5.3. Interés simple. El interés

Transcripción

1 UNIDAD Interés simple En la actualidad el uso del dinero tiene diferentes vertientes, ya sea para gastar en bienes y servicios o para invertir en un negocio, en una propiedad, etc., sin embargo, cuando se utiliza el dinero para cualquiera de las dos anteriores opciones, y si el dinero no se tiene en propiedad, este causa un sobrepago que normalmente denominamos interés. El manejo del interés se da a partir de dos características, la primera cuando los intereses no forman parte de la propia deuda, es decir no se capitalizan; la segunda es cuando los intereses se van a acumulando, es decir se capitalizan. En este apartado se hablará de la primera característica. Por ejemplo una de las principales funciones de los bancos y las financieras es prestar dinero a las personas y empresas, en otras palabras otorgan créditos; facilitando la devolución del dinero en plazos de tiempo, estableciendo un plazo para cancelar la deuda que se adquiere al pedir prestado dinero para comprar o trabajar. El crédito conlleva la aplicación de una de tasa de interés (sobrepago) a las operaciones de préstamo de dinero; en éstas se calcula el costo del dinero en relación al monto solicitado y a la tasa de interés vigente. El interés Es el precio que se paga por el uso del dinero a lo largo de un periodo de tiempo. La tasa de interés para una transacción determinada se expresa explícitamente de manera frecuente; es decir: una asociación de ahorro y préstamo que puede ofrecer 6.5% de rendimiento al año sobre sus depósitos de ahorro, o una compañía hipotecaria puede ofrecer hipotecas de 20 años de viviendas a una tasa de interés de 12%. Algunas veces la tasa de interés está implícita en la transacción que se efectúa, por ejemplo, algunos bancos comerciales ofrecen cuentas corrientes gratis a los clientes que mantienen un saldo mínimo de x cantidad, debido a que esta misma cantidad x podría ganar interés si fuera depositado en una cuenta de ahorro, existe un costo de interés implícito para los clientes del banco por mantener el saldo mínimo en sus cuentas. El interés simple es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base. Interés simple, es también la ganancia sólo del capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el periodo de transacción comercial

2 análisis matemático financiero La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (periodos menores de un año). El monto que obtenemos con el interés simple aumenta linealmente (progresión aritmética). Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial, es indiferente la frecuencia en la que estos intereses son cobrados o pagados. El interés simple no se capitaliza. Suposiciones generales para calcular el interés Certeza. Es la suposición usada más restrictiva, se supone que todos los valores actuales y futuros sean conocidos, y si no, se utilizarán técnicas que permitan su cálculo. Periodos discretos de tiempo. Este tiempo debe ser dividido en intervalos anuales considerando desde que inicia hasta que termina el último día del año. El presente inmediato se considera como el final del año cero. Cálculo de interés anual. Este interés se calcula una vez al año y el cálculo se hace al final del mismo lo cual reafirma los periodos discretos de tiempo. Debido a estas suposiciones puede definirse la ecuación para el interés i = cit simple como: Donde: I = interés simple C = capital inicial i = tasa de interés anual t = tiempo de inversión Ejemplo 13 Si se realiza una inversión que produzca una entrada de efectivo dentro de dos años a cambio de un flujo inmediato de efectivo, entonces se dice que tiene un flujo al final del año cero y una entrada al final del año dos. Ejemplo 14 Se realiza una inversión de $5 000 el día 15 de marzo, luego de esta fecha se vuelve el tiempo cero, una entrada de efectivo de esa inversión ocurrirá dos años más tarde, es decir, para el 15 de marzo del año dos, produciendo entradas de $

3 UNIDAD 5 Flujo de efectivo $5 000 $1 000 Ejemplo 15 En cuánto se convierte un capital de $ a 10% en dos años a interés simple? Como el interés que produce 1 peso en 1 año es de 10/100 pesos = 0.1 pesos, el interés total es: C = $ t = 1 año i = 0.1 I = Cit C = ($ ) (0.1) (1) = $ Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo $ En el segundo año, el capital vuelve a producir otros $ En los dos años el interés producido es: $ $ = $ Por lo tanto, el capital se convierte a los dos años en: = pesos Se puede obtener directamente el interés a los dos años: I = ( ) (0.1) (2) = pesos En general, si C es el capital, i es la tasa de interés anual y t es el tiempo en años, entonces el interés simple es: i = cit Si el tiempo viene dado en meses la fórmula es: número de meses t = 12 Si el tiempo viene expresado en días la fórmula es: número de días t = 360 El interés simple tiene la propiedad de que el capital inicial permanece constante durante un plazo

4 análisis matemático financiero Ejemplo 16 Calcular el interés simple comercial de: a) $2 500 durante 8 meses a 8% b) $ durante 63 días a 9% c) $ durante 3 meses a 8.5% d) $ a 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre del mismo año. a) C = $2 500 t = 8 meses i= 0.08 Sustituyendo valores: I = (2 500) (8/12) (0.08) = $ b) C = $ t = 63 días i = 0.09 I = (60 000) (63/360) (0.09) = $945 c) C = $ t = 3 meses i = I = (12 000) (3/12) (0.085) = $255 d) C = $ i = 0.10 t =165 días I = (15 000) (0.10/360) (165) = $ Ejemplo 17 Cuál será el interés que se obtenga de un capital de $ si se ha invertido durante 4 años a una tasa de interés de 14%? C =$ i =0.14 t =

5 UNIDAD 5 Sustituyendo valores: i = ($30 000)(0.14)(4) = $ Monto simple Se define como el valor acumulado del capital. Es la suma del capital más el interés, su ecuación es: m = c + i Pero si se sustituye I= Cit Se tiene: m = c + cit = c(1 + it) Ejemplo 18 Una persona pide un préstamo por $ a una tasa de interés de 4.5% anual durante 1 año, cuál será el monto que pagará al final de este tiempo? C =$ i =0.045 t = 1 m = c(1 + it) Sustituyendo valores: m = c(1 + it) = $10 000( (1)) = $ Por lo tanto el monto a pagar será de: $ Ejemplo 19 Calcular el monto a pagar de una deuda de $ al 1 de mayo, si se firmó un pagaré el 16 de marzo del año en curso con un interés de 12%? Utilizando las conversiones de tiempo de días a años (t/360) t = i = días = años C = $ m = c(1 + it) m = ( ( )) = $ El monto a pagar será de: M = $

6 análisis matemático financiero Gráficas del problema de interés simple {(, ( ))/ ( ) } f = t f t m = f t = cit + c Para graficar un problema de interés simple, se define una función lineal cuyo dominio es el tiempo y cuyo rango o imagen es el interés obtenido en determinado periodo de tiempo. Donde: Ci es la pendiente de la función, C es la ordenada en el origen, todos mayores a cero; esto no es otra cosa que la ecuación del monto simple. 1,6 Ejemplo 20 Elaborar la gráfica que presenta el monto de un capital de $1 a una tasa de interés simple de 2% anual, determinando su dominio e imagen. f ( t ) C = 1 i = 0.02 t = variable f ( t) = cit + c f(t) = 1(0.02)t + 1 f(t) = 0.02 t + 1 f(t) = t Graficando entre 0 y 6 Dominio [0, 6] e imagen [1, 1.12] 0, t 2 6 5

7 UNIDAD 5 Valor presente Para encontrar el capital inicial que se requiere invertir durante cierto tiempo a determinada tasa de interés para producir cierto monto, se requiere de un valor presente. m = cit + c = c( it + 1) Despejando C se tiene el valor presente: m c = 1 + it Ejemplo 21 Encontrar el valor presente de $1 400 pagaderos dentro de 5 años, si la tasa de interés es de 2% anual. Sustituyendo los datos proporcionados directamente en la ecuación obtenemos: c = = = $ (0.02)5 1.1 Ecuaciones de valor En ocasiones es necesario reemplazar una deuda o una serie de deudas por otra o por otro conjunto de ellas con diferentes vencimientos. Para que tanto el acreedor como el deudor estén satisfechos con el nuevo esquema de pagos, el valor de éstos debe ser equivalente al valor del esquema original. Las ecuaciones de valor son una igualdad o equivalencia entre dos colecciones de obligaciones evaluadas en un mismo periodo. Cabe mencionar la importancia de determinar para cada caso la fecha de valuación llamada fecha focal, ya que los montos de las obligaciones, en los casos de interés simple varían respecto al tiempo. Los diagramas de tiempo valor son una buena herramienta para el cálculo de las ecuaciones de valor equivalentes. Obligaciones A Consideradas en el tiempo 2 Fecha de valuación X X 1 2 Obligaciones B Consideradas en el tiempo 2 X n 1 X n 2 6 6

8 análisis matemático financiero Ejemplo 21 Una empresa firma un pagaré por $ a 90 días a 6%; 30 días después, firma otro pagaré por $ a 90 días sin intereses, 60 días después de la primera fecha, acuerda pagar $ y recoger los pagarés reemplazando éstos por uno sólo a 120 días, contados desde la última fecha, con un rendimiento de 12%. Determine el pago convenido X Se determina la fecha focal de 180 días, se deben calcular los diferentes valores en esta fecha para plantear la ecuación de valores equivalentes. Valores recientes: 1 x (0.12) 3 Valores anteriores: (0.06) 1 + (0.12) (0.12) Se igualan valores: 1 x (0.12) = (0.06) 1 + (0.12) (0.12) x = = x = x = x = x = $

9 UNIDAD 5 Actividad 1 1. Calcule el valor de la variable desconocida para cada uno de los siguientes problemas: Depósitos en el año cero Tasa de interés Número de años Cantidad final $ % 12 $ $ % 7 $7 000 $ % $9 000 $900 5 % $ % 10 $ $ $ $ $ Usted le pide prestados $2 000 a un banco en estos momentos y acuerda pagar el préstamo haciendo un pago de $2 800, tres años después qué tasa de interés le está cobrando el banco? 3. Se depositan diez pagos anuales de $2 000 cada uno a una cuenta que paga 85% de interés. Los pagos comenzarán 5 años más tarde, cuánto dinero estará disponible inmediatamente después del último pago? 4. Cuál es el valor actual en el año cero de una anualidad de 10 pagos que paga $ al año, si el primer pago se recibe 6 años después y si la tasa de descuento es 15%? 5. Encontrar el valor actual, a 5% de interés simple, de $ con vencimiento en 9 meses

10 análisis matemático financiero 5.4 Interés compuesto Con anterioridad hablamos de progresiones geométricas, de las cuales la aplicación más clara es la que consideramos en el momento de calcular el interés compuesto sobre un capital prestado. Cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco paga intereses. Esos intereses se van acumulando e integrando a la propia deuda y a esto se le conoce como capitalización. Es importante mencionar que en la actualidad el tipo de interés que se maneja con mayor regularidad en los procesos comerciales y financieros es el interés compuesto y uno de los principales ejemplos son las tarjetas de crédito. Interés compuesto Es la cantidad que resulta de sumar al capital inicial todos los intereses calculados al final de cada uno de los periodos contemplados en un tiempo determinado. El crecimiento natural es una variación proporcional a la cantidad presente en todo instante; tal es el caso del crecimiento de las bacterias o el de las células del cuerpo, cuyo crecimiento es continuo en el tiempo. En la capitalización a interés compuesto encontramos un crecimiento continuo en función del tiempo. Periodo de capitalización Ejemplo 22 Si un interés se capitaliza 4 veces al año, el periodo de capitalización es de 3 meses. Es decir que en un año se tienen cuatro trimestres. Frecuencia de capitalización Es el número de veces por año en que el interés se suma al capital. Ejemplo 23 Si un interés se capitaliza trimestralmente, la frecuencia de capitalización es

11 UNIDAD 5 Conversión de pagos simples a compuestos Cuando una cantidad acordada de dinero se deposita en una cuenta que soporta un interés y se le permite que obtenga intereses por varios años, el valor monetario resultante recibe el nombre de cantidad compuesta. Nos referimos al depósito de original como el capital. Al proceso de añadir interés y determinar la cantidad compuesta resultante se le llama compuesto. La frecuencia del compuesto es el número de veces anuales que el interés se le añade a la cuenta de depósito. Ejemplo 24 Una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco pagará intereses en cuánto se convierte un capital de $ a 10% en dos años a interés compuesto? a) El depósito se efectúa en el año cero. Al final del primer año la cantidad compuesta disponible es: Cantidad compuesta = $ $ (10%) = $ $ (0.1) = $ $ = $ b) Al final del primer año los $ ganados no se retiran, por lo que el capital, al empezar el segundo año, es de $ Cantidad compuesta = $ $ (10%) = $ $ (0.1) = $ $ = $ En el primer año la ganancia del capital es de: $ (0.1) = $ En el segundo año el interés de $ es: ($ ) (0.1) = $ Al final de los dos años el interés producido es: $ $ = $ Utilizando el ejemplo anterior en donde el capital de $ aumentó a una cantidad compuesta de $ en un periodo de dos años. El incremento del capital inicial $ se debió enteramente al interés. Se ganó la cantidad de $ en el año 1, y $ en el año

12 análisis matemático financiero De los $ ganados al final del periodo, $ se produjeron en el segundo año debido a 10% que se aplicó a $ de los primeros intereses ganados en el primer año, ya que se mantuvo en depósito en el segundo año; los $ es el interés ganado sobre el interés y recibe el nombre de interés compuesto. La ecuación básica se puede obtener con las variables involucradas junto con sus representaciones simbólicas. Se tiene entonces que: C = capital en el tiempo cero i = tasa de interés anual n = tiempo o número de periodos sobre los que el capital genera intereses compuestos. C t = cantidad compuesta después de t años. La cantidad compuesta disponible un año después que el principal se ha depositado es: C 1 = C + C (i) C 1 = C(1 + i) Si a C 1 se le permite ganar intereses por un año entonces: C 2 = C 1 + C 1 (i) C 2 = C 1 (1 + i) Sustituyendo C 1 C 2 = C( 1 + i)(1 + i) C 2 = C(1 + i) 2 Entonces de acuerdo con los datos del ejemplo la ecuación quedará: C = ($ ) ( ) 2 = $ En general, el capital final o cantidad compuesta (C t ) que se obtiene n i ct = c 1 + a partir de un capital C en t años al tanto por ciento anuales (i), se 100 calcula con la fórmula. Cuando el capital inicial se invierte durante varios periodos y al final de cada periodo se suman los intereses obtenidos al capital y se reinvierten, se están calculando intereses sobre intereses devengados. Ejemplo 25 Encontrar el capital compuesto sobre $8 000 después de 3 años, si la tasa de interés anual es de 4%. C = $8 000 i = 4% n = 3 años 2 7 1

13 UNIDAD 5 n i ct = c c 3 4 = = 8000( ) c 3 = 8000(1.4) = 8000(2.744) = C 3 = $ Monto compuesto o valor futuro m = c(1 + i) n 3 Es la cantidad que resulta de sumar al capital inicial todos los intereses calculados al final de cada uno de los periodos contemplados en el lapso considerado; dicho de otra forma es el capital más los intereses capitalizados. El monto de un capital al final de un periodo se obtiene multiplicando dicho capital por el factor (1 + i), al final del segundo periodo se tiene: m = c(1 + i)(1 + i) Al final del tercer periodo: m = c(1 + i)(1 + i) (1+i) Generalizando: m = c(1 + i) n Donde: M = monto compuesto C = capital a invertir i = interés ganado n = tiempo Ejemplo 26 Un banco ofrece una tasa de 10% para cuentas de ahorro. Encontrar el monto de un depósito de $5 000 después de 5 años. C = $5 000 i = 10% n = 5 años m = c(1 + i) n 5 5 m = 5 000( ) = 5 000(1.1) = 5 000( )= m = $

14 análisis matemático financiero Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la operación; se le llama así porque representa el porcentaje de rendimiento aparente y se denota por (i) m. Sin embargo si el interés se capitaliza semestral, trimestral o mensualmente, la cantidad efectiva pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. La tasa efectiva anual es menor que la tasa nominal anual debido a que el interés de esta última se capitaliza m veces al año. Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto. Tasa efectiva: m ic i = m De esta fórmula se puede despejar la tasa nominal Tasa nominal: 1 m m i = m (1 + i) 1 Nota: en caso de que el dinero se invierta durante n años, se tiene la equivalencia: (1 ) 1 n + i = + m i m m n Ejemplo 27 Cuál será la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal de 5% anual convertible bimestralmente? i m = 0.05 m = 6 (1 ) 1 n + i = + Sustituyendo: m i m 6 m n 0.05 i =

15 UNIDAD 5 i = ( ) 6 1 i = i = Por lo tanto, la tasa efectiva equivalente será de , que es aproximadamente 5.11% Ejemplo 28 Encontrar la tasa nominal i m convertible trimestralmente, equivalente a una tasa efectiva de 5% anual. i = 0.05 m = 4 1 m m i = m (1 + i) 1 Sustituyendo valores: m i = 4 ( ) 1 = 4 (1.05) 1 = m i = = 4(0.012) = m i = 4.9% La tasa nominal convertible trimestralmente será de que es aproximadamente 4.91% Cálculo de la tasa de interés efectiva En la fórmula del interés compuesto, si se conoce el valor presente C, el valor futuro M y el tiempo n, sólo queda determinar el valor de i. m = c(1 + i) n m (1 ) n c = + i Despejando i se tiene: 1 n m i = 1 c 2 7 4

16 análisis matemático financiero Ejemplo 29 Cuál es la tasa de interés anual efectiva, necesaria para que un capital inicial de $1 200 se incremente a $1 600 en 6 años?. M = $1 600 C = $1 200 n = 6 Sustituyendo valores: i = 1 i = ( ) i = Por lo tanto, i = 4.91% Cálculo del tiempo Utilizando la ecuación del monto compuesto M = C ( 1 + i ) n Despejando n log m = log c + nlog(1 + i) log m log P = nlog(1 + i) log m log c n = log(1 + i) Ejemplo 30 Encontrar el tiempo n, en que un capital de $2 000 se convertirá en $3 500 si la tasa de interés efectiva es de 4% anual. M = $3 500 C = $200 i = 0.04 Sustituyendo valores en: log m log c n = log(1 + i) log log n = = = = log( ) Por lo tanto: n = años 2 7 5

17 UNIDAD 5 Valor actual a interés compuesto El valor actual a interés compuesto de un dinero que se reciba en fecha futura es aquel capital que, a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempo un monto equivalente a la suma de dinero que se reciba en la fecha convenida. Si el interés es efectivo: m = c(1 + i) n Si el interés es nominal: m i m = c 1 + m Donde: mn C = Capital inicial o valor presente i = interés efectivo i m = interés nominal n = tiempo m = número de veces que se capitaliza el interés La fórmula general del interés compuesto permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Utilizando la ecuación: m = c(1 + i) n Se obtiene: Para una tasa efectiva: m c = (1 + i) n O bien para una tasa nominal: m m i c = = m 1 m mn + i m 1 + m mn Ejemplo 31 Hallar el valor presente de $5 000 pagaderos en 5 años, a la tasa efectiva anual de 6%. C = $5 000 i = 0.06 n =

18 análisis matemático financiero Sustituyendo valores en: m c = (1 + i) n c = = = 5 5 ( ) (1.06) c = = C = $ Ejemplo 32 Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga 15% con capitalización trimestral, para disponer de $ al cabo de 10 años. i m = 0.15 efectiva trimestral n = 10 años m = 4 M = $ C =? m c = m i 1 + m mn c = = = (10)(4) ( ) c = = = (1.035) c = $ Actividad 2 1. Un joven empresario quiere saber cuál es el valor futuro de que tiene disponibles en este momento para ahorrar. Si la tasa de interés compuesto que asigna el banco es de 8% capitalizable bimestralmente y desea ahorrarlos durante 8 años. 2. Un prestamista desea ganar 15% anual sobre préstamos, cobrando intereses capitalizables semestralmente. Cuál es la tasa nominal que deberá cobrar? 2 7 7

19 UNIDAD 5 3. Dos amigos desean saber cuál será el monto de y pesos respectivamente si ambos ahorran ese dinero durante 8 años a 5.5% de interés, el primero trimestralmente y el segundo semestralmente. 5.5 Evaluación de alternativas financieras de negocio En la actualidad de los negocios, los procesos de toma de decisiones se dan a partir de llevar a cabo adecuadas evaluaciones de diferentes opciones o alternativas, y el caso financiero no está exento de ello. Por ello, es que la evaluación se debe llevar de la manera más objetiva posible, donde la visión cuantitativa sea la base de una decisión efectiva. Hoy en día todas las empresas deben de llevar a cabo una evaluación de alternativas financieras, si es que desean permanecer en el mercado y desarrollarse en su entorno de negocios. Para llevar a cabo una evaluación efectiva, primeramente hay que identificar si hay o no alternativas de negocio, para enfrentarse a la toma de decisiones. Pero, qué es la evaluación de alternativas? La evaluación de alternativas de negocio consiste en comparar los costos con los beneficios que estos generan, para así decidir sobre la conveniencia de llevarlos o no a cabo. Esto pretende afrontar el problema de la asignación de recursos en forma explícita, recomendando a través de distintas técnicas, la selección de una determinada iniciativa por encima de otras alternativas del proyecto. Se debe mencionar que la evaluación de alternativas de un negocio puede verse desde una perspectiva financiera, económica y social en donde las dos primeras determinan la capacidad de rentabilidad de un proyecto desde una cuestión meramente cuantitativa. Para la evaluación social, interesa el flujo de recursos reales utilizados y producidos por el negocio. Para la determinación de los costos y beneficios pertinentes, la evaluación social precisará de la situación del país con la ejecución del proyecto versus esta misma situación pero sin la realización del proyecto en cuestión. Análisis de alternativas Una vez generadas las alternativas y sus probables consecuencias cuantitativas, se selecciona la mejor de ellas. Para ello se recomienda hacer las siguientes consideraciones. 1. Encontrar una diferenciación en tamaño de la alternativa, pues no se puede llevar a cabo el mismo análisis para una alternativa mayor que otra. No se puede invertir en un negocio más de lo que es posible de redituar

20 análisis matemático financiero 2. Considerar el método de análisis a aplicar, existen dos modalidades: los cualitativos y los cuantitativos. Los métodos cuantitativos proporcionan un grado mayor de precisión que los cualitativos, lo que reduce la incertidumbre y aumenta la probabilidad de obtener éxito. Sin embargo, en la realidad la mezcla estratégica de las dos modalidades coadyuva en la toma de decisiones más efectiva. De esta forma, podemos definir a la evaluación de una alternativa de negocio como un plan al cual si se le asignan recursos de capital y se le proporcionan insumos podrá generar un bien o servicio que permita satisfacer una necesidad. Objetivo La evaluación de alternativas de negocio de inversión tiene por objetivo conocer su rentabilidad económica y social de manera que resuelva una necesidad humana en forma eficiente, segura y rentable, asignando así de manera adecuada los recursos económicos con que se cuentan a la mejor alternativa. Conozcamos entonces cuáles pueden ser estos métodos que permiten llevar a cabo el análisis de alternativas, a través de los métodos cuantitativos. Valor del dinero a través del tiempo Es la relación que existe entre el interés y el tiempo lo que define el valor del dinero. El dinero modifica su valor en el tiempo, por ello cualquier empresa debe considerar el tiempo en las inversiones o préstamos que realiza, así como en la esquematización de las diferentes alternativas. Ahora bien, existen tres razones de peso para considerar el valor del dinero en el tiempo: El riesgo de ser infructuosos: riesgo de no recibir el capital en el momento futuro. El riesgo inflacionario: es el riesgo de que con el monto recibido no se obtenga el mismo grado de satisfacción en el futuro que hoy. Costo de oportunidad: del uso del capital en un momento y no en otro o para una situación y no para otra. Valor futuro: Interés simple o interés compuesto Cualquier inversión razonable o dinero depositado, debe dar un aumento de valor en el tiempo. La diferencia entre ambos intereses radica en que el interés compuesto genera intereses sobre los intereses, en cambio en el interés simple, el interés es sólo función del capital

21 UNIDAD 5 Ejemplo con interés simple Supongamos que un empresario hace un préstamo a un año a uno de sus trabajadores por $ sin intereses. También tiene la opción de depositar la misma cantidad en un banco durante una año que da un interés anual del 10% y finalmente también debe considerar la opción de depositar la misma cantidad de capital, pero esta inversión pone como plazo mínimo 3 años. Cuál sería la mejor alternativa de negocio? a) Préstamo al empleado: $ b) Depósito en el banco a un año: $ c) Depósito en el banco a tres años: $ En términos meramente matemáticos, parecería fácil decidir y seleccionar una alternativa, ya que de primera instancia la opción 3 es la que mayor ganancia reditúa, sin embargo, habría que contextualizar muy bien las opciones, y esa es una actividad inherente a la evaluación de alternativas de negocio, es decir, el contextualizar las respuestas a la situación. En nuestro caso la opción c) da mayor interés, pero que tal si el empresario a los dos años requiere por un imprevisto su dinero, la respuesta sería que no podría hacer uso de su capital hasta el término del periodo pactado, pero observemos si el empresario decide hacerle el préstamo a su empleado, en primera instancia no recibiría ningún interés por el préstamo, y parecería que es la peor opción o alternativa, sin embargo, que tal si ese empleado ha sido un excelente colaborador y además esto incide en una motivación personal que se verá reflejada en un mayor nivel de aportación del empleado a través de su trabajo en la empresa y esto genera más utilidades para el negocio. Como podemos observar el proceso de evaluación de alternativas debe ir acompañado de una adecuada contextualización y la visión estratégica del proyecto o negocio. Ejemplo con interés compuesto Supongamos que un inversionista deposita $ en un banco a una tasa anual de 10%. Cuánto tendrá al cabo de un año y al cabo de tres? Cuál es la mejor opción? a) Luego de un año, el inversionista tendrá: $ b) Al tercer año habrá conseguido tener: $

22 análisis matemático financiero Y nuevamente la pregunta sería cuál es la mejor opción; la respuesta es: depende de la contextualización y situación del inversionista y la empresa. Y = Monto del capital Y = i + Xi 1+ni 1+i 1+2i 1+3i n 2 n 1 n Crecimiento del interés compuesto Periodos Equivalencia asumiendo interés compuesto En la mayoría de las estimaciones de las operaciones financieras se aplica el interés compuesto por ser el más conveniente para tratar de respetar el valor del dinero en el tiempo. La forma en que se manejan los flujos de efectivo puede ser de las siguientes formas: Flujos de efectivo únicos. Series uniformes de flujos de efectivo. Flujos de efectivo con gradientes aritméticos. Flujos de efectivo con gradientes geométricos. Flujos de efectivo únicos Expresando gráficamente esto tenemos: P Dinero presente Monto en el futuro F n 1 n Valor presente y valor futuro periodos 2 8 1

23 UNIDAD 5 Expresado matemáticamente tenemos: F = P(1 + i) n Donde F = cantidad futura (monto) P = cantidad presente (capital) n = número de periodos (tiempo) i = tasa de interés Esto significa que para una cantidad de dinero prestada en el presente a un interés i en n periodos de tiempo encontrará su equivalencia en el futuro, encontrando el valor al cual corresponderá tener el dinero en el presente o en el futuro, una vez liquidado el préstamo, lo cual nos permite tomar una decisión financiera más efectiva. Ejemplo 33 Un inversionista solicita un préstamo al banco por la cantidad de $ para comprar máquinas despachadoras de café y refrescos para su negocio. El préstamo lo pagará al cabo de 5 años, pagando por ello una tasa de interés de 22% anual. Cuánto pagará al término del periodo? i = 22% = 0.22 P = n = 5 F = P(1 + i) n Sustituyendo F = ( ) 5 F = El costo de su inversión expresada en pesos es: $ (lo que pidió prestado y lo que realmente pagó, da como resultado el costo de la inversión). Esto es lo que hay que evaluar, si con la inversión y operación de las máquinas despachadoras se recupera lo que tiene que pagar y si aun después de la liquidación del préstamo queda un excedente. Series uniformes de flujos de efectivo Como su nombre lo expresa, significa que al final de cada periodo, se depositará un efectivo que en todo momento será constante, para ello será necesario llevarlo a equivalencias en el presente y en el futuro

24 análisis matemático financiero Representado gráficamente tenemos una serie de depósitos constantes al término de cada periodo y su equivalencia en el futuro. F n 2 n 1 n A A a A A A A Serie uniforme de flujos de efectivo y cantidad futura Expresado matemáticamente tenemos: n (1 + i) 1 F = a( ) i Donde: F = cantidad futura total acumulada al final de los periodos. A = flujo neto al final de cada periodo. n = numero de periodos en los cuales se estarán acumulando las cantidades A. i = interés a pagar en cada periodo acumulado. Esto significa que irá depositando cantidades iguales al final de cada periodo, en tiempos iguales, y que en cada uno de ellos se cargará un interés fijo, que además es acumulativo lo que incrementará el monto y lo llevará a equivalente en el tiempo, para su uso como si fuera en el presente. Ejemplo 34 El inversionista que solicitó un préstamo para máquinas despachadoras, quiere rentar uno de sus kioscos y necesita saber cuánto recibirá al final del tercer año, si la renta se incrementa en 05% mensual y la renta actual es de $ F n (1 + i) 1 = a ( ) i Sustituyendo: F = 36 (1 +.05) ( ).05 F = $

25 UNIDAD 5 Flujos de efectivo con gradientes aritméticos Como los negocios generan flujos de efectivo crecientes y decrecientes en incrementos y decrementos constantes en cada periodo, se convierte en una necesidad, adquirir los conocimientos y las habilidades necesarias para poder calcular estas variaciones y determinar si la alternativa de negocio fue o será la adecuada. Expresando gráficamente esto es: g g g g A n 2 n 1 n Flujos de efectivo de gradiente aritmético La expresión matemática de lo anterior es: A 2 = g 1 n = ( ) (1 + ) 1 a2 g i i n Donde: A 2 = flujos de gradiente del año 2 en adelante. g = cantidad gradiente constante que se incrementará en cada flujo en cada periodo. i = interés que se pagará en cada periodo. n = periodos en los que se lleva a cabo el movimiento de la inversión. Esto significa que A 1, que es el flujo de efectivo del primer año, se verá incrementado en un gradiente g de magnitud constante a partir del año dos, y por lo tanto a partir del segundo año y para cada año hasta el año n 2, se irán incrementando flujos de efectivo constantes de gradiente g. Si embargo, en el siguiente esquema podemos ver de manera equivalente cómo se van incrementando los flujos de efectivo en periodos iguales a tamaños de g iguales, lo que lo convierte en una forma equivalente de observar el incremento constante de gradiente g a los flujos de efectivo futuros

26 análisis matemático financiero A 2 A n 2 n 1 n Flujos de efectivo equivalente Ejemplo 35 El inversionista que cuenta con kioscos para servicio de cafetería y centros para sap piensa abrir una cuenta de ahorros que paga una tasa de 16% anual. Su primer depósito será de $ y debido a que las ganancias por sus negocios se incrementan gradualmente, también desea ahorrar incrementando sus depósitos en 10% anual constante. Qué cantidad deberá ahorrar, para que la cantidad acumulada al final de 5 años sea la misma? 1 n = ( ) (1 + ) 1 a2 g i i n Sustituyendo: 1 5 a2= ( ) ( ) a2= ( ) A 2 = ( ) A 2 = (1.71) A 2 = A 2 = Flujos de efectivo con gradientes geométricos Pensando en qué momentos podemos tener flujos de efectivo de gradiente geométrico, concluimos que esta situación se presenta en situaciones inflacionarias o en épocas de recesión, donde los flujos de efectivo se incrementan o decrementan de manera constante en un factor K th

27 UNIDAD 5 Expresado de manera gráfica tenemos: A I A I 1 a I 2 A 1 A2 A n 2 n 1 n Flujos de efectivo con gradiente geométrico Expresado de manera matemática tenemos: P Para: i j P 1 (1 + j) /(1 + i) n n = a1 n a 1 = ( ) 1 + j ( i j) Para: i = j Donde: P = valor presente de los flujos de efectivo. n = periodos de cambio. A 1 = flujo neto de efectivo en cada periodo. j = porcentaje fijo de cambio de cada flujo de efectivo. Ejemplo 36 Un inversionista desea destinar un fondo de ahorro para construir un nuevo sap. Este nuevo negocio contará con más servicios y nuevas tecnologías de tratamientos, la construcción del centro se llevará a cabo en un año, mismo en el que se presentan situaciones inflacionarias debido a los cambios políticos en el país. Los costos de construcción se incrementarán en 3.5% trimestral. Si el inversionista inicia su ahorro depositándolo en una cuenta bancaria que paga 2.5% trimestral. Cuánto tendría que depositar el inversionista si el primer pago de construcción es de $ y suponiendo que deberá pagarlo en el primer trimestre de la obra? 2 8 6

28 análisis matemático financiero P = n n 1 (1 + j) /(1 + i) a1 ( i j) Para: i j Sustituyendo: ( ) /( ) P= ( ) Para i j P = Ecuaciones de valor Existen diferentes problemas en los cálculos financieros, pero uno de ellos que es básico y muy importante es el de las inversiones equivalentes, es decir, que en valor del dinero y el tiempo produzcan el mismo resultado económico, lo cual puede ser supuesto y resuelto a través de las ecuaciones de valor equivalente. Lo anterior también puede utilizarse, para resolver entre diversas alternativas de negocio existentes y desde el punto de vista financiero, es fundamental plantear ecuaciones de valor equivalentes, para que por medio de ellas se logre identificar la opción que más satisfaga las expectativas del inversionista. Ecuación de valor Es una igualdad entre dos conjuntos de obligaciones, valuadas todas a una misma fecha llamada fecha focal. Fecha focal o fecha de valuación Es la fecha que se elige para efectuar la equivalencia para cada caso y determina con exactitud los montos de las obligaciones. Recordando que para los casos de interés simple los montos varían de acuerdo con el tiempo. La fecha focal es elegida arbitrariamente en la línea de tiempo a la cual harán referencia las obligaciones y pagos para definir la ecuación de valor correspondiente. Lo importante de un buen análisis para la determinación de esta fecha, se fundamenta en el hecho de que debe corresponder estrictamente a lo pactado en los pagarés

29 UNIDAD 5 Si una persona decide en determinado tiempo cambiar la forma de liquidar alguna de las obligaciones que haya acordado, mediante pagos de cantidades diferentes a las previstas inicialmente y en tiempos distintos a los previamente establecidos, esto es posible siempre y cuando sea equivalente el monto a pagar del monto inicial. Derivado de lo anterior es importante recordar que: 1. Un mismo monto situado en dos fechas desiguales es diferente. 2. Cuando las fechas focales cambian producen variaciones en la determinación de lo montos. 3. Únicamente si las fechas coinciden, es posible sumar, restar o igualar distintos montos. Si una persona adquiere una deuda que pagará entregando $100 el día de hoy y $50 dentro de un año, y decide liquidar su deuda con un pago único en este momento, sería un error hacer el pago por la cantidad de $150 ya que debe solicitar una bonificación por el pago anticipado de $50 que vence en un lapso de un año. En el supuesto que tanto el acreedor como el deudor se sujeten a las reglas del interés simple, deben pactar una tasa de interés para la operación, con lo cual se determinará el valor actual de los $50. Por lo tanto, si la tasa anual es de 5% el valor actual de los $50 es: Utilizando la fórmula: P s = ( ) 1 + rt Donde: P = Capital inicial. S = Monto. r = Tasa de interés. t = Tiempo medido en años. Sustituyendo: 50 P = ( ) 1 + (0.05)(1) P = De lo cual podemos afirmar que si la persona desea hacer un pago único el día de hoy el monto será de $ Continuando con el ejemplo, supongamos que el deudor no cuenta con los $100 para pagarlos en este momento y solicita al acreedor una prorroga de un año para liquidar su deuda, si el interés es el mismo el pago que deberá de hacer es: 2 8 8

30 análisis matemático financiero Utilizando la fórmula: P = Donde: P s ( ) 1 + rt S = monto P = capital inicial r = tasa de interés t = tiempo medido en años = s ( ) 1 + rt Despejamos el monto: s = P (1 + rt) Sustituyendo en la fórmula tenemos: S = (100) (1 + (0.05)(1)) S = (100) (1.05) S = 105 Por lo tanto el pago total a un año es de $155, de lo cual se puede resumir: $100 ahora y $50 en un año son equivalentes $ ahora si la tasa de interés En la resolución de problemas en los cuales se deban combinar diferentes capitales, estos deben ser trasladados a la misma fecha, la cual se conoce como fecha focal o fecha de comparación. Un método recomendado para la definición de una ecuación de valor es: a) Elaborar un diagrama de tiempo donde se coloquen las obligaciones de un lado de la línea y los pagos del otro. b) Definir la fecha focal. c) Plantear la ecuación de valor donde se igualen las obligaciones originales y los correspondientes pagos, trasladando los montos a la fecha focal. Resulta evidente que el traslado de los pagos puede darse de dos formas tomando como referencia la fecha focal: la primera el traslado en el tiempo en sentido positivo (derecha) y la segunda es en sentido negativo (izquierda), si se hace un traslado positivo se capitaliza el pago, por lo tanto se aplican las fórmulas del monto, en cambio, si se hace un traslado negativo se descuenta aplicando la fórmula de valor presente

31 UNIDAD 5 Ejemplo 37 Una persona adquiere una deuda donde debe pagar $300 en 6 meses y $400 en un año. Si decide que hace un pago único el día de hoy por el equivalente de su deuda teniendo una tasa de interés simple de 20% Cuál es el monto a pagar? a) Elaboración del diagrama de tiempo. Fecha focal Deudas originales $300 $ $x pago al contado Obligaciones b) Definición de la fecha focal. Se tomará como fecha focal el día de hoy. c) Planteamiento de la ecuación de valor. Para el primer monto tendríamos: ( s P ) 1 = 1 + rt Para el segundo monto tenemos: =( s P ) rt El monto total a pagar a la fecha de hoy es: P t = P 1 + P 2 P s 1 2 t = ( ) + ( ) 1 + r t 1 + r t 1 2 s Como el primer monto a pagar estaba definido a seis meses, eso equivale a medio año o 0.5 de año, por lo tanto el t 1 es 0.5 Sustituyendo tenemos: P t = ( ) + ( ) 1 + (0.20)(0.5) 1 + (0.20)(1) O también: P t = ( ) + ( ) 1 + (0.20)( 1 ) 1 + (0.20)(1)

32 análisis matemático financiero P t = ( ) + ( ) P t = P t = Nota: Es recomendable para plantear una ecuación de valor asignar x a la variable que se va a calcular x = + = $ (0.20. ) 1 + (0.20.1) 2 Ejemplo 38 Una persona debe $1 000 a pagar en un año a un interés de 14%. Si realiza un trato en el que liquidará su deuda en dos pagos de la misma cantidad a los 3 y 9 meses, de cuánto serán los pagos si se respeta el interés inicial? Es necesario calcular cuál será el monto de la deuda de $1 000 a un año con un interés de 14%. s = P(1 + rt) = 1 000(1 + (0.14 1)) = a) Elaboración del diagrama de tiempo. Fecha focal $1 140 Pagos al año Pagos $x 3 meses $x 9 meses Obligaciones b) Definición de la fecha focal. Se tomará como fecha focal el día de pago en 12 meses. c) Planteamiento de la ecuación de valor. Para el primer pago tenemos: s = P (1 + rt) 2 9 1

33 UNIDAD 5 Para el segundo pago tenemos: s = P (1 + rt) Total a pagar: s = P (1 + rt) + P (1 + rt) 1 2 Sustituyendo: s = P(1 + (0.14)( 3 ) (1 (0.14)( ) O también: s = P(1 + (0.14)(0.75) + P (1 + (0.14)(0.25) Como: S = obtenido anteriormente Tenemos ahora que: = 1.10P P Sumando: = 2.135P Despejando P P = = Cada pago será de $ Nota: es recomendable en el planteamiento de la ecuación asignar x a la variable a calcular. 3 1 x(1 + (0.14. )) + x(1 + (0.14. )) = x x = Ejemplo 39 Una persona contrae una deuda de $6 000, acordando un primer pago de $2 000, después de 4 meses, un segundo pago 8 meses después de la fecha inicial de $ Si la tasa de interés es de 9% qué cantidad deberá pagar a los 12 meses para saldar la deuda? a) Elaboración del diagrama de tiempo. b) Definición de la fecha focal. La fecha será el último día de pago. c) Planteamiento de la ecuación de valor

34 análisis matemático financiero $6 000 Fecha focal Pagos $x 4 meses $x 8 meses Obligaciones Nota: Es recomendable asignar la variable x para el valor a calcular. x = P ( 1 + r t) P ( 1 + r t) P ( 1 + r t) Sustituyendo tenemos: x = 6 000(1 + (0.09)(1)) 2 000(1 + (0.09)( 2 ) 2 000(1 (0.09)( ) x = (6 000) (1.09) x = x = Nota: Es recomendable en el planteamiento de la ecuación asignar x a la variable a calcular. 2 1 x =6 000 (1 + (0.09 1)) (1 + (0.09 ) 2 000(1 + (0.09 ) 3 3 Las ecuaciones de valor pueden presentarse también en los casos del interés compuesto, para esta situación se tiene que si se desea conocer el valor de una cantidad en el futuro sólo basta con aplicar el factor (1+i) n, y si se desea conocer el valor presente se aplicará el factor (1+i) -n. Ejemplo 40 Una persona adquiere dos deudas, por una de ellas debe pagar $3 000 pasados 2 años y por la otra debe pagar $2 000 al final del primer año. Se fija una tasa de interés anual de 12% convertible cuatrimestralmente. Cuánto es el monto que debe pagar el deudor si quiere saldar su deuda hoy? 2 9 3

35 UNIDAD 5 a) Elaboración del diagrama de tiempo. Fecha focal 1 2 x $2 000 $ (1.04) 3 b) Definición de la fecha focal. La fecha focal es hoy. c) Planteamiento de la ecuación de valor. 3 6 x = 2 000(1.04) (1.04) = = $ Ejemplo 41 Se compra un vehículo a un particular por la cantidad de $ el comprador da un adelanto de $ y firma 2 pagarés de $5 000 cada uno que serán efectivos en los siguientes dos años. Si se carga un interés de 7% convertible semestralmente, de cuánto debe ser el tercer pago que se efectuará al tercer año? a) Elaboración del diagrama de tiempo Fecha focal $5 000 $5 000 x Total: $ Adelanto: $ Saldo: $ b) Definición de la fecha focal. Se toma como fecha focal el día del tercer pago. c) Planteamiento de la ecuación de valor. 3 2 x = ( ) 5 000( ) 5 000( ) 2 9 4

36 análisis matemático financiero x = ( ) 5 000(1.0712) 5 000(1.035) x = x = $ Este resultado se puede comprobar con la siguiente tabla: Tasa de interés Cantidad original Interés al primer año Total al primer año Primer abono Saldo Interés del segundo año Total al segundo año Segundo abono Saldo Interés del tercer año Total Actividad 3 1. Cuántos años se necesitan para que un depósito de $ aumente a $ cuando el interés anual es compuesto a 6%? 2. Un préstamo de $ se pagará como el capital y el interés al final del año 3 haciendo un pago de $15 000, cuál es la tasa de interés sobre el préstamo? 3. Un inversionista contrae una deuda de $80 000, acordando un primer pago de $ después de 3 meses, un segundo pago 6 meses después de la fecha inicial de $ Si la tasa de interés es de 6%, qué cantidad deberá pagar a los 12 meses para saldar la deuda? 2 9 5

37 UNIDAD Anualidades En general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos de pago anuales. Algunos ejemplos de anualidades son: Pagos mensuales por renta. Cobro quincenal o semanal por sueldo. Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito. Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida. Concepto Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones: 1. Todos los pagos son de igual valor. 2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo. 3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa. 4. El número de pagos debe ser igual al número de periodos. Un ejemplo común de esta clase de pagos es la compra de una casa o un vehículo a través de un crédito, el pago de una pensión, etcétera. Al intervalo de tiempo entre cada uno de los pagos de la anualidad se le conoce como intervalo de pago o periodo de renta. Al tiempo transcurrido desde el comienzo del primer periodo hasta el final del último se le llama plazo de la anualidad. La renta periódica es el monto de cada uno de los pagos expresada en unidades monetarias

38 análisis matemático financiero Clasificación Las anualidades pueden clasificarse a partir de diferentes criterios como se muestra en la siguiente tabla: Criterio Tipo Definición Ciertas Son aquellas en las que sus fechas de pago son fijas. Ejemplo, la compra de un bien en la que se fija la fecha del primer pago y la del último. Tiempo Contingentes Son aquellas en las que la fecha del primer pago, la fecha del último, o ambas, no se fijan de antemano; depende de algún hecho en particular que deberá ocurrir, pero que no se sabe cuando. Ejemplos, las pensiones privadas, las del seguro social y las pólizas de seguros. Interés Simples Son aquellos en las que el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Por ejemplo, el pago de una renta mensual x con intereses al y% anual capitalizable mensualmente. Generales Son aquellos cuyo periodo de interés e intervalo de pago no coinciden. Pagos Vencidos Anticipados También se conocen como anualidades ordinarias y se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. Son aquellos en los que los pagos se efectúan al inicio del intervalo del pago, debiendo efectuarse el primer pago de inmediato. Por ejemplo, las primas de seguros y rentas sobre la propiedad. Iniciación Inmediatas Anticipada Vencida Son aquellas que se cobran inmediatamente después de la formalización del contrato. Por ejemplo, la compra de bienes con pagos a mensualidades y la primera se paga en el momento de la compra o un mes después. Diferidas Son aquellas en las que los cobros o pagos serán un tiempo después de adquirido el bien

39 UNIDAD 5 Monto de una anualidad Para calcular el monto de una anualidad es necesario sumar cada una de las rentas periódicas con su respectivo interés compuesto, por ejemplo: Una persona deposita anualmente $500 en una cuenta que le paga 6% de interés capitalizable anualmente, cuál será el monto acumulado de la cuenta, después de realizar el cuarto depósito? a) Diagrama de tiempo. Hoy Fecha focal $1 140 Pagos al año $500 $500 $500 $ (1.06) 500(1.06) 2 500(1.06) 3 b) Descripción de los pagos realizados. Cuarto pago $500 Tercer pago 500 (1.06) $530 Segundo pago 500 (1.06) 2 $561 Primer pago 500 (1.06) 3 $ Monto de la anualidad $ Determinación del monto Para el ejemplo anterior no es de gran dificultad realizar los cálculos de cada uno de los pagos para determinar el monto total de la anualidad, pero en caso de tener gran número de pagos, el proceso se vuelve complejo y tedioso. Considérese una anualidad ordinaria en donde R es el pago hecho al final de cada uno de los n periodos e i es la tasa de interés por periodo. El diagrama de tiempo es el siguiente: 2 9 8