El triangle aritmètic de Blaise Pascal ( ) Mª Rosa Massa Esteve (1), Fàtima Romero Vallhonesta (2)

Transcripción

1 6 biaix 28 I 29 El triangle aritmètic de Blaise Pascal ( ) Mª Rosa Massa Esteve (), Fàtima Romero Vallhonesta (2) () Departament de Matemàtica Aplicada I. Centre de Recerca per a la Història de la Tècnica. Universitat Politècnica de Catalunya m.rosa.massa@upc.edu (2) Inspecció a Barcelona-Comarques. Departament d'educació de la Generalitat de Catalunya fromero@xtec.cat Resum La història de la ciència pot ser útil per al seu ensenyament. Aquest article analitza les propietats matemàtiques del triangle aritmètic per utilitzar-les a l'eso quan els alumnes aprenen combinatòria. Paraules clau: triangle aritmètic, ensenyament, Blaise Pascal, combinatòria, sumes de potències, contextos històrics. Abstract Abstract: The history of science can be useful for teaching science itself. This paper discusses the mathematical properties of Pascal s arithmetical triangle for using in a secondary school when combinatorics are introduced in the classroom. Key words: Arithmetical triangle, teaching, Blaise Pascal, combinatorial numbers, sums of powers, historical context.. Introducció Un dels camins per portar a terme la immersió de la història de la matemàtica a l'aula és la utilització explícita de textos històrics com un recurs per a millorar l'aprenentatge de l'alumnat (Massa, 2003). El text històric que analitzem és el triangle aritmètic de Blaise Pascal ( ) amb les seves utilitats. El triangle aritmètic és un conjunt de nombres naturals disposats en forma de taula triangular (Fig. ). La regla de formació d'aquesta taula de nombres és senzilla: cada fila comença i acaba amb un i els altres nombres s'obtenen sumant els dos nombres més propers de la fila immediata superior. Així, el 2 de la tercera fila s'obté sumant els dos uns de la segona, els tresos de la quarta fila s'obtenen sumant un i un 2 de la tercera i, per exemple, cada 0 de la cinquena s'obté sumant el 6 i el 4, que són els dos nombres de la quarta fila que tenen més propers Figura. Triangle aritmètic. L'objectiu d'aquest article és analitzar algunes de les possibilitats d'utilització del triangle aritmètic a l'aula, sigui per introduir conceptes, per ensenyar procediments de càlcul o per suggerir i realitzar treballs de recerca de batxillerat.

2 El triangle aritmètic a la història El triangle aritmètic és un dels conjunts de nombres més famosos de la matemàtica, i es pot utilitzar en molts camps. Ha estat estudiat des de l'antiguitat i per moltes civilitzacions [Cassina (923); Bosmans (924); Dou (975) i Edwards (2002)]. Es creu que va aparèixer representat en forma de triangle (Fig. 2) per primera vegada a l'obra De Arithmetica (aprox. 225), de Jordanus de Nemorario. Figura 2. Triangle aritmètic de Jordanus. També el trobem a la matemàtica xinesa (Fig. 3), concretament a l'obra El mirall preciós de Txu Xhi-kei (303). Figura 3. Triangle aritmètic al text xinès. Apareix també a la portada de l'obra Rara Arithmetica (527) de Petrus Apianus ( ), a l'arithmetica Integra (544) de Michael Stifel ( ) i al General Tratatto di numeri e misure (556) de Niccolò Tartaglia ( ). La fascinació que provoquen les nombroses propietats i aplicacions del triangle aritmètic queda reflectida en moltes frases dels matemàtics que el van estudiar [Edwards 2002, vi]. Així, diu Johann Faulhaber ( ) a Mysterium Arithmeticum (65): "Una rica mina d'informació en forma de taula, la qual revela els secrets més profunds de l'aritmètica"; William Oughtred ( ), a la seva obra Clavis Mathematicae (63), comenta: "Aquesta taula plena dels misteris més bonics"; també Henry Briggs (56-63), a la seva obra Trigonometria Britannica (633), afirma que la taula és: "Una calculadora útil per a tot". Més tard, Blaise Pascal ( ), a la seva obra Potestatum numericarum summa (654), exclama: "És una cosa estranya com és de fèrtil en propietats". Es poden donar diferents interpretacions dels nombres que formen el triangle segons el context on es trobin. Històricament, els nombres que formen aquesta taula triangular van ésser coneguts, ja en l'antiga Grècia, com a nombres figurats: triangulars, tetraèdrics, pentagonals, etc. Així, els nombres que formen la tercera diagonal s'anomenen triangulars (, 3, 6, 0...); els de la quarta, tetraèdrics (, 4, 0, 20...); els de la cinquena, pentagonals (, 5, 5, 35...), etc. Més tard, les files del triangle es varen identificar amb els coeficients dels termes d'un desenvolupament binomial, o sigui, amb els nombres binomials:

3 8 biaix 28 I 29 (a + b 0 ) (a + b ) (a + b 2 ) 2 (a + b 3 ) 3 3 (a + b 4 ) (a + b 5 ) Per exemple, el desenvolupament de la cinquena potència d'un binomi (actualment es coneix com binomi de Newton), tindria com a coeficients els nombres de la fila cinquena: (a + b) = a + 5 a b +0 a 3 b 2 +0 a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5. Finalment, ja amb Pascal, el triangle es va aplicar també a la combinatòria (Fig. 4). Podem considerar els nombres que el formen com a nombres combinatoris, és a dir, números que representen el nombre de combinacions de m objectes presos de r en r. Figura 4. Triangle combinatori. Així, veiem que es compleix que els nombres que formen els costats del triangle valen, expressat en nombres combinatoris s'escriu: També la regla de formació del triangle expressada en nombres combinatoris s'escriu: De fet, el triangle aritmètic rep també els noms de triangle de Newton i de Tartaglia, però considerem que Pascal és qui mereix el reconeixement del nom, ja que va ser ell qui després de definir aquesta taula triangular i donar-ne les propietats, va escriure altres tractats on especificava els diferents usos dels nombres que la formen. El títol complet de l'obra de Pascal és: Traité du Triangle arithmétique, avec quelques autres petits traités sur la même matière. Usage du Triangle Arithmétique pour les ordres numériques, pour les combinaisons, pour déterminer les partis qu'on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties, pour trouver les puissances des binômes et des apotomes. (París, 665). Blaise Pascal (Clermont-Ferrand,623 París,662) va ser matemàtic, físic, filòsof i escriptor francès. Als catorze anys ja acompanyava el seu pare a les reunions informals de l'acadèmia de Mersenne. Allà es va relacionar amb Desargues, Roberval i Fermat. Als divuit anys va dissenyar una màquina calculadora per a ajudar el seu pare en el treball que realitzava com a recaptador d'impostos. L'any 648 es va interessar per la hidrostàtica i va realitzar els experiments de Puy-de-Dôme, que confirmaven el pes de l'aire. Va ser mestre de prosa francesa: els seus Pensées i Lettres provincials són clàssics de la literatura francesa. En mate-

4 màtiques, a part d'una obra sobre còniques, es va dedicar a l'estudi de la "cicloide", encara que l'obra més influent va ser la que tracta del triangle aritmètic (Taton, 97, pp ). El Traité du Triangle Arithmétique de Pascal comença amb la definició de la taula i de la seva construcció. La definició comença amb l'expressió: "Jo anomeno triangle aritmètic...". Vegem la figura de Pascal (Fig. 5): Figura 5. Triangle aritmètic de Pascal (Pascal, 665, p. 97). Després d'explicar-ne la construcció Pascal enuncia i demostra 9 propietats (ell les anomena consequences) del triangle prenent la unitat com a generador. Pascal representa el triangle amb el vèrtex en angle recte, i anomena les diagonals com a files paral leles i perpendiculars. Els nombres els anomena cèl lules. A tall d'exemple, mostrem com enuncia la conseqüència tercera: En tot Triangle Aritmètic, cada cèl lula (nombre) és igual a la suma de totes les de la fila perpendicular precedent, compreses des de la seva fila paral lela fins a la primera inclosa. 2 El nombre 20, per exemple, és igual a la suma dels nombres de la fila perpendicular precedent, 20= En notació actual i emprant nombres combinatoris seria: i, generalitzant, s'escriuria. 3. Ús del triangle. Càlcul de les sumes de potències Les sumes de potències es poden calcular a partir de les propietats dels nombres figurats del triangle aritmètic. Considerem el triangle: Cadascuna de les categories de nombres figurats (triangulars, tetraèdrics, pentagonals...) s'obté com a suma dels nombres figurats anteriors. Els nombres triangulars situats a la tercera diagonal, 3, 6, 0...,

5 0 biaix 28 I 29 s'obtenen com a suma dels nombres naturals que estan situats a la segona diagonal: =, 3=+2, 6=+2+3, 0=+2+3+4, etc.; els tetraèdrics (quarta diagonal), 4, 0, 20..., s'obtenen com a suma dels nombres triangulars: =, 4=+3, 0=+3+6, 20= , i així successivament. Si expressem els termes de la segona diagonal per a 2 =, a = 2, a 32 = 3,..., a n2 = n, i els nombres triangulars per a 3 =, a 23 = 3, a 33 = 6,..., podem escriure les relacions anteriors amb la fórmula: Llavors, l'enèsim nombre triangular es pot expressar mitjançant la relació 3 : expressada en nombres combinatoris, s'escriuria:. Aquesta relació,. Per exemple: ;... i així successivament. Vegeu ara aquesta propietat en els nombres tetraèdrics que expressarem: a 4 =, a 24 = 4, a 34 = 0,... En aquest cas, l'enèsim nombre tetraèdric s'escriuria:. Aquesta relació, expressada en nombres combinatoris, s'escriuria:. Per exemple: ;..., i així successivament. En general, els nombres de l'enèsima diagonal s'expressen:. Vegeu com es poden calcular les sumes de potències de la successió de nombres naturals, emprant aquestes propietats: = ½ ( 2); =; 3 = ½ (2 3); 3= + 2; 6 = ½ (3 4) 6= = /6 ( 2 3); =; 4 = /6 (2 3 4); 4= + 3; 0 = /6 (3 4 5)... 0= Demostració = ½ ( 2); + 2 = ½ (2 3); = ½ (3 4)..., i així successivament. Per n termes es verificarà: n = ½ (n (n+)).

6 O sigui, que:. Per calcular les sumes de quadrats partim del fet que la suma dels triangulars dóna els nombres tetraèdrics. Així, es verificarà: = /6 ( 2 3); + 3 = /6 (2 3 4); = /6 (3 4 5)... llavors, la suma dels triangulars l'escriurem: Desenvolupant: i emprant que: Es demostra : Generalitzant, escriuríem: amb n p. Aquestes sumes, quan el nombre de termes es fa infinit, condueixen a trobar la fórmula que en notació actual s'escriu: A tall d'exemple, mostrem com Pietro Mengoli ( ), a la seva obra Geometriae Speciosae Elementa (659), obtenia aquestes àrees emprant el triangle aritmètic (Massa, 2006, pp ). Mengoli primer disposa les integrals (ell les anomena quadratures) que vol calcular en forma de taula triangular (Fig. 6). En notació actual s'expressen: Figura 6. Taula d'integrals en notació actual. Tot seguit, a partir del triangle aritmètic troba la taula de valors d'aquestes integrals i demostra que els termes de la taula nova (Fig. 7) són iguals als termes corresponents d'aquesta (Fig. 6). Considerant el vèrtex a part, Mengoli multiplica cada fila del triangle aritmètic pel nombre de termes que la formen; és a dir, la primera fila per dos, la segona per tres, la emèsima per (m +) i així successivament. Per aquest procediment obté la taula:

7 2 biaix 28 I A continuació, Mengoli escriu l'invers d'aquests nombres en forma de taula triangular i obté el triangle que actualment es coneix com triangle harmònic (Fig. 7): 4 /2 /2 /3 /6 /3 /4 /2 /2 /4 /5 /20 /30 /20 /5 Figura 7. Triangle Harmònic. Mengoli identifica aquests valors amb les integrals corresponents. En notació actual s'expressaria: 5. El triangle aritmètic a l'aula. Algunes experiències Descriurem tres situacions on el triangle aritmètic pot ésser emprat explícitament a l'aula: ) com a text històric significatiu per a ensenyar matemàtiques; 2) com a part del contingut de crèdits variables de matemàtiques; i 3) com a tema de treball de recerca de batxillerat. 5.. Text històric significatiu El triangle aritmètic de Pascal pot ser emprat a l'aula com a text històric. La utilització de textos històrics per a assolir millor els conceptes matemàtics és una activitat que pot proporcionar elements molt valuosos per a la formació matemàtica de l'alumnat. Els textos històrics es poden fer servir per a introduir un tema o un concepte, per a aprofundir-hi, per a explicar diferències entre dos conceptes matemàtics que van sorgir en moments històrics diferents i que amb el pas del temps es van relacionar, per a motivar l'estudi d'un tipus de problemes o fins i tot per a ajudar a entendre algun raonament. Una bona utilització dels textos històrics requereix la presentació del personatge en el seu context, pel que fa tant a les seves inquietuds com a les preocupacions de l'època. Situar cronològicament l'autor permet enriquir la formació de l'alumnat mostrant-li diferents aspectes de la ciència i de la cultura de l'època de forma interdisciplinària. En el cas que tractem, Pascal és un personatge del segle XVII, segle de la revolució científica i, en concret, en el cas de les matemàtiques, de la seva algebrització. La introducció de procediments algebraics a la geometria va donar lloc a dues parts noves de la matemàtica: la geometria analítica i el càlcul infinitesimal. S'ha de clarificar també la relació del text històric amb el concepte matemàtic que s'estudia a fi que l'anàlisi del text no quedi aïllada de les idees matemàtiques que es volen transmetre. En el triangle aritmè-

8 tic es pot veure com els nombres verifiquen relacions matemàtiques molt fructíferes tant de teoria de nombres com de combinatòria, o d'anàlisi. Cal contextualitzar les demostracions històriques dins de la programació matemàtica connectant-la amb les idees matemàtiques del curs, a fi que els alumnes vegin que forma part de manera coherent d'un coneixement global. En aquest cas s'ha de situar l'activitat relacionada amb aquest context històric en explicar combinatòria o bé en la introducció a la probabilitat o com a complement a les classes de batxillerat. Finalment, i en la línia del nou decret de currículum, s'han de tenir en compte les competències que han de guiar l'activitat docent. 5 Se n'identifiquen vuit, a l'assoliment de les quals han de contribuir els continguts específics de cada matèria. Cal, doncs, que en el disseny de les activitats que es proposin als alumnes es tinguin aquestes competències com a referent, especialment aquelles que pel seu caràcter procedimental o actitudinal no tenen una disciplina pròpia que les sustenta. Proposem que les activitats vagin acompanyades d'una fitxa que en doni informació bàsica, per tal d'orientar el professorat. A continuació en mostrem un model: Autor/a Continguts principals Referències al currículum Competències implicades Tipus d'agrupament aconsellat Curs recomanat Temporització indicativa Connexions 6 TÍTOL DE L'ACTIVITAT Relacions matemàtiques en el triangle de Pascal Mª Rosa Massa-Fàtima Romero Teoria de nombres. Combinatòria. Potències d'un binomi. Les matemàtiques del segle XVII. Canvi i relacions: ús de l'àlgebra per a la representació i l'expressió de relacions matemàtiques. Matemàtica, comunicativa, aprendre a aprendre, autonomia i iniciativa personal, cultural. En grups 4rt d ESO 6 sessions Teoria de nombres, àlgebra, anàlisi Crèdit variable d'ampliació de matemàtiques La història de la matemàtica la podem emprar per a dissenyar crèdits optatius que poden ajudar a despertar l interès per la matemàtica a alumnes no gaire motivats. Descriurem tot seguit una experiència d'un crèdit optatiu, que empra el triangle aritmètic i que es va dur a terme el curs a l'ies Alexandre Satorras de Mataró amb alumnes de 4rt d'eso. Aquests alumnes havien estat assignats a un crèdit variable d'ampliació de matemàtiques on s'havien de resoldre problemes de combinatòria no elementals, però aquest crèdit es va haver de reorientar perquè, per motius organitzatius del centre, s'hi van assignar alumnes amb interessos i capacitats molt diversos. La primera sessió va ser teòrica i enllaçava amb el que s'havia tractat en el crèdit comú sobre el quadrat d'un binomi, que s'havia justificat geomètricament amb la figura:

9 4 biaix 28 I 29 Es van escriure a la pissarra els desenvolupaments de (a+b) 2, (a+b) 3, (a+b) 4 i (a+b) 5 i es va demanar als alumnes que fessin conjectures sobre el desenvolupament de (a+b) 6. La majoria dels alumnes va tenir clar quants termes havia de tenir el desenvolupament i quines n havien de ser les parts literals. Es van adonar, però, que no era evident quins n havien de ser els coeficients. Aleshores es va escriure a la pissarra el triangle aritmètic fins a la fila 6, que està formada pels termes:, 6, 5, 20, 5, 6,, i es va demanar als alumnes que novament fessin conjectures, en aquest cas sobre la fila següent i sobre la relació d'aquest triangle amb els coeficients dels desenvolupaments dels binomis. Aquest va ser el punt de partida per a l'estudi del triangle. Els alumnes es van organitzar en grups per tal d'estudiar la història del triangle i trobar algunes de les seves propietats. El grup d'alumnes que tenia més bon nivell de llengua anglesa es va dedicar a buscar informació a Internet; un altre grup feia un disseny del triangle de manera que en una cartolina de mida DIN A3 hi cabessin el màxim nombre de files possible i alhora les xifres fossin llegibles; i els altres grups buscaven propietats a partir d'unes preguntes que se'ls havia formulat. Algunes de les preguntes eren:. Quant sumen els nombres de cada fila? 2. Quant sumen tots els nombres que estan per sobre d'una fila determinada? 3. Quina condició ha de complir una fila n perquè tots els nombres que la formen, excepte els extrems, siguin divisibles per n? 4. Escriu les files com si fossin un nombre i, a partir de la cinquena en què apareixen nombres de dues xifres, escriu-les assignant a cada nombre el valor que li correspondria amb la notació decimal en funció de la seva posició. Què tenen en comú tots aquests nombres? 5. Considera qualsevol diagonal (paral lela a un costat del triangle) de qualsevol longitud. Un cop triada, fixa't en el nombre situat a la fila de sota del darrer nombre que has considerat i al costat contrari del que avança la diagonal. Busca alguna relació entre aquests nombres. 6. Pinta els nombres parells d'un color i els imparells d'un altre, o els múltiples del nombre que vulguis d'un color i els que no ho són d'un altre. Què hi observes? De tant en tant, cada grup d'alumnes explicava a la resta què havia fet i a quines conclusions havia arribat. Les preguntes que s'havien fet als alumnes tenien diferents nivells de resposta. Per exemple, a la primera pregunta hi havia alumnes que donaven el resultat numèric de la suma d'algunes files. D'altres deien que els resultats eren potències de dos, i d'altres arribaven a escriure la relació:

10 Una altra propietat que va donar molt de joc, en el sentit que hi va haver diversitat de respostes amb nivells també molt diferents, és la que correspon a la cinquena de les preguntes proposades. Van marcar les figures al triangle, obtenint resultats com el que s'il lustra a continuació: Alguns alumnes van expressar simplement que la suma dels nombres de la diagonal era igual al darrer, i d'altres van trobar fórmules més generals. Les figures marcades les van anomenar sticks, i algunes expressions de les fórmules que van obtenir són les que llistem a continuació: Fórmula dels sticks de longitud 3: Fórmula dels sticks de longitud 4: Fórmula dels sticks de longitud 5: I, finalment, un dels grups va trobar una fórmula general: 5.3. Treball de recerca sobre el triangle aritmètic La història també es pot emprar explícitament en el contingut dels treballs de recerca proposats a l'alumnat de segon de batxillerat, situant-lo en un espai més general, ja que els problemes queden emmarcats dins del camp global de la matemàtica i dins de la ciència.

11 6 biaix 28 I 29 La llista de títols possibles de treballs de recerca d'història de la matemàtica és molt llarga. Citem-ne, per exemple:. Pitàgores i la música. 2. El teorema de Fermat. 3. Problemes trobats a les aritmètiques mercantils. 4. El triangle aritmètic de Pascal com a eina de resolució. 5. La raó àuria. 6. La perspectiva i la seva història a l'obra de Leonardo da Vinci, Luca Pacioli i Albrecht Dürer. 7. Anàlisi comparativa de la geometria grega i la geometria cartesiana. 8. Estudi sobre geometries no euclidianes. 9. El naixement del llenguatge algebraic. 0. Les matemàtiques de Kepler. Els cinc políedres regulars.. Les dones i la ciència 2. La incommensurabilitat: un problema matemàtic i filosòfic. 3. La successió de Fibonacci. 4. De la geometria a la trigonometria. Primers teoremes. Aquests treballs, la majoria dels quals ja han estat experimentats, no mostren únicament l'evolució històrica d'una idea o un concepte, sinó que comporten una investigació matemàtica i fan que l'alumne conegui el raonament matemàtic d'altres èpoques, d'altres cultures i, fins i tot, en altres contextos. El treball matemàtic que es pot fer en cadascun d'aquests treballs de recerca és molt divers i pot incloure des d'un problema molt senzill fins a demostracions molt complicades. L'aprenentatge de la matemàtica en la realització d'aquests treballs de recerca dependrà tant de l'esforç i la motivació de l'alumne com de les orientacions concretes del tutor. A tall d'exemple descriurem tot seguit les idees clau d'un treball de recerca de batxillerat sobre el triangle aritmètic, realitzat el curs 996/97 a l'ib Carles Riba amb el títol: "Què és el triangle aritmètic?" (Granados, Comas i Massa, 998, pp ). Deixant de banda els objectius més generals que ha de tenir tot treball de recerca, com poden ser fer una bona utilització de les fonts bibliogràfiques, saber ser crític amb les seves demostracions, generalitzar propietats, etc., aquest en tenia dos d'específics: esbrinar què representava històricament el triangle de Pascal i quines eren les seves utilitats en matemàtiques. El treball és, doncs, un estudi del triangle aritmètic de Pascal des de dos punts de vista: l'històric i el matemàtic. D'una banda, s'hi explicava la història d'aquest triangle mostrant les diferents imatges que ha tingut a les diferents èpoques fins arribar al triangle aritmètic. D'altra banda, es descrivia el triangle tal com el va definir Pascal, se n'analitzaven i demostraven les propietats i se n'esmentaven les aplicacions dins la matemàtica. En aquest treball de recerca es varen emprar dues metodologies ben diferenciades: l una de bibliogràfica per a la recerca històrica i l'altra de camp per a la recerca matemàtica pròpia. En la recerca històrica es presentava una recopilació bibliogràfica molt acurada sobre el tema, feta en biblioteques de la ciutat. L'alumna que el va realitzar, va consultar i llegir llibres d'història de la matemàtica, articles i l'obra original de Pascal sobre el triangle aritmètic. En la recerca matemàtica es va utilitzar una metodologia de camp, escrivint matemàtiques, demostrant fórmules, generalitzant, posant exemples numèrics; en una paraula, fent investigació. L'estructura del treball va ser la següent:. Introducció. 2. Nocions matemàtiques bàsiques. 3. Història del triangle aritmètic. 4. Biografia de Blaise Pascal. 5. Triangle Aritmètic de Pascal. 5.. Anàlisi del Triangle Aritmètic de Blaise Pascal. 6. Aplicacions del triangle aritmètic. 7. Conclusions. 8. Bibliografia. 6. Conclusió L'ús d'aquest text històric a l'aula permet situar cronològicament les aportacions matemàtiques i, en general, les científiques del segle XVII. A més, els alumnes poden comprovar que tot i que aquesta taula de nombres era utilitzada ja al segle XI, no és fins al segle XVII que es formulen les primeres definicions relacionades amb el triangle i que se n'expliquen les propietats. Quant a les seves aplicacions, els alumnes poden apreciar que no serveix únicament per estudiar combinatòria o per trobar els coeficients del desenvolupament d'un binomi; també serveix per fer generalitzacions (el llenguatge algebraic, en el segle XVII, encara no estava formalitzat), per sumar potències i, fins i tot, per calcular àrees.

12 Cal remarcar que actualment aquesta eina se segueix utilitzant per a fer investigació en matemàtiques. Així, Peter Hilton, en el seu llibre, especifica: "Fer un les seves pròpies matemàtiques, conjecturar, construir proves i considerar la possibilitat de generalitzar. Crec que no hi ha millor laboratori per a aquest tipus de matemàtica experimental que el triangle de Pascal." (Hilton, Holton i Pedersen, 997, p. 85). Bibliografia Bosmans, H. (924). Sur l'oeuvre mathématique de Blaise Pascal, Mathesis 38 Supplément, 59. Cassina, U. (923). Storia del triangolo aritmetico, Bolletino di matematica, 2d ser., 2, Dou, A. (975). Comentario a la "combinatoria de Sebastian Izquierdo" del P. Ramón Ceñal, S. J., discurso en la Academia de la Historia, Madrid. Edwards, A. W. F. (2002, ra edició 987) Pascal's Arithmetical Triangle. Nova York: The Johns Hopkins University Press. Granados, J.; Comas, J.; Massa, M. R. (998): Recull de treballs de recerca, Premi Cirit 997, I. B. Barcelona: Carles Riba Hilton, P. (ed.) (997). Mathematical Reflections. In a Room with Many Mirrors, Nova York: Springer-Verlag. Hughes, B., (989). The Arithmetical Triangle of Jordanus de Nemore, Historia Mathematica 6, Massa-Esteve, M. R. (2003). Aportacions de la història de la matemàtica a l ensenyament de les matemàtiques, Biaix, 2, 4-9. Massa-Esteve, M. R. (2006). Algebra and Geometry in Pietro Mengoli ( ), Historia Mathematica, 33, Matabosch, J. M. (988). El triangle de Pascal-Tartaglia i les seves importants derivacions, Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, 3, Pascal, B. (954). Oeuvres complètes, Paris: Gallimard. Pascal, B. (983). Obras, Dampierre i Aranguren (trad), Madrid: Clásicos Alfaguara. Taton, R. (97). Blaise Pascal, Dictionary of Scientific Biography, (ed. C. C. Gillispie), Nova York: Scribner's, 6 Vols. Uspenski, V. A. (978). Triángulo de Pascal. Lecciones populares de matemáticas, Moscú: Editorial Mir. Zabala, A.; Arnau, L. (2008). ideas clave. Cómo aprender y enseñar competencias. Barcelona: Editorial Graó. Notes Anomenarem diagonals els conjunts de nombres paral lels als costats del triangle, és a dir, les files que estan formades per uns. Deixant el vèrtex apart, anomenarem cada fila pel seu número d ordre. 2 En tout Triangle arithmétique, chaque cellule égale la somme de toutes celles du rang perpendiculaire précédent, comprises depuis son rang parallèle jusqu au premier inclusivement. [Pascal 665, 99]. 3 Aquests nombres figurats compleixen aquestes propietats que ja coneixien els pitagòrics. 4 El triangle harmònic (també anomenat de Leibniz) rep aquest nom per la seva relació amb les diferències successives de la sèrie harmònica (, /2, /3,...). 5 Decret 43/2007, de 26 de juny 6 En aquest apartat s haurien d indicar les connexions internes, és a dir, amb altres blocs de continguts matemàtics i també les externes. Aquestes darreres les podríem classificar en interdisciplinàries quan s especifiquin connexions amb altres àrees de coneixement, transversals, quan fan referència a actituds i valors, que s ha de treballar des de totes les àrees i finalment, s hauria d indicar si hi ha connexions amb la vida quotidiana.