SEGUNDA UNIDAD ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN

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1 SEGUNDA UNIDAD ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN

2 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades Esquema de contenidos INTRODUCCIÓN MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL - Definición - Media aritmética - Media aritmética para datos sin agrupar - Media aritmética para datos agrupados - Propiedades de la media aritmética - Media aritmética total o global - Moda - Moda para datos no agrupados - Moda para datos agrupados sin intervalos - Moda para datos agrupados en intervalos - Mediana - Mediana para datos no agrupados - Mediana para datos agrupados sin intervalos - Mediana para datos agrupados en intervalos - Medidas de Posición: Cuartiles, Deciles y Percentiles - Percentiles para datos agrupados en intervalos. MEDIDAS DE DISPERSIÓN - Medidas de dispersión absoluta - Rango o Recorrido - Varianza - Varianza para datos no agrupados y agrupados - Varianza total o global - Propiedades de la varianza - Desviación estándar - Medidas de dispersión relativa - Coeficiente de variación ASIMETRÍA Y CURTOSIS - Asimetría o sesgo - Coeficiente de asimetría - Curtosis o apuntamiento - Coeficiente de curtosis 49

3 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática Objetivos Objetivo general Reconoce la importancia de desarrollar habilidades en el planteo, solución y análisis de resultados de problemas usando herramientas estadísticas descriptivas. Objetivos específicos - Analizar un conjunto de datos calculando sus principales medidas descriptivas. - Calcular: Media aritmética, Mediana y Moda. - Elegir la medida de tendencia central más adecuada para un conjunto de datos. - Comprender la aplicación de los percentiles. - Calcular el rango, la varianza y la desviación estándar. - Calcular e interpretar el coeficiente de variación. - Aplicar en forma correcta las medidas de dispersión absoluta y relativa. - Diferenciar entre asimetría y curtosis. - Determinar el sesgo de una distribución. - Interpretar la curtosis de una distribución. 50

4 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades Introducción Estimado alumno: Se inicia, y con mucho agrado, a la Segunda Unidad de esta asignatura con el mismo entusiasmo que cuando inicié la unidad anterior. En la estadística descriptiva, después de haber clasificado los datos recopilados en una tabla de frecuencias, es interesante resumir la información contenida en ella. Es pertinente condensar dicha información en algunos números que la expresen de forma clara y precisa, lo cual facilitará posteriores análisis y comparaciones. En esta unidad nos ocuparemos de las medidas de tendencia central, que son valores que reflejan la centralización de la variable estudiada, las medidas de dispersión que expresan el alejamiento de los datos con respecto a una medida de tendencia central y las medidas de posición, que indican dónde se encuentra una determinada unidad de análisis con relación a otras unidades, con respecto a una variable. Las medidas de forma permiten comprobar si una distribución de frecuencia tiene características especiales como simetría, asimetría, nivel de concentración de datos y nivel de apuntamiento que la clasifiquen en un tipo particular de distribución. 5

5 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática Contenidos II UNIDAD DIDÁCTICA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Definición Las medidas de tendencia central son valores numéricos que tienden a localizar, en algún sentido, la parte central de un conjunto de datos. A menudo el término promedio se asocia a estas mediciones. Cada una de las diferentes medidas de tendencia central puede recibir el nombre de valor medio o promedio. Dado un conjunto de datos se tratará de buscar una representación de ellos, que de manera condensada nos permita tener una idea global de ese conjunto y así: Conocer el dato que aparece con mayor frecuencia en el conjunto. Saber cuál es el número que está a igual distancia de los valores máximo y mínimo. Conocer la media de los datos, es decir el número que resultaría de repartir el total de los datos equitativamente entre el número de individuos. Las medidas de tendencia central son útiles como descriptivas del conjunto de datos, pero no puede decirse que una de ellas es más descriptiva que las otras; depende de los datos que tenga más sentido utilizar entre una u otra. Las principales medidas de tendencia central son: Media Aritmética Mediana Moda : x : Me : Mo 5

6 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades MEDIA ARITMÉTICA Es el valor que tomaría cada uno de los datos si el total de los valores se repartiera uniformemente entre el número de ellos. La media aritmética es una medida muy precisa, por lo menos bajo ciertas circunstancias, por ejemplo, cuando la presencia de valores extremos no es significativa. La media aritmética juega un papel importante en la estadística descriptiva, pero por ser una medida de alta precisión, su rol es fundamental en la estadística inferencial. Notación: Media poblacional : µ Media muestral : x, M (x) x para datos sin agrupar: (Media aritmética simple). La media aritmética de n números tales como X, X,..., X n se define como la suma de los valores de los n números, divididos entre n. X n X i i n Ejemplo: Las edades correspondientes a cinco alumnos de la UAP son las siguientes: 3, 7, 9, 4, Calcular la edad promedio. 5 X X i i ,8 años. 53

7 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática x para datos agrupados: (Media aritmética ponderada). Sean X, X,..., X k valores de la variable X con sus respectivas frecuencias absolutas f, f,..., f k, la media de X se calcula mediante: Usando frecuencias absolutas: Usando frecuencias relativas: x k i X n i f i x k i X i h i Ejemplos:.- La siguiente tabla muestra la distribución del peso de un grupo de personas. Calcular e interpretar el promedio aritmético del peso. Peso Nº personas X i f i Total n 48 5 X f i X i i ,58 69 kilos. En promedio estas personas tienen un peso aproximado de 69 kilos..- Un grupo de personas han sido clasificadas de acuerdo a su edad, obteniéndose los siguientes resultados. Edad X i Nº de Personas f i h i 8 4 0, 0 0, , ,9 X 5 h i X i i 3, 3 años 30 0,06 Total n 34,00 Nota: En el caso de intervalos, X i es la marca de clase. 54

8 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades Ejemplos:.- La siguiente es la distribución del número de accidentes registrados durante 60 meses en cierta ciudad. Edad I i : [L i- - L i [ Nº meses f i X i f i X i i 760 x accidentes Total n Calcular el promedio aritmético de la siguiente distribución de frecuencias. Peso I i : [L i- - L i [ Nº alumnos f i h i X i x 5 h i X i i x Total n Nota: La media aritmética es quizá la medida de tendencia central más comúnmente usada. Sin embargo, no es siempre ideal usarla como un promedio, porque es muy sensible a los valores extremos. 55

9 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática Ejemplo: Calcular la edad promedio de cinco personas, cuyas edades son: X 33 años 5 Aún siendo la media aritmética el promedio más utilizado en la práctica, muchas veces puede dar lugar a falsas interpretaciones. Esto ocurrirá cuando no tenga suficiente grado de representatividad, es decir, cuando los valores de la variable estén poco concentrados, o lo que es lo mismo, muy dispersos a su alrededor; entonces, poco podrá decirnos la media sobre los datos en estudio. Propiedades de la Media Aritmética Si X i es una variable cualquiera y además c y b son constantes, entonces se tiene:.- M ( c ) c.- M ( X i ± c ) x ± c 3.- M ( c X i ) c x 4.- M ( c X i ± b ) c x ± b n 5.- ( xi x ) 0 i n n i ( xi k ) i i 6.- ( x x ) 56

10 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades Ejemplo: Completar la siguiente tabla de distribución de frecuencias, para la información dada: X i : temperatura f 5 9 H 0, k 6 X 3 0 H 0,8 f f 6 6 A 0 u.e.: días. x 5, Temperatura [L i- -L i [ T. prom. Nº días Prop. días % días Nº días Prop.días % días X i f i h i h i % F i H i , 6 0, , , , 5 0, , , , , , 50,00 00 TOTAL H i % h i f i n fi 50 x i f X n i n h i f i 9 + f 3 + f 4 50 n x f i Xi n f i h i f 3 + f , f 3 + 0f 4 3 f 3 + f 4 6 n 0, n 50 Al resolver simultáneamente estas dos ecuaciones f 3 + f 4 f 3 + f 4 3 se obtiene: f 4 0 f 3 57

11 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática MEDIA ARITMÉTICA TOTAL O GLOBAL Si una muestra de tamaño n se particiona en k muestras de tamaño n i cada una con su correspondiente promedio aritmético grupos juntos se calcula mediante: x i, entonces el promedio aritmético para los k Ejemplo: x T k ni xi k i, donde: n n i n i Se tienen los datos correspondientes a la duración de los focos (horas) en las empresas A y B. Calcular el promedio aritmético para las dos empresas juntas. Empresa A Empresa B Duración Nº focos Duración Nº focos Total 4 Total 3 Calculando el promedio aritmético para cada empresa: x A 5 5 f i X i f i 77 i X i x i B 3 3 Reemplazando en la fórmula del promedio total: x T 4 30, ,0 8,57 9 horas 73 Significa la duración promedio de los focos de ambas empresas en forma conjunta es de aproximadamente 9 horas. 58

12 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades MODA (Mo) Es el valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia. Una distribución de frecuencias puede ser unimodal (una moda), bimodal (dos modas),..., o multimodal (n modas). unimodal bimodal multimodal Ocasionalmente encontramos algunas de estas distribuciones en las ciencias sociales, siendo las bimodales más frecuentes. Mo para datos no agrupados La Moda es el dato que más se repite. Ejemplo: Seis personas presentan las edades siguientes: 5, 8, 0, 5, 30, 5, 5 Calcular e interpretar la Moda. Mo 5 años La mayoría de estas personas tienen 5 años. Mo para datos agrupados sin intervalos Se ubica la máxima frecuencia absoluta simple ( f i ), la moda es el valor de la variable que presenta dicha frecuencia. máx fi fj Mo Xj 59

13 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática Ejemplo: Hallar e interpretar la moda de la siguiente tabla de distribución de frecuencias. Nº de PCs vendidas X i Nº de meses f i Máx f i 0 Mo 4 PCs. En la mayoría de los meses se vendió 4 computadoras. Nota: Sólo la Moda tiene significado para variables cualitativas nominales. Ejemplo: Hallar e interpretar la moda de la siguiente tabla de distribución de frecuencias. Marca X i Nº de impresoras HP 7 Epson Canon 3 Lexmark 9 f i Máx f i 3 Mo Canon. La mayoría de las impresoras vendidas corresponde a la marca Canon. 60

14 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades Mo para datos agrupados en intervalos En la columna de las frecuencias absolutas simples se ubica la máxima frecuencia; entonces el intervalo que posee dicha frecuencia es el intervalo modal, es decir el intervalo al cual va a pertenecer la moda. Máxima frecuencia f j La mediana pertenece al intervalo I j Luego se aplica la siguiente fórmula: Donde: Mo L j + A j ( f j L j : Límite real inferior del intervalo que contiene a la moda. f ( f j ) j A j : Amplitud del intervalo modal. f + j f j : Máxima frecuencia absoluta simple. ( f j ) f j+ ) Ejemplo:.- La siguiente tabla muestra la distribución de las edades de un grupo de personas. Calcular e interpretar la moda. I 5 Edad : Nº Personas : fj f j f j + Entonces: (5 9 ) Mo (5 9 ) + (5 5 ) La mayoría de estas personas tiene aproximadamente 79 años de edad. 6

15 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática MEDIANA (Me) Es el valor que divide al total de las observaciones, ordenadas en forma ascendente o descendente en dos partes de igual tamaño. Es decir que a uno y otro lado de la mediana se encuentra no más del 50% del total de las observaciones. < Me X mín 50% 50% X máx Me para datos no agrupados Los datos originales X i se ordenan en forma ascendente o descendente. a) Si n es impar La mediana es igual al valor del término central. Ejemplo: Me X n + Los periodos de tiempo, en minutos, que doce clientes esperaron en la cola de un Banco antes de ser atendidos fueron: Variable : Tiempo de espera (minutos) Unidades estadísticas : Clientes. Ordenando los datos: 4, 5, 5, 5, 6, 8, 0, 0, 0, 0, Me 8 minutos El 50% de los clientes esperaron menos de 8 minutos mientras que el otro 50% esperó 8 minutos o más. 6

16 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades b) Si n es par La Mediana es igual a la media aritmética de los dos valores centrales. Me X n + X n + Ejemplo: Seis alumnos del tercer ciclo de la facultad de Ingeniería de Sistemas de la UAP obtuvieron las siguientes notas en su primera evaluación de estadística: 5, 05, 0, 6, 09, Calcular e interpretar la mediana. Ordenando los datos: 05, 09,, 5, 6, Me 3.5 puntos. El 50% de los alumnos obtuvieron una nota inferior a 3.5 ; el 50% restante obtuvo una nota de 3.5 o más. Nota: La Mediana es un promedio adecuado en los casos en que se presenten valores extremos (muy alto o muy pequeño). Ejemplo: El número de s que recibió cada uno de los empleados de una compañía se muestran a continuación: 40, 35, 30, 45, 3, 98, 38 Calcular e interpretar la Mediana. Ordenando los datos: 30, 3, 35, 38, 40, 45, 98 Me 38 s. 63

17 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática Me para datos agrupados: Variable cualitativa ordinal. Si la variable es cualitativa ordinal, la mediana se encuentra en el lugar n/, por lo tanto se ubica dicho lugar en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas F. i Ejemplo: La siguiente tabla presenta la distribución de un grupo de alumnos elegidos en forma aleatoria clasificados según su ciclo de estudios. Ciclo de Estudios Nº alumnos F i I 4 4 II 6 III 6 IV 3 5 n 7,5 Me 8vo. III lugar El 50% de los alumnos está como máximo en II Ciclo, el 50% restante está como mínimo en III ciclo. Me para datos agrupados sin intervalos a) Cuando n acumuladas: F j < n < Fj Me Xj Ejemplo: se encuentra ubicado entre dos frecuencias absolutas Nº trabajadores Nº empresas F i n 5 Me 5vo. lugar 0 trabajadores 64

18 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades El 50% de las empresas tienen menos de 0 trabajadores, el resto tienen 0 a más trabajadores. b) Cuando n coincide con una frecuencia absoluta acumulada: n F j < Fj Me X j + X j Ejemplo: Nº hijos Nº señoras F i n 5 5vo. lugar Me 3 hijos Me para datos agrupados en intervalos Se determina el intervalo mediano, es decir el intervalo que va a contener a la mediana, ubicando en la columna de las frecuencias acumuladas el n lugar mediante: Luego se aplica la fórmula: Donde: n F j < Fj Me Ij Me Lj + A j n Fj fj L j : Límite real inferior del intervalo que contiene a la mediana. A j : Amplitud del intervalo mediano. 65

19 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática Ejemplo: Temperatura. ( C ) Nº días F i n 8 8vo. lugar Total 36 Luego: n F < Me < F Me I 8.58 En el 50% de los días se registró una temperatura por debajo de los 9 C, en el resto de los días hubo una temperatura superior o igual a los 9 C. NOTA: Una distribución de frecuencias puede presentar una de las tres formas: Simétrica x Me Mo Asimétrica positiva Mo < Me < x Asimétrica negativa x < Me < Mo 66

20 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades MEDIDAS DE POSICIÓN Las medidas de tendencia central a veces son insuficientes sobre todo cuando en ocasiones se desea presentar el análisis con respecto a la posición que ocupa la información que para nosotros resulta relevante. Para esto se utilizan las medidas de posición, llamadas también medidas de localización. Las principales medidas de posición son: Cuartiles : k 4 partes iguales. Deciles : k 0 partes iguales. Percentiles : k 00 partes iguales. Cuartiles Son medidas de posición que dividen al total de los datos ordenados en cuatro partes iguales. De esta forma entre dos cuartiles consecutivos se encuentra ubicado no más del 5% del total de los datos. El Q 3 supera al 75% de los datos y es superado por el 5%. Deciles Son valores que dividen al total de los datos ordenados en diez partes iguales; de modo que en cada una de estas partes se encuentre ubicado no más del 0% del total. El D 4 supera al 40% de los datos y es superado por el 60%. 67

21 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática PERCENTILES Son valores que dividen al total de los datos ordenados en cien partes iguales de manera que en cada una de estas partes se encuentre ubicado no más del % del total. Percentiles para datos agrupados en intervalos Se determina el intervalo que va a contener al percentil, ubicando en la columna de las kn frecuencias acumuladas el lugar mediante: 00 F k n 00 < Luego se aplica la fórmula: Donde: F P I j j k j P k k n L + 00 j A j F j f j L j : Límite real inferior del intervalo al cual pertenece el percentil. A j : Amplitud del intervalo al cual pertenece el percentil. Ejemplo: La siguiente tabla de frecuencias corresponde a la distribución de 4 días de acuerdo a la temperatura que se registró en cada día. a) El 35% inferior de los días. Qué temperatura presentó como máximo? Temperatura. Nº días F i ( C ) vo. lugar Total n 4 68

22 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades Luego: 35 4 F < 00 < F P35 I 5 8 P ,33 9 En el 35% inferior de los días se registró una temperatura de 7 C como máximo. b) Hallar la temperatura mínima y máxima para el 50% central de los días. El 50% central deja a ambos lados un 5%, entonces para responder a esta pregunta deberán calcularse los percentiles: P 5 y P75 P 5 : vo. lugar Luego: P 75 : Luego: F < < F P5 I 8 P lugar F 3 < 3 < F 4 P75 I4 3 9 P El 50% central de los días presenta una temperatura mínima de 6ºC y una temperatura máxima de 7.4ºC. 69

23 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática MEDIDAS DE DISPERSIÓN En el análisis estadístico no basta el cálculo e interpretación de las medidas de tendencia central o de posición, ya que, por ejemplo, cuando pretendemos representar toda una información con la media aritmética, no estamos siendo absolutamente fieles a la realidad, pues suelen existir datos extremos inferiores y superiores a la media aritmética. La dispersión se refiere a la variabilidad entre los valores, es decir, qué tan grandes son las diferencias entre los valores. La idea de dispersión se relaciona con la mayor o menor concentración de los datos en torno a un valor central, generalmente la media aritmética. Ejemplos: A continuación se muestran dos figuras. La primera presenta una distribución con datos más concentrados alrededor de su promedio (400) que la otra figura con respecto a su promedio (000). Es decir, la primera figura es una distribución con menor dispersión Las figuras siguientes muestran a tres distribuciones con promedio 70, sin embargo las tres difieren en cuanto a su variabilidad alrededor de la media. poca variabilidad alguna variabilidad gran variabilidad 70

24 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades Ejemplo: Un enlatador de refrescos indica que cada lata contiene onzas. Cuánto refresco tiene en realidad cada lata? Es poco probable que todas las latas contengan exactamente onzas. Existe variabilidad en el proceso de llenar las latas. Algunas latas contienen un poco más de onzas, otras contienen un poco menos. En promedio las latas tienen onzas. El empacador espera que haya poca variabilidad en el proceso de tal forma que las latas estén lo más cerca posible a las onzas de refresco. Ejemplo: Se tienen dos grupos de estudiantes que sometidos a una prueba arrojaron los siguientes puntajes: Puntaje Nº estudiantes 9 Puntaje Nº estudiantes Total 0 7 Total 0 Al calcular el promedio aritmético para ambos grupos se obtiene: x x A B Este resultado puede conducir a conclusiones equivocadas cuando se está comparando distribuciones, pues se podría pensar que ambas secciones son idénticas en su rendimiento, siendo esto falso ya que observando los datos se aprecia que la sección B es más homogénea. En este caso el promedio no tiene suficiente grado de representatividad por lo tanto poco podrá decirnos acerca de los datos en estudio. 7

25 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática Es necesario entonces calcular otras medidas estadísticas para mostrar cómo varían los datos alrededor del promedio y esto se logra mediante las medidas de dispersión. Es necesario estudiar las medidas de dispersión:. Para evaluar la confiabilidad del promedio que se está utilizando: Una dispersión pequeña indica que los datos se encuentran acumulados cercanamente, alrededor de la medida de tendencia central establecida. Por tanto, la medida de tendencia central se considera confiable o bastante representativa de los datos. Por el contrario, una dispersión grande indica que la medida escogida para representar los datos no es muy confiable, es decir, no es muy representativa de los datos.. Para apreciar cuán dispersas están dos o más distribuciones: Para poder comparar dos distribuciones de frecuencias entre sí, no sólo necesitamos la medida de tendencia central, sino también la dispersión entre las observaciones para no elaborar conclusiones erróneas. A mayor medida de dispersión el grupo es más heterogéneo. A menor medida de dispersión el grupo es más homogéneo o uniforme. 7

26 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA Cuantifican el grado de concentración o de dispersión de los valores de la variable en torno de un promedio de la distribución. Principales medidas de dispersión absoluta: Rango o Recorrido : R Varianza : S Desviación Estándar : S RANGO O RECORRIDO: R Es la diferencia entre los valores máximo y mínimo de los datos. R X máx X mín Esta medida es muy fácil de calcular sin embargo no es muy recomendable porque sólo toma en cuenta los valores extremos, sin considerar los demás valores. 73

27 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática VARIANZA S, V[X] Es un valor numérico que cuantifica el grado de dispersión de los valores de una variable respecto a su media aritmética. Es el promedio de los cuadrados de las desviaciones de la variable respecto a su media aritmética. V [ X ] M ( X x ) i Notación: S : Varianza muestral. σ : Varianza poblacional. Nota: La varianza nunca es negativa. Cuando la variable toma un único valor; es decir cuando es constante entonces la varianza es cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están. S para datos no agrupados: Ejemplo: V (x) X n i X n i n Calcular e interpretar la varianza de los pesos de un grupo de personas. Los datos son los siguientes: n 8 X i 565 i 8 8 X i i x S ,84 6 kilos 74

28 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades En promedio, los pesos del grupo de personas se alejan con respecto al promedio aritmético en aproximadamente 6 kilos al cuadrado. S para datos agrupados: x S k f i X n i i k f i X i n i n Ejemplo: Calcular e interpretar la varianza para la siguiente tabla de frecuencias. Edad I i Nº de personas f i Total n 0 Primero deberá calcularse las marcas de clase para cada uno de los intervalos. Reemplazando en la fórmula: V (x) k f i n i X i k f i X i n i n V ( x ) 9. 9 años En promedio la edad de estas personas se aleja con respecto a su promedio aritmético en aproximadamente 9 años al cuadrado. 75

29 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática VARIANZA TOTAL O GLOBAL Si una muestra de tamaño n se particiona en k muestras cada una de tamaño n i con su correspondiente promedio aritmético x i, y su varianza S i k n n x x n k x k S S S k Entonces la varianza para los k grupos juntos se calcula mediante: S T k ni ( xi i n + Si ) k n i i n xi Donde: n k i n i Ejemplo: Se tienen tres grupos, de seis, nueve y siete estudiantes respectivamente. Si las notas correspondientes a cada uno de ellos son: Grupo : Grupo : Grupo 3 : Calcular e interpretar la varianza para los tres grupos juntos. Primero deberá calcularse la varianza para cada uno de los grupos: 76

30 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades S S S Se calcula también el promedio aritmético de cada grupo: x.5 x x Reemplazando en la fórmula de varianza total: S T 6 ( ) + 9 ( ) + 7( ) (.09 ) S.98 T En promedio las notas de los estudiantes de los tres grupos se alejan con respecto al promedio total en aproximadamente 3 puntos. Propiedades de la Varianza Si X i es una variable cualquiera y además c y b son constantes, entonces se tiene:.- V ( c ) 0.- V ( X i ± c ) V ( X ) 3.- V ( c X) i c V ( X ) 4.- V ( c X i ± b ) c V ( X ) 77

31 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática DESVIACIÓN ESTÁNDAR Es la raíz cuadrada positiva de la varianza y posee las mismas unidades que la media aritmética, las mismas que ya no están elevadas al cuadrado como en la varianza. S V ( X) La desviación estándar o desviación típica aparece para simplificar la interpretación de la varianza. Cuando calculamos la varianza, nos basamos en datos elevados al cuadrado, por lo que, el resultado obtenido debe interpretarse en unidades al cuadrado; por esta razón aparece la desviación estándar como la raíz cuadrada de la variancia. Distribuciones con igual promedio aritmético y diferente desviación estándar Ejemplo: Calcular la desviación estándar de las notas obtenidas por un grupo de alumnos del tercer ciclo de la Facultad de Ingeniería de Sistemas de la UAP en la primera evaluación de estadística Por lo tanto: n 9 X i i 9 9 X i i V S x ( x) ,5 3.5 puntos 78

32 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades Nota: La varianza y la desviación estándar se utilizan para comparar grupos cuya variable está expresada en las mismas unidades. Así, el grupo más homogéneo, el más uniforme o aquel en el que la media aritmética es más representativa, será aquel en el cual la varianza o la desviación estándar es menor. Ejemplo: En algunas semanas consecutivas, los oficiales de policía Martínez y Castro levantaron las siguientes infracciones por exceso de velocidad: Martínez : Castro : Cuál de los oficiales es más homogéneo con respecto al número de infracciones? Solución: 08 SM , S C ,95 S S C < M El oficial Castro es más homogéneo con respecto al número de infracciones porque su varianza es menor. 79

33 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVA La varianza y la desviación típica también tienen sus limitaciones. Similar a la media aritmética es vulnerable a la influencia de casos extremos. Además, cuando las medias aritméticas no son iguales o cuando las unidades de medición son distintas, la comparación de desviaciones típicas puede no ser significativa. La medida de dispersión relativa más utilizada es el coeficiente de variación. COEFICIENTE DE VARIACIÓN Es la desviación estándar dividida sobre la media aritmética multiplicada por 00. El mismo nos permite comparar desviaciones típicas de variables con unidades de medición distintas. S CV 00 x En la práctica, se acostumbra considerar que un coeficiente de variación superior a 5% indica alto grado de dispersión y por lo tanto poca representatividad de la media aritmética. Ejemplo: Se desea comparar los sueldos de los trabajadores de dos empresas, A y B. Para tal efecto se tienen los siguientes datos: Empresa A Empresa B Sueldos ( $ ) Nº trabajadores Sueldos ( S/. ) Nº trabajadores Se puede afirmar que los sueldos de los trabajadores de la empresa A son más uniformes? Por qué? 80

34 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades x A x B S A 43.0 S B CV A % CV A % Por lo tanto, los sueldos de los trabajadores de la empresa A no son los más uniformes, sino los sueldos de la empresa B, porque presentan menor coeficiente de variación. 8

35 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática ASIMETRÍA O SESGO Una distribución es asimétrica cuando sus datos tienden a agruparse hacia uno de los extremos de la distribución. Cuando una curva es asimétrica se dice que tiene un sesgo. El sesgo puede ser de dos tipos: Si los datos tienden a agruparse en las primeras clases, se dice que la distribución tiene un sesgo positivo o que es asimétrica positiva. Si los datos tienden a agruparse en las últimas clases de la distribución, se dice que esta tiene sesgo negativo o que es asimétrica negativa. Coeficiente de Asimetría Es una medida que se utiliza para evaluar el sesgo de una distribución: CA 3 ( x Me ) S Según es grado de asimetría una distribución puede ser: Simétrica CA 0 Asimétrica positiva CA > 0 Asimétrica negativa CA < 0 8

36 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades CURTOSIS O APUNTAMIENTO Mide el grado de elevación o agudeza de una distribución comparada con la curva normal. Coeficiente de Curtosis Indica la deformación vertical de una distribución de frecuencias. K P 75 (P 90 P 5 P 0 ) Según su grado de curtosis, una distribución puede ser: K 0 K > 0,63 K < 0,63 Si K 0,63 mesocúrtica. Si K > 0,63 leptocúrtica. Si K < 0,63 platicúrtica. 83

37 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática Resumen En la presente unidad se tratan el cálculo y la interpretación de las medidas de tendencia central, de posición y de dispersión. Las medidas de tendencia central tienen como objetivo sintetizar los datos en un valor representativo, las medidas de dispersión nos dicen hasta qué punto estas medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información. Por su parte, las medidas de dispersión cuantifican la variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central. El conocimiento de la forma de la distribución y del respectivo promedio de un conjunto de datos correspondientes a una variable sirve para tener una idea bastante clara acerca de las propiedades de la muestra en estudio. 84

38 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades Actividad.- Preguntar la edad a mujeres y 0 varones..- Calcular la edad promedio tanto para mujeres como para varones. 3.- En promedio: Quiénes son mayores, los hombres o las mujeres? 4.- Calcular e interpretar la edad promedio para mujeres y varones en forma conjunta. 5.- Qué grupo es más homogéneo en cuanto a su edad? 6.- Calcular e interpretar la desviación estándar para estas 3 personas. 7.- Hallar e interpretar el grado de asimetría. 8.- Calcular e interpretar la curtosis. 85

39 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática Autoevaluación MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y POSICIÓN:.- En un examen de estadística tomado el mismo día y hora a los tres grupos del tercer ciclo de Ingeniería de Sistema, A, B y C, con un total de 50 alumnos, se obtuvo una nota promedio de 3,. Las notas promedio de los grupos A y B fueron y 4 respectivamente, los registros del grupo C se extraviaron pero se sabe que el grupo A es el 36% del total y el número de alumnos del grupo B es la tercera parte de los matriculados en el grupo C. a) Hallar la nota promedio del grupo C. b) Calcular la nota promedio de los grupos A y C juntos..- De un grupo de empresas se sabe que ninguna tiene más de 5 trabajadores ni menos de, la mayoría tiene 3 trabajadores, el 0% tiene 5 trabajadores y de cada 0 empresas tiene 4 trabajadores. La proporción de empresas que tienen dos trabajadores es 0,5. Calcular e interpretar la media aritmética. 3- Se ha realizado una competencia deportiva para seleccionar a los atletas en 00 metros planos que representarán a un club en una competencia. Sólo el 0% más apto representará al club en dicha competencia, el 0% menos apto será separado del equipo y se les derivará al grupo de salto largo. El 40% central será sometido a un riguroso entrenamiento. Hallar los límites de estos tres grupos; si se cuenta con los siguientes datos: Velocidad (km/h) Nº atletas El jefe de control de calidad de una empresa ha clasificado un lote de 80 artículos de acuerdo a su peso en una distribución con seis intervalos de clase. Si las frecuencias absolutas simples correspondientes a cada intervalo son 6,, 4, 8, 3 y 7, siendo además: 86

40 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades X 4 35 X i 95 a) Sobre qué peso se encuentra las 3/4 partes de los artículos? b) Cuánto pesan como máximo el 5% menos pesado de los artículos? 5- En un examen tomado a tres secciones de un curso de estadística de 9 alumnos, el puntaje medio general fue de 69,3. Los puntajes medios de las secciones y fueron 70,4 y 64, respectivamente. Se perdieron los archivos con las notas de la sección 3 pero los ayudantes recuerdan que las secciones y tenían exactamente el mismo número de alumnos, mientras que el ayudante de la sección 3 menciona que su sección tenía 5 estudiantes menos que la. Cuál es el promedio de las notas de la sección 3? 6.- Una tabla de distribución de frecuencias muestra el número de artículos producidos por diferentes fábricas. Si se sabe que a partir de la segunda frecuencia absoluta simple se cumple que cada frecuencia es la tercera parte de la anterior aumentada en cuatro unidades, y además se conoce: 5 5 fi 9 Xi i i Calcular e interpretar el promedio aritmético. 387,5 X 4 95,5 7.- Doscientos cuarenta alumnos correspondientes a las facultades de Ing. de Sistemas, Veterinaria y Contabilidad rinden en forma conjunta un examen de estadística. El promedio general fue,5. La nota promedio de los 60 alumnos de Sistemas fue 3, mientras que la nota promedio de los alumnos de Contabilidad fue. Si se sabe que el número de alumnos de Contabilidad es el triple de los alumnos de Veterinaria; calcular la nota promedio para los alumnos de: a) Veterinaria. b) Sistemas y Veterinaria juntos. c) Sistemas y Contabilidad juntos. d) Veterinaria y Contabilidad juntos. 87

41 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática 8.- En una investigación sobre salarios diarios de los trabajadores de una empresa se encontraron los siguientes datos: Se cree que luego de cinco años cada trabajador triplicará su ingreso. Cuál será entonces el salario promedio? 9.- Un grupo de cien personas viaja en dos aviones. El primero lleva 40 personas y el segundo las restantes. Se sabe que el peso medio de todas las personas es de 86,3 libras y que el de los del segundo avión es de 0 libras menos que el de las personas del primer avión. Cuál es el peso medio de las personas en cada avión? 0.- Las siguientes tablas muestran la duración de los artefactos electrónicos vendidos por dos tiendas, A y B. Tienda A Tienda B Duración (días) F i Duración (días) X i fi Hallar el promedio aritmético para las dos tiendas juntas..- Las siguientes tablas muestran a dos grupos de alumnos clasificados según el número de palabras que han memorizado. Xi Grupo A Grupo B f i Xi F i

42 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades a) El grupo ganador será aquel cuyos 5 mejores participantes obtengan la mayor cantidad de palabras memorizadas. Cuál será el grupo ganador? b) Calcular e interpretar el promedio más adecuado del grupo B. c) Cuál es la cantidad mínima de palabras que memorizaron el 0% correspondiente a los participantes con mayor capacidad?.- Un grupo de 00 personas, cuya estatura promedio es de.70 m se divide en dos grupos; uno con una estatura media de.68 m y otro con una de.73 m. Cuántas personas hay en cada grupo? 3.- Se tiene una distribución de frecuencias con cinco intervalos de clase cuya amplitud es constante y representa a una variable continua. Además se sabe que: h h 0,0 f4 0 Me 3,75 n 50 H 3 0, 40 Mo 5 a) Calcular e interpretar el promedio aritmético. b) Si otra distribución de 3 unidades estadísticas presenta un promedio aritmético igual a 9.8, calcular el promedio aritmético para las dos distribuciones juntas. 4.- El número de computadoras en las empresas de la ciudad A presenta una distribución simétrica y además se conoce los siguientes datos: X mín 0 X 5 88 h X 3 54, 5 9 h A 0 f 3 30 A 0 f i 90 A 4 a) Calcular e interpretar el promedio aritmético. b) Si el promedio de computadoras para las ciudades A y B es 6, hallar el número de empresas en la ciudad B si se sabe que su promedio es i 89

43 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática 5.- La siguiente tabla muestra la distribución porcentual de los pesos de cincuenta personas elegidas en forma aleatoria a la entrada de un estadio. X i : h i % : a) Hallar el peso mínimo de las 5 personas más pesadas. b) Hallar el peso bajo el cual se encuentran ubicadas las 5 personas que no son las más pesadas. 6.- La biblioteca de una universidad tiene registrado el número de libros tanto de ciencias como de letras que solicitaron, por día, los alumnos durante el año 007. Xi Letras Ciencias f i Xi f i a) En los quince días de mayor lectura: Se solicitaron más libros de letras que de ciencias? Por qué? b) Podemos afirmar que con mayor frecuencia se solicitan libros de letras que de ciencias? Por qué? 7.- La siguiente tabla muestra los sueldos de los trabajadores de una compañía. Sueldos (S/.) Nº Trabajadores

44 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades a) Cuánto ganan como mínimo los 33 trabajadores con mayor sueldo? b) A la quinta parte de los trabajadores, correspondiente a los que ganan menos, se les dará un aumento. Si José gana 00, recibirá aumento? c) Se considera que hay siete trabajadores cuyos sueldos son altos; en una reunión de directorio se acordó hacerles un descuento del 5% de sus sueldos. A partir de qué sueldo corresponde dicho descuento? 8.- En uno de los laboratorios de la UAP se desea hacer un estudio acerca de las computadoras y la cantidad de virus que han ingresado el mes pasado. X i : F i : a) Se afirma que las quince computadoras con mayor cantidad de virus llegaron a tener no menos de 64 virus Está de acuerdo? Por qué? b) Sandra afirma que en este caso el promedio más adecuado es la moda, sin embargo Pedro piensa que sería la mediana. Cuál de los dos cree que tiene la razón? Por qué? Calcule e interprete dicho promedio adecuado. c) Clasificar las computadoras en cuatro categorías diferentes: el 50% central en la categoría B, el 0% más afectado en la D y el resto en las categorías A y C. Hallar los límites entre las categorías. d) Teniendo en cuenta la clasificación anterior hallar el número de computadoras correspondiente a cada categoría y luego calcular el promedio más adecuado. 9

45 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática 9.- Durante los últimos dos meses se ha venido recogiendo la información correspondiente a la cantidad de mensajes electrónicos recibidos por los alumnos de la UAP. I i : f i : a) Cuántos mensajes reciben como mínimo y como máximo los 34 estudiantes centrales? b) Se desea realizar una nueva clasificación de modo que se tengan cuatro categorías. El 40% superior se divide en dos partes iguales para formar las categorías C y D, mientras que el 45% siguiente constituye la categoría B y el resto la A. Hallar los límites entre estas categorías. c) Cuántos mensajes reciben en promedio la mayor parte de los estudiantes? d) José quiere saber cuántos mensajes ha recibido Rocío. El número de mensajes de Rocío es igual a la mitad del valor mínimo del 35% superior. Cuántos mensajes ha recibido Rocío? 0.- La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias relativas de los pesos de cincuenta personas elegidas en forma aleatoria a la entrada de un gimnasio. Ii h i % a) Hallar el peso mínimo de las 5 personas más pesadas. b) Hallar el peso bajo el cual se encuentran ubicadas las 5 personas que no son las más pesadas. c) Se afirma que la media aritmética es menor que la moda, estás de acuerdo? d) Hallar los pesos entre los cuales se encuentra ubicado el 80% central de estas personas. 9

46 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades.- Se desea hacer un estudio en la Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas de la UAP. Con tal motivo se cuenta con la información correspondiente a las notas en el curso de Estadística de los alumnos del III ciclo de Ingeniería de Sistemas. I i : f i : a) La profesora de estadística va a premiar al quinto superior. A quiénes premiará? b) Si el 30% de los alumnos reprueba el examen de estadística, la profesora tomará un examen de recuperación. Será necesario dar la recuperación? c) A los quince alumnos que tengan las mejores notas se les hará un descuento especial en su próxima boleta. Su nota es 7. Se hará acreedor a dicho descuento? d) Los alumnos están muy preocupados porque afirman que la nota más frecuente ha sido 09. Hay razón para preocuparse? Por qué? e) Se sabe que doce alumnos reprobarán el curso y que seis recibirán un premio especial. Hallar las notas entre las cuales se encuentran los alumnos que no reprobarán ni recibirán premio alguno. 93

47 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática MEDIDAS DE DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y CURTOSIS.- Se utilizan dos máquinas diferentes para fabricar conductos de salida de papel destinados a copiadoras Kodak. Los conductos de una muestra de la primera máquina medían:.,.9,.8,.,.9,.4,.3 y.3 pulgadas. Los conductos hechos con la segunda máquina medían.,.9,.5,.,.,.9 y.8 pulgadas. Qué máquina deberá utilizarse si se desea utilizar la máquina que produzca conductos de tamaños más uniformes?.- Dos secciones, A y B, del III ciclo de la facultad de Ingeniería de Sistemas de la UAP rinden un mismo examen final de estadística y probabilidades. Los resultados fueron los siguientes: Sección A Sección B Nº de alumnos f i Xi Xi Nº de alumnos Notas a) Cuál de las secciones es más homogénea con respecto a sus notas? b) Si se toma un examen sustitutorio y los alumnos de la sección A aumentan sus notas en un 5% mientras que los de la sección B disminuyen 3 puntos; calcular la nueva desviación estándar para cada sección. c) En cuántos puntos se alejan las notas de los alumnos con respecto al promedio aritmético total? 3.- Se tiene los siguientes datos correspondientes al peso de un grupo de personas y además se sabe que el peso promedio es 7. Kg. Peso Nº de personas Se podría afirmar que se trata de una distribución simétrica? Por qué? 94

48 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades 4.- Un entrenador de pista y campo debe decidir a cuál de sus dos velocistas seleccionará para los cien metros planos en una próxima competencia. El entrenador basará la decisión en los resultados de cinco carreras entre los dos atletas, celebradas en un periodo de una hora con descansos de 5 minutos. Los siguientes tiempos (en segundos) se registraron para las cinco carreras: Atleta Carrera Mendoza,,0,0 5,8, Ramírez,3,4,4,5,4 Con base en estos datos: A cuál de los dos velocistas debe seleccionar el entrenador? Por qué? 5.- Los siguientes datos corresponden al número de veces que el programa Minitab se colgó durante un mes, en cada uno de los ordenadores de una empresa En promedio: En cuánto se alejan los datos con respecto al promedio aritmético? 6.- Se sabe que la media aritmética de la siguiente distribución es.5. I i : f i : Calcular e interpretar la varianza. 7.- Si X es una variable que tiene media 5 y varianza 5, hallar la media, varianza y desviación típica de Y en los siguientes casos: a) Y 4 + 6X b) Y 6-4X c) Y + X

49 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática 8.- Durante un periodo de diez años, los precios de un producto fueron en promedio de $80 con una desviación estándar de $. En el anterior periodo de diez años el promedio fue de $50 con una varianza de 36. En qué periodo hubo mayor estabilidad? 9.- Se clasificó a los trabajadores de una mina en dos categorías, mayores y menores de 5 años, y se extrajo la siguiente información: Edad Nº de obreros Productividad media Varianza Mayores de 5 años Menores de 5 años Calcular e interpretar la desviación estándar de todos los obreros de la mina. 0.- Los alumnos de un grupo obtuvieron en matemática II una nota media de 68.7 puntos con una desviación estándar de 5.4 y los de otro grupo obtuvieron en la misma asignatura un promedio de 50.9 puntos con una desviación estándar de 9.6. Cuál de los dos grupos tiene un rendimiento más heterogéneo?.- Un grupo de niños de ocho años de edad tiene una estatura media de 4 cm y su desviación estándar es 6.9 cm, su peso medio es 4 kilos y su desviación estándar 5 kilos. En qué aspecto es este grupo más variable, en estatura o en peso?.- Dos marcas de máquinas, A y B, han sido diseñadas para producir cierto tipo de producto. Tienen igual precio. Un fabricante, al decidir cuál comprar, ha observado diez máquinas diferentes de cada marca en operación durante una hora. El número de artículos producidos por cada máquina se registra en la siguiente tabla: Marca A Marca B a) Cuál máquina recomendaría comprar? Por qué? b) Calcular e interpretar la desviación estándar para las dos marcas juntas. 96

50 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades 3.- Una prueba de conocimientos A se calificó sobre 0 puntos dando una media de y una desviación estándar de puntos, mientras que una prueba de aptitud B se calificó sobre 00 puntos, dando una media de 70 y una varianza de 5. Cuál de las dos pruebas tiene mayor dispersión? Por qué? 4.- Una empresa informática tiene un registro de productos de software al cual se les midió el número de errores encontrados medidos en cientos de módulos. Los datos se encuentran resumidos en la siguiente tabla: X i : f i : a) Calcular e interpretar la desviación estándar. b) Qué sesgo presenta la distribución? 5.- Un encargado de compras ha obtenido muestras de focos de luz de dos proveedores. En su laboratorio ha probado ambas muestras con respecto a la duración de su vida útil, con los siguientes resultados: Duración de la vida útil Muestras de (horas) Empresa A Empresa B Para los focos de cuál de las empresas es el promedio aritmético más representativo? 6.- Las siguientes tablas muestran la distribución de las tallas correspondientes a dos grupos de niños. 97

51 Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas e Informática Talla Talla Nº de Niños (cm.) (pulg) Nº de Niños En cuál de los grupos la media aritmética es menos representativa? Justifique su respuesta. 7.- Las notas del curso A tuvieron una media aritmética de 75 puntos y una varianza de 5. Las del curso B, tuvieron una media de 70 puntos y una desviación estándar de 4. Si en ambos cursos las notas se aumentan en 0%, cuál de los dos cursos tiene un CV mayor después de arreglar las notas? 8.- Se tienen los sueldos correspondientes a los técnicos y profesionales que laboran en una empresa privada. Se quiere comparar la dispersión existente entre éstos y para ello se cuenta con la siguiente información: Sueldos/mes Sueldos/mes Nº de Nº de técnicos ($) (S/) Profesionales Se puede afirmar que la dispersión es ligeramente superior en los sueldos de los técnicos? Por qué? 9.- Un grupo de 300 alumnos llevan el curso de estadística, distribuidos en cuatro secciones. Si se sabe que el número de alumnos por sección está en una progresión aritmética cuya razón es 0 y además se conoce que las notas promedio de las secciones A, C y D son, 4 y mientras que las varianzas 98

52 Segunda Unidad Didáctica Estadística y Probabilidades de los grupos A y C son 6 y 4, y las desviaciones estándar de B y D son 3 y respectivamente. Si la nota promedio en el curso es.37, calcular e interpretar la desviación estándar de las cuatro secciones juntas. 0.- Una muestra de 70 datos originales da una media de 0 y una desviación estándar de 6, otra muestra de 30 datos originales da una media de 5 y una varianza de 5. Se reúne las dos muestras formando una sola, calcular el coeficiente de variación de esta nueva muestra..- El número de artículos producidos por dos máquinas durante los últimos meses ha sido el siguiente: Nº artic. Nº meses Nº artic. Nº meses Cuál de las dos máquinas es más heterogénea en cuanto al número de artículos producidos?.- Se tiene tres empresa con aproximadamente igual número de trabajadores. El número de inasistencias registradas durante los últimos seis meses en cada una de las tres empresas se muestra a continuación: Empresa: A : B : C : En cuál de estas tres empresas existe mayor variabilidad con respecto al número de inasistencias? 3.- Se ha medido el tiempo en segundos que demora en arrancar la última versión del programa Macrohard Phrase en los ordenadores de nuestra empresa según 99