El triangle aritmètic de Blaise Pascal ( ) Mª Rosa Massa Esteve (1), Fàtima Romero Vallhonesta (2)

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "El triangle aritmètic de Blaise Pascal (1623-1662) Mª Rosa Massa Esteve (1), Fàtima Romero Vallhonesta (2)"

Transcripción

1 6 biaix 28 I 29 El triangle aritmètic de Blaise Pascal ( ) Mª Rosa Massa Esteve (), Fàtima Romero Vallhonesta (2) () Departament de Matemàtica Aplicada I. Centre de Recerca per a la Història de la Tècnica. Universitat Politècnica de Catalunya (2) Inspecció a Barcelona-Comarques. Departament d'educació de la Generalitat de Catalunya Resum La història de la ciència pot ser útil per al seu ensenyament. Aquest article analitza les propietats matemàtiques del triangle aritmètic per utilitzar-les a l'eso quan els alumnes aprenen combinatòria. Paraules clau: triangle aritmètic, ensenyament, Blaise Pascal, combinatòria, sumes de potències, contextos històrics. Abstract Abstract: The history of science can be useful for teaching science itself. This paper discusses the mathematical properties of Pascal s arithmetical triangle for using in a secondary school when combinatorics are introduced in the classroom. Key words: Arithmetical triangle, teaching, Blaise Pascal, combinatorial numbers, sums of powers, historical context.. Introducció Un dels camins per portar a terme la immersió de la història de la matemàtica a l'aula és la utilització explícita de textos històrics com un recurs per a millorar l'aprenentatge de l'alumnat (Massa, 2003). El text històric que analitzem és el triangle aritmètic de Blaise Pascal ( ) amb les seves utilitats. El triangle aritmètic és un conjunt de nombres naturals disposats en forma de taula triangular (Fig. ). La regla de formació d'aquesta taula de nombres és senzilla: cada fila comença i acaba amb un i els altres nombres s'obtenen sumant els dos nombres més propers de la fila immediata superior. Així, el 2 de la tercera fila s'obté sumant els dos uns de la segona, els tresos de la quarta fila s'obtenen sumant un i un 2 de la tercera i, per exemple, cada 0 de la cinquena s'obté sumant el 6 i el 4, que són els dos nombres de la quarta fila que tenen més propers Figura. Triangle aritmètic. L'objectiu d'aquest article és analitzar algunes de les possibilitats d'utilització del triangle aritmètic a l'aula, sigui per introduir conceptes, per ensenyar procediments de càlcul o per suggerir i realitzar treballs de recerca de batxillerat.

2 El triangle aritmètic a la història El triangle aritmètic és un dels conjunts de nombres més famosos de la matemàtica, i es pot utilitzar en molts camps. Ha estat estudiat des de l'antiguitat i per moltes civilitzacions [Cassina (923); Bosmans (924); Dou (975) i Edwards (2002)]. Es creu que va aparèixer representat en forma de triangle (Fig. 2) per primera vegada a l'obra De Arithmetica (aprox. 225), de Jordanus de Nemorario. Figura 2. Triangle aritmètic de Jordanus. També el trobem a la matemàtica xinesa (Fig. 3), concretament a l'obra El mirall preciós de Txu Xhi-kei (303). Figura 3. Triangle aritmètic al text xinès. Apareix també a la portada de l'obra Rara Arithmetica (527) de Petrus Apianus ( ), a l'arithmetica Integra (544) de Michael Stifel ( ) i al General Tratatto di numeri e misure (556) de Niccolò Tartaglia ( ). La fascinació que provoquen les nombroses propietats i aplicacions del triangle aritmètic queda reflectida en moltes frases dels matemàtics que el van estudiar [Edwards 2002, vi]. Així, diu Johann Faulhaber ( ) a Mysterium Arithmeticum (65): "Una rica mina d'informació en forma de taula, la qual revela els secrets més profunds de l'aritmètica"; William Oughtred ( ), a la seva obra Clavis Mathematicae (63), comenta: "Aquesta taula plena dels misteris més bonics"; també Henry Briggs (56-63), a la seva obra Trigonometria Britannica (633), afirma que la taula és: "Una calculadora útil per a tot". Més tard, Blaise Pascal ( ), a la seva obra Potestatum numericarum summa (654), exclama: "És una cosa estranya com és de fèrtil en propietats". Es poden donar diferents interpretacions dels nombres que formen el triangle segons el context on es trobin. Històricament, els nombres que formen aquesta taula triangular van ésser coneguts, ja en l'antiga Grècia, com a nombres figurats: triangulars, tetraèdrics, pentagonals, etc. Així, els nombres que formen la tercera diagonal s'anomenen triangulars (, 3, 6, 0...); els de la quarta, tetraèdrics (, 4, 0, 20...); els de la cinquena, pentagonals (, 5, 5, 35...), etc. Més tard, les files del triangle es varen identificar amb els coeficients dels termes d'un desenvolupament binomial, o sigui, amb els nombres binomials:

3 8 biaix 28 I 29 (a + b 0 ) (a + b ) (a + b 2 ) 2 (a + b 3 ) 3 3 (a + b 4 ) (a + b 5 ) Per exemple, el desenvolupament de la cinquena potència d'un binomi (actualment es coneix com binomi de Newton), tindria com a coeficients els nombres de la fila cinquena: (a + b) = a + 5 a b +0 a 3 b 2 +0 a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5. Finalment, ja amb Pascal, el triangle es va aplicar també a la combinatòria (Fig. 4). Podem considerar els nombres que el formen com a nombres combinatoris, és a dir, números que representen el nombre de combinacions de m objectes presos de r en r. Figura 4. Triangle combinatori. Així, veiem que es compleix que els nombres que formen els costats del triangle valen, expressat en nombres combinatoris s'escriu: També la regla de formació del triangle expressada en nombres combinatoris s'escriu: De fet, el triangle aritmètic rep també els noms de triangle de Newton i de Tartaglia, però considerem que Pascal és qui mereix el reconeixement del nom, ja que va ser ell qui després de definir aquesta taula triangular i donar-ne les propietats, va escriure altres tractats on especificava els diferents usos dels nombres que la formen. El títol complet de l'obra de Pascal és: Traité du Triangle arithmétique, avec quelques autres petits traités sur la même matière. Usage du Triangle Arithmétique pour les ordres numériques, pour les combinaisons, pour déterminer les partis qu'on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties, pour trouver les puissances des binômes et des apotomes. (París, 665). Blaise Pascal (Clermont-Ferrand,623 París,662) va ser matemàtic, físic, filòsof i escriptor francès. Als catorze anys ja acompanyava el seu pare a les reunions informals de l'acadèmia de Mersenne. Allà es va relacionar amb Desargues, Roberval i Fermat. Als divuit anys va dissenyar una màquina calculadora per a ajudar el seu pare en el treball que realitzava com a recaptador d'impostos. L'any 648 es va interessar per la hidrostàtica i va realitzar els experiments de Puy-de-Dôme, que confirmaven el pes de l'aire. Va ser mestre de prosa francesa: els seus Pensées i Lettres provincials són clàssics de la literatura francesa. En mate-

4 màtiques, a part d'una obra sobre còniques, es va dedicar a l'estudi de la "cicloide", encara que l'obra més influent va ser la que tracta del triangle aritmètic (Taton, 97, pp ). El Traité du Triangle Arithmétique de Pascal comença amb la definició de la taula i de la seva construcció. La definició comença amb l'expressió: "Jo anomeno triangle aritmètic...". Vegem la figura de Pascal (Fig. 5): Figura 5. Triangle aritmètic de Pascal (Pascal, 665, p. 97). Després d'explicar-ne la construcció Pascal enuncia i demostra 9 propietats (ell les anomena consequences) del triangle prenent la unitat com a generador. Pascal representa el triangle amb el vèrtex en angle recte, i anomena les diagonals com a files paral leles i perpendiculars. Els nombres els anomena cèl lules. A tall d'exemple, mostrem com enuncia la conseqüència tercera: En tot Triangle Aritmètic, cada cèl lula (nombre) és igual a la suma de totes les de la fila perpendicular precedent, compreses des de la seva fila paral lela fins a la primera inclosa. 2 El nombre 20, per exemple, és igual a la suma dels nombres de la fila perpendicular precedent, 20= En notació actual i emprant nombres combinatoris seria: i, generalitzant, s'escriuria. 3. Ús del triangle. Càlcul de les sumes de potències Les sumes de potències es poden calcular a partir de les propietats dels nombres figurats del triangle aritmètic. Considerem el triangle: Cadascuna de les categories de nombres figurats (triangulars, tetraèdrics, pentagonals...) s'obté com a suma dels nombres figurats anteriors. Els nombres triangulars situats a la tercera diagonal, 3, 6, 0...,

5 0 biaix 28 I 29 s'obtenen com a suma dels nombres naturals que estan situats a la segona diagonal: =, 3=+2, 6=+2+3, 0=+2+3+4, etc.; els tetraèdrics (quarta diagonal), 4, 0, 20..., s'obtenen com a suma dels nombres triangulars: =, 4=+3, 0=+3+6, 20= , i així successivament. Si expressem els termes de la segona diagonal per a 2 =, a = 2, a 32 = 3,..., a n2 = n, i els nombres triangulars per a 3 =, a 23 = 3, a 33 = 6,..., podem escriure les relacions anteriors amb la fórmula: Llavors, l'enèsim nombre triangular es pot expressar mitjançant la relació 3 : expressada en nombres combinatoris, s'escriuria:. Aquesta relació,. Per exemple: ;... i així successivament. Vegeu ara aquesta propietat en els nombres tetraèdrics que expressarem: a 4 =, a 24 = 4, a 34 = 0,... En aquest cas, l'enèsim nombre tetraèdric s'escriuria:. Aquesta relació, expressada en nombres combinatoris, s'escriuria:. Per exemple: ;..., i així successivament. En general, els nombres de l'enèsima diagonal s'expressen:. Vegeu com es poden calcular les sumes de potències de la successió de nombres naturals, emprant aquestes propietats: = ½ ( 2); =; 3 = ½ (2 3); 3= + 2; 6 = ½ (3 4) 6= = /6 ( 2 3); =; 4 = /6 (2 3 4); 4= + 3; 0 = /6 (3 4 5)... 0= Demostració = ½ ( 2); + 2 = ½ (2 3); = ½ (3 4)..., i així successivament. Per n termes es verificarà: n = ½ (n (n+)).

6 O sigui, que:. Per calcular les sumes de quadrats partim del fet que la suma dels triangulars dóna els nombres tetraèdrics. Així, es verificarà: = /6 ( 2 3); + 3 = /6 (2 3 4); = /6 (3 4 5)... llavors, la suma dels triangulars l'escriurem: Desenvolupant: i emprant que: Es demostra : Generalitzant, escriuríem: amb n p. Aquestes sumes, quan el nombre de termes es fa infinit, condueixen a trobar la fórmula que en notació actual s'escriu: A tall d'exemple, mostrem com Pietro Mengoli ( ), a la seva obra Geometriae Speciosae Elementa (659), obtenia aquestes àrees emprant el triangle aritmètic (Massa, 2006, pp ). Mengoli primer disposa les integrals (ell les anomena quadratures) que vol calcular en forma de taula triangular (Fig. 6). En notació actual s'expressen: Figura 6. Taula d'integrals en notació actual. Tot seguit, a partir del triangle aritmètic troba la taula de valors d'aquestes integrals i demostra que els termes de la taula nova (Fig. 7) són iguals als termes corresponents d'aquesta (Fig. 6). Considerant el vèrtex a part, Mengoli multiplica cada fila del triangle aritmètic pel nombre de termes que la formen; és a dir, la primera fila per dos, la segona per tres, la emèsima per (m +) i així successivament. Per aquest procediment obté la taula:

7 2 biaix 28 I A continuació, Mengoli escriu l'invers d'aquests nombres en forma de taula triangular i obté el triangle que actualment es coneix com triangle harmònic (Fig. 7): 4 /2 /2 /3 /6 /3 /4 /2 /2 /4 /5 /20 /30 /20 /5 Figura 7. Triangle Harmònic. Mengoli identifica aquests valors amb les integrals corresponents. En notació actual s'expressaria: 5. El triangle aritmètic a l'aula. Algunes experiències Descriurem tres situacions on el triangle aritmètic pot ésser emprat explícitament a l'aula: ) com a text històric significatiu per a ensenyar matemàtiques; 2) com a part del contingut de crèdits variables de matemàtiques; i 3) com a tema de treball de recerca de batxillerat. 5.. Text històric significatiu El triangle aritmètic de Pascal pot ser emprat a l'aula com a text històric. La utilització de textos històrics per a assolir millor els conceptes matemàtics és una activitat que pot proporcionar elements molt valuosos per a la formació matemàtica de l'alumnat. Els textos històrics es poden fer servir per a introduir un tema o un concepte, per a aprofundir-hi, per a explicar diferències entre dos conceptes matemàtics que van sorgir en moments històrics diferents i que amb el pas del temps es van relacionar, per a motivar l'estudi d'un tipus de problemes o fins i tot per a ajudar a entendre algun raonament. Una bona utilització dels textos històrics requereix la presentació del personatge en el seu context, pel que fa tant a les seves inquietuds com a les preocupacions de l'època. Situar cronològicament l'autor permet enriquir la formació de l'alumnat mostrant-li diferents aspectes de la ciència i de la cultura de l'època de forma interdisciplinària. En el cas que tractem, Pascal és un personatge del segle XVII, segle de la revolució científica i, en concret, en el cas de les matemàtiques, de la seva algebrització. La introducció de procediments algebraics a la geometria va donar lloc a dues parts noves de la matemàtica: la geometria analítica i el càlcul infinitesimal. S'ha de clarificar també la relació del text històric amb el concepte matemàtic que s'estudia a fi que l'anàlisi del text no quedi aïllada de les idees matemàtiques que es volen transmetre. En el triangle aritmè-

8 tic es pot veure com els nombres verifiquen relacions matemàtiques molt fructíferes tant de teoria de nombres com de combinatòria, o d'anàlisi. Cal contextualitzar les demostracions històriques dins de la programació matemàtica connectant-la amb les idees matemàtiques del curs, a fi que els alumnes vegin que forma part de manera coherent d'un coneixement global. En aquest cas s'ha de situar l'activitat relacionada amb aquest context històric en explicar combinatòria o bé en la introducció a la probabilitat o com a complement a les classes de batxillerat. Finalment, i en la línia del nou decret de currículum, s'han de tenir en compte les competències que han de guiar l'activitat docent. 5 Se n'identifiquen vuit, a l'assoliment de les quals han de contribuir els continguts específics de cada matèria. Cal, doncs, que en el disseny de les activitats que es proposin als alumnes es tinguin aquestes competències com a referent, especialment aquelles que pel seu caràcter procedimental o actitudinal no tenen una disciplina pròpia que les sustenta. Proposem que les activitats vagin acompanyades d'una fitxa que en doni informació bàsica, per tal d'orientar el professorat. A continuació en mostrem un model: Autor/a Continguts principals Referències al currículum Competències implicades Tipus d'agrupament aconsellat Curs recomanat Temporització indicativa Connexions 6 TÍTOL DE L'ACTIVITAT Relacions matemàtiques en el triangle de Pascal Mª Rosa Massa-Fàtima Romero Teoria de nombres. Combinatòria. Potències d'un binomi. Les matemàtiques del segle XVII. Canvi i relacions: ús de l'àlgebra per a la representació i l'expressió de relacions matemàtiques. Matemàtica, comunicativa, aprendre a aprendre, autonomia i iniciativa personal, cultural. En grups 4rt d ESO 6 sessions Teoria de nombres, àlgebra, anàlisi Crèdit variable d'ampliació de matemàtiques La història de la matemàtica la podem emprar per a dissenyar crèdits optatius que poden ajudar a despertar l interès per la matemàtica a alumnes no gaire motivats. Descriurem tot seguit una experiència d'un crèdit optatiu, que empra el triangle aritmètic i que es va dur a terme el curs a l'ies Alexandre Satorras de Mataró amb alumnes de 4rt d'eso. Aquests alumnes havien estat assignats a un crèdit variable d'ampliació de matemàtiques on s'havien de resoldre problemes de combinatòria no elementals, però aquest crèdit es va haver de reorientar perquè, per motius organitzatius del centre, s'hi van assignar alumnes amb interessos i capacitats molt diversos. La primera sessió va ser teòrica i enllaçava amb el que s'havia tractat en el crèdit comú sobre el quadrat d'un binomi, que s'havia justificat geomètricament amb la figura:

9 4 biaix 28 I 29 Es van escriure a la pissarra els desenvolupaments de (a+b) 2, (a+b) 3, (a+b) 4 i (a+b) 5 i es va demanar als alumnes que fessin conjectures sobre el desenvolupament de (a+b) 6. La majoria dels alumnes va tenir clar quants termes havia de tenir el desenvolupament i quines n havien de ser les parts literals. Es van adonar, però, que no era evident quins n havien de ser els coeficients. Aleshores es va escriure a la pissarra el triangle aritmètic fins a la fila 6, que està formada pels termes:, 6, 5, 20, 5, 6,, i es va demanar als alumnes que novament fessin conjectures, en aquest cas sobre la fila següent i sobre la relació d'aquest triangle amb els coeficients dels desenvolupaments dels binomis. Aquest va ser el punt de partida per a l'estudi del triangle. Els alumnes es van organitzar en grups per tal d'estudiar la història del triangle i trobar algunes de les seves propietats. El grup d'alumnes que tenia més bon nivell de llengua anglesa es va dedicar a buscar informació a Internet; un altre grup feia un disseny del triangle de manera que en una cartolina de mida DIN A3 hi cabessin el màxim nombre de files possible i alhora les xifres fossin llegibles; i els altres grups buscaven propietats a partir d'unes preguntes que se'ls havia formulat. Algunes de les preguntes eren:. Quant sumen els nombres de cada fila? 2. Quant sumen tots els nombres que estan per sobre d'una fila determinada? 3. Quina condició ha de complir una fila n perquè tots els nombres que la formen, excepte els extrems, siguin divisibles per n? 4. Escriu les files com si fossin un nombre i, a partir de la cinquena en què apareixen nombres de dues xifres, escriu-les assignant a cada nombre el valor que li correspondria amb la notació decimal en funció de la seva posició. Què tenen en comú tots aquests nombres? 5. Considera qualsevol diagonal (paral lela a un costat del triangle) de qualsevol longitud. Un cop triada, fixa't en el nombre situat a la fila de sota del darrer nombre que has considerat i al costat contrari del que avança la diagonal. Busca alguna relació entre aquests nombres. 6. Pinta els nombres parells d'un color i els imparells d'un altre, o els múltiples del nombre que vulguis d'un color i els que no ho són d'un altre. Què hi observes? De tant en tant, cada grup d'alumnes explicava a la resta què havia fet i a quines conclusions havia arribat. Les preguntes que s'havien fet als alumnes tenien diferents nivells de resposta. Per exemple, a la primera pregunta hi havia alumnes que donaven el resultat numèric de la suma d'algunes files. D'altres deien que els resultats eren potències de dos, i d'altres arribaven a escriure la relació:

10 Una altra propietat que va donar molt de joc, en el sentit que hi va haver diversitat de respostes amb nivells també molt diferents, és la que correspon a la cinquena de les preguntes proposades. Van marcar les figures al triangle, obtenint resultats com el que s'il lustra a continuació: Alguns alumnes van expressar simplement que la suma dels nombres de la diagonal era igual al darrer, i d'altres van trobar fórmules més generals. Les figures marcades les van anomenar sticks, i algunes expressions de les fórmules que van obtenir són les que llistem a continuació: Fórmula dels sticks de longitud 3: Fórmula dels sticks de longitud 4: Fórmula dels sticks de longitud 5: I, finalment, un dels grups va trobar una fórmula general: 5.3. Treball de recerca sobre el triangle aritmètic La història també es pot emprar explícitament en el contingut dels treballs de recerca proposats a l'alumnat de segon de batxillerat, situant-lo en un espai més general, ja que els problemes queden emmarcats dins del camp global de la matemàtica i dins de la ciència.

11 6 biaix 28 I 29 La llista de títols possibles de treballs de recerca d'història de la matemàtica és molt llarga. Citem-ne, per exemple:. Pitàgores i la música. 2. El teorema de Fermat. 3. Problemes trobats a les aritmètiques mercantils. 4. El triangle aritmètic de Pascal com a eina de resolució. 5. La raó àuria. 6. La perspectiva i la seva història a l'obra de Leonardo da Vinci, Luca Pacioli i Albrecht Dürer. 7. Anàlisi comparativa de la geometria grega i la geometria cartesiana. 8. Estudi sobre geometries no euclidianes. 9. El naixement del llenguatge algebraic. 0. Les matemàtiques de Kepler. Els cinc políedres regulars.. Les dones i la ciència 2. La incommensurabilitat: un problema matemàtic i filosòfic. 3. La successió de Fibonacci. 4. De la geometria a la trigonometria. Primers teoremes. Aquests treballs, la majoria dels quals ja han estat experimentats, no mostren únicament l'evolució històrica d'una idea o un concepte, sinó que comporten una investigació matemàtica i fan que l'alumne conegui el raonament matemàtic d'altres èpoques, d'altres cultures i, fins i tot, en altres contextos. El treball matemàtic que es pot fer en cadascun d'aquests treballs de recerca és molt divers i pot incloure des d'un problema molt senzill fins a demostracions molt complicades. L'aprenentatge de la matemàtica en la realització d'aquests treballs de recerca dependrà tant de l'esforç i la motivació de l'alumne com de les orientacions concretes del tutor. A tall d'exemple descriurem tot seguit les idees clau d'un treball de recerca de batxillerat sobre el triangle aritmètic, realitzat el curs 996/97 a l'ib Carles Riba amb el títol: "Què és el triangle aritmètic?" (Granados, Comas i Massa, 998, pp ). Deixant de banda els objectius més generals que ha de tenir tot treball de recerca, com poden ser fer una bona utilització de les fonts bibliogràfiques, saber ser crític amb les seves demostracions, generalitzar propietats, etc., aquest en tenia dos d'específics: esbrinar què representava històricament el triangle de Pascal i quines eren les seves utilitats en matemàtiques. El treball és, doncs, un estudi del triangle aritmètic de Pascal des de dos punts de vista: l'històric i el matemàtic. D'una banda, s'hi explicava la història d'aquest triangle mostrant les diferents imatges que ha tingut a les diferents èpoques fins arribar al triangle aritmètic. D'altra banda, es descrivia el triangle tal com el va definir Pascal, se n'analitzaven i demostraven les propietats i se n'esmentaven les aplicacions dins la matemàtica. En aquest treball de recerca es varen emprar dues metodologies ben diferenciades: l una de bibliogràfica per a la recerca històrica i l'altra de camp per a la recerca matemàtica pròpia. En la recerca històrica es presentava una recopilació bibliogràfica molt acurada sobre el tema, feta en biblioteques de la ciutat. L'alumna que el va realitzar, va consultar i llegir llibres d'història de la matemàtica, articles i l'obra original de Pascal sobre el triangle aritmètic. En la recerca matemàtica es va utilitzar una metodologia de camp, escrivint matemàtiques, demostrant fórmules, generalitzant, posant exemples numèrics; en una paraula, fent investigació. L'estructura del treball va ser la següent:. Introducció. 2. Nocions matemàtiques bàsiques. 3. Història del triangle aritmètic. 4. Biografia de Blaise Pascal. 5. Triangle Aritmètic de Pascal. 5.. Anàlisi del Triangle Aritmètic de Blaise Pascal. 6. Aplicacions del triangle aritmètic. 7. Conclusions. 8. Bibliografia. 6. Conclusió L'ús d'aquest text històric a l'aula permet situar cronològicament les aportacions matemàtiques i, en general, les científiques del segle XVII. A més, els alumnes poden comprovar que tot i que aquesta taula de nombres era utilitzada ja al segle XI, no és fins al segle XVII que es formulen les primeres definicions relacionades amb el triangle i que se n'expliquen les propietats. Quant a les seves aplicacions, els alumnes poden apreciar que no serveix únicament per estudiar combinatòria o per trobar els coeficients del desenvolupament d'un binomi; també serveix per fer generalitzacions (el llenguatge algebraic, en el segle XVII, encara no estava formalitzat), per sumar potències i, fins i tot, per calcular àrees.

12 Cal remarcar que actualment aquesta eina se segueix utilitzant per a fer investigació en matemàtiques. Així, Peter Hilton, en el seu llibre, especifica: "Fer un les seves pròpies matemàtiques, conjecturar, construir proves i considerar la possibilitat de generalitzar. Crec que no hi ha millor laboratori per a aquest tipus de matemàtica experimental que el triangle de Pascal." (Hilton, Holton i Pedersen, 997, p. 85). Bibliografia Bosmans, H. (924). Sur l'oeuvre mathématique de Blaise Pascal, Mathesis 38 Supplément, 59. Cassina, U. (923). Storia del triangolo aritmetico, Bolletino di matematica, 2d ser., 2, Dou, A. (975). Comentario a la "combinatoria de Sebastian Izquierdo" del P. Ramón Ceñal, S. J., discurso en la Academia de la Historia, Madrid. Edwards, A. W. F. (2002, ra edició 987) Pascal's Arithmetical Triangle. Nova York: The Johns Hopkins University Press. Granados, J.; Comas, J.; Massa, M. R. (998): Recull de treballs de recerca, Premi Cirit 997, I. B. Barcelona: Carles Riba Hilton, P. (ed.) (997). Mathematical Reflections. In a Room with Many Mirrors, Nova York: Springer-Verlag. Hughes, B., (989). The Arithmetical Triangle of Jordanus de Nemore, Historia Mathematica 6, Massa-Esteve, M. R. (2003). Aportacions de la història de la matemàtica a l ensenyament de les matemàtiques, Biaix, 2, 4-9. Massa-Esteve, M. R. (2006). Algebra and Geometry in Pietro Mengoli ( ), Historia Mathematica, 33, Matabosch, J. M. (988). El triangle de Pascal-Tartaglia i les seves importants derivacions, Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, 3, Pascal, B. (954). Oeuvres complètes, Paris: Gallimard. Pascal, B. (983). Obras, Dampierre i Aranguren (trad), Madrid: Clásicos Alfaguara. Taton, R. (97). Blaise Pascal, Dictionary of Scientific Biography, (ed. C. C. Gillispie), Nova York: Scribner's, 6 Vols. Uspenski, V. A. (978). Triángulo de Pascal. Lecciones populares de matemáticas, Moscú: Editorial Mir. Zabala, A.; Arnau, L. (2008). ideas clave. Cómo aprender y enseñar competencias. Barcelona: Editorial Graó. Notes Anomenarem diagonals els conjunts de nombres paral lels als costats del triangle, és a dir, les files que estan formades per uns. Deixant el vèrtex apart, anomenarem cada fila pel seu número d ordre. 2 En tout Triangle arithmétique, chaque cellule égale la somme de toutes celles du rang perpendiculaire précédent, comprises depuis son rang parallèle jusqu au premier inclusivement. [Pascal 665, 99]. 3 Aquests nombres figurats compleixen aquestes propietats que ja coneixien els pitagòrics. 4 El triangle harmònic (també anomenat de Leibniz) rep aquest nom per la seva relació amb les diferències successives de la sèrie harmònica (, /2, /3,...). 5 Decret 43/2007, de 26 de juny 6 En aquest apartat s haurien d indicar les connexions internes, és a dir, amb altres blocs de continguts matemàtics i també les externes. Aquestes darreres les podríem classificar en interdisciplinàries quan s especifiquin connexions amb altres àrees de coneixement, transversals, quan fan referència a actituds i valors, que s ha de treballar des de totes les àrees i finalment, s hauria d indicar si hi ha connexions amb la vida quotidiana.

DIVISIBILITAT. Amb els nombres 5, 7 i 35 podem escriure diverses expressions matemàtiques: 5x7= 35 35 5 35

DIVISIBILITAT. Amb els nombres 5, 7 i 35 podem escriure diverses expressions matemàtiques: 5x7= 35 35 5 35 ESO Divisibilitat 1 ESO Divisibilitat 2 A. El significat de les paraules. DIVISIBILITAT Amb els nombres 5, 7 i 35 podem escriure diverses expressions matemàtiques: 5x7= 35 35 = 7 5 35 = 5 7 35 7 0 5 35

Más detalles

Trames ortogonals o isomètriques dibuixades en paper, petites fitxetes, cubs encaixables...

Trames ortogonals o isomètriques dibuixades en paper, petites fitxetes, cubs encaixables... Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria a l'eso Proposta d activitat Títol: Nombres figurats Imatge: Agrupament: Malgrat que es pot optar per una presentació més directa del professor,

Más detalles

8 Geometria analítica

8 Geometria analítica Geometria analítica INTRODUCCIÓ Els vectors s utilitzen en diverses branques de la física que fan servir magnituds vectorials, per això és important que els alumnes en coneguin els elements i les operacions.

Más detalles

VECTORS I RECTES AL PLA. Exercici 1 Tenint en compte quin és l'origen i quin és l'extrem, anomena els següents vectors: D

VECTORS I RECTES AL PLA. Exercici 1 Tenint en compte quin és l'origen i quin és l'extrem, anomena els següents vectors: D VECTORS I RECTES AL PLA Un vector és un segment orientat que és determinat per dos punts, A i B, i l'ordre d'aquests. El primer dels punts s'anomena origen i el segons es denomina extrem, i s'escriu AB.

Más detalles

Taller de creació de videojocs amb Scratch

Taller de creació de videojocs amb Scratch Taller de creació de videojocs amb Scratch Frank Sabaté i Carlota Bujons Escola Projecte Av. Tibidabo, 16. 08022 Barcelona Telèfon: 93 417 03 21 franksabate@gmail.com carlota.bujons@gmail.com 1. Descripció

Más detalles

GUIÓ DE L ACTIVITAT ELS AMICS D UN NÚMERO. Material: Multicubs, llapis de colors, fulls quadriculats

GUIÓ DE L ACTIVITAT ELS AMICS D UN NÚMERO. Material: Multicubs, llapis de colors, fulls quadriculats GUIÓ DE L ACTIVITAT ELS AMICS D UN NÚMERO. Material: Multicubs, llapis de colors, fulls quadriculats Amb un número determinat de multicubs, per exemple 12 es demana a alumnat que els enganxin formant un

Más detalles

UNITAT TAULES DINÀMIQUES

UNITAT TAULES DINÀMIQUES UNITAT TAULES DINÀMIQUES 3 Modificar propietats dels camps Un cop hem creat una taula dinàmica, Ms Excel ofereix la possibilitat de modificar les propietats dels camps: canviar-ne el nom, l orientació,

Más detalles

Unitat 2 TEOREMA DE TALES. TEOREMA DE PITÀGORES. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES UNITAT 2 TEOREMA DE TALES.

Unitat 2 TEOREMA DE TALES. TEOREMA DE PITÀGORES. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES UNITAT 2 TEOREMA DE TALES. Unitat 2 TEOREMA DE TALES. TEOREMA DE PITÀGORES. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES 41 42 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 8. TRIGONOMETRIA UNITAT 2 QUÈ TREBALLARÀS? què treballaràs? En acabar la unitat has de ser

Más detalles

Ara Matemàtiques Saber-ne més per ensenyar-les millor

Ara Matemàtiques Saber-ne més per ensenyar-les millor Ara Matemàtiques Saber-ne més per ensenyar-les millor Sessió 4 Patrons i relacions Sessió 4 Tana Serra i Carme Burgués Barcelona Tardor 2017 Animació de Julien Dovier 1.Patró de repetició 1. Recerca de

Más detalles

Es important dir que, dos vectors, des del punt de vista matemàtic, són iguals quan els seus mòduls, sentits i direccions són equivalents.

Es important dir que, dos vectors, des del punt de vista matemàtic, són iguals quan els seus mòduls, sentits i direccions són equivalents. 1 CÀLCUL VECTORIAL Abans de començar a parlar de vectors i ficar-nos plenament en el seu estudi, hem de saber distingir els dos tipus de magnituds que defineixen la física: 1. Magnituds escalars: magnituds

Más detalles

CARTES DE FRACCIONS. Materials pel Taller de Matemàtiques

CARTES DE FRACCIONS. Materials pel Taller de Matemàtiques CARTES DE FRACCIONS Aquesta proposta és adequada pel primer cicle d ESO perquè permet recordar mitjançant un joc, una sèrie de conceptes que ja s han treballat a l Educació Primària. Per això resulta una

Más detalles

Veure que tot nombre cub s obté com a suma de senars consecutius.

Veure que tot nombre cub s obté com a suma de senars consecutius. Mòdul Cubs i nombres senars Edat mínima recomanada A partir de 1er d ESO, tot i que alguns conceptes relacionats amb el mòdul es poden introduir al cicle superior de primària. Descripció del material 15

Más detalles

Proporcionalitat i percentatges

Proporcionalitat i percentatges Proporcionalitat i percentatges Proporcions... 2 Propietats de les proporcions... 2 Càlul del quart proporcional... 3 Proporcionalitat directa... 3 Proporcionalitat inversa... 5 El tant per cent... 6 Coneixement

Más detalles

Els fulls de càlcul. Tabla 1 : Calculadora

Els fulls de càlcul. Tabla 1 : Calculadora Els fulls de càlcul Els Fulls de càlcul tenen etiquetes de columna (A, B, C,...) i etiquetes de files (1, 2, 3,...). Aquestes etiquetes constitueixen les coordenades per les quals s identifica una cel

Más detalles

TEMA 2: Múltiples i Divisors

TEMA 2: Múltiples i Divisors TEMA 2: Múltiples i Divisors 4tESO CB Concepte de múltiple 6 és múltiple de 2 perquè 2 3 = 6 24 és múltiple de 8 perquè 8 3 = 24 25 NO és múltiple de 3 perquè no hi ha cap nombre que multiplicat per 3

Más detalles

Barcelona- París- Barcelona Visita dinamitzada per a alumnes de Secundària i Batxillerat

Barcelona- París- Barcelona Visita dinamitzada per a alumnes de Secundària i Batxillerat Barcelona- París- Barcelona Visita dinamitzada per a alumnes de Secundària i Batxillerat Guió previ per al professorat Presentació Amb les propostes del Servei Educatiu del Museu Picasso convidem a alumnes

Más detalles

Combinatòria. Variacions ordinàries.

Combinatòria. Variacions ordinàries. MD- Combinatòria-1/9 Combinatòria. Amb la combinatòria volem donar un vocabulari i uns mètodes i tècniques que ens permetin i facilitin l'estudi i anàlisi de les diferents maneres d'agrupar objectes. Variacions

Más detalles

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 3 Activitat Completa els productes següents. a) 0 = 5... e) 0 = 5... b)... = 5 3 f) 25 =... 5 c) 5 =... g) 55 = 5... d) 30 = 5... h) 40 =...... a) 0 = 5 0 e)

Más detalles

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 59 Activitat 1 Llegeix atentament el teorema de Tales. Creus que també és certa la proporció següent? Per què? AB CD A B C D El teorema de Tales diu: AB (A B

Más detalles

TEMA 5 : Resolució de sistemes d equacions

TEMA 5 : Resolució de sistemes d equacions TEMA 5 : Resolució de sistemes d equacions 5.1. EQUACIÓ LINEAL AMB n INCÒGNITES Una equació lineal de n incògnites es qualsevol expressió de la forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, on a i b son

Más detalles

DIBUIX TÈCNIC PER A CICLE SUPERIOR DE PRIMÀRIA

DIBUIX TÈCNIC PER A CICLE SUPERIOR DE PRIMÀRIA DIBUIX TÈCNIC PER A CICLE SUPERIOR DE PRIMÀRIA Abans de començar cal tenir uns coneixements bàsics que estudiareu a partir d ara. PUNT: No es pot definir, però podem dir que és la marca més petita que

Más detalles

4.6. Activitat 5. Sobre el valor professional del coneixement matemàtic i didàctic.

4.6. Activitat 5. Sobre el valor professional del coneixement matemàtic i didàctic. 222 Capítol 4 Es tracta d una transformació del trapezi de tal manera que el que se li treu al trapezi se li afegeix al triangle, el costat de dalt del trapezi s afegeix a la base del triangle (Núria 11-99/4)

Más detalles

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 55 Activitat 1 Dels nombres següents, indica quins són enters. a) 4 b) 0,25 c) 2 d) 3/5 e) 0 f) 1/2 g) 9 Els nombres enters són: 4, 2, 0 i 9. Activitat 2 Si la

Más detalles

Unitat 2. POLINOMIS, EQUACIONS I INEQUACIONS

Unitat 2. POLINOMIS, EQUACIONS I INEQUACIONS Unitat 2. POLINOMIS, EQUACIONS I INEQUACIONS 2.1. Divisió de polinomis. Podem fer la divisió entre dos monomis, sempre que m > n. Si hem de fer una divisió de dos polinomis, anirem calculant les divisions

Más detalles

TEMA 4 : Matrius i Determinants

TEMA 4 : Matrius i Determinants TEMA 4 : Matrius i Determinants MATRIUS 4.1. NOMENCLATURA. DEFINICIÓ Una matriu és un conjunt de mxn elements distribuïts en m files i n columnes, A= Aquesta és una matriu de m files per n columnes. És

Más detalles

Títol: Lliçons Moodle, una bona eina per a l adaptació a l EEES. Exemple d una lliçó sobre teoria de la simetria en arquitectura.

Títol: Lliçons Moodle, una bona eina per a l adaptació a l EEES. Exemple d una lliçó sobre teoria de la simetria en arquitectura. Títol: Lliçons Moodle, una bona eina per a l adaptació a l EEES. Exemple d una lliçó sobre teoria de la simetria en arquitectura. Autors: Piedad Guijarro i Pere Cruells Centre: ETSAB Secció de Matemàtiques

Más detalles

Unitat 1. Nombres reals.

Unitat 1. Nombres reals. Unitat 1. Nombres reals. Conjunts numèrics: - N = Naturals - Z = Enters - Q = Racionals: Són els nombres que es poden expressar com a quocient de dos nombres enters. El conjunt dels nombres racionals,

Más detalles

Unitat 2 EQUACIONS DE PRIMER GRAU. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 5. TRANSFORMACIONS D EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES UNITAT 2 EQUACIONS DE PRIMER GRAU

Unitat 2 EQUACIONS DE PRIMER GRAU. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 5. TRANSFORMACIONS D EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES UNITAT 2 EQUACIONS DE PRIMER GRAU Unitat 2 EQUACIONS DE PRIMER GRAU 37 38 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 5. TRANSFORMACIONS D EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES UNITAT 2 QUÈ TREBALLARÀS? què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç

Más detalles

ACTIVITATS AMB CALCULADORA

ACTIVITATS AMB CALCULADORA ACTIVITATS AMB CALCULADORA 1.- Virus i Antivirus Escriu a la calculadora el número 896731425. Suposem que els nou dígits que formen aquest número son virus summament perillosos. L antivirus consisteix

Más detalles

MÚLTIPLES I DIVISORS

MÚLTIPLES I DIVISORS MÚLTIPLES I DIVISORS DETERMINACIÓ DE MÚLTIPLES Múltiple d un nombre és el resultat de multiplicar aquest nombre per un altre nombre natural qualsevol. 2 x 0 = 0 2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8

Más detalles

SOLUCIONARI Unitat 5

SOLUCIONARI Unitat 5 SOLUCIONARI Unitat 5 Comencem Escriu tres equacions que no tinguin solució en el conjunt. Resposta oberta. Per exemple: a) x b) 5x 0 c) x Estableix tres equacions que no tinguin solució en el conjunt.

Más detalles

1. Què tenen en comú aquestes dues rectes? Com són entre elles? 2. En què es diferencien aquestes dues rectes?

1. Què tenen en comú aquestes dues rectes? Com són entre elles? 2. En què es diferencien aquestes dues rectes? En la nostra vida diària trobem moltes situacions de relació entre dues variable que es poden interpretar mitjançant una funció de primer grau. La seva expressió algebraica és del tipus f(x)=mx+n. També

Más detalles

Ús de la plataforma de formació online Manual Alumne

Ús de la plataforma de formació online Manual Alumne Ús de la plataforma de formació online Manual Alumne Què és una plataforma virtual de formació? És un espai de trobada entre alumnes i professors a través d Internet. Pot incloure activitats per als estudiants,

Más detalles

UNITAT DONAR FORMAT A UNA PRESENTACIÓ

UNITAT DONAR FORMAT A UNA PRESENTACIÓ UNITAT DONAR FORMAT A UNA PRESENTACIÓ 4 Plantilles de disseny Una plantilla de disseny és un model de presentació que conté un conjunt d estils. Aquests estils defineixen tota l aparença de la presentació,

Más detalles

AVALUACIÓ DE QUART D ESO

AVALUACIÓ DE QUART D ESO AVALUACIÓ DE QUART D ESO FULLS DE RESPOSTES I CRITERIS DE CORRECCIÓ Competència matemàtica FULL DE RESPOSTES VERSIÓ AMB RESPOSTES competència matemàtica ENGANXEU L ETIQUETA IDENTIFICATIVA EN AQUEST ESPAI

Más detalles

QÜESTIONARI ALS ALUMNES DELEGATS DE L IES MIQUEL MARTÍ I POL

QÜESTIONARI ALS ALUMNES DELEGATS DE L IES MIQUEL MARTÍ I POL QÜESTIONARI ALS ALUMNES DELEGATS DE L IES MIQUEL MARTÍ I POL 1. Com definiries la matèria d educació física? 4 35 3 25 2 15 1 5 Queda bastant clar quina visió tenen els alumnes de la matèria d educació

Más detalles

Equacions i sistemes de segon grau

Equacions i sistemes de segon grau Equacions i sistemes de segon grau 3 Equacions de segon grau. Resolució. a) L àrea del pati d una escola és quadrada i fa 0,5 m. Per calcular el perímetre del pati seguei els passos següents: Escriu l

Más detalles

Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 PAU 2012

Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 PAU 2012 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 SÈRIE 4 1 1 k 1.- Determineu el rang de la matriu A = 1 k 1 en funció del valor del paràmetre k. k 1 1 [2 punts] En ser la matriu

Más detalles

1. CONFIGURAR LA PÀGINA

1. CONFIGURAR LA PÀGINA 1 1. CONFIGURAR LA PÀGINA El format de pàgina determina l aspecte global d un document i en modifica els elements de conjunt com són: els marges, la mida del paper, l orientació del document i l alineació

Más detalles

Taules de Contingut automàtiques

Taules de Contingut automàtiques Tutorial de Microsoft Word 2007-2013 Taules de Contingut automàtiques 1. Bones Pràctiques...1 1.1. Paràgraf...1 1.1.1. Tallar paraules...1 1.1.2. Guió i espai irrompibles...1 1.2. Pàgina nova...2 2. Els

Más detalles

Tema 2: GEOMETRIA ANALÍTICA AL PLA

Tema 2: GEOMETRIA ANALÍTICA AL PLA Tema : GEOMETRIA ANALÍTICA AL PLA Vector El vector AB és el segment orientat amb origen al punt A i extrem al punt B b a A B Les projeccions del vector sobre els eixos són les components del vector: a

Más detalles

ACTIVITATS. a) b) c) d) INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat. dv, 18 de març Alumne:

ACTIVITATS. a) b) c) d) INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat. dv, 18 de març Alumne: INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat Matemàtiques Tasca Continuada 4 «Matrius i Sistemes d equacions lineals» Alumne: dv, 18 de març 2016 LLIURAMENT: dm, 5 d abril 2016 NOTA: cal justificar matemàticament

Más detalles

10 Àlgebra vectorial. on 3, -2 i 4 són les projeccions en els eixos x, y, y z respectivament.

10 Àlgebra vectorial. on 3, -2 i 4 són les projeccions en els eixos x, y, y z respectivament. 10 Àlgebra vectorial ÀLGEBR VECTORIL Índe P.1. P.. P.3. P.4. P.5. P.6. Vectors Suma i resta vectorial Producte d un escalar per un vector Vector unitari Producte escalar Producte vectorial P.1. Vectors

Más detalles

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 30 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 1 Completa la taula següent: Graus Minuts Segons 30º 30 x 60 = 1.800 1.800 x 60 = 108.000 45º 2.700 162.000 120º 7.200 432.000 270º 16.200 972.000

Más detalles

Matemàtiques 1, Editorial Castellnou

Matemàtiques 1, Editorial Castellnou MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT Llibre utilitzat: Matemàtiques 1, Editorial Castellnou Observacions: La unitat 3 s estudia abans qua la unitat 2, per què l alumnat hagi revisat la Trigonometria abans de necessitar-la

Más detalles

CONSULTA DE L ESTAT DE FACTURES

CONSULTA DE L ESTAT DE FACTURES CONSULTA DE L ESTAT DE FACTURES Versió 1 Març 2016 1. Consulta de les factures... 3 2.1. Identificació al sistema... 3 2.2. Tipus de consulta que es poden realitzar... 4 2.2.1. Consulta d una única factura....

Más detalles

Proves d accés a la Universitat per a més grans de 25 anys Convocatòria 2013

Proves d accés a la Universitat per a més grans de 25 anys Convocatòria 2013 Pàgina 1 de 5 Sèrie 3 Opció A A1.- Digueu de quin tipus és la progressió numèrica següent i calculeu la suma dels seus termes La progressió és geomètrica de raó 2 ja que cada terme s obté multiplicant

Más detalles

HISTÒRIA D ESPANYA TEMES OBJECTIUS CARACTERÍSTIQUES DE L EXAMEN SEGON DE BATXILLERAT

HISTÒRIA D ESPANYA TEMES OBJECTIUS CARACTERÍSTIQUES DE L EXAMEN SEGON DE BATXILLERAT HISTÒRIA D ESPANYA SEGON DE BATXILLERAT TEMES OBJECTIUS CARACTERÍSTIQUES DE L EXAMEN 1 Formació de l Estat liberal: 1. ANTIC RÈGIM I REFORMISME IL LUSTRAT 2. CRISI DE L ANTIC RÈGIM (1789 1833) 3. LA CONSTRUCCIÓ

Más detalles

UNITAT TIPUS DE DIAPOSITIVES PER A DISPOSAR INFORMACIÓ

UNITAT TIPUS DE DIAPOSITIVES PER A DISPOSAR INFORMACIÓ UNITAT TIPUS DE DIAPOSITIVES PER A DISPOSAR INFORMACIÓ 5 Diapositiva amb taula Les diapositives d objectes permeten inserir una taula dins la presentació. S entén per taula una quadrícula que es compon

Más detalles

Àmbit de les Matemàtiques, de la Ciència i de la Tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 1 OPERACIONS AMB ENTERS

Àmbit de les Matemàtiques, de la Ciència i de la Tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 1 OPERACIONS AMB ENTERS UNITAT 1 OPERACIONS AMB ENTERS 1 Què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de... Sumar, restar, multiplicar i dividir nombres enters. Entendre i saber utilitzar les propietats de la suma i

Más detalles

TEMA 2: Múltiples i Divisors. Activitats. 25 NO és múltiple de 3 perquè no hi ha cap nombre que multiplicat per 3 ens doni 25

TEMA 2: Múltiples i Divisors. Activitats. 25 NO és múltiple de 3 perquè no hi ha cap nombre que multiplicat per 3 ens doni 25 TEMA 2: Múltiples i Divisors Activitats Concepte de múltiple 6 és múltiple de 2 perquè 2 3 = 6 24 és múltiple de 8 perquè 8 3 = 24 25 NO és múltiple de 3 perquè no hi ha cap nombre que multiplicat per

Más detalles

La porció limitada per una línia poligonal tancada és un

La porció limitada per una línia poligonal tancada és un PLA Si n és el nombre de costats del polígon: El nombre de diagonals és La suma dels seus angles és 180º ( n 2 ). La porció limitada per una línia poligonal tancada és un Entre les seves propietats destaquem

Más detalles

TEMA 3: Polinomis 3.1 DEFINICIONS:

TEMA 3: Polinomis 3.1 DEFINICIONS: TEMA 3: Polinomis 3.1 DEFINICIONS: Anomenarem monomi qualsevol expressió algèbrica formada per la multiplicació d un nombre real i d una variable elevada a un exponent natural. El nombre es diu coeficient

Más detalles

Els nombres naturals

Els nombres naturals Els nombres naturals Els nombres naturals Els nombres naturals són aquells que serveixen per a comptar. Se solen representar fent servir les xifres del 0 al 9. signe suma o resultat Suma: 9 + 12 = 21 sumands

Más detalles

Introducció als nombres enters

Introducció als nombres enters Introducció als nombres enters Mesures de temps La unitat bàsica de temps és el segon. La majoria de les cultures del nostre planeta utilitzen unitats de mesura del temps que tenen en compte aquests tres

Más detalles

XXXV OLIMPÍADA MATEMÀTICA

XXXV OLIMPÍADA MATEMÀTICA XXXV OLIMPÍADA MATEMÀTICA Primera fase (Catalunya) 10 de desembre de 1999, de 16 a 0h. 1. Amb quadrats i triangles equilàters de costat unitat es poden construir polígons convexos. Per exemple, es poden

Más detalles

Poc a poc, amb els seus quadres va començar a guanyar molts diners i com que França li agradava molt, va decidir quedar-se una bona temporada, però

Poc a poc, amb els seus quadres va començar a guanyar molts diners i com que França li agradava molt, va decidir quedar-se una bona temporada, però PABLO PICASSO El passat dia 12 de Febrer, en comptes de fer classe de matemàtiques i de castellà, com cada dimecres, ens vam convertir en artistes per conèixer la vida i les obres de Pablo Picasso. Quan

Más detalles

LA TAULA PERIÒDICA. Sessió 2

LA TAULA PERIÒDICA. Sessió 2 LA TAULA PERIÒDICA Sessió 2 La classificació periòdica de Mendeléiev Quan els químics del segle XIX es van posar a estudiar les propietats físiques i químiques dels elements i els seus compostos, van descobrir

Más detalles

UNITAT 3. Forces i les lleis de Newton

UNITAT 3. Forces i les lleis de Newton Generalitat de Catalunya Departament d educació i universitats IES FLIX DEPARTAMENT DE CIÈNCIES BLOC 2_ Objectius 1ER BAT. 1. OBJECTIUS UNITAT 3. Forces i les lleis de Newton Comprendre el concepte de

Más detalles

MÍNIM COMÚ MULTIPLE m.c.m

MÍNIM COMÚ MULTIPLE m.c.m MÍNIM COMÚ MULTIPLE m.c.m Al calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres el que estem fent és quedar-nos amb el valor més petit de tots els múltiples que són comuns a aquests nombres. És a dir,

Más detalles

Els polinomis. Un polinomi és una expressió algebraica amb una única lletra, anomenada variable. Exemple: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomi de variable x

Els polinomis. Un polinomi és una expressió algebraica amb una única lletra, anomenada variable. Exemple: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomi de variable x Els polinomis Els polinomis Un polinomi és una expressió algebraica amb una única lletra, anomenada variable. Exemple: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomi de variable x Elements d un polinomi Els termes: cadascun

Más detalles

UNITAT COMBINAR CORRESPONDÈNCIA

UNITAT COMBINAR CORRESPONDÈNCIA UNITAT COMBINAR CORRESPONDÈNCIA 2 Camps de combinació La combinació de correspondència permet fusionar el contingut model d un document amb les dades d una base de dades. El procés de combinació genera

Más detalles

B.11 ELS PRINCIPALS CERCADORS D INTERNET

B.11 ELS PRINCIPALS CERCADORS D INTERNET FULL PROFESSORAT B.11 ELS PRINCIPALS CERCADORS D INTERNET OBJECTIUS - Conèixer i utilitzar alguns dels principals cercadors d Internet. - Planificar i delimitar l objectiu de la cerca. EXPLICACIÓ I DESENVOLUPAMENT

Más detalles

UNITAT LES REFERÈNCIES EN L ÚS DELS CÀLCULS

UNITAT LES REFERÈNCIES EN L ÚS DELS CÀLCULS UNITAT LES REFERÈNCIES EN L ÚS DELS CÀLCULS 2 Referències Una referència reconeix una cel la o un conjunt de cel les dins d un full de càlcul. Cada cel la està identificada per una lletra, que indica la

Más detalles

Geometria / GE 2. Perpendicularitat S. Xambó

Geometria / GE 2. Perpendicularitat S. Xambó Geometria / GE 2. Perpendicularitat S. Xambó Vectors perpendiculars Ortogonal d un subespai Varietats lineals ortogonals Projecció ortogonal Càlcul efectiu de la projecció ortogonal Aplicació: ortonormalització

Más detalles

Recursivitat. Tecnologia de la Programació. Sebastià Vila-Marta. Enginyeria de Sistemes TIC Universitat Politècnica de Catalunya

Recursivitat. Tecnologia de la Programació. Sebastià Vila-Marta. Enginyeria de Sistemes TIC Universitat Politècnica de Catalunya Recursivitat Tecnologia de la Programació Sebastià Vila-Marta Enginyeria de Sistemes TIC Universitat Politècnica de Catalunya http://itic.cat 7 d abril de 2013 1 En el tema anterior... 2 Concepte de recursivitat

Más detalles

TEMA 4: Equacions exponencials i logarítmiques

TEMA 4: Equacions exponencials i logarítmiques TEMA 4: Equacions exponencials i logarítmiques 4.1. EXPONENCIALS Definim exponencial de base a i exponent n:. Propietats de les exponencials: (1). (2) (3) (4) 1 (5) 4.2. EQUACIONS EXPONENCIALS Anomenarem

Más detalles

TEMA 2: Divisibilitat Activitats

TEMA 2: Divisibilitat Activitats TEMA 2: Divisibilitat Activitats 1. 35 és múltiple de 5?. Raoneu la resposta 2. 48 és divisible per 6?. Raoneu la resposta 3. Completeu els deu primers múltiples de 8 8, 16,, 32,,,,,, 80 4. Quines de les

Más detalles

Sèrie 5. Resolució: 1. Siguin i les rectes de d equacions. a) Estudieu el paral lelisme i la perpendicularitat entre les rectes i.

Sèrie 5. Resolució: 1. Siguin i les rectes de d equacions. a) Estudieu el paral lelisme i la perpendicularitat entre les rectes i. Oficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 11 Sèrie 5 1. Siguin i les rectes de d equacions : 55 3 2 : 3 2 1 2 3 1 a) Estudieu el paral lelisme i la perpendicularitat entre les rectes i. b) Trobeu l

Más detalles

Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera:

Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera: Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera: ax + by = k a x + b y = k Coeficients de les incògnites: a, a, b, b. Termes independents:

Más detalles

Llista 1. Probabilitat. (Amb solució)

Llista 1. Probabilitat. (Amb solució) Llista 1 Probabilitat (Amb solució 1 Descriu l espai mostral (Ω associat als següents experiments aleatoris: a Tirem dos daus distingibles i observem els números de les cares superiors b Tirem dos daus

Más detalles

QUADERN d ESTUDI de RECTES TANGENTS

QUADERN d ESTUDI de RECTES TANGENTS QUADERN d ESTUDI de RECTES TANGENTS per a les PAU i 2n de Batxillerat Autor: Pepe Ródenas Borja pepe.rodenas.borja@gmail.com http://manifoldo.weebly.com Descripció del material: Aquest quadern consisteix

Más detalles

operacions inverses índex base Per a unificar ambdues operacions, es defineix la potència d'exponent fraccionari:

operacions inverses índex base Per a unificar ambdues operacions, es defineix la potència d'exponent fraccionari: Potències i arrels Potències i arrels Potència operacions inverses Arrel exponent índex 7 = 7 7 7 = 4 4 = 7 base Per a unificar ambdues operacions, es defineix la potència d'exponent fraccionari: base

Más detalles

Revisant la taula periòdica

Revisant la taula periòdica Revisant la taula periòdica Nivell a qui s adreça Temes Fonament Aquesta activitat està pensada per a alumnes entre els 14 i els 16 anys, que ja hagin estudiat la taula periòdica. També pot ser útil com

Más detalles

Proporcionalitat geomètrica

Proporcionalitat geomètrica Proporcionalitat geomètrica Guió de treball de l alumne/a...del grup... Raó entre dos segments 1. Amb el GeoGebra obriu l arxiu MArao.html, us trobareu dos segments a i b, els quals podeu seleccionar les

Más detalles

LA UNIVERSITAT DE BARCELONA AUTÒNOMA I LA FACULTAT DE MEDICINA

LA UNIVERSITAT DE BARCELONA AUTÒNOMA I LA FACULTAT DE MEDICINA LA UNIVERSITAT DE BARCELONA AUTÒNOMA I LA FACULTAT DE MEDICINA Presentació: L any 1933 la Universitat de Barcelona va aconseguir un règim especial d estructura i funcionament que li va permetre una autonomia

Más detalles

Poliedres. Elements d'un poliedre. Poliedres regulars. Prismes i piràmides.àrees i volums. Cossos de revolució.àrees i volums.

Poliedres. Elements d'un poliedre. Poliedres regulars. Prismes i piràmides.àrees i volums. Cossos de revolució.àrees i volums. Títol: Autora: POLIEDRES I COSSOS DE REVOLUCIÓ Mª Rosa Domènech Jofre Nivell: 2n i 3r ESO Continguts: Poliedres. Elements d'un poliedre. Poliedres regulars. Prismes i piràmides.àrees i volums. Cossos de

Más detalles

3. FUNCIONS DE RECERCA I REFERÈN- CIA

3. FUNCIONS DE RECERCA I REFERÈN- CIA 1 RECERCA I REFERÈN- CIA Les funcions d aquest tipus permeten fer cerques en una taula de dades. Les funcions més representatives són les funcions CONSULTAV i CONSULTAH. Aquestes realitzen una cerca d

Más detalles

Matemàtiques 1r d'eso Professora: Lucía Clar Tur DOSSIER DE REPÀS

Matemàtiques 1r d'eso Professora: Lucía Clar Tur DOSSIER DE REPÀS DOSSIER DE REPÀS 1. Ordena els nombres de més petit a més gran: 01 0 01 101 0 001 0 001 0 1. Converteix els nombres fraccionaris en nombres decimals i representa ls en la recta: /4 1/ 8/ 11/10. Efectua

Más detalles

TREBALL D'ANÀLISI D'UNA ESCULTURA DE CHILLIDA, OTEIZA O HENRY MOORE.

TREBALL D'ANÀLISI D'UNA ESCULTURA DE CHILLIDA, OTEIZA O HENRY MOORE. Escull l'obra d'un dels artistes proposats al final del document i analitza-la usant la taula que hi ha a les pàgines següents. Trobaràs aquest document a la Carpeta de materials dels professors. Llegeix

Más detalles

Argumentació didàctica

Argumentació didàctica Argumentació didàctica Intervenció a les pràctiques a la Universitat de Leipzig Judit Alaball Solà 1. Context Caracterització del curs: Català II (nivell A2); tercera setmana del curs Caracterització de

Más detalles

aprenc amb LES xifres

aprenc amb LES xifres Vicens Vives matemàtiques educació infantil aprenc amb LES xifres educació infantil matemàtiques aprenc amb LES xifres Aprenc amb les Xifres és un material per a nens i nenes d'educació Infantil de 2 a

Más detalles

SOLUCIONARI Unitat 1

SOLUCIONARI Unitat 1 SOLUCIONARI Unitat Comencem En un problema de física es demana el temps que triga una pilota a assolir una certa altura. Un estudiant, que ha resolt el problema correctament, arriba a la solució t s. La

Más detalles

4. EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA

4. EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA Definició d'equació. Equacions de primer grau amb una incògnita 1. EQUACIONS: DEFINICIONS Equació: igualtat entre dues expressions algebraiques. L'expressió de l'esquerra de la igualtat rep el nom de PRIMER

Más detalles

Com participar en un fòrum

Com participar en un fòrum Com participar en un fòrum Els fòrum són espais virtuals en el qual es pot realitzar un debat entre diferents persones d una comunitat virtual. És tracta d un debat asincronic, és a dir en el qual les

Más detalles

Hi ha successions en que a partir del primer terme tots els altres es troben sumant una quantitat fixa al terme anterior, aquí hi ha alguns exemples:

Hi ha successions en que a partir del primer terme tots els altres es troben sumant una quantitat fixa al terme anterior, aquí hi ha alguns exemples: 2 PROGRESSIONS 9.1 Progressions aritmètiques Hi ha successions en que a partir del primer terme tots els altres es troben sumant una quantitat fixa al terme anterior, aquí hi ha alguns exemples: La successió

Más detalles

Geogebra és un programa de llicència lliure i multiplataforma per l aprenentatge i ensenyament de les matemàtiques a tots els nivells.

Geogebra és un programa de llicència lliure i multiplataforma per l aprenentatge i ensenyament de les matemàtiques a tots els nivells. Espiral de Fibonacci Geogebra 1. Introducció al programa Geogebra és un programa de llicència lliure i multiplataforma per l aprenentatge i ensenyament de les matemàtiques a tots els nivells. Teniu una

Más detalles

MATEMÀTIQUES CURS En vermell comentaris per al professorat Construcció d una escultura 3D

MATEMÀTIQUES CURS En vermell comentaris per al professorat Construcció d una escultura 3D En vermell comentaris per al professorat Construcció d una escultura 3D 1/8 Es disposen en grups de tres o quatre i se ls fa lliurament del dossier. Potser és bona idea anar donant per parts, segons l

Más detalles

DERIVADES. TÈCNIQUES DE DERIVACIÓ

DERIVADES. TÈCNIQUES DE DERIVACIÓ UNITAT 7 DERIVADES. TÈCNIQUES DE DERIVACIÓ Pàgina 56 Tangents a una corba y f (x) 5 5 9 4 Troba, mirant la gràfica i les rectes traçades, f'(), f'(9) i f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Digues uns altres

Más detalles

MATEMÀTIQUES. DOSSIER DE RECUPERACIÓ MATEMÀTIQUES 2n ESO. GRUP:2E. Nom i Cognoms (alumne):... Nom professor:...

MATEMÀTIQUES. DOSSIER DE RECUPERACIÓ MATEMÀTIQUES 2n ESO. GRUP:2E. Nom i Cognoms (alumne):... Nom professor:... zz Curs: Departament d Educació Generalitat de Catalunya MATEMÀTIQUES DOSSIER DE RECUPERACIÓ MATEMÀTIQUES 2n ESO. GRUP:2E CURS 20-20 INS.PUIG CASTELLAR DATA: Nom i Cognoms (alumne):... Nom professor:...

Más detalles

Polinomis i fraccions algèbriques

Polinomis i fraccions algèbriques Tema 2: Divisivilitat. Descomposició factorial. 2.1. Múltiples i divisors. Cal recordar que: Si al dividir dos nombres enters a i b trobem un altre nombre enter k tal que a = k b, aleshores diem que a

Más detalles

EVOLUCIÓ DE LA VELOCITAT I LA FORÇA, EN FUNCIÓ DE L EDAT, L ESPORT I EL SEXE

EVOLUCIÓ DE LA VELOCITAT I LA FORÇA, EN FUNCIÓ DE L EDAT, L ESPORT I EL SEXE EVOLUCIÓ DE LA VELOCITAT I LA FORÇA, EN FUNCIÓ DE L EDAT, L ESPORT I EL SEXE Autores: Andrea Lopez i Laia Uyà Curs: 1r ESO 1. INTRODUCCIÓ... 3 2. MARC TEÒRIC... 4 LA FORÇA... 4 LA VELOCITAT... 4 3. HIPÒTESIS...

Más detalles

Enigmes matemàtics. Títol: Josep Serentill. Autor: Nivell: Cicle superior de primària. Competències: Què treballarem?: El càlcul.

Enigmes matemàtics. Títol: Josep Serentill. Autor: Nivell: Cicle superior de primària. Competències: Què treballarem?: El càlcul. Títol: Autor: Enigmes matemàtics Josep Serentill Àrea: Matemàtiques Nivell: Cicle superior de primària Competències: 1. Fer una lectura comprensiva de les diferents situacions plantejades. 2. Ser capaç

Más detalles

UNITAT PLANTILLES I FORMULARIS

UNITAT PLANTILLES I FORMULARIS UNITAT PLANTILLES I FORMULARIS 1 Plantilles Una plantilla és un patró d arxius que s utilitza per crear els documents de forma més ràpida i senzilla. Tot document creat amb Ms Word està basat en una plantilla.

Más detalles

Guió per fer la sol licitud de Pràcticum:

Guió per fer la sol licitud de Pràcticum: Guió per fer la sol licitud de Pràcticum: 1. Selecciona en quina situació (1, 2 o 3) es troba la teva sol licitud, d acord amb la Guia del Pràcticum. 2. Omple el formulari segons la situació que hagis

Más detalles

UNITAT CREAR UNA BASE DE DADES AMB MS EXCEL

UNITAT CREAR UNA BASE DE DADES AMB MS EXCEL UNITAT CREAR UNA BASE DE DADES AMB MS EXCEL 1 Crear una base de dades i ordenar Una base de dades és un conjunt d informació homogènia organitzada de forma sistemàtica. El contingut d una base de dades

Más detalles

GEOMETRIA PLANA 1. ELS ANGLES 1.1. DEFINICIÓ 1.2. CLASSIFICACIÓ

GEOMETRIA PLANA 1. ELS ANGLES 1.1. DEFINICIÓ 1.2. CLASSIFICACIÓ GEOMETRIA PLANA 1. ELS ANGLES 1.1. DEFINICIÓ Representem un punt A en un pla i tracem dues semirectes amb origen en aquest punt. El punt A serà el vèrtex de l angle i cada semirecta serà el costat. 1..

Más detalles

QUINA TALLA FAIG? Treball fet a segon de Primària a l escola Jaume Balmes de Cervera (21 alumnes).

QUINA TALLA FAIG? Treball fet a segon de Primària a l escola Jaume Balmes de Cervera (21 alumnes). TREBALL MATEMÀTIC QUINA TALLA FAIG? JUSTIFICACIÓ: Treball fet a segon de Primària a l escola Jaume Balmes de Cervera (21 alumnes). Aprofitant el tema que tocava treballar, hem realitzat una petita ampliació

Más detalles