CAPÍTULO 12 Estudio de casos: ecuaciones algebraicas lineales

Transcripción

1 CAPÍTULO 12 Estudio de casos: ecuaciones algebraicas lineales El propósito de este capítulo es usar los procedimientos numéricos analizados en los capítulos 9, 10 y 11 para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, en algunas aplicaciones a la ingeniería. Dichas técnicas numéricas sistemáticas tienen significado práctico, ya que los ingenieros con mucha frecuencia se enfrentan a problemas que involucran sistemas de ecuaciones que son demasiado grandes para resolverse a mano. Los algoritmos numéricos en estas aplicaciones son particularmente adecuados para implementarse en computadoras personales. En la sección 12.1 se muestra cómo se emplea un balance de masa para modelar un sistema de reactores. En la sección 12.2 se le da especial énfasis al uso de la matriz inversa para determinar las complicadas interacciones causa-efecto entre las fuerzas en los elementos de una armadura. La sección 12.3 constituye un ejemplo del uso de las leyes de Kirchhoff para calcular las corrientes y voltajes en un circuito con resistores. Por último, la sección 12.4 es una ilustración de cómo se emplean las ecuaciones lineales para determinar la configuración en estado estacionario de un sistema masa-resorte ANÁLISIS EN ESTADO ESTACIONARIO DE UN SISTEMA DE REACTORES (INGENIERÍA QUÍMICA/BIOINGENIERÍA) Antecedentes. Uno de los principios de organización más importantes en la ingeniería química es la conservación de la masa (recuerde la tabla 1.1). En términos cuantitativos, el principio se expresa como un balance de masa que toma en cuenta todas las fuentes y sumideros de un fluido que entra y sale de un volumen (figura 12.1). En un periodo finito, esto se expresa como Acumulación = entradas salidas (12.1) El balance de masa representa un ejercicio de contabilidad para la sustancia en particular que se modela. Para el periodo en que se calcula, si las entradas son mayores que las salidas, la masa de la sustancia dentro del volumen aumenta. Si las salidas son mayores que las entradas, la masa disminuye. Si las entradas son iguales a las salidas, la acumulación es cero y la masa permanece constante. Para esta condición estable, o en estado estacionario, la ecuación (12.1) se expresa como Entradas = salidas (12.2) Emplee la conservación de la masa para determinar las concentraciones en estado estacionario de un sistema de reactores conectados.

2 328 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES Volumen Entrada Salida Acumulación FIGURA 12.1 Una representación esquemática del balance de masa. Solución. Se puede usar el balance de masa para resolver problemas de ingeniería al expresar las entradas y salidas en términos de variables y parámetros medibles. Por ejemplo, si se realiza un balance de masa para una sustancia conservativa (es decir, aquella que no aumente ni disminuya debido a transformaciones químicas) en un reactor (figura 12.2), podríamos cuantificar la velocidad con la cual el flujo de la masa entra al reactor a través de dos tuberías de entrada y sale de éste a través de una tubería de salida. Esto se hace mediante el producto de la velocidad del fluido o caudal Q (en metros cúbicos por minuto) por la concentración c (en miligramos por metro cúbico) en cada tubería. Por ejemplo, en la tubería 1 de la figura 12.2, Q 1 = 2 m 3 /min y c 1 = 25 mg/m 3 ; por lo tanto, la velocidad con la cual la masa fluye hacia el reactor a través de la tubería 1 es Q 1 c 1 = (2 m 3 /min)(25 mg/m 3 ) = 50 mg/min. Así, 50 mg de sustancias químicas fluyen cada minuto hacia el interior del reactor a través de esta tubería. De forma similar, para la tubería 2 la velocidad de masa que entra se calcula como Q 2 c 2 = (1.5 m 3 /min) (10 mg/m 3 ) = 15 mg/min. Observe que la concentración a la salida del reactor a través de la tubería 3 no se especifica en la figura Esto es así porque ya se tiene información suficiente para calcularla con base en la conservación de la masa. Como el reactor se halla en estado estacionario se aplica la ecuación (12.2) y las entradas deberán estar en balance con las salidas, Q 1 c 1 + Q 2 c 2 = Q 3 c 3 Sustituyendo los valores dados en esta ecuación se obtiene = 3.5c 3 de la cual se despeja c 3 = 18.6 mg/m 3. De esta forma, hemos determinado la concentración en la tercera tubería. Sin embargo, del cálculo se obtiene algo más. Como el reactor está bien mezclado (representado por el agitador en la figura 12.2), la concentración será uniforme, u homogénea, en todo el tanque. Por lo que, la concentración en la tubería 3 deberá ser idéntica a la concentración en todo el reactor. En consecuencia, el balance de masa nos ha permitido calcular tanto la concentración en el reactor como en el tubo de salida. Esta información es de gran utilidad para los ingenieros químicos y

3 12.1 ANÁLISIS EN ESTADO ESTACIONARIO DE UN SISTEMA DE REACTORES 329 FIGURA 12.2 Un reactor en estado estacionario, completamente mezclado, con dos tuberías de entrada y una de salida. Los caudales Q están en metros cúbicos por minuto, y las concentraciones c están en miligramos por metro cúbico. Q 1 = 2 m 3 /min c 1 = 25 mg/m 3 Q 2 = 1.5 m 3 /min c 2 = 10 mg/m 3 Q 3 = 3.5 m 3 /min c 3 =? Q 15 = 3 c 5 Q 54 = 2 Q 55 = 2 Q 25 = 1 Q 01 = 5 c 01 = 10 Q 12 = 3 Q 24 = 1 c 1 c 2 c 4 Q 44 = 11 Q 23 = 1 Q 34 = 8 FIGURA 12.3 Cinco reactores conectados por tuberías. Q 03 = 8 c 03 = 20 Q 31 = 1 c 3 petroleros, quienes tienen que diseñar reactores que tengan mezclas de una concentración específica. Debido a que se utilizó álgebra simple para determinar la concentración de un solo reactor en la figura 12.2, podría no ser obvio lo que tiene que hacer una computadora en el cálculo de un balance de masa. En la figura 12.3 se muestra un problema donde las computadoras no solamente son útiles, sino que son de una enorme necesidad práctica. Debido a que hay cinco reactores interconectados o acoplados, se necesitan cinco ecuaciones de balance de masa para caracterizar el sistema. En el reactor 1, velocidad de la masa que entra es 5(10) + Q 31 c 3 y la velocidad de la masa que sale es Q 12 c 1 + Q 15 c 1

4 330 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES Como el sistema se encuentra en estado estacionario, los flujos de entrada y de salida deben ser iguales: 5(10) + Q 31 c 3 = Q 12 c 1 + Q 15 c 1 o, sustituyendo los valores de la figura 12.3, 6c 1 c 3 = 50 Ecuaciones similares se obtienen para los otros reactores: 3c 1 + 3c 2 = 0 c 2 + 9c 3 = 160 c 2 8c c 4 2c 5 = 0 3c 1 c 2 + 4c 5 = 0 Se puede utilizar un método numérico para resolver estas cinco ecuaciones con las cinco incógnitas que son las concentraciones: {C} T = Además, la matriz inversa se calcula como [A] 1 = Cada uno de los elementos a ij significa el cambio en la concentración del reactor i debido a un cambio unitario en la carga del reactor j. De esta forma, los ceros en la columna 4 indican que una carga en el reactor 4 no influirá sobre los reactores 1, 2, 3 y 5. Esto es consistente con la configuración del sistema (figura 12.3), la cual indica que el flujo de salida del reactor 4 no alimenta ningún otro reactor. En cambio, las cargas en cualquiera de los tres primeros reactores afectarán al sistema completo, como se indica por la ausencia de ceros en las primeras tres columnas. Tal información es de gran utilidad para los ingenieros que diseñan y manejan sistemas como éste ANÁLISIS DE UNA ARMADURA ESTÁTICAMENTE DETERMINADA (INGENIERÍA CIVIL/AMBIENTAL) Antecedentes. Un problema importante en la ingeniería estructural es encontrar las fuerzas y reacciones asociadas con una armadura estáticamente determinada. En la figura 12.4 se muestra el ejemplo de una armadura. Las fuerzas (F) representan ya sea la tensión o la compresión sobre los componentes de la armadura. Las reacciones externas (H 2, V 2 y V 3 ) son fuerzas que caracterizan cómo interactúa dicha estructura con la superficie de soporte. El apoyo fijo en el nodo 2 puede transmitir fuerzas horizontales y verticales a la superficie, mientras que el apoyo móvil en el nodo 3 transmite sólo fuerzas verticales. Se observa que el efecto de la carga externa de lb se distribuye entre los componentes de la armadura.

5 12.2 ANÁLISIS DE UNA ARMADURA ESTÁTICAMENTE DETERMINADA lb 1 F 1 90 F 3 H F FIGURA 12.4 Fuerzas en una armadura estáticamente determinada. V 2 V 3 F 1,v 1 F 1,h F 1 F 3 FIGURA 12.5 Diagramas de fuerza de cuerpo libre para los nodos de una armadura estáticamente determinada. H 2 F 1 F 3 F 2,v F 3,h F 2 F 2,h V 2 V 3 F 2 F 3,v Solución. Este tipo de estructura se puede describir como un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales acopladas. Los diagramas de fuerza de cuerpo libre para cada nodo se muestran en la figura La suma de las fuerzas en ambas direcciones, vertical y horizontal, deben ser cero en cada nodo, ya que el sistema está en reposo. Por lo tanto, para el nodo 1, Σ F H = 0 = F 1 cos 30 + F 3 cos 60 + F 1,h (12.3) Σ F V = 0 = F 1 sen 30 F 3 sen 60 + F 1,v (12.4) para el nodo 2, Σ F H = 0 = F 2 + F 1 cos 30 + F 2,h + H 2 (12.5) Σ F V = 0 = F 1 sen 30 + F 2,v + V 2 (12.6)

6 332 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES para el nodo 3, Σ F H = 0 = F 2 F 3 cos 60 + F 3,h (12.7) Σ F V = 0 = F 3 sen 60 + F 3,v + V 3 (12.8) donde F i,h es la fuerza horizontal externa aplicada sobre el nodo i (se considera que una fuerza positiva va de izquierda a derecha) y F i,v es la fuerza vertical externa que se aplica sobre el nodo i (donde una fuerza positiva va hacia arriba). Así, en este problema, la fuerza de lb hacia abajo en el nodo 1 corresponde a F 1,v = libras. En este caso, todas las otras F i,v y F i,h son cero. Observe que las direcciones de las fuerzas internas y de las reacciones son desconocidas. La aplicación correcta de las leyes de Newton requiere sólo de suposiciones consistentes respecto a la dirección. Las soluciones son negativas si las direcciones se asumen de manera incorrecta. También observe que en este problema, las fuerzas en todos los componentes se suponen en tensión y actúan tirando de los nodos adyacentes. Una solución negativa, por lo tanto, corresponde a compresión. Este problema se plantea como el siguiente sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas: F F F 3 = H V V 3 0 (12.9) Observe que, como se formuló en la ecuación (12.9), se requiere de pivoteo parcial para evitar la división entre cero de los elementos de la diagonal. Con el uso de una estrategia de pivote, el sistema se resuelve mediante cualquiera de las técnicas de eliminación que se analizaron en los capítulos 9 y 10. Sin embargo, como este problema es un caso de estudio ideal, para demostrar la utilidad de la matriz inversa se utiliza la descomposición LU para calcular F 1 = 500 F 2 = 433 F 3 = 866 H 2 = 0 V 2 = 250 V 3 = 750 la matriz inversa es [A] 1 = Ahora, observe que el vector del lado derecho representa las fuerzas horizontales y verticales aplicadas externamente sobre cada nodo, {F} T = F 1,h F 1,v F 2,h F 2,v F 3,h F 3,v (12.10) Debido a que las fuerzas externas no tienen efecto sobre la descomposición LU, no se necesita aplicar el método una y otra vez para estudiar el efecto de diferentes fuerzas

7 12.2 ANÁLISIS DE UNA ARMADURA ESTÁTICAMENTE DETERMINADA a) b) FIGURA 12.6 Dos casos de prueba que muestran a) vientos desde la izquierda y b) vientos desde la derecha. externas sobre la armadura. Todo lo que hay que hacer es ejecutar los pasos de sustitución hacia adelante y hacia atrás, para cada vector del lado derecho, y así obtener de manera eficiente soluciones alternativas. Por ejemplo, podríamos querer estudiar el efecto de fuerzas horizontales inducidas por un viento que sopla de izquierda a derecha. Si la fuerza del viento se puede idealizar como dos fuerzas puntuales de libras sobre los nodos 1 y 2 (figura 12.6a), el vector del lado derecho es {F} T = que se utiliza para calcular F 1 = 866 F 2 = 250 F 3 = 500 H 2 = V 2 = 433 V 3 = 433 Para un viento de la derecha (figura 12.6b), F 1,h = 1 000, F 3,h = 1 000, y todas las demás fuerzas externas son cero, con lo cual resulta F 1 = 866 F 2 = F 3 = 500 H 2 = V 2 = 433 V 3 = 433 Los resultados indican que los vientos tienen efectos marcadamente diferentes sobre la estructura. Ambos casos se presentan en la figura Cada uno de los elementos de la matriz inversa tienen también utilidad directa para aclarar las interacciones estímulo-respuesta en la estructura. Cada elemento representa el cambio de una de las variables desconocidas a un cambio unitario de uno de los estímu los externos. Por ejemplo, el elemento a 32 1 indica que la tercera incógnita (F 3 ) cambiará a debido a un cambio unitario del segundo estímulo externo (F 1,v ). De esta forma, si la carga vertical en el primer nodo fuera aumentada en 1, F 3 se podría aumentar en El hecho de que los elementos sean 0 indica que ciertas incógnitas no se ven afectadas por algunos de los estímulos externos. Por ejemplo, a 1 13 = 0 significa que F 1 no se ve afectado por cambios en F 2, h. Esta habilidad de aislar interacciones tiene

8 334 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES diversas aplicaciones en la ingeniería; éstas comprenden la identificación de aquellos componentes que son más sensibles a estímulos externos y, como una consecuencia, más propensos a fallar. Además, esto sirve para determinar los componentes que son innecesarios (véase el problema 12.18). El procedimiento anterior resulta particularmente útil cuando se aplica a grandes estructuras complejas. En la práctica de la ingeniería, en ocasiones es necesario resolver estructuras con cientos y aun miles de elementos estructurales. Las ecuaciones lineales proporcionan un medio poderoso para ganar cierta comprensión del comportamiento de dichas estructuras CORRIENTES Y VOLTAJES EN CIRCUITOS CON RESISTORES (INGENIERÍA ELÉCTRICA) Antecedentes. Un problema común en ingeniería eléctrica es la determinación de corrientes y voltajes en algunos puntos de los circuitos con resistores. Tales problemas se resuelven utilizando las reglas para corrientes y voltajes de Kirchhoff. La regla para las corrientes (o nodos) establece que la suma algebraica de todas las corrientes que entran a un nodo debe ser cero (véase figura 12.7a), o Σi = 0 (12.11) donde todas las corrientes que entran al nodo se consideran de signo positivo. La regla de las corrientes es una aplicación del principio de la conservación de la carga (recuerde la tabla 1.1). La regla para los voltajes (o mallas) especifica que la suma algebraica de las diferencias de potencial (es decir, cambios de voltaje) en cualquier malla debe ser igual a cero. Para un circuito con resistores, esto se expresa como Σx ΣiR = 0 (12.12) FIGURA 12.7 Representaciones esquemáticas de a) la regla de las corrientes de Kirchhoff y b) la ley de Ohm. donde x es la fem (fuerza electromotriz) de las fuentes de voltaje, y R es la resistencia de cualquier resistor en la malla. Observe que el segundo término se obtiene de la ley de Ohm (figura 12.7b), la cual establece que la caída de voltaje a través de un resistor ideal es igual al producto de la corriente por la resistencia. La regla de Kirchhoff para el voltaje es una expresión de la conservación de la energía. i 1 i 3 a) i 2 FIGURA 12.8 Un circuito con resistores para resolverse usando ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. 3 R = 10 2 R = 5 1 V 1 = 200 V V i R ij V j R = 5 R = 10 i ij b) R = 15 R = 20 V 6 = 0 V

9 12.3 CORRIENTES Y VOLTAJES EN CIRCUITOS CON RESISTORES i 32 i 12 i 43 i 54 i 52 i FIGURA 12.9 Corrientes supuestas. Solución. La aplicación de estas reglas da como resultado un sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, ya que las mallas que forman un circuito están conectadas. Por ejemplo, considere el circuito de la figura Las corrientes asociadas con este circuito son desconocidas, tanto en magnitud como en dirección. Esto no presenta gran dificultad, ya que tan sólo se supone una dirección para cada corriente. Si la solución resultante a partir de las leyes de Kirchhoff es negativa, entonces la dirección supuesta fue incorrecta. Por ejemplo, la figura 12.9 muestra direcciones supuestas para las corrientes. Dadas estas suposiciones, la regla de la corriente de Kirchhoff se aplica a cada nodo para obtener i 12 + i 52 + i 32 = 0 i 65 i 52 i 54 = 0 i 43 i 32 = 0 i 54 i 43 = 0 La aplicación de la regla de voltajes en cada una de las mallas da i 54 R 54 i 43 R 43 i 32 R 32 + i 52 R 52 = 0 i 65 R 65 i 52 R 52 + i 12 R = 0 o, sustituyendo el valor de las resistencias de la figura 12.8 y pasando las constantes al lado derecho, l5i 54 5i 43 l0i 32 + l0i 52 = 0 20i 65 10i i 12 = 200 Por lo tanto, el problema consiste en la solución del siguiente conjunto de seis ecuaciones con seis corrientes como incógnitas: i i i 32 = i i i

10 336 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES FIGURA La solución obtenida para las corrientes y voltajes usando un método de eliminación. V = V = i = i = V = V = V = 200 V = 0 Aunque no es práctico resolverlo a mano, este sistema se resuelve de manera sencilla con un método de eliminación. Si se procede de esta forma, la solución es i 12 = i 52 = i 32 = i 65 = i 54 = i 43 = Así, con una interpretación adecuada de los signos del resultado, las corrientes y voltajes en el circuito se muestran en la figura Deben ser evidentes las ventajas de usar algoritmos numéricos y computadoras para problemas de este tipo SISTEMAS MASA-RESORTE (INGENIERÍA MECÁNICA/AERONÁUTICA) Antecedentes. Los sistemas idealizados masa-resorte desempeñan un papel importante en la mecánica y en otros problemas de ingeniería. En la figura se presenta un sistema de este tipo. Después de liberar las masas, éstas son jaladas hacia abajo por la fuerza de gravedad. Observe que el desplazamiento resultante en cada resorte de la figura 12.11b se mide a lo largo de las coordenadas locales referidas a su posición inicial en la figura 12.11a. Como se mencionó en el capítulo 1, la segunda ley de Newton se emplea en conjunto con el equilibrio de fuerzas para desarrollar un modelo matemático del sistema. Para cada masa, la segunda ley se expresa como m d 2 x FD F 2 U dt = (12.13) Para simplificar el análisis se supondrá que todos los resortes son idénticos y que se comportan de acuerdo con la ley de Hooke. En la figura 12.12a se muestra un diagrama de cuerpo libre para la primera masa. La fuerza hacia arriba es únicamente una expresión directa de la ley de Hooke: F U = kx 1 (12.14) Las componentes hacia abajo consisten en las dos fuerzas del resorte junto con la acción de la gravedad sobre la masa, F D = k(x 2 x 1 ) + k(x 2 x 1 ) = m 1 g (12.15) Observe cómo la componente de fuerza de los dos resortes es proporcional al desplazamiento de la segunda masa, x 2, corregida por el desplazamiento de la primera masa, x 1.

11 12.4 SISTEMAS MASA-RESORTE 337 FIGURA Un sistema compuesto de tres masas suspendidas verticalmente por una serie de resortes. a) El sistema antes de ser liberado, es decir, antes de la extensión o compresión de los resortes. b) El sistema después de ser liberado. Observe que las posiciones de las masas están en referencia a las coordenadas locales con orígenes en su posición antes de ser liberadas. k m 1 m 2 m 3 a) k k k m 1 m 2 m 3 b) 0 x 1 0 x 2 0 x 3 kx 1 k(x 2 x 1 ) k(x 2 x 1 ) k(x 3 x 2 ) m 1 m 2 m 3 k(x 2 x 1 ) m 1 g k(x 2 x 1 ) m 2 g k(x 3 x 2 ) m 3 g a) b) c) FIGURA Diagramas de cuerpo libre para las tres masas de la fi gura Las ecuaciones (12.14) y (12.15) se sustituyen en la ecuación (12.13) para dar m d 2 x 1 dt = 2k( x x ) + m g kx (12.16) De esta forma, se ha obtenido una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden para describir el desplazamiento de la primera masa con respecto al tiempo. Sin embargo, advierta que la solución no se puede obtener, ya que el modelo tiene una segunda variable dependiente, x 2. En consecuencia, se deben desarrollar diagramas de cuerpo libre para la segunda y tercera masa (figuras 12.12b y c) que se emplean para obtener m d 2 x 2 dt = k( x x ) + m g 2k( x x ) (12.17)

12 338 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES y m d 2 x 3 dt = m g k( x x ) (12.18) Las ecuaciones (12.16), (12.17) y (12.18) forman un sistema de tres ecuaciones diferenciales con tres incógnitas. Con las condiciones iniciales apropiadas, estas ecuaciones sirven para calcular los desplazamientos de las masas como una función del tiempo (es decir, sus oscilaciones). En la parte siete estudiaremos los métodos numéricos para obtener tales soluciones. Por ahora, podemos obtener los desplazamientos que ocurren cuando el sistema eventualmente llega al reposo, es decir, al estado estacionario. Para esto se igualan a cero las derivadas en las ecuaciones (12.16), (12.17) y (12.18), obteniéndose 3kx 1 2kx 2 = m 1 g 2kx 1 + 3kx 2 kx 3 = m 2 g o, en forma matricial, [K]{X} = {W} kx 2 + kx 3 = m 3 g donde [K], conocida como matriz de rigidez, es 3k 2k [K] = 2k 3k k k k y {X} y {W} son los vectores columna de las incógnitas X y de los pesos mg, respectivamente. Solución. Aquí se emplean métodos numéricos para obtener una solución. Si m 1 = 2 kg, m 2 = 3 kg, m 3 = 2.5 kg, y todas las k = 10 kg/s 2, use la descomposición LU con el propósito de obtener los desplazamientos y generar la inversa de [K]. Sustituyendo los parámetros del modelo se obtiene [K] = {W} = La descomposición LU se utiliza con el objetivo de obtener x 1 = 7.35, x 2 = y x 3 = Estos desplazamientos se utilizaron para construir la figura 12.11b. La inversa de la matriz de rigidez calculada es [K] 1 = Cada elemento de la matriz k 1 ji nos indica el desplazamiento de la masa i debido a una fuerza unitaria impuesta sobre la masa j. Así, los valores 0.1 en la columna 1 nos indican que una carga unitaria hacia abajo en la primera masa desplazará todas las masas 0.1 m hacia abajo. Los otros elementos se interpretan en forma similar. Por lo tanto, la inversa de la matriz de rigidez proporciona una síntesis de cómo los componentes del sistema responden a fuerzas que se aplican en forma externa.