MAT. APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II - P.A.E.U. ÁLGEBRA LINEAL

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1 MAT. APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II - P.A.E.U. ÁLGEBRA LINEAL. - Maximizar y minimizar la función T(x,y)= -x+y, sujeta a las restricciones: y x 4, y+x 4, x, y. Sol.: Mín 3 3, ; Máx. no tiene.- Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámparas L y L. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de minutos para el modelo L y 3 minutos para el modelo L ; y un trabajo de máquina de minutos para L y minutos para L. Se dispone para el trabajo manual de horas al mes y para la máquina de 8 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 5 y ptas para L y L respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. (S-9/COU) Sol.: lámparas tipo L y 6 lámparas tipo L 3.- Una empresa de confección tiene 6 m de tergal y 4 m de lana para hacer trajes y abrigos. Por término medio usa m de tergal y 3 m de lana por cada traje, y m de tergal y m de lana por cada abrigo. Averígüese cuántos trajes y abrigos deben hacerse para obtener una ganancia máxima, si cada traje vale 5. ptas y cada abrigo 35. ptas. (UBU - J95/COU) Sol.: 4 trajes y 6 abrigos 4.- Una empresa de autobuses se comprometió a destinar al menos autocares para llevar a 4 estudiantes de excursión. La empresa sólo dispone de autocares de y 4 plazas y de conductores. Cualquier chófer puede conducir los autocares pequeños, pero sólo pueden conducir los grandes. El precio por Km de los autocares pequeños es de 48 PTAS y el de los grandes 7 PTAS. cuántos autocares debe utilizar la empresa para cumplir el compromiso con gastos mínimos? (UBU - S96/COU) Sol.: 4 autobuses de plazas y 8 de Una hamburguesería, usa para fabricar hamburguesas, carne de vaca y carne de cerdo. La carne de vaca contiene un 8% de carne pura y un % de grasa y le cuesta a la tienda 8 pesetas kilo. La carne de cerdo contiene un 68% de carne pura y un 3% de grasa y tiene un coste de 6 pesetas kilo. Las hamburguesas se fabrican mezclando carne de vaca y carne de cerdo. Qué cantidad de carne de cada tipo debe emplear la tienda en cada kilo de hamburguesas si se desea que el coste sea mínimo y la legislación sólo permita un contenido de grasa no mayor que el 5%? (S9/COU) Sol.: x=7/ y=5/ 6.- Una fábrica de vehículos dispone de un taller de mecánica (A) y otro de pintura (B). En el taller A, cada obrero necesita trabajar 7 días en un camión y días en un coche; en el taller B, cada obrero invierte 3 días en un camión y 3 días en un coche. Por limitaciones de hombres y maquinaria, los talleres A y B disponen de cada operario sólo durante 5 días al año. La empresa gana 6 millones por camión y millones por coche. Cuántos camiones y coches debe producir anualmente para maximizar la ganancia? (UBU - S95/COU) Sol.: camiones y 4 coches x y 7.- Resolver la ecuación matricial: = z u 3 (UBU - S95/COU) Sol.: a) Calcular los valores de a para los cuales la matriz M no tiene inversa, M = b) Para a= calcula la inversa de M. (UBU - S96/COU) Sol.: a) a=- y a=-3 b) M - = 4 a 3 a I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág.

2 9.- A una persona le tocan millones de pesetas en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del %. Las de tipo B son más seguras pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos millones en la compra de acciones B. Además decide que lo invertido en A sea por lo menos igual a lo invertido en B. Cómo deberá invertir los millones para que el beneficio anual sea máximo? (UBU- J96/COU) Sol.: 6 millones en A y 4 millones en B.- Halla la posición relativa de las rectas: r x 3y = s 3x y = m en función de los valores del parámetro m. 3 m m (UBU - J96/COU) Sol.: secantes m R, punto de corte (, ) Si B = x x estudia si existe algún valor de x tal que B = B. (UBU - J96/COU) Sol.: x=.- Estudia si los sistemas x + y x + x + z = y = z = 4x + y + z = 3x + y + z = tienen o no las mismas soluciones. (Univ. CyL - S97/COU) Sol.: Son equivalentes con solución (-t, t, t) t R 3.- Un botánico recomienda que una determinada planta, para su máximo rendimiento, debe ser abonada diariamente y durante un mes con al menos 4 unidades de nitrógeno, 3 unidades de potasio y 6 de fósforo. En el mercado se encuentran dos tipos de productos cuya composición viene dada por la siguiente tabla: Nitrógeno Potasio Fósforo A 4 6 B 6 el producto A cuesta ptas. y el B cuesta 6 ptas. Cómo deben combinarse ambos productos para que el coste del abono sea mínimo? Cuánto cuesta el tratamiento? (Univ. CyL - S97/COU) Sol.: ½ de A y de B. Total: 37 ptas. 4.- Sea A=I-B, donde I es la matriz identidad y B= -/4 3/. Determina el valor de α tal que A = αa y deduce la expresión de A n. (Univ. CyL - S97/COU) Sol.: α=/ A n = A n 5.- Un almacenista de caramelos tiene en su almacén 5 kg. de caramelos de limón y 8 kg. de caramelos de menta. Decide venderlos haciendo dos mezclas: una está formada por la mitad de caramelos de cada clase y la vende a ptas/kg y la otra contiene la tercera parte de caramelos de limón y el resto de menta, vendiéndose a 35 ptas/kg. Utilizando las técnicas de Programación Lineal, cuántos kg de cada mezcla deberá preparar para maximizar sus ingresos? (Univ.CyL- J97/COU) Sol.: 4 tipo A y 9 tipo B 6.- Encuentra dos matrices A y B que verifiquen el siguiente sistema matricial: 7 3A + B = 8-6 A -5B = (Univ. CyL - J97/COU) Sol.: A= 5 y B= 4 I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág.

3 7.- A una persona que quiere adelgazar le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de los dos con las siguientes recomendaciones: a) No debe tomar más de 5 gr de la mezcla ni menos de 5 gr b) La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. c) No debe incluir más de gr de A. Si gr de A contienen 45 calorías y gr de B contienen 5 calorías, calcula, utilizando las técnicas de Programación Lineal, el número de gramos de cada producto que debe mezclar para obtener el preparado más pobre en calorías. (Univ. CyL - S98/COU) Sol.: 5 g. de A y 5 g. de B 8.- Halla los valores de t para que el sistema dado tenga solución única: x + y = t y + z = x + ( + t )y + tz = t + (Univ. CyL - S98/COU) Sol.: t y t 9.- El veterinario ha recomendado que durante un mes mi perro tome diariamente como mínimo 4 unidades de hidratos de carbono, 3 de proteínas y 6 de grasas. En el mercado encuentro dos productos M y M ajustados a la distribución dada en la siguiente tabla para cada envase de cada producto. Marca Hidratos de Carbono Proteínas Grasas Precio M 4 6 M 6 6 Qué número de envases debo comprar de cada producto para obtener la dieta deseada por el mínimo precio? (Univ. CyL - J98/COU) Sol.: ½ de M y de M. ( de M y de M, para la solución entera).- Calcula, si es posible, los valores de a, b, c y d par que verifique la siguiente ecuación: a b = (Univ. CyL - J98/COU) Sol.: No se puede c d Para la fabricación de dos tipos de piezas, A y B, se requiere de la participación de tres tipos de máquinas, X, Y y Z. Los tiempos que cada máquina emplea, el beneficio que se obtiene y las horas totales disponibles se encuentran recogidos en la siguiente tabla: tipo de pieza/máquina X(minutos) Y(minutos) Z(minutos) Beneficio en miles de ptas A B 9 6 horas totales Cuántas piezas deben fabricarse de cada tipo para obtener el beneficio máximo? (Univ. CyL-J99/COU) Sol.: 66 tipo A y 334 tipo B.- Se necesita una dieta que proporciona a un animal 3 calorías y 8 unidades de proteínas por día. En el mercado hay dos alimentos básicos que pueden usarse para preparar la dieta. El alimento A cuesta ptas./kg, contiene 6 calorías y unidades de proteínas. El alimento B cuesta ptas./kg, contiene 5 calorías y 8 unidades de proteínas. Determina la combinación de alimentos 4 más barata que satisfaga las necesidades de la dieta. (UBU - 95) Sol.:, 74 ptas Dadas las matrices cuadradas A y B a) Tienen la misma solución las ecuaciones A X = B y X A = B? Razona la respuesta. b) Puede ocurrir que una tenga solución y la otra no? c) Resuelve ambas ecuaciones para 3 5 A = y B =. (UBU - S95) - 4 Sol.: a) No b) Sí c) X= , X= I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág. 3

4 4.- Tres supermercados X, Y y Z se disputan los clientes de una ciudad. Inicialmente cada uno tiene una cuota de mercado igual a la tercera parte de los consumidores. Como consecuencia de una campaña publicitaria un mes después se constata que: ) X conserva el 8% de sus clientes, gana el % de los de Y y el % de los de Z. ) Y conserva el 7% de sus clientes, gana el 4% de los de X y el 8% de los de Z. 3) Z conserva el 9% de sus clientes, gana el 6% de los de X y el % de los de Y. A partir de estos datos: a) Escribe matricialmente los cambios producidos en los porcentajes. Qué propiedad tiene la matriz? b) Usa la matriz anterior para calcular la cuota de mercado que tiene cada supermercado después de la campaña. (UBU - S95) Sol.: a) '8 ' ' ' 4 '7 '8 '6 ' '9, las filas suman b) X 3 6 Y 3 6 Z a) Es posible que un problema de programación lineal tenga varias soluciones? Ayúdate de un diagrama gráfico par justificar tu respuesta. b) Busca el máximo de la función x+y sujeta a las restricciones: x, y, x+3y 9, x+7y 44. Explica el método seguido. (UBU - J95) Sol.: a) Sí b) (3,) 6.- Un propietario de un garaje desea comprar cierto número de coches nuevos para almacenarlos. Tiene dos modelos posibles para escoger: A y B; el modelo A cuesta 3 millones de ptas y el B 5 millones. Sólo dispone de espacio para almacenar coches y un capital de 7 millones para gastar. Espera ganar un millón en cada coche del tipo A y.4. en cada uno de tipo B. Calcula cuántos coches de cada tipo tendrá que comprar para tener el mayor beneficio posible. Razona el procedimiento seguido y la construcción de las expresiones matemáticas utilizadas. (UBU - J95) Sol.: 5 tipo A y 5 tipo B / millones 7.- Un granjero tiene dos almacenes de patatas, A y A, que contienen toneladas y toneladas de patatas respectivamente. Recibe encargos de tres clientes C, C y C 3 de 8, y 4 toneladas. Las distancias entre los almacenes y los clientes (en kilómetros) se dan en la tabla adjunta: C C C 3 A 3 5 A 6 4 Suponiendo que el coste del transporte es una cantidad fija por kilómetro y tonelada, cómo tendrán que distribuirse las patatas para minimizar el coste de transporte? Razona el planteamiento del problema y la técnica usada para su resolución. (UBU - S95) Sol.: x=8 y 8.- Dada la matriz A =, halla todas las matrices M que conmuten con ella. (UBU - J95) 3 4 λ + µ Sol.: λ λ 3 µ λ, µ R 9.- En un gran grupo social hay tantos fumadores como no fumadores. Las autoridades sanitarias realizan una campaña en contra del consumo de tabaco cada seis meses y se constata que el 5% de los fumadores sigue con su hábito, al tiempo que un 5% de los no fumadores se inicia en el consumo de tabaco. a) Describe mediante una matriz los cambios producidos en los porcentajes. Justifica su estructura. b) Demuestra la efectividad de dos campañas consecutivas calculando cuántos fumadores y no '5 '75 fumadores hay después de ellas. Razona la respuesta. (UBU - J95) Sol.: a) '5 '5 b) 3/3 y 9/3 I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág. 4

5 3.- a) Explica gráficamente cómo ha de ser el conjunto de las soluciones factibles y la función objetivo para que un problema de programación lineal tenga solución única. b) Maximizar la función f(x,y) = 3x + y sabiendo que: esquema gráfico. (UBU - S96) x y x 4 5 x + y. Razona tu respuesta usando un Sol.: No esté acotada 3.- Un fabricante de muebles hace dos tipos de sillas, tipo A y tipo B. Cada silla A requiere 8 horas de trabajo-hombre ( hombre trabajando 8 horas, dos hombres trabajando 4 horas, etc.) La silla B necesita 5 horas-hombre. Los materiales para el tipo A cuestan 4 ptas y los del tipo B, 5 ptas. El beneficio que se obtiene haciendo la silla A es 75 pesetas y el beneficio de la silla B es 5 ptas. El fabricante ha de tener en cuenta las siguientes restricciones: ) Como mínimo ha de fabricar 5 sillas de tipo A y de tipo B a la semana. ) Sólo se pueden trabajar 3 horas-hombre por semana. 3) El coste total del material por semana, para todas las sillas producidas, no deberá sobrepasar las. ptas. Plantea formalmente las restricciones. Halla el número de sillas de cada tipo que debe fabricar por semana para que el beneficio sea máximo, explica el procedimiento seguido. (UBU- S96) Sol.: 3 tipo A y 6 del tipo B 3.- Dada la ecuación matricial X A = C, siendo A de dimensión 3 por 3 y C de dimensión por 3. a) Cuál es la dimensión de X? Razona la respuesta. b) Calcula X siendo: 5 4 A = C = (UBU - S96) Sol.: a) x3 b) X= Para detectar simultáneamente la cantidad de tres contaminantes A, B y C, en el agua se utiliza un sistema de medida con tres sensores. Se sabe que una muestra que sólo tiene ppm de A da una respuesta de (3,,), con sólo ppm de B da una respuesta de (,4,) y con sólo ppm de C da una respuesta de (,,). a) Representa matricialmente la respuesta que ha de tener el sistema de medida para una muestra que tiene x ppm de A, y ppm de B y z ppm de C. Sol.: (3x x+4y+z y+z) b) Si en una muestra problema el sistema dio (6,,4) Qué concentraciones había de cada compuesto? (UBU- S96) Sol.: ppm de A, ppm de B, 3/ ppm de C 34.- a) En un problema de programación lineal, es posible determinar el máximo y el mínimo de la misma función con las mismas restricciones? Ayúdate de una representación gráfica para justificar tu respuesta. Sol.: No. Si la región factible está acotada sí. b) Busca el mínimo de la función f(x,y)=3x+y, sujeta a las restricciones: x ; y ; x + y ; x + 3y 3. Explica el método seguido. (UBU - J96) Sol.: (5,) 35.- Para que un alimento "especial" tenga buenas propiedades de manipulación y aceptabilidad es necesario utilizar dos aditivos A y B, cuyo precio es 4 ptas/gramo y 6 ptas/gramo respectivamente. Los demás componentes cuestan 9 ptas/gramo. El precio de venta es una función de composición y para cada kilo de alimento viene expresado por: 8 C A + C B + ( - (C A +C B )), siendo C A y C B la cantidad en gramos de cada aditivo. Por razones técnicas, la cantidad global de aditivo ha de ser inferior a gramos por kilo de alimento, además la proporción de A respecto de B ha de ser mayor que '5 y menor que dos. Cuántos gramos de A y de B ha de llevar cada kilo de producto si se desea tener el máximo beneficio? (UBU - J96) Sol.: /3 del tipo A y 4/3 del tipo B I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág. 5

6 36.- Discute en función del parámetro b la existencia de soluciones para el sistema de ecuaciones: x + by z = x + y + bz = x y z = a. Cuando sea posible calcula su solución. (UBU - J96) b y b - a R Sol.: b = y a = 3 b = y a = 3 b = ó b = y a 3 S.C.D. S.C.I. S.C.I. S. I. b ( a ) + 3b + a 3 a ( a 3)( b),, ( b + )( b + ) b + ( b + )( b + ) ( - y, y, - 3y) y R ( + z,, z) z R 37.- En una empresa de contratación temporal la situación de un trabajador puede describirse de la siguiente manera: ) Si en el momento n está activo, S, pasará a inactivo, S, en el tiempo siguiente n+ ) Si en el momento n no está activo, S, la mitad de las veces pasará a estar activo, S, y la otra mitad permanecerá inactivo, S, en el momento n+. a) Representa matricialmente el cambio de situación al pasar de un momento al siguiente b) Describe la situación después de tres unidades temporales. c) Generaliza la respuesta a la cuestión anterior suponiendo que han transcurrido k unidades temporales. (UBU- J96) Sol.: a) 4 b) c) a =a = a n=a n-+a n- n 3 A= ak k ak k ak k ak + k k 38.- Suponiendo que las condiciones de ligadura (restricciones) de un problema de Programación Lineal son: x, y,x + y, x + y, señala todos los puntos de la región admisible en los que cierta función objetivo puede alcanzar el máximo. (Univ. CyL - S97) Sol.: (,), (,), (/3,/3), (,) 39.- Un pastelero tiene 5 Kg de harina, Kg de azúcar y 7'5 Kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y P'. Para hacer una docena de tipo P necesita 3 Kg de harina, Kg de azúcar y Kg de mantequilla y para hacer una docena de tipo P' necesita 6 Kg de harina, '5 Kg de azúcar y Kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es y por una docena de tipo P' es 3. Halla, utilizando las técnicas de Programación Lineal, el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo. (Univ. CyL-S97) Sol.: 5 docenas de P, 5 docenas de P 4.- Discutir el carácter del sistema: los casos en que sea compatible. (S97) x + y + z = x + a z = x + a y =, según los valores del parámetro a y resuélvelo en a y a 3 Sol.: a = ó a = 3 S.C.D. S.I. a a,, 3 - a 3a a 3a a 4.- Resuelve, aplicando el método de Gauss, el sistema: 348x 638y = x y = 496 (S97) Sol.: (/,-/) 4.- Una empresa produce dos tipos de televisores t y T. La empresa tiene un beneficio de 7. ptas procedente de cada televisor de tipo t y. por cada uno de tipo T. Hay 3 etapas en el proceso de producción: la primera requiere 3 horas para t y 5 para T, con un número de horas disponibles de 3.9, la segunda hora para t y 3 para T, con un número de horas disponibles de. y la tercera requiere horas para cada uno de los tipos t y T, con un número de horas disponibles de.. Con esos datos, calcula, utilizando las técnicas de Programación Lineal, cuántos televisores de cada tipo se han de fabricar para que el beneficio sea máximo. (J97) Sol.: 8 del tipo t y 3 del tipo T I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág. 6

7 43.- Sea A = y sea I la matriz identidad de orden 3x3. a) Existe algún valor real, m, tal que: (A - I) (A + mi) = I? Razona la respuesta. b) Calcula una matriz B tal que (A - I) B = I 4. (J97) Sol.: a) No b) B= 44.- Sea la matriz A =. Halla las matrices B que conmuten con A, es decir, A B=B A. (S98) a b Sol.: B= a a, b R 45.- Halla los valores de a para que el sistema: 46.- Sea la matriz A = x y + z = ax y + z = x + ay+ z =, sea compatible determinado.(s98) Sol.: a - y a a) Comprueba que A - =A T (A T es la matriz traspuesta de A) b) Utilizando el resultado del apartado a), calcula (A T A) 998. (J98) Sol.: b) I 47.- Un país importa. vehículos mensuales de las marcas X, Y, Z al precio de ', '5 y millones de pesetas respectivamente. Si el total de la importación asciende a 3. millones, y de la marca X se importa el 4% de la suma de las otras dos marcas. Cuántos vehículos de cada marca entran en ese país? (J98) Sol.: x=6., y=., z= Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 594 ptas. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el % del precio del rotulador. Calcular los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el % de descuento. (J99) Sol.: (3, 5, ) 49.- Calcula los valores de x para que la matriz x A = verifique la ecuación: A - 6A + 9I =, x donde I y son, respectivamente, las matrices identidad y nula de orden. (S99) Sol.: x=3 5.- Dada la matriz A=. Calcula, si existen, las siguientes matrices: 6 a) Una matriz X tal que XA=( -) b) Una matriz Y tal que AY= (J99) Sol.: a) X= ( 3 ) b) No se puede 5.- Un autobús de la Universidad transporta en hora punta 8 viajeros de tres tipos: ) Viajeros que pagan el billete entero, que vale 75 pts. ) Viajeros con bono de descuento del %. 3) Estudiantes con bono de descuento del 4%. La recaudación del autobús en ese viaje fue de 3975 pts. Calcular el número de viajeros de cada clase sabiendo que el número de estudiantes era el triple que el número del resto de viajeros. (J99) Sol.: 5, 5 y 6 I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág. 7

8 5.- Dadas las matrices A = B = C = y D = a) Calcular ABC b) Hallar una matriz E tal que DE = c) Calcular, si es posible CA. Si no lo es, justificar la respuesta. (J) Sol.: a) b) E= c) No se puede 53.- Un empresario puede utilizar dos locales para almacenar trigo. En uno de ellos (almacén A) se sabe que la cantidad almacenada tiene una merma a lo largo del año de ' por Kilogramo y en el otro (almacén B) la merma es de ' por Kilogramo. El coste de mantener el producto durante un año en el almacén A es de ' Euros por Kilogramo, y en el B de '3 Euros por Kilogramo, este coste se calcula sobre la cantidad almacenada al principio (sin contar la merma). Para el año el empresario quiere almacenar al menos toneladas, pero quiere que la merma producida no supere los Kilogramos y que el coste total del almacenamiento sea menor de 5 Euros. Qué cantidad ha de almacenar en cada local para tener la mayor cantidad de trigo posible? (J) Sol.: 9. Kg tipo A y. Kg tipo B x + my = m 54.- a) Discutir según los valores de m el sistema mx + y = m b) Resolverlo para m=5 5 c) Plantear y resolver un sistema homogéneo cuya matriz de coeficientes sea la matriz 5 5 x (S) Sol.: a) m= S.C.I. / m=- S.I. / m y m - S.C.D. b) (-/6,7/6) c) = solución: (,) 5 y 55.- Un pastelero desea hacer pasteles de dos tipos A y B, con los ingredientes de mantequilla, nata y crema, de los que posee 4, y 5 kg. respectivamente. Las cantidades de ingredientes (en gramos) necesarias para cada tipo se recogen en la tabla siguiente: Tipo pastel A B Mantequilla Nata Crema 5 Si los pasteles del tipo A le producen un beneficio de 5 euros y los del tipo B 3 euros, cuántos pasteles de cada tipo tendrá que hacer para que el beneficio sea máximo? (S) Sol.: tipo A y tipo B 56.- Sea A = a) Demuestra que A = A-I donde I es la matriz identidad. b) Halla las matrices A 3 y A 4 y exprésalas en función de A y de I. (J) Sol.: A 3 =3A-I A 4 =4A-3I 57.- Un banco ha invertido millones de euros en tres empresas diferentes A, B y C. Lo que invierte en A es el doble de lo invertido en B. Al cabo de un año, la rentabilidad de la operación ha sido del %. Las acciones de la empresa A han aumentado su valor en un % y las de B en un 3%. Si las acciones de la empresa C han perdido un % de su valor, puedes calcular la cantidad que se había invertido en cada empresa? (J) Sol.: En A.., y en B y en C, 5. ptas en cada una. I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág. 8

9 58.- La suma de las tres cifras de un número es 6. La cifra de las centenas es igual a la suma de las cifras de las unidades y de las decenas. Si se invierte el orden de las cifras el número disminuye en 98 unidades. Calcula dicho número. (S) Sol.: 3 x 59.- Sea A= y a) Calcula los valores de x e y para los que se verifica que A A= b) Calcula si existen valores reales de x e y para los que se verifique que A A t = x + y = (S) Sol.: a) (x=,y=-) y (x=- y=) b) No existen 6.- Se considera el sistema: mx+ z = x + ( + m) y + mz = m+ a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro m. b) Resuelve el sistema para m=. (J) Sol.: a) m= -, S.C.I. ; m=, S.C.I.; m - y m S.C.D. b) (t,- t, ), con t R 6.- Sean A y B dos matrices cuadradas de orden. a) Indica cuando es cierta la igualdad: (A+B)(A B)=A B. b) Pon un ejemplo en que dicha igualdad sea falsa. (J) Sol.: a) AB=BA, A y B conmutan b) A=, B= 6.- Una empresa familiar tiene tres empleados que trabajan como máximo durante 4 horas semanales cada uno en la elaboración de dos tipos de productos, A y B. Para la elaboración de una unidad de cada producto se requieren 3 horas para el tipo A y 4 horas para el B. La familia ha decidido que no se elaborarán más de 3 unidades semanales del producto tipo A y del producto tipo B. El beneficio proporcionado por cada unidad del tipo A es de 6 euros y 3 euros por cada unidad del tipo B. Determinar el número de unidades que deben elaborar del tipo A y B para obtener un beneficio máximo. (S) Sol.: 3 unidades del producto A y 6 del B Sea la matriz A = y sea B = ( ) a) Calcula los productos BA y AB t (B t es la matriz traspuesta de B). b) Escribe y resuelve el sistema homogéneo cuya matriz es A. (S), b) ( t, t, t) t R. Sol.: a) ( ) 64.- Encontrar si existen, matrices cuadradas A, de orden, distintas de la matriz identidad, tales que A A =. Cuántas matrices A existen con esa condición? Razona la respuesta. (J3) a Sol.: A =. b aa,b R 65.- Para la temporada de rebajas, un comerciante decide poner a la venta 7 camisetas, camisas y pantalones en dos tipos de lotes. El lote A formado por camisas, pantalón y camiseta se venderá a 6 euros, mientras que el lote B, formado por camisa, pantalones y camiseta se venderá a 7 euros. Cuántos lotes ha de hacer de cada clase para obtener el máximo de recaudación y cuánto dinero ingresará? (J3) Sol.: 3 del tipo A y 4 del tipo B. Ingresará 4.6 I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág. 9

10 66.- Una fábrica produce dos modelos de aparatos de radio, A y B. La capacidad de producción de aparatos de tipo A es de 6 unidades por día y para el tipo B de 75 unidades por día. Cada aparato del tipo A necesita l piezas de un componente electrónico y 8 piezas para los del tipo B. Cada día se dispone de 8 piezas del componente electrónico. La ganancia por cada aparato producido de los modelos A y B es de 3 euros y euros respectivamente. Determina la producción diaria de cada modelo que maximiza la ganancia. (S3) Sol.: 6 del tipo A y 5 del tipo B. x 67.- Sean las matrices A= x x B= y z C= z D= donde x, y, z son desconocidos. z / 3 a) Calcula las matrices (AB) + C y 3D b) Sabiendo que (AB) + C = 3D, plantea el sistema de ecuaciones para encontrar los valores x, y, z. c) Estudia el sistema anterior. Cuántas soluciones tiene? Encuentra una si es posible. (S3) x + y + z 3 x + y + z = 3 Sol.: a) AB+C= x y + z, 3D= b) x y + z = x + y z x + y z = c) S.C. I. (infinitas soluciones) (x,,-x) x R 68.- La suma de las tres cifras de un número es 8, siendo la cifra de las decenas igual a la media de las otras dos. Si se cambia la cifra de las unidades por la de las centenas, el número aumenta en 98 unidades. Calcula dicho número. (J4) Sol.: N=567 x 69.- Sea A = y a) Calcula A x + b) Calcula todos los valores de x e y para los que se verifica que A =. (J4) x x y Sol.: a) A = b) x=, y= x + y y 7.- Sean las matrices A= x, B= y C= y donde x e y son desconocidos. a) Calcula las matrices ABC y A t C (A t denota la matriz traspuesta de A). b) Halla x e y para que se verifique ABC = A t C. (S4) x + Sol.: a) t ABC = ; A C = ; b) x=, y= x + y 7.- Un banco quiere distribuir a sus empleados entre sus oficinas centrales y sus sucursales. Cada oficina central necesita empleados del tipo A y 6 empleados del tipo B. Cada sucursal necesita 4 empleados del tipo A y empleado del tipo B. Hay un total de 6 empleados del tipo A y 86 empleados del tipo B. Como máximo debe haber 8 oficinas centrales. Si el banco gana tres millones de euros en una oficina central y un millón en una sucursal cuántas oficinas centrales y sucursales deberá abrir para que el beneficio sea máximo? Cuál será dicho beneficio máximo? (S4) Sol.: 6 oficinas centrales y 5 sucursales; 68 millones de beneficio. 7.- Sea A = a) Calcula A y expresa el resultado en función de la matriz unidad. b) Utiliza la relación hallada con la matriz identidad para calcular 5 A.(J5) Sol.: a) A = -I b) A 5 =A I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág.

11 73.- En una ebanistería se fabrican dos tipos de mesas: mesas de comedor y mesas para ordenador. Las mesas de comedor necesitan 4 m de madera y las mesas para ordenador 3 m. El fabricante dispone de 6 m de madera y decide confeccionar al menos 3 mesas de comedor y al menos el doble de mesas de ordenador que de mesas de comedor. Además, por cada mesa de ordenador obtiene un beneficio de, mientras que obtiene un beneficio de 3 por cada mesa de comedor. Cuántas mesas de cada tipo debe fabricar para obtener el beneficio máximo? (J5) Sol.: 6 mesas de comedor y de ordenador. Ingresará Calcula dos matrices cuadradas A y B sabiendo que A + 3B = y que A B = (S5) Sol.: A = y B = 75.- El club Amigos del Románico quiere organizar un viaje visitando el románico de Castilla y León para sus socios. Acude para ello a una agencia de viajes que dispone de 4 microbuses de 5 plazas y 5 autobuses de de 5 plazas, pero sólo dispone de 6 conductores. El alquiler de un autobús es de 6 por día, mientras que el de un microbús es de 7 por día. Con estas condiciones, cómo deben organizar el viaje para que el coste del viaje sea el menor posible? (S5) Sol: 4 microbuses y autobuses Una familia dispone 8 mensuales para realizar la compra en una carnicería. El primer mes compran Kg de carne de pollo, 6 Kg de carne de cerdo y 3 Kg de ternera y les sobran 3,. El siguiente mes adquieren Kg de carne de pollo, 7 Kg de carne de cerdo y Kg de ternera y les sobran 5,. El tercer mes compran Kg de carne de pollo, 6 Kg de carne de cerdo y Kg de ternera abonando un total de 7 y 3 céntimos. Suponiendo que no ha variado el precio de la carne en estos meses, cuánto cuesta el Kg de carne de pollo, cerdo y ternera? (J6) Sol.:,5 /Kg pollo; /Kg cerdo; 7, /Kg ternera En una factoría, se desean producir al menos 4 unidades del producto B. Cada unidad del producto B ocupa un metro cúbico de espacio de almacenamiento, lo mismo que cada unidad del producto A. Tan solo disponemos de un almacén con capacidad de metros cúbicos. Juan se encarga de una fase de la producción y Pedro de otra fase de la producción. Cada unidad de A requiere 4 horas de trabajo de Juan y horas de trabajo de Pedro. Cada unidad de B requiere hora de trabajo de Juan y 3 horas de trabajo de Pedro. Juan debe trabajar al menos 3 horas y Pedro al menos 36 horas. Cada unidad del producto A produce un beneficio de 5 y cada unidad del producto B produce un beneficio de. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula el número de unidades de producto A y de producto B que permiten obtener mayores beneficios, así como el beneficio máximo que se puede conseguir. (J6) Sol.: 6 unidades del producto A y 4 unidades del B. Beneficio = En una fábrica trabajan personas entre electricistas, administrativos y directivos. El doble del número de administrativos más el triple del número de directivos, es igual al doble del número de electricistas. a) Es posible saber con estos datos el número de electricistas que hay? b) Si además se sabe que el número de electricistas es el doble del de administrativos, cuántas personas hay de cada tipo? (S6) Sol.: a) No b) 6 administrativos, 4 directivos y electricistas I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág.

12 79.- Una fábrica produce mermelada de naranja y de ciruela. El doble de la producción de mermelada de ciruela es menor o igual que la producción de mermelada de naranja más 8 cajas. También se sabe que el triple de la producción de mermelada de naranja más el doble de la producción de mermelada de ciruela es menor o igual que 4 cajas. Cada caja de mermelada de naranja produce un beneficio de 4 y cada caja de mermelada de ciruela 5.Utilizando técnicas de programación lineal, cuántas cajas de cada tipo de mermelada se han de producir para obtener un beneficio máximo? Calcula el beneficio máximo (S6) Sol.: 4 cajas de mermelada de naranja y 6 de mermelada de ciruelas; Beneficio = Julia, Clara y Miguel reparten hojas de propaganda. Clara reparte siempre el % del total, Miguel reparte hojas más que Julia. Entre Clara y Julia reparten 85 hojas. Plantea un sistema de ecuaciones que permita saber cuántas hojas reparte cada uno. Sabiendo que la empresa paga céntimo por cada hoja repartida, calcula el dinero que ha recibido cada uno de los tres. (J7) Sol.: a) y = ' ( x + y + z) z = + x x + y = 85 b) Julia 5 5, Clara 3, Miguel 6 5 x y 8.- Sean las matrices A =, y B a =, C y =, 6 ay ay D = a a) Consideramos x e y dos variables, y a un parámetro. Obtén el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas que resulta de plantear AB C = D. b) Estudia el sistema para los distintos valores de a. c) Encuentra una solución para a=. (J7) ax + ay = 6 Sol.: a) b) a=, S.I.; a=, S.C.I.; a y a, S.C.D. c) x=, y= ( a) y = a 8.- Cada instalación de una televisión analógica necesita metros de cable y cada instalación de televisión digital necesita metros. Cada televisión analógica necesita minutos de instalación y 3 minutos cada televisión digital. Disponemos un máximo de 4 metros de cable al día. Tenemos que trabajar al menos 3 minutos al día. Diariamente podemos instalar un máximo de televisiones analógicas y debemos instalar al menos 6 televisiones digitales. Por cada televisión analógica instalada obtenemos unos ingresos de euros y por cada televisión digital 5 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, representa la región factible, calcula el número de televisores analógicos y digitales que permiten obtener mayores ingresos diariamente, así como el ingreso máximo diario que se puede obtener. (S7) 83.- Se considera el sistema: x y + z = 3x 5y + z = 4 x y + ( a ) z = Sol.: televisores analógicos y televisores digitales; Ingreso máximo diario = 35 a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro a. b) Halla todas las soluciones para a = 3. (S7) a 84.- Sea el sistema: x + a x + a 3 y = y = Sol.: a) a=, S.C.I.; a S.C.D. b) x=3, y=, z= a) En función del número de soluciones, clasifica el sistema para los distintos valores del parámetro a. b) Resuélvelo para a =. (J8) Sol.: a) a=, S.I. ; a=, S.I. ; a a, S.C.D. b) para a=, x =/, y= -/ 8 I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág.

13 85.- Una fábrica de papel tiene almacenados 4 kg de pasta de papel normal y 3 kg de pasta de papel reciclado. La fábrica produce dos tipos diferentes de cajas de cartón. Para el primer tipo se utilizan, kg de pasta de papel normal y, kg de pasta de papel reciclado, mientras que para la caja del segundo tipo se utilizan, kg de pasta de papel normal y,3 kg de pasta de papel reciclado. Los beneficios que la fábrica obtiene por la venta de cada caja son, respectivamente 5 para el primer tipo y 6 para el segundo tipo de cajas. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula cuántas cajas de cada tipo deben fabricar para obtener el máximo beneficio. A cuánto asciende el beneficio máximo obtenido? (J8) Sol.: 5. primer tipo, 5. segundo tipo; beneficio Una ONG organiza un convoy de ayuda humanitaria con un máximo de 7 camiones, para llevar agua potable y medicinas a una zona devastada por unas inundaciones. Para agua potable dedica un mínimo de camiones y para medicinas debe dedicar un número de camiones mayor o igual que la mitad del número de camiones dedicados a llevar agua. Enviar un camión con agua potable tiene un coste de 9 euros, mientras que el coste para un camión de medicinas es de 6 euros. Calcula, utilizando técnicas de programación lineal, cómo debe organizarse el convoy para que su coste sea mínimo Cuánto es el coste de la solución óptima? (S8) Sol.: camiones de agua y 6 camiones de medicina 44. de coste Sea la matriz A = 4 4 a) Prueba que A - A + I = donde I es a la matriz identidad y es una matriz con todos sus elementos iguales a. b) Calcula A (S8) Sol.: a) A =A-I= 4 3 b) A 3 = Estudia el siguiente sistema en función del parámetro "a". Resuélvelo siempre que sea posible, dejando las soluciones en función de parámetros si fuera necesario. Resuélvelo para el caso particular a=3. x + y + z = 3 x + y + 3z = 5 (J9) Sol.: a=4, S.C.I. (-λ,-λ,λ); a 4, S.C.D. a=3, Sol. (,,) x + 3y + az = Un fabricante de plásticos pretende fabricar nuevos productos plásticos mezclando dos compuestos químicos A y B. Cada litro de producto plástico lleva /5 partes del compuesto A y 3/5 partes del compuesto B, mientras que el producto plástico lleva una mitad del compuesto A y la otra mitad del compuesto B. Se disponen de litros del compuesto A y litros del compuesto B. Sabemos que al menos necesitamos fabricar 5 litros del producto y que el beneficio obtenido por un litro de producto plástico es de euros, mientras que por un litro del producto plástico el beneficio es de euros. Utilizando técnicas de programación lineal, representa la región factible y calcula el número óptimo de litros que se debe producir de cada producto plástico para conseguir el mayor beneficio posible. Cuál es ese beneficio máximo? (J9) Sol.: plástico y plástico / 44 de beneficio 9. Como cada año, al inicio del curso académico, una tienda de material escolar prepara una oferta de 6 cuadernos, 5 carpetas y 4 bolígrafos para los alumnos de un IES, empaquetando el material de dos formas distintas. El primer paquete contiene cuadernos, carpeta y bolígrafos, mientras que el segundo contiene 3 cuadernos, carpeta y bolígrafo. El primer paquete se vende al precio de 6,5 euros, mientras que el segundo se vende a 7 euros. Usando técnicas de programación lineal, cuántos paquetes de cada tipo han de realizar para obtener la máxima recaudación? A cuánto asciende dicha recaudación? (S9) Sol.: 5 paquetes del primer tipo / paquetes del segundo tipo / 675 I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág. 3

14 9. Compramos tres regalos A, B y C para tres amigos. Sabemos que hemos pagado 7 euros por los tres regalos tras habernos hecho un descuento del % sobre el precio total. Además sabemos que el precio del regalo C es el doble que el del regalo A y que el regalo C es euros más caro que el regalo B. Cuánto hemos gastado en cada regalo? (S9) Sol.: Regalo A, 3 ; regalo B, 4 y regalo C, 6 9. Sean las matrices: 3 A = y 5 3 B = 3 3. Halla una matriz X tal que X BA = AB. 3 (J) Sol.: 93. El dueño de un supermercado ha comprado embutido, bebidas y conservas, por un importe total de 46. El valor de las conservas es el mismo que el de las bebidas y embutidos juntos. Si vende todos estos productos, añadiendo un beneficio del % en el embutido, el % en las bebidas y el 5% en las conservas, obtendrá un importe total de 535. Calcula lo que pagó por cada uno de ellos. (J) Sol.: Embutidos,. ; bebidas,.3 ; conservas, Discute y resuelve según los distintos valores del parámetro a el siguiente sistema de ecuaciones: 3 a x + a y + az = x + a y + z = X = (J) Sol.: a= y a=, S.I.; a, a S.C.I. (/a(a-), /a 3 (-a)-λ/a, λ) En un hipermercado se realiza el recuento de caja al final de cierto día. En monedas de, y 5 céntimos de euro, el importe total obtenido asciende a 5 euros. Por otro lado, se sabe que euros corresponden, conjuntamente, a las monedas de y céntimos. Si en total se cuentan 8 monedas, cuántas monedas debe haber de, y 5 céntimos para que la caja cuadre? (J) Sol.: 4 monedas de cent, 8 de cent y 6 de 5 cent. 96. Sea el siguiente sistema de ecuaciones: x + y az = y + z = ax + 3z = a a) Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro a. b) Halla todas sus soluciones para a =. (S) Sol.: a) a=3 y a=, S.I.; a 3, a S.C.D. b) (-7, 8, 4). 97. Una empresa de transportes debe organizar el traslado de dos productos A y B entre dos ciudades utilizando camionetas y furgones. Cada camioneta permite transportar 5 unidades de A y 4 de B, mientras que en cada furgón se puede transportar unidades de A y de B. La empresa no puede transportar más unidades de las que pueda vender en la ciudad de destino y en la ciudad de destino puede vender como máximo 9 unidades de A y 6 de B. El envío de una camioneta le reporta a la empresa un beneficio de 6 euros, mientras que el envío de un furgón le reporta un beneficio de 6 euros. Usando técnicas de programación lineal, cuántas camionetas y furgones deben usar para maximizar el beneficio en estos transportes? A cuánto asciende dicho beneficio óptimo? (S) Sol.: camionetas y furgones. Beneficio óptimo, 8. I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág. 4

15 98. Se considera el sistema de ecuaciones: x y = 3x + y = 4 4x + y = a a) Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro a. b) Resuélvelo siempre que sea compatible. (S) Sol.: a ± 6, S.I.; = ± 6 a, S.C.D., sol. ( 8 ), Un alfarero dispone semanalmente de 5 kg de arcilla de tipo A y de kg de arcilla de tipo B para la fabricación de ánforas y jarrones. La producción de un ánfora requiere 3 kg de arcilla de tipo A y kg de tipo B, pero la de un jarrón necesita 6 kg de arcilla de tipo A y 5 gramos de arcilla de tipo B. Por limitaciones de espacio para el almacén, como máximo puede fabricar 6 vasijas (entre ánforas y jarrones). El precio de venta de un ánfora es euros y el de un jarrón es 3 euros. Utiliza técnicas de programación lineal para hallar el número de ánforas y de jarrones que debe fabricar el alfarero para que su recaudación sea máxima. Cuál es esa recaudación máxima? (S) Sol.: ánforas y 4 jarrones. Recaudación máxima, 76.. Resuelve el siguiente sistema matricial: X + 3Y = X = (J) Sol.: X ( 7) ( ) = y 4 6 Y =. Un grupo de estudiantes financia su viaje de fin de curso con la venta de participaciones de lotería, por importe de, y 5 euros. Han recaudado, en total, 6 euros y han vendido el doble de participaciones de euro que de 5 euros. Si han vendido un total de 6 participaciones, calcula el número de participaciones que han vendido de cada importe. (J) Sol.: 6 participaciones de, de y 8 de 5.. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones: x y + z = 3x + y z = 4 8x + 8y + az = 8 a) Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro a. b) Halla todas sus soluciones para a = 3. (S) Sol.: a) a -7, S.C.D.; a = -7, S.I. b) (3/4, -/8, -). 3. En una quesería se producen dos tipos de queso de leche de oveja: fresco y curado. La elaboración de un queso curado requiere 6 litros de leche de oveja y la de un queso fresco 3 litros. La ganancia por la venta de un queso fresco es euros y por la de uno curado es 3 euros. Se sabe que la quesería dispone diariamente de 8 litros de leche de oveja y su capacidad de producción es de 5 quesos diarios. Debido a la demanda, la producción de queso fresco debe ser al menos el doble que la de queso curado. Utiliza técnicas de programación lineal para encontrar la producción de quesos que hace máxima la ganancia diaria total de la fábrica por la venta de quesos, así como dicha ganancia máxima. (S) Sol.: 5 quesos curados y 3 quesos frescos. 75 de ganancia máxima. I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág. 5

16 GUIÓN de los ejercicios Operaciones con matrices: a a - 69a Aplicaciones de las matrices: Ecuaciones matriciales y operaciones con inversas: b Sistemas de ecuaciones homogéneos: - 63b Sistemas de ecuaciones no homogéneos: bc Con parámetros: Plantear problemas: Programación lineal: Teóricos: Problemas de plantear: I.E.S. Diego de Siloé. PAEU. Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal Pág. 6