OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS

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1 C.E.I.P SAN JUAN DE RIBERA Consejería de Educación, Cultura y Deporte SEVILLA OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS LÍNEAS GENERALES DE SU TRATAMIENTO METODOLÓGICO 2014

2 ÍNDICE: 1. Las operaciones aritméticas. Líneas generales del tratamiento didáctico. 2. La suma. 3. La resta. 4. La multiplicación. 5. La división. - Curso Escolar

3 1. Las operaciones aritméticas. Tratamiento didáctico Debemos partir del principio de que el número no se aprende sino que se construye. La diferencia entre aprender números y construirlos está en crear situaciones mentales, afectivas y sociales que conviertan al alumnado en instrumentos de pensamiento para facilitar la adquisición de aprendizajes nuevos. La operación viene a ser un proceso mediante el cual se realiza mentalmente una manipulación de una manera más económica, más fácil de llevar a la vida real. Hemos, pues, de llamar la atención sobre el hecho de que la operación manual, la acción, debe preceder a la operación aritmética. Así como la expresión del lenguaje ordinario precede a la expresión del lenguaje matemático. El problema pedagógico, según Gastón Mialaret, consiste en llegar a una conexión entre una actividad determinada, real o imaginada y su traducción a un cierto lenguaje que utiliza sus propios signos ( +, -, x, : ) y sus fórmulas propias (frases utilizadas por el alumnado en la redacción de las soluciones) Vamos a recordar una serie de principios que deben guiarnos en el tratamiento didáctico de las cuatro operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación y división. 1 Desde que comenzamos a trabajar con la numeración, debemos afrontar las cuatro operaciones básicas utilizando abundantemente la descomposición y la seriaciones crecientes y decrecientes, con distintos intervalos. 2 Debemos trabajar las cuatro operaciones de manera sistemática desde la etapa infantil, ya que el alumnado es capaz de realizar acciones tales como unir, separar, repartir, repetir grupos iguales En lo único que hay que diferenciar el tratamiento didáctico de las diferentes operaciones en los diferentes niveles de Primaria, es el contexto en se sitúen, las cantidades que se utilicen y el nivel manipulativo, gráfico o simbólico en que se realicen. El nivel manipulativo debe ser traducido mediante el lenguaje oral. Relatar lo que se está haciendo, ya que, el lenguaje y la acción se refuerzan mutuamente. 3 Las operaciones deben ser el método o procedimiento para resolver una situación problemática. Nunca debe ir separada del contexto problemático que han de resolver. Criticamos por lo dispedagógico la acción didáctica, muy corriente en nuestras aulas, de enseñar cuentas y, una vez mecanizadas, resolver problemas con las mismas. 4 Que no se presente ninguna técnica operatoria de manera mecánica sin una previa comprensión y una posterior comprobación racional de los mecanismos. La experiencia nos enseña que el alumnado, a los que se la operación escrita fue explicada con numerosas manipulaciones, comete menos errores que aquellos a quienes fue inculcada por mera imitación. Hay que procurar ser coherentes con el principio de, primero comprensión, después mecanización, entendiendo esto último como la rapidez en la utilización de automatismos necesarios para desenvolverse en la práctica matemática y en las diversas situaciones de la vida socio-laboral y económica. 5 La elaboración de unos verbos de acción que sean aplicables a las cuatro operaciones básicas huyendo en un principio de la utilización de la terminología estrictamente matemática de los signos: más (+), por (x), menos (-), etc. Los mismos verbos de sumar, restar multiplicar o dividir expresan una acción abstracta y simbólica. - Curso Escolar

4 2 La suma En el caso de la suma partimos de ésta como hacer más y a partir de esta concepción seleccionaremos verbos de acción que signifiquen semánticamente lo mismo. Estos verbos se trabajarán en todas las situaciones problemáticas que serán planteadas, por supuesto, en un principio en términos de acción y con un contenido significativo. Más adelante se pasará a la etapa gráfica y de simbolismo numérico. Los verbos de acción relacionados con la operación aritmética de la suma, podrían ser: Unir, reunir, agrupar, aumentar, juntar, agregar... sumar. En todos se muestra la acción de hacer más, de reunir Podemos reconocer en todos los estudiosos de la didáctica de las matemáticas la presentación que hacen de, al menos, cuatro categorías de situaciones que dan lugar a la operación aritmética de sumar. a) Suma de objetos homogéneos. b) Suma o reunión de objetos que deben ser clasificados en una clase superior. Tres perros más cinco gatos son ocho animales. La clase animal es superior incluyendo los perros y gatos c) Suma de valores heterogéneos. Cuatro caramelos más dos caramelos d) Operaciones de sumar cuyos valores tienen psicológicamente un sentido negativo. Ej: Gasto 10 Euros en caramelos y 8 Euros en chicles, cuánto he gastado en total? Estas situaciones presentan distintas dificultades, por lo que conviene graduarlas convenientemente. En las técnicas operatorias hay que distinguir dos grandes casos: 1. Sumas sin compensación de órdenes. Sin llevadas Las plantearemos respetando las fases siguientes: Manipulativa Se parte de una situación problemática utilizando los verbos ya reseñados anteriormente Gráfica Pedro ha comprado cinco caramelos y Ana tres. Si juntamos los caramelos cuántos reunirán? En esta fase realizamos la acción de juntar los caramelos y contarlos. Conviene que el alumnado diga en voz alta lo que han realizado. Los objetos, en este caso los caramelos, se sustituirán por cruces, palotes, círculos X X X y X X X X X X X X X X + = X X X Curso Escolar

5 Simbólica CEIP SAN JUAN DE RIBERA: Hay que hacer ver la rapidez y comodidad de este procedimiento, y mostrarle asimismo, las dos disposiciones. Hay que aprovechar estas sumas para trabajar distintas situaciones debidamente contextualizadas = = = = 8 2. Sumas con compensación de órdenes. con llevadas Llegado el momento de abordar las sumas con llevadas, el alumnado debe conocer y manejar los conceptos de unidades, decenas, centenas, respetando siempre una secuenciación adecuada. Se supone que a esta altura se puede prescindir de la manipulación. No obstante, si nos encontramos con dificultades, se debe utilizar la manipulación con objetos concretos, el ábaco, las regletas Cuissenaire, etc. Vamos, pues, a comenzar por la etapa gráfico-simbólica utilizando los signos empleados para el trabajo de las decenas, centenas y unidades de millar. Unidades = U Decenas = D Centenas = C Unidades de Millar = M En una hucha hay 26 Euros y en otra 7 Euros. Si compramos una hucha mayor y reunimos todo en ella. Cuántos euros tendremos le introduciremos? Decenas Unidades María compra 378 banderines para su cumpleaños y 154 bombillas para iluminar. Cuántos objetos compró para su fiesta de cumpleaños?. C D U Curso Escolar

6 Manipulativamente: Para una mejor comprensión, una mayor rapidez en el cálculo mental y, como mecanismo de comprobación, son muchos los autores que señalan la importancia de trabajar la suma en los distintos sentidos izquierda y derecha, arriba y abajo. Dirección: centena Decena Unidades 463 C D U Dirección: centena Decena Unidades 463 C D U Estas técnicas operatorias razonadas nos llevarán al algoritmo comúnmente utilizado. Se entiende por algoritmo un método de operar con numerales de tal manera que se reduzcan el número de pasos necesarios para determinar el resultado correcto de una manera rápida. - Curso Escolar

7 Estas formas reducidas o abreviadas resultarán más rápidas si, previamente, se ha entendido el proceso explicado anteriormente.. 1 llevadas 2 1 llevadas Curso Escolar

8 3. Interiorización y mecánica de las operaciones básicas. 3.3 La resta En el caso de la resta que normalmente se la asocia con quitar o gastar es necesario, igualmente, ampliar el número de verbos de acción, implicados en situaciones problemáticas que supongan esta operación aritmética. La operación de la resta es deshacer lo que hace la suma, es su operación inversa Los verbos de acción a trabajar podrían ser: Quitar, gastar, sacar, cortar, faltar, disminuir, sobrar restar. Reduciremos a tres las situaciones que se pueden resolver con la resta: 1. Encontrar un resto. Es la situación de quitar. Pedro tiene cinco cromos y pierde dos cromos. Cuántos cromos le quedan? 2. Búsqueda de un complemento. Se busca lo que falta a una cantidad para igualarse a otra. Esta situación se puede hallar también de una manera aditiva, ya que se trata de hallar el sumando que falta. 3. Comparar dos cantidades. Se trata de establecer la diferencia. (beneficio o pérdida) En las técnicas operatorias de la resta hay que distinguir como en la suma, dos grandes casos: Restas sin compensación de órdenes. Sin llevada Se respetarán las distintas fases indicadas para la suma. Comenzaríamos trabajando el primer aspecto indicado para la resta: el de quitar o hallar el resto Luis tiene 8 pegatinas y regala a su hermano Andrés 5. Cuántas le quedan? Después de su realización manipulativa, si fuese necesaria, y la descripción verbal de las acciones llevadas a cabo, pasamos a la etapa gráfica: Andrés Luis Luis Se pasa, a continuación a la etapa numérica: 8-5 = Curso Escolar

9 Para trabajar la situación matemática de la diferencia, plantearemos ejercicios del tipo a este: Ana tiene 8 caramelos y Marta 3. Cuántos caramelos tiene Ana más que Marta? Como se puede ver el término más puede llevar a la confusión con la suma, si no se trabaja de una manera comprensiva y contextualizada. Así pues, respetando las distintas fases, el proceso sería de la siguiente manera: Manipulativamente Colocar los caramelos encima de la mesa. Ana, mediante la correspondencia uno a uno coloca las mismas que Marta. A continuación cuenta las que le quedan sin colocar en correspondencia Gráficamente Ana Marta 5 Simbólicamente Curso Escolar

10 Para la situación matemática de hallar lo que falta, el complemento o el vuelto (lo que nos devuelven al pagar con una moneda superior al precio de la compra) se puede realizar el siguiente ejercicio: Pedro tiene tres balones. Cuántos le faltan para tener nueve? Este problema se puede resolver por el sistema de agregación, es decir, partiendo de la cantidad acercarse a la mayor. No sería un acto de disminución sino de adición o aumento Hay que agregar seis balones a los tres iniciales para alcanzar a tener nueve. A pesar de que se pueda realizar por agregación o suma conviene que el alumnado capte el sentido matemático de la resta. Manipulativa Colocadas los tres balones ir añadiendo hasta llegar a nueve. Gráfica Se señalan 9 balones. Se separan 3 y se cuentan las que quedan. Numérica 9-3 = Curso Escolar

11 Restas con compensación de órdenes. Con llevadas Todo lo referente a fases y situaciones en las operaciones sin compensación es aplicable a estos casos. Seguimos con la simbología que se ha utilizado para el trabajo de las unidades, decenas y centenas. No obstante, si nos encontramos con dificultades, se debe plantear de manera manipulativa, acudiendo a material concreto de ábacos, fichas, regletas. Señalamos distintos niveles de dificultad en la compensación de órdenes o reagrupamientos: 1- Un solo reagrupamiento y sin ceros en el minuendo: C D U C D U = Un solo reagrupamiento y con ceros en el minuendo: C D U C D U = = 6C + 4D + 0U 6C + 3D + 10U = 2C + 1D + 4U 2C + 1D + 4U 4D + 2D + 6U 3- Compensación o reagrupamiento en todas las cifras del minuendo: C D U C D U = = 8C + 4D + 2U 7C + 14D + 2U 7C + 13D + 12U = 2C + 5D + 8U 2C + 5D + 8U 584 5C + 8D + 4U Para llegar a la forma abreviada del algoritmo habitualmente utilizado hemos de basarnos en la propiedad de que si se le suma el mismo número el minuendo que al sustraendo, la diferencia no varía. El procedimiento de préstamo es muy utilizado en nuestras aulas C D U C D U C D U = Curso Escolar

12 3. Interiorización y mecánica de las operaciones básicas. 3.4 La multiplicación. La multiplicación no es más que una suma de sumandos iguales (Repetición de una misma cantidad) Es una suma abreviada de sumandos repetidos. Al principio hay que soslayar la utilización del signo X, abstracto y sin significación operativa. Hay que llevar al alumno al convencimiento de que es una estrategia económica para resolver cierto tipo de sumas (Las de sumandos iguales) Los verbos a utilizar deberían ser juntar tantas veces, añadir tantas veces. En un principio de la enseñanza de la multiplicación, las situaciones problemáticas deben resolverse tanto con la suma como con la multiplicación, hasta que el alumno perciba que la multiplicación es más rápida y segura. Hay que hacerle ver que no está frente a una operación aritmética distinta sino frente a una técnica operatoria más cómoda En la secuenciación de la enseñanza de la multiplicación debemos empezar por el producto de un dígito y respetando las fases manipulativas, gráficas y simbólicas. Por ejemplo: Juan tiene 2 cajas de lápices con 4 lápices en cada caja. Cuántos lápices reúne en total? 1º fase manipulativa: con objetos simulados se representa la situación y el alumn@ los reúne y cuenta 2º fase gráfica 3º fase simbólica o numérica: 2 cajas de cuatro lápices = 8 lápices 4 lápices + 4 lápices = 8 lápices Dos veces cuatro lápices = 8 lápices 2 cajas x 4 lápices = 8 lápices La multiplicación hay que presentarla atractiva al igual que el aprendizaje de las tablas y entender éstas como un instrumento comprensivo y económico no como un simple canturreo monótono y aburrido. Autores como J. Leif y R. Dezal entre otros recomiendan que el proceso en su aprendizaje sea el siguiente: 1º el 2, el 5, el 10 2º el 4 y el 8 3º el 3, el 6 y el 9 Del 7, número primo, no encontramos ni múltiplos ni divisores con los que apoyar su aprendizaje. Si las tablas las construimos aplicando la propiedad conmutativa vemos que su estudio lo hacemos a través de las otras. Así: 7x4 = 4x7, 7x2 = 2x7, - Curso Escolar

13 La construcción y aprendizaje progresivo de las tablas se debe basar en situaciones problemáticas. Ejercicios como los que presentamos a continuación nos serán de gran utilidad en el aprendizaje de esta operación. - Ejercicios de seriación (adición) de dos en dos de tres en tres de cuatro en cuatro Continuar la serie = 2 veces = 3 veces 2 = = 2 veces = 4 veces 2 = 8 Más tarde sustituiremos el VECES por el algoritmo X y la construcción de la tabla de Pitágoras. X El producto de un número por 0 se le puede presentar al alumnado con el significado de NINGUNA VEZ. Así, 7 X 3 3 veces 7 7 x 2 2 veces 7 7 x 1 una vez 7 7 x 0 ninguna vez 7 - Curso Escolar

14 Nunca debemos olvidar trabajar con los conceptos ya aprendidos de centena, decena y unidad. Tal es la importancia de estos conceptos que para trabajar e introducir la multiplicación de un dígito por un dígito podemos plantearla inicialmente para que el niño interiorice el proceso de la siguiente forma: D= DECENAS U= UNIDAD 2 x D U D U D U U 2 X D D D + 2 X U U U U = D U D U D U D U D U U U 34 X Tres decenas + 4 unidades x 2 x 2 x 2 unidades = 68 6 decenas + 8 unidades = = x centenas + 1 decena + 9 unidades x3 x3 x3 x 3 unidades = centenas + 3 decenas + 27 unidades 2 decenas + 7 unidades = 657 La multiplicación de dos o más cifras. Se hace bastante más complejo su interiorización sobre el procedimiento, por lo que no aconsejamos insistir demasiado en ello sobre todo al alumnado con dificultades. En el Ciclo 3º, como complemento, puede ser una actividad asociada al juego matemático. Aunque ya sabrán realizarlo mecánicamente. Es imprescindible haber trabajado la multiplicación por la unidad seguida de ceros. 1 x 10 = 10 O sea, multiplicar unidades x decenas resultan Decenas. 1 x 100 = 100 O sea, multiplicar unidades x centenas resultan Centenes 1 x 1000 = 1000 O sea, multiplicar unidades x millares resultan Millares 10 x 10 = 100 O sea, multiplicar decenas x decenas resultan Centenas. 10 x 100 = 1000 O sea, multiplicar decenas x centenas resultan Millares 10 x 1000 = O sea, multiplicar decenas x millares resultan Decenas de Millar - Curso Escolar

15 Con lo cual siguiendo el proceder de multiplicaciones parciales quedaría así: 12 x 34 = 12 x 4 = x 4 = 40 2 x 4 = 8 12 x 30 = x 30 = x 30 = 60 Una forma simpática y muy motivadora es realizar la multiplicación así: CENTENAS DECENAS UNIDADES (decenas x decenas) (decenas x unidades) (unidades x unidades) 3 x 1 4 x x 2 4 x 2 3 Centenas decenas 8 unidades = Curso Escolar

16 5 La división. La división podríamos definirla como la descomposición de un todo en varias partes. Algunos autores señalan que no es sinónimo de repartir, ya que esta acción no implica que todas las partes resultantes sean iguales. En todo caso, repartir es un ejercicio o actividad preparatoria para la división, entendida ésta como una partición de una magnitud en partes iguales. La división como toda operación en sentido piagetiano, no es más que una acción que se internaliza. Hay pues tres maneras diferentes de obtener respuesta a una situación de reparto. 1º Enfoque intuitivo: el niño reparte de una forma global, perceptivo-visual y accidentalmente puede acertar. 2º Enfoque espacial: Coloca en una correspondencia, uno a uno, los objetos a repartir 3º Enfoque lógico: Reparte uno o más objetos, alternativamente, a cada persona. Es preciso que el alumnado haya realizado, previamente la acción de partir, de distribuir en grupos iguales, de repartir en partes iguales para poder acercarse a la operación aritmética de dividir. Estas tres formas de trabajar el reparto se introducirán en la etapa infantil. Las acciones de composición descomposición y las seriaciones crecientes y decrecientes realizadas en el aprendizaje de la numeración, son una preparación eficaz para afrontar la operación aritmética de dividir. Dividir conlleva por lo menos los significados siguientes: - Repartir en partes iguales. Esta es una repartición regular. En este sentido la división deshace la operación de multiplicar. Es el significado más sencillo y casi el único que trabajamos en Primaria. Ej Repartir en partes iguales 12 lápices entre 3 chicos Cuántos corresponde a cada uno? - Curso Escolar

17 - Cuántas veces está contenido un número en otro. O sea, las veces que una cantidad contiene a otra homogénea a ella.el resultado se puede hallar por clasificación en subgrupos el mismo número de elementos o por restas sucesivas. - Una vez = - Dos veces = - Tres veces = - Cuatro veces = CERO 12-3 Una vez = 9-3 Dos veces = 6-3 Tres veces = 3-3 Cuatro veces = 0 Deducciones: 12 : 3 = 4 12 : 4 = 3 4 x 3 = 12 3 x 4 = 12 - Curso Escolar

18 COCIENTE X DIVIDENDO CEIP SAN JUAN DE RIBERA: - Hallando el factor que falta. Esto nos lleva a la división como operación inversa a la multiplicación. Ejemplo : Repartí 15 caramelos, correspondiendo a cada niño 3 unidades. A cuántos niños les di caramelos? 3 x? = 15 El conocimiento que el alumn@ tiene de la tabla de multiplicar le permite hallar el factor desconocido. De no tener memorizada la tabla lo puede hacer por sucesivos tanteos. La forma en que presentamos la tabla de multiplicar facilitará bastante el entendimiento de este proceso. Gráficamente se puede resolver: 1 niño 2 niños 3 niños 4 niños 5 niños 15 El mecanismo operatorio de la división, como señalan Luceño y Sabido, en sus formas abreviadas, es una de las adquisiciones mas difíciles de la escuela primaria. Aunque la acción de dividir, como repartir en partes iguales, hacer grupos iguales ect., la debe realizar el alumno desde infantil, aprovechando el aprendizaje del número y de la numeración, las técnicas operatorias, especialmente la división por DOS dígitos debe abordarse en el 2º ciclo de la educación primaria. Entendemos que son prerrequisitos básicos, para afrontar las técnicas de la división, los siguientes: - una correcta orientación espacial. Implica el manejo de las nociones de derecha, izquierda, antes, después, arriba, abajo. Las confusiones, en orientación espacial pueden acarrear al alumno graves problemas frente a la automatización del algoritmo. DIVIDENDO DIVISOR RESTO COCIENTE - Mecanización comprensiva de la suma, la reta, y la multiplicación. - Práctica en la descomposición de las cantidades (unidades, decenas, centenas) - Curso Escolar

19 En el aprendizaje de la división hay que intentar respetar las fases manipulativas, gráficas y simbólicas. Siempre contextualizadas en situaciones problemáticas. Ejemplo: Repartir en partes iguales 12 pelotas de tenis entre cuatro niños. Fase manipulativa. Realizar con pelotas reales y 4 recipientes donde ir introduciendo el reparto. Reparto 1º Reparto 2º Reparto 3º n1 n2 n3 n4 n1 n2 n3 n4 n1 n2 n3 n4 - Curso Escolar

20 Fase gráfica: Fase simbólica: 12 : 4 = 3 12 : 3 = 4 4 X 3 = 12 3 X 4 = 12 - Curso Escolar

21 Al abordar la parte mecánica comenzaríamos con números muy cortos que permitan un reparto con cálculo mental. 40 repartido entre 4 = : 4 = 10 (4 decenas entre 4 personas caben a 1) Reparto entre No sobre nada 400 repartido entre 4 = : 4 = 100 (4 centenas entre 4 personas caben a 1) Reparto entre No sobra nada Ahora pasaríamos a cantidades que no se pueden dividir completamente, quedan restos. 42 repartido entre 4 = : 4 = 10 (4 decenas entre 4 personas caben a 1) 2: 4 = No puedo ==> Me sobran sin poder repartir Reparto entre 4 Sobran las 2 unidades 421 repartido entre 4 =? 400 : 4 = 100 (4 centenas entre 4 personas caben a 1) 20 : 4 = No puedo (2 decenas Reparto entre No puedo repartir, así que las cambio por una unidad menor 20 unidades del cambio y 1 que tenía suelta No puedo repartir Curso Escolar

22 Veamos otro ejemplo ya com millares. CEIP SAN JUAN DE RIBERA: 8143 : : 5 Cantidad a repartir Reparto entre 5 Me sobra Cambio a unidad menor 8 millares 1 millar 3 millares 30 centenas 1 centena + 30 centenas 6 centenas 1 centena 10 decenas 4 decenas + 10 decenas 2 decenas 4 decenas 40 unidades 3 unidades + 40 unidades 8 unidades 3 unidades = = = = Curso Escolar