Optimización de viaje en transporte público por medio de grafos

Transcripción

1 Optimización de viaje en transporte público por medio de grafos Descripción del problema Áreas como ciudades frecuentemente disponen de múltiples medios de transporte públicos como lo son los camiones y el metro. Se hace uso de estas para facilitar y acelerar el traslado de personas alrededor de la ciudad por un costo, aunque sin ocupar ser dueño de las unidades para poder usar de sus servicios. Cuando hay múltiples rutas de transporte alrededor de la ciudad se forma una red de magnitud y complejidad variada que depende del caso. Un problema que se presenta en el uso de estos medios es la reducción de tiempo que toma llegar de un lado a otro y conocer el costo de antemano que presenta hacer uso del conjunto de estos servicios. Como existen muchas formas de cruzar la ciudad con variada inversión de tiempo y dinero, encontrar la combinación de transportes con mínimo valor de tiempo resulta conveniente. Marco teórico Problema de camino más corto Cuando se habla de grafos ponderados, el problema del camino más corto o de costo mínimo trata sobre encontrar el conjunto de vértices ordenados que conduzcan desde el vértice S (origen) a el vértice t (destino) con la propiedad de tener una sumatoria de pesos inferior a la de todos los otros posibles caminos. [1] Por otro lado otro tipo aproximamiento a este problema es el de obtener el camino más corto entre cada par de vértices en lugar de ingresar origen y destino. [2] El problema del camino más corto puede ser usado como una de las aplicaciones de grafos más intuitivas, pues sus vértices pueden representar localizaciones o intersecciones y sus aristas pueden representar calles y caminos con la posibilidad de poder representarse gráficamente tal como aparecería en un mapa. Este tipo de problema puede presentar a las aristas con ponderación equivalente a la distancia física 1

2 entre vértices, pero cabe mencionar entre sus propiedades se puede encontrar que en lugar de distancias también se le puede dar ponderaciones tales como tiempo que toma cruzar de uno a otro. [1] Algoritmos relacionados Bellman-Ford El algoritmo de Bellman-Ford es usado para encontrar el camino más corto desde un solo origen. Se basa en su mayoría en una operación simple llamada relajación de ejes, el cual consiste en la comparación de valores previamente almacenados de distancias junto con el valor de la suma de los pesos de ir de la arista actual a alguna adyacente, actualizando el valor de la distancia si la nueva suma es menor. [3] Parte de lo que lo distingue a este algoritmo es que permite el manejo adecuado de pesos negativos en las aristas, los cuales resultan en complicaciones en otros procedimientos similares. [1] El algoritmo sigue los siguientes pasos con una velocidad de O(VE). [3] 1. Inicializar distancias en infinito y declarar predecesores a igual a nulo. 2. Ciclar V - 1 veces a través de todas las aristas aplicando el procedimiento de relajación para obtener las distancias mínimas. 3. Ciclar una vez más para identificar si hay ciclos de aristas negativas. En caso de Dijkstra que se pueda seguir relajando en esta iteración, mandar notificación de que existe un tal ciclo. la manera de ubicar las citas bibliográficas es equivocada; revisa algún tutorial para aprender hacerlo bien en el futuro El algoritmo de Dijkstra es otro algoritmo usado para encontrar el camino más corto desde un solo origen a todos los demás vértices. Así como el algoritmo de Bellman Ford, este se basa en el procedimiento de relajación, sin embargo, se distingue en que este no maneja adecuadamente pesos negativos y que dispone de una velocidad inferior cuando es aplicado con una cola de prioridad. 2

3 Este algoritmo es uno de los más famosos con relación a encontrar caminos más cortos entre vértices. Dispone de considerables variantes, a continuación se presenta los pasos de una variante con velocidad O(V + E log V) [4] : 1. Inicializar todas las distancias a vértices con un valor igual a infinito con excepción del origen que será igual a 0 2. Introducir a una cola de prioridad (prioridad a distancia mínima) el vértice origen junto con su distancia. 3. Sacar el vértice de la parte frontal de la cola de prioridad y usarlo como pivote para encontrar la distancia hacia todos los vértices que puede alcanzar actualizando los valores de la distancia de aquellos que cumplan con la siguiente condición distancia del vértice pivote + peso de arista a vértice siguiente < distancia de vértice siguiente (Relajación de ejes) y añadir el vértice con nueva distancia a la cola de prioridad. 4. Aplicar el paso 3 hasta que la cola de prioridad este vacía. Ejemplo Diagrama 1 Ejemplo de camino más corto usando algoritmo de Dijkstra donde cuadros representan distancias de origen a respectivo vértice y subíndices representan vértice predecesor. 3

4 Soluciones relacionadas Google Maps Esta aplicación web permite encontrar múltiples rutas desde un origen a un destino incluyendo múltiples paradas en el camino. Usualmente es usada como sistema de navegación para uso en automóviles proveyendo como salida el camino tomar, la distancia recorrer y tiempo estimado de llegada para cada ruta. Además, tomo como entradas tráfico y otros factores adicionales. [5] Cuando se trata de navegación en transporte privado resulta como una solución de alta eficacia, aunque con campo a mejorar con respecto a enrutamiento. Rutadirecta Esta aplicación web es basada en el API de Google maps y está especializada en encontrar posibles rutas de camiones de un punto inicial a final, y rutas que pasan por cierto punto. Este sistema actualmente funciona solo en algunas partes de Mexico. Sus salidas son listas con representación grafica de combinaciones de rutas que se pueden usar para llegar de un punto a otro o que pasan por cierto punto además de algunos datos sobre la ruta y sus unidades. [6] Modelación del problema Entradas y especificaciones: Sea G (V, E) un grafo dirigido donde: V = Vértices tomados de intersecciones de caminos en un mapa y paradas de camiones/estaciones de metro. E = Los camino/calles/avenidas entre intersecciones y conexiones de paradas entre si de mismas rutas de camión/vías de metro. o Cada arista se le atribuyen distintas propiedades: Tipo de transporte: P -> Pie C -> Camión M -> Metro 4

5 no uses el mismo símbolo E para dos conceptos Para E E con tipo de transporte = C M Identificador de transporte Para E E con tipo de transporte = C M se incluye la propiedad de Tiempo de espera, que representa el valor promedio de tiempo que tarda en pasar la unidad de transporte. Precio de transporte al tomarlo. Y sea W (U, V) los pesos en las aristas donde: El peso es una función para tiempo en que t(d(u,v)) = d(u,v) / V(Tipo de transporte) donde: o d(u,v) Es el valor de la distancia física entre u y v o V(Tipo de transporte) es un factor divisor equivalente a la velocidad promedio del tipo de transporte atribuido al par de vértices u y v. Salidas: Se desea obtener: convendría usar otro estilo (por ejemplo letra cursiva) para los símbolos matemáticos Un arreglo ordenado de vértices que representen el camino más corto del origen s al destino t. Costo de recorrer el camino en términos de P (precio) Costo en tiempo T de recorrer el camino. 5

6 Instancias con datos verdaderos Diagrama 2 Mapa tomado del API de Google con Intersecciones (vertices) resaltados. Ubicación Parque fundidora Monterrey, Nuevo León. [7] 6

7 Diagrama 2 Mapa tomado del API de Google incluyendo Intersecciones, paradas y respectivas aristas. Ubicación Parque fundidora Monterrey, Nuevo León. [7]. Se incluyen rutas 117, 228, 328. [6] Diagrama 3 Mapa tomado del API de Google [7] incluyendo Intersecciones, paradas y respectivas aristas ponderadas. Ubicación, sección del Diagrama 2. Se incluyen rutas 117, 228, 328. [6] 7

8 Diagrama 4 Grafo inducido a partir del API de Google [7] incluyendo Intersecciones, paradas y respectivas aristas ponderadas. Ubicación, sección del Diagrama 3. Se incluyen rutas 117, 228. [6] Diseño de la solución Debido a la velocidad superior y la ausencia de pesos negativos en las aristas, se optó por aplicar una variante del algoritmo de Dijkstra, ajustada para este problema. [4] 1. Inicializar todas las distancias a vértices con un valor igual a infinito con excepción del origen que será igual a Introducir a una cola de prioridad (prioridad a distancia mínima) el vértice origen junto con su distancia. 3. Sacar el vértice de la parte frontal de la cola de prioridad y usarlo como pivote para encontrar la distancia hacia todos los vértices que puede alcanzar actualizando los valores de la distancia de aquellos que cumplan con la siguiente condición distancia del vértice pivote + peso de arista a vértice siguiente < distancia de vértice siguiente (Relajación de ejes) y añadir el vértice con nueva distancia a la cola de prioridad. 4. Aplicar el paso 3 y 4 hasta que la cola de prioridad este vacía. 5. Revisar la tabla de distancias para formar el recorrido de camino más corto en forma de lista. 6. Recorrer la lista del recorrido para encontrar la suma de su tiempo total. 7. Por cada combinación de rutas en el grafo ejecutar el paso 1 a 6 activando y desactivando las aristas de las rutas existentes de tal manera que toda 8

9 combinación sea calculada agregando al paso 6 añadir el Tiempo de espera de cada ruta usada a la suma de tiempo total. 8. Al obtener la ruta de peso mínimo de todas las instancias del paso 7 elegir la de mínimo peso de estas y aplicar el siguiente criterio un recorrido de la lista de sus vértices y aristas: Inicializar acumulador PT (Precio transportes) = 0 y CP (contador de camiones) = 0. Si el tipo de transporte de una arista recorrida es igual a M (Metro), añadir su precio a PT. Si el identificador propiedades de la arista, en caso de tenerla, es diferente a tal de la siguiente arista añadir 1 a variable CP y comparar el valor de CP con los siguientes casos: Si CP = 1, añadir el precio de las propiedades de la arista multiplicado por 0.6 a la variable PT. Si CP = 2, añadir el precio de las propiedades de la arista multiplicado por 0.3 a la variable PT. Si CP = 3, cambiar valor de CP a Mostrar lista de vértices y aristas del camino mas corto, la variable PT y el Tiempo total. 9

10 Implementación Entradas: Grafo G (V, E) ponderado (Distancias estimadas a partir de mapa). Origen S = vértice 7 Destino T = vértice Q Ruta 117 (Amarillo) - Tiempo espera: 300 Segundos (Valor inventado para ejemplo) - V(Tipo de transporte) : 7 ms -1 - Precio: 12 Pesos - Identificador: R-117 Ruta 228 (Rojo) Pasos Tiempo espera: 150 Segundos (Valor inventado para ejemplo) - V(Tipo de transporte) : 7 ms -1 - Precio: 12 Pesos - Identificador: R-228 Diagrama 5 Grafo G ponderado en base a ubicación tomada de Google Maps. Diagrama 6 Grafo G, combinación 1, presentando ambas rutas, con desarrollo de Dijkstra. 10

11 Diagrama 7 Grafo G, combinación 2, presentando ruta 117, con desarrollo de Dijkstra. Diagrama 8 Grafo G, combinación 3, presentando ruta 228, con desarrollo de Dijkstra. 11

12 Diagrama 9 Grafo G, combinación 4, presentando ninguna ruta, con desarrollo de Dijkstra. Paso 8 Min {Tiempos total C1, Tiempos total C2, Tiempos total C3, Tiempos total C4} Min {193, 343, 193, 214} Min = 193 Por lo tanto, se usa cualquiera de las combinaciones, en este caso combinación 3 será usada. Lista de vértices y aristas de camino más corto: 7 --(id = R-228)--> B --(id = R-228)--> C --(id = R-228)--> J --(id = R-228)--> Q Recorrido de lista PT (Precio transportes) = 0 CP (contador de camiones) = 0. Vertice 6 Id = Vertice B!= R-228? => Verdadero CP += 1 CP = 1 CP = 1? PT += 12 * 0.6 PT =

13 Vertice C R-228!= R-228? => Falso Vertice J R-228!= R-228? => Falso Vertice Q R-228!= R-228? => Falso Paso 9 Presentación de resultado Camino: 7 --(id = R-228)--> B --(id = R-228)--> C --(id = R-228)--> J --(id = R-228)--> Q PT: 7.2 Pesos Tiempo total: 193 Segundos Evaluación La solución propuesta hace uso del algoritmo de Dijkstra para encontrar la ruta más corta de un vértice a otro y lo hace adecuadamente en el procedimiento, sin embargo, se encontró con la complicación de que cuando se manejan los tiempos de espera, muchas veces no se encuentra el valor buscado pues se tiende a tomar rutas que no son las más eficientes. Para solucionar ese problema, en la solución se agregó el paso que consiste en realizar el algoritmo para cada combinación de rutas de camión/metro existentes y agregar, en caso de haberse usado rutas, el tiempo de espera al final de la ejecución del algoritmo de Dijkstra en lugar de durante para luego comparar todos los posibles tiempos totales y determinar el verdaderamente mínimo. Aunque la modificación resulta en mayor precisión, el tiempo de ejecución se eleva en considerable medida, pues se debe realizar el algoritmo de Dijkstra un número de veces equivalente a la cantidad de combinaciones de rutas existentes en el grafo. Esta modificación, a medida que incrementa la cantidad de datos, hace que sea infectable su aplicación si se busca respuestas inmediatas dada la gran cantidad de instrucciones que debe correr, aunque resulta plausible para grafos que incluyen pocas cantidades de rutas. Una forma de solucionar la situación, o mínimo disminuir la carga de instrucciones, seria descartando aquellas rutas que no tienen ninguna incidencia sobre la ruta más corta. Por otro lado, cabe mencionar que aún con esa implementación o una similar, el algoritmo 13

14 de Dijkstra por si solo rápidamente se convierte en un proceso tardado, por lo que se ocuparía implementar alguna funcionalidad de clustering al grafo cuando se trata de una más grande y compleja cantidad de vértices y aristas y así simplificar el cálculo. Entre otras posibles mejoras a la solución se puede buscar incluir la posibilidad de optimizar con respecto a costos de transporte además de tiempo. Para incrementar la precisión de los datos convendría buscar alguna fuente de datos que pueda proveer datos actualizados sobre las rutas de transporte manejadas y así conocer su verdadera velocidad individual, así como mayor precisión en sus tiempos de espera. Como posible mejora se podría manejar entradas de destino como un conjunto de vértices en lugar de uno solo, para los cuales encontrar cualquiera de ellos resulte en una respuesta factible. Esto facilitaría el problema de definir un área grande como solo un vértice. Bibliografía 1. Sedgewick, R., & Wayne, K. Algorithms (4th ed.). Boston,: Pearson Education. 2. Shortest Path Algorithms Brilliant Math & Science Wiki. (2017). Brilliant.org. Retrieved 26 November 2017, from 3. Lecture 21: Single Source Shortest Paths - Bellman-Ford Algorithm. (2017). Faculty.ycp.edu. Retrieved 26 November 2017, from 4. Shortest Path Algorithms Tutorials & Notes Algorithms HackerEarth. (2017). HackerEarth. Retrieved 26 November 2017, from 5. Google Maps. (2017). Google.com. Retrieved 26 November 2017, from 6. Bibliography: Rutas De Camiones Y Líneas Del Metro De Monterrey Y Su Área Metropolitana. (2017). rutadirecta. Retrieved 26 November 2017, from visibility:off &zoom=15&center= ,