1 Cinemática. 1.1 Las fórmulas tradicionales. 1.2 Preparativos y selección de datos. Cinemàtica 1

Transcripción

1 Cinemàtica 1 1 Cinemática 1.1 Las fórmulas tradicionales Cuando tenemos que resolver un ejercicio de cinemética, lo primero que nos viene a la cabeza es saber que fórmula tendremos que utilizar para la obtención de los valores que nos piden. Da la sensación de que existen fórmulas mágicas que permiten obtener todos los resultados que podamos necesitar, convirtiendo la física en un simple "recetario". La simbiosis ejercicio-fórmula ha existido siempre en la praxis del estudiante y la mayoría de libros de texto no han hecho demasiado para romper este encasillamiento. Incluso muchos docentes siguen esta praxis como metodología habitual. Sin ir más lejos poca gente discutirá que para un movimiento uniformemente acelerado que parte con velocidad inicial v o desde una posición x o y con una aceleración constante a, las "fórmulas" del movimiento son: v(t) = v o + at x(t) = x o + v o t at2 El alumno que pueda llevar a un examen dichas fórmulas se sentirá aparentemente seguro, puesto que para él, la resolución de cualquier ejercicio consiste en identificar los valores de la aceleración, posición inicial y velocidad inicial y con ello se podrá dar respuesta a determinadas cuestiones que puedan aparecer en el enunciado. Basta con plantear la siguiente cuestión: se nos da la ecuación de la velocidad de un móvil tal como v(t) = 2t + 3 y se nos pide que indiquemos la velocidad inicial. La respuesta a dicha pregunta, en lugar de establecer un cierto razonamiento lógico, se establece por simple identificación de algunos valores con las fórmulas tradicionales. En este caso la comparación de 2t + 3 con v o + at no da lugar a dudas y el alumno dará como respuesta v o = 3. Hasta aquí todo parece correcto y es posible que nadie se plantee nada más al respecto. La pregunta que surge es la siguiente: en qué instante ha partido el móvil?. Se da por hecho que "por decreto", el instante inicial del movimiento tiene que ser el valor t = 0, cuando el móvil puede partir en el instante que queramos. Imaginemos un móvil parte en un cierto instante y 2 segundos más tarde otro móvil es evidente que si tomamos como instante inicial para el primer móvil el valor t = 0, para el segundo móvil el instante inicial debe ser t = 2. Si la ecuación del segundo móvil fuese v(t) = 2t + 3, entonces la velocidad inicial no seria 3, sino que seria v(2) = 7. La única conclusión que podemos sacar de la expresión v(t) = 2t + 3 es que conocido el valor de t se puede hallar el valor de v(t) como si de una función matemática se tratara. Aún así haria falta especificar el dominio de validez de dicha función, es decir, por ejemplo 2 < t < 10. En este caso estamos indicando que la expresión de la velocidad es válida para el intervalor comprendido entre t = 2 s y t = 10 s. El encauzamiento de los ejercicios de cinemática hacia esta dirección "formulística" anula por completo cualquier atisbo de razonaniemto por parte del alumno. Una pequeña modificación de las condiciones iniciales del problema u otras variaciones desemboca en un callejón sin salida. Hace falta pues cambiar la praxis convencional y establecer una metodología más robusta que obligue al alumno a razonar y seguir un patrón establecido que le permita aprender y entender lo que hace. La pregunta que surge es pues qué fórmula se debe usar para resolver los ejercicios de cinemática?. La respuesta es muy simple: debemos partir de la definición de aceleración a(t) = dv dt dv = a(t) dt v(t) = a(t)dt Hace falta pues conocer la expresión de a(t) y con el cálculo integral obtener la velocidad v(t). La "aventura" resulta clara y "meridiana", solo hay que saber integrar una función (la aceleración) para obtener otra función (la velocidad). De hecho las "fórmulas" convencionales a las que haciamos referencia al principio como es el caso de v(t) = v o + at se obtienen mediante la integración de una aceleración constante y de alguna codición inicial. Lo que no se puede pretender es que todos los móviles van a tener las mismas expresiones de velocidad y con ello generalizar las ecuaciones que solo són válidas para un determinado movimiento uniformemente acelerado, dando lugar con ello a situaciones erróneas y sin sentido. 1.2 Preparativos y selección de datos Para poder resolver un ejercicio de cinemática, es imprescindible extraer del enunciado una terna de datos: conocer la aceleración a la que estará sometido el móvil y la posición o velocidad en algún instante. Este instante puede ser

2 2 Cinemàtica perfectamente el inicial que se acostumbra a tomar como t = 0. Para poder llevar a cabo esta tarea es necesario en primer lugar escoger un sistema de ejes coordenados. Con esta elección de ejes ya se está en condiciones de poder obtener dicha terna de datos. Consideremos el ejemplo típico de un tiro parabólico, donde se lanza desde una cierta altura h un móvil con velocidad de módulo v o y formando un ángulo θ con la horizontal. en la figura 3.1 se observa un esquema donde se han situado dos posibles orígenes de referencia Oxy y O x y. Ante un ejercicio como éste lo primero que pasará por nuestra mente es la preocupación de si disponemos de la fórmula de "turno" que encaje en ese caso. Lo que se debe hacer es totalmente distinto: se debe extraer la terna de datos que usará en el paso posterior. Por tanto se debe cambiar el concepto de de fórmula por el concepto proceso. Para este caso el análisis previo del ejercicio que proporcionará los datos importantes consta de 3 pequeños pasos: Sistema de referencia. En la figura se han escogido dos posibles sistemas de ejes, el Oxy y el O x y. Consideremos que se escoge el que corresponde al origen O. Causa del movimiento. Cuando el móvil sale "disparado" la única fuerza que actuará sobre él es el peso y, por tanto, su aceleración vendrá dada por a(t) = (0, g) = (0, 9.81) m/s 2 Condiciones iniciales. Se trata de expresar tanto el vector velocidad como el vector posición para algún instante de tiempo conocido como puede ser t 0, es decir, { v(to ) = (+v o cos θ, +v o sin θ) m/s r(t o ) = (0, h) m Si en lugar de escoger los ejes x y, se escoge a los ejes x y entonces se tiene: r(t o ) = (0, 0) m Finalizado éste análisis se dispone de un conjunto de datos consistentes en la aceleración y valores tanto de la velocidad como de la posición para un tiempo t o. 1.3 Obtención de la velocidad y posición Datos enunciado a(t) = (0, g) v(t o ) = (+v o cos θ, +v o sin θ) r(t o ) = (0, h) Componente x a x (t) = 0, v x (t o ) = v o cos θ, x(t o ) = 0 Componente y a y (t) = g, v y (t o ) = v o sin θ, y(t o ) = h Cualquier movimiento en 2 dimensiones (y si se da el caso en el espacio) se puede analizar estudiando cada componente por separado. En este sentido y para simplificar los contenidos se eliminarán los subíndices correspondientes a las componentes y, para la posición, se usará la componente x. De este modo la terna de datos consta de a(t), v(t o ), x(t 0 )

3 Cinemàtica 3 y a partir de ellos se procede a realizar unos cálculos con el fin de obtener tanto la velocidad en función del tiempo como la posición también en función del tiempo, que constituyen las ecuaciones o "fórmulas" del movimiento. Como primer paso, a partir de la aceleración y la velocidad inicial se obtiene la ecuación de la velocidad en función del tiempo con el siguiente algoritmo: a(t), v(t 0 ) Cálculo de la velocidad v(t) = a(t) dt + C t o v(t o ) C v(t) Una vez se obtiene la expresión de la velocidad y el conocimiento de la posició inicial se procede de un modo formalmente idéntico para obtener ahora la posición, es decir, v(t), x(t 0 ) Cálculo de la posición x(t) = v(t) dt + C t o x(t o ) C x(t) La ejecución conjunta de las dos operaciones o mejor dicho de los dos bloques permite construir un proceso combinado que partiendo de los datos iniciales se pueden obtener las ecuaciones correspondientes a v(t) y x(t). A esta "macro-función" la llamamos cinématica y se puede esquematizar del siguiente modo: a(t), v(t 0 ), x(t o ) Cinemática v(t), x(t) De este modo la praxis convencional que consiste en usar determinadas fórmulas se debe substituir por el proceso "cinemática" que consiste en la realización de dos integrales y la busqueda de sus respectivas constantes de integración. Exemple: Un coche se mueve en el sentido positivo del eje x y parte de un cierto punto con velocidad v o. Para este instante de partida tomamos el tiempo t = 0 s. Mantiene constante dicha velocidad y después de un cierto tiempo pasa por el origen de coordenadas O e imprime una aceleración de 2 m/s 2. Observamos posteriormente que cuando el tiempo vale t = 2 s lleva una velocidad de 6 m/s y para t = 3 s se encuentra en la posición x = 12 m. Hallar la expresión de la velocidad y de la posición en función del tiempo, v(t) y x(t). Calcular el instante de tiempo para el cual el coche pasa por el origen de coordenadas y la velocidad v o. SOLUCIÓ Para hallar la velocidad integramos la aceleración: v(t) = a(t) dt = 2dt = 2t + C Para determinar la constante de integración usamos la condición v(2) = 6, es decir, v(2) = 6 6 = C C = 2 v(t) = 2t + 2 Para hallar la posición integramos la velocidad obtenida: x(t) = v(t)dt = (2t + 2)dt = t 2 + 2t + C y para determinar la constante usamos la condición x(3) = 12, es decir, x(3) = = C C = 3 x(t) = t 2 + 2t 3 El proceso anterior ha consistido en usar unos datos de partida, integrar tanto la aceleración como la velocidad y usar las condiciones iniciales para determinar las constantes de integración correspondientes. lo podemos ver en el siguiente esquema conceptual:

4 4 Cinemàtica v(2) = 6 x(3) = 0 a(t) = +2 Cinemática v(t) = 2t + 2 x(t) = t 2 + 2t 3 Se puede observar como los términos independientes de los polinomios tanto de la velocidad como de la posición no tienen ningun significado concreto. Para nada el valor 2 en la ecuación de la velocidad significa la velocidad inicial. La velocidad inicial se obtendrá cuando sepamos cuál es el instante inicial y lo substituyamos en dicha ecuación. Del mismo modo que el término 3 no corresponde a la posición inicial como es evidente. Cuando el coche pasa por el origen de coordenadas su posición es x = 0 con lo cual podemos obtener el tiempo correspodiente: x = 0 t 2 + 2t 3 = 0 t = 1 En este instante t = 1 la velocidad vale: v(1) = = 4 m/s Esta velocidad es la que nos piden v 0. Si substituimos el tiempo por t = 0 en la ecuacion de la velocidad obtenemos un resultado incorrecto, ya que para t < 1 las ecuaciones del movimiento no son las que hemos obtenido, son otras. Desde el instante inicial t = 0 hasta el instante en que pasa por el origen de coordenadas el coche sigue un movimiento uniforme. Si repetimos el proceso anterior teniendo en cuenta que la aceleracion es 0 y que parte del reposo con velocidad v 0 = 4, obtendremos: que corresponden al intervalo 0 < t < Puntos de interés v(t) = 4, x(t) = 4t 4 Generalmente un ejercicio de cinemática consiste en obtener puntos de interés como la altura máxima que alcanzará un proyectil, si los dos coches que van al encuentro uno del otro se van a encontrar, etc. Estos resultados con la praxis habitual se obtienen a partir de fórmulas preestablecidas. Dichas fórmulas son ni más ni menos que una consecuencia directa de las ecuaciones del movimiento que se han obtenido en el segundo paso. De lo que se trata es de usar todo tipo de condiciones, ya sean físicas o geométricas, en las ecuaciones obtenidas. De este modo una vez más se abandona la "dependencia" de tal o cuál fórmula para estos casos. v(t), x(t) Condiciones Puntos de interés 1.5 Un ejercicio completo Vamos a ilustrar con la metodología de bloques como se puede resolver un ejercicio relativamente complejo. Se trata de dos coches que van uno al encuentro del otro pero con condiciones temporales diversas y con cambios en el tipo de movimiento en uno de ellos. La complejidad de dicha metodología no tiene límites pero se ha usado un caso relativamente sencillo. Consideremos el siguiente enunciado: "Un coche A está estacionado en un punto y en un momento dado observa como un segundo coche B a una distancia de 200 m se acerca con una velocidad de 20 m/s. En este preciso instante (que se definirá como instante inicial para los dos móviles) el coche A arranca con una aceleración de 2 m/s 2 en dirección hacia el coche B. El coche B observa este hecho y 2 segundos más tarde frena con una aceleración de módulo 2 m/s 2. Hallar el tiempo transcurrido desde el instante inicial hasta que los dos móviles se encuentren." Lo primero que se debe hacer siempre es escoger un sistema de referencia único para los dos móviles. En la praxis habitual se acostumbra a dar un tratamiento individual a cada coche y luego hay que hacer encajes para comparar los datos de uno de ellos con los del otro. Un posible esquema correspodiente al enunciado se puede ver en la figura, donde se aprecia que en uno de los coches que está frenando su aceleración es positiva. Hemos de incidir que cuando un coche frena el signo de la aceleración no tiene porque ser negativo, dicho signo depende del sentido que demos a los ejes. Se escoge un sistema de ejes con origen en el punto x = 0, de manera que en el instante inicial ( t = 0 ) el coche A tiene la posición x 1 = 0 i el coche B tiene la posición x 2 = 200.

5 Cinemàtica 5 Usando la metodología indicada solo hay que usar los datos de cada coche y realizar el algoritmo de integración para obtener así las ecuaciones del movimiento. Para el coche A se tiene: t 0 = 0 x 1 (0) = 0 v 1 (0) = 0 a 1 (t) = 2 v 1(t) = 2t x 1 (t) = t 2 Para el coche B hay dos etapas diferenciadas del movimiento: los dos primeros segundos lleva una velocidad constante y a partir de t = 2 s empieza a frenar. Para estos casos hay que realizar primero el estudio del primer intervalo y los datos de salida obtenidos al final del primer intervalo servirán como datos de entrada para el segundo intervalo. Intervalo 0 t 2. t 0 = 0 x 2 (0) = 200 v 2 (0) = 20 a 2 (t) = 0 v 2(t) = 20 x 2 (t) = t t = 2 v 2(2) = 20 x 2 (2) = 160 Intervalo 2 t. Empieza una nueva etapa en la que frena y se toman los datos anteriores como condiciones iniciales para dicha etapa. t 0 = 2 x 2 (2) = 160 v 2 (2) = 20 a 2 (t) = 2 v 2 (t) = 2t 24 x 2 (t) = t 2 24t El punto del eje x donde se encontrarán (indicado en la figura como t f ) debe verificar la condición de que las posiciones de ambos coincidan x 1 (t) = x 2 (t) t 2 = t 2 24t t = 8.5 s Podemos ver en la figura un esquema conceptual de los bloques que se han usado y observar que los datos de salida de uno de los bloques han servido de datos de entrada para el siguiente bloque.