pasajeros, habrá más o menos que antes?. Plantee la puesta en común después de haber resuelto los dos problemas. Pida a un alumno por grupo que explique qué hicieron y por qué, especialmente para los cálculos que eligieron y propusieron. Solicite que expliquen por qué suman o restan. Registre en las carpetas cómo darse cuenta si hay que sumar o restar. Como es difícil escribirlo en general, hágalo según alguno de estos dos problemas. 41. El cálculo correcto es Porque cuando bajan, hay que restar, y cuando suben, hay que sumar. 42. Martina obtuvo puntos. Problemas 43 y 44 La explicitación de las técnicas permiten darle sentido al cálculo mental. Asegúrese de que quede muy bien explicado. Si bien es cierto que los dos cálculos ayudan a encontrar el resultado del problema 43, no se tuvo en cuenta que se usa = 31 para hallar = = Es muy probable que los alumnos puedan afirmar que el resultado no es correcto pero que tengan dificultades para explicar por qué. Ayúdelos a explicitarlo en la puesta en común. En el problema 44 no sirve hacer porque en realidad hay que hacer y no es posible. No es difícil mostrar que el razonamiento no es correcto, pero insista en cómo resolverlo correctamente. Una posibilidad es: = = = No es correcto lo que hizo Juan. El resultado correcto del cálculo es: = No es correcto lo que hizo Lazlo. Una posibilidad es: = = = 950. Problema 45 Este problema usa las relaciones elaboradas en los dos problemas anteriores. Luego de que los grupos digan cómo pensaron cada cálculo, en la puesta en común, ayúdelos a escribir sus razonamientos. Por ejemplo: Como = 40 y = 1.000, entonces, = = = = = a b Problema 46 A partir de los problemas 46 a 51 se busca desarrollar estrategias de cálculo mental para sumas y restas. En este problema, además de las posibles confusiones respecto de si hay que sumar o restar 10 o 100, el objetivo es reflexionar sobre una forma simple de calcular. En la puesta en común pregunte: Cómo podemos darnos cuenta si tenemos que sumar o restar 10 o 100? Luego de responder esta pregunta y escribir entre todos la respuesta, plantee que cuando se suma o resta 10 o 100, el resultado es muy parecido al número. Pregunte: Es posible saber qué cifras van a cambiar antes de hacer la cuenta?. Concluya que, en general, al sumar o restar 10 cambia el dígito que ocupa el lugar de las decenas. Si se suma o resta 100, en general, cambia el dígito de las centenas. Para que vean las excepciones, pida que anticipen qué dígito va a cambiar en el resultado de , donde cambia más de un dígito. 46. Artículo Precio Precio promoción Televisor $676 $666 Lavarropas $1.195 $1.095 Heladera $2.340 $2.240 Equipo de audio $408 $398 Equipo de DVD $299 $289 Microondas $104 $94 Cocina $399 $389 Ventilador $109 $99

17 Capítulo 1 Apoyándose en cálculos conocidos: como = 10, entonces, = 100. Registre estas conclusiones en las carpetas. Para resolver el punto b. se pueden aprovechar las estrategias que se desarrollaron en el punto a.. Realice una puesta en común solo si es necesario. 48. a. Para llegar a 100, a 80 le falta 20; a 50, 50; a 25, 75; a 75, 25; a 64, 36. b. Para llegar a , a hay que sumarle 8.000; a 3.500, 6.500; a 6.000, 4.000; a 7.200, 2.800; a 8.400, Problema 47 Este problema vuelve a analizar estrategias de cálculo mental. Aclare que no usen algoritmos para hacer estos cálculos, sino que se apoyen en cálculos conocidos. Es el docente el que puede habilitar o deshabilitar alguna estrategia posible según el interés que tenga en ese momento. En caso de bloqueos, sugiérales que revisen los problemas 43, 44 y 45 y lean el cartel lateral. En la puesta en común, además de los resultados, pida que indiquen en qué resultado conocido se apoyaron en cada caso. En las carpetas, debe quedar escrito: Si = 8 entonces = 80. Si = 10 entonces = 100. Si = 3 entonces = 300. Si = 7 entonces = Si = 40 entonces = Si = 100 entonces = = 80; = 100; = 300; = 7.000; = 4.000; = Problema 48 Una vez que lo resolvieron en la etapa colectiva, plantee una reflexión sobre cómo se puede hacer para encontrar cuánto le falta a cada número para llegar a 100 mediante cálculos mentales. Por ejemplo: Hallar el número que sumado a 80 da 100 (80 + = 100). A través de una resta: Problema 49 Si bien este problema propone un trabajo sobre cálculos mentales, la necesidad de usar el cálculo dado como dato (9 + 6 = 15) hace que no se pueda usar cualquier transformación. El intercambio, una vez más, debería proponer una discusión sobre cómo se explica la manera de obtener cada resultado. No solo es necesario para que los alumnos expliciten sus razonamientos, sino también para evitar que usen el algoritmo creyendo que hacen un cálculo mental. Registre en la carpeta enunciados del estilo: Como = 15, entonces, = 150 y = = = = = = = a. 150 b c. 95 d. 350 Problema 50 En este caso, el objetivo es que reflexionen sobre cuáles son los cálculos fáciles de resolver, y que expliquen por qué. Proponga una discusión acerca de cómo hicieron para resolver fácilmente los cálculos planteados. Es esperable que los alumnos elaboren conclusiones que usted puede ayudar a escribir. Por ejemplo: Si a un número de 4 cifras se le suma , solo se le agrega un 1 adelante: = Como = 20, entonces = Como = 50, entonces = = = = = = = = = = = a b c d e f Problema 51 Se plantea aquí una estrategia de cálculo mental que se usa para facilitar cálculos cuando uno de los sumandos está a una unidad de un número terminado en cero. Para pensar este problema conviene observar en qué 17

18 casos la técnica propuesta resulta útil. Muchos alumnos tienen dificultades para entender esto y a veces plantean, por ejemplo, = La igualdad anterior es verdadera pero no sirve para hacer cálculos mentales. Registre esto en las carpetas, junto a relaciones del tipo: = = = = = = = = = a. Producción personal. b. i = = = 860 ii = = = iii = = = Problema 52 Pida que lean la resolución de Martina del problema 52 y pregunte: Dónde está el 340 en esa cuenta? Por qué Martina decide restar de esa manera? Daría lo mismo si antes restara el 40? Poner a discutir diferentes maneras de resolución permite que los alumnos vayan incorporando estas estrategias de cálculo mental y las tengan disponibles en otras oportunidades. Pida luego que resuelvan los cálculos con la estrategia de Martina y en la puesta en común pregunte cómo lo hicieron. Conclusión a b c d e f Un buen trabajo con el sistema de numeración sirve para facilitar y comprender algunos cálculos. Es así que varias relaciones que habitualmente se ven sin explicación, como si hubiera que aceptarlas sin discusión, pueden explicarse a través del sistema de numeración. Por ejemplo, puede pensarse que se quiere determinar cuánto es 18 cienes (o 18 billetes de 100). De la misma forma, dividir por 100 puede interpretarse como la cantidad de veces que 100 entra en el número, o la cantidad de cienes que tiene un número. Por ejemplo, : 100 = 15 porque el número tiene 15 cienes o, dicho de otra forma: : 100 = 15 porque = Según este enfoque, las actividades respecto al sistema de numeración no están centradas en descomponer números en centenas, decenas y unidades ni en determinar, por ejemplo, cuántas decenas hay en algún número. Esto es así por varias razones, por ejemplo: Para resolver no conviene pensar al 249 como sino como Cuando se pregunta cuántas decenas hay en el número 249 es muy probable que la respuesta sea 4 y, sin embargo, hay 24 decenas en 249. Dicho de otro modo, para pagar $249 se necesitan 24 billetes de $10. Uso de la calculadora en el aula En esta etapa cuando los alumnos están aprendiendo a hacer cálculos no pensamos darles una calculadora para hacerlos. Esto anularía el proceso que intentamos construir. Sin embargo, la calculadora es útil para explorar propiedades del sistema de numeración. Usar la calculadora permite hacer muchos ensayos sin tener que preocuparse por los cálculos. Para que estos ensayos sean útiles es necesario que los alumnos, antes de usar la calculadora, escriban el cálculo que quieren hacer y luego anoten el resultado del ensayo. Por ser la primera vez que los niños usan una calculadora en este libro, proponga que exploren los botones: cuál es el botón que enciende, cuál es el que apaga, etcétera. Problema 1 Los alumnos están en condiciones de resolver este problema sin dificultades. Por eso, puede resolverse entre todos y escribir la conclusión: Para que solo cambie el 4 por un 5, hay que sumar un número que tenga un 1 en la misma posición que el 4 y ceros en el resto de las posiciones, o sea Sumar Problemas 2 y 3 Estos problemas ponen en juego propiedades del sistema de numeración, en particular la

19 Capítulo 1 posicionalidad. Pida que anoten cada uno de los cálculos que intentan. Esto permite que después reflexionen sobre ellos. Si algún cálculo no logró el objetivo, habría que preguntarle a los alumnos: Por qué piensan que sucede esto?. Solicite que resuelvan el problema 2. Para que el número se transforme en , los chicos pueden intentar algunos de los siguientes cálculos: = No da = No da = Da Los ensayos, fallidos y correctos, en este caso permiten analizar la posicionalidad del sistema de numeración. Para que el 5 se convierta en 0, como está en la posición de los cienes, hay que restar 5 cienes, o sea, 500. Terminado este problema haga una breve puesta en común para comparar resultados. Pida luego que resuelvan el problema 3 a. y que anticipen qué número cambia al sumar En el caso 3 b. se espera que ensayen para determinar cuál es el cálculo adecuado. La puesta en común de ambos problemas tratará sobre cómo darse cuenta del cálculo que hay que hacer. Por ejemplo: Para que se transforme en se puede pensar que es el resultado de ; entonces, para que quede hay que restarle Restar a b. Restar Problema 4 Este problema trata la relación entre suma y resta, por un lado, y/o el cálculo de una suma por complemento. En la puesta en común ponga énfasis en que expliquen qué pensaron para encontrar el número faltante. Algunas estrategias de los alumnos pueden ser: Probar sumando: = 334, no sirve; = 284, da menos; = 294, = 295;...; = 300. A 234 le faltan 6 para llegar a 240 y a 240 le faltan 60 para llegar a 300; entonces a 234 le faltan = 66 para llegar a 300. Restar Para el b. podrían pensar = 350, entonces = a. 66 b. 999 c d Problemas 5 a 7 Estos problemas refuerzan la idea de descomposición polinómica de un número pero desde otro lugar. Si hay que hacer exactamente 4 restas para convertir el número en 0 es conveniente realizar: Es probable que los chicos busquen otras maneras que incluyan otros dígitos, por ejemplo: Pida en ese caso que vuelvan a leer la consigna. Los problemas 5, 6 y 7 refuerzan estos conceptos y puede dejarlos como tarea casera o para que los alumnos los resuelvan solos = ; + 100; ; + 100; a. Restar 10. b. Restar Problemas 8 y 9 Pida que resuelvan estos problemas de tarea que permiten reflexionar acerca del uso de la calculadora. En la puesta en común, pida a un alumno de cada grupo que explique cuáles son los cálculos del problema 9 conviene hacer con calculadora y cuáles mentalmente, explicando por qué. Para los que sean mentales, pida que expliciten su resolución ; ; Mentalmente: b., c. y d.. Respuestas de las actividades de integración 1. a. El último número de la tabla es b. El primer número de la tercera fila es , y el último de la cuarta columna es c d e. Es cierto porque hay 10 números en el medio. f. Obtendrán el número que está en la misma columna 2 filas abajo. 2. Tatiana pensó el En el caso de Matías, hay varios: , , , , , , , , , El mayor es y el menor, Sí, el tercero es el Perdió puntos. Ganó Ahora tiene = IV; 9 = IX; 47 = XLVII; 199 = CXCIX; = MCMXCIX. 7. El cálculo que sirve es ; 200;

20 Capítulo 2 Multiplicación y división entre números naturales Objetivo: Que los alumnos reflexionen sobre los tipos de problemas que pueden resolverse con cada operación y desarrollen estrategias de cálculo mental y algorítmico, explicando el origen de cada una. NAP: El reconocimiento y uso de las operaciones entre números naturales y de sus propiedades a través de distintas representaciones. Problemas 1 y 2 En estos problemas surge el producto para hallar la cantidad total de elementos distribuidos en filas y columnas, por un lado, y la multiplicación como la suma de varias veces el mismo número. Realice una puesta en común después de que hayan resuelto la parte a. del problema 1. Es probable que los alumnos resuelvan parte del problema sin necesidad de multiplicar, debido a que es posible contar las naranjas en una fila y luego duplicar el resultado. Pero, para hallar el total de naranjas en 10 cajones, necesitarán resolver Muéstreles que en cada capa hay 6 filas de 4 naranjas y el total se obtiene sumando seis veces cuatro, que es lo mismo que 6 4 (si se miran las columnas se llega a 4 6). Registre en las carpetas: Una manera de encontrar la cantidad total de elementos que están puestos en filas y columnas es multiplicando la cantidad de filas por la cantidad de columnas. Los conocimientos sobre el sistema de numeración permiten interpretar a como 48 dieces, o sea, 480. Luego de la puesta en común pida que resuelvan la parte b. Como se reutiliza lo desarrollado en a., haga una breve puesta en común centrada en escribir: son 70 dieces, 700. El problema 2 es más complejo que el anterior porque hay que elegir los cálculos que permiten resolverlo y descartar los que no. Obliga a los alumnos a tener que interpretar el sentido de cada cálculo. Pueden reconocer fácilmente que una manera es a través de Tendrán que descubrir qué otro cálculo sirve, aunque muchos se quedarán solo con este. Analice, en la puesta en común, cada uno de los cálculos según su sentido. Por ejemplo: No es posible sumar ni restar filas y manzanas, por lo que ni ni sirven. Como es una respuesta posible y también, si reemplazamos 20 por 10 2 nos queda puede pensarse como la suma de dos veces el resultado de 15 10, o sea, Para hallar el resultado puede usarse cualquiera de las expresiones correctas, aunque con algunas es más simple: Para resolver se tiene que son 15 dieces, 150, y al multiplicarlo por 2 se obtiene el doble, o sea, = = a. Se bajaron 480 naranjas. b. Se habrían bajado 700 naranjas. 2. a. Los cálculos que sirven son: 20 15; ; b. En la chacra hay 300 manzanos. Problemas 3 y 4 Las dos partes de cada problema pueden resolverse con el mismo cálculo, pero no tienen el mismo sentido. En la parte a. se conoce el total y el valor de cada parte y se pide hallar entre cuántos se repartió (partición). En b. se da el total y entre cuántos se reparte y se pide el valor de cada parte (reparto). Pregunte, en la puesta en común, cómo pueden darse cuenta de que las dos partes de cada problema pueden resolverse dividiendo. Pida que escriban el cálculo, indicando el significado de cada uno de los números para cada parte, lo cual ayudará a reconocer las diferencias. Por ejemplo, 360 : 30 sirve para calcular la cantidad de cajas necesarias, si se ponen 30 huevos en cada una. También sirve para encontrar la cantidad de huevos que va en cada caja, si se tienen 30 cajas. Reflexione acerca de cómo resolver las divisiones. No se espera que usen algoritmos sino que apelen a qué significa dividir. En este caso, para resolver 456 : 10 hay que encontrar la cantidad de dieces que hay en 456, hay 45 y sobran 6. Si es necesario, recurra a los billetes. 3. a. Completará 45 páginas y en una quedarán 6 figuritas.