QUÉ MATEMÁTICAS NECESITA LA EMPRESA?

Transcripción

1 Resumen QUÉ MATEMÁTICAS NECESITA LA EMPRESA? Raquel Garrido Abia y Angeles Cámara Sánchez Universidad Rey Juan Carlos Facultad de Ciencias Jurídicas y Sociales. Paseo de los Artilleros, s/n. 803 Madrid. Tel: garrido@poseidon.fcjs.urjc.es y acamara@poseidon.fcjs.urjc.es La aplicación de la matemática a la ciencia económica y empresarial ha supuesto un cambio, para algunos incluso una revolución, en la forma de afrontar los problemas propios de dicha ciencia. Durante el siglo XIX se fueron creando las bases, principalmente dentro del ámbito del Cálculo Diferencial, necesarias para la gran evolución que se ha producido durante todo el siglo XX. Tenemos que destacar sobre todo el desarrollo de los modelos lineales, la teoría de juegos, la elección en condiciones de incertidumbre y la agregación. En la siguiente comunicación nos centraremos en la descripción de los diferentes tipos de análisis que son propios de la problemática empresarial, viendo cómo el razonamiento matemático, mediante la modelización, aporta una metodología propia para su estudio. Para hacer una eposición ordenada los hemos clasificado en cuatro grupos: análisis de compatibilidad, análisis de elección óptima, análisis de comportamiento y análisis de valoración por agregación. Creemos que los que enseñamos matemáticas en las facultades de economía y empresa debemos hacer un esfuerzo para mostrar a nuestros alumnos el porqué de los contenidos de las asignaturas de matemáticas.. Preliminares Nos proponemos tratar en la presente comunicación la relación de la Matemática con la ciencia económica y empresarial, es decir, la función que desempeñan las técnicas matemáticas y el lenguaje matemático en la elaboración y desarrollo de la Economía como ciencia. Todos sabemos que la aplicación del razonamiento matemático a la descripción y estudio de los fenómenos y sistemas económicos ha hecho variar la forma de entender la ciencia económica y empresarial. Para empezar queremos poner de manifiesto que la matemática no aporta únicamente un conjunto de técnicas y teorías para aplicarlas a la resolución de problemas económicos, sino que proporciona una metodología para abordar los diferentes problemas que presenta la actividad económica. Pero la relación entre ambas ciencias, matemáticas y economía, no es unidireccional. No sólo la matemática ha hecho crecer a la economía como ciencia sino

2 que la economía, con sus problemas específicos, ha dado a la matemática la posibilidad de desarrollarse en una determinada dirección. En la búsqueda de soluciones para el ámbito económico, la matemática ha desarrollado nuevas teorías y nuevos métodos de investigación. En esta comunicación nos centraremos en la descripción de los diferentes tipos de análisis que son propios de la problemática empresarial, viendo cómo el razonamiento matemático, mediante la modelización, aporta una metodología propia para su estudio. En un principio, en la llamada etapa marginalista, prácticamente sólo se empleaba el Cálculo Diferencial e Integral (los objetos primarios del Análisis Matemático, tales como los números reales y las funciones continuas y diferenciables, sirven para representar magnitudes económicas como la demanda, la oferta o la utilidad). Algunos economistas (Cournot, Walras, Jevons, Marshall, Edgeworth, Pareto) vieron que los modelos económicos puramente cualitativos de épocas anteriores, si bien eran útiles, se mostraban insuficientes para resolver los problemas que comenzaban a plantearse. Así por ejemplo, se puede establecer una hipótesis de manera cualitativa sobre la relación que eiste entre la demanda, el precio y la cantidad de equilibrio (un aumento de la primera supone un aumento de las dos últimas magnitudes); pero para poder analizar cómo variará el precio y la cantidad en respuesta a una alteración de la demanda, es necesaria una consideración cuantitativa, y es ahí donde el Cálculo Diferencial se presenta como un instrumento natural. A partir de estas bases, durante todo el siglo XX la aplicación de la matemática a los problemas económicos ha evolucionado de forma vertiginosa. La economía marginalista alcanzó su máimo esplendor con las obras Valor y Capital (939) de John R. Hicks y Fundamentos del Análisis Económico (publicado en 949, pero escrito a finales de los años treinta) de Paul A. Samuelson. Ambos libros recopilan y amplían las teorías eistentes utilizando técnicas matemáticas. En particular, el libro de Samuelson (basado en su tesis doctoral) transformó el estilo de los libros de Análisis Económico, que dejaron de ser eposiciones predominantemente literarias y gráficas, para convertirse en tratados con un alto contenido matemático. A partir de la década de 930 comienzan a emplearse técnicas matemáticas más avanzadas, como son Teoría de Conjuntos, Topología, Análisis Funcional o Teoría de la Medida. El uso de estos instrumentos matemáticos hizo que los esfuerzos se encaminasen hacia la generalización de resultados y la elaboración de demostraciones más rigurosas que las obtenidas en el periodo marginalista. Los modelos lineales Durante la década de 940 se desarrollaron una gran variedad de métodos nuevos, que dependían de la estructura lineal de determinados problemas económicos y, en particular, del análisis input-output, de la programación lineal y de la teoría de juegos. Poco después su publicó el primer estudio sobre la programación lineal, inspirado por problemas prácticos, como el problema del transporte y el problema de

3 la dieta. Aunque ambos problemas se resolvieron en 94, los avances importantes llegaron diez años después con el método del simple creado por Dantzig y, sobre todo, la teoría de la dualidad. La teoría de juegos La teoría de juegos, aunque surgió inicialmente como un aspecto de la teoría lineal, ha sido suficientemente importante en el desarrollo de la economía de la posguerra para merecer un análisis propio. Fue esbozada por primera vez por von Neumann en 99, pero la obra que atrajo la atención de los economistas en general fue The Theory of Games and Economic Behaviour (944) escrita en colaboración con Morgenstern. Desde la aparición de esta obra, los economistas y otros investigadores han realizado numerosos estudios tanto sobre los juegos cooperativos como sobre los no cooperativos. Especialmente importantes han sido la solución de Nash (950) del juego no cooperativo, que es una generalización del equilibrio del duopolio de Cournot ; el concepto de núcleo, definido por primera vez por Gillies (959), y varios conceptos de solución propuestos para los juegos cooperativos. La elección en condiciones de incertidumbre En este campo son tres los enfoques, relacionados entre sí, que han sido especialmente importantes. El primero se debe a von Neumann y Morgenstern, que desarrollaron una teoría de la maimización de la utilidad esperada, basándose en una serie de aiomas sobre la conducta humana. El segundo enfoque es la teoría de la preferencia de los estados de Arrow (953), que distingue los bienes de acuerdo con el estado de la naturaleza en el que puede disponerse de ellos. El tercer enfoque es el de la media y la varianza, utilizado especialmente por Tobin (958) y Markovitz (959) para analizar la demanda de títulos-valores. La agregación La mejora de las técnicas matemáticas ha permitido analizar con mayor profundidad los problemas de agregación. Había dos teoremas a este respecto muy conocidos: los de Hicks y Leontief. En Value and Capital (939), Hicks demostró que cuando los precios relativos de un grupo de mercancías eran constantes, este grupo podía analizarse como si fuera una única mercancía. Algo más general era el teorema de Leontief (947), según el cual un grupo de mercancías podía agregarse si la relación marginal de sustitución entre dos cualesquiera del grupo era independiente de la cantidad de cualquier mercancía que no perteneciera a él.. Análisis cuantitativos en el ámbito empresarial En el ámbito empresarial se pueden realizar análisis tanto cualitativos como cuantitativos. Nosotros nos interesamos por los análisis cuantitativos, que tienen la ventaja de ser precisos y no ser ambiguos, aunque no se adaptan a todas las situaciones y requieren determinadas características para llevarse a cabo, como que las magnitudes

4 sean cuantificables y que sus relaciones puedan ser epresadas en términos matemáticos. Nuestro objetivo principal es la valoración de magnitudes. En todo sistema económico eisten unos agentes (consumidores, productores,...), unas disponibilidades de medios o recursos productivos y una tecnología factible, de acuerdo a la cual se combinan los recursos para obtener unos bienes y servicios que satisfagan las necesidades. Todo sistema económico se enfrentará por tanto al problema de cómo organizar la producción y cómo distribuir estos bienes y recursos. La tecnología, junto con esta disponibilidad de recursos, determinará los planes de producción que son factibles, pero es necesario conocer los comportamientos de los agentes económicos y las reglas de funcionamiento del sistema económico para determinar cuáles de los planes de producción factibles son los que han de llevarse a cabo. Actualmente, eiste una gran diversidad de análisis económicos que se pueden plantear en la problemática general de las empresas. Los hemos clasificado en cuatro grandes grupos: Análisis de compatibilidad Análisis de elección óptima Análisis de comportamiento Análisis de valoración por agregación.. Análisis de compatibilidad Uno de los problemas básicos del análisis económico es la asignación eficiente de recursos escasos entre usos alternativos. Más concretamente, se trata de buscar cómo combinar los recursos disponibles, basándose en la tecnología en curso, para producir bienes y servicios que procuren la satisfacción de las necesidades de acuerdo a unas determinadas estructuras de preferencias. El funcionamiento del sistema económico debe ser tal que conduzca a una asignación en la que los comportamientos de todos los agentes sean compatibles simultáneamente. Para ello es preciso un mecanismo que coordine la actuación de los agentes, o lo que es lo mismo, que considere la información relevante que posee cada uno, haciendo así posible que el proceso de asignación conduzca a un equilibrio. En ocasiones habrá que buscar, de todas las asignaciones factibles, la que resulte más satisfactoria, o lo que es lo mismo, la que les reporte el máimo rendimiento. La escasez de recursos o las limitaciones tecnológicas determinan un conjunto de restricciones que conducen a una situación que puede ser incompatible, determinista o indeterminista. La finalidad del análisis es estudiar si un conjunto de relaciones es compatible o incompatible (es decir, encontrar las alternativas que pueden ser compatibles entre un conjunto de relaciones), o ver si eiste una única solución con

5 sentido económico o bien eisten infinitas soluciones, con lo cual entraríamos en el siguiente tipo de análisis: el que se ocupa de elegir la solución óptima. Los modelos lineales de compatibilidad tienen como objetivo determinar los valores de n variables endógenas para las que se satisfacen simultáneamente n relaciones lineales de igualdad. Así, nos podemos encontrar tres situaciones distintas:. Cuando las relaciones son incompatibles no podemos asignar valores a las variables. No debemos olvidar que el hecho de que nos encontremos ante un sistema consistente (con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas) no garantiza la eistencia de solución, ya que las ecuaciones pueden ser contradictorias y, en consecuencia, no eistir solución.. Cuando sólo eiste una solución posible, una única elección para los valores de las variables, con lo que nos encontramos ante una situación determinista (que conduce a los análisis de equilibrio no finalista o de mercado). La ausencia de incompatibilidad en un sistema consistente, así como la no redundancia en las ecuaciones, garantiza la eistencia de solución única. En el caso de tener sentido económico la única solución eistente tenemos un modelo de equilibrio económico, siendo los valores de dicha solución los valores de equilibrio. Estos análisis de equilibrio no finalista tienen su campo de aplicación en la programación de la producción, en el equilibrio de mercados (aislados o interrelacionados) y también, a nivel macroeconómico, en la renta nacional de equilibrio y en los análisis input-output. 3. Puede ocurrir, por último, que eistan infinitas opciones entre las que elegir debido a la eistencia de redundancia. Esta situación indeterminista (múltiples soluciones) conduce a los posteriores problemas de optimización, en los que se tratará de elegir la mejor opción entre todas las posibles. Nos encontramos así con los análisis de elección óptima o de equilibrio finalista, en los que la mejor opción dependerá de cual sea el objetivo que tengamos en cuenta. La compatibilidad de los comportamientos de los agentes económicos equivale al problema matemático de encontrar solución a un sistema de ecuaciones. En concreto, cada uno de los tres casos anteriores corresponde a los tres tipos de sistemas lineales en los que las incógnitas son las variables endógenas del modelo, siendo los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes valores eógenos. Son los llamados sistemas incompatibles, sistemas compatibles determinados y sistemas compatibles indeterminados. Por último, es importante destacar que en la búsqueda de soluciones con sentido económico debe darse la condición de no negatividad. Eiste una condición necesaria y suficiente, enunciada por Hawkins-Simon, que asegura la eistencia de solución no negativa. Tales sistemas son utilizados en los análisis input-output o análisis interindustriales que fueron desarrollados por Wassily Leontief.

6 .. Análisis de elección óptima Un comportamiento optimizador equivale al problema matemático de encontrar los valores que han de alcanzar n variables para hacer máimo o mínimo el valor de una función que depende de ellas (función objetivo), pudiendo estar las variables sometidas a ciertas restricciones. Este problema matemático se conoce como Optimización Matemática. Estas técnicas de optimización junto con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales nos permitirán realizar los análisis de equilibrio económico. Para alcanzar la posición de equilibrio se procede a la optimización (maimización o minimización) de una magnitud que depende de las variables endógenas del sistema. La función que epresa esta dependencia es llamada función objetivo y se supone conocida. Los demás supuestos imponen restricciones a las variables endógenas que determinan el llamado conjunto factible. El equilibrio se alcanzará en aquel punto del conjunto factible en el que la función objetivo tome el valor óptimo (máimo o mínimo), si eiste. Para resolver estos modelos de optimización estática se utiliza la Programación Matemática. Cuando las restricciones del programa forman un conjunto de m ecuaciones lineales se tratará de un problema de Programación Lineal que se epresa de la siguiente forma: Optimizar f (, sujeto a a a a m + a + a, K, + a m n ) + K + a, n + K + a n LLLLLLLLLL + L+ a mn n n, K, = b n = b n = b Las m restricciones han de formar un sistema indeterminado (m < n) y las n desigualdades (,, K n 0) son las restricciones de no negatividad, que se imponen a las variables para que tengan significado económico. Cuando se modeliza un problema de programación lineal, las m restricciones suelen ser desigualdades (los programas formulados con restricciones de desigualdad se dice que están en forma canónica, mientras que los que contienen restricciones de igualdad estarían en forma estándar). Para resolverlos tendrán que formularse en forma estándar introduciendo en cada desigualdad una variable no negativa en el lado izquierdo que las trasforme en igualdades. Estas variables se denominan variables de holgura y tienen significado económico. En las restricciones de desigualdad, el lado izquierdo suele epresar la cantidad empleada de uno de los recursos, y el lado derecho la disponibilidad del mismo. En este caso, la variable de holgura medirá la cantidad de recurso ocioso. Para la resolución analítica de estos programas eiste un método desarrollado por Dantzing que se conoce como método del Simple y se elabora a través de las teorías de espacios vectoriales, matrices y conjuntos conveos. m 0

7 En general, el campo de la optimización abarca todos aquellos problemas en los que uno o varios decisores han de efectuar la elección de una o varias variables, referidas a un momento determinado o a lo largo de un horizonte temporal. Dada la gran variedad de problemas que abarca, los clasificaremos en cuatro tipos:. Los problemas de optimización en los que interviene un único decisor y un solo objetivo y tienen carácter estático forman la Programación Matemática, que a su vez se divide en: Programación lineal, donde la función objetivo y las ecuaciones que forman el conjunto factible son lineales. Su gran fleibilidad para la modelización de problemas reales y su facilidad de cálculo la han convertido en uno de los instrumentos más eficaces para la resolución de problemas económicos. Programación diferenciable, donde las funciones son diferenciables al menos dos veces. En estos programas, la condición necesaria de óptimo local viene dada por el teorema de Lagrange si las restricciones son de igualdad, y por el teorema de Kuhn-Tucker para las de desigualdad.. Los problemas de optimización en los que interviene un único decisor y tienen carácter estático pero eisten múltiples objetivos, constituyen la llamada Programación Multiobjetivo o Multicriterio. Hay que tener en cuenta que el hecho de reducir la decisión a un único criterio, tal y como se plasma en los modelos de decisión uniobjetivo, no representa la mayoría de los procesos de decisión. Milton Friedman, en su libro Teoría de Precios, enfatiza el carácter multicriterio de los problemas económicos, al considerar como tales solo aquellos en los que subyace la eistencia de criterios múltiples. Por el contrario, cuando un problema de decisión se establece en base a un solo objetivo, nos enfrentamos a lo que él llama problemas tecnológicos, ya que no eiste un problema de decisión propiamente dicho. En la programación multiobjetivo o multicriterio, el concepto de óptimo en el sentido tradicional pierde su interés debido a que, en general, los objetivos serán contrapuestos, por lo que no eistirá una alternativa factible que optimice todos los criterios simultáneamente. En 896, el economista italiano Vilfredo Pareto introdujo en el marco de la economía del bienestar el concepto de optimalidad que lleva su nombre, y que posteriormente ha jugado un papel esencial en los enfoques multicriterio. Se define un óptimo de Pareto o eficiente como una solución factible (valores de las funciones objetivo alcanzables), de forma que no eista ninguna otra solución alcanzable que proporcione una mejora del algún objetivo, sin provocar el empeoramiento de otro. Todos los enfoques multiobjetivo pretenden obtener soluciones que sean eficientes u óptimos de Pareto. Puede decirse que la eficiencia paretiana es la condición eigida como necesaria para poder garantizar la racionalidad de las soluciones generadas por los diferentes enfoques multicriterio. El propósito de la programación multiobjetivo, también llamada programación vectorial, es encontrar el conjunto de óptimos paretianos. Esta tarea se aborda con una información estrictamente técnica (epresiones matemáticas de los objetivos y las restricciones) sin incorporar al análisis ninguna información sobre preferencias

8 del decisor no incluidas en funciones objetivo. Su operatividad consistirá en desarrollar técnicas matemáticas que permitan generar los puntos de la curva eficiente. 3. Los problemas de optimización de carácter dinámico en los que interviene un único decisor constituyen la Optimización Dinámica, que es el conjunto de métodos de la economía matemática mediante los cuales se pretende analizar los sistemas dinámicos con el objeto de optimizar algún criterio de eficiencia de dichos sistemas. Las técnicas de optimización dinámica tienen relación tanto con la teoría de sistemas dinámicos como con las técnicas de programación matemática, ya que pueden ser consideradas como técnicas de programación matemática dinámica. En particular se han utilizado con éito en Economía los resultados del cálculo de variaciones, de la teoría del control óptimo de Pontryagin y de la Programación Dinámica de Bellman, ésta última creada para los problemas en tiempo discreto, pero que posteriormente fue generalizada para tiempo continuo. Estas técnicas generalizan al caso dinámico los resultados que la programación matemática obtiene en el caso estático. 4. Finalmente, los problemas de optimización en los que intervienen los intereses de varios decisores configuran lo que se denomina Teoría del Conflicto. La incorporación de varios decisores al análisis implica que en este tipo de estudios se ha de considerar que la toma de decisiones por un agente estará condicionada por las decisiones que puedan tomar los demás decisores, de ahí que estos problemas de comportamiento económico o social se modelicen matemáticamente como un juego de estrategia, en el que cada agente ha de tener en cuenta la información que tiene sobre los demás. La base conceptual y matemática de este tipo de situaciones se conoce como Teoría de Juegos. El enfoque utilizado por la teoría de juegos se muestra adecuado para el estudio de situaciones en las que eisten intereses encontrados y, por tanto, la posibilidad de cooperar o competir. Fue creada por el matemático John Von Neumann y el economista Oskar Morgenstern en su teto ya clásico The theory of games and economic behavior publicado en 944, aunque hay que mencionar la eistencia de algunos precedentes en el siglo XIX atribuibles a Cournot y Edgeworth. A pesar de que en un principio esta disciplina suscitó gran entusiasmo, la falta de resultados operativos alcanzados llevó al desánimo y a la desconfianza. Aportaciones posteriores hechas por matemáticos como Zermelo, Borel y Nash, hicieron que resurgiera el interés por la Teoría de Juegos y que hoy en día constituya un importante instrumento de la Economía Matemática, utilizada principalmente por economistas teóricos. La teoría de juegos está dividida en la teoría de juegos no cooperativos y en la de juegos cooperativos. Esta última, en un principio, solamente incorporaba la presencia de posibles coaliciones entre varios jugadores y la distribución de los beneficios entre los miembros de dichas coaliciones. Las posteriores contribuciones de Nash hicieron que dentro de los juegos cooperativos se incluyeran los problemas de negociación, cuyo objetivo es llegar a un acuerdo entre los jugadores. Entre las soluciones de negociación se pueden destacar las obtenidas mediante la aiomática de Nash y mediante la aiomática de Raiffa-Kalai-Smorodinski.

9 .3. Análisis de comportamiento Otro tipo de análisis general para la empresa es el análisis del comportamiento de las distintas magnitudes que intervienen en el sistema económico que se quiere analizar. En Economía es frecuente que para determinar el valor de una magnitud que depende de una variable los supuestos de partida, basados en gran medida en la lógica económica y en los datos empíricos disponibles, hagan referencia al ritmo de variación de la magnitud respecto a la variable de la que depende, o respecto a otra magnitud con la que esté relacionada. Conocida la tasa de variación de la magnitud, se dispone de una ecuación que, una vez resuelta, permitirá obtener la epresión de la magnitud que se quiere valorar en función de las otras. Por ejemplo, podemos obtener el valor total a partir del valor marginal, o determinar la demanda a partir de la elasticidad. El comportamiento de estas magnitudes puede venir determinado por una función, pero esta no es la única forma. Muchas veces se aprecian más los cambios en una situación que la situación misma, y es entonces cuando el análisis se hace a través de ecuaciones diferenciales o de ecuaciones recurrentes (estas últimas analizan una magnitud en un periodo de tiempo a través de lo ocurrido en periodos anteriores). Para cada uno de estos análisis de comportamiento tendremos un instrumento matemático adecuado que se ocupará de su estudio:. Cuando el análisis se realice a través de funciones utilizaremos las técnicas del Cálculo Diferencial. Habrá que suponer que todas las variables pueden variar en cantidades arbitrariamente pequeñas (divisibilidad perfecta) para hacer posible el empleo de variables reales, y asumir que los cambios infinitesimales en las variables independientes conducen a cambios infinitesimales en las dependientes. Con ello damos cabida a las condiciones matemáticas de diferenciabilidad y continuidad, ganando así en operatividad. Esta herramienta matemática se muestra como una de las más idóneas para el estudio de los modelos estáticos no lineales. Los supuestos económicos de cambios suaves, divisibilidad perfecta y sustitución perfecta permiten el uso de funciones continuas y diferenciables, tanto para valorar magnitudes económicas como para epresar las relaciones entre las variables de los modelos. En otros ámbitos como la Teoría Económica se habla del comportamiento de una magnitud económica al incrementar uno de los factores en una peseta adicional o en una unidad adicional o, en el caso de las elasticidades, en un % adicional. En nuestro conteto utilizamos variaciones infinitesimales, que es una aproimación admisible cuando hablamos, por ejemplo, del incremento de una unidad monetaria con relación a una gran masa monetaria. Si las funciones son lineales no eiste ningún problema, pero en el caso más general se ha de estudiar el comportamiento en un entorno o, en un lenguaje más económico, en un conteto más reducido.. Cuando el análisis se realice a través de ecuaciones recurrentes tendremos que recurrir a las Ecuaciones en Diferencias, como es el caso de los modelos de ciclo económico. Hay que destacar que en este caso nos estamos moviendo en el campo discreto y así estamos considerando a las variables. Esto es así porque los datos estadísticos

10 disponibles sobre la evolución de ciertas magnitudes de interés como pueden ser el IPC, el PIB, el consumo o el ahorro, suelen aparecer referidos a intervalos fijos (periodos de tiempo mensuales, anuales,...) con lo que en estos casos la consideración del tiempo como una variable de tipo discreto, que sólo toma valores enteros interpretables como periodos de tiempo, parece la más realista. En tal caso, la ecuación que recoge la tasa de cambio por unidad de tiempo es una ecuación en diferencias, cuya solución permitirá disponer de la trayectoria de la magnitud en cuestión para ser analizada posteriormente. Es por ello que las ecuaciones en diferencias, como epresiones que van a permitir relacionar el valor de una variable en un periodo con su valor en uno u otros periodos, desempeñan un papel esencial en este tipo de análisis dinámicos. Las aplicaciones económicas de este campo son muy numerosas. Entre los muchos ejemplos que podemos encontrar destacan el modelo de la telaraña o el modelo de crecimiento de Harrod (dentro de los modelos económicos dinámicos por periodos), modelos de ciclo económico y casos particulares como el modelo de Domar sobre la epansión del capital. También podemos formular la matemática financiera clásica mediante ecuaciones recurrentes. 3. Por último, cuando el análisis se realice a través de ecuaciones diferenciales utilizaremos las técnicas del Cálculo Integral. Habrá que tener en cuenta que si las relaciones son lineales bastarán los métodos algebraicos, pero en otro caso será necesario recurrir al cálculo de primitivas. Cuando el tiempo se considera como una variable de tipo continuo, como en este caso, estamos ante un modelo dinámico en tiempo continuo, y podemos considerar variaciones infinitesimales, de manera que el valor del ritmo temporal de la magnitud irá asociado a la derivada, surgiendo así las ecuaciones diferenciales. Es decir, estamos epresando la valoración de una magnitud que depende de una variable, en este caso el tiempo, a partir de una ecuación diferencial. Resolviendo la ecuación podemos obtener la epresión de la magnitud en función del tiempo, es decir, su trayectoria temporal y a partir de esta, analizar su comportamiento. Podemos encontrar ejemplos en múltiples modelos, siendo especialmente interesante la posibilidad de construir toda la matemática financiera clásica mediante ecuaciones diferenciales, trabajando en capitalización continua y con rentas continuas, donde los flujos de capital no se han de entender como cuantías discretas sino como distribuciones de densidad de cuantía. Ejemplos de aplicación económica de las ecuaciones diferenciales de primer orden son el modelo de ajuste dinámico del precio de un bien en el mercado y la conocida curva logística. Como aplicación de las ecuaciones diferenciales de orden n se amplía el modelo anterior de ajuste dinámico del precio, de manera que las cantidades ofrecidas y demandadas de un bien dependan no solo de su propio precio, sino también de las epectativas sobre su evolución.

11 .4. Análisis de valoración por agregación Hemos visto que eisten magnitudes que se encuentran distribuidas a lo largo del tiempo, que a su vez puede ser considerado de manera discreta o continua. Cuando estudiamos estas magnitudes, además de conocer cómo es su distribución (de lo que se ocupa principalmente la estadística), nos puede interesar obtener su valor agregado, bien entre dos puntos concretos o bien de toda la distribución. Ahora bien, puede ocurrir que los valores distribuidos no sean agregables por carecer de homogeneidad, en este caso aparece un problema previo a la agregación, el de la homogeneización. Dentro de este tipo de análisis se encuentran todos los análisis y valoraciones financieras tanto en el caso finito como en el infinito (rentas perpetuas). La agregación sólo tiene sentido cuando eiste homogeneización entre los valores agregados, ya que las dificultades surgen precisamente cuando no eiste esta homogeneidad. No obstante, hay que tener en cuenta que este problema se sale del campo estrictamente matemático, pudiendo llegar a ser de una gran complejidad unida a menudo con una gran carga de subjetivismo. Encontrar coeficientes de ponderación que ayuden en esta tarea no es fácil. Además, el problema de la homogeneización no sólo se presenta cuando queremos agregar, sino también cuando queremos comparar. Podemos encontrar muchas situaciones en el campo económico, por ejemplo, cómo se distribuyen los fondos entre las distintas Comunidades Autónomas y qué baremos de ponderación se tienen en cuenta: tamaño, número de habitantes, necesidad de infraestructura, etensión por habitante,... Algunas veces la homogeneización puede ser más o menos objetiva, ya que se puede basar en unos coeficientes de ponderación basados en la posición que ocupe la magnitud dentro de la distribución. Esto se aprecia claramente en el campo financiero, donde se observa que antes de desarrollar su labor, la de agregación, hay que resolver este problema previo de homogeneización. Para realizar la agregación, la matemática dispone de dos instrumentos, las Series Numéricas y las Integrales Definidas, según nos encontremos en el campo discreto o en el continuo. Así pues, la forma de la distribución puede venir dada de dos maneras:. Por una sucesión en el caso discreto ( las funciones de cuantía en estadística). Aquí, una vez que las variables están homogeneizadas, tendríamos que sumar la serie resultante. Un ejemplo serían los sucesivos pagos que amortizan un préstamo.. Por una integral definida en el caso continuo (las funciones de densidad en estadística). Podemos citar como ejemplos el volumen de figuras distribuidas a lo largo de su eje y el valor total de una magnitud distribuida según su valor marginal (función de densidad de la función de valor total).