EJEMPLO DE ANÁLISIS Y VALORACIÓN DE UN MODELO UNIECUACIONAL CON E-VIEWS

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1 EJEMPLO DE ANÁLISIS Y VALORACIÓN DE UN MODELO UNIECUACIONAL CON E-VIEWS rafael.dearce@uam.es Con este documento se pretende ilustrar de un modo aplicado cómo debe realizarse el análisis de un modelo uniecuacional a partir de los contenidos aprendidos en la asignatura Econometría I (obviándose el análisis de cumplimiento de hipótesis básicas sobre las perturbaciones aleatorias, que forma parte de la asignatura Econometría II). Para ello, se ha descrito un modelo imaginario de una compañía discográfica sobre la que se hará el análisis correspondiente. El workfile de datos de e-views con el que se realiza el análisis de este modelo esta disponible en la hoja web de docencia ( en el apartado de docencia econometría I Documentos de apoyo, donde también está colgado este documento. Se seguirán las siguientes fases:. Planteamiento del estudio econométrico (reseña de la especificación) 2. Estimación del modelo 3. Valoración y contraste del modelo a. Análisis preliminares (signos) b. Análisis de significatividad individual (t-student) c. Análisis de significatividad conjunta (F-snedecor y R s cuadrados) d. Análisis de bondad a priori e. Contraste de hipótesis sobre la estructura f. Análisis de bondad a posteriori 4. Reseña sobre la utilización del modelo y análisis estructural. PLANTEAMIENTO DEL ESTUDIO ECONOMÉTRICO (RESEÑA BREVE DE LA ESPECIFICACIÓN) Una discográfica quiere estimar cuál podría ser el número de discos que venderá en quince países en los que todavía no ha salido al mercado. Para ello, cuenta con información sobre los resultados de ventas del nuevo disco (DISCO2) y otras variables de interés en cada país para un total de 37 observaciones donde el disco ya está en circulación. Después de haber realizado un profuso estudio sobre las características del mercado y a partir de su propia experiencia, decide especificar un modelo econométrico del siguiente tipo: DISCO2 = C() + C(2)*DISCO + C(3)*CONCIERTOS + C(4)*PRECIO + C(5)*PUBLICIDAD + U Donde las variables responden a la siguiente descripción: DISCO2 : DISCO: CONCIERTOS: PRECIO: COMPENTENCIA: discos (segundo disco) vendidos en cada país (mill. Euros) discos (primer disco) vendidos en cada país (mill. Euros) conciertos del artista programados o realizados en cada país durante el año precio del disco en cada país índice de número de discos nuevos aparecidos en el último año / 6

2 Observaciones para el modelo obs DISCO2 DISCO CONCIERTOS PRECIO COMPETENCIA Estadísticas descriptivas de los datos DISCO2 DISCO CONCIERTOS PRECIO COMPETENCIA Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Observations / 6

3 2. ESTIMACIÓN DEL MODELO Utilizando el programa e-views 3., se obtienen los siguientes resultados al realizar la estimación del modelo propuesto: Dependent Variable: DISCO2 Method: Least Squares Sample: 37 Included observations: 37 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C DISCO CONCIERTOS PRECIO COMPETENCIA R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Residual Actual Fitted 3. VALORACIÓN Y CONTRASTE DEL MODELO Tanto en el programa de la asignatura de Econometría I como en este ejercicio práctico, se intenta sistematizar la validación del modelo a partir de una serie de fases ordenadas. Aún así, es frecuente que, en el proceso de depuración del modelo estimado, se incluyan cambios en la especificación inicial, afectándose a todos los resultados preliminares (signos, cuantía, errores, etc.). Por ello, cada vez que se produce un cambio en las variables incluidas en el modelo, deberán repetirse todas las fases de la validación desde el principio. 3 / 6

4 a. Análisis preliminares (signos) El modelo que se propone se puede asociar a cualquier teoría clásica con un enfoque de demanda microeconómica de un producto, que vendría entonces definida por las siguientes variables: precio del bien (relación inversa), precio de los sustitutos (relación directa), precio de los complementarios (relación directa), renta (relación directa), moda (relación directa) y tecnología (relación directa). Entre las variables de nuestro modelo, existen varias relacionadas con estos conceptos: DISCO: CONCIERTOS: PRECIO: COMPENTENCIA: esta variable podría recoger en cierto modo la moda entendiendo que los conciertos generan un mayor conocimiento del producto (disco) y serían asimilables a un bien complementario, deberían incentivar su compra y se mantendría teóricamente una relación directa con estos. siendo un bien normal, no cabe duda de que un aumento en el precio debiera tener efectos negativos en la venta del disco (relación teórica inversa) esta variable recogería de algún modo el factor de sustitutos. Al expresarse en número de competidores y no en su precio relativo (los precios de los CD s son prácticamente iguales), la relación teórica debiera ser inversa: a más competencia, menos ventas. Cubierto el análisis teórico de los signos (presupuesto), se debe comprobar si los parámetros estimados se corresponden con lo esperado: PARÁMETRO ESTIMADO TEÓRICO CONCLUSIÓN DISCO + + correcto CONCIERTOS + + correcto PRECIO - - correcto COMPETENCIA - - correcto En definitiva, todos los parámetros estimados presentan un signo acorde a lo esperado teóricamente. Esto es fundamental para la utilización del modelo, ya que de otro modo, podría darse el caso de que, cuando lo utilizáramos para simular, los resultados pudieran ser absurdos. Por ejemplo, si la variable conciertos tuviera un parámetro negativo, cuando viéramos la incidencia de incrementos en su número sobre las ventas de discos, obtendríamos una caída, hecho improbable si se entiende los conciertos como una herramienta de publicitar el disco 2. A pesar de que en los manuales econométricos se incluye en esta fase el análisis de la cuantía de los parámetros, personalmente entiendo que esta no debería realizarse hasta el final de la modelización, momento en el que no se variará más la especificación del modelo y tendrá sentido hablar de análisis estructurales. 2 En cualquier caso, algunas variables pueden tener interpretaciones distintas sobre el signo (ser positivo o negativo en función de un período concreto, de un objetivo concreto por ejemplo, el grupo los Peter Sellers, más espectáculo que calidad, vende más discos cuando no hace conciertos que cuando sí los hace - ). 4 / 6

5 b. Análisis de significatividad individual (t-student e intervalo de confianza de los parámetros) Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C DISCO CONCIERTOS PRECIO COMPETENCIA En primer lugar, el contraste T-Estadística (o empírica) nos permitirá comprobar si el verdadero valor del parámetro es igual a cero o no. Para ello, la salida de la regresión nos muestra (en la columna marcada como Prob.- ability- ) la probabilidad de rechazar la hipótesis nula del contraste cuando esta es cierta. Estadísticamente, es común dar por bueno un resultado cuando puedo rechazar la hipótesis nula con un 95% de confianza o más. En el modelo expuesto, los valores de Prob. para la T-Statistic son todos inferiores a 0,05. Es decir, en todos los casos puedo decir que la probabilidad de equivocarme cuando rechazo la hipótesis nula (el verdadero parámetro es cero) es de menos del 5%. En definitiva, acepto la validez de todas las variables especificadas para definir la evolución de la endógena. En segundo lugar, calcular el intervalo de confianza de los parámetros podría darnos idea del grado de precisión del modelo: cuanto menor sea el intervalo, más ajustadamente podré definir el efecto que el cambio de una variable produce sobre la endógena. En este sentido, y una vez comprobada la significatividad individual con la T-estadística, parece que este contraste podría formar parte más bien de la utilización del modelo que de su valoración, aunque por motivos de exposición teórica y de definición del contraste individual anterior, todos los programas econométricos lo incluyen en esta fase de la modelización. Volveremos a hacer hincapié sobre el mismo en la reseña de utilización del modelo, aunque calculemos aquí su magnitud. Para su determinación, se emplea la siguiente fórmula: Pr [ βˆ ε / 2 ε βˆ < β < βˆ / 2 ) + * ( βˆ j t n k * S( j j j tn k S j )] = ε En nuestro caso, los grados de libertad son 32 (37-5). Buscando en las tablas de la t- student el valor de la misma para un nivel de confianza del 95% ( ε = 0, 05), obtenemos: 2,042. Aplicando la formula anterior, los intervalos de confianza para cada parámetro son: Variable Coefficient Std. Error Intervalo de Confianza DISCO , , CONCIERTOS , , PRECIO , , COMPETENCIA , , Comparando los valores extremos de los intervalos calculados con los parámetros estimados, parece que el más ajustado de todos ellos sería el de conciertos : cada concierto realizado daría lugar a un incremento de las ventas del disco2 en de entre 0,57 y 0,92 millones. El resto de los intervalos, a mi juicio; sería bastante amplio, 5 / 6

6 siendo bastante imprecisos los resultados sobre la endógena de incrementar en una unidad el valor de una exógena 3. c. Análisis de significatividad conjunta (F-snedecor y R s cuadrados) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durban-Watson stat Prob(F-statistic) Con el contrate de la F-snedecor se plantea la hipótesis de si todos los parámetros del modelo (excepto el de la constante) realmente valen cero. En nuestro caso, y observando la probabilidad asignada a la F del ejercicio, podemos rechazar con un 00% de seguridad la hipótesis nula. Así, sabremos con total certeza que por lo menos alguno de los parámetros es distinto de cero. Analizando los valores de la R cuadrado, en los modelos de corte temporal es frecuente exigir un altísimo valor (más del 98%) si las variables están en niveles, ya que la simple correlación entre explicativas y explicada por la tendencia que comparten hace que sea muy fácil obtener valores relativamente altos de la R a pesar de que el modelo pueda ser escasamente explicativo. En el caso de los modelos temporales en tasas de crecimiento o los de corte transversal, el R cuadrado exigible puede ser algo menor y, en cualquier caso, el valor a partir del cual daremos el modelo como bueno depende de nuestro objetivo concreto en la utilización que de él vayamos a hacer. En el caso de nuestro ejemplo, podemos decir que somos capaces de recoger más de un 80% de la variación de las ventas a partir de la especificación suministrada, quedando el resto del porcentaje en elementos que no podemos explicar con este modelo. Atendiendo a la R cuadrado ajustada (78,4%) podremos intuir, en algunas ocasiones, si existe algún problema de omisión de variables relevantes en el modelo. Si la diferencia entre ésta y la R cuadrado sin ajustar es relativamente elevada, habrá indicios de un problema de especificación: faltarán variables relevantes en el modelo. En nuestro ejemplo, la diferencia es de apenas dos puntos porcentuales, no pudiendo inferirse así problemas de mala especificación con este indicador. 3 Por supuesto, esta valoración es subjetiva, y estará condicionada por el grado de precisión que uno quiera conseguir del modelo porque, en cualquier caso, las variables elegidas han resultado ser significativas. 6 / 6

7 d. Análisis de bondad a priori i) Análisis gráfico Residual Actual Fitted Flecha en negro errores tipo II y en azul errores tipo I. Los primeros análisis del error son muy intuitivos y poco exactos. Los contrastes gráficos tanto del ajuste entre real (actual) y estimada (fitted) pueden darnos ciertas pistas sobre la bondad del modelo practicado, pero difícilmente serán concluyentes. En nuestro caso, de las treinta y siete observaciones con las que cuenta nuestro modelo podemos señalar algunos ajustes imprecisos en unos siete puntos (marcados arriba con flechas de colores); aunque, a la vista del gráfico, el modelo es bastante razonable, recogiendo adecuadamente la evolución de la endógena real (sin desfases observacionales o grandes puntos de error). En cuanto al gráfico del error, hay que precisar que no se puede observar ningún patrón claro de comportamientos sistemáticos (gráfico con ondas suaves o en dientes de sierra; o con tendencia claramente creciente o decreciente; o con separación clara de zonas de valores positivos y negativos; ). En definitiva no parece que presente problemas evidentes. Tampoco los errores transciende de la banda representada por más menos dos veces la desviación típica de los mismos (zona en la que estarían con un 95% de probabilidades los valores de una variable que se distribuye como una normal). Tan solo el punto siete quizá represente un valor algo elevado del error, y se podría hacer alguna consideración especial sobre él en un análisis más detallado de los datos de ese país en una fase posterior del estudio. ii) Ratios del error 4 Los ratios habitualmente propuestos son la raíz cuadrada del error cuadrático medio ECM, para comparar entre especificaciones distintas de modelos con el mismo número de explicativas (k); el error absoluto medio (medida muy imprecisa) y el porcentaje de error absoluto medio (PEAM), que siempre debe utilizarse sobre valores en niveles. Dicho lo anterior, solo haré algún comentario sobre el valor obtenido en el PEAM: un 2,35% en el modelo que nos ocupa (abajo los valores de la salida de e-views). No hay 4 En el programa e-views, pulsando el botón forecast que aparece en la salida de la regresión, se obtienen, entre otros, los siguientes resultados 7 / 6

8 mucho que decir al afirmar que este porcentaje es más que razonable y el modelo estaría produciendo un ajuste extraordinario. Root Mean Squared Error Mean Absolute Error Mean Abs. Percent Error iii) Análisis de cambios de tendencia El análisis se desarrolla marcando los máximos y mínimos locales en las series de la endógena estimada y real, para marcar posteriormente los puntos de error tipo I ó II que se detectan. En el gráfico de ajuste superior, se han marcado estos puntos con flechas negras y azules. DISCO2 DISCO2F Real Estimada 9, ,692 24, ,7893 Máximo Máximo 20, ,32274 Mínimo Error tipo I 20, ,20507 Mínimo Error tipo II 22, ,96293 Máximo Máximo 9, ,65340 Mínimo Mínimo 22,2247 2,0078 Máximo Error tipo II 2, ,907 Máximo Error tipo I 2,389 2,37378 Mínimo Mínimo 24, ,0897 Máximo Máximo 22, ,43395 Mínimo Mínimo 22, , , ,98040 Máximo Máximo 22, ,8983 2,8975 2,28848 Mínimo Mínimo 22,745 22,50227 Máximo Error tipo II 2, ,72480 Máximo Error tipo I 20, ,6605 9, ,22830 Mínimo Mínimo 23, ,29494 Máximo Máximo 9, ,279 Mínimo Mínimo 2, , , ,33485 Máximo Máximo 22,428 2, , ,99822 Mínimo Mínimo 22, ,753 23, , , ,7683 Máximo Máximo 20, ,79373 Mínimo Mínimo 2, ,67779 Máximo Error tipo II 2, ,902 23, ,256 Máximo Máximo 20, ,755 Mínimo Mínimo 24, ,07863 Máximo Máximo 24,003 23, ,8460 2,68406 Mínimo Mínimo 22, ,2575 El total de cambios de tendencia que se producen en la serie real es de 22 y en la estimada de 23. Se pueden construir los siguiente ratios: % Errores tipo II (suma errores tipo II entre suma total cambios en la real): 4/22=8,2% 8 / 6

9 % Errores tipo I (suma errores tipo I entre suma total cambios en la estimada): 3/23= 3%. En definitiva, del total de cambios de tendencia realmente observables, el modelo no es capaz de recoger un 8%. Simplemente, los olvida. Por otro lado, el 3% de los cambios que indica el modelo estimado son falsos: en la realidad no se producen o, vulgarmente, se los inventa. iv) Diagrama de Predicción Realización y U-Theil 5 El diagrama de predicción-realización no está directamente operativo como comando de e-views, aunque se puede aproximar ligeramente con un gráfico tipo Scatter de dos series: la de la tasa de crecimiento de la real y la de la estimada. En nuestro caso, no podemos calcular las series de crecimiento y que solo tenemos un momento temporal para cada observación (el modelo es de corte transversal). Aún así, y para ilustrar como se haría con un modelo de corte temporal, único en el que verdaderamente tiene sentido este tipo de contraste, lo ejecutamos suponiendo las tasas tal y como las puede calcular el e-views con este tipo de datos: calculando los crecimientos que se producen de una observación a otra (de un país en referencia al que tiene colocado inmediatamente antes en el workfile, aunque esta sea una medida matemáticamente correcta pero sin ningún sentido económico ya que la ordenación de los países es arbitraria). Para hacer el gráfico cruzado, se abren las dos series en tasas de crecimiento a la vez (se marcan y se abren as group ) y, posteriormente, en la opción view se marca Graphics Scatter (donde se pueden pintar a mano, con word, las líneas de los ejes y la de predicción perfecta): El resultado es el siguiente: En el gráfico se aprecian cuatro puntos de error de signo en el crecimiento (segundo y cuarto cuadrantes), bastantes puntos de sobrevaloración relativa en crecimientos positivos (primer cuadrante) y variados en el caso de decrecimientos. Insisto, en cualquier caso, que este gráfico se ha puesto para ilustrar como se haría en modelo de corte temporal, único en el que tendría sentido. 5 También en la opción forecast de la salida de la regresión de e-views se calculan automáticamente los valores de la U-Theil (total y descompuesta en sesgo, dispersión y correlación). 9 / 6

10 En cuanto a los valores de la U de Theil, el valor global del ratio arroja un 0,04577, claramente próximo al cero, donde las tasas de crecimiento coincidirían en signo y cuantía, por lo que se podría hablar de un buen modelo. Analizando someramente su descomposición, no aparece ningún sesgo sistemático hacia la sobrevaloración o la infravaloración (Bias proportion 0.000) 6 ; así como tampoco una dispersión significativamente distinta comparando las tasas de crecimiento de la estimada y la real (Variance Proportion ). En cuanto a la componente de correlación (Covariance proportion ), el valor cercano a uno indicaría un valor de correlación elevada, pero de sentido contrario negativa - entre las tasas reales y las estimadas (Covariance Proportion ). Theil Inequality Coefficient Bias Proportion Variance Proportion Covariance Proportion e. Contraste de hipótesis sobre la estructura Los posibles problemas de incumplimiento de hipótesis serían los siguientes: Muestra pequeña, regresores estocásticos, endogeneidad, multicolinealidad y cambio de estructura. Además, casi todos ellos podrían estar relacionados con una especificación incorrecta, ya sea por omisión de variables relevantes, por inclusión de variables irrelevantes o por no haber elegido correctamente la forma funcional que relaciona exógenas con endógena. Comenzando por muestra pequeña, en nuestro caso contamos con treinta y siete observaciones (n) y con cinco variables explicativas (k), con lo que los grados de libertad son 32. Habitualmente, se considera que son suficientes 5 ó más grados de libertad para poder realizar contrastes estadísticos de cierta calidad, por lo que nuestro modelo no presenta este problema de muestra pequeña. Respecto a los posibles regresores estocásticos, el modelo planteado no incluye entre sus explicativas ninguno de los casos en los que habría total certeza de presencia de regresores estocásticos (endógena desplazada como explicativa, modelo multiecuacional o utilización de variables proxy). En estas circunstancias, podemos presumir sin problema que los regresores son deterministas. En cuanto a la hipótesis de exogeneidad (o su incumplimiento, endogeneidad), este hecho podría contrastarse a partir del Test de Causalidad de Granger, aunque al no haberse contemplado en el programa solo remito al interesado en obtener más información sobre el tema al capítulo 0 de Pulido y Pérez (2002) 7 Para determinar la posible presencia de multicolinealidad entre las explicativas del modelo, analizaremos los cuatro contrastes desarrollados en las clases teóricas: i) Indicios de multicolinealidad: se plantean cuando se produce un elevado R cuadrado y, al tiempo, varias explicativas no significativas individualmente (varias t- statistic con probabilidades por encima de 0,005). En el 6 Diferencia de medias de tasas de crecimiento entre real y estimada 7 Pulido, A. y Pérez, J. (2002): Modelos Econométricos. Editorial Pirámide. Página 47 0 / 6

11 caso de nuestro modelo, no se da tal circunstancia. Efectivamente, el R cuadrado es moderadamente elevado, pero todas las variables explicativas resultan significativas. ii) Análisis de la correlación entre las variables: A partir de la matriz de correlaciones entre las variables explicativas, presumiremos multicolinealidad cuando los coeficientes entre dos variables sean elevados (se suele suponer cuando son mayores a 0,75 ) o, en términos más académicos, cuando el valor de alguna de las correlaciones por pares de variables es superior al valor de la R cuadrado del modelo. Matriz de correlaciones de las variables explicativas DISCO CONCIERTOS PRECIO COMPETENCIA DISCO CONCIERTOS PRECIO COMPETENCIA Como puede observarse en la matriz de correlaciones, no existe ningún valor significativo a los niveles que hemos descrito anteriormente. La más alta de todas las correlaciones se daría entre disco y precios, pero aún así es de apenas 0,23. iii) R cuadrado de regresiones parciales: después de haber realizado una regresión para cada exógena en función del resto de las variables explicativas del modelo, hablaríamos de multicolinealidad en la medida que el R cuadrado de alguna de estas regresiones fuera mayor que el del nuestro modelo general Dependent Variable: DISCO Method: Least Squares Sample: 37 Included observations: 37 Regresiones parciales de las exógenas del modelo Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C CONCIERTOS PRECIO COMPETENCIA R-squared Mean dependent var Dependent Variable: CONCIERTOS Method: Least Squares Sample: 37 Included observations: 37 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C DISCO PRECIO / 6

12 COMPETENCIA R-squared Mean dependent var Dependent Variable: PRECIO Method: Least Squares Sample: 37 Included observations: 37 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C DISCO CONCIERTOS COMPETENCIA R-squared Mean dependent var Dependent Variable: COMPETENCIA Method: Least Squares Sample: 37 Included observations: 37 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. PRECIO C DISCO CONCIERTOS R-squared Mean dependent var Como se puede comprobar en las cuatro regresiones practicas, las R cuadrado en ningún caso superan el valor 0,8084 de nuestra regresión original, luego este segundo método tampoco nos aporta señales de multicolinealidad entre las explicativas. iv) Coeficientes de correlación parcial: calculados a partir del producto de los parámetros de las regresiones parciales, con los siguientes resultados: Coeficientes de correlación parcial DISCO CONCIERTOS 0, DISCO PRECIO 0, DISCO COMPETENCIA 0, CONCIERTOS PRECIO 0, CONCIERTOS COMPETENCIA 0, PRECIO COMPETENCIA 0,35222 Nuevamente se puede observar que ningún valor supera el 80% de la R cuadrado del modelo general. En definitiva, de los procedimientos de detección de la multicolinealidad estudiados, ninguno muestra que haya presencia de este problema en el modelo que estamos analizando. Finalmente, cabría analizar la posibilidad de algún cambio de estructura si es que conocemos alguna circunstancia especial en la ordenación de los datos (que no los separe aleatóriamente por países y creamos que esto pueda influir en la estimación de 2 / 6

13 los parámetros) o si en el gráfico de los residuos observamos algún punto especialmente alto de error 8. Como ya hemos destacado en el análisis del gráfico de errores, quizá la observación número siete pudiera ser la única en la que el error fuera algo más elevado. Aunque el caso no es muy evidente, de cara a ilustrar el análisis de cambio de estructura se comprobará si desde este punto al final hay una estructura distinta a la que existe en las seis primeras observaciones. Dado el corto espacio submuestral de la cola de la izquierda (solo seis observaciones frente a las treinta y una de la segunda submuestra), se plantea utilizar el test de Chow reducido para determinar si existe o no un cambio de estructura en este punto. F n2 ; n k = ' ( e' e ee )/ n2 ' ( e e )/ ( n k) Donde la submuestra más grande (n tendría treinta y una observaciones y la otra, n 2, seis). Realizando la regresión inicial con la muestra recortada, se obtienen los siguientes resultados: Dependent Variable: DISCO2 Method: Least Squares Sample: 7 37 Included observations: 3 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C DISCO CONCIERTOS PRECIO COMPETENCIA R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Y aplicando la fórmula del Test de Chow Reducido, obtendríamos: F ( 5,3703 2,54) ( 2, 54) /( 3 5) / 6 exp 6 ;26 = =, 64 Acudiendo a los valores tabulados de la F de Snedecor encontramos que Tablas F 3,825. Como el valor que hemos obtenido con nuestra F experimental es 6 ;26 = inferior al tabulado, podemos afirmar que NO EXISTE CAMBIO DE ESTRUCTURA. 8 Como es sabido, en la realidad el contraste de estructura debe hacerse posteriormente al de heterocedasticidad, ya que la presencia de ésta podría parecer un falso cambio de estructura. Por necesidades del programa teórico de Econometría I, aquí se acomete este contraste sin haber visto antes si hay o no problemas en la varianza de las perturbaciones aleatorias. 3 / 6

14 Al margen del test de Chow, podría emplearse el contraste CUSUM también comentado en clase e implementado directamente en e-views (en la tecla view de la salida de regresión como una de las opciones de contrastes sobre estabilidad Stability -). El resultado gráfico que obtendríamos con este contraste sería el siguiente: CUSUM 5% Significance Donde ningún valor de los parámetros estimados recursivamente excede de las bandas de confianza prefijadas, luego tampoco aparece ningún signo de cambio estructural empleando este contraste. En definitiva, no hemos podido constatar que se produjera ningún incumplimiento de las hipótesis básicas sobre la estructura en el modelo que presentamos. f. Análisis de Bondad a Posteriori Durante el curso se han comentado dos análisis de esta naturaleza: el coeficiente de Janus y el contraste del Predictor. Para observar la capacidad predictiva o de simulación del modelo, se puede realizar el coeficiente de Janus, simplemente recortando la muestra de modo que una parte de ella se utiliza para la estimación de los parámetros y otra para la utilización del modelo, realizando posteriormente una comparación de los errores cuadrados obtenidos. En nuestro caso, prescindiremos de los cuatro últimos valores para hacer la estimación y luego, como aún así contamos con ellos, calcularemos los errores obtenidos cuando estimamos la endógena (disco2) para ese período extramuestral (no utilizado en la estimación) con los parámetros obtenidos con la muestra -33 Dependent Variable: DISCO2 Method: Least Squares Sample: 33 Included observations: 33 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C DISCO CONCIERTOS PRECIO COMPETENCIA R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion / 6

15 Donde el valor de la suma cuadrática de los errores es 4,95402, dividido entre el número de observaciones (33), 0,453. Aplicando los coeficientes obtenidos en esta regresión auxiliar (más arriba) a los valores de las exógenas, obtenemos los valores estimados para la submuestra Y restando de la endógena real (disco2) para la misma submuestra, los errores extramuestrales. Su suma al cuadrado media es 0,25. El coeficiente de Janus será entonces: J 0, 25 = = 0,2760 0,453 En definitiva, el modelo cometerá menores errores en el período de simulación que en el de estimación. En cuanto a la segunda medida de bondad a posteriori, el contraste del Predictor, y no teniendo valores de las exógenas fuera de la muestra dada, tan solo es posible calcularlo como el intervalo máximo en el que se moverán los valores de simulación con un 95%. Es decir, calcularemos el intervalo de predicción puntual cuando, como valor de simulación o predicción de las exógenas empleamos su valor medio. Es decir, ε ε σ σ ˆ / 2 + < < ˆ / 2 Pr Y ˆ + ˆ + n tn k * * n Yn+ Yn+ tn k * * = + n ε Pr 22,062 2,042* 0,6930* 22,062 2,042* 0,6930* = 0,05 + < Y < + + n + Luego, con un 95% de confianza, podré afirmar que el valor de la venta de disco2 en un país distinto a los que utilizo para la estimación estará entre (20,63 ; 23,49). 4. BREVE RESEÑA SOBRE UTILIZACIÓN DEL MODELO En este documento se ha pretendido ilustrar, con un ejemplo práctico, el contenido aplicado de la asignatura de Econometría I, haciéndose un análisis de casi todas las fases y contrastes contemplados en el programa, aún cuando el tipo de modelo (corte temporal) en algún caso los hiciera poco necesarios. Finalmente, y una vez comprobadas las características del modelo, cabe utilizarlo. En los libros de econometría figuran cuatro grandes utilidades básicas: a) Simulación b) Predicción c) Análisis estructural d) Comprobación o refutación de teorías 5 / 6

16 Sobre las dos primeras, bastaría con dar valor a las exógenas para calcular los resultados de predicción o simulación sobre las posibles ventas del disco 2 en algún otro país no empleado para realizar la estimación. Ya disponemos de los parámetros, con las máximas calidades estadísticas, para poder realizar este fácil cálculo: DISCO2 = *DISCO *CONCIERTOS *PRECIO *COMPETENCIA En cuanto al análisis estructural, para poder medir la importancia relativa de cada una de las variables para explicar a la endógena, deberíamos estandarizar los parámetros, ya que inicialmente estos serán mayores o menores no solo por su grado de importancia, sino también por el rango de valores de la variable a la que multiplican. Para estandarizar los parámetros: β = βˆ ˆ S tan dard j j S * S X j Y En nuestro caso, los parámetros estandarizados serían los siguientes: Variable Coefficient Dev. Típica variable Dev. Típica endógena Standard Coefficient DISCO 0, ,2937, , CONCIERTOS 0, ,233795, ,74942 PRECIO -,450427,5057, , COMPETENCIA -0, ,27680, , En definitiva, la variable más relevante para definir la venta de discos parece ser el PRECIO. De un modo similar influirían las ventas del disco anterior y la competencia y, ligeramente menos peso tendría CONCIERTOS. Respecto a la última utilidad del modelo, este nos confirma el supuesto inicial de que estas son las variables que influyen a la hora de determinar la venta de disco2, aunque en las fases de contrastación podríamos haber suprimido alguna si no hubiera sido significativa, poniendo en entredicho nuestra elección inicial de las variables relevantes (aunque no es el caso de este ejercicio). Quizá esta utilidad tenga mayor relevancia cuando planteamos un modelo teórico inicial de un carácter más académico. 6 / 6