TESIS INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL VALUACIÓN DE OPCIONES EUROPEAS CON EL MODELO DE VOLATILIDAD DE HESTON ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN VALUACIÓN DE OPCIONES EUROPEAS CON EL MODELO DE VOLATILIDAD DE HESTON TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS (ECONOMÍA FINANCIERA) PRESENTA: MARIO DURÁN BUSTAMANTE MÉXICO, D. F. MAYO DE 2013

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7 Agradecimientos En primera instancia quiero agradecer a mi familia: A mi padre que me alentó a estudiar Economía. A mi madre que en paz descansé y cuya profesión de ambos herede de algún modo. A mis dos hermanos Alejandro y Marco Tulio y a mi primo Gerardo que lo considero igual, por tenerme toda la paciencia del mundo. Que mi esfuerzo sirva de ejemplo para que alcancen sus propias metas. Quiero agradecerle a la Escuela Superior de Física y Matemáticas por brindarme las bases necesarias para tratar de entender el fascinante mundo de las matemáticas. En particular al profesor Dr. Govindan Trivellores Eachambadi por su excelente catedra. De igual forma quiero agradecer a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de Economía por darme la oportunidad de perfeccionar mis habilidades en todos los sentidos posibles. Quiero agradecer al Dr. Ambrosio Ortiz Ramírez por permitirme trabajar un tema de tesis, que para él representa un esfuerzo de muchos años, que ha venido desarrollando y trabajando hasta el día de hoy, por todo su apoyo como profesor y como amigo, Gracias!! A todos mis maestros que me han guiado en mi formación académica en especial a mis directores de tesis Dr. Ambrosio Ortiz Ramírez y Dr. Francisco Venegas Martínez y a los profesores Dr. Salvador Cruz Ake, Dr. Adrián Hernández del Valle y al Dr. Humberto Ríos Bolívar por compartir su conocimiento conmigo a través de sus magníficas cátedras. A mis compañeros y amigos Alejandro, Cynthia, Cesar, Fanny, Jessica, Adriana y Jorge Luis por haber compartido este periodo de la vida conmigo y aquellos que por mi olvido haya faltado mencionar. Gracias!!!

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9 Índice general Pág. Agradecimientos Índice de cuadros Índice de gráficas Glosario Resumen Abstract Introducción I VII IX XI XVII XIX XXI CAPÍTULO 1. Opciones Financieras Introducción Derivados Historia y desarrollo de los mercados de opciones Opciones financieras Opciones de compra Opciones de venta Posiciones en un contrato de opción Posición larga sobre opciones call Posición corta sobre opciones call Posición larga sobre opciones put Posición corta sobre opciones put Opciones americanas y europeas Opciones dentro, fuera y en el dinero Liquidación en efectivo y en especie

10 IV 1.9 Valor intrínseco y valor en el tiempo de las opciones Factores para la determinación de los precios de las opciones Opciones sobre acciones que pagan dividendos Opciones sobre divisas Opciones sobre futuros Opciones exóticas CAPÍTULO 2. Introducción al movimiento browniano y al cálculo estocástico Introducción Caminata aleatoria Procesos estocásticos Filtración e información actual relevante Procesos estocásticos adaptados a una filtración Movimiento browniano aritmético Movimiento browniano aritmético como el límite de una caminata aleatoria simple Momentos de un movimiento browniano aritmético Movimiento browniano Proceso de Wiener Las trayectorias no son diferenciables Las trayectorias son continuas Movimiento geométrico browniano Momentos de un movimiento geométrico browniano Cálculo de Itô Integrales de: Riemann-Stieljes, Stratonovitch e Itô Lema de Itô Lema de Itô multidimensional Martingalas Definiciones y ejemplos Martingalas y movimiento browniano Notas CAPÍTULO 3. Modelo de Black y Scholes: Marco probabilista y griegas Introducción Distribución del rendimiento logarítmico del activo subyacente Valuación neutral al riesgo

11 V 3.4 Función de densidad del precio del subyacente neutral al riesgo Media y varianza del precio del subyacente en un mundo neutral al riesgo Valuación neutral al riesgo de una opción europea de compra Valuación neutral al riesgo de una opción europea de venta Condición de paridad de opciones de venta y compra Griegas del modelo de Black y Scholes Lema fundamental de las griegas del modelo de Black y Scholes Griegas de una opción europea de compra Griegas de una opción europea de venta CAPÍTULO 4. Modelo de volatilidad estocástica de Heston Introducción El modelo de volatilidad estocástica de Heston Griegas del modelo de Heston Cálculo del precio de la opción por medio de la transformación de Lewis Análisis de sensibilidad a precios de opciones a diferentes valores de los parámetros ρ y σ CAPÍTULO 5. Calibración de parámetros con funciones de pérdida Introducción Estimación de parámetros con funciones de pérdida Aplicación y análisis de resultados Conclusiones 117 Bibliografía 119

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13 Índice de cuadros Pág. Cuadro 1.1: Clasificación de una opción según la relación entre S t y K.. 13 Cuadro 2.1: Reglas básicas de diferenciación estocástica Cuadro 3.1: Griegas del modelo de Black y Scholes Cuadro 4.1: Impacto de la correlación en los precios de opciones de compra Cuadro 4.2: Comparación de precios de opciones de compra con ρ variable Cuadro 4.3: Impacto de la volatilidad de la varianza en los precios de opciones de compra Cuadro 4.4: Impacto de la volatilidad de la varianza en los precios de opciones de compra Cuadro 4.5: Comparación de precios de opciones de compra con σ variable Cuadro 5.1: Datos relevantes Cuadro 5.2: Resumen de las funciones de pérdida con los correspondientes valores de los parámetros estimados del modelo de Heston Cuadro 5.3: Precios estimados con el modelo de Heston con las funciones de pérdida y volatilidades implícitas

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15 Índice de gráficas Pág. Gráfica 1.1: Pérdidas y ganancias de una opción call larga Gráfica 1.2: Pérdidas y ganancias de una opción call corta Gráfica 1.3: Pérdidas y ganancias de una opción put larga Gráfica 1.4: Pérdidas y ganancias de una opción put corta Gráfica 2.1: Caminata aleatoria Gráfica 3.1: Función de densidad de S T S t Gráfica 3.2: c es la pendiente de la recta tangente a c en S t Gráfica 3.3: c como función de S t Gráfica 3.4: Γ c como función de S t Gráfica 3.5: v c como función de S t Gráfica 3.6: p como función de S t Gráfica 4.1: Función de densidad marginal del modelo de Heston para diferentes valores de ρ Gráfica 4.2: Función de densidad marginal del modelo de Heston para diferentes valores de σ Gráfica 4.3: Superficie de precios opciones de compra con el modelo de Heston Gráfica 4.4: Superficie de precios opciones de venta con el modelo de Heston Gráfica 4.5: Diferencias de precios de opciones del modelo de Heston relativas a precios con Black y Scholes con igual volatilidad al vencimiento y correlación variable Gráfica 4.6: Diferencias de precios de opciones del modelo de Heston relativas a precios con Black y Scholes con igual volatilidad al vencimiento y volatilidad de la varianza variable

16 X Gráfica 5.1: σ implícitas de calls obtenidas de las funciones de pérdida. 113 Gráfica 5.2: σ implícitas de puts obtenidas de las funciones de pérdida. 114 Gráfica 5.3: Comparación entre σ implícitas de calls y σ implícitas de mercado Gráfica 5.4: Comparación entre σ implícitas de puts y σ implícitas de mercado

17 Glosario Activo subyacente: Bien o indice de, objeto de un contrato futuro o de un contrato de opción, concertado en la bolsa de derivados. Los precios de los productos derivados son una función de los precios del valor de referencia. Estos pueden ser: acciones, un indice o una caminata aleatoria. At the money: Cuando el valor del subyacente coincide con el precio de ejercicio, se dice que la opción se encuentra en el dinero (At The Money). Contrato de opción: Contrato estandarizado, en el cual el comprador, mediante el pago de una prima, adquiere del vendedor el derecho, pero no la obligación de comprar o vender un activo subyacente a un precio pactado en una fecha futura, y el vendedor se obliga a vender o comprar, según corresponda, el activo subyacente al precio convenido. El comprador puede ejercer dicho derecho, según se haya acordado en el contrato respectivo. Si el contrato de opción se pacta el pago por diferencias, no se realizará la entrega del activo subyacente. Bolsa: Con este nombre se designa al mercado financiero en donde se compran y venden acciones, obligaciones, bonos y otros activos financieros. En la Bolsa las transacciones se realizan a través de intermediarios financieros que reciben el nombre de brokers. También se la conoce como Bolsa de Valores o Bolsa de Comercio. Bolsa Mexicana de Valores: Institución sede del mercado mexicano de valores. Institución responsable de proporcionar la infraestructura, la supervisión y los servicios necesarios para la realización de los procesos de emisión, colocación e intercambio de valores y títulos inscritos en el Registro Nacional de Valores (RNV), y de otros instrumentos financieros. Así mismo, hace pública la información bursátil, realiza el manejo administrativo de las operaciones y transmite la información respectiva a SD Indeval, supervisa las actividades de las empresas emisoras y casas de bolsa, en cuanto al estricto apego a las disposiciones aplicable, y fomenta la expansión y competitividad del mercado de valores mexicanos.

18 XII Bursátil: Relativo a la actividad en Bolsa. Cámara de Compensación: Organismo que en los mercados financieros ejerce la función de garante de todas las transacciones. La cámara se sitúa de eje de la transacción convirtiéndose en comprador frente al vendedor y en vendedor frente al comprador. Chicago Board of trade: Es el mayor mercado de opciones y de futuros del mundo y tiene su sede en Chicago. Cierre: Término de una sesión bursátil, de acuerdo con los horarios oficiales. Registro de las operaciones realizadas y del nivel alcanzado por las cotizaciones de los títulos operados durante una sesión. Cobertura de Riesgos (Hedging): La cobertura de los riesgos financieros a través de los productos derivados es similar a la adquisición de un seguro; proporciona protección contra los efectos adversos de las variables sobre las cuales no tienen control los agentes participantes en la actividad económica. Contrato de Opción: Contrato estandarizado, en el cual el comprador, mediante el pago de una prima, adquiere del vendedor el derecho, pero no la obligación de comprar o vender un activo subyacente a un precio pactado en una fecha futura, y el vendedor se obliga a vender o comprar, según corresponda, el activo subyacente al precio convenido. El comprador puede ejercer dicho derecho, según se haya acordado en el contrato respectivo. Si en el contrato de opción se pacta el pago por diferencias, no se realizará la entrega del activo subyacente. Contrato de Opción Call: Opción de compra que da a su comprador tenedor de la opción- el derecho, pero no la obligación, de comprar algún activo subyacente, en una fecha predeterminada, y a un cierto precio preestablecido. Contrato de Opción Put: Opción de venta que da a su comprador tenedor de la opción- el derecho, pero no la obligación, de vender algún activo subyacente, en una fecha predeterminada, y a un cierto precio preestablecido. Correlación: Debido a la dificultad para interpretar la magnitud de la covarianza, suele utilizarse la correlación para medir el grado de movimiento conjunto entre dos variables o la relación lineal entre ambas. La correlación se encuentra entre -1 y 1.

19 XIII Covarianza: Es una medida de relación lineal entre dos variables aleatorias describiendo el movimiento conjunto entre éstas. Delta: La delta es el índice que mide la variación del valor de la prima de la opción ante variaciones en el precio del activo subyacente. Matemáticamente es la primera derivada de la prima con respecto al subyacente. Derivados: Familia o conjunto de instrumentos financieros, implementados a partir de 1972, cuya principal característica es que están vinculados a un valor subyacente o de referencia (títulos representativos de capital o de deuda, índices, tasas, y otros instrumentos financieros). Los productos derivados surgieron como instrumentos de cobertura ante fluctuaciones de precio en productos agroindustriales (commodities), en condiciones de elevada volatilidad. Los principales derivados financieros son: futuros, opciones sobre futuros, warrants y swaps. Derivados Plain Vanilla: Instrumentos financieros derivados más simples o denominados de primera generación ( plain vanilla ). Por ejemplo: Forwards, Futuros, Swaps, Opciones. Desviación standard o Desviación típica: Medida estadística de la variabilidad de una magnitud. Es igual a la raíz cuadrada de la varianza. Gamma: Debido a que la delta de la opción cambia continuamente como consecuencia de los cambios en el valor del subyacente, es importante medir estos cambios. La gamma se define como la medida de cambio de la delta ante cambios en el subyacente. También se conoce como la segunda derivada del valor de la opción con respecto al valor del subyacente. In the Money: Cuando el valor intrínseco de una opción es positivo, se dice que la opción se encuentra dentro del dinero (In the Money). Índice de Precios y Cotizaciones (IPC): Indicador de la evolución del mercado accionario en su conjunto. Se calcula en función de las variaciones de precios de una selección de acciones, llamada muestra, balanceada, ponderada y representativa de todas las acciones cotizadas en la BMV. MexDer: Sociedad Anónima denominada MexDer, mercado Mexicano de Derivados, S.A. de C.V., que tiene por objeto proveer las instalaciones y demás servicios necesarios para la cotización y negociación los contratos de futuros y contratos de opciones.

20 XIV Modelo de Black-Scholes: Asume que el comportamiento de los precios sigue una distribución lognormal. Basados en los modelos estocásticos de Wiener y el conocido lema de Itô, así como mediante argumentos de arbitraje, Fisher Black y Myron Scholes determinaron una ecuación diferencial parcial de segundo orden cuya solución representa el precio de la opción. Este modelo es aplicable solamente para opciones europeas. Opción: Es un contrato que proporciona a su poseedor (el comprador) el derecho (no la obligación) a comprar (si se trata de una opción de compra) o vender (opción de venta) una cantidad de activos, a un precio establecido, en una feche determinada (opción europea) o en cualquier momento anterior a dicha fecha (opción americana). Por este derecho generalmente el comprador paga un precio o prima. Existen muchos mercados de opciones en el mundo. Opción de Compra: Es un contrato que proporciona a su poseedor (el comprador) el derecho (no la obligación) a comprar una cantidad de activos, a un precio establecido, en una fecha determinada (opción europea) o en cualquier momento anterior a dicha fecha (opción americana). Opción europea: El tenedor de la opción las puede ejercer hasta la fecha de vencimiento. Out of the Money: Cuando el valor intrínseco de una opción es negativo, se dice que la opción se encuentra fuera del dinero (Out of The Money). Paridad Put Call: La paridad call-put describe la relación entre el precio de una opción tipo Call Europea y el precio de una opción tipo Put Europea, cuando ambas tienen el mismo precio de ejercicio y misma fecha de vencimiento. Rho: La rho es la variación del precio de la opción ante cambios en la tasa de interés libre de riesgo. Subyacente: Bien o índice de referencia, objeto de un Contrato de Futuro o de un Contrato de Opción, concertado en la Bolsa de Derivados. Los precios de los productos derivados son una función de los precios del valor de referencia. Estos pueden ser: títulos representativos de capital o deuda, índices, tasas y otros instrumentos financieros. También se denomina valor de referencia. Theta: La theta es la sensibilidad del precio de la opción ante el paso del tiempo, es decir, es el cambio esperado en el valor teórico de la opción ante una variación de un día en el tiempo pendiente hasta el vencimiento.

21 XV Valor Intrínseco de una opción: El valor intrínseco de una opción es el máximo entre el monto por el cual la opción está en el dinero y cero. Vega: La vega es la variación del precio de la opción ante cambios en la volatilidad del subyacente. Volatilidad: Grado de fluctuación que manifiesta el precio del subyacente a través del tiempo. Volatilidad Implícita: Esta volatilidad no se basa en considerar observaciones históricas sino en observar la volatilidad existente en el mercado de opciones. La manera de calcularla es observando el precio de la prima de las opciones en el mercado y sustituyendo este valor en la fórmula de Black-Scholes. Una vez hecha la sustitución se despeja el valor de la volatilidad de dicha fórmula. La volatilidad implícita es muy confiable cuando el mercado de opciones del subyacente tiene suficiente liquidez. Sin embargo en la práctica se enfrenta el problema de que no todos los subyacentes tienen contratos de opciones, por tanto solo para algunos casos se puede calcular la volatilidad implícita.

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23 Resumen Los derivados plain vainilla son uno de los principales productos negociados en las bolsas de derivados; las opciones se clasifican en este grupo. En México se negocian dentro del Mercado Mexicano de Derivados (MexDer) y también en el mercado Over The Counter. La fórmula de Black y Scholes es la más utilizada para valuar opciones; sin embargo, algunos de sus supuestos no son consistentes con lo que se observa en el mercado. Por ejemplo, la volatilidad no se mantiene constante en el tiempo y cambia en el transcurso de vida de la opción, lo que se conoce como: smile y smirk. El modelo de Heston de volatilidad estocástica (la volatilidad varía en el tiempo y se comporta de manera aleatoria), el activo subyacente es conducido por un movimiento browniano, y la volatilidad de la varianza es conducida por un segundo movimiento browniano. Este modelo es utilizado para valuar opciones europeas de compra y de venta. La transformada fundamental de Lewis, nos ayuda a resolver una integral con términos imaginarios, cuya solución conduce al precio de la opción en el modelo de Heston, esto se logra a través de algoritmos numéricos de integración. Una de las características notables de este modelo y que se verificaron empíricamente, es que el parámetro de correlación controla el sesgo de la función de la densidad de Heston, además de que el parámetro de la volatilidad de la varianza controla la curtosis. Asimismo existe una relación negativa entre el precio de la acción y la varianza, que se puede expresar textualmente como: bajas en el precio de la acción implican un aumento en la varianza, el mismo argumento opuesto es cierto cuando la varianza es positiva. Una metodología para estimar parámetros del modelo de Heston es por medio de una función de pérdida, que consiste minimizar una medida del error dado por la diferencia entre precios de mercado y precios del modelo teórico. En este trabajo de tesis se proponen tres funciones de pérdida, de las cuales dos corresponden a precios y una asociada con las volatilidades implícitas de mercado. Con

24 XVIII datos de opciones sobre futuros del I. P. y C. negociadas en MexDer se calibraron los parámetros del modelo de Heston. Un resultado relevante es que la función de pérdida de volatilidad implícita del error cuadrático medio es la que mejor se ajusta en todos los niveles de moneyness (K/S) y que se muestra en la gráfica de volatilidades implícitas del último capítulo de esta tesis.

25 Abstract The plain vanilla derivatives are mostly negotiated on a Derivatives Exchange; the options are classified into this group. In Mexico, they are traded in the Mexican Derivates Exchange (MexDer) and of course in the Over the Counter market. The Black and Scholes formula is widely used to valuate options; however some of its assumptions are not very consistent with the market. For example, the volatility is not constant over the time and it changes over the duration of the option, this phenomenon is known as smile and smirk. In the Stochastic Volatility Heston model (the volatility changer over the time and its behavior is random), the underlying asset is conducted by a brownian motion, and the volatility of variance is driven by a second brownian motion. This model is used to price european call and put options. The fundamental transform of Lewis help us to solve an integral with imaginary terms, whose solution leads to the price of the option in the Heston model, it is done by numerical integration algorithms. One of the most outstanding characteristics of this model is that the correlation parameter controls the skewness of the Heston s density function; furthermore, the variance parameter controls kurtosis. In fact, there is a negative correlation between the stock price and the variance, which can be expressed textually as: if stock price downs imply an increase in the variance, the same opposite argument is true when variance is positive. A methodology to estimate Heston model parameters is through a loss function, which minimize a measure of error given by the difference between market prices and theoretical model prices. In this thesis three different loss functions are proposed, two correspond to prices and other is associated with implied volatilities observed in the market. With data from futures options on I. P. y C. (Indice de Precios y Cotizaciones) traded on MexDer, Heston model parameters were calibrated. An important result is that the implied volatility root mean squared

26 XX error loss function best fit at all levels of moneyness (K/S) which is shown in the implied volatilities figure in the last chapter of this thesis.

27 Introducción El objetivo general de este trabajo es valuar opciones financieras europeas mediante el modelo de volatilidad estocástica de Heston (1993). La justificación de este hecho radica en el supuesto de volatilidad constante el modelo tradicional para valuar opciones de Black- Scholes (1973) y Merton (1973). No obstante desde el punto de vista del mercado, este supuesto no es consistente al comparar los resultados obtenidos con los precios observados de las opciones. Un ejemplo de ello son las volatilidades implícitas obtenidas con el modelo de Black Scholes para diferentes plazos y precios de ejercicio, estas volatilidades no se comportan de manera constante en el tiempo y tienden a ser en forma de sonrisa(smiles). Se han tratado de corregir y explicar tales inconsistencias observadas en el modelo de Black y Scholes. Se han propuesto varias extensiones a dicho modelo ente las que podemos mencionar: Merton(1973) propone que la volatilidad sea una función determinista del tiempo, logra explicar los diferentes niveles que se alcanzan en la volatilidad implícita, para diferentes periodos en el tiempo, pero no alcanza a explicar la forma de sonrisa para diferentes precios ejercicio. Dupire (1994), Derman y Kani (1994) y Rubinstein (1994), sugieren que no solo se indexe el tiempo en la volatilidad, proponen la dependencia con un coeficiente de volatilidad, de igual modo dichos autores no logran explicar la forma de la sonrisa para diferentes periodos en el tiempo. Posteriormente se desarrollaron los modelos de volatilidad estocástica, en estos se consideran dos factores estocásticos: un factor conduce la dinámica estocástica del subyacente y el segundo factor modela la dinámica estocástica de la volatilidad y que es la causante del efecto sonrisa. Se han propuesto modelos diferentes para saber que proceso sigue la volatilidad, entre los cuales destacan, el movimiento geométrico browniano y modelos con reversión a la media (procesos del tipo Ornstein-Uhlenbeck). De entre los modelos propuestos destaca el modelo de Heston (1993) porque presenta una fórmula cerrada para el precio de una opción con el supuesto de correlación entre el precio del activo y su volatili-

28 XXII dad, el parámetro de correlación modela el sesgo de la densidad del subyacente, mientras que el parámetro de volatilidad de la varianza modela la curtosis de la densidad del subyacente, con estas características fue uno de los primeros en explicar la sonrisa. Los objetivos particulares de la tesis son: Realizar un análisis de sensibilidad del modelo de volatilidad estocástica de Heston, para diferentes valores de los parámetros de correlación y volatilidad de la varianza del activo subyacente en estudio; Estimar los parámetros del modelo de Heston por medio de funciones de pérdida con los precios de mercado de opciones que se negocian en MexDer. La hipótesis del presente trabajo es la siguiente: bajo el supuesto que existe una correlación arbitraria entre las ecuaciones diferenciales estocásticas del precio del subyacente y de la volatilidad entonces el modelo de Heston arroja precios consistentes con el mercado de opciones al compararlos con el modelo de Black y Scholes. Este trabajo esta organizado como sigue, en el primer capítulo se presenta una introducción a los derivados, con énfasis en las opciones financieras, la historia de las mismas, sus características generales y los factores que son necesarios para determinar el precio de dichas opciones. En el segundo capítulo se aborda la teoría de los procesos estocásticos la cual se requiere para modelar adecuadamente la dinámica de las variables financieras, revisamos algunos conceptos básicos de probabilidad y procesos estocásticos, algunas de las propiedades del movimiento browniano aritmético y geométrico, el lema de Itô y algunas aplicaciones de este en la modelado de diversos fenómenos en finanzas cuantitativas. En el tercer capítulo se desarrolla el modelo de Black-Scholes-Merton, desde un marco probabilista, se obtienen las fórmulas para valuar opciones europeas de compra y venta así como también las llamadas griegas. En el cuarto capítulo se presenta el modelo de Heston y sus características teóricas y calculamos precios de opciones con la transformación de Lewis (2000). Asimismo se examina la sensibilidad del precio de la opción con respecto del coeficiente de correlación entre los dos movimientos brownianos que conducen

29 XXIII al activo subyacente y a la varianza del activo subyacente y la sensibilidad del precio de la opción con respecto del coeficiente de volatilidad de la varianza del activo subyacente. Dado que en la práctica generalmente las volatilidades implícitas de las opciones negociadas en los mercados de derivados varían, ya sea con respecto al precio de ejercicio o con el vencimiento de la opción. La variación con respecto al precio de ejercicio se le denomina sonrisa de volatilidad (volatility smile), o sesgo de volatilidad (volatility skew). De esta manera en el quinto capítulo se aplica la metodología propuesta por Bakshi, Cao y Chen (1997) a un conjunto de precios de opciones negociadas en el MexDer. El algoritmo de calibración minimiza un error dado un conjunto de parámetros iniciales. Para un determinado conjunto de parámetros se calculan precios de opciones con el modelo de Heston y se calcula una medida del error. Por último en las conclusiones se comentan las ventajas y limitaciones de utilizar el modelo de Heston, junto con sus posibles extensiones.

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31 Capítulo 1 Opciones Financieras 1.1 Introducción En este capítulo se presenta una introducción a los productos derivados con énfasis en las opciones financieras, su historia, sus características generales, los factores que intervienen en la determinación de su precio. Algunos de los conceptos de este capitulo fueron tomados de Gutiérrez (2001) y de Ortiz (2008). 1.2 Derivados Un producto derivado se puede definir como un contrato privado cuyo valor depende de algún activo subyacente como una tasa, una acción, un bono, una divisa o un commodity. Los derivados abarcan desde componentes estructurales simples, como los contratos lineales: contratos adelantados (forward), futuros; opciones y swaps, hasta productos más complejos como son las opciones exóticas o las notas estructuradas. Los derivados son activos financieros que tienen una gran importancia en las decisiones financieras actuales, se han convertido en una herramienta indispensable para la administración del riesgo debido a que proveen un método de bajo costo y efectivo para administrar la exposición de las fluctuaciones de las tasas de interés, precios de commodities, tipos de cambio e inclusive sobre el clima. Los dos principales mercados donde se llevan a cabo operaciones con instrumentos derivados son:

32 2 (i) Bolsas; (ii) Fuera del mostrador (Over-the-Counter) 1. Los derivados negociados en mercados organizados difieren en dos aspectos de los derivados negociados Over The Counter (OTC). La primera diferencia es que los contratos negociados en un mercado organizado son casi siempre estandarizados, es decir, tienen características bien definidas y todos los contratos de un mismo tipo son exactamente iguales. Esto se hace con el objetivo de dar liquidez, los contratos son más baratos. Para algunos participantes del mercado, esta liquidez representa ciertas desventajas porque puede pasar que el activo subyacente no tenga las características deseadas por los participantes del mercado, pero en general la estandarización ha probado ser una característica deseable entre los participantes del mercado. La segunda diferencia de los contratos negociados en un mercado organizado es que los contratos son realizados con una entidad regulatoria llamada cámara de compensación 2, y no con un banco. Para garantizar que el contrato se cumpla por las partes, el mercado organizado elimina el riesgo de crédito mediante la figura y los lineamientos de la cámara de compensación, en caso de que alguna de las partes no cumpla con un pago, la cámara interviene y cubre el pago. 1.3 Historia y desarrollo de los mercados de opciones El inicio de las opciones se dio en los países Bajos. Un judío español Joseph de la Vega, en su descripción de la Bolsa de Amsterdam, escrito en 1688, describe un firme mercado de opciones en las acciones de la Compañia de Indias Holandesa. Fué hasta fines del siglo pasado que se atacó desde el punto de vista matemático el problema de fijar el precio de una opción. Hacia 1900 en Francia, el matemático Louis Bachelier presenta la primera fórmula para calcular el precio de la opción. En 1968 cuando ya se conocía el Chicago Board of Trade por sus contratos 1 El mercado Over The Counter, OTC, es un sistema de cotización de valores donde los participantes negocian directamente entre ellos, sin la intermediación de una bolsa o de un piso de remate. Las operaciones se realizan a través de redes de cómputo o telefónicas que vinculan entre sí a los agentes de todo el mundo. 2 Institución en un mercado de derivados que es la contraparte de cualquier transacción y que asegura el cumplimiento de los contratos. En el MexDer es ASIGNA.

33 3 de futuros, comenzó un estudio sobre la posibilidad de introducir contratos de futuros sobre acciones de bolsa, pero dicho estudio terminó recomendando opciones sobre acciones. De esta manera surgió en 1972 el Chicago Board Options Exchange (CBOE) que comercializaba opciones sobre acciones en bolsa, teniendo un éxito espectacular. Cinco años después se comenzaron a negociar opciones tipo put en nuevas bolsa de valores como AMEX, Philadelphia, Pacific y MidWest. La creación de este mercado permitió que hubiera flexibilidad en estrategias de especulación y cobertura una de las características principales de las opciones. A pesar del gran desarrollo de las opciones que existió en la década de los 70 s, los mercados internacionales se enfrentaron al gran problema de las fluctuaciones en tipos de cambio y tasas de interés. Los mercados vieron la necesidad de introducir instrumentos para especular y cubrirse de dichos movimientos. Esto dio origen al mercado de contratos a futuros y a medida del éxito que tuvieron las bolsas comenzaron a ver la posibilidad de ofrecer opciones sobre contratos de futuros. En octubre de 1982 el Chicago Board of Trade comenzó a negociar opciones sobre contratos de futuros sobre T-Bonds 3 Tres años después se introdujeron las opciones sobre un contrato a futuro cuyo subyacente era el eurodólar. A partir del 15 de diciembre de 1998, con base en diversos estudios de la BMV y el marco regulatorio establecido por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público (SHCP), el Banco de México y la Comisión Nacional Bancaria y de Valores (CNBV), inicia operaciones el Mercado Mexicano de Derivados (MexDer), luego de dos años de negociaciones para su aplicación, con el propósito de incorporar a los participantes nacionales en la creciente industria global de derivados, especialmente los vinculados con valores subyacentes mexicanos. La inversión total para la puesta en marcha del mercado fue inferior a los 14 millones de dólares. El contrato del dólar de Estados Unidos de América fue el primero en cotizar con un tamaño adecuado para permitir que tesorerías de empresas medianas y pequeñas, así como personas físicas, pudieran beneficiarse de una mayor certidumbre sobre el tipo de cambio. Las operaciones se realizaron a viva voz 4. 3 Los T-Bonds son instrumentos que reflejan las tasas de interés de largo plazo en E.U. 4 Véase por ejemplo Palacios (2002).

34 4 1.4 Opciones financieras La formación de portafolios con un equilibrio adecuado entre riesgo y rendimiento es un objetivo básico de la ingeniería financiera. Uno de los instrumentos que actúan como seguros contra contingencias financieras son las opciones. En un ambiente de extrema volatilidad, estos instrumentos proporcionan al inversionista un mecanismo para inmunizar un portafolio contra cambios adversos en los mercados financieros con bajos costos de transacción. Una opción es un producto derivado que por el pago de una prima da a su tenedor (comprador) el derecho, más no la obligación, de comprar o vender el activo subyacente (bienes, acciones, índices bursátiles, divisas, futuros, tasas de interés, etc.) a un precio determinado, llamado precio de ejercicio. La contraparte, el emisor, de estos títulos tiene la obligación de vender o comprar el activo subyacente. En un contrato de opción se especifican cinco elementos: (i) Tipo de opción: opción de compra o de venta (americana o europea), (ii) Activo subyacente: es el activo (acciones, divisas, tasas de interés, petróleo, oro, etc.), (iii) Cantidad del activo negociado: es la cantidad, en unidades, del activo subyacente que está estipulado que se puede comprar o vender por cada contrato de opción, (iv) Fecha de vencimiento: es la fecha en que se vence el contrato, (v) Precio de ejercicio: es el precio al que se podrá ejercer el contrato, es decir, el precio al que se podrá comprar o vender el activo subyacente, según la opción sea de compra o de venta. Hay otro elemento determinado por el mercado que no figura estipulado en el contrato, que es el precio a pagar por la opción, precio que se fija en el mercado organizado de opciones, siguiendo la ley de la oferta y la demanda. Este precio recibe el nombre de prima. Un punto importante en un contrato de opción es que sólo se obliga al vendedor, mientras que el comprador tiene el derecho (opción) de ejercer el contrato,

35 5 pero no está obligado a ello. Esto permite al poseedor de una opción, no sólo a cubrirse ante posibles pérdidas sino también la posibilidad de obtener un beneficio en caso de que la evolución del precio del activo asociado a la opción sea favorable. Por otra parte, las opciones, al igual que los contratos futuros son contratos estandarizados, lo cual permite que las transacciones se efectúen en mercados abiertos, organizados y con garantías de su cumplimiento. Esta característica genera liquidez para llevar a cabo distintas combinaciones y estrategias para ampliar y diversificar las carteras de inversión. A diferencia de los mercados de futuros, en las opciones, el comprador del contrato sólo está obligado al pago de una prima (precio de la opción) que recibirá el vendedor, quién aportará el margen inicial y de mantenimiento según la evolución del mercado. La inversión en opciones también es una alternativa para especular (obtener ganancias extraordinarias asumiendo riesgos sobre tendencias inesperadas). Es también posible realizar operaciones de arbitraje aprovechando desequilibrios temporales en la prima de las opciones. Las opciones financieras más comunes son las que tienen como subyacente a los títulos de capital (acciones), los índices de mercados accionarios, las divisas extranjeras, títulos de deuda gubernamental y futuros. Se distinguen entre sí con base en tres criterios: tipo, clase y serie. El tipo nos indica si la opción es de compra (call) o de venta (put). Todas las opciones que sean del mismo tipo y que tengan una fecha de vencimiento común determinan una clase. Las opciones que pertenezcan a una clase y que tengan el mismo precio formarán una serie. En las opciones se presentan dos posiciones, las cuales nos indican la postura que presenta cada una con respecto al contrato: Posición larga: es la postura que presenta el comprador (quien paga la prima) de una opción, sin importar si ésta es un opción de compra o de venta. Posición corta: es la postura que presenta el emisor o vendedor de la opción (recibe la prima) de compra o de venta. Una vez firmado un contrato de opciones, existen tres formas de cerrarlo: (i) El comprador ejerce su derecho;

36 6 (ii) El comprador permite que pase la fecha de vencimiento sin ejercer su derecho, dándose por terminado el contrato; (iii) El comprador puede vender la opción a un tercero, o el emisor puede recomprar la opción al comprador, es decir, la opción se liquida Opciones de compra Una opción de compra otorga al comprador el derecho, más no la obligación, de comprar al emisor el activo subyacente a un precio predeterminado en una fecha predeterminada o antes. El comprador tiene que pagar una prima al emisor en el momento de la realización del contrato. El contrato debe especificar entre otros elementos: (i) Concepto a negociar (activo subyacente); (ii) La cantidad a negociar; (iii) El precio de compra; (iv) La fecha de vencimiento. Este tipo de opciones presentan para el comprador ganancias ilimitadas al mismo tiempo que sus pérdidas se ven reducidas al valor de la prima que paga al firmar el contrato. En cambio el emisor presenta como ganancia máxima el valor de la prima y sus pérdidas son ilimitadas Opciones de venta Una opción de venta otorga al comprador el derecho, más no la obligación, de vender el activo subyacente a un precio predeterminado en una fecha preestablecida o antes. El contrato especifica los mismos puntos que el de opciones de compra. En estos contratos al igual que en los de compra el emisor tiene una ganancia reducida a la prima y pérdidas ilimitadas, la situación del comprador es la contraria, es decir, presenta pérdidas reducidas a la prima y ganancias ilimitadas.

37 7 1.5 Posiciones en un contrato de opción Existen cuatro tipos diferentes de posiciones en el mercado de opciones, la cuales las que se pueden clasificar como sigue: (i) Posición larga sobre opciones call; (ii) Posición corta sobre opciones call; (iii) Posición larga sobre opciones put; (iv) Posición corta sobre opciones put. En las siguientes subsecciones mencionaremos sus características, así como el perfil de pagos de cada una de ellas Posición larga sobre opciones call En esta posición los participantes son aquellas agentes que compran opciones call. Observemos el perfil de ganancias de este tipo de participante en la Gráfica 1.1. Definamos al eje Y como las utilidades o pérdidas derivadas de un cierto movimiento en el precio del bien subyacente una vez comprada la opción, el eje X indica el precio del bien subyacente y denotemos al precio de ejercicio como K. En esta posición el comprador paga una prima por el derecho de comprar, la cual de entrada es una posible pérdida que denotaremos por c. Si el precio del bien subyacente permanece por debajo del precio de ejercicio entonces el comprador tiene el derecho de no ejercer dicha opción, por lo tanto la opción expira sin tener ningún valor y el comprador solamente pierde la prima pagada por obtener el derecho de comprar. Sin embargo si se considera que el precio del bien subyacente permanece igual o por arriba del precio de ejercicio entonces el comprador tiene el derecho de ejercerla y comprar el bien subyacente.

38 8 Gráfica 1.1: Pérdidas y ganancias de una opción call larga. 5 1 Call 4 3 PyG 2 Función de K S t Call Fuente: elaboración propia. A partir de la gráfica anterior se observa una pendiente positiva, esto se debe que mientras más alto sea el precio del mercado con relación al precio de ejercicio, entonces mayor será la utilidad neta. Lo anterior nos indica que el comprador de una opción call tiene un riesgo conocido y limitado, y una ganancia desconocida e ilimitada Posición corta sobre opciones call En esta posición están los participantes que venden opciones call. Esta posición corta es la imagen inversa de la posición larga sobre opciones call, como se aprecia en la Gráfica 1.2 En este caso el vendedor recibe una prima c. A medida de que el precio del bien subyacente permanece por debajo del precio del ejercicio (K) la opción no se ejerce (por conveniencia del comprador) y el vendedor obtiene la ganancia de la prima.

39 9 Gráfica 1.2: Pérdidas y ganancias de una opción call corta. 2 1 Call K S t 15 Función de e PyG Call Fuente: elaboración propia. Otro escenario para este participante es el caso en que el precio del bien subyacente permanece igual o rebasa el precio del ejercicio, entonces si se ejerce y el vendedor esta obligado a vender el bien subyacente al precio de ejercicio y esto ocasiona que sean mayores las pérdidas del vendedor. Por consiguiente, el vendedor de la opción call tiene una pérdida desconocida e ilimitada y tiene una ganancia conocida y limitada Posición larga sobre opciones put El participante que se encuentra en esta posición se dedica a la compra de opciones put. En el perfil de ganancias en la Gráfica 1.3 se observa que el comprador de opciones put paga una prima p. Si el precio del bien subyacente se mantiene por encima del precio de ejercicio, entonces la opción expira sin ningún valor. Por consiguiente el comprador tiene una pérdida que es el pago de la prima p para obtener el derecho a vender. En cambio si el precio del bien subyacente cae hasta o por debajo del precio de ejercicio, el tenedor de la opción put tiene el derecho de ejercerla y vender el bien subyacente al precio de ejercicio.

40 10 Gráfica 1.3: Pérdidas y ganancias de una opción put larga. 5 1 Put 4 3 PyG 2 Función de K S t Put Fuente: elaboración propia. Observe que mientras más bajo sea el precio del mercado con relación al precio de ejercicio, mayores serán las ganancias, esto se puede ver en la recta con pendiente negativa. Por consiguiente, el comprador de la opción put tiene una pérdida conocida y limitada pero tiene una ganancia desconocida e ilimitada Posición corta sobre opciones put La función de los participantes que se encuentran en esta posición es la de vender opciones put. Este participante es la imagen inversa del perfil del comprador de la opción put. El vendedor recibe la prima p por parte del comprador. Si el precio del bien subyacente permanece por arriba del precio de ejercicio, entonces la opción no se ejerce y el vendedor obtiene la ganancia de la prima p que fue pagada. Si el precio del bien subyacente permanece hasta o por debajo del precio de ejercicio, entonces la opción se ejerce, el vendedor de la misma esta obligado a comprar el bien subyacente.

41 11 Gráfica 1.4: Pérdidas y ganancias de una opción put corta. 2 1 Put K S t 15 PyG 1 Función de Put Fuente: elaboración propia. En la Gráfica 1.4 se observa una recta con pendiente positiva; mientras menor sea el precio de mercado respecto al precio de ejercicio, mayores serán las pérdidas netas del vendedor de la opción put. De esta manera se puede afirmar que el vendedor de la opción put tiene una pérdida desconocida e ilimitada y tiene una ganancia desconocida y limitada. 1.6 Opciones americanas y europeas Las opciones también se pueden clasificar de acuerdo al tiempo en que se puede ejercer el derecho que ellas otorgan, siendo éstas: i. Opciones americanas: son aquellas en las que se puede ejercer el derecho a comprar o vender en cualquier fecha hasta el día a de vencimiento, es decir, durante la vida de la opción. ii. Opciones europeas: son aquellas que sólo pueden ser ejercidas en la fecha de vencimiento.

42 12 La mayoría de los contratos negociados en todo el mundo se realizan mediante opciones americanas. Pero estas presentan una mayor dificultad para su valuación que las europeas, y por lo mismo las propiedades de las americanas se derivan y explican a través de las propiedades de las europeas 5. Ejemplos de las combinaciones de las clasificaciones anteriores son: (i) Opción call europea: este contrato obliga al vendedor de la opción a vender el activo subyacente en caso de que el comprador de la opción ejerza el derecho de comprar el subyacente en la fecha de vencimiento. (ii) Opción put europea: este contrato obliga al vendedor de la opción a comprar el activo subyacente en caso de que el comprador de la opción ejerza el derecho de vender el subyacente en la fecha de vencimiento. (iii) Opción call americana: este contrato obliga al vendedor de la opción a vender el activo subyacente en caso de que el comprador de la opción ejerza el derecho de comprar el subyacente en o antes de la fecha de vencimiento. (iv) Opción put americana: este contrato obliga al vendedor de la opción a comprar el activo subyacente en caso de que el comprador de la opción ejerza el derecho de vender el subyacente en o antes de la fecha de vencimiento. 1.7 Opciones dentro, fuera y en el dinero Las opciones pueden clasificarse, dependiendo de la relación que exista entre el precio pactado de ejercicio K y el precio de mercado S t de la siguiente manera: (i) Dentro del dinero (in-the-money): cuando el precio de mercado excede el precio de ejercicio en una opción de compra; y cuando el precio de mercado es menor al precio de ejercicio para una de venta. (ii) Fuera del dinero (out-of-the-money): cuando sucede lo contrario, es decir, cuando el precio de mercado es menor al precio de ejercicio en una opción de compra; y cuando el precio de mercado es mayor al precio de ejercicio en una de venta. 5 Para una descripción más detallada de los productos derivados, consultar Hull, John (2011).

43 13 (iii) En el dinero (at-the-money): esto se da cuando el precio de mercado y el precio de ejercicio son el mismo, se cumple tanto para opciones de compra, como para las de venta. El Cuadro 1.1 muestra las condiciones para que una opción se encuentre in-themoney, at-the-money y out-of-the-money. Esta clasificación determina el precio a pa- Cuadro 1.1: Clasificación de una opción según la relación entre S t y K. S t vs K Opción call Opción put S t > K in-the-money out-of-the-money S t = K at-the-money at-the-money S t < K out-of-the-money in-the-money gar por comprar la opción, ya que las opciones que se encuentran dentro del dinero van a implicar necesariamente primas más altas, puesto que con estos contratos es muy probable que se logren ganancias si se ejercen al vencimiento, en cambio las opciones que se encuentran fuera del dinero implican primas muy bajas, ya que seguramente terminan sin ser ejercidas. 1.8 Liquidación en efectivo y en especie Las opciones también pueden clasificarse según su forma de liquidación, es decir, la forma de cumplimiento del contrato por parte de los vendedores de opciones: (i) En especie. (ii) En efectivo. 1.9 Valor intrínseco y valor en el tiempo de las opciones La determinación del precio de las opciones se realiza en los mercados de acuerdo a su oferta y demanda. Varios factores intervienen en dicho proceso. Su

44 14 dinámica depende del tiempo y de las variaciones del precio del subyacente en el mercado. De ahí que las opciones tienen un valor intrínseco y un valor en el tiempo. El valor intrínseco es el valor que tendría la opción si expirara inmediatamente tomando en cuenta el precio del activo subyacente en el mercado en efectivo. Específicamente, es la cantidad por la cual la opción se encuentra dentro del dinero. Para las opciones de compra es la diferencia entre el precio de mercado del subyacente y el precio de ejercicio, si la diferencia es positiva, o de lo contrario es simplemente cero (pues al no estar dentro del dinero la opción no tiene ningún valor para el comprador). Por lo tanto, su valor es c = max(s T K,0). Para las opciones de venta es la diferencia entre el precio de ejercicio y el precio de mercado del subyacente, si la diferencia es positiva, o simplemente cero en cualquier otro caso (la opción no tiene valor para el comprador porque no se ejerce). Por lo tanto, su valor es p = max(k S T,0). El valor en el tiempo es la cantidad por la cual la prima o valor total de la acción excede el valor intrínseco. Este valor existe porque el precio del subyacente puede cambiar entre el presente y el vencimiento de la opción, existiendo por tanto el potencial de posibles beneficios. Esto es, el valor en el tiempo es la prima que los inversionistas están dispuestos a pagar por dicho potencial. De ahí que el valor en el tiempo sea igual a cero al vencimiento de la opción y el valor máximo de la opción que es ejercida es igual al valor intrínseco. En general, el valor en el tiempo se encuentra en su máximo valor cuando el precio del subyacente es igual al precio de ejercicio Factores para la determinación de los precios de las opciones En esta sección se explican los factores de los cuales depende el valor de una opción: (i) Precio actual del bien subyacente. Es el determinante más importante. Cuanto mayor es el precio del activo subyacente, mayor es el precio de la opción de compra (mayor probabilidad de encontrarse dentro del dinero) y menor el de la opción de venta (menor posibilidad de encontrarse dentro del dinero). (ii) Precio de ejercicio de la opción. Cuánto más alto, más barata debe ser la

45 15 opción de compra y más cara debe ser la opción de venta. Sin embargo, cabe recordar que el precio de una opción de compra no puede ser negativo aún si el precio de ejercicio es muy alto. Mientras la opción tenga aún cierta vigencia, existe la posibilidad de que el precio del subyacente exceda al precio de ejercicio antes de su vencimiento y la posición tiene algún valor en el tiempo. Análogamente, en el caso de una opción de venta, su valor intrínseco no puede ser negativo, aún si el precio de ejercicio es muy bajo. Y mientras la opción de venta tenga vigencia, existe la posibilidad de que el precio del subyacente descienda más allá del precio de ejercicio y por tanto la opción tiene al menos cierto valor en el tiempo. (iii) Tasa de interés libre de riesgo. Es el costo de oportunidad de la inversión en una opción, a medida que la tasa de interés libre de riesgo se incrementa, el precio de las opciones de compra aumenta y el precio de las opciones de venta disminuye. Este impacto no es tan evidente. Mientras más altas sean las tasas de interés, más bajo es el precio de ejercicio de una opción de compra. Así, las tasas de interés producen el mismo efecto que bajar el precio de ejercicio de la opción de compra. (iv) Dividendos. Los pagos de dividendos en efectivo también alteran el precio de las opciones. En relación a las opciones sobre acciones, si se espera que la acción reparta altos dividendos, el valor de la opción de compra disminuye y el valor de la opción de venta aumenta. Esto debido a que el precio del subyacente desciende en el mercado en una cantidad similar al pago de dividendos. (v) Plazo al vencimiento. Mientras mayor es el plazo que aún tiene de vigencia la opción, mayor es la posibilidad de ejercer, por lo tanto mayor será el precio de las opciones, tanto de compra como de venta. (vi) Volatilidad del activo subyacente. La volatilidad se refiere al posible rango de variaciones de los precios del subyacente. Los incrementos en la volatilidad del precio del bien subyacente siempre tienen el efecto de que aumenta el precio de las opciones, sean estas de compra o venta, americanas o europeas, porque aumentan la posibilidad de que el precio del bien subyacente rebase el precio de ejercicio provocando que la opción sea ejercida. Los cuatro primeros factores están relacionados con el valor intrínseco de la opción, en tanto que los dos últimos con el valor en el tiempo de la opción. Estas

46 16 variables interactúan entre sí para determinar el valor de las opciones. En resumen se puede decir que el valor de una opción de compra generalmente aumenta cuando el precio actual de las acciones, el vencimiento, la volatilidad y el tipo de interés libre de riesgo aumentan. El valor de una opción de compra disminuye cuando aumentan el precio de ejercicio y los dividendos esperados. El valor de una opción de venta generalmente aumenta cuando el precio de ejercicio, el tiempo de expiración, la volatilidad, y los dividendos esperados aumentan. El valor de una opción de venta disminuye cuando el precio actual de las acciones y la tasa de interés libre de riesgo aumentan Opciones sobre acciones que pagan dividendos Considere una acción que paga continuamente una tasa de dividendo (constante). Entonces el precio de una acción que paga este tipo de dividendo es el precio de la acción sin pago de dividendo descontado a dicha tasa de dividendos Opciones sobre divisas Las opciones sobre divisas pueden ser tratadas de manera análoga a las opciones sobre acciones, la única diferencia es que el activo subyacente es una divisa. Este instrumento tiene la propiedad de transferir el riesgo cambiario entre los participantes del mercado ofreciéndoles una amplia gama de posibilidades de rendimiento además de permitirles crear una cobertura contra el riesgo. Una opción sobre divisas proporciona una especie de seguro cambiario mientras que una cobertura (o un forward) cierra la operación futura a un tipo de cambio fijado el día de la adquisición del contrato. Por supuesto, el seguro no es gratuito y se tiene que pagar una prima por la opción, mientras que en el forward no existe tal prima Opciones sobre futuros Una opción sobre un futuro es una opción donde el subyacente es un futuro. Como en las otras opciones el comprador de la opción tiene el derecho, mas no

47 17 la obligación, de ejercer la opción. Así, con una opción de compra puede ejercer la opción comprando un contrato de futuros al precio de ejercicio (es decir, tomar una posición larga en los futuros al precio de ejercicio), mientras que el comprador de la opción de venta puede ejercer vendiendo el contrato de futuros al precio de ejercicio. Todos los conceptos típicos de las opciones son válidos, por ejemplo, el tenedor de la opción de compra ejercerá el derecho de comprar un contrato de futuros sólo si eso le representa una ganancia o le reduce una pérdida. Las opciones sobre los futuros tienen los siguientes beneficios sobre los contratos de futuros: (i) Las opciones le ponen un límite a la pérdida mientras que los futuros no lo hacen. (ii) Las opciones sobre futuros le permiten a los productores de mercancías cubrir tanto el riesgo precio como el riesgo de cantidad mientras que los futuros permiten solo la cobertura del riesgo precio Opciones exóticas Los derivados como las opciones call y put del tipo europeo o americano se denominan productos plain vanilla. Tienen propiedades usuales bien definidas y se negocian activamente. Sus precios o volatilidades implícitas están dados por las bolsas o por corredores sobre una base regular. Uno de los aspectos excitantes del mercado de derivados Over-The-Counter es el número de productos no estándares que han sido creados por ingenieros financieros. Estos productos se denominan opciones exóticas. Aunque son generalmente una parte relativamente pequeña de sus portafolios, estos productos exóticos son importantes para una institución porque son en general mucho más rentables que los productos plain vainilla.

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49 Capítulo 2 Introducción al movimiento browniano y al cálculo estocástico 2.1 Introducción Para modelar adecuadamente la dinámica de las variables financieras se requiere, sin duda alguna, de la teoría de procesos estocásticos. En este capítulo se revisan varios conceptos de probabilidad y de procesos estocásticos que se emplean en finanzas modernas en tiempo continuo con el objetivo de presentar en forma accesible e intuitiva el cálculo estocástico, sus conceptos básicos y técnicas de análisis. Se presentan algunas de las propiedades del movimiento browniano aritmético, el movimiento geométrico browniano, Lema de Itô, así como sus aplicaciones en el modelado de diversos fenómenos financieros y económicos con varios ejemplos ilustrativos. Los conceptos expuestos en este capítulo se tomaron de Baz, J. y Chacko, G. (2004) y de Venegas, M., F. (2006). 2.2 Caminata aleatoria Una metáfora interesante de los rendimientos de un activo en los mercados financieros es la de caminata aleatoria. Un objeto aleatorio no identificado (se puede pensar en un borracho, una partícula, o el rendimiento de un activo) comienza en el punto cero y tiempo cero, y se desplaza a lo largo de una línea. En cada paso, el objeto se mueve hacia adelante una distancia (positiva) pequeña x con probabilidad p, o hacia atrás una distancia (negativa) pequeña; x con probabilidad q = 1 p. Formalmente, en cada paso i de la caminata aleatoria donde

50 20 i = 1,2..., existe una variable aleatoria Z i que puede tomar los valores +1 ó -1 con probabilidades p y q, respectivamente. Las variables Z son independientes e idénticamente distribuidas. El objeto se mueve con regularidad: un paso por unidad de tiempo t. Al tiempo t = n t es decir, n pasos en el proceso, X(t), la posición del objeto a partir del origen, es la suma de las realizaciones de n pasos, Z 1, Z 2,...,Z n X(t) = Z 1 + Z Z n. (2.1) Ahora surgen las preguntas: Dónde se espera que el objeto esté después de n pasos? Que tan lejos se alejará del origen?. Estas preguntas pueden ser reexpresadas matemáticamente como: Cuál es la esperanza matemática de X(t), IE[X(t)]? Cuál es su varianza, Var[X(t)]? Antes de contestarlas, es útil calcular la esperanza y la varianza si la posición cambia en un paso i como y IE(Z i ) = (p q) x (2.2) Var(Z i ) = IE(Z 2 i ) [IE(Z i)] 2 (2.3) = ( x) 2[ 1 (p q) 2] = 4pq ya que el operador esperanza es aditivo, la distancia total esperada es n veces la esperanza de Z i IE[X(t)] = n(p q) x, (2.4) cuando p = q = 1/2, se espera que el objeto permanezca en el punto cero. Este resultado tiene sentido intuitivo porque el objeto puede moverse en cualquier dirección. Sin embargo, la esperanza tiene que ser entendida como un promedio sobre una gran cantidad de experimentos. Por supuesto un valor esperado puede nunca resultar. Por ejemplo, cuando p = q = 1/2, X( t), la posición después del primer paso puede ser x ó x, pero nunca será igual a cero, su valor esperado. Una intuición mas profunda sugiere que la variable aleatoria tenderá a moverse lejos del origen mientras el tiempo transcurra. Una medida pertinente de verificar esta intuición es Var[X(t)]. Porque X(t) es la suma de n variables independientes con varianza 4pq( x) 2 la varianza de la suma es la suma de las varianzas Var[X(t)] = 4npq( x) 2. (2.5)

51 21 Por lo tanto, la varianza de la distancia a partir del origen es proporcional al número de pasos, pero es importante recordar que cada paso corresponde exactamente a una unidad de tiempo, entonces la varianza de la posición es proporcional al tiempo. En el caso especial donde p = q = 1/2, tenemos 4pq = 1. Si se piensa en n como el número de unidades de tiempo, (2.5) puede ser reescrita como: Var[X(t)] = número de unidades de tiempo ( x) 2 (2.6) y entonces ( x) 2 se puede interpretar como la varianza de X(t) por unidad de tiempo, o como la varianza instantánea cuando la unidad de tiempo es muy pequeña. Entonces x es la desviación estándar instantánea de X(t). En la Gráfica 2.1 se muestra la realización de una caminata aleatoria con p = q = 1/2 y n = 100. Gráfica 2.1: Caminata aleatoria Z n i Fuente: elaboración propia.

52 Procesos estocásticos Un proceso estocástico es un modelo matemático del comportamiento en el tiempo de un fenómeno aleatorio. La aleatoriedad del fenómeno se captura a través de un espacio medible (Ω,F), es decir, un espacio muestral, o conjunto de posibles resultados, y una σ-álgebra del espacio muestral, o conjunto de eventos o sucesos relevantes. En este contexto, un proceso estocástico es un conjunto de variables aleatorias{x t } t T, dondet es un conjunto, finito o infinito, de tiempos. Cada una de estas variables aleatorias X t está definida sobre un espacio medible (Ω,F) y toma valores en otro espacio medible (IR,B(IR)), en donde B(IR) es la σ-álgebra de Borel sobre IR. En este caso, el subíndice t se refiere al tiempo. La σ- álgebra de Borel es la mínima σ-álgebra que contiene a todos los intervalos de la forma (,x] con x IR, es decir, B(IR) es la intersección de todas las σ-álgebras que contienen a los intervalos de la forma (,x] con x IR. El concepto de proceso estocástico es fundamental para el desarrollo de la teoría financiera en tiempo continuo y en ambientes de riesgo e incertidumbre. Los procesos estocásticos son útiles para describir el comportamiento aleatorio de las variables financieras en el tiempo: los precios de los activos, las tasas de interés, los tipos de cambio, los índices bursátiles, etc. A continuación se presenta la definición formal de proceso estocástico en tiempo continuo. Sea (Ω,F,IP) un espacio de probabilidad, es decir, Ω es un espacio muestral, F es una σ-álgebra sobre Ω y IP : F [0,1] es una medida de probabilidad. Sea T un intervalo de tiempo, específicamente se supone quet = [0, ). Un proceso estocástico (de dimensión 1) es un mapeo X : Ω T IR, tal que para cada t T la función X t : ω X(ω,t) X t (ω) : Ω IR satisface X 1 t ((,x]) F para toda x IR, es decir, X t es una función F- medible. Si X t es un proceso estocástico, entonces para cada ω Ω la función t X(ω, t) : T IR, es llamada una trayectoria del proceso. Por último, se dice que un proceso es continuo si cada trayectoria es continua en cada punto de T Filtración e información actual relevante Muy frecuentemente, cuando se trabaja con procesos estocásticos, es necesario especificar el tipo de información que está disponible en cada punto en el tiem-

53 23 po. Por ejemplo, si se quiere calcular la esperanza, condicional a la información disponible, de valores futuros de un proceso, entonces es necesario especificar de manera precisa la información que se utiliza en los cálculos. Usualmente, en los modelos financieros se requiere que los precios, presentes y pasados, de los activos sean conocidos para producir un pronóstico, así como los posibles filtros que expliquen sus precios (v.g. estructuras de series de tiempo, correlaciones, etc.,) Esta idea es formalizada con el concepto de filtración. Una filtración es una familia IF = (F t ) t T de σ-álgebras tales que F t F para toda t T. La familia IF es creciente en el sentido de que F s F t cuando s,t T y s t. Una filtración puede ser pensada como una estructura de información dinámica. La interpretación es que F t representa la información disponible al tiempo t. El hecho de que la filtración esté aumentando significa que hay más y más información conocida conforme el tiempo transcurre y que la información pasada no se olvida. A continuación se estudia el concepto de filtración de un proceso estocástico. Para t 0 fijo, considere la siguiente familia de subconjuntos de Ω: A t = {A x,t x IR}, A x,t = { ω Ω ω(s) x, 0 s t }. La σ-álgebra generada por A t, es decir, la mínima σ-álgebra que hace que las funciones W s, con 0 s t, sean variables aleatorias, se denota mediante F W t = σ(a t ) = σ(w s, 0 s t). En este casof W 0 contiene sólo conjuntos de probabilidad cero o uno. Claramente, si t u, entonces F W t F W u. La familia creciente de σ-álgebras {F W t } t 0 es llamada la filtración natural generada por{w t } t 0. SiN es el conjunto de eventos B F tales que IP(B)=0, se define la filtración aumentada de {F W t } t 0 mediante la familia de σ-álgebras ( ) F t = σ F W t N. De hecho, basta que este procedimiento se efectúe únicamente para t = 0, ya que si F 0 = σ(f W N), entonces N F 0 0 F t para toda t 0. Por último, observe que la filtración {F t } t 0 es continua por la derecha, esto es, F t = u tf u

54 24 y continua por la izquierda en el sentido de que ( F t = σ F s ). 0 s t Sin embargo, {F W t } t 0 es continua por la izquierda, pero no por la derecha. Los agentes requieren de la información disponible en cada punto en el tiempo para hacer pronósticos. En este caso, F t representa la información relevante disponible hasta el tiempo t, ya que si al tiempo t ocurre ω Ω, entonces los agentes saben si ω está o no en A F t, para algún A dado, a fin de efectuar pronósticos. Por último, es importante mencionar que si s t, W t W s es independiente de la σ-álgebra F s Procesos estocásticos adaptados a una filtración Un proceso estocástico{x t } t 0 se dice que es adaptado a la filtración{f t } t 0 si para cada t 0, X t es F t -medible, es decir, si para cada t 0, {X t x} {ω X t (ω) x} F t para toda x IR. Esto significa que el valor que tome X t en t depende solamente de la información disponible al tiempo t. Como puede observarse, la adaptabilidad es una propiedad muy importante y afortunadamente la mayoría de los procesos que se utilizan en finanzas la tienen. Claramente, todo proceso {X t } t 0 es adaptado a la filtración {F X t } t Movimiento browniano aritmético Movimiento browniano aritmético como el límite de una caminata aleatoria simple Regresando a la descripción de la caminata aleatoria simple, donde se había calculado la esperanza y la varianza de la posición del objeto al tiempo t = n t después de n pasos: IE[X n ] = n(p q) x (2.7)

55 25 y Var[X n ] = 4npq( x) 2 = 4 t t pq( x)2. (2.8) Ahora considere las características de una caminata aleatoria en tiempo continuo. Así, para un t dado, la longitud de un intervalo de tiempo t y el tamaño del paso x serán hechos arbitrariamente pequeños (tienden a cero). Por lo tanto, el número de n pasos correspondientes llega a ser muy grande (tiende a infinito). Entonces Cómo se pueden calibrar los parámetros de la caminata aleatoria, p, q y x para obtener una distribución en tiempo continuo de X(t) con media constante instantánea µ, y varianza σ 2? Puesto en ecuaciones, esto es equivalente a IE[X(t)] = t pq x µt (2.9) t y Var[X(t)] = 4 t t pq( x)2 σ 2 t. (2.10) Se puede comprobar que la solución de (2.9) y (2.10) está dada por p = µ t (2.11) 2σ q = 1 2 µ t (2.12) 2σ x = σ t (2.13) Observe que todo está expresado en términos del paso de tiempo. En la derivación anterior, se eligen los tamaños de paso y las probabilidades consistentes con el límite en tiempo continuo. El proceso límite para X se llama movimiento browniano aritmético con tendencia (drift) µ y volatilidad σ. Es similar al proceso de caminata aleatoria en tiempo discreto discutido anteriormente. El movimiento browniano aritmético tiene las siguientes propiedades: (i) X(0) = 0; (ii) Los incrementos son independientes: hasta donde la caminata ha llegado no tiene relación con su trayectoria en el futuro. Equivalentemente: X(t) X(0) y X(t+h) X(t) son independientes para todo h > 0; (iii) X(t) tiene media µt y varianza σ 2 t por la construcción anterior. Más aún, se puede demostrar usando el teorema del límite central 1 que X(t) N(µt, σ 2 t). 1 En forma más precisa, la versión del teorema del límite central de Moivre-Laplace.

56 26 Se prueba este resultado calculando la función generadora de momentos de X(t). La función generadora de momentos de Z i es: ( ) IE e λz i = pe λ x + qe λ x. (2.14) La función generadora de momentos de X n, es la n-ésima potencia de la expresión anterior. Formalmente [ ] [ ] IE e λz n = IE e λ(z 1+Z 2 + +Z n ) (2.15) ( )( ) ( ) = IE e λz 1 e λz 2 e λz n = (pe λ x + qe λ x) n [( 1 = 2 + µ ) ( t e λσ t 1 + 2σ 2 µ ) n t e t] λσ, 2σ de donde la primera igualdad viene de (2.1), la segunda de la independencia de los pasos, la tercera de (2.14) y la cuarta de la solución a la distribución limite en tiempo continuo dada por (2.11), (2.12) y (2.13). Porque t puede ser hecha tan pequeña como se quiera (es la unidad más pequeña de tiempo de interés). Cualquier cantidad de orden ( t) n, con n > 1, se considera despreciable y se llama o( t), lo cual significa lim ( t)n t = 0, cuando t 0. (2.16) Por ejemplo, ( t) 2 = o( t), ( t) 3/2 = o( t), pero t = o( t) porque lim t t =, cuando t 0. Hecha esta observación, se puede escribir la expansión de Taylor de los exponentes en (2.15) como y e λσ t = 1+λσ t+ λ2 σ 2 t 2 e λσ t = 1 λσ t+ λ2 σ 2 t 2 + o( t) (2.17) + o( t), (2.18)

57 27 sustituyendo (2.17) y (2.18) en (2.15), se obtiene [ IE e λx(t)] [ = 1+ (λµ+ λ2 σ 2 2 ) t+o( t)] n, (2.19) pero t = t/n. Debido a que el número de n pasos tiende al infinito cuando el incremento de tiempo t tiende a cero, la función generadora de momentos se transforma en el limite en tiempo continuo expresado de la siguiente manera 2 ( ) [ lim IE e λx(t)] λµ+ λ2 σ 2 2 = 1+ n n = e ( λµ+ λ2 σ 2 2 ) t. n (2.20) La ecuación (2.20) es precisamente la función generadora de momentos de una distribución normal con media µt y varianza σ 2 t. Según lo afirmado, X(t) se distribuye normalmente y se puede estandarizar restando su media y dividiendo por su desviación estándar X(t) µt σ t = φ (2.21) donde φ N(0,1). Se puede reescribir el movimiento browniano aritmético en (2.21) como X(t) = µt+σw(t) (2.22) con X(0) = 0, como en la caminata aleatoria en tiempo discreto. W(t) se denomina movimiento browniano estándar -un caso especial del movimiento browniano aritmético con µ = 0 y σ = 1 - o un proceso de Wiener 3. Por lo tanto, W(t) es el límite en tiempo continuo de una caminata aleatoria discreta donde p = q = 1/2 y x = t. 2 Recuerde que lim n ( 1+ x n ) n = e x. 3 Norbert Wiener del MIT formalizó la teoría del movimiento browniano en 1923.

58 Momentos de un movimiento browniano aritmético Como se mostró antes, W(t) se distribuye normalmente con IE[W(t)] = 0 (2.23) Var[W(t)] = t Cov[W(t),W(t+h)] = Cov[W(t),W(t+h) W(t)+W(t)] (2.24) = Cov[W(t),W(t+h) W(t)]+Var[W(t)] = 0 (por incrementos independientes)+t = t Var[W(t) W(t+h)] = Var[W(t)]+Var[W(t+h)] (2.25) 2Cov[W(t),W(t+h)] = t+(t+h) 2t = h observe también que de (2.21) con µ = 0 y σ = 1 que W(t) puede ser escrito como W(t) = φ t (2.26) Para calcular momentos de W(t) considere los momentos de orden mayor de una distribución normal estándar y el siguiente resultado IE(φ n ) = { 0, si n es impar (n 1)!! = (n 1)(n 3) 1, si n es par Por lo tanto, los momentos de W(t) son IE[W n (t)] = { 0, si n es impar (n 1)!!t n/2 = t n/2 (n 1)(n 3) 1, si n es par (2.27) Ejemplo Suponga que los rendimientos R(t) de una acción siguen un movimiento browniano R(t) = 0.1t+0.3W(t), R(0) = 0

59 29 El rendimiento esperado es La varianza del rendimiento es IE[R(t)] = IE(0.1t) + IE[0.3W(t)] = 0.1t Var[R(t)] = Var(0.1t) + Var[0.3W(t)] = 0.09t con una desviación estándar σ = 0.3 t. Los momentos de orden mayor se pueden calcular expandiendo el polinomio R(t) y usando la ecuación (2.27). Por ejemplo IE[R 3 (t)] = IE[0.001t 3 + 3(0.01)t 2 (0.03)W(t) + 3(0.1)t W 2 (t) w 3 (t)] = 0.001t El proceso para R(t) se puede reescribir como R(t) = 0.1t+0.3φ t donde φ N(0,1). Cómo inferir las características, por ejemplo, de un rendimiento anual? Se sabe que R(1) = φ es la suma de un componente determinista (10 %) y de un componente aleatorio φ escalado por la desviación estándar por unidad de tiempo (30 %). φ puede tomar cualquier valor real. Un resultado útil en este caso es que φ está en el intervalo [-1.96, +1.96] con una confianza del 95 %; en el intervalo [-1.645, ] con una confianza del 90 %; y en el intervalo [- 1, +1] con una confianza del 68 %. La afirmación correspondiente sobre el rendimiento de un año R(1) es: la realización de R(1) estará en el intervalo [-48.8 %, %] con una confianza del 95 %; en el intervalo [ %, %] con una confianza del 90 %, y en intervalo [-20 %, +40 %] con una confianza del 68 %. Por último, observe que en sentido estricto, el rendimiento de una acción no se puede describir por el proceso anterior porque hay una probabilidad positiva de que éste sea menor de -100 %. 2.5 Movimiento browniano En esta sección es establece la definición formal del movimiento browniano y del proceso de Wiener. Sea (Ω,F,IP) un espacio de probabilidad fijo, el movi-

60 30 miento browniano (estándar y unidimensional) es una función tal que para cada t 0, la función W : [0, ) Ω IR, W(t, ) : Ω IR es una variable aleatoria definida en (Ω,F). Mientras que para cada ω Ω la función W(,ω) : [0, ) IR es continua en [0, ). La familia de variables aleatorias W(t, ) es denotada, cuando no exista confusión, en forma breve como {W t } t 0. Las funciones W(,ω) son llamadas trayectorias y se denotan por ω(t). La familia {W t } t 0 satisface adicionalmente las siguientes condiciones: (i) W 0 = 0 casi dondequiera (o casi en todas partes), es decir, IP{ω Ω W 0 (ω) = 0} = 1. Es decir, el proceso empieza en t = 0 con probabilidad uno; (ii) Para cualquier conjunto de tiempos 0 t 1 < t 2 < < t n, los incrementos W t1 W t0, W t2 W t1,...,w tn W tn 1 son estocásticamente independientes; (iii) Para cualquier par de tiempos t y s con 0 s < t, W t W s N(0,t s) Proceso de Wiener Sea IF = (F t ) t 0 una filtración. Un proceso estocástico {W t } t 0 es un proceso de Wiener relativo a IF si cumple las siguientes condiciones: (i) W 0 = 0 con probabilidad uno, es decir, IP{ω Ω W 0 (ω) = 0} = 1; (ii) W t es continuo en t; (iii) W t es adaptado a la filtración IF;

61 31 (iv) Si 0 s < t, el incremento W t W s es independiente de F s y normalmente distribuido con media cero y varianza t s. Una primera diferencia entre el proceso de Wiener y el movimiento browniano es que el primero considera una filtración IF y el segundo no. Es decir, el movimiento browniano es independiente del concepto de filtración. La segunda diferencia que se observa es la ausencia del requerimiento de incrementos independientes en el proceso de Wiener Las trayectorias no son diferenciables La ecuación (2.22) escrita de otra forma es X(t) = X(0)+µ+σW(t) (2.28) ó, en su forma diferencial 4 dx(t) = µdt+σdw(t) (2.29) donde el dx(t) y dw(t) se definen como 5 y dx(t) X(t+dt) X(t) (2.30) dw(t) W(t+dt) W(t) = φ dt (2.31) La ecuación (2.29) es una ecuación diferencial estocástica 6. Surge una pregunta básica: Es la variable X(t) diferenciable con respecto a t? Es decir, dx(t)/dt converge?. Un cálculo sencillo revela que éste no es el caso: X(t) lim t 0 t = µ+ σφ t ± (2.32) La expresión anterior tiende a más o menos infinito dependiendo del signo de φ. El movimiento browniano es fundamentalmente imprevisible en intervalos de tiempo cortos. Esto significa que una trayectoria típica es decir una realización de X como función del tiempo no es diferenciable. Por lo tanto, la expresión dx(t)/dt no es aceptable. 4 La sección de cálculo de Itô en este capítulo explicará la relación entre las versiones integral y diferencial de un proceso. 5 Se escribirá alternativamente dx y dx(t); dw y dw(t). 6 Consultar Øksendal, B. (2000) para una descripción más detallada del concepto de ecuación diferencial estocástica.

62 Las trayectorias son continuas Deseamos probar la continuidad de la trayectoria de un proceso de Wiener. La trayectoria es continua en probabilidad si, y solo si, para cada δ > 0 y t Recordando que, al tiempo t Por la desigualdad de Chebyshev 7 { lim IP W(t+ t) W(t) } > δ = 0 (2.33) t 0 } W(t+ t) IEt IP{ W(t+ t) > δ Esto establece la continuidad del proceso de Wiener. IE t [W(t+ t)] = W(t) (2.34) Var t[w(t+ t)] δ 2 (2.35) = t 0 cuando t 0 δ2 2.6 Movimiento geométrico browniano Aún cuando el movimiento browniano es una de las bases en la construcción de modelos financieros, éste no puede por sí mismo representar el comportamiento de todas las variables financieras que encontramos. Los precios de los activos, por ejemplo, no son descritos apropiadamente por el movimiento browniano estándar, ya que los precios no parten de cero. Sus incrementos (y rendimientos) podrían tener media positiva, o bien podrían tener varianzas que no necesariamente son por unidad de tiempo. En conclusión, los precios de los activos, en general, comienzan en valores diferentes de cero, tienen incrementos con medias diferentes de cero, varianzas diferentes por unidad de tiempo y covarianzas diferentes de cero. 7 La desigualdad de Chebyshev afirma que para una variable aleatoria X y δ > 0: IP{ X IE(X) δ } Var(X) δ 2

63 33 Una variable X(t) sigue un movimiento geométrico browniano si obedece una ecuación diferencial estocástica de la forma Con X(0) = x 0, la solución de (2.36) es 8 dx(t) = µx(t)dt + σx(t)dw(t) (2.36) X(t) = x 0 exp {(µ 12 ) σ2 t+σφ } t. (2.37) X(t) es siempre positivo. Una vez que tome cero, el valor de X(t) será siempre cero 9. Ejemplo El precio de una acción X(t) sigue un movimiento geométrico browniano de la forma dx(t) = 0.12X(t)dt + 0.4X(t)dW(t) La acción vale 100 hoy. Cuál es el intervalo al 95 % de confianza para el precio de la acción dentro de tres meses? Se sabe que el precio satisface (2.37). Por lo tanto { X(t) = 100 exp 0.04t+0.4φ } t La variable normal estándar φ está en el intervalo [-1.96,+1.96] con una confianza del 95 %. Con t = 0.25, el precio estará entre y con una confianza del 95 %. Observe que de (2.37) que el logaritmo de X(t) está distribuido normalmente (condicional a X(0) = x 0 ) como sigue ln[x(t)] = ln x 0 + (µ 12 ) σ2 t+σφ t (2.38) La esperanza y la varianza de ln[x(t)] son IE{ln[X(t)]} = ln x 0 + (µ 12 σ2 ) t (2.39) 8 Se proporciona una prueba en la sección de cálculo de Itô. 9 La razón intuitiva por la que cero es un estado absorbente es: si el precio de un activo hoy fuera cero con la expectativa más leve de que tome un valor positivo más adelante, un arbitrageur podría comprar el activo a discreción y sin ningún costo, creando una máquina de dinero.

64 34 Var{ln[X(t)]} = σ 2 t (2.40) X(t), es obviamente la exponencial de la variable normal definida en (2.38). Por lo tanto, se sigue que una distribución lognormal (una variable lognormal -al grado de ser un nombre poco apropiado- puede ser definida como la exponencial de una variable aleatoria normal). Específicamente, la función de distribución lognormal es 1 IP{X(t) x} = (2.41) 2πtσX ( [ ( ]) 2 x ln X ln x 0 + µ 1 exp 1 2 σ2) t 2 σ 2 t dx Como una X(t) lognormal también significa una normal ln X(t), la expresión (2.41) puede redefinirse con una función de densidad de una normal como integrando. De hecho un cambio de variables da como resultado u ln X [ ln x 0 + σ t ( ] µ 1 2 σ2) t IP{X(t) x} = 1 ln X [ln x 0 + (µ 2 1 σ2 )t] σ t 2π ln X = Φ [ ( ln x 0 + µ 1 2 σ2) t σ t (2.42) e 1 2 u2 du (2.43) ]. La función de densidad lognormal se puede obtener como sigue 10, sean f(x) y g(y), con Y = h(x), entonces f(x) = g(y) dy = g[h(x)] h (x) dx En este caso Y = ln X y 1 g(y) = σ 2πt exp 1 2 ( [ ( ln X ln x 0 + µ 1 2 σ2) t σ 2 t ]) 2 10 Utilizando el teorema de cambio de variable, consultar Mood, A. M. et al.

65 35 con se obtiene f(x) = 1 σx 2πt exp 1 2 h (x) = 1 X ( [ ( ln X ln x 0 + µ 1 2 σ2) t σ 2 t ]) 2 para X > 0 y f(x) = 0, en otro caso Momentos de un movimiento geométrico browniano La función generadora de momentos de una variable Y N(m,υ 2 ) es IE[e λy ] = exp (mλ+ 12 ) υ2 λ 2 (2.44) si se define Y = ln X(t) entonces, la función generadora de momentos de una normal es una expresión directa de los momentos de una distribución lognormal IE[X λ (t)] = exp (mλ+ 12 ) υ2 λ 2 (2.45) con m = ln x 0 + (µ 12 ) σ2 t (2.46) υ 2 = σ 2 t. De estas ecuaciones se obtiene el momento de orden λ en t IE[X λ (t)] = x0 [λ (µ λ exp 12 ) σ2 t+ 1 ] 2 λ2 σ 2 t (2.47) La esperanza de X(t), condicional a X(0) = x 0 IE[X(t)] = x 0 exp(µt) (2.48)

66 36 el segundo momento ] IE[X(t) 2 ] = x0 [2µt+σ 2 exp 2 t (2.49) y la varianza [ Var[X(t)] = IE X(t) 2] [IEX(t)] 2 (2.50) ] = x0 [exp(σ 2 exp(2µt) 2 t) 1 La mediana, es decir, el valor de X(t) en el que la probabilidad acumulada definida en (2.41) es 50 %, es mediana[x(t)] = x 0 exp (µ 12 ) σ2 t (2.51) ésta es la ecuación (2.37) con φ = 0 (el punto mediano de una distribución normal estándar). En general, el cuantil de una distribución lognormal es ( Cuantil k [X(t)] = x 0 exp µ 1 ) 2 σ2 + z k σ t (2.52) donde z k se define como k Φ(z k ) En k = 50 %, z k = 0, (2.52) se reduce a (2.51). La moda el punto máximo de la función de densidad se obtiene al igualar a cero la derivada respecto a X de la función de densidad (es decir, del integrando en (2.41)) moda[x(t)] = x 0 exp (µ 32 ) σ2 t (2.53) Por lo tanto moda < mediana < media La desigualdad mediana < media es solo una expresión del sesgo a la izquierda de la distribución lognormal. Lo que significa que es probable que una realización de X(t) será más pequeña que su esperanza x 0 e µt. Reescribiendo la ecuación (2.36) como dx(t) X(t) = µdt+σdw(t) (2.54)

67 37 y observando la dinámica de dx/x la media aumentará con el tiempo para una µ positiva. La varianza seguirá aumentando con el tiempo. Cuando el horizonte de tiempo va al infinito, la distribución normal degenera hacia una línea recta, resultando una distribución con varianza infinita. Observe también que de (2.54) el rendimiento dx/x se distribuye normalmente con media µ dt y varianza σ 2 dt. La comparación de (2.54) y (2.38) muestra que la tendencia dx/x y d ln X difieren por 1/2σ 2 dt. A diferencia del cálculo ordinario donde d ln X = dx/x se necesitan nuevas reglas de cálculo para abordar el movimiento browniano. La siguiente sección tratará sobre este tema. 2.7 Cálculo de Itô Integrales de: Riemann-Stieljes, Stratonovitch e Itô En las secciones (2.4) y (2.6) se presentó el movimiento aritmético browniano y el movimiento geométrico browniano ambos en sus formas diferencial e integral, sin explicar la relación entre ambas. Con este objetivo, es necesario dar el significado a la expresión t 0 f(s)dw(s) (2.55) donde, para dar ejemplos, f(s) es σ en el modelo del movimiento browniano aritmético y σs en el modelo del movimiento geométrico browniano. Tal vez el lector tenga conocimiento del cálculo y puede ser tentado a utilizar la definición convencional de la integral de Riemann-Stieljes para evaluar (2.55). Intente eso. Primero, particione el intervalo de tiempo (0,t) en subintervalos, 0 = s 0 < s 1 < < s n 1 < s n = t. En este contexto la integral se puede definir como t 0 f(s)dw(s) = n 1 lim f(ŝ i )[W(s i+1 ) W(s i )] (2.56) max i s i+1 s i 0 i=0 donde s i ŝ i s i+1, para i = 0,1,...,n 1. Es un resultado bien conocido que en un contexto determinista, no importa donde esté s i en el subintervalo(s i, s i+1 ), la integral de Riemann-Stieljes converge hacia el mismo valor 11. Se puede ser probar que, mientras f no sea estocástica en (2.56), la posición de ŝ i es irrelevante y la 11 cuando las condiciones de convergencia se cumplen.

68 38 integral de Riemann-Stieljes existe. Por ejemplo, considere la forma diferencial de un movimiento aritmético browniano dx(t) = µdt + σdw(t) (2.57) Porque σ no es estocástica, utilizando la integral de Riemann-Stieljes t 0 t t dx(s) = µ ds+σ dw(s) (2.58) 0 0 y la forma integral de un movimiento browniano aritmético es X(t) = X(0)+µt+σW(t) (2.59) Sin embargo, cuando f(s) es estocástica, por ejemplo, en un movimiento geométrico browniano donde f(s) = σs(s), el uso de la integral de Riemann-Stieljes puede ser problemático como se muestra en el siguiente ejemplo Ejemplo Se desea evaluar t 0 W(s)dW(s) Para que la integral de Riemann-Stieljes converja, es necesario verificar que la posición de ŝ i en el subintervalo (s i, s i+1 ) no afecte el valor de la integral según lo definido en (2.56). Para hacer esto, calcule la diferencia entre la integral denotada por J en ŝ i = s i+1, y la integral denotada por I en ŝ i = s i. También, por simplicidad, suponga n subintervalos de igual longitud s cada uno, es decir, s = s i+1 s i, para i = 0,1..., n 1, y n s = t n 1 I lim W(s i )[W(s i+1 ) W(s i )] (2.60) s 0 i=0 entonces n 1 J lim W(s i+1 )[W(s i+1 ) W(s i )] (2.61) s 0 i=0 n 1 IE(J I) = (s i+1 s i ) = n s = t (2.62) i=0

69 39 n 1 {[W(s i+1 ) W(s i )] 2} 2 i=0 = [ φ 2 1 (s 1 s 0 )+φ 2 2 (s 2 s 1 )+ +φ 2 n(s n s n 1 ) n 1 = ( s) 2 i=0 φ 4 i + i =j φ 2 i φ2 j (s i s i 1 )(s j s j 1 ) ] 2 (2.63) donde las φ s son variables independientes normales estándares. Se sigue que IE(J I) 2 = lim s 0 { n 1 [( s) 2 IE i=0 ] + IE φ 2 i φ2 j (s i s i 1 )(s j s j 1 ) i =j [ = lim 3n( s) 2 + n(n 1)( s) 2] s 0 [ = lim 2t s+t 2] s 0 = t 2. Entonces la varianza de la diferencia entre las integrales es φ 4 i Var(J I) = IE(J I) 2 [IE(J I)] 2 = t 2 t 2 = 0 (2.64) La diferencia (J I) tiene media t y varianza cero. Se dice que converge a t en media cuadrática. Formalmente, se puede definir la convergencia en media cuadrática en este contexto como i=0 } lim IE n 1 { [W(s i+1 ) W(s i )] 2 2 t} = 0 (2.65) n A partir de las definiciones de I y J en (2.64) y (2.65) se concluye que éstas son afirmaciones equivalentes. Los resultados anteriores de convergencia se obtienen aún si los subintervalos de tiempo son desiguales. Dado que el límite cambia con la posición del ŝ i, la integral de Riemann Stieljes no converge. Por lo tanto se debe definir una nueva integral (para pagar el costo). Tal integral a diferencia de la integral de Riemann-Stieljes incluye en

70 40 su definición la posición de ŝ i. Obviamente, hay un número infinito de posiciones que s i podría tomar en el subintervalo (s i, s i+1 ) ; así pues, técnicamente se podría definir un número infinito de integrales. De hecho, dos de éstas que satisfacen la condicioń pedida son (i) La integral de Stratonovitch, donde ŝ i = 1 2 (s i + s i+1 ): t n 1 S f(s)dw(s) = lim f 0 s 0 i=0 ( si + s i+1 2 ) [W(s i+1 ) W(s i )] (2.66) (ii) y la integral de Itô, donde ŝ i = s i : t n 1 I f(s)dw(s) = lim f(s i )[W(s i+1 ) W(s i )] (2.67) 0 s 0 i=0 Nota: Por conveniencia, se omitirá la I al tratar integrales de Itô en lo que sigue. Todas las integrales estocásticas se supondrá son integrales de Itô a menos que se indique lo contrario. La integral I en la ecuación (2.60) es un ejemplo de una integral de Itô. La función f(s i ) entonces se dice es no anticipativa, porque se evalúa al inicio del subintervalo del tiempo (s i, s i+1 ). También algo importante de mencionar es la trascendencia del símbolo = en (2.66) y (2.67). A diferencia de la definición de la integral Riemann Stieljes en un contexto determinista (donde la integral es igual a un número), las integrales de Stratonovitch y de Itô pueden ser aleatorias, y son iguales a una cantidad en el sentido que convergen hacia esa cantidad en media cuadrática. Ahora se discuten las integrales de Stratonovitch y de Itô en referencia al ejemplo previo. Ejemplo Cómo se puede calcular explícitamente el valor de t 0 W(s)dW(s) en el sentido de Itô?. Por la definición de integral de Itô t 0 n 1 W(s)dW(s) = lim W(s i )[W(s i+1 ) W(s i )] = I (2.68) s 0 i=0 como en la ecuación (2.60). Se sabe ya del ejemplo previo que J I es igual a t (en

71 41 el sentido de media cuadrática). Ahora evalúe I+J n 1 I+J = lim s 0 = lim s 0 i=0 n 1 i=0 [W(s i+1 )+W(s i )][W(s i+1 ) W(s i )] [ W(s i+1 ) 2 + W(s i ) 2] = W(t) 2 (2.69) A partir de los valores de (J I) y de (J+I), se infiere I y J: y I = W(t)2 t 2 J = W(t)2 + t 2 (2.70) (2.71) Se puede comprobar que la integral de Stratonovitch, evaluada en ŝ i = 1 2 [s i + s i+1 ], es t n 1 S W(s)dW(s) = lim W 0 s 0 i=0 ( si + s i+1 2 ) [W(s i+1 ) W(s i )] = 1 2 W(t)2 (2.72) el cuál es el valor de la integral t 0 W(s)dW(s) de cálculo estándar, siendo W( ) una función determinista. Esta característica de la integral de Stratonovitch es decir, que preserva las reglas del cálculo estándar se han visto a menudo como una ventaja. La integral de Itô, sin embargo, suele adecuarse mejor con la intuición económica. Por ejemplo, la media y la varianza condicional de un proceso son calculadas por los agentes económicos al tiempo t con base al conjunto de información disponible para ellos al tiempo t. Por el contrario, hay un elemento de previsión perfecta en la definición de la integral de Stratonovitch que es difícil de justificar intuitivamente en economía y finanzas. Además, la propiedad de martingala de la integral de Itô discutida más adelante muestran tener características deseables para su cálculo. Según lo mencionado antes, se utilizará exclusivamente la formulación de Itô al discutir integrales y diferenciales estocásticas.

72 Lema de Itô El lema de Itô será la herramienta a utilizar en un número de desarrollos subsecuentes y, como tal, merece una atención especial. En su formulación heurística 12, es solo una expansión de Taylor cum una tabla de reglas de diferenciación estocástica. Se discute ahora esta tabla y el lema, para después dar ejemplos y aplicaciones. La tabla de multiplicación consiste en los resultados del Cuadro 2.1. Cuadro 2.1: Reglas básicas de diferenciación estocástica. dt dw dt 0 0 dw 0 dt Recordando de la sección movimiento browniano aritmético que cualquier cantidad más pequeña que dt (denominada o(dt)) es despreciable. Con este antecedente, se prueban las reglas de multiplicación: Regla 1: (dt) 2 = 0 ( t) ya que lim 2 t 0 t = 0, la regla se cumple. (dt) 2 = o(dt) (2.73) Regla 2: dw dt = dt dw = 0 : dw dt es una variable aleatoria con y IE(dWdt) = dtie(dw) = 0 (2.74) Var(dWdt) = (dt) 2 Var(dW) ( = (dt) 2 Var φ ) dt = (dt) 3 = o(dt) 12 es decir, es matemáticamente incorrecto. Como contrapunto, se dice también que un poco de imprecisión ahorra toneladas de explicación.

73 43 Una variable aleatoria con varianza infinitesimalmente pequeña igual a su esperanza, en este caso cero. Se utilizan comillas por que una variable aleatoria, no puede en sentido estricto, ser igual a una cantidad conocida. En este contexto igual a cero significa que converge a cero en media cuadrática. 13 Regla 3: (dw) 2 = dt : la esperanza de (dw) 2 y varianza IE(dW) 2 = IE(φ dt) 2 = dt (2.75) [ Var (dw) 2] = IE(dW) 4 [IE(dW) 2] 2 = (dt) 2 IE(φ 4 ) (dt) 2 = 2(dt) 2 = o(dt) (2.76) Por lo tanto, la variable aleatoria (dw) 2 converge a dt en media cuadrática ( igual a dt). A continuación se establece el lema de Itô. Considere un proceso estocástico general, denominado proceso de Itô de la forma dx(t) = µ[x(t), t] dt+σ[x(t), t] dw(t) (2.77) Considere una función f[x(t), t]. f es dos veces diferenciable con respecto a X(t) y t. Debido a la regla (dw) 2 = dt es conveniente calcular la diferencial total de f[x(t), t] considerando los términos de segundo orden en una expansión en serie de Taylor de la siguiente manera d f [X(t),t] = f X dx+ f t dt f X t dxdt f X 2(dX)2 (2.78) 2 f t 2(dt) Véase el ejemplo (2.7.1) para una discusión de la convergencia en media cuadrática.

74 44 De acuerdo con las reglas de diferenciación, se tiene 1 2 f 2 X 2(dX)2 = 1 2 f ( 2 2 X 2 µ[x(t),t] dt+σ[x(t),t] dw(t)) (2.79) = 1 2 f ( 2 X 2 µ[x(t),t](dt) 2 ) + 2µ[X(t),t] σ[x(t),t](dt)(dw)+σ 2 [X(t),t] dt = f X 2 σ2 [X(t),t] dt 2 f dxdt = 0 X t (2.80) 1 2 f 2 t 2(dt)2 = 0 (2.81) Al sustituir (2.77), (2.79), (2.80), y (2.81) en (2.78), se obtiene el lema de Itô: ( f d f [X(t),t] = X µ[x(t),t]+ f t ) f 2 X 2 σ2 [X(t),t] dt + f σ[x(t),t] dw(t) (2.82) X El lema expresado en su forma integral es f [X(t),t] = f [X(0),0] t ( f + X µ[x(s),s]+ f s ) f 2 X 2 σ2 [X(s),s] ds + 0 t 0 f σ[x(s),s] dw(s) (2.83) X Cuando f no es una función explícita de t, se tiene una versión más simple de (2.82): ( f d f [X(t)] = X µ[x(t),t]+ 1 2 ) f 2 X 2 σ2 [X(t),t] dt + f σ[x(t),t] dw(t) (2.84) X

75 45 Las expresiones anteriores aplican a procesos de Itô en general y serán utilizados en el contexto de procesos estocásticos en particular. Por ejemplo, para el movimiento browniano geométrico, µ[x(t), t] = µx y σ[x(t), t] = σx. Las ecuaciones (2.82) y (2.84) se transforman en: ( f d f [X(t),t] = X µx+ f t ) f 2 X 2 σ2 X 2 dt+ f σxdw(t) (2.85) X y d f [X(t)] = ( f X µx+ 1 2 ) f 2 X 2 σ2 X 2 dt+ f σxdw(t) (2.86) X Ejemplo Forma integral del movimiento geométrico browniano. Se desea obtener la forma integral correspondiente a la ecuación diferencial estocástica Sea f[x(t)] = ln X(t). Entonces dx(t) = µx(t)dt + X(t)dW(t). f X = 1 X, y 2 f X 2 = 1 X 2 Al sustituir los valores de las derivadas en (2.86) se obtiene Observe que d ln X(t) = ( µ 1 2 σ2) dt+σdw(t) (2.87) d ln X(t) = ( µ 1 2 σ2) dt+σdw(t) = µdt+σdw(t) 1 2 σ2 dt = dx(t) X(t) 1 2 σ2 dt (2.88) Observe también que si X es una variable real, la derivada d ln X = dx X. Sin embargo, si X(t) es conducida por un movimiento geométrico browniano, esta regla no se cumple, porque se tiene un término adicional: 1 2 σ2 dt, como en (2.88). Integrando (2.87) de 0 a t t 0 d ln X(s) = t 0 ( 1 t µ 2 σ2) ds+ σdw(s) 0

76 46 se obtiene ln X(t) = ln X(0)+ ( µ 1 2 σ2) t+σw(t) aplicando la exponencial de ambos lados se obtiene [ ] (µ 1 X(t) = X(0) exp 2 σ2) t+σw(t). Ejemplo Paradoja de Siegel. El tipo de cambio US dólar/euro X sigue un movimiento geométrico browniano dx X = µdt+σdw Denote por Y el tipo de cambio Euro/US dólar. Entonces Y 1/X, y Y X = 1 X 2, y 2 Y X 2 = 2 X 3 si se sustituyen las derivadas en (2.86) se obtiene la dinámica del tipo de cambio Euro/dólar ( dy = 1 X 2 µx+ 1 ) 2 2 X 3 σ2 X 2 dt 1 X 2 σxdw dy = 1 [( ) ] σ 2 µ dt σdw X dy ( ) Y = σ 2 µ dt σdw (2.89) Una comparación de las ecuaciones diferenciales estocásticas para X e Y puede revelar una paradoja de dimensiones interesantes: 1. Si σ 2 > µ > 0, entonces IE(dY/Y) y IE(dX/X) son positivas, y X e Y van a infinito cuando el tiempo va al infinito, aunque Y = 1/X. 2. Si σ 2 = 2µ, entonces IE(dY/Y) = IE(dX/X). Es decir, uno debería esperar que el tipo de cambio Euro/dólar y el tipo de cambio dólar/euro crezcan a la misma tasa. Por ejemplo, si σ 2 = 2µ = 0.1 %, y X 0 = Y 0 = 1 en el año cero, entonces uno debe esperar que tanto X como Y sean (ó e µ ) un año después.

77 47 3. El resultado intuitivo : IE(dY/Y) = IE(dX/X) (o sea, IE(Y) = 1/IE(X) para toda t) se obtiene solamente cuando σ = 0, es decir, en un mundo determinista. La paradoja se llama la paradoja de Siegel y es la expresión de la desigualdad de Jensen 14. Ejemplo Funciones potencia. Una variable X sigue un movimiento geométrico browniano dx X = µdt+σdw Encuentre el proceso seguido por la variable Y = X n. Las derivadas son Y X = nxn 1 y 2 Y X 2 = n(n 1)Xn 2 En virtud de (2.86), el proceso seguido por Y es dy (nµ+ Y = 12 ) n(n 1)σ2 dt + nσdw (2.90) Por lo tanto, una variable aleatoria lognormal elevada a la potencia n es también una variable aleatoria lognormal. Observe dos aplicaciones de (2.90) 1. La esperanza de Y = X n se sigue directamente: IE[X(t)] n = X(0) n exp [nµ 12 ] n(n 1)σ2 t. (2.91) X: Ésta es la fórmula para los momentos de una caminata aleatoria lognormal. Por lo tanto se ha recuperado con el lema de Itô a (2.47), la cual se había obtenido en la sección anterior usando la función generadora de momentos de una variable aleatoria normal. Resulta que el lema de Itô proporciona una manera de calcular los momentos de procesos más generales. Se tratará sobre este punto en la siguiente sección. 14 La desigualdad de Jensen consiste en que para una función convexa f y una variable aleatoria IE[ f(x)] f[ie(x)].

78 48 2. La esperanza del valor presente P [ P = IE = 0 0 ] e rt X n dt e rt IE(X n )dt también se puede calcular. De la ecuación (2.91), la esperanza del valor presente es P = X(0) n exp [nµ 12 ] n(n 1)σ2 tdt = 0 X(0) n r nµ 1 2 n(n 1)σ2 Siempre que el denominador sea positivo y n > 1, la esperanza del valor presente aumenta con µ y σ. Ejemplo Contratos a plazo. Se sabe que el precio forward F al tiempo t de un activo que no paga dividendos con precio X a ser entregado al tiempo T t es F = Xe r(t t). Suponga que X sigue un movimiento geométrico browniano y dx X = µdt+σdw F X = e r(t t) F t = rxe r(t t) 2 F X 2 = 0 En virtud de (2.85), la dinámica para F es df F = (µ r)dt+σdw.

79 49 Ejemplo La integral t 0 W(s)dW(s). Recordando el cálculo directo de la integral t 0 W(s)dW(s), que se había calculado con algo de trabajo y principios básicos en la subsección anterior. Con este objetivo, se utilizará la forma integral del lema de Itô. Sea X(t) W(t) y f[x(t)] W(t) 2 Entonces f X = 2W f t = 0 2 f X 2 = 2 De la ecuación (2.83), con µ = 0 y σ = 1, se tiene que Por lo tanto, el resultado es t t W 2 (t) = W 2 (0)+ ds+ 2W(s)dW(s) 0 o t o W(s)dW(s) = W2 (t) t 2 Ejemplo La integral t 0 sdw(s). Sean y calculando las derivadas X(t) W(t), y f[x(t)] tw(t) f X = t f t = W(t) 2 f X 2 = 0 Entonces la integral bajo estudio se obtiene directamente de (2.83): t 0 t sdw(s) = tw(t) W(s)ds. 0

80 50 Ejemplo La expresión { [ t ( IE exp 1 )]} 0 2 λ2 ds+λdw(s) Sea X una variable conducida por un movimiento browniano aritmético dx = 1 2 λ2 dt+λdw con X(0) = 0. Según lo mostrado anteriormente, la forma integral para X(t) es X(t) = Con Y(t) exp[x(t)], se tiene Por la ecuación (2.86) t 0 [ 1 ] 2 λ2 ds+λdw(s) Y X = 2 Y X 2 = exp[x(t)] dy Y = λdw De esta manera la esperanza al tiempo cero es IE[Y(t)] = Y(0) = 1 Por sustitución, esto implica la siguiente igualdad al tiempo cero { [ t ( IE exp 1 )]} 0 2 λ2 ds+λdw(s) = 1 (2.92) Como se discutirá más adelante, se dice que Y(t) es una martingala puesto que su valor esperado es siempre 1 en este caso. La ecuación (2.92) es particularmente relevante en el Teorema de Girsanov 15 y temas relacionados. También observe que la ecuación (2.92) habría podido ser deducida directamente de la expresión de la función generadora de momentos del movimiento browniano aritmético. A continuación se discutirá la versión multidimensional del lema de ltô y se proporcionan algunos ejemplos ilustrativos. 15 Consultar capítulo 7 de Venegas, M., F. (2006).

81 Lema de Itô multidimensional Considere las variables X 1, X 2,..., X n conducidas por procesos de Itô de la forma dx i (t) = µ i [ X(t), t]dt+σ i [ X(t), t]dw i (t) para toda i = 1,2,...,n. X(t) es un vector renglón de dimensión n definido como X 1, X 2,..., X n. Cada variable X i es caracterizada por su propia tendencia (drift) µ i, varianza σ i y procesos de Wiener dw i. Mientras que estos procesos dw i siguen distribuciones normales con media cero y varianza dt según lo explicado antes, no son iguales en el sentido de que cada uno se muestrea de diferente distribución normal estándar. Suponga coeficientes de correlación constantes entre los procesos de Wiener, para toda i,j = 1, 2,..., n dw i dw j = ρ ij dt (2.93) donde 1 ρ ij 1, y ρ ij = 1 cuando i = j. Se puede inferir el lema de Itô para una función de la forma f(x 1,X 2,t). Recuerde que: La expansión de Taylor para la función f es: dw i dt = 0 (2.94) d f(x 1,...,X n,t) = f dx f dx n X 1 X n n al simplicar términos se sigue que: + f t dt+ 1 2 i,j=1 2 f X i X j dx i dx j, n d f = + i=1 n i=1 µ i f X i + f t n i=1 σ 2 i 2 f X 2 i + 2 f ρ ij σ i σ j dt X i X j i =j σ i f X i dw i (2.95)

82 52 En el caso particular de un movimiento geométrico browniano de dos variables: µ 1 [ X(t),t ] = µ 1 X 1 ; µ 2 [ X(t),t ] = µ 2 X 2 ; σ 1 [ X(t),t ] = σ 1 X 1 ; σ 2 [ X(t),t ] = σ 2 X 2 ; donde X(t) es (X 1, X 2 ). Por lo tanto [ f d f(x 1,X 2,t) = µ 1 X 1 + f µ 2 X 2 + f X 1 X 2 t + 2 f σ 1 σ 2 ρ 12 X 1 X 2 X 1 X 2 ] f 2 X1 2 σ1 2 X f 2 X2 2 σ2 2 X2 2 dt+ f σ 1 X 1 dw 1 + f σ 2 X 2 dw 2. (2.96) X 1 X 2 Ejemplo El precio en moneda extranjera de un activo. Se desea identificar, por ejemplo, el proceso estocástico seguido por el precio en dólares de E.U. de un activo británico. Si X 1 y X 2, definidos respectivamente como el precio del activo en libras esterlinas y el tipo de cambio (medido como el número de dólares de E.U. por libra esterlina), obedecen los siguientes procesos: y con dx 1 X 1 = µ 1 dt+σ 1 dw 1 dx 2 X 2 = µ 2 dt+σ 2 dw 2 dw 1 dw 2 = ρ 12 dt Sea Y f(x 1, X 2 ) = X 1 X 2 el precio en dólares de E.U. del activo británico. Entonces se puede utilizar la ecuación (2.96) con f X 1 = X 2 ; f X 2 = X 1 ; f t = 0 2 f X 1 X 2 = 1; para obtener el proceso seguido por Y 2 f X 2 1 = 2 f X 2 2 = 0 dy Y = (µ 1+ µ 2 + σ 1 σ 2 ρ 12 ) dt+σ 1 dw 1 + σ 2 dw 2

83 53 El proceso para Y se puede expresar también en función de un solo proceso de Wiener W: dy Y = (µ 1+ µ 2 + σ 1 σ 2 ρ 12 ) dt+ σ1 2+ σ σ 1σ 2 ρ 12 dw (2.97) con dw definido como dw = σ 1dW 1 + σ 2 dw 2. (2.98) σ 21 + σ σ 1σ 2 ρ 12 Se puede verificar fácilmente que los momentos de dw definido en (2.98), son los momentos de un proceso de Wiener estándar (IE(dW) = 0; IE[(dW) 2 ] = dt) como sigue IE(dW) = IE σ 1dW 1 + σ 2 dw 2 σ1 2+ σ σ 1σ 2 ρ 12 = σ 1IE(dW 1 )+σ 2 IE(dW 2 ) σ 21 + σ σ 1σ 2 ρ 12 = 0. IE(dW) 2 = IE σ 1dW 1 + σ 2 dw 2 σ1 2+ σ σ 1σ 2 ρ 12 [ σ 2 1 (dw 1 ) 2 ++σ2 2(dW ] 2) 2 + 2σ 1 σ 2 (dw 1 )(dw 2 ) = IE = = dt. ( σ σ σ 1σ 2 ρ 12 ) dt σ σ σ 1σ 2 ρ 12 σ σ σ 1σ 2 ρ 12 Ejemplo Regla del cociente de dos movimientos geométricos brownianos. Suponga que se tiene el siguiente sistema { dx1 = µ 1 X 1 dt+σ 1 dw 1, dx 2 = µ 2 X 2 dt+σ 2 dw 2, 2 con Cov(dW 1,dW 2 ) = ρ 12 dt,

84 54 y ρ 12 = σ 12. σ 1 σ 2 Encuentre el proceso seguido por Y = f(x 1, X 2 ) = X 1 /X 2. En este caso se tiene que f = 1 f, = X 1 f X 1 X 2 X 2 X2 2, t = 0 2 f = 1 2 f X 1 X 2 X2 2, X1 2 = 2 f 0, X2 2 = 2X 1 X2 3, La aplicación de (2.96) conduce a dy ( ) Y = µ 1 µ 2 + σ2 2 σ 12 dt+σ 1 dw 1 σ 2 dw 2 (2.99) ó dy = X 2dX 1 X 1 dx ( ) 2 X2 2 + Y σ2 2 σ 12 (2.100) Observe que la regla de diferenciación estocástica para el cociente es diferente de la regla de la diferencial de un cociente en el caso de variables reales X 1 y X 2 en el término (σ 2 2 σ 12). 2.9 Martingalas El concepto de martingala desempeña un papel esencial en el modelado de los mercados financieros y en la valuación teórica de muchos instrumentos financieros. En este sección se estudia la relación entre martingalas y el movimiento browniano Definiciones y ejemplos Un proceso estocástico {M n } n 1 es una martingala si IE[M n ] es finita para toda n y si IE [ M n+t M 0,M 1,...,M n ] = Mn (2.101) Es decir, la observación de hoy del proceso es un estimador insesgado de los valores futuros de M. Si IE [ M n+t M 0,M 1,...,M n ] Mn (2.102)

85 55 entonces {M n } n 1 es una submartingala. Es una supermartingala si IE [ M n+t M 0,M 1,...,M n ] Mn. (2.103) Las definiciones anteriores se cumplen para procesos discretos M. Análogamente, se puede definir un martingala en tiempo continuo M como un proceso donde IE(M t ) es finita para toda t y IE t [M T ] = IE [ M T F t ] = Mt (2.104) donde F t es el conjunto de información acumulada hasta el tiempo t. Ejemplo Considere una caminata aleatoria donde M n = Z 1 + Z Z n M(t) es la suma de variables aleatorias Z i que toman los valores X > 0 y X > 0 con probabilidad p y q, respectivamente. De esta manera, IE(Z i ) = (p q) X. La esperanza condicional de M n+1, es IE[M n+1 M 0,M 1,...,M n ] = IE[M n M 0,M 1,...,M n ] + IE[Z n+1 M 0,M 1,...,M n ] La sucesión [M n n(p q) X] es una martingala porque = M n +(p q) X (2.105) IE [ M n+1 (n+1)(p q) X M 0,M 1,...,M n ] = Mn n(p q) X (2.106) Esto resulta directamente de (2.105). Claramente, si p = q = 1/2, entonces M n es una submartingala. Si p > q, M n es una submartingala. Si p < q, M n es una supermartingala. Ejemplo Considere la sucesión M n definida por M n = Z 1 Z 2... Z n donde entonces IE[Z i ] = 1 IE n [M n+1 ] = IE n [M n Z n+1 ] = M n IE n [Z n+1 ] = M n por lo que M n es una martingala.

86 56 Ejemplo El precio de un activo S es conducido por un movimiento geométrico browniano Bajo estas condiciones ds S = µdt+σdw IE t [S T ] = S t e µ(t t) Se concluye que S t e µ(t t) es una martingala ya que IE t [S T e µ(t t)] = S t. El resultado anterior se debe a que los incrementos son conducidos por un movimiento browniano, que es una martingala. Si el movimiento browniano no tiene tendencia (µ = 0), entonces el precio del activo S t es una martingala Martingalas y movimiento browniano En esta sección se muestra que algunas expresiones del movimiento browniano son martingalas. Considere las expresiones M 1 (t) = W(t) (2.107) M 2 (t) = W 2 (t) t (2.108) ( M 3 (t) = exp λw(t) 1 ) 2 λ2 t (2.109) Se afirma que las expresiones anteriores son martingalas. Considere a (2.107) IE [ ] [ ] W t F s = IE Wt W s + W s F s = IE [ ] (W t W s )+W s F s = IE [ ] W t W s F t + Ws = 0+W s.

87 57 Para (2.108) [ IE Wt 2 Ws 2 ] F s = IE [W t 2 2W t W s + Ws 2 Ws 2 Ws 2 ] + 2W t W s F s [ = IE (W t W s ) 2 + 2W t W s 2Ws 2 ] F s = IE [(W t W s ) 2 + 2W s (W t W s ) ] F s = IE [(W t W s ) 2 F s ]+2W s IE [ (W t W s ) ] F s [ ] = IE F s + 2W s IE [ ] W t s F s = t s. W 2 t s Por lo tanto, [ IE Wt 2 Ws 2 ] F s = t s. Para (2.109) [ ( IE exp λw(t) 1 ) ] 2 λ2 t F s = IE [ exp(λw(t)) ( ] F s + exp 1 ) 2 λ2 (t s) Se sabe la función generadora de momentos de un proceso de Wiener por (2.15) con µ = 0 y σ = 1, entonces IE [ exp(λw(t)) ] F s = exp ( 1 ) 2 λ2 (t s) lo que resulta en IE [ M 3 (t) F s ] = 1 pero M 3 (s) = 1. Por lo tanto, M 3 (t) es una martingala Notas Los tecnicismos detrás de las integrales de Itô y del cálculo estocástico pueden ser complicados. Øksendahl (2000) es una rigurosa pero accesible introducción a los aspectos matemáticos de los procesos de Itô y el movimiento browniano. Shreve, S. E., (2004) es particularmente amigable para estudiantes y tiene varias aplicaciones en finanzas matemáticas.

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89 Capítulo 3 Modelo de Black y Scholes: Marco probabilista y griegas 3.1 Introducción Con teoría de probabilidad como herramienta principal se obtiene la fórmula que es solución al modelo de Black-Scholes (1973), con la que se calcula el precio de una opción europea de compra. Bajo las hipótesis de que el activo subyacente es una acción que no paga dividendos durante la vida del contrato, que el comportamiento de los precios del activo subyacente es descrito por el movimiento geométrico browniano y por neutralidad al riesgo, es posible calcular la función de densidad del activo subyacente y entonces calcular el valor presente del valor esperado del intrínseco, descontado al tipo de interés libre de riesgo; obteniendo así por integración el valor presente de la prima de la opción europea de compra. Y la opción europea de venta con características similares, se obtiene mediante la condición de paridad para opciones europeas de compra y de venta. Asimismo, se obtienen las sensibilidades del precio de una opción europea respecto a cambios en las diferentes variables y parámetros que intervienen en el modelo de Black y Scholes, las denominadas griegas. Algunos de los conceptos desarrollados en el capitulo han sido tomados de Venegas (2006).

90 Distribución del rendimiento logarítmico del activo subyacente Considere un proceso de Wiener (W t ) t [0,T] definido sobre un espacio fijo de probabilidad con una filtración, (Ω,F,(F t ) t [0,T], IP). Se supone que el precio de una acción al tiempo t, S t, es conducido por el movimiento geométrico browniano ds t = µs t dt+σs t dw t (3.1) En este caso, el parámetro de tendencia, µ IR, es el rendimiento medio esperado del activo subyacente y σ > 0 es su volatilidad instantánea, por unidad de tiempo. El proceso dw t modela las fluctuaciones propias del mercado del subyacente y, como se sabe, satisface: dw t N(0,dt), IE[dW t ] = 0 y Var[dW t ] = IE[(dW t ) 2 ] = dt. El proceso {S t } t 0 es adaptado a la filtración {F t } t 0. En efecto, una simple aplicación del lema de Itô conduce a lo que, a su vez, implica d(lns t ) = ( µ 1 2 σ2) dt+σdw t, (3.2) S t = S 0 e σw t+(µ 1 2 σ2 )t. La expresión anterior es invertible, en el sentido que se puede despejar W t. Por lo tanto, F W t = σ(w t s t) = σ(s t s t) = F S t. Por último, es importante recordar que (3.1) es una notación simplificada para la expresión t t S t = S 0 + µ S u du+σ S u dw u, t [0,T]. 0 0 Si se discretiza la ecuación (3.2) con t = T t, entonces ( ln S T ln S t = µ 1 2 σ2) (T t)+σ T te, donde E N(0,1). Por lo tanto, ( ) ST ln N ((µ 12 ) ) σ2 (T t),σ 2 (T t). (3.3) S t En otras palabras, el rendimiento logarítmico también tiene distribución normal con la misma varianza del cambio porcentual de S t, pero con parámetro de tendencia, µ 1 2 σ2 menor al rendimiento medio esperado, µ.

91 Valuación neutral al riesgo Cuenta bancaria: Suponga que existe un sistema bancario en el que los agentes pueden prestar o pedir prestado a una tasa constante a todos los plazos, r, libre de riesgo de incumplimiento, la cual se aplica en forma continuamente capitalizable. Si un agente deposita M 0 unidades monetarias, entonces su cuenta bancaria es M t = M 0 e rt. Equivalentemente, el rendimiento en su cuenta bancaria, durante un instante dt, satisface dm t = r t dt, con la condición inicial M 0. Debido a la presencia de µ, la ecuación (3.1) no es independiente de las preferencias al riesgo de los agentes que participan en el mercado del subyacente. En efecto, entre mayor sea la aversión al riesgo de un agente, mayor tiene que ser el rendimiento medio esperado, µ, a fin de que el premio ν = µ r le sea atractivo al agente. Si se supone que todos los agentes son neutrales al riesgo, es decir, no requieren de un premio para inducirlos a participar en el mercado, entonces ν = 0, así, µ = r y de esta manera el rendimiento medio esperado de cualquier activo es la tasa de interés libre de riesgo, r. Otra forma de medir el premio al riesgo, de uso más frecuente, consiste en estandarizar ν por unidad de varianza, es decir, λ = ν/σ. Como antes, si los agentes no requieren de un premio para inducirlos a participar en el mercado, entonces λ = 0, lo cual implica, a su vez, que µ = r. Si se escribe ds t = rs t dt+σs t ( µ r σ dt+dw t ) = rs t dt+σs t (λdt+dw t ), bajo el supuesto de neutralidad al riesgo, es decir, λ = 0, se tiene que la ecuación (3.1) se transforma en ds t = rs t dt+σs t dw t, (3.4) en cuyo caso, se dice que el movimiento browniano está definido sobre una medida de probabilidad neutral al riesgo. El concepto de valuación neutral al riesgo es, sin duda, uno de los más importantes en el estudio de productos derivados.

92 Función de densidad del precio del subyacente neutral al riesgo En esta sección se obtiene la función de densidad del precio del activo subyacente bajo el supuesto de neutralidad al riesgo. En vista del resultado (3.3) y en un mundo neutral al riesgo donde se cumple (3.4), se tiene que S T /S t tiene una distribución log-normal con media (r 1 2 σ2 )(T t) y varianza σ 2 (T t). Considere E N(0,1) y su función de densidad φ(ɛ) = 1 e 2 1 ɛ2, ɛ IR. 2π Si se define ahora { g(e) := S T = S t exp (r 1 2 σ2 )(T t)+σ } T t E, (3.5) se tiene que g 1 (S T ) = ln( ST S t ) (r 1 2 σ2 )(T t) σ. (3.6) T t De esta manera, la función de densidad de S T dado S t está dada por la expresión f ST (s S S t t ) = φ(g 1 (s)) dg 1 (s) ds. (3.7) Observe, primero, que el Jacobiano de la transformación satisface En consecuencia, dg 1 (s) ds = 1 sσ T t. ( ) 1 f ST (s S S t t ) = exp 2π(T t)σs 1 ln sst (r σ2 )(T t) 2 σ T t. (3.8) Esta función de densidad se utilizará para calcular el valor esperado del valor intrínseco de una opción europea.

93 Media y varianza del precio del subyacente en un mundo neutral al riesgo El valor esperado del precio del subyacente es una cantidad que sirve como referencia para calcular el precio de ejercicio de la opción. A continuación se determina la media y varianza de la variable aleatoria S T. Observe primero que de (3.6) se tiene que ( ) ln sst (r 1 2 σ2 )(T t) ɛ = σ, T t lo cual implica que Por lo tanto, la diferencial satisface: s = S t e ɛσ T t+(r 1 2 σ2 )(T t). (3.9) ds = S t e ɛσ T t+(r 1 2 σ2 )(T t) σ T t dɛ = sσ T t dɛ. (3.10) Dado el cambio de variable anterior se procede ahora a calcular el valor medio de S T, dado el valor actual S t. De esta forma: IE[S T S t ] = = = 0 0 = S t s f ST (s S S t t )ds ( ) 1 exp 2π(T t)σ 1 ln sst (r σ2 )(T t) 2 σ T t ds 1 2π(T t)σ e 1 2 ɛ2 S t e ɛσ T t+(r 1 2 σ2 )(T t) σ T t dɛ = S t = S t e r(t t) 1 2π e 1 2 ɛ2 e σ T tɛ+(r 1 2 σ2 )(T t) dɛ (3.11) 1 2π e 1 2 (ɛ2 2σ T tɛ+σ 2 (T t)) e r(t t) dɛ = S t e r(t t) = S t e r(t t), 1 2π e 1 2 (ɛ σ T t) 2 dɛ 1 2π e 1 2 u2 du donde u es tal que: u = ɛ σ T t.

94 64 Como puede observarse, el valor esperado de S T S t es simplemente el valor futuro del subyacente. El segundo momento de S T se calcula como sigue: [ ] IE S 2 T S t = = 0 = S 2 t = S 2 t = S 2 t = S 2 t 0 s 2 f ST S t (s S t ) ds s exp 2π(T t)σ 1 2 ( ) ln sst 1 2π e 1 2 ɛ2 e 2[σ T tɛ+(r 1 2 σ2 )(T t)] dɛ (r σ2 )(T t) σ T t ds 1 2π e 1 2 ɛ2 +2σ T tɛ e 2(r 1 2 σ2 )(T t) dɛ (3.12) 1 2π e 1 2 (ɛ2 4σ T tɛ+4σ 2 (T t)) e 2[σ2 (T t)+(r 1 2 σ2 )(T t)] dɛ 1 e 1 2 (ɛ 2σ T t) 2 e σ2 (T t)+2r(t t) dɛ 2π = S 2 t e σ2 (T t)+2r(t t) = S 2 t e σ2 (T t)+2r(t t) = S 2 t e (σ2 +2r)(T t), 1 2π e 1 2 w2 dw donde En consecuencia, w = ɛ 2σ T t. Var[S T S t ] = IE[S 2 T S t] (IE[S T S t ]) 2 = S 2 t e (σ2 +2r)(T t) S 2 t e 2r(T t) (3.13) = S 2 t e 2r(T t) (e σ2 (T t) 1). Si se define ζ(t,t) de tal forma que ( ln 1+ζ(t,T) 2) = σ 2 (T t), entonces se puede escribir que ζ(t,t) = Var[ST S t ]. IE[S T S t ]

95 65 Por último, se determina la moda, m, de la distribución de S T S t, es decir, se desea encontrar m tal que d ds f (s S S T S t t ) = 0. (3.14) s=m Para ello, primero, la notación se simplifica considerablemente al escribir A(s) = 1 2 ( ) ln sst (r 1 2 σ2 )(T t) σ T t 2 y a = 1 2π(T t)σ. Se sigue de (3.8) y (3.14) que lo cual implica que equivalentemente Por lo tanto, ln a m 2 ea(m) + a m 2 ea(m) (A (m)m) = 0, A (m)m = 1, ( mst) (r 1 2 σ2 )(T t) σ T t m = S t e r(t t) 3 2 σ2 (T t). ( ) 1 σ = 1. T t En la Gráfica 3.1 se puede apreciar la gráfica de la función de densidad de S T, dado S t, se observa que es positivamente sesgada. 3.5 Valuación neutral al riesgo de una opción europea de compra El precio de una opción de compra europea en t con precio de ejercicio K y vencimiento en T, c = c(s t,t; T,K,r,σ) está dado por el esperado del valor intrínseco: { c = IE e r(t t) max(s T K,0) F t }.

96 66 Gráfica 3.1: Función de densidad de S T S t. Fuente: elaboración propia. De esta manera, c = e r(t t) s>k max(s K,0) f ST S t (s S t )ds = e r(t t) (s K) f ST (s S S K t t )ds = e r(t t) s f ST (s S S s>k t t )ds Ke r(t t) f ST (s S S s>k t t )ds (3.15) ( ) = e r(t t) 1 exp 2π(T t)σ 1 ln sst (r σ2 )(T t) 2 σ T t ds Ke r(t t) s>k ( ) 1 exp 2π(T t)σs 1 ln sst (r σ2 )(T t) 2 σ T t ds En lo que sigue, las dos integrales de (3.15) se denotarán, respectivamente, mediante I 1 y I 2. Si ahora se utiliza el cambio de variable definido por (3.10), la

97 67 primera integral se calcula como I 1 := e r(t t) S t {ɛ > ln(k/s t) (r 1 2 σ2 )(T t) σ T t = S t {ɛ σ T t > ln(k/s t) (r+ 1 2 σ2 )(T t) σ T t = S t { < u < ln(s t/k)+(r+ 1 2 σ2 )(T t) σ T t } 1 2π e 1 2 ɛ2 e σ T t ɛ+(r 1 2 σ2 )(T t) dɛ } 1 2π e 1 2 (ɛ σ T t) 2 dɛ (3.16) } 1 2π e 1 2 u2 du, donde se ha utilizado el hecho de que E N(0,1) y el cambio de variable u = ɛ σ T t. Asimismo, a partir del cambio de variable de (3.10), la segunda integral satisface I 2 := Ke r(t t) {ɛ > ln(k/s t) (r 1 2 σ2 )(T t) σ T t = Ke r(t t) { < ɛ < ln(s t/k)+(r 1 2 σ2 )(T t) Escribiendo (3.16) y (3.17) se tiene que σ T t I 1 +I 2 :=S t { < u < ln(s t/k)+(r+ 1 2 σ2 )(T t) σ T t Ke r(t t) { < ɛ < ln(s t/k)+(r 1 2 σ2 )(T t) σ T t Por lo tanto, el precio de la opción está dado por: } 1 2π e 1 2 ɛ2 dɛ (3.17) } 1 2π e 1 2 ɛ2 dɛ. } 1 2π e 1 2 u2 du (3.18) } 1 2π e 1 2 ɛ2 dɛ. c = S t Φ(d 1 ) Ke r(t t) Φ(d 2 ), (3.19) donde la función Φ(d) es la función de distribución acumulada dee N(0,1), es decir, Φ(d) = IP E {E d} = d 1 2π e 1 2 ɛ2 dɛ = 1 Φ( d),

98 68 donde d 1 = d 1 (S t,t; T,K,r,σ) = ln ( ) St +(r+ K 1 2 σ2 )(T t) σ T t (3.20) y ( ) d 2 = d 2 (S t,t; T,K,r,σ) = ln St +(r K 1 2 σ2 )(T t) σ T t = d 1 σ T t. (3.21) 3.6 Valuación neutral al riesgo de una opción europea de venta El precio de una opción de venta europea en t con precio de ejercicio K y vencimiento en T, p = p(s t,t; T,K,r,σ) está dado por: { } p = IE e r(t t) max(k S T,0) F t. A través de un análisis similar al de la sección anterior se puede mostrar que el precio de una opción de venta del tipo europeo, p = p(s t,t; T,K,r,σ), está dado por p = Ke r(t t) Φ( d 2 ) S t Φ( d 1 ). (3.22) Es importante notar que el precio de una opción europea de venta también se puede obtener a través de la condición de paridad put-call p+s t = c+ke r(t t).

99 Condición de paridad de opciones de venta y compra A partir de (3.19) y (3.22) se puede establecer la condición de paridad de opciones de venta y compra (put-call): p+s t = Ke r(t t) Φ( d 2 ) S t Φ( d 1 )+S t (3.23) = Ke r(t t) (1 Φ(d 2 )) S t (1 Φ(d 1 ))+S t = Ke r(t t) Ke r(t t) Φ(d 2 ) S t + S t Φ(d 1 )+S t = c+ke r(t t). La utilidad de la relación (3.23) radica en que una vez que se ha calculado el precio de opción de compra c(s t,t), el precio de una opción de venta, p(s t,t), con características similares se calcula mediante p = c (S t Ke r(t t) ) o bien p = c V, donde V = V(S t,t) es el precio de un contrato forward. 3.7 Griegas del modelo de Black y Scholes En esta sección se estudia la sensibilidad del precio de una opción europea ante cambios en las diferentes variables y parámetros que intervienen en el modelo de Black y Scholes. Las razones de cambio del precio de una opción, ya sea de compra o de venta, con respecto a las variables relevantes del modelo, ceteris paribus, reciben el nombre de letras griegas porque cada una de estas sensibilidades esta asociada con una letra del alfabeto griego. Estas razones de cambio juegan un papel importante en la administración del riesgo de mercado: coberturas delta, gama y vega Lema fundamental de las griegas del modelo de Black y Scholes Lema Lema fundamental de las griegas del modelo de Black y Scholes. Si c = S t Φ(d 1 ) Ke r(t t) Φ(d 2 ), (3.24) entonces S t Φ (d 1 ) Ke r(t t) Φ (d 2 ) = 0 (3.25)

100 70 donde Φ (d) = 1 2π e 1 2 d2. (3.26) Demostración. En efecto, en virtud de (3.21), se sigue que d 2 2 (d = 1 σ ) 2 T t = d 2 1 2σ T td 1 + σ 2 (T t) ( ) = d 2 1 [ln 2 St + (r+ 12 ) ] K σ2 (T t) + σ 2 (T t) ( ) = d ln St 2r(T t) K ( = d ln St K ( = d ln ) 2 ln e r(t t) ) S t e r(t t). K Por lo tanto, ( ) 1 2 d2 2 = 1 2 d2 1 + ln S t e r(t t), K aplicando la exponencial de ambos lados ( ) e 1 2 d2 2 = e 1 S 2 d2 t e r(t t) 1. (3.27) K Si se sustituye (3.26) y (3.27) en (3.25) S t Φ (d 1 ) Ke r(t t) Φ (d 2 ) = S t 1 2π e 1 2 d2 1 Ke r(t t) 1 2π e 1 2 d2 2 = S t 1 2π e 1 2 d2 1 Ke r(t t) 1 2π e 1 2 d2 1 = S t e 1 S 2 d2 1 t e 2 1 d2 1 = 0 2π 2π ( ) S t e r(t t) K se verifica el resultado en (3.25).

101 Griegas de una opción europea de compra Delta, c El cambio del precio de una opción de compra europea con respecto a un cambio en el precio del subyacente, ceteris paribus, juega un papel muy importante en la elaboración de estrategias de cobertura con opciones, la llamada cobertura Delta. Esta razón de cambio entre el precio de la opción y el precio del subyacente se denota por c c/ S t y se calcula como c c S t = Φ(d 1 )+S t Φ (d 1 ) d 1 S t Ke r(t t) Φ (d 2 ) d 2 S t. dado que entonces d 2 = ln ( ) St +(r K 1 2 σ2 )(T t) σ T t d 2 S t = d 1 S t = 1 σs t T t. = d 1 σ T t, Por lo tanto [ ] c = Φ(d 1 )+ S t Φ (d 1 ) Ke r(t t) Φ d1 (d 2 ). S t En virtud del lema fundamental de las griegas y de (3.25), se concluye un primer resultado relevante, 0 c = Φ(d 1 ) 1 Es decir, existe una relación directa entre el precio de la opción y el precio del activo subyacente. Un valor grande de c significa que el precio de la opción es muy sensible a cambios en el precio del subyacente. Recíprocamente, si la c es pequeña, entonces un cambio en el precio del activo subyacente afecta poco al precio de la opción. Claramente, la pendiente de la recta tangente a c en S t está dada por c, como se muestra en la Gráfica 3.2. Observe también que c indica la probabilidad de que la opción sea ejercida.

102 72 Gráfica 3.2: c es la pendiente de la recta tangente a c en S t. Fuente: elaboración propia. Gráfica 3.3: c como función de S t. Fuente: elaboración propia. La Gráfica 3.3 muestra a c como función de S t. Observe que si S t 0, entonces d 1, en cuyo caso c = Φ(d 1 ) 0, y que si S t, entonces d 1,

103 73 así c = Φ(d 1 ) 1. En particular, si S t = K, entonces ( r+ 1 2 δ c (K) = Φ σ2) (T t) σ. T t Observemos también que la elasticidad de c con respecto a S t, es decir la razón de cambios porcentuales entre c y S t, está dada por η c,s = ln(c) c ln(s t ) = c S t = Φ(d S 1 ) t c. S t Análogamente, la razón de cambios porcentuales entre p y S t, está dada por η p,s = ln(p) ln(s t ) = p p S t S t S t = (Φ(d 1 ) 1) p. Gama, Γ c La sensibilidad de la cobertura c con respecto a un cambio en el precio del subyacente, se define por Γ c 2 c/ S 2 t. Claramente, si Γ c es pequeña, c cambia lentamente cuando cambia el precio del activo subyacente, en cuyo caso el rebalanceo (cambio en el número de unidades del subyacente y la opción) en el portafolio no tiene que ser frecuente. Si, por el contrario, Γ c es grande, entonces c es muy sensible a cambios en el precio del subyacente y el rebalanceo tiene que hacerse frecuentemente. En este caso, existe una exposición importante al riesgo mercado cuando la cobertura c se mantiene sin cambios durante períodos prolongados de tiempo. Γ c se calcula como sigue S t ( ) c S t = c S t = Φ(d 1) S t = Φ (d 1 ) d 1 S t = Φ (d 1 ) σs t T t. Es decir, Γ c 2 c S 2 t = Φ (d 1 ) σs t T t > 0. (3.28)

104 74 Observe que Γ c S t = = σs t T tφ (d 1 ) d 1 S t Φ (d 1 )σ T t σ 2 2 S2 t (T t) S t Φ (d 1 ) d 1 Φ S (d 1 ) t. T t σs 2 t La Gráfica 3.4 muestra Γ c como función de S t. Gráfica 3.4: Γ c como función de S t. Fuente: elaboración propia. Vega, υ c Uno de los supuestos del modelo de Black y Scholes es que la volatilidad se mantiene constante en el tiempo. Sin embargo, en la práctica la volatilidad casi nunca es constante. La razón de cambio del precio de una opción europea con respecto a la volatilidad del subyacente, se denota por v c, se lee la vega de la opción, y se calcula como υ c c σ = S tφ (d 1 ) d 1 σ Ke r(t t) Φ (d 2 ) d 2 σ (3.29)

105 75 y En consecuencia, Con base en (3.25), se tiene que d 2 σ = d 1 σ T t. υ c c ( ) σ = S t Φ (d 1 ) Ke r(t t) Φ d1 (d 2 ) σ + Ke r(t t) Φ (d 2 ) T t. v c = Ke r(t t) Φ (d 2 ) T t. Equivalentemente, v c = S t Φ (d 1 ) T t > 0. Es decir, existe una relación directa entre el precio de la opción y la volatilidad del subyacente. Observe que si v c es grande, entonces un cambio en la volatilidad impacta significativamente al precio de la opción. La Gráfica 3.5 muestra v c como función de S t. Gráfica 3.5: v c como función de S t. Fuente: elaboración propia.

106 76 Theta, Θ c La razón de cambio del precio de la opción y la fecha de vencimiento, manteniendo todas las otras variables fijas, se denota por θ c y se calcula mediante c T = S tφ (d 1 ) d 1 T Ke r(t t) Φ (d 2 ) d 2 T + rke r(t t) Φ(d 2 ). Ahora bien, como d 2 = d 1 σ T t, entonces por lo que d 2 T = d 1 T σ 2 T t, c ( ) T = S t Φ (d 1 ) Ke r(t t) Φ d1 (d 2 ) T + rke r(t t) Φ(d 2 ) + Ke r(t t) σφ (d 2 ) 2. T t Con base en (3.25) se sigue que: θ c c T = rke r(t t) Φ(d 2 )+ Ke r(t t) σφ (d 2 ) 2 T t ( ) = Ke r(t t) rφ(d 2 )+ σφ (d 2 ) 2 T t (3.30) La variación de c al transcurrir el tiempo, denotada por Θ c, está dada por Θ c c ( t = Ke r(t t) rφ(d 2 )+ σφ (d 2 ) 2 T t ). (3.31) En otras palabras, Θ c es el cambio en el precio de la opción con respecto a una reducción en la vida del contrato. Claramente, se cumple la siguiente igualdad: Θ c = θ c. (3.32) El signo de Θ c es ambiguo, es decir, no se puede determinar de antemano si una disminución en la fecha de vencimiento va a incrementar o disminuir el precio de la opción.

107 77 Por último, note que la ecuación diferencial parcial de segundo orden y parabólica para el precio de una opción de compra, determinada con la metodología de Black y Scholes c t c S 2 t σ 2 S 2 t + c S t rs t rc = 0, se puede reescribir en términos de las griegas c, Γ c y Θ c como sigue Θ c Γ cσ 2 S 2 t + c rs t rc = 0, con la condición c(s T,T) = max(s T K,0). Kappa, κ c La razón de cambio del precio de la opción respecto al precio de ejercicio, manteniendo todas las otras variables fijas, se denota por κ c y esta dada por κ c c K = S tφ p (d 1 ) d 1 K Ke r(t t) Φ (d 2 ) d 2 K e r(t t) Φ(d 2 ) ( ) = S t Φ (d 1 ) Ke r(t t) Φ d1 (d 2 ) K e r(t t) Φ(d 2 ) (3.33) = e r(t t) Φ(d 2 ) < 0. Por lo tanto, existe una relación inversa entre el precio de ejercicio y el precio de la opción. Rho, ρ c La razón de cambio del precio de la opción respecto a la tasa de interés, manteniendo todas las otras variables fijas, se denota por ρ c y se calcula como ρ c c r = S tφ (d 1 ) d 1 r Ke r(t t) Φ (d 2 ) d 2 r + Ke r(t t) Φ(d 2 )(T t). Dado que d 1 r = d 2 r y junto con (3.25), se tiene que ρ c = c r = Ke r(t t) Φ(d 2 )(T t) > 0, Es decir, existe una relación directa entre la tasa de interés y el precio de la opción: si r crece, c aumenta, y si r decrece, c disminuye.

108 Griegas de una opción europea de venta En esta sección se calculan las griegas para una opción europea de venta ( put"). En este caso, el precio teórico de una opción de venta obtenido mediante la metodología de Black y Scholes p = p(s t,t; T,K,r,σ) satisface Con base en (3.19) y (3.34), se sigue que es decir p = Ke r(t t) Φ( d 2 ) S t Φ( d 1 ). (3.34) c p = S t Φ(d 1 ) Ke r(t t) Φ(d 2 ) Ke r(t t) Φ( d 2 )+S t Φ( d 1 ) = S t (Φ(d 1 )+Φ( d 1 )) Ke r(t t) (Φ(d 2 )+Φ( d 2 )) = S t Ke r(t t), p+s t = c+ke r(t t). (3.35) La condición de paridad put-call". Esta condición permite calcular las griegas de una opción de venta cuando se conocen las griegas de una opción de compra. En efecto, a partir de (3.35), se sigue que Por lo tanto, p = c 1. (3.36) 1 < p p S t = Φ(d 1 ) 1 < 0. La Gráfica 3.6 muestra a p como función de S t. A continuación se calcula la gama de una opción de venta europea denotada por Γ p. De la condición (3.36), se tiene que ( ) p = ( ) c. S t S t S t S t Es decir, Γ p = Γ c = Φ (d 1 ) σs t T t > 0. (3.37) Ahora, se calcula la vega"; υ p, de una opción de venta. A partir de (3.35), se obtiene p σ = c σ = Φ (d 1 ) > 0. σs t T t

109 79 Gráfica 3.6: p como función de S t. Fuente: elaboración propia. Por lo tanto, υ p = υ c = S t Φ (d 1 ) T t > 0. (3.38) La razón de cambio de p con respecto de T, denotada por θ p, se calcula como θ p p T = c T rke r(t t) = Ke r(t t) ( En consecuencia, ) rke r(t t) rφ(d 2 )+ σφ (d 2 ) 2 T t ( = Ke r(t t) r(1 Φ( d 2 ))+ σφ (d 2 ) 2 T t = Ke r(t t) Φ( d 2 )+ Ke r(t t) σφ p (d 2 ) 2 T t ( ) = Ke r(t t) rφ( d 2 ) σφ (d 2 ) 2. T t ( ) Θ p = θ p = Ke r(t t) rφ( d 2 )+ σφ (d 2 ) 2. T t ) rke r(t t) (3.39) Con base en (3.35), la variación de p con respecto a variaciones en K, denotada

110 80 por κ p, está dada por κ p = κ c + e r(t t) = e r(t t) Φ(d 2 )+e r(t t) (3.40) = (1 Φ(d 2 )) e r(t t) = Φ( d 2 )e r(t t) > 0. La variación de p con respecto a un cambio en r, denotada por ρ p, está dada por ρ p p r = c r (T t)ke r(t t) = Ke r(t t) Φ(d 2 )(T t) (T t)ke r(t t) (3.41) = (Φ(d 2 ) 1) Ke r(t t) (T t) = Φ( d 2 )Ke r(t t) (T t) < 0. El Cuadro 3.1 muestra las griegas de una opción de compra y de venta.

111 81 Cuadro 3.1: Griegas del modelo de Black y Scholes. Opción de compra Opción de venta Valor V Valor B&S S t Φ(d 1 ) Ke r(t t) Φ(d 2 ) Ke r(t t) Φ( d 2 ) S t Φ( d 1 ) Delta V S t Φ(d 1 ) Φ(d 1 ) 1 Gamma 2 V S 2 t Φ (d 1 ) Φ (d 1 ) σs t T t σs t T t Vega V σ S t Φ (d 1 ) T t S t Φ (d 1 ) T t Theta V t Ke r(t t){ rφ(d 2 ) Ke r(t t){ rφ( d 2 ) + σφ (d 2 ) 2 } + σφ (d 2 ) T t 2 } T t Kappa V K e r(t t) Φ(d 2 ) Φ( d 2 )e r(t t) Rho V r Ke r(t t) Φ(d 2 )(T t) Φ( d 2 )Ke r(t t) (T t)

112

113 Capítulo 4 Modelo de volatilidad estocástica de Heston 4.1 Introducción En este capítulo se discuten las características del modelo de Heston y obtiene la variación del precio de la opción ante cambios en sus parámetros (las denominadas griegas). Se presenta la transformada fundamental de Lewis (2000) y la fórmula general para calcular el precio de una opción bajo una clase general de modelos de volatilidad estocástica. Se calculan precios de opciones plain vanilla con la transformación de Lewis y se realiza un análisis de sensibilidad de precios de opciones de compra con diferentes valores de los coeficientes de correlación y volatilidad de la varianza y se comparan con precios obtenidos con modelo de Black y Scholes (1973) con volatilidad promedio durante la vida de la opción para ambos modelos. 4.2 El modelo de volatilidad estocástica de Heston En 1993 Steve L. Heston en su artículo A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility publicado en el Review of Financial Studies valúa una opción sobre una acción con volatilidad estocástica. Una característica relevante en el artículo de Heston es que obtiene las funciones características de las probabilidades neutrales al riesgo como soluciones de una ecuación diferencial parcial de segundo orden. Por medio de estas probabilidades neutrales al riesgo se obtiene una fórmula similar a la de Black y Scholes para valuar una opción europea de

114 84 compra, el precio de la opción de venta se puede obtener con la paridad put-call 1. Una característica notable en el modelo de Heston (1993) es que presenta una fórmula cerrada para el precio de una opción con el supuesto de correlación entre el precio del activo y su volatilidad. El precio de la opción se obtiene al calcular la probabilidad de que una opción de compra expire dentro-del-dinero, aunque dicha probabilidad no se puede calcular directamente, ésta se puede obtener a través de la inversión de la función característica del logaritmo del precio del subyacente. La dinámica estocástica que conduce la volatilidad en el modelo Heston se define a continuación. Suponga que el precio actual S t de una acción es conducido por: ds t S t = µdt+ v t dw 1,t, donde µ es el parámetro de tendencia, y W 1,t es un proceso de Wiener. La volatilidad v t es conducida por el proceso: d v t = β v t dt+δdw 2,t donde W 2,t es un proceso de Wiener correlacionado con W 1,t, i.e., Cov(dW 1,t,dW 2,t ) = ρdt. Para simplificar el modelo, aplicamos el lema de Itô para obtener el proceso para la varianza v t, el cual se expresa como un proceso del tipo Cox, Ingersoll y Ross (1985): dv t = κ(θ v t ) dt+σ v t dw 2,t, (4.1) En el contexto de los modelos de volatilidad estocástica, los parámetros θ, κ y σ, se interpretan como la varianza de largo plazo, la tasa de reversión hacia la varianza de largo plazo y la volatilidad de la varianza (a menudo denominada como la volatilidad de la volatilidad), respectivamente. Heston muestra que el precio al tiempo t de una opción de compra con tiempo al vencimiento (T t), denotado por c(s,v,t), está dada por: c(s,v,t) = S t P 1 KP(t,T)P 2, (4.2) donde S t es el precio spot del activo, K el precio de ejercicio de la opción y P(t,T) es un factor de descuento del tiempo t a T. Por ejemplo, sea una tasa de interés constante, r, entonces P(t,T) = e r(t t). El precio de una opción de venta europea al tiempo t, se obtiene con la paridad put-call como sigue: p(s,v,t) = c(s,v,t)+kp(t,t) S t. (4.3) 1 El lector interesado en el desarrollo del modelo con el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales puede consultar Ortiz-Ramírez (2013).

115 85 Las cantidades P 1 y P 2 son las probabilidades de que la opción expire dentro-deldinero, condicionales a que el logaritmo del precio del subyacente, x t = ln(s t ) = x, y a la volatilidad v t = v, ambas al tiempo t. Para valuar opciones es necesaria la dinámica neutral al riesgo, que en este caso esta expresada en términos de los parámetros neutrales al riesgo κ y θ como sigue: ( dx t = r 1 ) 2 v t dt+ v t dw1,t dv t = κ(θ v t ) dt+σ (4.4) v t dw2,t. A continuación se obtiene el proceso neutral al riesgo para el precio del subyacente y la varianza expresados en la ecuación anterior. Suponga que el precio de la acción es conducido por: ds S = µdt+ vdw 1, donde S = S t,v = v t, dw 1 = dw 1,t. De la aplicación del lema de Itô, el proceso para x = ln S es: dx = (µ 12 ) v dt+σ vdw 1. (4.5) Por su parte el proceso para la raíz cuadrada de la varianza v es: d v = β vdt+δdw 2, (4.6) donde β y δ son parámetros, y dw 2 = dw 2,t. Aplicando el lema de Itô, el proceso para la varianza v es el proceso de Cox, Ingersoll y Ross (1985): dv = κ(θ v) dt+σ vdw 2, (4.7) donde κ = 2β, θ = δ 2 /2β, y σ = 2δ. Al escribir (4.5) como el proceso neutral al riesgo: d ln S = (r 12 ) v dt+(µ r)dt+σ vdw 1 = (r 12 ) v dt+σ vdw1 donde r es la tasa de interés libre de riesgo, y: ( W1 = W 1 µ r ) t, (4.8) v

116 86 entonces la versión neutral al riesgo del proceso en (4.7) para v es: dv = κ(θ v) dt λdt+σdw 2, (4.9) donde λ = λ(t,s t,v t ) es el premio al riesgo por volatilidad, y W 2 = (W 2 λσ t ). (4.10) Por lo tanto, los procesos para el precio de la acción y para la varianza son respectivamente: d ln S = (r 12 ) v dt+σ vdw1 (4.11) y dv = κ(θ v) dt λdt+σdw 2 (4.12) donde: ( W 1 W 2 ) = W 1+ µ r t v W 2 + λ. (4.13) σ t Bajo la medida de probabilidad P: W 1 N(0, T) y W 2 N(0,T). Es necesaria una nueva medida Q de tal manera que W1 N(0,T) y W 2 N(0,T) bajo Q. Por el Teorema de Girsanov, la medida Q existe si λ(t,s t,v t ) y (µ r)t/ v satisfacen la condición de Novikov. Como se explica en Heston (1993), el modelo de consumo de Breeden (1979) aplicado al proceso CIR, produce un premio al riesgo por volatilidad de la forma λ(t,s t,v t ) = λv. El proceso para la varianza en (4.12) se transforma en: dv = κ(θ v) dt λvdt+σdw2 ( ) κθ = (κ+ λ) κ+ λ v dt+σdw2 (4.14) = κ (θ v) dt+σdw 2, donde κ = κ+ λ y θ = κθ/(κ+ λ) son los parámetros neutrales al riesgo. Si se omite el asterisco de κ y θ, los procesos para el precio de la acción y la varianza son: ( dx t = r 1 ) 2 v t dt+ v t dw1,t dv t = κ(θ v t ) dt+σ (4.15) v t dw2,t.

117 87 Las cuales son las ecuaciones en (4.4). De acuerdo con la dinámica anterior, las probabilidades P 1 y P 2 se interpretan como las probabilidades ajustadas al riesgo o neutrales al riesgo. Por lo tanto: P j = IP ( x T ln(k) xt = x,v t = v ) (4.16) para j = 1,2. Las probabilidades P j se obtienen al invertir las funciones características definidas f j en: donde: P j = π 0 [ e iφ ln(k) ] f j Re dφ (4.17) iφ f j = exp ( C j + D j v+iφx ), con v = v t { [ C j = rφiτ+ κθ (bj ) 1 gj e d ]} jτ σ 2 ρσφi+d j τ 2 ln 1 g j D j = b [ ] j ρσφi+d j 1 e d jτ σ 2 1 g j e d jτ g j = b j ρσφi+d j b j ρσφi d j d j = (ρσφi bj ) 2 σ2 (2u j φi φ 2 ). En las ecuaciones anteriores τ = T t es el tiempo al vencimiento, i = 1 es la unidad imaginaria, u 1 = 1/2,u 2 = 1/2,b 1 = κ+λ ρσ y b 2 = κ+λ. El parámetro λ representa el premio al riesgo por volatilidad como función del precio del activo, el tiempo, la volatilidad. No obstante que (4.2) y (4.3) se consideran soluciones en forma cerrada, cada una requiere calcular dos integrales complejas en (4.17), por lo que es necesario recurrir a algún método numérico para aproximar las integrales y obtener el precio de la opción. Por otro lado, sea x t = ln(s t /S 0 ) µt, es posible expresar el modelo de Heston en términos de (log ) rendimiento centrado x t y v t (Čížek et al. (2011) ). El proceso es caracterizado por la transición P t (x,v v 0 ) para tener el (log-) rendimiento x y la varianza v al tiempo t dado un rendimiento inicial x = 0 y varianza v 0 al tiempo t = 0. La dinámica temporal de P t (x,v v 0 ) es conducida por la siguiente ecuación

118 88 de Fokker-Planck (o forward Kolmogorov): t P = κ v {(v θ) P} σ2 x2(vp)+ 2 2 v 2(vP). 2 (vp)+ρσ x x v (vp) Al resolver esta ecuación se obtiene la siguiente fórmula semi-analítica para la densidad de los rendimientos centrados de x, dado cambio en el precio en un intervalo de tiempo t, de acuerdo con Dragulescu y Yakovenko (2002) : P t (x) = 1 + e iξx+ft(ξ) dξ, (4.18) 2π donde: F t (ξ) = κθ ( 2κθ γt σ2 σ 2 ln γ = κ+ iρσξ, y Ω = cosh Ωt 2 + Ω2 γ 2 + 2κγ 2κΩ γ 2 + σ 2 (ξ 2 iξ). sinh Ωt ), 2 A continuación se muestra la densidad marginal del modelo de Heston dada por (4.18) para diferentes valores de ρ, con parámetros: κ θ σ ρ x ,0,+0.5 (-0.5,0.5) La Gráfica 4.1 muestra la función de densidad marginal del modelo de Heston para diferentes valores de ρ y se compara con la densidad de una distribución normal N (0,0.15). Se observa que el parámetro de correlación efectivamente controla el sesgo de la densidad. Si ρ = 0.5 la densidad muestra sesgo negativo, mientras que si ρ = +0.5, la densidad muestra sesgo positivo, en el caso de ρ = 0, la densidad es simétrica.

119 89 Gráfica 4.1: Función de densidad marginal del modelo de Heston para diferentes valores de ρ Fuente: elaboración propia. De la misma manera muestra la densidad del modelo de Heston para diferentes valores de la volatilidad de la volatilidad σ con parámetros dados por: κ θ σ ρ x ,0.3,0.5 0 (-0.5,0.5)

120 90 Gráfica 4.2: Función de densidad marginal del modelo de Heston para diferentes valores de σ Fuente: elaboración propia. La Gráfica 4.2 muestra la función de densidad marginal del modelo de Heston para diferentes valores de σ y se comparacon la densidad de una distribución normal N (0,0.15). Se observa que el parámetro de volatilidad de la volatilidad controla la curtosis de la densidad, por lo tanto, si σ es relativamente alta entonces la densidad presenta exceso de curtosis con su correspondiente efecto en las colas.

121 Griegas del modelo de Heston En esta sección se obtienen las sensibilidades del precio de una opción europea ante cambios en las diferentes variables y parámetros de la fórmula dada por el modelo de Heston 2. Es importante mencionar que las griegas de un modelo con saltos y que incluyen el modelo de Heston como un caso particular se encuentran en el artículo de Bakshi, Cao, y Chen (1997). De la sección anterior el precio de la opción de compra y la de venta están dadas por las ecuaciones (4.2) y (4.3) respectivamente, donde las probabilidades neutrales al riesgo en (4.17), las cuales se obtienen de las funciones características dadas por: f j = exp ( C j + D j v+iφx ) (4.19) con x = ln S t, por lo que a partir de (4.2) la delta de la opción de compra es: c = c S t = P 1. (4.20) Por medio de la paridad put-call en (4.3), la delta de la opción de venta es: p = p S t = P 1 1. (4.21) Para obtener la gamma se deriva la expresión para la delta con respecto a S t : Γ c = c = P 1 = 1 [ e iφ ln(k) ] f j Re dφ (4.22) S t S t π S t 0 iφ = 1 [ ] e iφ ln(k) f Re 1 / S t dφ π 0 iφ = 1 ] Re [e iφ ln(k) f 1 dφ, πs t donde: La rho para la opción de compra es: 0 f 1 = exp(c 1 + D 1 v+iφx) iφ x = 1 f 1 iφ. (4.23) S t S t S t ρ c = c r = Ke r(t t) (T t)p 2. (4.24) 2 El lector interesado en una análisis comparativo entre las griegas del modelo de Black y Scholes y las de Heston puede consultar Ortiz-Ramírez (2012)

122 92 La rho para la opción de venta se obtiene de (4.3) como sigue: ρ p = ρ c Ke r(t t) (T t) (4.25) = Ke r(t t) (T t)(p 2 1). Para la vega de la opción de compra, se elige la varianza actual del precio spot y se deriva con respecto a v: donde: la ecuación anterior utiliza el hecho que: ν c = c v = S P 1 t v P Ke r(t t) 2 v, (4.26) P j v = 1 [ e iφ ln(k) ] f j D j Re dφ. (4.27) π 0 iφ f j v = ( ( exp Cj + D v j v+iφx )) = f j D j. (4.28) La vega de la opción de venta es igual a la de compra. Para la theta observe que el plazo al vencimiento τ = T t aparece en las funciones C j y D j en (4.19), por lo que la theta para la opción de compra es: Θ c = c τ = S P 1 t τ + Ke rτ ( ) P2 τ rp 2, (4.29) también son necesarias las siguientes derivadas: P j τ = 1 [ e iφ ln(k) ] f j Re dφ (4.30) π τ 0 iφ = 1 [ e iφ ln(k) ] f j / τ Re dφ. π iφ 0 f j τ = exp( C j + D j v+iφx ) ( Cj τ + D ) j τ v+iφx. (4.31) [ C j τ = rφiτ+ κθ τ = rφi+ κθ σ 2 σ 2 { [ (bj ) 1 gj e d ]}] jτ ρσφi+d j τ+ 2 ln { (bj ρσφi+d j ) + 2 [ gj d j e d jτ 1 g j e d jτ 1 g j ]}. (4.32)

123 93 ( [ D j τ = bj ρσφi+d j 1 e d jτ τ σ 2 1 g j e d jτ ]) ( ) bj ρσφi+d j d j e djτ (g j e djτ 1)+(1 e djτ )g j d j e d jτ = (1 ) g j e d 2 jτ σ 2. (4.33) Al sustituir (4.30)-(4.33) en (4.29) se obtiene Θ c. La theta de la opción de venta se obtiene de la paridad put-call: Θ p = p τ = Θ c+ Kre rτ. (4.34) 4.3 Cálculo del precio de la opción por medio de la transformación de Lewis El cálculo del precio de la opción con el modelo de Heston tiene algunos detalles técnicos, ya que es necesario evaluar las integrales complejas en (4.17). La fórmula requiere los siguientes parámetros: precio spot del activo S t, precio de ejercicio K, plazo al vencimiento τ = T t, y la tasa de interés libre de riesgo (constante) r, además de estimaciones de los parámetros que conducen el proceso de tendencia, como son: la varianza de largo plazo θ, la varianza actual v t, el premio al riesgo por volatilidad λ, el parámetro de reversión a la media κ, la volatilidad de la varianza σ, y la correlación entre los procesos que conducen el precio del activo y la volatilidad, ρ. Lewis (2000) muestra que el precio de la opción c(s,v,τ) en el modelo de Heston (1993) se puede expresar en términos de la transformada fundamental Ĥ(k,V,τ) donde k = k r ik i es un número complejo, V la volatilidad y τ = T t el plazo al vencimiento. Con esta transformación se obtienen precios de opciones de manera eficiente ya que sólo se necesita evaluar una integral. La fórmula general para el precio de una opción de compra bajo una clase general de modelos de volatilidad estocástica está dada por: c(s,v,τ) = Se δτ Ke rτ 1 iki + ikx Ĥ(k,V,τ) e 2π ik i k 2 dk, (4.35) ik donde X = ln S/K+(r δ)τ,k i = 1/2 y δ la tasa de dividendos. Para el modelo

124 94 de Heston, la transformada fundamental es de la forma: Ĥ(k,V,τ) = exp[ f 1 (t)+ f 2 (t)v t ], (4.36) donde: [ ( )] ( ) 1 h exp(td) 1 exp(td) f 1 (t) = ω tg ln, f 2 (t) = g, (4.37) 1 h 1 h exp(td) ( ) 1/2, d = ˆθ c g = 2 g( ˆθ+ d), h = ˆθ+ d (4.38) ˆθ d ˆθ = 2 ] [(1 γ ik)ρσ+ k σ 2 2 γ(1 γ)σ 2 para γ < 1, (4.39) y además: t = σ 2 τ/2, ω = 2kθ/σ 2, c = 2c(k)/σ 2, y c(k) = k 2 ik/2. En este caso, γ es un parámetro de aversión al riesgo de un agente representativo, y se restringe a γ 1. Esta es otra manera de representar la prima al riesgo por volatilidad, la cual supone neutralidad al riesgo y proporciona una expresión de la prima al riesgo ajustada por volatilidad dada por λ, con λ proporcional a la varianza, i.e. λ(t,s t,v t ) = λv. v κ θ λ σ K r δ k i γ En la Gráfica 4.3 se muestra una superficie de precios de opciones de compra y en la Gráfica 4.4 una superficie de precios de opciones de venta, los precios de las opciones se calculan con la transformada fundamental de Lewis y parámetros dados por la tabla anterior. El plazo al vencimiento es desde T t = τ = 0.1,...,1 y el precio del subyacente varía dentro del rango: S t = 80,...,150.

125 95 Gráfica 4.3: Superficie de precios opciones de compra con el modelo de Heston. Fuente: elaboración propia.

126 96 Gráfica 4.4: Superficie de precios opciones de venta con el modelo de Heston. Fuente: elaboración propia.