PARA EL DOCENTE. Directora de la serie Liliana Kurzrok. Andrea Novembre. Con instrucciones para. Índice. Primaria

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1 Con instrucciones para PARA EL DOCENTE Índice Cómo es el libro... 2 Cómo es la guía docente... 3 Planificación anual... El enfoque didáctico... 6 Capítulo 1 Los números naturales y las operaciones... 8 Capítulo 2 Ángulos y triángulos...22 Capítulo 3 Los números racionales fraccionarios...26 Capítulo Cuadriláteros y polígonos...3 Capítulo 5 Operaciones con números fraccionarios... Capítulo 6 Planos y cuerpos...52 Capítulo 7 Los números racionales decimales...56 Capítulo 8 Relaciones de proporcionalidad directa...66 Capítulo 9 Medidas...72 Cómo se usa Mati.net?...78 Bibliografía...93 Directora de la serie Liliana Kurzrok Andrea Novembre Primaria 6

2 Cómo es el libro Definiciones y sistematizaciones Azul: definiciones. Anaranjado: conclusiones. Pistas para resolver los problemas Secuencias didácticas 23 Secciones especiales Aprender con la calculadora Actividades para resolver con la calculadora Actividades de integración Actividades para realizar en la carpeta que integran los temas del capítulo Aprender con la computadora Actividades para resolver con la computadora Aprender JUGANDO Juegos para aprender Juego entre todos 2

3 Cómo es... Cómo es la guía docente Título del capítulo Objetivos NAP Página del libro Problemas para resolver de manera individual Problemas para resolver en parejas Problemas para resolver en pequeños grupos Problemas Tratamiento de los problemas Posibles estrategias de los alumnos Posibles intervenciones docentes Aspectos a considerar Conclusiones Sistematizaciones Problemas para resolver de tarea Problemas para resolver con toda la clase Respuestas de las actividades Posibles debates Respuesta 3

4 Propósitos Contenidos Actividades Marzo Reconocer y usar números naturales. Explicar las características del sistema decimal de numeración en situaciones problemáticas. Reconocer y usar operaciones entre números naturales. Explicar las propiedades de los números naturales en situaciones problemáticas. Lectura y escritura de números. Problemas para aplicar diferentes formas de multiplicar. Estrategias de cálculo. Estrategias para dividir. Múltiplos y divisores. Criterios de divisibilidad. Leer, escribir y ordenar números naturales. (Páginas 6 y 7) Resolver problemas aplicando las propiedades de la multiplicación. (Páginas 8 y 9) Resolver problemas empleando diversas estrategias de cálculo. (Páginas 10 a 19) Encontrar múltiplos y divisores de distintos números naturales. (Páginas 20 y 21) Resolver problemas aplicando diferentes criterios de divisibilidad. (Páginas 22 y 23) Resolver con la calculadora. (Páginas 2 y 25) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 26) Resolver actividades de integración. (Páginas 27 y 28) Abril Reconocer, producir y analizar figuras geométricas a partir de sus características. Analizar afirmaciones acerca de las propiedades de las figuras y argumentar sobre su validez. Copiado y dictado de figuras. Triángulos: técnicas de construcción. Puntos a igual distancia. Construcción de la mediatriz. Copiar figuras geométricas usando regla, escuadra, transportador y compás. (Páginas 30 y 31) Dar y recibir instrucciones sobre el armado de figuras. (Páginas 32 y 33) Construir triángulos, a partir de los datos indicados, usando regla y transportador. (Páginas 3 y 35) Dibujar puntos a igual distancia de los puntos dados, y construir mediatrices en segmentos y figuras. (Páginas 36 y 37) Construir mediatrices y marcar puntos en segmentos y en el plano dado. (Páginas 38 y 39) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 0) Resolver actividades de integración. (Páginas 1 y 2) Mayo Junio Reconocer y usar números fraccionarios en situaciones problemáticas. Identificar y utilizar las operaciones matemáticas entre números fraccionarios. Argumentar sobre la equivalencia de distintas representaciones y descomposiciones de un número. Comparar fracciones y expresiones decimales a través de distintos procedimientos, incluyendo la representación en la recta numérica e intercalando fracciones entre otros números. Reconocer figuras y cuerpos geométricos. Producir y analizar construcciones considerando las propiedades involucradas en situaciones problemáticas. Describir, comparar y clasificar cuadriláteros sobre la base de saberes previos acerca de sus propiedades. Analizar afirmaciones acerca de las propiedades de las figuras, y argumentar sobre su validez. Números fraccionarios: reparto y medida. Fracciones: identificación de las partes de una fracción, fracción de una cantidad, equivalencia de fracciones. Números fraccionarios y división. Ubicación en la recta numérica. Comparación y ordenamiento de números. Construcción de cuadriláteros. Paralelogramos: técnicas de construcción. Construcción con diagonales. Propiedades de las diagonales. Paralelogramos: ángulos interiores, altura y propiedades constitutivas. Trapecios. Polígonos. Ángulos interiores de los polígonos. Aplicación de las propiedades de los polígonos. Resolver problemas de reparto. (Páginas y 5) Resolver problemas de unidades de medida. (Páginas 6 y 7) Resolver problemas con fracciones. (Páginas 8 y 9) Resolver problemas con fracciones equivalentes. (Páginas 50 y 51) Dividir números enteros y fracciones, y ubicar números en las rectas numéricas dadas. (Páginas 52 y 53) Comparar y ordenar fracciones. (Páginas 5 y 55) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 56) Resolver actividades de integración. (Páginas 57 y 58) Dibujar cuadriláteros y justificar la validez o invalidez de las proposiciones dadas. (Páginas 60 y 61) Construir paralelogramos y redactar instrucciones para dibujarlos. (Páginas 62 y 63) Construir figuras a partir de sus diagonales. (Páginas 6 y 65) Aplicar la propiedad de las diagonales para la construcción de paralelogramos. (Páginas 66 y 67) Construir paralelogramos aplicando las propiedades de sus ángulos interiores. (Páginas 68 y 69) Construir paralelogramos integrando los conocimientos sobre sus propiedades constitutivas. (Páginas 70 y 71) Construir trapecios de acuerdo con los datos dados. (Páginas 72. y 73) Dibujar polígonos a partir de los datos dados. (Páginas 7 y 75) Analizar polígonos de acuerdo con sus ángulos interiores. (Páginas 76 y 77) Resolver problemas aplicando las propiedades de los polígonos. (Páginas 78 y 79) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 80) Resolver actividades de integración. (Páginas 81 a 8)

5 Planificación anual Propósitos Contenidos Actividades Julio Reconocer y usar números fraccionarios y explicar sus características en situaciones problemáticas. Identificar y utilizar las operaciones matemáticas entre números fraccionarios. Suma y resta de números fraccionarios. Multiplicación y división por un número natural. Multiplicación y división entre números fraccionarios. Fracciones y proporcionalidad. Cálculo mental. Sumar y restar fracciones. (Páginas 86 y 87) Multiplicar y dividir fracciones y números naturales. (Páginas 88 y 89) Multiplicar fracciones. (Páginas 90 y 91) Dividir fracciones. (Páginas 92 y 93) Resolver problemas de relaciones de proporcionalidad directa. (Páginas 9 y 95) Resolver problemas aplicando diversas estrategias de cálculo mental. (Páginas 96 y 97) Resolver con la calculadora. (Página 98) Resolver actividades de integración. (Páginas 99 a 102) Agosto Identificar puntos en el plano y en tablas. Reconocer figuras y cuerpos geométricos. Producir y analizar construcciones considerando las propiedades involucradas en situaciones problemáticas. Producir y comparar desarrollos planos de cuerpos argumentando su pertinencia. Ubicación en el plano. Cuerpos geométricos. Características de los cuerpos geométricos. Desarrollos planos. Prismas y pirámides. Ubicar en planos y tablas utilizando sistemas de referencia. (Páginas 10 y 105) Construir y clasificar diversos cuerpos geométricos. (Páginas 106 a 109) Construir cuerpos geométricos a partir de sus desarrollos planos respectivos. (Páginas 110 a 113) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 11) Resolver actividades de integración. (Páginas 115 y 116) Noviembre - Diciembre Octubre Septiembre Reconocer y utilizar números decimales. Identificar la organización del sistema decimal de numeración y explicar sus características en situaciones problemáticas. Analizar afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que diferencian los números naturales de las fracciones y expresiones decimales. Comparar expesiones decimales a través de diversos procedimientos, incluyendo la representación en la recta numérica e intercalando fracciones decimales entre otros números. Reconocer y utilizar las operaciones entre números naturales, fracciones y expresiones decimales, y explicar sus procedimientos en situaciones problemáticas. Explicar las características de las relaciones de proporcionalidad directa. Analizar las relaciones entre cantidades y números para determinar y describir regularidades en el caso de la proporcionalidad. Comprender el proceso de la medición en situaciones problemáticas utilizando diferentes expresiones para una misma cantidad. Analizar y usar reflexivamente distintos procedimientos para estimar y calcular medidas en situaciones problemáticas. Elaborar y comparar distintos procedimientos para calcular áreas de polígonos, estableciendo equivalencias entre figuras de diferente forma. Analizar la variación del perímetro y el área de una figura ante una variación en la longitud de sus lados. Fracciones decimales y expresiones decimales. Pasaje de fracción decimal a número decimal y viceversa. Estrategias de multiplicación y división. Estrategias de cálculo mental. Expresiones decimales y medida. Números decimales y proporcionalidad. Representación en la recta numérica. Comparación y ordenamiento de expresiones decimales. Relaciones de proporcionalidad directa: situaciones problemáticas. Proporcionalidad directa. Porcentaje. Diferentes formas de representación de las proporcionalidades. Estrategias de cálculo mental. Mediciones y unidades de medida. Comparación de medidas. Perímetro y áreas. Comparación de perímetro y áreas. Áreas de figuras. Áreas de rectángulos y triángulos. Cálculo de áreas. Áreas de paralelogramos y trapecios isósceles. Resolver problemas con fracciones y expresiones decimales. (Páginas 118 y 119) Escribir números decimales como fracciones y viceversa, utilizando distintos procedimientos. (Páginas 120 y 121) Multiplicar fracciones y expresiones decimales. (Páginas 122 y 123) Dividir fracciones y expresiones decimales. (Páginas 12 y 125) Resolver cálculos con fracciones y números decimales aplicando diversas estrategias de cálculo mental. (Páginas 126 y 127) Resolver problemas que relacionan unidades de medida con expresiones decimales. (Páginas 128 y 129) Resolver problemas de relaciones de proporcionalidad directa. (Páginas 130 y 131) Representar números decimales y fracciones en la recta numérica. (Página 132) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Páginas 133) Comparar y ordenar expresiones decimales. (Páginas 13 y 135) Resolver con la calculadora. (Páginas 136 y 137) Resolver actividades de integración. (Páginas 139 a 12) Resolver problemas de relaciones de proporcionalidad directa. (Páginas 1 a 17) Aplicar el porcentaje para resolver problemas. (Páginas 18 y 19) Representar las relaciones de proporcionalidad directa a través de diferentes tipos de gráficos. (Páginas 150 y 151) Resolver problemas de porcentaje aplicando diversas estrategias de cálculo mental. (Página 152) Resolver con la calculadora. (Página 153) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 15) Resolver actividades de integración. (Páginas 155 y 156) Resolver problemas con diversas unidades de medida. (Páginas 158 y 159) Comparar varias unidades de medida. (Páginas 160 y 161) Calcular el perímetro y el área de distintos polígonos. (Páginas 162 y 163) Comparar los perímetros y las áreas de diversos polígonos. (Páginas 16 y 165) Calcular y comparar las áreas de triángulos y rectángulos. (Páginas 166 a 171) Calcular el área de paralelogramos y trapecios isósceles. (Páginas 172 y 173) Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 17) Resolver actividades de integración. (Páginas 175 y 176) 5

6 El enfoque didáctico Cuando pensamos en qué queremos que nuestros alumnos se lleven de las clases de matemática aparecen varias preguntas. Qué significa saber sumar, restar, multiplicar y dividir? Alcanza con conocer los algoritmos de las operaciones para decir que los niños saben operar? Saber matemática es saber las operaciones? Qué queremos que nuestros alumnos sepan de geometría? Para qué es necesaria la geometría? Para qué queremos que aprendan las propiedades de las figuras y los cuerpos? Antiguamente se consideraba que una persona no era analfabeta si sabía leer, escribir y operar. Hoy en día sabemos que eso no alcanza. El mundo que nos rodea es lógica, razonamiento, deducción y creación. Lo que alcanzaba hasta ayer, hoy no es suficientes. Un nuevo programa, una nueva estrategia, el mundo cambia a nuestro alrededor mucho más rápido que cuando nosotros íbamos a la escuela. Uno de los objetivos centrales de nuestra enseñanza debe ser, entonces, que nuestros alumnos sean capaces de razonar, deducir y crear. Que puedan adaptarse satisfactoriamente a las circunstancias cada vez más cambiantes. Queremos educar niños pensantes, capaces de analizar, de resolver situaciones, de buscar estrategias innovadoras, en síntesis, niños preparados para afrontar, cuando crezcan, el mundo que los rodea. Pero, cómo lograrlo? La propuesta didáctica de nuestra serie se basa en la perspectiva constructivista e interaccionista. Queremos generar en el aula una actividad de producción de conocimiento semejante al quehacer matemático, es decir que, a medida que los alumnos se apropian de los saberes, se apropian también de los modos de producir esos saberes. Construir el sentido de un conocimiento no es solo reconocer las situaciones para las cuales es útil, sino también conocer los límites de su empleo, es decir, en qué condiciones se cumplen ciertas propiedades, en qué casos es necesario apelar a otra técnica o a otro concepto, cómo se relacionan los conceptos entre sí, cuáles son las formas de representación más útiles para obtener más información, cómo se controla la coherencia de la respuesta, cómo se recomienza desde el error. En los siete libros de la serie, estudiar y aprender matemática es fundamentalmente hacer matemática, construirla, fabricarla y producirla, como hacen los matemáticos. Es cierto que ellos tienen muchos conocimientos y recursos, sin embargo, cuando se les plantea un problema, en primera instancia no saben cuáles de todos los conocimientos y recursos les conviene usar, y deben seleccionarlos entre los muchos que están a su disposición. Esto es lo que proponemos que hagan los alumnos. Esta serie plantea problemas, muchos de los cuales no son de aplicación sino que fueron pensados para enseñar contenidos, 6 lo cual puede producir sorpresa. Muchos se preguntarán cómo es posible que los alumnos resuelvan si antes no se les explica cómo hacerlo. Esta es una de las riquezas del modelo de enseñanza y aprendizaje al que adherimos. Qué es un problema? Un problema es una situación que el alumno, en principio, no sabe con qué herramienta puede resolver pero tiene recursos para empezar a hacerlo. Para ser considerado un problema, una situación tiene que ser un desafío para el alumno y permitir diversas estrategias de resolución. A veces los problemas permiten resolver situaciones externas a la matemática, como por ejemplo: Y otras, para resolver problemas internos de la matemática. Por lo tanto, una situación no es un problema por el solo hecho de tener un texto. Cuando nos referimos a problemas usados para enseñar contenidos, no esperamos que los alumnos los resuelvan completamente, ni con la estrategia más económica o convencional, ya que, si fuese así, o ya sabían el contenido que se pretende que aprendan o alguien les dijo previamente cómo

7 Enfoque didáctico hacerlo. Sin embargo, es esperable que establezcan relaciones que el docente luego retomará en una instancia colectiva. Para que esta actividad sea llevada a cabo con éxito es necesario estructurar la clase pensando esencialmente en cuatro momentos diferenciados. La gestión de la clase Proponemos una primera instancia de actividad individual por parte del alumno. En este momento cada uno se enfrenta con la situación y esboza sus primeras ideas. Puede ser que sean escasas, cortas y muy poco claras; pero les damos el momento para que se enfrenten con la situación de análisis y. la confronten. La segunda instancia es el de trabajo en pequeños grupos. En él, los alumnos confrontan sus ideas, comienzan las discusiones y llegan a los primeros acuerdos. Es muy importante que, en este momento, no seamos nosotros, los docentes, los que determinemos si un razonamiento es correcto o no. Permitamos que piensen solos aunque sus razonamientos sean erróneos. Esta interacción entre ellos permite que: confronten las respuestas elaboradas individualmente, comprendan las divergencias en las estrategias para llegar a una respuesta, comuniquen su método o su solución y lo defiendan, comprendan otros procesos, los cuestionen e interpreten, identifiquen los procesos trabajados, a menudo de modo no convencional. Los alumnos saben que nosotros tenemos más conocimientos que ellos, por eso a nosotros no nos discutirán tanto como a sus pares. Es por ello que, en este momento, es importante que nos mantengamos al margen. Ante las consultas de los alumnos, es aconsejable contestar con otras preguntas que los hagan reflexionar. Por ejemplo: pero el enunciado dice?, te acordás cuando vimos?, viste lo que hizo?, etcétera. La tercera instancia es la de la discusión colectiva. Cada pequeño grupo llega a él con una idea, un acuerdo entre los integrantes del pequeño grupo. Ese acuerdo vuelve a ponerse en discusión. Se genera entonces un debate. Debatir no consiste en oponer una opinión a otra sino que exige a todos aportar argumentos basados en hechos que los demás puedan constatar. El objetivo de este debate entonces es confrontar procedimientos y producir conclusiones colectivas. La cuarta instancia es aquella en la que el docente sintetiza lo aprendido y pone nombre a las propiedades. En este momento se establecen las relaciones entre el conocimiento que ha circulado en clase y el que se pretendía enseñar. En todo este proceso el docente tiene un rol fundamental. Sus funciones son: elegir y proporcionar los problemas, organizar las actividades de los alumnos, ayudar a que se hagan cargo de la situación, plantear preguntas, enseñar a debatir y a justificar, moderar en el debate, sacar a la luz los razonamientos que pudo ver en los diferentes grupos, mientras pasaba a mirar lo que iban haciendo, gestionar el estudio de los alumnos, definir finalmente los nuevos conceptos que los alumnos fueron construyendo. El tratamiento del error Consideramos que se aprende tanto del error como de un procedimiento correcto. Cometer errores y frustrarse es parte del aprendizaje. El error, en general, no es falta de estudio o de atención, sino que revela una forma de pensar y unos conceptos implícitos que es necesario explicitar para que se pueda reflexionar sobre ellos para entender por qué se cometieron. Si se tachan y no se vuelve sobre ellos, el alumno no sabrá si su error es casual o si sus conocimientos no eran suficientes o fueron mal aplicados y, seguramente, volverá a cometerlos. Es necesario explicitar y debatir acerca de los errores. Cuando en la clase se analiza por qué y dónde se cometió algún error, se intenta que dicho error no se repita. La guía docente Pensamos esta guía para ayudar a los docentes a transitar todos los momentos de la clase. Aquí encontrarán el análisis de todos los problemas planteados en los libros con posibles estrategias de los alumnos, sugerencias de intervenciones docentes a partir de ellas y las sistematizaciones. [el maestro] es aquel que ayuda al alumno a adquirir un poder aprendiendo a forjar, a comprender y a utilizar instrumentos matemáticos. 1 Esperamos que los ayude en el desafío diario de enseñar y aprender. 1 R. Bkouche (1991). 7

8 Capítulo 1 Los números naturales y las operaciones Objetivos: Que los alumnos: Operen con números naturales seleccionando el tipo de cálculo y la forma de expresar los números. Argumenten sobre la validez de un procedimiento usando propiedades de las operaciones. NAP: El reconocimiento y uso de la organización del sistema decimal de numeración. Problemas 1 a Comience la clase pidiendo que resuelvan los problemas 1 y 2. Plantee luego una puesta en común con preguntas que provean medios para controlar la escritura de los números; por ejemplo: Qué miraron para escribir los números? Cuántas cifras tiene el número 2,1 millones? Arme con los alumnos una lista de las conclusiones para que quede registrada en las carpetas. La escritura de las conclusiones es un trabajo valioso, ya que recoge lo que merece recordarse de un problema y ayuda a organizar el estudio posterior de los alumnos. Ellos no saben hacerlo solos, por eso usted debe ayudarlos a aprender a estudiar, y una de las herramientas necesarias en esta tarea es el cuaderno o la carpeta. No es posible estudiar con un cuaderno hermético, lleno de números, sin explicaciones, sin conclusiones ni ideas para recordar. Entre las conclusiones deben estar: Un millón se escribe y es el primer número que se escribe con siete cifras. El último es El primer número que se escribe con 8 cifras es diez millones, y el último es ,1 millones es 2 millones + 0,1 millones, que es ,1 millones. Como 0,1 millones es la décima parte de un millón, es igual a , la potencia anterior de 10. Por lo tanto, 2,1 millones se escribe Para ordenar números es conveniente que estén escritos de la misma forma.,1 millones = ; = Pida que resuelvan los problemas 3 y que son aplicaciones de los anteriores. Haga una breve puesta en común solo si lo considera necesario. 1. a. Treinta y seis millones doscientos sesenta mil ciento treinta. b c ;,1 millones; ; a. Santa Fé tiene más habitantes con 2,79 millones. Entre Ríos tiene menos habitantes con 1,02 millones. b. Córdoba: ; Entre Ríos: ; Mendoza: ; Santa Fe: Problemas 5 y 6 Pida que resuelvan el problema 5 sin hacer las cuentas. En la puesta en común proponga un intercambio basado en el análisis de algunos de los cálculos propuestos, ya que su lectura y no el resultado da información sobre el número. Por ejemplo: se basa en la cantidad de miles de muestra que el número tiene 36 cienes y 50 unidades. Solicite que encuentren otros cálculos que den y puedan leerse del número; por ejemplo, El problema 6 es una aplicación del anterior, por lo que solo registre formas de escribir el mismo número. Por ejemplo: = = = = , etcétera ; ; ; ; a. Está resuelto. b ; ; c ; ; d ; ; e ; ; f ; ;

9 Capítulo 1 Problema 9 Pida que lean el problema y luego proponga que analicen lo que hicieron Tatiana y Lazlo. Este tipo de estrategias deben estar disponibles en los alumnos para operar. Por eso es imprescindible que las comprendan y escriban en la carpeta las conclusiones. Tatiana se basa en la multiplicación como la suma de varias veces el mismo número, es decir que puede pensarse como la suma de 2 veces 350. Esta suma puede calcularse como 20 veces 350 más veces 350, o sea, = Lazlo descompone 2 en 6 y, a partir de esto plantea que = Una manera de hacer este último cálculo es secuencialmente de izquierda a derecha, primero 350 y el resultado por Respuesta personal. Problema 7 Antes de que resuelvan el problema aclare la notación de las potencias de 10 en términos de exponentes. Pida que lean el lateral y registre en las carpetas varios casos. Por ejemplo: 10 3 = 1.000, 10 2 = 100, etc. Resuelva con la clase cada ítem, registre las resoluciones y agregue estas conclusiones a la lista que comenzó a armar en los problemas anteriores. Mirando el número se lo puede descomponer en potencias de 10 porque las cifras son los números que multiplican cada potencia. Los exponentes van disminuyendo de izquierda a derecha, hasta llegar al dígito que ocupa el lugar de las unidades que no queda multiplicado por ninguna potencia de a ; 5; 10 2 ; 10; 3. b ; 0. c. 2; 10 6 ; 10 5 ; ; 0; 103; 10. Problema 8 En la puesta en común pregunte cómo hicieron para darse cuenta cuál de los números es el mayor. Registre por ejemplo: Como tiene 13 cienes y 1.20 tiene 1 cienes entonces el segundo es el mayor ; ; Problemas 10, 11 y 12 Estos problemas aplican las conclusiones elaboradas en el problema 9. En la puesta en común revise las diferentes estrategias de resolución y sus explicaciones. Registre las conclusiones, por ejemplo: Multiplicar un número por 7 es lo mismo que sumar ese número 7 veces y, por ejemplo: puede resolverse agrupando los 7 cuatros de diferentes formas, una de esas es: 7 = ( + ) + ( ) = Esta resolución no cambia si se pone otro número en lugar de y entonces la tabla del 7 puede obtenerse sumando la tabla del 2 y la del 5. También como la suma de la tabla del 6 y del 1 o la del 3 y del. Observe que esta es una manera de deducir algunas tablas a partir de otras que ya se saben. El método de Lazlo tiene sentido cuando el factor que se quiere descomponer no es primo. Por ejemplo, para resolver conviene el método de Tatiana y no el de Lazlo porque ni 23 ni 19 pueden descomponerse de otra manera que usando los mismos números = = = = = = Sí, porque un resultado de la tabla del 2 es un número multiplicado por 2, al sumarle el correspondiente de la tabla del 5, se suma el mismo número de antes multiplicado por 5, lo que da ese número 7 veces, por lo tanto es múltiplo de a. 37 b c ; 15 12;

10 Problema 13 Este problema aplica lo desarrollado en los anteriores. Plantee una puesta en común donde se compartan y discutan las estrategias y explicaciones. Observe que para resolver 35 21, los egipcios descompusieron el 21 como 21 = De esta manera podría resolverse cualquier multiplicación donde el otro factor sea una suma o resta de 1, 2,, 8 o 16. Por ejemplo: = o; = a = 35 ( ) = b. Por ejemplo: 35 20; 35 31; 35 7; Problemas 1 y 15 Solicite que resuelvan los problemas y que los comparen con el 9. Haga una puesta en común. Pregunte en qué casos conviene usar cada método = = = = = = = = = = = = = a b c a..752 b. 988 c..910 Problema 16 Es una aplicación de los anteriores. En la puesta en común pida que registren todas las maneras que aparecen. Por ejemplo: = = = Respuesta personal. Problemas 17 y 18 Estos problemas, llamados de combinatoria o conteo, constituyen un tipo de situaciones que pueden resolverse con una multiplicación. Intentarán enumerar los casos, pero es un método engorroso por lo largo y difícil de controlar. Otros optarán por agrupar los datos en una tabla o un diagrama de árbol. Sin embargo, la vinculación con la multiplicación quedará a su cargo. Para el problema 17, un equipo juega con los otros 6 y como hay 7 equipos, la cantidad total de partidos es 7 6 = 2. En el caso del problema 18, como no se pueden repetir las cifras, hay 5 posibilidades para el primer dígito del número, para el segundo, 3 para el tercero, 2 para el cuarto y 1 para el quinto. Se pueden formar, entonces, = 120 números. Si los dígitos se pudieran repetir, entonces habría 5 opciones para cada dígito y se pueden formar = números. 17. a. 2 partidos. b. 1 fechas. 18. a b = números. Problema 19 Es probable que comiencen a pensar el problema 19 haciendo un diagrama de árbol. 10

11 Capítulo 1 que tiene que coincidir con otro. Problema 2: La cantidad de posibilidades que hay de elegir 3 sustancias de 5 disponibles es 5 3. Pero en ese caso la elección A, B y C es distinta de la elección B, A y C. Sin embargo al mezclarlas se forma la misma sustancia. Como la cantidad de formas de elegir a A, B y C es 6 (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), la cantidad total de mezclas será: a. 5 cortes. b. 7 cortes números números capicúas combinaciones. Luego de la resolución plantee una puesta en común. Registre las conclusiones: La cantidad de conejos se duplica cada medio año, empezando con 2. A los 6 meses hay ; al año, 8; al año y medio, 16 y a los dos años, 32 conejos. A los años (8 medios), habrá 512 conejos ( ). 19. a. 2 años = 32 conejos. años = 512 conejos. b Problemas 20 a 2 Estos problemas pueden resolverse multiplicando. Si lo cree conveniente, haga puestas en común intermedias. Si no, haga una sola al final y registre las conclusiones: Problema 20: Por cada corte, se duplican las partes. La cantidad de partes puede obtenerse multiplicando el número 2 tantas veces como la cantidad de cortes. Problema 21: La cantidad de números de 3 cifras diferentes que se pueden armar a partir de 6 dígitos es 6 5 = 120. Problema 22: Si hay 3 caminos posibles para un tramo y 2 para el otro, la cantidad total de recorridos es 3 2 = = 9. Problema 23: Para armar un número capicúa se pueden elegir libremente algunos de sus dígitos porque otros tienen que coincidir con los primeros. Los números capicúas de 5 cifras tendrán la forma abcba donde a, b y c pueden ser cualquiera de los dígitos dados. Habrá entonces números diferentes. Los unos se deben a que solo hay una posibilidad para ese número, Problema 25 Una de las estrategias útiles para que los alumnos incorporen métodos de cálculo mental es restringir las posibilidades de uso de algunas técnicas. Recuerde que es necesario que usen el cálculo pedido y que no pueden resolver de otra manera. En estos momentos de aprendizaje usted debe autorizar o desautorizar formas de resolución con fines didácticos. Proponga un debate en torno de la resolución del problema y la explicación. Luego de acordar una con los alumnos, regístrela: = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = En cada caso, los resultados se modifican de la misma forma que los factores y los cálculos no resueltos lo muestran. El análisis de los cálculos muestra otras relaciones. Por ejemplo: es el doble de porque se duplicó uno de los factores es el doble de porque 32 es el doble de da el mismo resultado que porque se duplicó el 8 y se tomó la mitad del 250. Pida que busquen otras relaciones y regístrelas. 25. a b..000 c..000 d e f Problemas 26 y 27 Proponga que resuelvan los problemas entre todos y, una vez obtenido un acuerdo, registre la resolución en el pizarrón: 2 3 = es el doble de = = es el doble de es el triple de es el doble de es el doble de

12 = = = = y como, = 15 2, entonces, = a. 72; 96; 120; 1; 168; 192. b. 216; 288; 32; 80; 576; = = = = x 120 = 29 x 5 x 2 = 15 x 2 Problemas 28 a 30 Pida que resuelvan los problemas. Haga una puesta en común y registre una respuesta con su explicación. Lo que hizo Camilo es correcto porque quería multiplicar por 5 y multiplicó por 10 que es el doble, entonces para llegar al mismo resultado tiene que dividir por 2, es decir, calcular la mitad = : 2 = = = : 2 Multiplicar un número por 12 es sumar ese número 12 veces. Para eso se puede sumar el número 10 veces, después 2 veces y por último sumar los resultados. Entonces, multiplicar por 12 es lo mismo que multiplicar por 10 y por 2, y después sumar los resultados. La afirmación es falsa salvo que el número que se quiere multiplicar termine en 1. Por ejemplo: = = , sin embargo, = = Si en una multiplicación se duplica uno de los factores, el resultado también se duplica. Por ejemplo: 8 15 = 2 15, entonces 8 15 es el doble que Sí, porque 10 = : 2; : 2; : ; :. 30. a. No. b. Sí. Problemas 31 a 33 Pida que resuelvan los problemas. En la puesta en común registre las explicaciones. Por ejemplo: Para resolver el problema 31 hay que hacer 157 : 10 y eso se puede leer en el número porque es la cantidad de dieces que tiene, es decir, 15 paquetes y sobran 7 caramelos : tiene por cociente 8 y resto paquetes paquetes. 33. División Cociente Resto 35 y y y División Cociente Resto y y y Problema 3 En una división, el cociente indica la cantidad de veces que el divisor está contenido en el dividendo y el resto, lo que sobra. Entonces, para hallar el dividendo si, por ejemplo, el divisor es 10, el cociente 2 y el resto 9, hay que hacer = 29. Es decir, el dividendo será 29. Si el divisor fuera 100, el dividendo sería =.209. Al cambiar el divisor se obtienen diferentes dividendos, por ejemplo, 2.009, , etcétera. Observe que en este problema el divisor queda a elección de los alumnos. Algunos se resistirán a hacerlo por no reconocer la elección arbitraria de un número como algo matemáticamente aceptable. Si este fuera el caso, aclare que el divisor no es un dato del problema y es necesario para encontrar el dividendo, entonces hay que proponer un valor para él para encontrar todas las posibles soluciones. Es posible que elijan números diferentes y todos estarán bien. En este caso, la interacción con los compañeros funciona como un medio para darse cuenta de que no hay una única respuesta. Pregunte qué pensó cada uno y aclare que no es necesario que todos completen el cuadro de la misma manera. 12

13 Capítulo 1 Problemas 36 a 38 Estos problemas se resuelven con una división. Puede hacer una puesta en común al finalizar todos o luego de cada uno. En todos los casos, pida que brinden explicaciones. Finalmente, registre las conclusiones. Problema 36: Como el resto de la división de 78 por 6 no es cero, hay personas que no podrían viajar sentadas, por lo que es necesario agregar un micro que no irá lleno. Es decir, se necesitan 11 micros. Problema 37: El cociente y el resto de 59 : 12 son 5 y 9, respectivamente; entonces, para completar una caja más hay que agregar 3 huevos más a los 9 que sobran. Problema 38: Los años bisiestos hasta 2099 son los múltiplos de. Un año es bisiesto si el resto al dividirlo por es cero. Entonces 2096 es bisiesto y 2075 no micros huevos. 38. a. El año 2096 será bisiesto y el 2075 no. b. Dividir por y ver si el resto es 0 o no. 3. Por ejemplo: División Cociente Resto 29 y y y y Problema 35 El objetivo de este tipo de consignas es detenerse en la explicación de los chicos. Si lo considera necesario recuerde que dividir por 100 es buscar la cantidad de veces que 100 entra en el número. También puede sugerir que usen billetes. Encontrar el cociente de : 100 equivale a buscar la cantidad de billetes de $100 que se necesitan como máximo para pagar $2.761.Plantee un debate para que los alumnos intenten expresar con sus palabras una posible explicación. Concluya que: Dividir por 100 es buscar la cantidad de veces que 100 entra en el dividendo, o sea, cuántos cienes tiene. Como tiene 27 cienes y 61 unidades, el cociente es 27 y el resto 61. El cociente y el resto de dividir un número por 100 pueden leerse en el número. 35. Respuesta personal. Problemas 39 a 1 Pida que resuelvan el problema 39 y realice una puesta en común. Concluya que: La cantidad de palomas que Horacio ubicó en las jaulas es 27 5 y como le sobraron palomas, en total tiene palomas. Los problemas 0 y 1 son una aplicación del anterior. Pida que los resuelvan y registre: La cantidad de perlitas que tiene Tatiana es La cantidad de asistentes al espectáculo es perlas espectadores. Problemas 2 y 3 En la puesta en común proponga intercambiar respuestas y explicaciones. Es necesario que los alumnos comprendan que el cociente indica la cantidad de veces que el divisor entra en el dividendo, mientras que el resto es la cantidad de unidades que se pasa de ese múltiplo del divisor. Registre, por ejemplo: 15 entra 21 veces en el dividendo y sobran 8 unidades, entonces el dividendo es En general resulta que cociente divisor + resto = dividendo. Si a 553 se le resta 13, que es el resto, queda el producto entre el cociente y el divisor. Al dividir este resultado por el cociente se obtiene el divisor. Por lo tanto, divisor = (553 13) : 36 = 15. En general, divisor = (dividendo resto) : cociente. Una división puede pensarse como un cálculo horizontal. Por ejemplo, el cálculo = 28 significa que al dividir 28 por 20, el cociente es 12 y el resto 8 o que, al dividir 28 por 12, el cociente es 20 y el resto 8. Esto es así porque 8 es menor que 12 y que

14 Hay una sola posibilidad Hay una sola posibilidad. Problema Este problema es una aplicación de los anteriores. En la puesta en común, tenga presente que: Como el resto de dividir 1.70 por 2 es 12, 1.70 supera a un múltiplo de 2 por 12 unidades. Entonces, si a 1.70 se le resta 12 o se le suma 12 (lo que le falta para llegar al próximo múltiplo de 2), el resto de la división de ese número por 2 es 0. Así, = y = tienen resto 0 al ser divididos por 12. La recta numérica permite visualizar lo recién descripto: múltiplo de 2 siguiente a 2 72 Si se extiende la recta numérica en ambos sentidos puede verse que si a se le suma 2, 8 o cualquier múltiplo de 2, se obtiene otro múltiplo de 2. Lo mismo sucede si a se le resta un múltiplo de 2.. a. Sí. b. No. c. Sí. d. Sí. Problemas 5 y 6 Algunos alumnos tal vez usen la relación entre los elementos de la división, pero es posible que otros intenten resolverlo por ensayo y error. Haga una puesta en común y registre: Problema 5: D d 5 12 Como el resto debe ser menor que el divisor, d tiene que ser mayor que 5. Para cada uno de los valores posibles se puede calcular el dividendo a partir de la relación cociente divisor + resto = dividendo. Por ejemplo, si el divisor es 6, el dividendo es Si es 7, el dividendo es Hay infinitas divisiones con ese cociente y ese resto. Se pueden inventar infinitas cuentas con estas características. Problema 6: D Problemas 7 y 8 Pida que resuelvan los problemas. Comience por explicar el problema 7 y luego pida que resuelvan el problema 8 que es muy similar al. Registre las conclusiones: Al escribir la división entre 315 y 25 como un cálculo horizontal resulta 315 = Si el divisor fuera 12, el resto no puede ser 15 porque es mayor que 12 y es necesario encontrar el nuevo resto: 315 = = El primer término indica que hay 25 doces, al que se le suma un 12 más y quedan en total 26 doces. Luego, 315 = = = Como 15 contiene 1 vez a 12, el cociente aumenta en 1 y las 3 unidades que sobran constituyen el resto. Cuando se divide 308 por 25, o por 12, el resto 8 no cambia. Esto se debe a que 8 es menor que 25 y que 12. Hay infinitas divisiones que tienen cociente 25 y resto 12. Para buscarlas basta poner un divisor cualquiera mayor que 12 y calcular el dividendo a partir de la relación cociente divisor + resto = dividendo. Por ejemplo: ; , etcétera. En este caso hay un solo valor posible para el dividendo, D = y, por lo tanto, una sola división. 5. Por ejemplo: 77 dividido 6 o 125 dividido 10. Hay infinitas posibilidades dividido a. El 300 viene de hacer El 75 viene de hacer b. Por ejemplo, dividido 100. c. Sí, hay infinitas posibilidades. 8. Porque en el primer par de cuentas, el cociente y el divisor de la primera cuenta son mayores que el resto. En cambio, en el segundo par de cuentas, el resto es mayor que el cociente, entonces, al intercambiar divisor con cociente, ese número ya no sirve como resto.

15 Capítulo 1 Problema 50 Uno de los errores comunes que comenten los alumnos cuando resuelven divisiones es que suelen olvidarse de los ceros que aparecen en el medio de los cocientes. Para analizar estos errores y poder generar en ellos herramientas de control es necesario analizar problemas como este. Pida que lean el problema y que indiquen quién tiene razón. Someta a discusión el argumento de Tatiana. Observe que para que este tipo de controles estén disponibles, es necesario que la multiplicación por la unidad seguida de ceros sea algo habitual. Concluya que Tatiana tiene razón porque 5 23 es 5 veces el 23 que tiene que dar menor que si se consideran 100 veces el 23. Pero según la cuenta de Lazlo 5 23 debería dar 5 menos que y eso es imposible porque esa cuenta da menos que Pregunte luego cómo harían para encontrar la cantidad de cifras que tiene el cociente. Registre que: = y = Como está entre y , entonces el cociente debe estar entre 100 y y por lo tanto es un número de 3 cifras. 50. Tatiana tiene razón. a. Observa que el dividendo tiene que ser 5 más que el resultado de la multiplicación entre el cociente y el divisor, pero ese resultado es menor que otro que es mucho menor que el dividendo. b. 3 cifras. Problema 9 Los alumnos tienen que tener disponibles distintos modos de resolver para poder elegir el que les convenga realizar de acuerdo a los números involucrados. Por ello es imprescindible que realice un debate respecto a ellos. Pida que lean las resoluciones de los chicos y que escriban con sus palabras los pasos que hizo cada uno. Después solicite que lean lo que escribieron para que sean los compañeros los que indiquen que les pareció. Finalmente, pida que expliquen los pasos y que contesten a las preguntas. Por ejemplo: Los procedimientos de Tatiana y Juan son similares salvo que Juan resumió algunas cuentas. Por ejemplo: Tatiana hizo 3 50, 3 20 y 3 10 y Juan hizo directamente Lazlo hizo menos cuentas escritas pero tuvo que haberlas pensado = a. Sí, porque Juan hace 3 80 y eso es lo mismo que = que es lo que hace Tatiana. b. Porque Juan puso 80, que los incluye. c. El es el resultado de Problemas 51 y 52 Para generar alumnos autónomos conviene que construyan varias estrategias de control. Por ejemplo, si pueden analizar cuántas cifras debe tener un cociente antes de realizar la cuenta, podrán determinar que si en una división el cociente tenía que tener 3 cifras y les dio 2, cometieron un error. Pida que resuelvan los problemas. Si lo considera necesario sugiera que lean el lateral. Registre las conclusiones luego de la puesta en común. Problema 51: El cociente es la cantidad de veces que entra el divisor en el dividendo. Como = y = , entonces está entre y Por lo tanto, el cociente de : 12 está entre y y tiene cifras. Para la parte b., como está entre y , el cociente está entre 100 y y tiene 3 cifras. Problema 52: Juliana descompone el dividendo como suma de números que son divisibles por 25 y cuyos cocientes se pueden calcular fácilmente. La suma de todos los cocientes es el cociente final y el sumando que no llega a 25 es el resto. 51. a. cifras. b. 3 cifras 52. a. Producción personal. b. Producción personal. 15

16 Problemas 53 a 55 Pida que resuelvan los problemas. Para el 53, sugiera que usen una recta numérica como en el. Finalmente registre los aspectos que merecen ser retenidos. Si 350 : 25 tiene cociente 1 y resto 0, entonces = 350, o sea que 1 25 = 350. Por lo tanto, 370 = = Como 20 es menor que 25, este último cálculo horizontal puede interpretarse como una división: al dividir 370 por 25, el cociente es 1 y el resto = = , luego, al dividir 359 por 25, el cociente es 1 y el resto 9. Como = 375 y puede interpretarse como la suma de 15 veces el número 25, la igualdad puede reescribirse como = 375. Luego, el resto de dividir a 375 por 25 es 0 y el cociente 15. Si la calculadora da 30,8 como resultado de la división 762 : 25, entonces 25 entra 30 veces enteras en 762. Una forma de calcular el resto es a través de la cuenta = 12. En general, resto = dividendo cociente divisor. Para hacer 1.1 : 1 puede descomponerse el dividendo como 1.1 = Como 1.00 : 1 = 100 y 1 : 1 = 1, el cociente de 1.1 : 1 es = 101. Cuando Carlos dice que el resultado es 11 porque cada uno de los 1 dividido 1 es 1, comete el error de pensar que el primer 1 es un 1, cuando en realidad es Otra forma de pensar el último problema es que como = 1.00 y = 1.000, el cociente de la división debe tener 3 cifras y entonces no puede ser No ; 9 y Problema 56 Importa analizar por qué difieren los resultados obtenidos cuando las dos resoluciones aparentan ser correctas. La resolución y la explicación quedarán a su cargo. A partir de las dos divisiones es posible escribir los cálculos horizontales 700 = y 7 = Con lo cual 77 = = = Pero 9 77 es la suma de 77 nueves y 9 5 la suma de 5 nueves. La cantidad total de nueves que se suman es = 83, o sea que: = Por lo tanto, 77 = 9 83 y puede leerse como la división entre 77 y 9, que tiene cociente 83 y resto 0. El resultado no era correcto porque no se tuvieron en cuenta los restos. Al sumarlos, se obtiene 9, que es el valor del divisor, lo que aumenta en 1 al cociente. 56. Le falta sumar los restos, para obtener 9, que permite dividir el dividendo una vez más por el divisor y entonces, así, el cociente aumenta en 1. Problema 57 En la puesta en común pregunte por qué en la parte a. puede dividirse dos veces por 3 y en la parte b. no. Registre que esta propiedad es válida cuando las divisiones tienen resto 0. En este caso: = y, 706 = Si en la primera igualdad se reemplaza 706 por lo que indica la segunda igualdad, resulta que: = 3 ( ) + 2 = = A partir de la última igualdad se puede decir que al dividir por 9, el cociente es 235 y el resto 5, que resulta de multiplicar por 3 el resto de la división 706 : 3 y sumarle el resto de : a. Sí. b. No. Problema 58 Pida que resuelvan el problema y autorice el uso de la calculadora. En la puesta en común verifique si se dieron cuenta de que la diferencia entre los cálculos está en el orden. Lazlo primero resolvió 128 : y Tatiana primero calculó : 2. Aclare y registre que cuando se tiene una serie de multiplicaciones y divisiones hay que resolverlas siempre de izquierda a derecha. 58. No. 16

17 Capítulo 1 b a. Se pasa por el 12, pero no por el 53. b. No se pasa por el 765, pero sí por el La única incorrecta es la d No es posible, porque 12 = 3 y todo múltiplo de 12 es 12, dónde es un número natural cualquiera. Entonces 12 = 3 y es un número natural; por lo tanto el número es múltiplo de 3. Problema 63 Proponga discutir sobre cómo resolver este problema. Finalmente, registre la solución y la explicación acordada. La cantidad de huevos es un número que tiene que verificar que: Es unidades más que un múltiplo de 6. Es unidades más que un múltiplo de 12. Es 10 unidades más que un múltiplo de 18. A partir de un listado de números que cumplen las tres condiciones anteriores se podrá encontrar alguno en común. Múltiplos de 6 + : 10, 16, 22, 28, 3, 0, 6, 52, 58, 6, 70, 76, 82, 88, 9, 100 Múltiplos de 12 + : 16, 28, 0, 52, 6, 76, 88, 100, 112, 12, Múltiplos de : 28, 8, 6, 72, 90 El número buscado puede ser 28 o 6, aunque no son los únicos valores posibles. Problemas 59 a 62 Solicite que resuelvan los problemas. Puede hacer una puesta en común una vez que los hayan finalizardo todos, o en otro momento que lo considere necesario. Registre las conclusiones: 8 = = Si se cuenta de en empezando de 0 solo se pasa por los múltiplos de, que son todos pares. Se pasa por 12 porque 12 = , que son dos múltiplos de y, por lo tanto, también su suma. No se pasa por 53 porque es impar. Si se cuenta de 6 en 6 empezando de 0 se pasa por todos los múltiplos de 6. Como 168 es múltiplo de 12, el resto de la división entre 168 y 12 es 0 y la relación entre los valores es 168 = 12 cociente + 0 = 12 cociente. Luego, 168 es el producto entre 12 y un número natural. A partir de la escritura 168 = 12 1 puede afirmarse que 168 es múltiplo de 12 y de 1. Otra forma de decir esto es que el resto de la división entre 168 y 1 es 0, al igual que el resto de 168 : 12. Como 168 = 12 1 = 2 6 1, 168 es múltiplo de 2, de 6 y de 1. Si se escribe a 1 como 2 7 y a 6 como 2 3, también puede decirse que 168 es múltiplo de 7 y de 3. Todos los números que son múltiplos de 12 también son múltiplos de 3 porque como pueden escribirse como el producto entre 12 y un número entero, si se escribe 12 como 3, también pueden escribirse como el producto entre 3 y un número entero. Entonces, el número es múltiplo de 3. Por la misma razón esos números también serán múltiplos de, de 6 y de a. Por ejemplo: huevos, 6 huevos, etcétera. Problemas 6 a 67 En la puesta en común de estos problemas céntrese en la explicación y su escritura. Pida que un grupo escriba su resolución en el pizarrón y que los demás opinen sobre ella. Luego registre la versión final. Si un número es múltiplo de 2 entonces puede escribirse como el producto entre 2 y un número natural, o sea 2, donde el símbolo representa un número natural cualquiera. Pero como 2 = 6, 2 = 6, que es un múltiplo de 6 porque pudo escribirse como el producto entre 6 y, que es un número natural. Por la misma razón que en el caso anterior, si un número es múltiplo de 2, también será múltiplo de todos los divisores de 2, o sea de 2, 3,, 6, 8 y 12. Si 6 35 = 2.20 entonces, 2.20 es múltiplo de 6 y de 35. Además, el resto de la división entre 2.20 y 35 es 0. También es 0 el resto de 2.20 : 6. Como 6 = 8 8 y 35 = 7 5 entonces =2.20. Luego, 2.20 es divisible por 7, por 8, por 5, por 56, etc. y el resto de la división entre 2.20 y cada uno de los valores anteriores es 0. Como = y es múltiplo de 8, el número es un múltiplo de 8 más 2. Entonces tiene resto 2 si se divide por 8. Si el resto de la división entre 36 y 7 es 0, 36 es múltiplo de 7 y puede escribirse como el producto entre 7 y un número natural, 36 = = , entonces 365 tiene resto 1 al ser dividido por 7. 17

18 3 = = , entonces, 3 es múltiplo de 7 porque es la suma de dos múltiplos de = 7 52 = = 1 26, entonces, 36 tiene resto 0 al ser dividido por 1. Si 36 = 7 52, entonces, 3.60 = y el resto de la división entre 3.60 y 70 es = = 7 5 = = 21 18, entonces, el resto de la división entre 36 y 21 es = Como 3.60 es múltiplo de 70, entonces el resto de la división entre y 70 es a. Sí, porque 2 = 6. b. Por: 2, 3,, 8 y Son todas correctas. 66. El resto es 2 porque = a.1 b. 0 c. 6 d. 0 e. 0 f. 0 Problema 68 Pida que resuelvan el problema y que expliquen sin hacer las cuentas. Luego de la puesta en común concluya que: Si 8 y 93 son múltiplos de 3, cada uno de ellos es el producto de 3 por un número natural o la suma de una cantidad de veces 3. La suma entre 8 y 93 puede expresarse como la suma de varias veces 3, luego, también es múltiplo de 3. Si dos números son múltiplos de otro, su suma también es múltiplo de ese número. 68. a. Sí. b. Sí. 69. Producción personal. 70. Producción personal. 71. Tatiana puede analizar si cada sumando es múltiplo de 7 o no. Problemas 69 a 71 Pida que lean cada problema y genere un debate. Finalmente proponga que redacten las conclusiones y que las lean para poder armar una conclusión final que quede clara para todos. Por ejemplo: En el problema 69: Un múltiplo de 7 es 7, otro múltiplo de 7 será 7, con y números naturales. Al sumar los dos, quedará una cantidad de 7 sumados más otra cantidad de 7 sumados, en total tenemos una suma larga de muchos 7, y ese resultado es múltiplo de 7, (es 7 ( + )) Lo mismo ocurriría si en lugar de 7 consideráramos otro número natural y por lo tanto, si se suman dos múltiplos de un mismo número, el resultado también es múltiplo de ese número. En el problema 70: Como un múltiplo de 7 es 7, dónde es un número natural, si a esa cuenta se la multiplica por otro número natural, seguirá siendo 7 por algo y entonces el resultado seguirá siendo un número natural. En el problema 71: Como 1.00, 70 y 28 son múltiplos de 7; 1.98 también es múltiplo de 7 usando las conclusiones del problema 69. Problemas 72 y 73 Pida que lean lo que dice Juan en el problema 72 y que contesten las preguntas. Observe que en este caso, se usan las conclusiones anteriores dado que Juan descompone al número en 3 sumandos, dos de los cuales son múltiplos de porque y 100 lo son. Finalmente, para que esa cuenta dé múltiplo de el último término debería serlo porque si no, no llega al múltiplo de siguiente. Entonces, Juan podría reescribir su cuenta como: y observar que como los 3 primeros sumandos son múltiplos de, 5.73 tiene resto 2 al dividirlo por y no puede ser múltiplo de. Pida luego que lean lo que hace Lazlo en el problema 73 que permite reinvertir lo anterior pero con los múltiplos de 3. Observe en este caso que Lazlo intenta escribir su número con una descomposición equivalente que tenga términos que son múltiplos de 3. Luego del debate, en el momento de la institucionalización, haga una exposición que analice los criterios de divisibilidad. Por ejemplo: para decidir si un número es par es posible descomponerlo analizando la cantidad de dieces que tiene. Por ejemplo: 75 = , como cualquier número multiplicado por 10 es par, la paridad del número estará dada por la última cifra. Es decir, un número es múltiplo de 2 (par) si termina en 18

19 Capítulo 1 sea múltiplo de, debe serlo, = 86. Esta descomposición puede hacerse con cualquier número, entonces, un número es múltiplo de si el número de dos cifras formado por los dos últimos dígitos del número lo es. Pensemos ahora en la siguiente descomposición: = Como es múltiplo de 8 porque lo es, entonces es múltiplo de 8 si 235 lo es. En este caso 235 = , entonces no es múltiplo de 8. Un número es múltiplo de 8 si el número de tres cifras formado por las últimas cifras del número lo es. 72. a. Sí, porque = 250 y 100 = 25. b. Porque los otros sumandos ya son múltiplos de, al serlo y a. Sí, porque 999 = 3 333, 99 = 3 33 y 9 = 3 3. b. Porque los otros sumandos ya son múltiplos de 3, al serlo 999, 99 y 9. c. Sí, porque 999, 99 y 9 son múltiplos de 9. En este caso, el número no es múltiplo de 9 porque = 19. un número par (0, 2,, 6 u 8). En caso contrario, es impar. Con la misma descomposición puede analizarse que como 7 10 es múltiplo de 5 porque 10 lo es, entonces un número es múltiplo de 5 si la última cifra lo es, es decir si termina en 5 o 0. Para analizar si un número es múltiplo de 3 se puede realizar lo siguiente..586 = = veces es lo mismo que 999 veces el y después sumarlo una vez más. Como 999, 5 99 y 8 9 son múltiplos de 3 porque 999, 99 y 9 lo son, entonces el número será múltiplo de 3 siempre que sea múltiplo de 3. Luego: un número es múltiplo de 3 siempre que la suma de sus cifras sea múltiplo de 3. Con la misma demostración podemos analizar que como 999, 5 99 y 8 9 son múltiplos de 9 porque 999, 99 y 9 lo son entonces el número será múltiplo de 9 siempre que sea múltiplo de 9. Luego: un número es múltiplo de 9 siempre que la suma de sus cifras sea múltiplo de 9. Para analizar si un número es múltiplo de se puede observar la misma descomposición anterior: = veces 7 es múltiplo de 7 porque lo es. Como y 100 son múltiplos de, para que el número Problemas 7 y 75 Proponga una puesta en común basada en la explicación de cada problema. Registre las conclusiones, por ejemplo: Si consideramos el número 5.16, cuyas dos últimas cifras forman 16, que es múltiplo de, se puede escribir 5.16 = Como 100 es múltiplo de, es múltiplo de y 5.16 está formado por la suma de dos múltiplos de, entonces es múltiplo de. Luego, el resto de la división entre 5.16 y es 0. El mismo razonamiento puede realizarse para cualquier otro número que termine en un número de dos cifras que es múltiplo de, porque no depende de cuáles sean los primeros dígitos. Hay números que terminan en 12 y no son múltiplos de 3, por ejemplo 512. También hay números que terminan en 6 y no son múltiplos de 6, como 26. Para que un número sea múltiplo de 6 tiene que ser múltiplo de 2 y de 3, o sea que tiene que terminar en un dígito par y la suma de sus cifras tiene que ser múltiplo de a. Sí. b. No. c. No. 75. El primero se puede completar con: 2, 5 u 8. El segundo no es posible completarlo para que sea múltiplo de 2. El tercero puede completarse de muchas maneras: 1 y 0, 0 y 1, 0 y, y 0, 1 y 3, 3 y 1, 2 y 2, 0 y 7, 7 y 0, 1 y 6, 6 y 1, 2 y 5, 5 y 2, 3 y, y 3, 1 y 9, 9 y 1, 2 y 8, 8 y 2, 3 y 7, 7 y 3, y 6, 6 y, 5 y 5, y 9, 9 y, 5 y 8, 8 y 5, 6 y 7, 7 y 6, 7 y 9, 9 y 7, 8 y 8. Aprender con la calculadora La gestión de estos problemas depende de la práctica previa de los alumnos con esta herramienta. Haremos una pequeña síntesis de las conclusiones de cada uno. Recuerde que el objetivo de la calculadora es hacer cálculos en problemas donde hay que reflexionar, para lo que muchas 19

20 veces es necesario ensayar con varias cuentas. Es imprescindible que los cálculos y sus resultados se registren para poder reflexionar sobre ellos. Problema 1 Luego de ingresar un número y una operación, cada vez que se oprime la tecla igual se repite el cálculo. Por ejemplo, si ingresan 1 0, e =, aparece 100 porque la calculadora multiplica el resultado anterior por 10. Si se sigue apretando = seguirá multiplicando por 10. Como consecuencia de esto, los resultados que se obtienen siempre terminan en 0 porque resultan de haber multiplicado a 10 por sí mismo varias veces. 1. a. Multiplica por 10. b. Para que se lea , 6 veces, y para que se lea , 8 veces. c. No, porque no es una potencia de 10. Problemas 2 y 3 Si el resultado de una división está formado por los mismos dígitos del dividendo pero con una coma (si antes no la tenía) o con la coma en otro lugar, es porque se dividió un número por una potencia de 10. Una manera de ver por qué sucede esto es a través de un ejemplo. Para calcular 2.57 : 100 se puede descomponer el dividendo de la siguiente manera: 2.57 : 100 = ( ) : 100 = : : : : 100 = = 25,7 Al analizar los valores posicionales puede verse que 2 ocupaba la posición de los miles y pasó a la de los dieces, 5 pasó de la posición de los cienes a la de las unidades, y así, cada dígito disminuyó su valor posicional en 2 lugares, que tienen que ver con el número 100, que es 10 2 y resulta de multiplicar 2 veces 10. Pida que resuelvan de tarea el problema a. Producción personal. b. Producción personal. 3. : 2; ; : 5; 13; : Problema El resto de una división puede encontrarse a partir del cálculo dividendo divisor cociente. Si la división se hace en la calculadora, el cociente es la parte entera del resultado que proporciona (lo que aparece antes de la coma) (321 12); 0,5 12. Problema 5 El número que completa el cálculo 3 = 08 es 08 : 3 = 12 porque se busca la cantidad de veces que 3 entra en 08. El número que completa el cálculo 120 : = 15 es 120 : 15 = 8 porque el número que se busca es el que entra 8 veces en = 08 porque 08 : 3 = = 1.35 porque 1.35 : 35 = : 8 = 15 porque 120 : 15 = : 7 = 123 porque : 123 = = porque : 2 = : 25 = 36 porque : 36 = 25. Problemas 6 y 7 Observe que estos problemas apelan a la descomposición de las cuentas en otras equivalentes. Pida que anticipen las cuentas que van a hacer escribiéndolas en la carpeta. Luego pida que verifiquen, por ejemplo: En el problema 6: = , entonces falta multiplicar por 2. En el problema 7: = : 10, entonces hay que dividir por 10. En el problema 8: = , entonces hay que restarle