Tema 3: Juegos bipersonales

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1 Tema 3: Juegos bipersonales Resumen: 3. Juegos bipersonales 3.1. Juegos bipersonales básicos (con información perfecta) 3.2. Juegos bipersonales con elementos de azar 3.3 Juegos bipersonales con información incompleta

2 Resolución de problemas con múltiples agentes

3 Entorno multiagente Situación: múltiples agentes (jugadores) actúan en el mismo entorno las acciones de los demás agentes influyen en la medida de rendimiento de cada agente ningún agente puede controlar las acciones de los demás agentes hasta cierto punto, un agente puede predecir las acciones de los demás Tipos de problemas multiagente : escenarios cooperativos: metas compartidas escenarios parcialmente cooperativos: algunas metas compartidas, otras opuestas escenarios antagónicos: metas opuestas

4 Escenarios antagónicos: Juegos de suma cero Juegos de suma cero: juegos donde las ganancias y perdidas suman cero lo que un jugador gana es lo que el otro pierde ejemplo clásico de escenarios antagónicos p.e.: Ajedrez, Póker, Juegos con recompensas: la ganancia /perdida tiene cantidad el jugador quiere maximizar la cantidad Juegos sin recompensas: solo se gana o se pierde Tipos de juegos: elementos de azar: con elementos de azar (backgammon) / sin elementos de azar (damas) información: información perfecta (damas) / información incompleta (póker)

5 Tema 3: Juegos bipersonales Resumen: 3. Juegos bipersonales 3.1. Juegos bipersonales básicos (con información perfecta) 3.2. Juegos bipersonales con elementos de azar 3.3 Juegos bipersonales con información incompleta

6 Modelar juegos bipersonales Modelo similar a la búsqueda con un único agente (juegos unipersonales): Estados: cada situación del juego define un estado Acciones: jugadas permitidas en una determinada situación los jugadores ejecutan sus acciones de forma alternando Estado inicial: estado actual del juego Estado final: estado en el que termina el juego Hay dos jugadores: max y min No se busca un plan de acciones ya que el jugador contrario influye en el progreso Objetivo de un agente: encontrar la mejor jugada para él (la jugada que tiene las mayores posibilidades de llevarle a ganar el juego)

7 Ejemplo: Tres en Raya Tres en Raya: dos jugadores (min y max) los jugadores van poniendo fichas en las casillas de un tablero 3x3 max usa las fichas X / min usa las fichas O una casilla puede contener como mucho una ficha Reglas: Inicialmente el tablero está vacío max empieza y los jugadores se van alternando en poner sus fichas max gana si obtiene una raya de tres fichas X min gana si obtiene una raya de tres fichas O si todas las casillas están ocupadas sin que haya una raya de 3 fichas del mismo tipo, hay empate gana max gana min empate

8 Modelar juegos bipersonales Conocimientos mínimos a priori de los agentes max y min : Nótese: s 0 posición inicial (estado inicial) expandir: s {s i1,..., s in } cjto. finito de posiciones sucesores terminal?: s true false prueba terminal U: s k, k R función parcial de utilidad del juego la función expandir codifica las jugadas (acciones) permitidas en una posición s supone implícitamente que los jugadores se alternan en realizar las jugadas la función de utilidad está definida sólo en los estados terminales s juegos de suma cero sin recompensas: max gana si y sólo si min pierde gana max: U(s) = + / gana min : U(s) = / empate: U(s) = 0

9 Ejemplo: Árbol de juego para Tres en Raya max min... max... min terminal 0 + utilidad

10 Árboles de juego Definición: Sea N un conjunto de nodos, E N N, L = {max,min}, y G = (N,E,L) un árbol etiquetado. G es un árbol de juego si G no es vacío la raíz está etiquetada max todos los sucesores de max son etiquetados min todos los sucesores de min son etiquetados max Observaciones: cada nivel del árbol de juego representa un ply (media jugada) en los nodos etiquetados max, es el turno del agente max en los nodos etiquetados min, es el turno del agente min las hojas de un árbol de juego (completamente desarrollado) representan las posiciones terminales del juego

11 Estrategias Problema del agente max: cómo determinar su mejor jugada? max podría aplicar métodos de búsqueda estándar, usando las posiciones en las que él gana como estados meta pero min no querría realizar las acciones que el plan de max prevé para él! Estrategia: define las jugadas de max para cada posible jugada de min un subárbol del árbol de juego Estrategia óptima (ó racional) : la estrategia que implica el mejor resultado garantizado para max escenarios totalmente antagónicos con agentes racionales: max puede asumir que min hará lo mejor para sí mismo, lo cual el lo peor para max la estrategia óptima para max es la estrategia minimax: maximizar la utilidad mínima en cada jugada

12 Ejemplo: estrategia minimax estrategia óptima: mejor jugada de max: a 1 max 0 a 1 a 2 a 3 min a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 terminal utilidad

13 Método minimax Método Minimax: 1. Generar el árbol de juego completo 2. Aplicar la función de utilidad en cada nodo terminal 3. Propagar las utilidades hacia arriba en los nodos max, usar la utilidad máxima de los sucesores en los nodos min, usar la utilidad mínima de los sucesores 4. Eventualmente los valores de utilidad llegan al nodo raíz (max) 5. La jugada óptima de max es la que lleva al sucesor de utilidad máxima

14 Algoritmo Minimax básico Algoritmo: funciones mutuamente recursivas estado es el estado actual α : máximo de la utilidad de los sucesores de un nodo max β : mínimo de la utilidad de los sucesores de un nodo min {MaxValor en el Minimax básico} Función MaxValor(estado) Si terminal?(estado) entonces devolver(u(estado)) sucesores expandir(max, estado) α Para cada s sucesores hacer α max(α, MinValor(s)) devolver(α) Fin {MaxValor} {MinValor en el Minimax básico} Función MinValor(estado) Si terminal?(estado) entonces devolver(u(estado)) sucesores expandir (min, estado) β + Para cada s sucesores hacer β min(β,maxvalor(s)) devolver(β) Fin {MinValor}

15 Decisiones imperfectas Problema: crecimiento exponencial del árbol de juego incluso en juegos muy simples, es imposible desarrollar el árbol de juego completo hasta todos sus nodos terminales Solución: Heurísticas sustituir la prueba terminal por una prueba suspensión que detiene la búsqueda aún sin llegar a una posición terminal: límite de profundidad fijo posiciones en reposo aplicar una función de evaluación e, que estime la utilidad esperada del juego correspondiente a una posición s determinada suele ser función lineal ponderada : e(s) = w 1 f 1 (s) + w 2 f 2 (s) w n f n (s) Ajedrez: e(s) = suma de los valores materiales en s Tres en Raya: e(s) = nº de líneas abiertas para líneas max en s nº de líneas abiertas para líneas min en s

16 Ejemplo: minimax con suspensión estrategia óptima: mejor jugada de max: a 1 max 3 a 1 a 2 a 3 min a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 evaluación e

17 Algoritmo Minimax con suspensión Algoritmo: funciones mutuamente recursivas estado es el estado actual α : máximo de la evaluación de los sucesores de un nodo max β : mínimo de la evaluación de los sucesores de un nodo min {MaxValor: Minimax con suspensión} Función MaxValor(estado) Si suspensión?(estado) entonces devolver(e(estado)) sucesores expandir(max, estado) α Para cada s sucesores hacer α max(α, MinValor(s)) devolver(α) Fin {MaxValor} {MinValor: Minimax con suspensión} Función MinValor(estado) Si suspensión?(estado) entonces devolver(e(estado)) sucesores expandir (min, estado) β + Para cada s sucesores hacer β min(β,maxvalor(s)) devolver(β) Fin {MinValor}

18 Ejemplo: Tres en Raya Suspensión en ply 3 max min max

19 Juegos con recompensas variables Juegos sin recompensas variables: gana max: U(s) = + / gana min : U(s) = / empate: U(s) = 0 Juegos de recompensas variables: por ejemplo ganar puntos/dinero/ La utilidad de un nodo hoja depende de la recompensa la propia recompensa puede define la utilidad La función de evaluación tiene que evaluar la recompensa esperada Ejemplo: cantidad de dinero que se gana, A veces la estrategia minimax es dudosa: 99 a 1 a ? a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,

20 Ejercicio 3.1 Considérese el siguiente árbol de juego desarrollado hasta ply 3. Los nodos están etiquetados con los valores de la función de evaluación e. a) Evalúe el árbol del juego en base al algoritmo minimax. b) Cuál es la mejor jugada para el agente max?

21 Poda α-β Nótese: a veces es posible calcular la utilidad de un nodo sin tener que evaluar todos sus sucesores max 3 a 1 a 2 a 3 min a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,

22 Poda α-β Utilidad más alta encontrada en un nodo max hasta el momento: α max min... β α Condición de poda: β α La utilidad U min del nodo min será como mucho β La utilidad U max del nodo max será al menos α No es necesario explorar los sucesores restantes de min, ya que se cumple en todo caso: U min β α U max

23 Poda α-β Utilidad más baja encontrada en un nodo min hasta el momento: β min max... α β Condición de poda: α β La utilidad U max del nodo max será al menos α La utilidad U min del nodo min será como mucho β No es necesario explorar los sucesores restantes de max, ya que se cumple en todo caso: U min β α U max

24 Minimax con poda α-β Algoritmo: funciones mutuamente recursivas estado es el estado actual α es el mejor valor de evaluación para max en el camino hasta estado β es el mejor valor de evaluación para min en el camino hasta estado {MaxValor: Minimax con poda α β} Función MaxValor(estado,α,β) Si suspensión?(estado) entonces devolver(e(estado)) sucesores expandir(max, estado) Para cada s sucesores hacer α max(α, MinValor(s,α,β )) Si α β entonces devolver(α) devolver(α) Fin {MaxValor} {MinValor: Minimax con poda α β} Función MinValor(estado,α,β) Si suspensión?(estado) entonces devolver(e(estado)) sucesores expandir (min, estado) Para cada s sucesores hacer β min(β,maxvalor(s,α,β )) Si β α entonces devolver(β) devolver(β) Fin {MinValor}

25 Ejercicio 3.2 Considerese el árbol de juego del ejercicio anterior. Evalúe el árbol utilizando el algoritmo minimax con poda α-β. Cuando aplica una poda, indique la condición de poda correspondiente

26 Resumen minimax Análisis: la eficiencia de minimax con poda α-β depende del orden en el que se exploran los nodos en promedio, la poda α-β permite expandir 50% menos nodos que minimax Problemas: efecto horizonte: la búsqueda se suspende justo cuando el jugador está por hacer una gran jugada suposición de racionalidad perfecta: suponga que max está a punto de perder si min juega de forma óptima sin embargo, hay una jugada que hace ganar a max, si min hace un solo error Extensiones: heurísticas fuertes basados en meta-razonamiento algoritmos de búsqueda guiados por la utilidad esperada de expandir un nodo

27 Tema 3: Juegos bipersonales Resumen: 3. Juegos bipersonales 3.1. Juegos bipersonales básicos (con información perfecta) 3.2. Juegos bipersonales con elementos de azar 3.3 Juegos bipersonales con información incompleta

28 Juegos bipersonales con elemento de azar Muchos jugos tienen elementos de azar: p.e.: cualquier juego con dados Cómo tratar estos elementos? Algoritmo: EXPEXTMINIMAX Idea: Utilizar el algoritmo minimax Añadir un nuevo jugador: azar que se incluye en el árbol siempre que haya un evento independiente de los jugadores y cuyo resultado es aleatorio Los sucesores de un nodo azar son las posibles situaciones que podrían ser el resultado de este elemento de azar p.e.: todos los posibles resultados de tirar un dado Cada uno de los sucesores de un nodo azar tiene asociado la probabilidad de que este resultado ocurra p.e.: en el caso del dado: P(1)=1/6,, P(6)=1/6

29 Ejemplo: Backgammon simplificado Estado inicial: Objetivo: mover las fichas al lado opuesto (max=, al campo 5 y min= al campo 0) Reglas: max empieza y los jugadores se van alternando sus jugadas Cada jugada consiste primero en tirar una moneda; la cara tiene el valor 1 y la cruz el valor 2. Después se mueve una de las fichas 1 o 2 campos en la dirección deseada (dependiendo del resultado de la tirada de la moneda) No es posible mover una ficha a un campo que tiene una ficha del oponente Si un jugador no puede mover sus fichas pierde su turno (si puede, tiene que mover una ficha) Gana el jugador que primero ha movido ambas fichas al campo deseado El elemento de azar ocurre antes de elegir la jugada

30 Ejemplo: Backgammon simplificado Representación eficiente de estados: (x1,x2,y1,y2) x1 y x2 posiciones de las fichas blancas e y1,y2 posiciones de las fichas negras Árbol del juego: (0,0,5,5) azar 1;1/2 2;1/2 max (1,0,5,5) (0,1,5,5) (2,0,5,5) (0,2,5,5) azar 1;1/2 2;1/2 min (1,0,4,5) (1,0,5,4) azar 1;1/2 2;1/2 max (2,0,4,5) (1,1,4,5) azar

31 Expectminimax Objetivo: elegir la mejor jugada para max Cómo propagar los valores de utilidad/evaluación de los nodos hoja a los nodos superiores? Solución: ExpectMinimax(n) = e(n) ; si n es nodo terminal o de suspensión max (ExpectMinimax(s)) ; si n es nodo max s expandir(max,n) min (ExpectMinimax(s)) ; si n es nodo min si n es nodo min s expandir(min,n) (P(s) ExpectMinimax(s)) ; si n es nodo azar s expandir(min,n) Implementación: ejercicio

32 Ejemplo: Backgammon simplificado Situación actual: (toca a max) cara (3,4,1,2); max tiene que mover una ficha (blanca) una posición Suponemos el algoritmo expectminimax con un nivel de suspensión de 5 Como función de evaluación se usa la siguiente: e((a,b,c,d))=a+b+c+d valores altos de a y b son buenos para max porque indican que sus fichas están cerca de la meta (5) valores altos de c y d son buenos para max porque indican que las fichas de min estan lejos de su meta (0) para el estado actual: e((3,4,1,2))=10

33 max (3,5,1,2) (4,4,1,2) azar min 1;1/2 2;1/2 1;1/2 2;1/2 azar (3,5,1,0) (3,5,0,2) (4,4,0,2) (4,4,1,0) (4,4,1,1) (3,5,1,1) (4,5,0,2) (5,5,0,2) (4,5,1,0) (5,5,1,0) (4,5,1,1) (4,4,1,1) (4,5,0,2) (4,4,0,2) (5,4,1,0) (4,4,1,0) (5,4,1,1) (5,4,0,2) (4,5,1,0) (4,5,1,1) (5,5,1,1) e(nodo) max 1;1/2 2;1/2 1;1/2 2;1/2 1;1/2 2;1/2 1;1/2 2;1/2 1;1/2 2;1/2 2;1/2 1;1/ ,5 10,5 9,5 11,5 11,5 10,5 10,5 9,5 11,5 10,

34 Funciones de evaluación/utilidad Criterios de los funciones de evaluación/utilidad: no pueden devolver + o (los nodos azar tendrían siempre valores + o ) la escala de los valores si importa (no como en el algoritmo minimax): max 2,1 4,9 azar min 0,9 2 2,1 0,1 3 0,9 1 1,3 0,1 4 0,9 2 4,8 0,1 30 0,9 1 4,9 0,

35 Funciones de evaluación/utilidad Caso ideal: La función de evaluación debe ser una transformación lineal positiva de la probabilidad de ganar (o de la recompensa esperada) e(nodo) P(ganar nodo) Muchas veces es difícil establecer una función e que cumple este criterio (véase el ejemplo) Juegos con recompensas: la propia recompensa suele proporcionar una buena función de evaluación Ejemplo: backgammon simplificado donde, además, el perdedor paga al ganador 1 euro por cada unidad de distancia de sus fichas respecto a la meta

36 Estrategia ExpectMinimax/ Estartegias alternativas Estrategia del algoritmo ExpectMinimax: max siempre hace lo mejor para él (máximo) max azar min siempre hace lo mejor para si mismo (mínimo) 1,8 1,4 0,1 nodos de azar se pondera la utilidad por la probabilidad 0,7 0,3 0,4 0,6 0,9 0, Estrategia optimista elige el máximo en los nodos de azar Estrategia pesimista elige el mínimo en los nodos de azar ,7 0,3 0,4 0,6 0,9 0,1 0,7 0,3 0,4 0,6 0,9 0,

37 El dinero como función de utilidad El dinero puede proporcionar una función de utilidad Pero considera el siguiente ejemplo: Un ganador de un concurso puede aceptar el premio de euros o jugarse el premio a cara y cruz. Si acierta gana el euros y si no acierta pierde todo E 0,5 0, E 0 E E Mejor U(s) (0..10): U(0E)=0; U( E)=8; U( E)= E U=8 0,5 0,5 U=4,5 0 E U= E U=9

38 Complejidad ExpectMinimax Proporcional al número de nodos en el árbol d- nivel de suspensión, b- factor de ramificación Si no tuviéramos nodos de azar, sería la misma complejidad que en el minimax: O(b d ) Si en cada jugada existe un elemento de azar con n posibilidades, la complejidad se convierte en O(b d *n d ) Ejemplo Backgammon: n=21 (2 dados) y b 20 Nr. jugadas anticipadas incluyendo un nivel azar (d) Nr. nodos (ap.) 1 20*21=

39 max Ejercicio 3.3 Considere el siguiente árbol de juego. Evalúe el árbol utilizando el algoritmo expectminimax. Las probabilidades de los diferentes nodos son 0,5 para cada acción en los nodos de azar del nivel 3 y los que se indican en el árbol para los nodos de nivel 1. azar min 0,2 0,1 0,7 0,1 0,9 0,3 0,7 azar

40 Varios jugadores y alternancia no simétrica Para más (o menos) jugadores y alternancias no estrictamente simétricas Ejemplo: Parchis: Si un jugador tiene un seis le toco otra vez La oca : de oca en oca y tiro porque me toca Minimax y Expectminimax son igualmente aplicables: simplemente se añaden los nodos correspondientes en la posición correspondiente en el árbol min max azar 0,2 0,1 0,7

41 Ejercicio 3.4 El algoritmo ExpectMinimax también es aplicable en determinados casos en los que sólo actúa un agente y en los que existen elementos de azar. Considere el siguiente juego. Un agente A quiere apostar dinero en una casa de apuestas. Las reglas de las apuestas son siempre las mismas: hay una probabilidad de ganar del 0,4 y de perder del 0,6. El agente puede elegir entre las siguientes acciones: irse a casa con el dinero que le queda, o apostar cualquier cantidad (entera) de su dinero. Utilice el algoritmo ExpectMinimax para decidir que le conviene hacer al agente si tiene un euro. Para ello realiza el árbol hasta incluyendo dos rondas de apuestas. Qué función de evaluación se puede usar?

42 Tema 3: Juegos bipersonales Resumen: 3. Juegos bipersonales 3.1. Juegos bipersonales básicos (con información perfecta) 3.2. Juegos bipersonales con elementos de azar 3.3 Juegos bipersonales con información incompleta

43 Juegos bipersonales con información incompleta En muchos juegos los jugadores no conocen el estado del juego completamente El agente solo tienen información parcial sobre el estado actual El agente sólo sabe que el juego se encuentra en alguno de los estados que concuerdan con la información de la que disponen El estado actual real es uno de una serie de estados posibles Ejemplo: juegos con cartas (que se reparten al principio), bridge, versiones simples de póker, (Primera) Idea: Considerar cada posible valor de los parámetros desconocidos y su probabilidad de ocurrencia / crear un árbol para cada posible estado Aplicar el algoritmo ExpectMinimax Elegir la acción que es mejor en todos los posibles casos

44 ExpectMinimax con información incompleta Situación actual del agente: En un momento dado (estado indeterminado s 0 ) existen n combinaciones distintas de valores para los parámetros desconocidos (estados posibles s 1,,s n ) La probabilidad de que el estado actual sea s i es p(s i ) con p(s 1 )+ +p(s n )=1 El agente puede elegir entre m posibles acciones: a 1,,a m Combinar todos los posibles árboles (para todos los posibles estados s 1,,s n ) s 1 s 0 p(s 1 ) p(s n ) a 1 a m a 1 a m U(a 1 s 1 ) U(a U(a 1 s n ) m s 1 ) Obtener las utilidades para cada acción y cada posible estado s i n Calcular la utilidad de cada acción: U ( a ) = p( s ) U ( a s ) Realizar la acción a i que maximize U(a i ) i k = 1 k s n i k U(a m s n )

45 Ejemplo 1: Apuestas 1 Dos jugadores (min y max) y una baraja de cartas con 2 ases (A), 2 reyes (K) y 2 reinas (Q). Reglas: Cada jugador pone un euro en el bote. Después obtiene una carta. A continuación max puede pasar (min gana el bote), o puede apostar 2 o 4 euros. Min puede pasar (max gana el bote) o igualar (poner igualmente dos euros). Si min igual la apuesta de max, ambos enseñan sus cartas. Gana el bote aquel jugador cuyas cartas tiene mayor valor (A>K>Q) Si ambas cartas tienen el mismo valor entonces se reparte el bote (nadie gana ni pierde). Problema para max: max ha tenido una carta K y no conoce la carta de min Qué acción conviene a max?

46 Aplicar ExpectMinimax: Apuestas 1 <K,?> <K,Q> 2/5 1/5 <K,K> 2/5 <K,A> -1 p 4 2 p p 4 2 p i p i p i p i p i p i Calcular la utilidad de cada acción: U( p) = 2 / / / 5 1= 1 U( 2) = U( 4) = 2 / 2 / / / / / 5 3 = 0, = 14, Acción óptima: apostar 2 euros

47 Aplicar ExpectMinimax: Apuestas 1 Porqué la utilidad de apostar 2 euros es -0,8? max tiene mayores posibilidades de perder dinero que de ganar dinero Analizamos: si max tiene un K y apuesta 2 euros: Si min tiene K (probabilidad 1/5) max no pierde nada Si min tiene A (probabilidad 2/5) max pierde 3 euros solo en el peor de los casos, es decir, si min iguala la apuesta es lo que debería hacer min si tiene A Si min tiene Q (probabilidad 2/5) max gana 1 euro solo en el peor de los casos, es decir, si min pasa eso es lo más razonable para min si tiene Q el algoritmo siempre considera el peor caso para max se supone que min siempre actúa lo mejor posible La solución es razonable: En muchos casos este algoritmo funciona aceptablemente bien

48 Ejemplo 2: Adivina la carta Consideramos el siguiente juego hipotético: min coge una carta de una baraja (A o K con la misma probabilidad) y max tiene que adivinarla max puede pasar o intentarlo. si pasa min le paga 1 euro Luego min decide si pasa (tiene que pagar 10 euros a max) o permite a max que lo intente. Finalmente, max intenta adivinar la carta. Si acierta gana 5 euros de min y si no acierta pierde 5 euros a min.

49 Ejemplo 2: Adivinar la carta <K> 1/2 <?> 1/2 <A> p i p i p i p K A +5-5 Qual es la mejor jugada para max: pasar o intentarlo? +5 i +5 K A U ( p) = 1/ / 2 1 = 1 U ( i) = 1/ / 2 5 = 5 Según el algoritmo, max debe intentar de adivinar la carta aunque tenga un 50% de posibilidad de perder 5 euros. Mientras si pasa gana 1 euro seguro.

50 Porqué no funciona bien el algoritmo? El algoritmo es: demasiado optimista para max Se supone que max siempre hace lo mejor para él Si la carta que tiene min es K max dirá K Si la carta que tiene min es A max dirá A PERO: en realidad max no sabe la carta que tiene min Para hacer lo mejor para si mismo, max necesita toda la información sólo tiene información parcial Solución: ExpectMinimax con estados de creencias

51 Primero formalizar mejor el proceso de decisión en juegos bipersonales Antes de nada: Formalizar el modelo de transición de estados del problema (el espacio de estados). Esta formalización es la misma para minimax y expectminimax y minimax con estados de creencia! Tenemos (conocimientos a priori del agente): estados, conjunto S={s 0,s 1, } acciones, conjunto de acciones AC={a 1, a 2, } Conocimientos a priori y suposiciones: En cada estado hay un conjunto de acciones aplicables Sea A: S AC {0,1} una función que estima si se puede aplicar a en s 1, si a es aplicable al estado s A(s,a) = 0, en otro caso

52 Primero formalizar mejor el proceso de decisión en juegos bipersonales Más conocimientos a priori: Cada realización de una acción en un estado lleva con una determinada probabilidad a otro estado y genera una observación el agente percibe las observaciones después de que se haya realizado la acción s 3 a,1/4,o 1 s 1 a,3/4,o 2 s 2 aplicar a en s 3 lleva con probabilidad ¼ a s 1 (generando o 1 ) y con probabilidad ¾ a s 2 (generando o 2 ) Conjunto posible de observaciones en el dominio: OB={o 1, o 2, } Se supone una observación por defecto o d OB que se percibe si no se observa nada (p.e.: mi oponente coge una carta y no me la enseña)

53 Primero formalizar mejor el proceso de decisión en juegos bipersonales Más conocimientos a priori: Formalizar las transiciones: s 3 a,1/4,o 1 a,3/4,o 2 s 1 s 2 T:S AC S [0,1] es un modelo de transición T(s,a,s ) denota la probabilidad de que la acción a aplicado a s lleva al estado s (p. E.:T(s 3,a,s 1 )=1/4) T cumple que: T(s,a,s' s' S ) = 1, si A(a,s) = 1 0, en otro caso

54 Primero formalizar mejor el proceso de decisión en juegos bipersonales Más conocimientos a priori: Formalizar las observaciones: s 3 a,1/4,o 1 a,3/4,o 2 s 1 s 2 O: S AC S OB {0,1} es un modelo de observaciones 1, si la transición del estado s al estado s' O( s, a, s', o) = con la acción a genera la observación o 0, en otro caso O determina si una observación se genera como resultado de aplicar a a s y teniendo como estado resultado s (p. E.:O(s 3,a,s 1,o 1 )=1) Se supone: Cada tupla S AC S tiene una y sólo una observación asociada Esta observación puede ser la observación por defecto o d

55 Primero formalizar mejor el proceso de decisión en juegos bipersonales Más conocimientos a priori: Los modelos de observaciones y transiciones definen 3 tipos de acciones posibles: Acciones deterministas Acciones con elementos de azar no observables Acciones con elementos de azar observables s 3 a,1,o 1 s 1 s 3 a,1/4,o 1 s 1 s 3 a,1/4,o 1 s 1 a,3/4,o 1 s 2 a,3/4,o 2 s 2 - el resultado de a en s es determinista - solo hay una posible observación - resultado observable - p.e.: jugar un as - el resultado de a en s es probabilística - la observación recibida es siempre la misma - resultado no observable - p.e.: coger una carta min - el resultado de a en s es probabilística - la observación recibida es distinta en cada caso - resultado observable - p.e.: coger una carta max

56 Primero formalizar mejor el proceso de decisión en juegos bipersonales Ejemplo: Supón un juego hipotético con cartas: 4 ases (A) y 4 reyes (K) Cada jugador tiene unas cartas de la baraja (y no ve las cartas del otro jugador) Los jugadores se alternan Hay dos turnos de coger cartas En cada turno cada jugador puede coger una carta o pasar Al final gana el que tiene mayor proporción de ases respecto a reyes y, si ámbos tiene la misma proporción, el que tiene más ases Como se definirían los elementos del modelo de transición?: Estados, Acciones, Observaciones A(s i,a)=? T(s i,a,s j )=? O(s i,a,s j,o k )=?

57 Primero formalizar mejor el proceso de decisión en juegos bipersonales Ejemplo: Estados: <x,y>; x - las cartas de max; y las cartas de min S={<x,y> con x,y {{},{A},{K},{A,A},{A,K}, } } Acciones: AC={ coger carta max, coger carta min, pasar max, pasar min } Observaciones: OB={ K, A, nada ) A(s i,a): definido por las reglas del juego Están definidos por las reglas del juego, A(<x,y>, pasar max,<x,y>)=1, si le toca a max A(<x,y>, pasar min,<x,y>)=1, si le toca a min A(<x,y>, coger carta min,<x,y>)=1, si le toca a min A(<x,y>, coger carta max,<x,y>)=1, si le toca a max Se supone que se controla el progreso (a quien toca en cada momento y que acciones puede realizar) del juego por algún mecanismo a parte.

58 Primero formalizar mejor el proceso de decisión en juegos bipersonales Ejemplo: T(s,a,s ): definido por las reglas del juego Sea s=<x,y> y x e y el número de cartas de max y min; y x A, y A, x K e y K el número de ases y de reyes de max y min T(<x,y>, pasar max,<x,y>)=1 T(<x,y>, pasar min,<x,y>)=1 T(<x,y>, coger carta max,<x {A},y>) =(4- x A y A )/(8- x - y ) T(<x,y>, coger carta max,<x {K},y>) =(4- x K y K )/(8- x - y ) T(<x,y>, coger carta min,<x,y {A}>) =(4- x A y A )/(8- x - y ) T(<x,y>, coger carta min,<x,y {K}>) =(4- x K y K )/(8- x - y ) Para todas las demás pares de (s,a,s ): T(s,a,s )=0

59 Primero formalizar mejor el proceso de decisión en juegos bipersonales Ejemplo: O(s i,a,s j,o k ): definido por las reglas del juego O(<x,y>, pasar max,<x,y>,nada)=1 O(<x,y>, pasar min,<x,y>,nada)=1 O(<x,y>, coger carta max,<x {A},y>,A) =1 O(<x,y>, coger carta max,<x {K},y>,K) =1 O(<x,y>, coger carta min,<x,y {A}>,nada) =1 O(<x,y>, coger carta min,<x,y {K}>,nada) =1 Para todas las demás pares de (s,a,s,o): O(s,a,s,o)=0

60 Primero formalizar mejor el proceso de decisión en juegos bipersonales El modelo de transición define el grafo del problema (espacio de estados): La misma acción puede llevar a diferentes estados (con alguna probabilidad) <{A},{K,A}> coger carta max, p=2/5, A <{A,A},{K,A}> coger carta min, p=2/5,nada <{A,A},{K,K}> coger carta min, p=3/5,nada pasar max, p=1, nada coger carta max, p=3/5, K <{A,A},{K}> pasar min, p=1, nada coger carta max, p=2/5, A <{A,A,K},{K}> <{A,A,A},{K}>

61 ExpectMinimax con estados de creencias Los jugadores no conocen exactamente el estado actual del juego sólo tienen información parcial del estado del juego sólo saben que el juego se encuentra en alguno de los estados que concuerdan con la información de la que disponen Estados de creencia: anotado por b distribución de probabilidad sobre todos los posibles estados del juego Sea S={s 1,,s n } el conjunto de estados del problema/juego. b=((s 1,p 1 ),,(s n,p n )) p i = probabilidad/creencia de que el estado actual es s i p 1 + +p n =1 Representación comprimida de un estado de creencia: omitir todos los estados con probabilidad 0 Definimos b(s)= la probabilidad del estado s en el estado de creencia b Si b=((s 1,p 1 ),,(s n,p n )), entonces b(s 1 )=p 1 Idea: Adaptar EpectMinimax a los estados de creencia

62 Ejemplos: Apuestas 1: Estado de creencias Estados: <x,y>, x,y {K,Q,A} x- carta de max, y- carta de min Situación actual: ambos jugadores tienen una carta, max tiene K y no sabe la carta de min Estado de creencia (comprimido) de max: ((<K,Q>, 2/5),(<K,K>, 1/5), (<K,A>, 2/5)) Adivinar la carta: Estados: <x>, x {K,A} x- carta que tiene min Situación actual: min tiene una carta y max no sabe cual es Estado de creencia (comprimido) de max: ((<K>, 1/2),(<A>, 1/2)) OJO: Por simplicidad omitimos otra información que está contenida en el estado/estado de creencia acerca de la situación actual del juego p.e.: en qué momento del juego se está, quién tiene el turno,

63 ExpectMinimax con estados de creencias Problemas a resolver: 1. Cómo cambia el estado de creencia al realizar una acción? crear el árbol del juego 2. Cómo se evalúa la utilidad de un estado de creencia? evaluar los nodos hoja 3. Cómo propagar la utilidad a los nodos superiores del árbol? propagar las utilidades para tomar una decisión