El triangle aritmètic de Blaise Pascal ( ) Mª Rosa Massa Esteve (1), Fàtima Romero Vallhonesta (2)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "El triangle aritmètic de Blaise Pascal (1623-1662) Mª Rosa Massa Esteve (1), Fàtima Romero Vallhonesta (2)"

Transcripción

1 6 biaix 28 I 29 El triangle aritmètic de Blaise Pascal ( ) Mª Rosa Massa Esteve (), Fàtima Romero Vallhonesta (2) () Departament de Matemàtica Aplicada I. Centre de Recerca per a la Història de la Tècnica. Universitat Politècnica de Catalunya (2) Inspecció a Barcelona-Comarques. Departament d'educació de la Generalitat de Catalunya Resum La història de la ciència pot ser útil per al seu ensenyament. Aquest article analitza les propietats matemàtiques del triangle aritmètic per utilitzar-les a l'eso quan els alumnes aprenen combinatòria. Paraules clau: triangle aritmètic, ensenyament, Blaise Pascal, combinatòria, sumes de potències, contextos històrics. Abstract Abstract: The history of science can be useful for teaching science itself. This paper discusses the mathematical properties of Pascal s arithmetical triangle for using in a secondary school when combinatorics are introduced in the classroom. Key words: Arithmetical triangle, teaching, Blaise Pascal, combinatorial numbers, sums of powers, historical context.. Introducció Un dels camins per portar a terme la immersió de la història de la matemàtica a l'aula és la utilització explícita de textos històrics com un recurs per a millorar l'aprenentatge de l'alumnat (Massa, 2003). El text històric que analitzem és el triangle aritmètic de Blaise Pascal ( ) amb les seves utilitats. El triangle aritmètic és un conjunt de nombres naturals disposats en forma de taula triangular (Fig. ). La regla de formació d'aquesta taula de nombres és senzilla: cada fila comença i acaba amb un i els altres nombres s'obtenen sumant els dos nombres més propers de la fila immediata superior. Així, el 2 de la tercera fila s'obté sumant els dos uns de la segona, els tresos de la quarta fila s'obtenen sumant un i un 2 de la tercera i, per exemple, cada 0 de la cinquena s'obté sumant el 6 i el 4, que són els dos nombres de la quarta fila que tenen més propers Figura. Triangle aritmètic. L'objectiu d'aquest article és analitzar algunes de les possibilitats d'utilització del triangle aritmètic a l'aula, sigui per introduir conceptes, per ensenyar procediments de càlcul o per suggerir i realitzar treballs de recerca de batxillerat.

2 El triangle aritmètic a la història El triangle aritmètic és un dels conjunts de nombres més famosos de la matemàtica, i es pot utilitzar en molts camps. Ha estat estudiat des de l'antiguitat i per moltes civilitzacions [Cassina (923); Bosmans (924); Dou (975) i Edwards (2002)]. Es creu que va aparèixer representat en forma de triangle (Fig. 2) per primera vegada a l'obra De Arithmetica (aprox. 225), de Jordanus de Nemorario. Figura 2. Triangle aritmètic de Jordanus. També el trobem a la matemàtica xinesa (Fig. 3), concretament a l'obra El mirall preciós de Txu Xhi-kei (303). Figura 3. Triangle aritmètic al text xinès. Apareix també a la portada de l'obra Rara Arithmetica (527) de Petrus Apianus ( ), a l'arithmetica Integra (544) de Michael Stifel ( ) i al General Tratatto di numeri e misure (556) de Niccolò Tartaglia ( ). La fascinació que provoquen les nombroses propietats i aplicacions del triangle aritmètic queda reflectida en moltes frases dels matemàtics que el van estudiar [Edwards 2002, vi]. Així, diu Johann Faulhaber ( ) a Mysterium Arithmeticum (65): "Una rica mina d'informació en forma de taula, la qual revela els secrets més profunds de l'aritmètica"; William Oughtred ( ), a la seva obra Clavis Mathematicae (63), comenta: "Aquesta taula plena dels misteris més bonics"; també Henry Briggs (56-63), a la seva obra Trigonometria Britannica (633), afirma que la taula és: "Una calculadora útil per a tot". Més tard, Blaise Pascal ( ), a la seva obra Potestatum numericarum summa (654), exclama: "És una cosa estranya com és de fèrtil en propietats". Es poden donar diferents interpretacions dels nombres que formen el triangle segons el context on es trobin. Històricament, els nombres que formen aquesta taula triangular van ésser coneguts, ja en l'antiga Grècia, com a nombres figurats: triangulars, tetraèdrics, pentagonals, etc. Així, els nombres que formen la tercera diagonal s'anomenen triangulars (, 3, 6, 0...); els de la quarta, tetraèdrics (, 4, 0, 20...); els de la cinquena, pentagonals (, 5, 5, 35...), etc. Més tard, les files del triangle es varen identificar amb els coeficients dels termes d'un desenvolupament binomial, o sigui, amb els nombres binomials:

3 8 biaix 28 I 29 (a + b 0 ) (a + b ) (a + b 2 ) 2 (a + b 3 ) 3 3 (a + b 4 ) (a + b 5 ) Per exemple, el desenvolupament de la cinquena potència d'un binomi (actualment es coneix com binomi de Newton), tindria com a coeficients els nombres de la fila cinquena: (a + b) = a + 5 a b +0 a 3 b 2 +0 a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5. Finalment, ja amb Pascal, el triangle es va aplicar també a la combinatòria (Fig. 4). Podem considerar els nombres que el formen com a nombres combinatoris, és a dir, números que representen el nombre de combinacions de m objectes presos de r en r. Figura 4. Triangle combinatori. Així, veiem que es compleix que els nombres que formen els costats del triangle valen, expressat en nombres combinatoris s'escriu: També la regla de formació del triangle expressada en nombres combinatoris s'escriu: De fet, el triangle aritmètic rep també els noms de triangle de Newton i de Tartaglia, però considerem que Pascal és qui mereix el reconeixement del nom, ja que va ser ell qui després de definir aquesta taula triangular i donar-ne les propietats, va escriure altres tractats on especificava els diferents usos dels nombres que la formen. El títol complet de l'obra de Pascal és: Traité du Triangle arithmétique, avec quelques autres petits traités sur la même matière. Usage du Triangle Arithmétique pour les ordres numériques, pour les combinaisons, pour déterminer les partis qu'on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties, pour trouver les puissances des binômes et des apotomes. (París, 665). Blaise Pascal (Clermont-Ferrand,623 París,662) va ser matemàtic, físic, filòsof i escriptor francès. Als catorze anys ja acompanyava el seu pare a les reunions informals de l'acadèmia de Mersenne. Allà es va relacionar amb Desargues, Roberval i Fermat. Als divuit anys va dissenyar una màquina calculadora per a ajudar el seu pare en el treball que realitzava com a recaptador d'impostos. L'any 648 es va interessar per la hidrostàtica i va realitzar els experiments de Puy-de-Dôme, que confirmaven el pes de l'aire. Va ser mestre de prosa francesa: els seus Pensées i Lettres provincials són clàssics de la literatura francesa. En mate-

4 màtiques, a part d'una obra sobre còniques, es va dedicar a l'estudi de la "cicloide", encara que l'obra més influent va ser la que tracta del triangle aritmètic (Taton, 97, pp ). El Traité du Triangle Arithmétique de Pascal comença amb la definició de la taula i de la seva construcció. La definició comença amb l'expressió: "Jo anomeno triangle aritmètic...". Vegem la figura de Pascal (Fig. 5): Figura 5. Triangle aritmètic de Pascal (Pascal, 665, p. 97). Després d'explicar-ne la construcció Pascal enuncia i demostra 9 propietats (ell les anomena consequences) del triangle prenent la unitat com a generador. Pascal representa el triangle amb el vèrtex en angle recte, i anomena les diagonals com a files paral leles i perpendiculars. Els nombres els anomena cèl lules. A tall d'exemple, mostrem com enuncia la conseqüència tercera: En tot Triangle Aritmètic, cada cèl lula (nombre) és igual a la suma de totes les de la fila perpendicular precedent, compreses des de la seva fila paral lela fins a la primera inclosa. 2 El nombre 20, per exemple, és igual a la suma dels nombres de la fila perpendicular precedent, 20= En notació actual i emprant nombres combinatoris seria: i, generalitzant, s'escriuria. 3. Ús del triangle. Càlcul de les sumes de potències Les sumes de potències es poden calcular a partir de les propietats dels nombres figurats del triangle aritmètic. Considerem el triangle: Cadascuna de les categories de nombres figurats (triangulars, tetraèdrics, pentagonals...) s'obté com a suma dels nombres figurats anteriors. Els nombres triangulars situats a la tercera diagonal, 3, 6, 0...,

5 0 biaix 28 I 29 s'obtenen com a suma dels nombres naturals que estan situats a la segona diagonal: =, 3=+2, 6=+2+3, 0=+2+3+4, etc.; els tetraèdrics (quarta diagonal), 4, 0, 20..., s'obtenen com a suma dels nombres triangulars: =, 4=+3, 0=+3+6, 20= , i així successivament. Si expressem els termes de la segona diagonal per a 2 =, a = 2, a 32 = 3,..., a n2 = n, i els nombres triangulars per a 3 =, a 23 = 3, a 33 = 6,..., podem escriure les relacions anteriors amb la fórmula: Llavors, l'enèsim nombre triangular es pot expressar mitjançant la relació 3 : expressada en nombres combinatoris, s'escriuria:. Aquesta relació,. Per exemple: ;... i així successivament. Vegeu ara aquesta propietat en els nombres tetraèdrics que expressarem: a 4 =, a 24 = 4, a 34 = 0,... En aquest cas, l'enèsim nombre tetraèdric s'escriuria:. Aquesta relació, expressada en nombres combinatoris, s'escriuria:. Per exemple: ;..., i així successivament. En general, els nombres de l'enèsima diagonal s'expressen:. Vegeu com es poden calcular les sumes de potències de la successió de nombres naturals, emprant aquestes propietats: = ½ ( 2); =; 3 = ½ (2 3); 3= + 2; 6 = ½ (3 4) 6= = /6 ( 2 3); =; 4 = /6 (2 3 4); 4= + 3; 0 = /6 (3 4 5)... 0= Demostració = ½ ( 2); + 2 = ½ (2 3); = ½ (3 4)..., i així successivament. Per n termes es verificarà: n = ½ (n (n+)).

6 O sigui, que:. Per calcular les sumes de quadrats partim del fet que la suma dels triangulars dóna els nombres tetraèdrics. Així, es verificarà: = /6 ( 2 3); + 3 = /6 (2 3 4); = /6 (3 4 5)... llavors, la suma dels triangulars l'escriurem: Desenvolupant: i emprant que: Es demostra : Generalitzant, escriuríem: amb n p. Aquestes sumes, quan el nombre de termes es fa infinit, condueixen a trobar la fórmula que en notació actual s'escriu: A tall d'exemple, mostrem com Pietro Mengoli ( ), a la seva obra Geometriae Speciosae Elementa (659), obtenia aquestes àrees emprant el triangle aritmètic (Massa, 2006, pp ). Mengoli primer disposa les integrals (ell les anomena quadratures) que vol calcular en forma de taula triangular (Fig. 6). En notació actual s'expressen: Figura 6. Taula d'integrals en notació actual. Tot seguit, a partir del triangle aritmètic troba la taula de valors d'aquestes integrals i demostra que els termes de la taula nova (Fig. 7) són iguals als termes corresponents d'aquesta (Fig. 6). Considerant el vèrtex a part, Mengoli multiplica cada fila del triangle aritmètic pel nombre de termes que la formen; és a dir, la primera fila per dos, la segona per tres, la emèsima per (m +) i així successivament. Per aquest procediment obté la taula:

7 2 biaix 28 I A continuació, Mengoli escriu l'invers d'aquests nombres en forma de taula triangular i obté el triangle que actualment es coneix com triangle harmònic (Fig. 7): 4 /2 /2 /3 /6 /3 /4 /2 /2 /4 /5 /20 /30 /20 /5 Figura 7. Triangle Harmònic. Mengoli identifica aquests valors amb les integrals corresponents. En notació actual s'expressaria: 5. El triangle aritmètic a l'aula. Algunes experiències Descriurem tres situacions on el triangle aritmètic pot ésser emprat explícitament a l'aula: ) com a text històric significatiu per a ensenyar matemàtiques; 2) com a part del contingut de crèdits variables de matemàtiques; i 3) com a tema de treball de recerca de batxillerat. 5.. Text històric significatiu El triangle aritmètic de Pascal pot ser emprat a l'aula com a text històric. La utilització de textos històrics per a assolir millor els conceptes matemàtics és una activitat que pot proporcionar elements molt valuosos per a la formació matemàtica de l'alumnat. Els textos històrics es poden fer servir per a introduir un tema o un concepte, per a aprofundir-hi, per a explicar diferències entre dos conceptes matemàtics que van sorgir en moments històrics diferents i que amb el pas del temps es van relacionar, per a motivar l'estudi d'un tipus de problemes o fins i tot per a ajudar a entendre algun raonament. Una bona utilització dels textos històrics requereix la presentació del personatge en el seu context, pel que fa tant a les seves inquietuds com a les preocupacions de l'època. Situar cronològicament l'autor permet enriquir la formació de l'alumnat mostrant-li diferents aspectes de la ciència i de la cultura de l'època de forma interdisciplinària. En el cas que tractem, Pascal és un personatge del segle XVII, segle de la revolució científica i, en concret, en el cas de les matemàtiques, de la seva algebrització. La introducció de procediments algebraics a la geometria va donar lloc a dues parts noves de la matemàtica: la geometria analítica i el càlcul infinitesimal. S'ha de clarificar també la relació del text històric amb el concepte matemàtic que s'estudia a fi que l'anàlisi del text no quedi aïllada de les idees matemàtiques que es volen transmetre. En el triangle aritmè-

8 tic es pot veure com els nombres verifiquen relacions matemàtiques molt fructíferes tant de teoria de nombres com de combinatòria, o d'anàlisi. Cal contextualitzar les demostracions històriques dins de la programació matemàtica connectant-la amb les idees matemàtiques del curs, a fi que els alumnes vegin que forma part de manera coherent d'un coneixement global. En aquest cas s'ha de situar l'activitat relacionada amb aquest context històric en explicar combinatòria o bé en la introducció a la probabilitat o com a complement a les classes de batxillerat. Finalment, i en la línia del nou decret de currículum, s'han de tenir en compte les competències que han de guiar l'activitat docent. 5 Se n'identifiquen vuit, a l'assoliment de les quals han de contribuir els continguts específics de cada matèria. Cal, doncs, que en el disseny de les activitats que es proposin als alumnes es tinguin aquestes competències com a referent, especialment aquelles que pel seu caràcter procedimental o actitudinal no tenen una disciplina pròpia que les sustenta. Proposem que les activitats vagin acompanyades d'una fitxa que en doni informació bàsica, per tal d'orientar el professorat. A continuació en mostrem un model: Autor/a Continguts principals Referències al currículum Competències implicades Tipus d'agrupament aconsellat Curs recomanat Temporització indicativa Connexions 6 TÍTOL DE L'ACTIVITAT Relacions matemàtiques en el triangle de Pascal Mª Rosa Massa-Fàtima Romero Teoria de nombres. Combinatòria. Potències d'un binomi. Les matemàtiques del segle XVII. Canvi i relacions: ús de l'àlgebra per a la representació i l'expressió de relacions matemàtiques. Matemàtica, comunicativa, aprendre a aprendre, autonomia i iniciativa personal, cultural. En grups 4rt d ESO 6 sessions Teoria de nombres, àlgebra, anàlisi Crèdit variable d'ampliació de matemàtiques La història de la matemàtica la podem emprar per a dissenyar crèdits optatius que poden ajudar a despertar l interès per la matemàtica a alumnes no gaire motivats. Descriurem tot seguit una experiència d'un crèdit optatiu, que empra el triangle aritmètic i que es va dur a terme el curs a l'ies Alexandre Satorras de Mataró amb alumnes de 4rt d'eso. Aquests alumnes havien estat assignats a un crèdit variable d'ampliació de matemàtiques on s'havien de resoldre problemes de combinatòria no elementals, però aquest crèdit es va haver de reorientar perquè, per motius organitzatius del centre, s'hi van assignar alumnes amb interessos i capacitats molt diversos. La primera sessió va ser teòrica i enllaçava amb el que s'havia tractat en el crèdit comú sobre el quadrat d'un binomi, que s'havia justificat geomètricament amb la figura:

9 4 biaix 28 I 29 Es van escriure a la pissarra els desenvolupaments de (a+b) 2, (a+b) 3, (a+b) 4 i (a+b) 5 i es va demanar als alumnes que fessin conjectures sobre el desenvolupament de (a+b) 6. La majoria dels alumnes va tenir clar quants termes havia de tenir el desenvolupament i quines n havien de ser les parts literals. Es van adonar, però, que no era evident quins n havien de ser els coeficients. Aleshores es va escriure a la pissarra el triangle aritmètic fins a la fila 6, que està formada pels termes:, 6, 5, 20, 5, 6,, i es va demanar als alumnes que novament fessin conjectures, en aquest cas sobre la fila següent i sobre la relació d'aquest triangle amb els coeficients dels desenvolupaments dels binomis. Aquest va ser el punt de partida per a l'estudi del triangle. Els alumnes es van organitzar en grups per tal d'estudiar la història del triangle i trobar algunes de les seves propietats. El grup d'alumnes que tenia més bon nivell de llengua anglesa es va dedicar a buscar informació a Internet; un altre grup feia un disseny del triangle de manera que en una cartolina de mida DIN A3 hi cabessin el màxim nombre de files possible i alhora les xifres fossin llegibles; i els altres grups buscaven propietats a partir d'unes preguntes que se'ls havia formulat. Algunes de les preguntes eren:. Quant sumen els nombres de cada fila? 2. Quant sumen tots els nombres que estan per sobre d'una fila determinada? 3. Quina condició ha de complir una fila n perquè tots els nombres que la formen, excepte els extrems, siguin divisibles per n? 4. Escriu les files com si fossin un nombre i, a partir de la cinquena en què apareixen nombres de dues xifres, escriu-les assignant a cada nombre el valor que li correspondria amb la notació decimal en funció de la seva posició. Què tenen en comú tots aquests nombres? 5. Considera qualsevol diagonal (paral lela a un costat del triangle) de qualsevol longitud. Un cop triada, fixa't en el nombre situat a la fila de sota del darrer nombre que has considerat i al costat contrari del que avança la diagonal. Busca alguna relació entre aquests nombres. 6. Pinta els nombres parells d'un color i els imparells d'un altre, o els múltiples del nombre que vulguis d'un color i els que no ho són d'un altre. Què hi observes? De tant en tant, cada grup d'alumnes explicava a la resta què havia fet i a quines conclusions havia arribat. Les preguntes que s'havien fet als alumnes tenien diferents nivells de resposta. Per exemple, a la primera pregunta hi havia alumnes que donaven el resultat numèric de la suma d'algunes files. D'altres deien que els resultats eren potències de dos, i d'altres arribaven a escriure la relació:

10 Una altra propietat que va donar molt de joc, en el sentit que hi va haver diversitat de respostes amb nivells també molt diferents, és la que correspon a la cinquena de les preguntes proposades. Van marcar les figures al triangle, obtenint resultats com el que s'il lustra a continuació: Alguns alumnes van expressar simplement que la suma dels nombres de la diagonal era igual al darrer, i d'altres van trobar fórmules més generals. Les figures marcades les van anomenar sticks, i algunes expressions de les fórmules que van obtenir són les que llistem a continuació: Fórmula dels sticks de longitud 3: Fórmula dels sticks de longitud 4: Fórmula dels sticks de longitud 5: I, finalment, un dels grups va trobar una fórmula general: 5.3. Treball de recerca sobre el triangle aritmètic La història també es pot emprar explícitament en el contingut dels treballs de recerca proposats a l'alumnat de segon de batxillerat, situant-lo en un espai més general, ja que els problemes queden emmarcats dins del camp global de la matemàtica i dins de la ciència.

11 6 biaix 28 I 29 La llista de títols possibles de treballs de recerca d'història de la matemàtica és molt llarga. Citem-ne, per exemple:. Pitàgores i la música. 2. El teorema de Fermat. 3. Problemes trobats a les aritmètiques mercantils. 4. El triangle aritmètic de Pascal com a eina de resolució. 5. La raó àuria. 6. La perspectiva i la seva història a l'obra de Leonardo da Vinci, Luca Pacioli i Albrecht Dürer. 7. Anàlisi comparativa de la geometria grega i la geometria cartesiana. 8. Estudi sobre geometries no euclidianes. 9. El naixement del llenguatge algebraic. 0. Les matemàtiques de Kepler. Els cinc políedres regulars.. Les dones i la ciència 2. La incommensurabilitat: un problema matemàtic i filosòfic. 3. La successió de Fibonacci. 4. De la geometria a la trigonometria. Primers teoremes. Aquests treballs, la majoria dels quals ja han estat experimentats, no mostren únicament l'evolució històrica d'una idea o un concepte, sinó que comporten una investigació matemàtica i fan que l'alumne conegui el raonament matemàtic d'altres èpoques, d'altres cultures i, fins i tot, en altres contextos. El treball matemàtic que es pot fer en cadascun d'aquests treballs de recerca és molt divers i pot incloure des d'un problema molt senzill fins a demostracions molt complicades. L'aprenentatge de la matemàtica en la realització d'aquests treballs de recerca dependrà tant de l'esforç i la motivació de l'alumne com de les orientacions concretes del tutor. A tall d'exemple descriurem tot seguit les idees clau d'un treball de recerca de batxillerat sobre el triangle aritmètic, realitzat el curs 996/97 a l'ib Carles Riba amb el títol: "Què és el triangle aritmètic?" (Granados, Comas i Massa, 998, pp ). Deixant de banda els objectius més generals que ha de tenir tot treball de recerca, com poden ser fer una bona utilització de les fonts bibliogràfiques, saber ser crític amb les seves demostracions, generalitzar propietats, etc., aquest en tenia dos d'específics: esbrinar què representava històricament el triangle de Pascal i quines eren les seves utilitats en matemàtiques. El treball és, doncs, un estudi del triangle aritmètic de Pascal des de dos punts de vista: l'històric i el matemàtic. D'una banda, s'hi explicava la història d'aquest triangle mostrant les diferents imatges que ha tingut a les diferents èpoques fins arribar al triangle aritmètic. D'altra banda, es descrivia el triangle tal com el va definir Pascal, se n'analitzaven i demostraven les propietats i se n'esmentaven les aplicacions dins la matemàtica. En aquest treball de recerca es varen emprar dues metodologies ben diferenciades: l una de bibliogràfica per a la recerca històrica i l'altra de camp per a la recerca matemàtica pròpia. En la recerca històrica es presentava una recopilació bibliogràfica molt acurada sobre el tema, feta en biblioteques de la ciutat. L'alumna que el va realitzar, va consultar i llegir llibres d'història de la matemàtica, articles i l'obra original de Pascal sobre el triangle aritmètic. En la recerca matemàtica es va utilitzar una metodologia de camp, escrivint matemàtiques, demostrant fórmules, generalitzant, posant exemples numèrics; en una paraula, fent investigació. L'estructura del treball va ser la següent:. Introducció. 2. Nocions matemàtiques bàsiques. 3. Història del triangle aritmètic. 4. Biografia de Blaise Pascal. 5. Triangle Aritmètic de Pascal. 5.. Anàlisi del Triangle Aritmètic de Blaise Pascal. 6. Aplicacions del triangle aritmètic. 7. Conclusions. 8. Bibliografia. 6. Conclusió L'ús d'aquest text històric a l'aula permet situar cronològicament les aportacions matemàtiques i, en general, les científiques del segle XVII. A més, els alumnes poden comprovar que tot i que aquesta taula de nombres era utilitzada ja al segle XI, no és fins al segle XVII que es formulen les primeres definicions relacionades amb el triangle i que se n'expliquen les propietats. Quant a les seves aplicacions, els alumnes poden apreciar que no serveix únicament per estudiar combinatòria o per trobar els coeficients del desenvolupament d'un binomi; també serveix per fer generalitzacions (el llenguatge algebraic, en el segle XVII, encara no estava formalitzat), per sumar potències i, fins i tot, per calcular àrees.

12 Cal remarcar que actualment aquesta eina se segueix utilitzant per a fer investigació en matemàtiques. Així, Peter Hilton, en el seu llibre, especifica: "Fer un les seves pròpies matemàtiques, conjecturar, construir proves i considerar la possibilitat de generalitzar. Crec que no hi ha millor laboratori per a aquest tipus de matemàtica experimental que el triangle de Pascal." (Hilton, Holton i Pedersen, 997, p. 85). Bibliografia Bosmans, H. (924). Sur l'oeuvre mathématique de Blaise Pascal, Mathesis 38 Supplément, 59. Cassina, U. (923). Storia del triangolo aritmetico, Bolletino di matematica, 2d ser., 2, Dou, A. (975). Comentario a la "combinatoria de Sebastian Izquierdo" del P. Ramón Ceñal, S. J., discurso en la Academia de la Historia, Madrid. Edwards, A. W. F. (2002, ra edició 987) Pascal's Arithmetical Triangle. Nova York: The Johns Hopkins University Press. Granados, J.; Comas, J.; Massa, M. R. (998): Recull de treballs de recerca, Premi Cirit 997, I. B. Barcelona: Carles Riba Hilton, P. (ed.) (997). Mathematical Reflections. In a Room with Many Mirrors, Nova York: Springer-Verlag. Hughes, B., (989). The Arithmetical Triangle of Jordanus de Nemore, Historia Mathematica 6, Massa-Esteve, M. R. (2003). Aportacions de la història de la matemàtica a l ensenyament de les matemàtiques, Biaix, 2, 4-9. Massa-Esteve, M. R. (2006). Algebra and Geometry in Pietro Mengoli ( ), Historia Mathematica, 33, Matabosch, J. M. (988). El triangle de Pascal-Tartaglia i les seves importants derivacions, Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, 3, Pascal, B. (954). Oeuvres complètes, Paris: Gallimard. Pascal, B. (983). Obras, Dampierre i Aranguren (trad), Madrid: Clásicos Alfaguara. Taton, R. (97). Blaise Pascal, Dictionary of Scientific Biography, (ed. C. C. Gillispie), Nova York: Scribner's, 6 Vols. Uspenski, V. A. (978). Triángulo de Pascal. Lecciones populares de matemáticas, Moscú: Editorial Mir. Zabala, A.; Arnau, L. (2008). ideas clave. Cómo aprender y enseñar competencias. Barcelona: Editorial Graó. Notes Anomenarem diagonals els conjunts de nombres paral lels als costats del triangle, és a dir, les files que estan formades per uns. Deixant el vèrtex apart, anomenarem cada fila pel seu número d ordre. 2 En tout Triangle arithmétique, chaque cellule égale la somme de toutes celles du rang perpendiculaire précédent, comprises depuis son rang parallèle jusqu au premier inclusivement. [Pascal 665, 99]. 3 Aquests nombres figurats compleixen aquestes propietats que ja coneixien els pitagòrics. 4 El triangle harmònic (també anomenat de Leibniz) rep aquest nom per la seva relació amb les diferències successives de la sèrie harmònica (, /2, /3,...). 5 Decret 43/2007, de 26 de juny 6 En aquest apartat s haurien d indicar les connexions internes, és a dir, amb altres blocs de continguts matemàtics i també les externes. Aquestes darreres les podríem classificar en interdisciplinàries quan s especifiquin connexions amb altres àrees de coneixement, transversals, quan fan referència a actituds i valors, que s ha de treballar des de totes les àrees i finalment, s hauria d indicar si hi ha connexions amb la vida quotidiana.

DIVISIBILITAT. Amb els nombres 5, 7 i 35 podem escriure diverses expressions matemàtiques: 5x7= 35 35 5 35

DIVISIBILITAT. Amb els nombres 5, 7 i 35 podem escriure diverses expressions matemàtiques: 5x7= 35 35 5 35 ESO Divisibilitat 1 ESO Divisibilitat 2 A. El significat de les paraules. DIVISIBILITAT Amb els nombres 5, 7 i 35 podem escriure diverses expressions matemàtiques: 5x7= 35 35 = 7 5 35 = 5 7 35 7 0 5 35

Más detalles

8 Geometria analítica

8 Geometria analítica Geometria analítica INTRODUCCIÓ Els vectors s utilitzen en diverses branques de la física que fan servir magnituds vectorials, per això és important que els alumnes en coneguin els elements i les operacions.

Más detalles

Veure que tot nombre cub s obté com a suma de senars consecutius.

Veure que tot nombre cub s obté com a suma de senars consecutius. Mòdul Cubs i nombres senars Edat mínima recomanada A partir de 1er d ESO, tot i que alguns conceptes relacionats amb el mòdul es poden introduir al cicle superior de primària. Descripció del material 15

Más detalles

Es important dir que, dos vectors, des del punt de vista matemàtic, són iguals quan els seus mòduls, sentits i direccions són equivalents.

Es important dir que, dos vectors, des del punt de vista matemàtic, són iguals quan els seus mòduls, sentits i direccions són equivalents. 1 CÀLCUL VECTORIAL Abans de començar a parlar de vectors i ficar-nos plenament en el seu estudi, hem de saber distingir els dos tipus de magnituds que defineixen la física: 1. Magnituds escalars: magnituds

Más detalles

Barcelona- París- Barcelona Visita dinamitzada per a alumnes de Secundària i Batxillerat

Barcelona- París- Barcelona Visita dinamitzada per a alumnes de Secundària i Batxillerat Barcelona- París- Barcelona Visita dinamitzada per a alumnes de Secundària i Batxillerat Guió previ per al professorat Presentació Amb les propostes del Servei Educatiu del Museu Picasso convidem a alumnes

Más detalles

Poc a poc, amb els seus quadres va començar a guanyar molts diners i com que França li agradava molt, va decidir quedar-se una bona temporada, però

Poc a poc, amb els seus quadres va començar a guanyar molts diners i com que França li agradava molt, va decidir quedar-se una bona temporada, però PABLO PICASSO El passat dia 12 de Febrer, en comptes de fer classe de matemàtiques i de castellà, com cada dimecres, ens vam convertir en artistes per conèixer la vida i les obres de Pablo Picasso. Quan

Más detalles

Àmbit de les Matemàtiques, de la Ciència i de la Tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 1 OPERACIONS AMB ENTERS

Àmbit de les Matemàtiques, de la Ciència i de la Tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 1 OPERACIONS AMB ENTERS UNITAT 1 OPERACIONS AMB ENTERS 1 Què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de... Sumar, restar, multiplicar i dividir nombres enters. Entendre i saber utilitzar les propietats de la suma i

Más detalles

Matemàtiques 1, Editorial Castellnou

Matemàtiques 1, Editorial Castellnou MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT Llibre utilitzat: Matemàtiques 1, Editorial Castellnou Observacions: La unitat 3 s estudia abans qua la unitat 2, per què l alumnat hagi revisat la Trigonometria abans de necessitar-la

Más detalles

1. CONFIGURAR LA PÀGINA

1. CONFIGURAR LA PÀGINA 1 1. CONFIGURAR LA PÀGINA El format de pàgina determina l aspecte global d un document i en modifica els elements de conjunt com són: els marges, la mida del paper, l orientació del document i l alineació

Más detalles

UNITAT 3. Forces i les lleis de Newton

UNITAT 3. Forces i les lleis de Newton Generalitat de Catalunya Departament d educació i universitats IES FLIX DEPARTAMENT DE CIÈNCIES BLOC 2_ Objectius 1ER BAT. 1. OBJECTIUS UNITAT 3. Forces i les lleis de Newton Comprendre el concepte de

Más detalles

LA TAULA PERIÒDICA. Sessió 2

LA TAULA PERIÒDICA. Sessió 2 LA TAULA PERIÒDICA Sessió 2 La classificació periòdica de Mendeléiev Quan els químics del segle XIX es van posar a estudiar les propietats físiques i químiques dels elements i els seus compostos, van descobrir

Más detalles

Àmbit de les matemàtiques, de la ciència i de la tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 2 LES FRACCIONS

Àmbit de les matemàtiques, de la ciència i de la tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 2 LES FRACCIONS M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions UNITAT LES FRACCIONS 1 M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions 1. Concepte de fracció La fracció es representa per dos nombres enters que s anomenen

Más detalles

Matemàtiques 1r d'eso Professora: Lucía Clar Tur DOSSIER DE REPÀS

Matemàtiques 1r d'eso Professora: Lucía Clar Tur DOSSIER DE REPÀS DOSSIER DE REPÀS 1. Ordena els nombres de més petit a més gran: 01 0 01 101 0 001 0 001 0 1. Converteix els nombres fraccionaris en nombres decimals i representa ls en la recta: /4 1/ 8/ 11/10. Efectua

Más detalles

1 Problemes de física per a batxillerat... // M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: 84-8458-220-5

1 Problemes de física per a batxillerat... // M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: 84-8458-220-5 1 Problemes de física per a batxillerat... // M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: 84-8458-0-5 MESURA FÍSICA: MAGNITUDS i UNITATS Índex P.1. P.. P.3. P.4. P.5. Magnituds físiques. Unitats Anàlisi

Más detalles

UNITAT 3 OPERACIONS AMB FRACCIONS

UNITAT 3 OPERACIONS AMB FRACCIONS M Operacions numèriques Unitat Operacions amb fraccions UNITAT OPERACIONS AMB FRACCIONS M Operacions numèriques Unitat Operacions amb fraccions Què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de

Más detalles

Formació de voluntaris

Formació de voluntaris Formació de voluntaris Direcció de Programes i Cooperació Mar Mestres, referent del voluntariat de BB 6a Jornada de Biblioteca Pública i Cohesió Social Voluntaris: implicar-se per compartir 13 d abril

Más detalles

3. DIAPOSITIVA D ORGANIGRAMA I DIAGRAMA

3. DIAPOSITIVA D ORGANIGRAMA I DIAGRAMA 1 3. DIAPOSITIVA D ORGANIGRAMA I DIAGRAMA Ms PowerPoint permet inserir, dins la presentació, objectes organigrama i diagrames. Els primers, poden resultar molt útils si es necessita presentar gràficament

Más detalles

Resumen. En el anexo 2 se presentan los siguientes documentos: - Resumen encuesta de satisfacción (CBB).

Resumen. En el anexo 2 se presentan los siguientes documentos: - Resumen encuesta de satisfacción (CBB). Resumen En el anexo 2 se presentan los siguientes documentos: - Resumen encuesta de satisfacción (CBB). - Encuesta de satisfacción de los usuarios de las bibliotecas (CBB). ELS USUARIS DE LES BIBLIOTEQUES

Más detalles

TEMA 4: Equacions de primer grau

TEMA 4: Equacions de primer grau TEMA 4: Equacions de primer grau Full de preparació Aquest full s ha de lliurar el dia de la prova Nom:... Curs:... 1. Expressa algèbricament les operacions següents: a) Nombre de rodes necessàries per

Más detalles

Avançament d orientacions per a l organització i la gestió dels centres. Concreció i desenvolupament del currículum de l ESO

Avançament d orientacions per a l organització i la gestió dels centres. Concreció i desenvolupament del currículum de l ESO Avançament d orientacions per a l organització i la gestió dels centres Concreció i desenvolupament del currículum de l ESO 2016-2017 Març de 2016 Concreció i desenvolupament del currículum de l ESO per

Más detalles

EL TRANSPORT DE MERCADERIES

EL TRANSPORT DE MERCADERIES EL TRANSPORT DE MERCADERIES En primer terme s ha d indicar que en tot el que segueix, ens referirem al transport per carretera o via pública, realitzat mitjançant vehicles de motor. El transport de mercaderies,

Más detalles

VALORACIÓ D EXISTÈNCIES / EXPLICACIONS COMPLEMENTÀRIES DE LES DONADES A CLASSE.

VALORACIÓ D EXISTÈNCIES / EXPLICACIONS COMPLEMENTÀRIES DE LES DONADES A CLASSE. VALORACIÓ D EXISTÈNCIES / EXPLICACIONS COMPLEMENTÀRIES DE LES DONADES A CLASSE. Existeix una massa patrimonial a l actiu que s anomena Existències. Compren el valor de les mercaderies (i altres bens) que

Más detalles

PRODUCCIÓ AGROALIMENTARIA ECOLÒGICA (PAE)

PRODUCCIÓ AGROALIMENTARIA ECOLÒGICA (PAE) PRODUCCIÓ AGROALIMENTARIA ECOLÒGICA (PAE) Dins del web corporatiu de la Generalitat de Catalunya hi ha un portal temàtic dedicat de forma específica a la producció agroalimentària ecològica. En aquests

Más detalles

Aprovat pel Consell de Govern de 3 de novembre de 2009. ACGUV 189/2009. Modifica l ACGUV 14/2004 del Consell de Govern de 27 de gener de 2004.

Aprovat pel Consell de Govern de 3 de novembre de 2009. ACGUV 189/2009. Modifica l ACGUV 14/2004 del Consell de Govern de 27 de gener de 2004. MODIFICACIÓ DE L ACORD SOBRE EQUIVALÈNCIES ENTRE CERTIFICATS DE CONEIXEMENTS DE VALENCIÀ QUE ACTUALMENT EXPEDEIX LA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA I ALTRES CERTIFICATS, TÍTOLS I DIPLOMES El Servei de Política

Más detalles

PRINCIPALS RESULTATS DEL CONJUNT D ESTUDIS D USUARIS DE BIBLIOTEQUES DE MUNICIPIS DE MÉS DE 30.000 HABITANTS

PRINCIPALS RESULTATS DEL CONJUNT D ESTUDIS D USUARIS DE BIBLIOTEQUES DE MUNICIPIS DE MÉS DE 30.000 HABITANTS PRINCIPALS RESULTATS DEL CONJUNT D ESTUDIS D USUARIS DE BIBLIOTEQUES DE MUNICIPIS DE MÉS DE 30.000 HABITANTS XARXA DE BIBLIOTEQUES MUNICIPALS DE LA DIPUTACIÓ DE BARCELONA Servei de Planificació i Avaluació

Más detalles

MALETES DIDÀCTIQUES ARQUEONET.NET. Maleta didàctica de la domus romana

MALETES DIDÀCTIQUES ARQUEONET.NET. Maleta didàctica de la domus romana MALETES DIDÀCTIQUES ARQUEONET.NET Maleta didàctica de la domus romana PRESENTACIÓ Les Maletes Didàctiques Arqueonet.net A través de les Maletes Didàctiques d Arqueonet, els alumnes podran realitzar una

Más detalles

MATÈRIA: : Processos educatius, aprenentatge i desenvolupament de la personalitat (0-6 anys) II

MATÈRIA: : Processos educatius, aprenentatge i desenvolupament de la personalitat (0-6 anys) II UNIVERSITAT DE LLEIDA FACULTAT DE CIÈNCIES DE L'EDUCACIÓ TITULACIÓ: Grau en Educació Infantil CODI: 100701 MATÈRIA: : Processos educatius, aprenentatge i desenvolupament de la personalitat (0-6 anys) II

Más detalles

6. Calcula l obertura de l angle que falta. Digues de quin tipus d angles es tracta. 6

6. Calcula l obertura de l angle que falta. Digues de quin tipus d angles es tracta. 6 Geometria dossier estiu 2012 2C 1. Dibuixa dues rectes, m i n, que siguin: a) Paral leles horitzontalment. c) Paral leles verticalment. b) Secants. d) Perpendiculars. 6 2. Dibuixa una recta qualsevol m

Más detalles

La regulación de los clubes de cannabis será larga y complicada, pero las instituciones están dando los primeros pasos.

La regulación de los clubes de cannabis será larga y complicada, pero las instituciones están dando los primeros pasos. CÀNNABIS MÒDUL II ACTIVITAT 1 Fitxa 1.1 15 anys La regulación de los clubes de cannabis será larga y complicada, pero las instituciones están dando los primeros pasos. La Agencia de Salud Pública de Cataluña

Más detalles

MATÈRIA: Processos educatius, aprenentatge i desenvolupament de la personalitat (0-6 anys) I

MATÈRIA: Processos educatius, aprenentatge i desenvolupament de la personalitat (0-6 anys) I UNIVERSITAT DE LLEIDA FACULTAT DE CIÈNCIES DE L'EDUCACIÓ TITULACIÓ: Grau en Educació Infantil CODI: 100700 MATÈRIA: rocessos educatius, aprenentatge i desenvolupament de la personalitat (0-6 anys) I MÒDUL:

Más detalles

POLÍTICA DE COOKIES. La información que le proporcionamos a continuación, le ayudará a comprender los diferentes tipos de cookies:

POLÍTICA DE COOKIES. La información que le proporcionamos a continuación, le ayudará a comprender los diferentes tipos de cookies: POLÍTICA DE COOKIES Una "Cookie" es un pequeño archivo que se almacena en el ordenador del usuario y nos permite reconocerle. El conjunto de "cookies" nos ayuda a mejorar la calidad de nuestra web, permitiéndonos

Más detalles

Semblança. Teorema de Tales

Semblança. Teorema de Tales Semblança. Teorema de Tales Dos polígons són semblants si el angles corresponents són iguals i els costats corresponents són proporcionals. ABCDE A'B'C'D'E' si: Â = Â',Bˆ = Bˆ', Ĉ = Ĉ', Dˆ = Dˆ', Ê = Ê'

Más detalles

EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA

EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA Recordeu: Una equació és una igualtat algebraica en la qual apareien lletres (incògnites) amb valor desconegut. El grau d una equació ve donat per l eponent major

Más detalles

r 1 El benefici (en euros) està determinat per la funció objectiu següent: 1. Calculem el valor d aquest benefici en cadascun 150 50 =

r 1 El benefici (en euros) està determinat per la funció objectiu següent: 1. Calculem el valor d aquest benefici en cadascun 150 50 = SOLUIONRI 6 La gràfica de la regió factible és: r2 r3= ( 150, 0) r3 r5= ( 150, 50) r4 r5= ( 110, 90) r1 r4= D( 0, 90) r r = E( 0, 0) 1 2 160 120 80 40 E D 40 80 120 160 El benefici (en euros) està determinat

Más detalles

Polígon. Taula de continguts. Noms i tipus. De Viquipèdia. Per a altres significats, vegeu «Polígon (desambiguació)».

Polígon. Taula de continguts. Noms i tipus. De Viquipèdia. Per a altres significats, vegeu «Polígon (desambiguació)». Polígon De Viquipèdia Per a altres significats, vegeu «Polígon (desambiguació)». Un polígon (del grec, "molts angles") és una figura geomètrica plana formada per un nombre finit de segments lineals seqüencials.

Más detalles

j 2.1 Polinomis en una indeterminada

j 2.1 Polinomis en una indeterminada BLOC POLINOMIS Una escala està formada per una sèrie de graons enganxats l un darrere l altre, de manera que cada graó determina un nivell. Si passem d un graó al de sobre, som en un nivell superior, i

Más detalles

Múltiples i divisors. Objectius. MATEMÀTIQUES 1r ESO 19

Múltiples i divisors. Objectius. MATEMÀTIQUES 1r ESO 19 2 Múltiples i divisors Objectius Aquesta quinzena aprendràs a: Saber si un nombre és múltiple d'un altre. Reconèixer les divisions exactes. Trobar tots els divisors d'un nombre. Reconèixer els nombres

Más detalles

La solució natural per tornar a somriure. Implants dentals. Per estètica, per seguretat, la solució òptima per a tots.

La solució natural per tornar a somriure. Implants dentals. Per estètica, per seguretat, la solució òptima per a tots. Implants dentals La solució natural per tornar a somriure Per estètica, per seguretat, la solució òptima per a tots. Implant System Tornar a somriure. Sentir-se bé amb un mateix. Gaudir de la pròpia imatge.

Más detalles

VOLEIBOL. OJECTE MÒBIL: S utilitza una pilota de cuir o material sintètic de mida similar a la de futbol però és més lleugera.

VOLEIBOL. OJECTE MÒBIL: S utilitza una pilota de cuir o material sintètic de mida similar a la de futbol però és més lleugera. Generalitat de Catalunya Departament d'educació IES Vidreres C/ Institut s/n 17411 Vidreres (Girona) Departament d Educació Física ** CURS 09/10 QUÈ és? VOLEIBOL El voleibol és un esport d equip ( col

Más detalles

Els centres d atenció a la gent gran a Catalunya (2009)

Els centres d atenció a la gent gran a Catalunya (2009) Els centres d atenció a la gent gran a Catalunya (29) Dossiers Idescat 1 Generalitat de Catalunya Institut d Estadística de Catalunya Informació d estadística oficial Núm. 15 / setembre del 213 www.idescat.cat

Más detalles

Peticions de l AEEE en relació als ensenyaments d'àmbit economic recollits a la LOMCE.

Peticions de l AEEE en relació als ensenyaments d'àmbit economic recollits a la LOMCE. Peticions de l AEEE en relació als ensenyaments d'àmbit economic recollits a la LOMCE. 1. Quart curs d ESO. A 4t d'eso, sol licitem dues matèries diferenciades: Economia de 4t d'eso, com a matèria orientadora

Más detalles

Programa Grumet Èxit Fitxes complementàries

Programa Grumet Èxit Fitxes complementàries MESURA DE DENSITATS DE SÒLIDS I LÍQUIDS Activitat 1. a) Digueu el volum aproximat dels següents recipients: telèfon mòbil, un cotxe i una iogurt. Teniu en compte que un brik de llet té un volum de 1000cm3.

Más detalles

Els estius VISITES PER A GRUPS ESCOLARS

Els estius VISITES PER A GRUPS ESCOLARS Els estius delmuseu! Nombre de participants: grups a partir de 10 persones. Activitat adreçada als participants dels casals d estiu i campus escolars d Educació Infantil a ESO. Durada aproximada: 2 hores.

Más detalles

MICROSOFT OFFICE OUTLOOK 2003

MICROSOFT OFFICE OUTLOOK 2003 MICROSOFT OFFICE OUTLOOK 2003 Configuració d un compte amb Microsoft Exchange Servidor de Microsoft Exchange: servei de correu electrònic basat en Microsoft Exchange on les característiques més importants

Más detalles

CAMPS DE FORÇA CONSERVATIUS

CAMPS DE FORÇA CONSERVATIUS El treball fet per les forces del camp per a traslladar una partícula entre dos punts, no depèn del camí seguit, només depèn de la posició inicial i final. PROPIETATS: 1. El treball fet pel camp quan la

Más detalles

El MEDI FISIC I EL PAISATGE NATURAL

El MEDI FISIC I EL PAISATGE NATURAL CONEIXEMENT DEL MEDI NATURAL,SOCIAL I CULTURAL TEMA 10 (deu) El MEDI FISIC I EL PAISATGE NATURAL Nom i cognoms. 3r curs EL PAISATGE DE MUNTANYA I LA PLANA Les formes de relleu són : LA MUNTANYA : És una

Más detalles

ENGINYERIA INDUSTRIAL. EPECIALITAT ORGANITZACIÓ INDUSTRIAL XAVIER GARCIA RAVENTÓS ESTUDI DEL TRÀNSIT EN LA ZONA CENTRAL DE VILANOVA I LA GELTRÚ

ENGINYERIA INDUSTRIAL. EPECIALITAT ORGANITZACIÓ INDUSTRIAL XAVIER GARCIA RAVENTÓS ESTUDI DEL TRÀNSIT EN LA ZONA CENTRAL DE VILANOVA I LA GELTRÚ Titulació: ENGINYERIA INDUSTRIAL. EPECIALITAT ORGANITZACIÓ INDUSTRIAL Alumne (nom i cognoms) XAVIER GARCIA RAVENTÓS Títol PFC ESTUDI DEL TRÀNSIT EN LA ZONA CENTRAL DE VILANOVA I LA GELTRÚ Director del

Más detalles

AGROPLACE La plataforma de subhastes on line d Afrucat

AGROPLACE La plataforma de subhastes on line d Afrucat AGROPLACE La plataforma de subhastes on line d Afrucat Mercè Gispert i Bosch assessorament@afrucat.com Associació catalana d'empreses fructícoles 130 empreses fructícoles OPFH s de Catalunya S.C.C.L de

Más detalles

I. SISTEMA DIÈDRIC 3. DISTÀNCIES I ANGLES DIBUIX TÈCNIC

I. SISTEMA DIÈDRIC 3. DISTÀNCIES I ANGLES DIBUIX TÈCNIC DIBUIX TÈCNIC I. SISTEMA DIÈDRIC 3. DISTÀNCIES I ANGLES 1. Dist. d un punt a una recta - Abatiment del pla format per la recta i el punt 2. Dist. d un punt a un pla - Canvi de pla posant el pla de perfil

Más detalles

J o c s E s p o r t i u s E s c o l a r s d e C a t a l u n y a. c u r s 2 0 1 03-2 0 1 14 NORMATIVA TÈCNICA. GIMNÀSTICA RÍTMICA INDIVIDUAL i CONJUNTS

J o c s E s p o r t i u s E s c o l a r s d e C a t a l u n y a. c u r s 2 0 1 03-2 0 1 14 NORMATIVA TÈCNICA. GIMNÀSTICA RÍTMICA INDIVIDUAL i CONJUNTS J o c s E s p o r t i u s E s c o l a r s d e C a t a l u n y a c u r s 2 0 1 03-2 0 1 14 NORMATIVA TÈCNICA GIMNÀSTICA RÍTMICA INDIVIDUAL i CONJUNTS ÍNDEX CIRCULAR INFORMATIVA...PÀG. 2 APARELLS GIMNÀSTICA

Más detalles

11s. Jornades Catalanes d Informació i Documentació. Barcelona, 22 i 23 de maig de 2008. VIVÈNCIES: La Barcelona que vaig viure (1931-1945)

11s. Jornades Catalanes d Informació i Documentació. Barcelona, 22 i 23 de maig de 2008. VIVÈNCIES: La Barcelona que vaig viure (1931-1945) 11s. Jornades Catalanes d Informació i Documentació. Barcelona, 22 i 23 de maig de 2008 VIVÈNCIES: La Barcelona que vaig viure (1931-1945) Biblioteca Ignasi Iglésias-Can Fabra Esperança Paños i Ester Corbera

Más detalles

Programa Visita Un Hotel 2014-2015

Programa Visita Un Hotel 2014-2015 Programa Visita Un Hotel 2014-2015 PREGUNTES I RESPOSTES 1. Què és i per què és important la visita a un hotel per als alumnes? El turisme és un dels sectors més importants de la nostra illa. Per això,

Más detalles

TAULA DE RECONEIXEMENT

TAULA DE RECONEIXEMENT TAULA DE RECONEIXEMENT CODI ENSENYAMENT DE 1r i/o 2n CICLE LLICENCIAT EN BELLES ARTS TÍTOL DE GRAU DISSENY 405562 200207 DISSENY I 6.0 Obl 363400 ELEMENTS : MORFOLOGIA I TECTÒNICA 405563 200202 ANALISI

Más detalles

1.1. Breu història...1. 1.2. Orígens...1. 1.3. Fonaments tècnics del beisbol...4

1.1. Breu història...1. 1.2. Orígens...1. 1.3. Fonaments tècnics del beisbol...4 EL BEISBOL Índex 1.1. Breu història...1 1.2. Orígens...1 1.3. Fonaments tècnics del beisbol...4 EL BEISBOL El beisbol és un joc de força i velocitat, però no serveix de gaire si no es tenen uns bons reflexos,

Más detalles

Dossier d Energia, Treball i Potència

Dossier d Energia, Treball i Potència Dossier d Energia, Treball i Potència Tipus de document: Elaborat per: Adreçat a: Dossier de problemes Departament de Tecnologia (LLHM) Alumnes 4 Curs d ESO Curs acadèmic: 2007-2008 Elaborat per: LLHM

Más detalles

ACTIVITATS D ESTIU DE MATEMÀTIQUES

ACTIVITATS D ESTIU DE MATEMÀTIQUES ACTIVITATS D ESTIU DE MATEMÀTIQUES CURS 1r ESO Fes les activitats en fulls a part. Indica el número de l activitat i copia els apartats. No t oblidis d escriure totes les operacions i el procediment i

Más detalles

Màster en Assessorament Lingüístic i Cultura Literària: aplicacions al context valencià

Màster en Assessorament Lingüístic i Cultura Literària: aplicacions al context valencià Màster en Assessorament Lingüístic i Cultura Literària: aplicacions al context valencià Guia docent de l assignatura: Tecnologies de la informació i de la comunicació Professor: Vicent Partal i Mar Iglesias

Más detalles

MATEMÀTIQUES Versió impresa POTÈNCIES I RADICALS

MATEMÀTIQUES Versió impresa POTÈNCIES I RADICALS MATEMÀTIQUES Versió impresa POTÈNCIES I RADICALS 1. IDEA DE POTÈNCIA I DE RADICAL Al llarg de la història, han aparegut molts avenços matemàtics com a solucions a problemes concrets de la vida quotidiana.

Más detalles

Dossier Exercicis GANTT CPM PERT

Dossier Exercicis GANTT CPM PERT Dossier Exercicis GANTT CPM PERT YATCH LUX, S.L. es dedica a la construcció de iots de luxe. Un client encarrega a la empresa la fabricació del seu veler. Es demana: Activitat Durada (setmanes) Activitats

Más detalles

RESUM ORIENTATIU DE CONVALIDACIONS

RESUM ORIENTATIU DE CONVALIDACIONS RESUM ORIENTATIU DE CONVALIDACIONS TIPUS DE CONVALIDACIONS Aquest document recull les possibles convalidacions de mòduls i unitats formatives del cicle formatiu de grau superior ICA0 Administració de sistemes,

Más detalles

Finalment, s aprofita l ordre per millorar i clarificar determinats aspectes d algunes prestacions de serveis socials.

Finalment, s aprofita l ordre per millorar i clarificar determinats aspectes d algunes prestacions de serveis socials. ORDRE BSF/127/2012, de 9 de maig, per la qual s'actualitzen el cost de referència, el mòdul social i el copagament, així com els criteris funcionals de les prestacions de la Cartera de Serveis Socials

Más detalles

MATÈRIA: Psicologia de grups i de les organitzacions. CURS: 3r SEMESTRE: 1r CRÈDITS ECTS: 6 IDIOMA D IMPARTICIÓ: Català i/o castellà

MATÈRIA: Psicologia de grups i de les organitzacions. CURS: 3r SEMESTRE: 1r CRÈDITS ECTS: 6 IDIOMA D IMPARTICIÓ: Català i/o castellà UNIVERSITAT DE LLEIDA FACULTAT DE CIÈNCIES DE L'EDUCACIÓ TITULACIÓ: Grau en Psicologia CODI: 102821 MATÈRIA: Psicologia de grups i de les organitzacions MÒDUL: VIII. Matèries obligatòries de l'àmbit social

Más detalles

Tècniques i Eines de Gestió de Projectes (TEGP) T5 Tècniques de gestió de projectes. Antònia Mas Pichaco Curs 2005-2006

Tècniques i Eines de Gestió de Projectes (TEGP) T5 Tècniques de gestió de projectes. Antònia Mas Pichaco Curs 2005-2006 Tècniques i Eines de Gestió de Projectes (TEGP) T Tècniques de gestió de projectes Curs 00-006 Continguts La planificació temporal Diagrames de GANTT WBS (Work Breakdown Structure) PBS (Product Breakdown

Más detalles

TEORIA I QÜESTIONARIS

TEORIA I QÜESTIONARIS ENGRANATGES Introducció Funcionament Velocitat TEORIA I QÜESTIONARIS Júlia Ahmad Tarrés 4t d ESO Tecnologia Professor Miquel Estruch Curs 2012-13 3r Trimestre 13 de maig de 2013 Escola Paidos 1. INTRODUCCIÓ

Más detalles

1. EQUILIBRI DE LA PARTÍCULA

1. EQUILIBRI DE LA PARTÍCULA 1. EQUILIBRI DE LA PARTÍCULA 1.1. Primera llei de Newton A la segona meitat del segle XVII Isaac Newton va formular tres lleis fonamentals en què es basa la mecànica clàssica. La primera d'aquestes lleis

Más detalles

1. Explica, de forma oral, què són per tu el Jocs Olímpics. (Llengua Catalana) L ORIGEN DELS JOCS OLÍMPICS Vídeo introductori: ELS JOCS I L ESPORT A GRÈCIA http://www.youtube.com/watch?v=o5jhhztxkuy MÉS

Más detalles

DOSSIER DE RECUPERACIÓ DEL CRÈDIT DE SÍNTESI. 3r ESO

DOSSIER DE RECUPERACIÓ DEL CRÈDIT DE SÍNTESI. 3r ESO Institut Narcís Monturiol - Figueres DOSSIER DE RECUPERACIÓ DEL CRÈDIT DE SÍNTESI. 3r ESO Nom: 1 GIMCANA 3.0 CRÈDIT DE SÍNTESI 3r ESO CURS 2014-15 2 GUIÓ DEL CRÈDIT DE SÍNTESI DE 3r ESO CURS 2014-15 El

Más detalles

Proves d Accés per a Majors de 25 i 45 anys

Proves d Accés per a Majors de 25 i 45 anys Proves d Accés per a Majors de 25 i 45 anys Convocatòria: 2013 Assignatura: FILOSOFIA I) CARACTERÍSTIQUES DE LA PROVA La prova de l examen es realitzarà a partir de les lectures dels cinc textos bàsics

Más detalles

Tema 6. Energia. Treball i potència. (Correspondria al Tema 7 del vostre llibre de text pàg. 144-175)

Tema 6. Energia. Treball i potència. (Correspondria al Tema 7 del vostre llibre de text pàg. 144-175) Tema 6. Energia. Treball i potència (Correspondria al Tema 7 del vostre llibre de text pàg. 144-175) ÍNDEX 6.1. Definició d energia 6.2. Característiques de l energia 6.3. Com podem transferir l energia

Más detalles

Ponència de sòl no urbanitzable

Ponència de sòl no urbanitzable Ponència de sòl no urbanitzable Anàlisi estadística dels càmpings de Catalunya Octubre 212 A partir d una base de dades facilitada per la Direcció General de Turisme que conté 355 càmpings de Catalunya,

Más detalles

CONTINGUTS DE TERCER CICLE / MATEMÀTIQUES

CONTINGUTS DE TERCER CICLE / MATEMÀTIQUES CONTINGUTS DE TERCER CICLE / MATEMÀTIQUES CONTINGUTS COMUNS A TOTS ELS BLOCS Capacitat per a formular raonaments i per a argumentar sobre la validesa d una solució, identificant, si és procedent, els errors.

Más detalles

Volum dels cossos geomètrics.

Volum dels cossos geomètrics. 10 Volum dels cossos geomètrics. Objectius En esta quinzena aprendràs a: Comprendre el concepte de mesura de volum i utilitzar les unitats de mesura del sistema mètric decimal. Obtenir i aplicar expressions

Más detalles

FASE 2a. ESTRATÈGICA ESQUEMA PMK PAS 4 OBJECTIUS

FASE 2a. ESTRATÈGICA ESQUEMA PMK PAS 4 OBJECTIUS FASE 2a. ESTRATÈGICA ESQUEMA PMK PAS 4 OBJECTIUS Els Objectius indiquen allò que es vol aconseguir o els efectes i els resultats que s esperen quan es planteja un pmk per modificar una determinada situació

Más detalles

ELS PLANETES DEL SISTEMA SOLAR

ELS PLANETES DEL SISTEMA SOLAR ELS PLANETES DEL SISTEMA SOLAR Les característiques més importants. MERCURI És el planeta més petit del Sistema Solar i el més proper al Sol. Des de la Terra a l alba i al crepuscle es veu molt brillant.

Más detalles

LA POBLACIÓ DE CATALUNYA

LA POBLACIÓ DE CATALUNYA LA POBLACIÓ DE CATALUNYA 1. Què és la població d un territori? 2. Què és el creixement natural? 3. Què és el creixement migratori? 4. Què són les migracions? 5. Com poden ser les migracions? 6. Quina diferència

Más detalles

PROJECTE INDIVIDUAL Nº 1

PROJECTE INDIVIDUAL Nº 1 PROJECTE INDIVIDUAL Nº 1 NOM... 1 Ara vas a fer el treball individual. Aprofitant tot el que has treballat amb el teu equip vas a poder fer el teu treball personal. Has de anar fent totes les activitats

Más detalles

Introducció a la Trigonometria 4t ESO

Introducció a la Trigonometria 4t ESO Introducció a la Trigonometria 4t ESO Índex: 1. Unitats de mesura d'angles: graus i radians.... 3. Raons trigonomètriques bàsiques: sinus, cosinus i tangent. Definicions.... 5 3. Relacions entre les raons

Más detalles

TFGs d oferta pública i concertats:

TFGs d oferta pública i concertats: Guia ràpida per a donar d'alta un TFG/TFM A continuació es detalla una guia ràpida per a donar d alta un TFG, el procediment a seguir dependrà del tipus de TFG TFGs d oferta pública i concertats: Els passos

Más detalles

e 2 esplais al quadrat

e 2 esplais al quadrat e 2 esplais al quadrat excel lents pel què fem i per com ho fem Un projecte per fer un pas endavant en la qualitat i responsabilitat, tant social com mediambiental en els centres d esplai. IV Jornada de

Más detalles

Semblança. Teorema de Pitàgores.

Semblança. Teorema de Pitàgores. 7 Semblança. Teorema de Pitàgores. Objectius En aquesta quinzena aprendràs a: Aplicar correctament el Teorema de Tales. Reconèixer y dibuixar figures semblants. Aplicar els criteris de semblança de triangles

Más detalles

Registre del consum d alcohol a l e-cap

Registre del consum d alcohol a l e-cap Registre del consum d alcohol a l e-cap Rosa Freixedas, Estela Díaz i Lídia Segura Subdirecció General de Drogodependències ASSOCIACIÓ D INFERMERI A FAMILIAR I COMUNITÀRI A DE CATALUN YA Índex Introducció

Más detalles

EXERCICIS - SOLUCIONS

EXERCICIS - SOLUCIONS materials del curs de: MATEMÀTIQUES EQUACIONS DE PRIMER GRAU EXERCICIS - SOLUCIONS AUTOR: Xavier Vilardell Bascompte xevi.vb@gmail.com ÚLTIMA REVISIÓ: 6 d abril de 2009 Aquests materials han estat realitzats

Más detalles

MATEMÀTIQUES 1r ESO PROGRAMACIÓ DEPARTAMENT MATEMÀTIQUES. Breu resum. Segon trimestre. Tercer trimestre

MATEMÀTIQUES 1r ESO PROGRAMACIÓ DEPARTAMENT MATEMÀTIQUES. Breu resum. Segon trimestre. Tercer trimestre PROGRAMACIÓ DEPARTAMENT MATEMÀTIQUES 1r ESO MATEMÀTIQUES Breu resum Primer trimestre Unitat Nombres naturals. 16 Fraccions. 17 Nombres decimals i mesures 14 Segon trimestre Unitat Nombres enters 15 Proporcionalitat

Más detalles

DISSENY D UN PROTOCOL NUMÈRIC PER A LA CLASSIFICACIÓ INVARIANT D IMATGES APLICANT TÈCNIQUES MULTIVARIANTS. Departament de Física Aplicada i Òptica

DISSENY D UN PROTOCOL NUMÈRIC PER A LA CLASSIFICACIÓ INVARIANT D IMATGES APLICANT TÈCNIQUES MULTIVARIANTS. Departament de Física Aplicada i Òptica DISSENY D UN PROTOCOL NUMÈRIC PER A LA CLASSIFICACIÓ INVARIANT D IMATGES APLICANT TÈCNIQUES MULTIVARIANTS Departament de Física Aplicada i Òptica Jordi-Roger Riba Ruíz Barcelona, maig de 2000 Departament

Más detalles

5.- Quins tres pobles amenaçaven l Europa occidental? D on venien?

5.- Quins tres pobles amenaçaven l Europa occidental? D on venien? L EUROPA FEUDAL Pàgs. 22 25 1.- A quins territoris es va implantar el feudalisme?... A partir de quina època?... 2.- Qui era Carlemany i què va fer? 3.- Com s organitzava el seu imperi? 4.- Què va passar

Más detalles

VIDA PAUL KLEE Paul Klee (18 de desembre de 1879-29 de juny de 1940) va ser un pintor nascut a Suïssa, que va desenvolupar la seva vida a Alemanya, l'

VIDA PAUL KLEE Paul Klee (18 de desembre de 1879-29 de juny de 1940) va ser un pintor nascut a Suïssa, que va desenvolupar la seva vida a Alemanya, l' Paul klee VIDA PAUL KLEE Paul Klee (18 de desembre de 1879-29 de juny de 1940) va ser un pintor nascut a Suïssa, que va desenvolupar la seva vida a Alemanya, l'estil de la qual varia entre el surrealisme,

Más detalles

QUÈ SÓN LES PILES? GRUP DE MEDIAMBIENT IES NA CAMEL LA - CEPA LLEVANT

QUÈ SÓN LES PILES? GRUP DE MEDIAMBIENT IES NA CAMEL LA - CEPA LLEVANT QUÈ SÓN LES PILES? Són acumuladors d energia que obtenen electricitat a partir d un procés químic. Són un element molt habitual pels consumidors, però la majoria desconeix quins són els seus components

Más detalles

Seguretat informàtica

Seguretat informàtica Informàtica i comunicacions Seguretat informàtica CFGM.SMX.M06/0.09 CFGM - Sistemes microinformàtics i xarxes Generalitat de Catalunya Departament d Ensenyament Aquesta col lecció ha estat dissenyada

Más detalles

EL PUNT AVUI COMARQUES GIRONINES

EL PUNT AVUI COMARQUES GIRONINES Medio: EL PUNT AVUI COMARQUES GIRONINES Fecha: 05/10/2013 Página: 3 Documento: 1/1 Autor: REDACCIÓN Valor (vpe): 249,22 Difusión: 11.617 Audiencia: 46.468 Ocupación aprox. (%) : 4,20-9 - Medio: EL PUNT

Más detalles

INFORME SOBRE PARCIALITAT I HORES EFECTIVES DE TREBALL A CATALUNYA

INFORME SOBRE PARCIALITAT I HORES EFECTIVES DE TREBALL A CATALUNYA INFORME SOBRE PARCIALITAT I HORES EFECTIVES DE TREBALL A CATALUNYA Novembre 2014 CCOO DE CATALUNYA DENUNCIA QUE LA FEBLE MILLORA DEL NOSTRE MERCAT DE TREBALL ES BASA EN UNA ALTA PARCIALITAT I MENORS JORNADES

Más detalles

MATEMÀTIQUES ÀREES I VOLUMS

MATEMÀTIQUES ÀREES I VOLUMS materials del curs de: MATEMÀTIQUES ÀREES I VOLUMS EXERCICIS RECULL D APUNTS I EXERCICIS D INTERNET FET PER: Xavier Vilardell Bascompte xevi.vb@gmail.com ÚLTIMA REVISIÓ: 08 de febrer de 2010 Aquests materials

Más detalles

Tema 1: Equacions i problemes de primer grau.

Tema 1: Equacions i problemes de primer grau. Tema 1: Equacions i problemes de primer grau. 1.1. Igualtats, identitats i equacions. Dues expressions separades pel signe = és una igualtat. Les igualtats poden ser numèriques (només contenen números)

Más detalles

ÍNDEX 1. FINALITAT 2. ABAST DEL PROCÉS 3. REFERÈNCIES / NORMATIVES 4. DEFINICIONS 5. DESENVOLUPAMENT DEL PROCÉS 6. SEGUIMENT I MESURA 7.

ÍNDEX 1. FINALITAT 2. ABAST DEL PROCÉS 3. REFERÈNCIES / NORMATIVES 4. DEFINICIONS 5. DESENVOLUPAMENT DEL PROCÉS 6. SEGUIMENT I MESURA 7. ÍNDEX 1. FINALITAT 2. ABAST DEL PROCÉS 3. REFERÈNCIES / NORMATIVES 4. DEFINICIONS 5. DESENVOLUPAMENT DEL PROCÉS 6. SEGUIMENT I MESURA 7. EVIDÈNCIES 8. RESPONSABILITATS 9. FITXA RESUM 10. FLUXGRAMA 15 de

Más detalles

A.1 Dar una expresión general de la proporción de componentes de calidad A que fabrican entre las dos fábricas. (1 punto)

A.1 Dar una expresión general de la proporción de componentes de calidad A que fabrican entre las dos fábricas. (1 punto) e-mail FIB Problema 1.. @est.fib.upc.edu A. En una ciudad existen dos fábricas de componentes electrónicos, y ambas fabrican componentes de calidad A, B y C. En la fábrica F1, el porcentaje de componentes

Más detalles

Consentimiento Publicación Imágenes

Consentimiento Publicación Imágenes Página 1 de 6 Política de Cookies Información del Documento FECHA VERSIÓN DESCRIPCIÓN DE CAMBIOS 24/03/2015 00 Versión inicial documento 17/04/2015 01 Versión adaptada a la web de Sol Maratón Magaluf Internacional

Más detalles

Accés a la xarxa sense fils de la Xarxa de Biblioteques Municipals de la Província de Barcelona. Manual d ús

Accés a la xarxa sense fils de la Xarxa de Biblioteques Municipals de la Província de Barcelona. Manual d ús Accés a la xarxa sense fils de la Xarxa de Biblioteques Municipals de la Província de Barcelona Manual d ús WINDOWS VISTA Aquest manual pretén ser una guia per tal que els usuaris puguin connectar-se a

Más detalles

La grafia emprada en el procés d'aprenentatge lector-escriptor en els centres escolars de Catalunya (Espanya) en l'educació infantil

La grafia emprada en el procés d'aprenentatge lector-escriptor en els centres escolars de Catalunya (Espanya) en l'educació infantil La grafia emprada en el procés d'aprenentatge lector-escriptor en els centres escolars de Catalunya (Espanya) en l'educació infantil Profª Mariluz Puente Balsells Directora del Master en Grafoanàlisi Europea,

Más detalles

Generalitat de Catalunya Departament de Salut Direcció General de Salut Pública

Generalitat de Catalunya Departament de Salut Direcció General de Salut Pública Recomanacions de profilaxi antitetànica per als adults, a Catalunya Introducció El mes d abril de 2008, la del va establir unes recomanacions provisionals sobre la utilització de la vacuna Td, a causa

Más detalles

4.7. Lleis de Newton (relacionen la força i el moviment)

4.7. Lleis de Newton (relacionen la força i el moviment) D21 4.7. Lleis de ewton (relacionen la força i el moviment) - Primera Llei de ewton o Llei d inèrcia QUÈ ÉS LA IÈRCIA? La inèrcia és la tendència que tenen el cossos a mantenirse en repòs o en MRU. Dit

Más detalles

Informe sobre els estudiants de nou accés amb discapacitat (any 2015) Comissió d accés i afers estudiantils

Informe sobre els estudiants de nou accés amb discapacitat (any 2015) Comissió d accés i afers estudiantils annex 2 al punt 6 Informe sobre els estudiants de nou accés amb discapacitat (any 2015) Comissió d accés i afers estudiantils Barcelona,18 de març de 2016 INFORME SOBRE ELS ESTUDIANTS DE NOU ACCÉS AMB

Más detalles