Análisis de Arcos Planos Isostáticos

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1 Análisis de Arcos Planos Isostáticos Diego Miramontes De León Resumen n este documento se presentarán algunos conceptos simples para E el análisis de arcos isostáticos sujetos a cargas concentradas o distribuidas. Por análisis debe entenderse el resolver el equilibrio y calcular los elementos mecánicos internos como son la fuerza axial N, fuerza cortante V y momento flexionante M a lo largo de la curva que define al arco. En un primer apartado se tratará el arco simplemente apoyado y con apoyos a la misma altura. Enseguida se tratarán arcos tri-articulados con apoyos a diferente altura. 1. Introducción 1.1. Definición Un arco es una estructura que escencialmente se diseña para que desarrolle esfuerzos de compresión a lo largo de su eje curvo, sin embargo, como elemento rígido, la flexión puede provocar tensiones. Es cierto que el trazo del arco influye directamente en la respuesta que pueda ofrecer ante las cargas aplicadas. Para que el arco sea isostático, se requiere que esté simplemente apoyado (figura 1) o que esté tri-articulado (figura ). A diferencia de los cables, en donde hay que determinar la forma que adoptará el cable, en los arcos, la geometría está por lo general completamente definida. El problema, además del equilibrio, es sobre todo el cálculo de los elementos mecánicos. La geometría está dada por el claro L, o distancia horizontal entre los apoyos, la flecha f o distancia vertical desde la horizontal al apoyo más bajo, la clave C, la cual corresponde al punto más alto sobre la curva del arco, 1

2 Figura 1: Arco simplemente apoyado es decir, ésta coincide con la flecha máxima, medida siempre desde el punto de arranque, por último el punto de arranque, quien se considerará como el punto donde se encuentre el apoyo más bajo. En la figura, el círculo sobre el arco representa una articulación. La articulación puede estar en cualquier punto, en este caso se supone localizada a una distancia b desde el apoyo izquierdo. Por último, a la línea que une los apoyos, se le da el nombre de línea de arranque y para arcos con apoyos a diferente altura puede medirse la distancia de la flecha desde ella.. Arco simplemente apoyado En este punto, interesa presentar las expresiones generales para el análisis de un arco con apoyos simples y una sola carga concentrada al centro del claro, como se muestra en la figura 1. También interesa que los apoyos estén a la misma altura, ya que representa un caso de estudio común, sobre todo como primer ejemplo. En este caso particular, no habrá reacción horizontal en ningún extremo y la reacción en cada apoyo vale la mitad de la carga. El equilibrio se resuelve pues por simetría. Fy = 0; R 1 + R = P R 1 = R = P (1)

3 Figura : Arco tri-articulado con cargas concentradas.1. Elementos mecánicos Para obtener la fuerza normal, el cortante y el momento en cualquier punto a lo largo de la curva del arco, conviene hacer uso de la matriz de rotación utilizada en análisis estructural : [R] = cosθ senθ 0 senθ cosθ () Recordando que [R] es ortogonal, será posible pasar de un sistema a otro, de modo que para un punto cualquiera localizado a una distancia (x, y) 3

4 será más sencillo realizar una suma de fuerzas a la izquierda o derecha de ese punto tomando como referencia el sistema de coordenadas global (ver figura 3), para formar el vector : {F } = R x R y M z g (3) Figura 3: Corte del arco en el punto (x, y) En la ecuación 3 R x se refiere a la resultante de la suma de las fuerzas en la dirección X a la izquierda o derecha de la sección localizada en el punto (x, y), R y se refiere a la resultante de la suma de las fuerzas en la dirección Y a la izquierda o derecha de la sección localizada en el punto (x, y) y por último, M z se refiere a la resultante de la suma de los momentos en la dirección Z a la izquierda o derecha de la sección localizada en el punto (x, y). En cada caso debe aplicarse una convención de signos, por ejemplo, N será positiva para tensión, V será positiva si sigue la dirección positiva del eje Y cuando la suma se haga a la izquierda y negativa cuando se haga a la derecha. Para el momento M se considera usualmente como positivo cuando la concavidad quede al exterior de la estructura. En vigas esto significa que la concavidad es contraria a la dirección positiva del eje Y. 4

5 A partir de las ecuaciones y 3 se obtiene : {F } l = [R] {F } g (4) Para el caso particular del arco de la figura 1, el vector de fuerzas global es simplemente : {F } = R x = 0 R y = P M z = P x g (5) Substituyendo este vector en la ecuación 5), se obtendrán directamente los valores de N, V y M. Sin embargo, dado que el ángulo θ varía en cada punto a lo largo del arco, es necesario expresar este cambio en términos de x. Para todo x, la derivada de la función y = f(x) que define la geomtería del arco, dará la pendiente en ese punto, de modo que el ángulo se calcula directamente : N x V x M x = cos(tg 1 ( dy sen(tg 1 ( dy )) dx )) dx sen(tg 1 ( dy )) 0 dx cos(tg 1 ( dy )) 0 dx R x R y M z (6).. Arcos Parábolicos Para aplicar la ecuación 6) a problemas definidos, se considerará que se conoce la distancia horizontal entre los apoyos L y la flecha máxima del arco. Esto implica que la coordenada x será L/ y la flecha será h...1. Arco parabólico de segundo grado Ahora considérese que se quiere probar un arco parabólico de segundo grado, es decir : 5

6 y = f(x) = Kx (7) Debido a la simetría, sólo se analiza la mitad, de modo que el valor de K se obtiene asignado los valores anteriores a x y y : ( ) ( ) L L y = f = h = K (8) De aquí : K = 4h L (9) La función para el arco parabólico es : ( ) 4h y = x (10) L y su derivada es : dy dx = ( ) 8h x (11) L... Arco parabólico de tercer grado Como en el caso anterior, se tendrá : y = f(x) = Kx 3 (1) 6

7 ( ) ( ) L L 3 y = f = h = K (13) De aquí : K = 8h L 3 (14) La función para el arco parabólico es : ( ) 8h y = x 3 (15) L 3 y su derivada es : dy dx = ( ) 4h x (16) L Arco parabólico de cualquier grado El procedimiento descrito antes puede generalizarse para cualquier grado, de modo que se tiene : y = Kx n (17) K = n h L n (18) ( n ) h y = x n (19) L n 7

8 dy dx = ( n n ) h x n 1 (0) L n Las expresiones dadas en este apartado sólo son válidas para arcos simplemente apoyados y con la misma altura de los apoyos, además la geometría debe ser simétrica como la mostrada en la figura 1. Para un caso más general, se analizarán arcos como el mostrado en la figura y para condiciones de carga tanto puntuales como distribuidas en puntos no simétricos. 3. Arcos tri-articulados Como parte de las estructuras isostáticas, es posible encontrar arcos con tres articulaciones, dos de las cuales están en los apoyos y una más en cualquier parte a lo largo de la curva del arco. Es frecuente que esta articulación guarde cierta estética por lo que ese punto arbitrario puede no serlo tanto. En la figura 4 se muestra uno de estos arcos en Puerto Montt, Chile. Además, en las figuras 5, se muestran los detalles de la articulación en uno de los apoyos y en la figura 6 se observa la articulación intermedia Equilibrio de arcos tri-articulados A diferencia de loas arcos simplemente apoyados, en donde el equilibrio exterior es prácticamente similar al de vigas, en los arcos tri-articulados existen cuatro reacciones externas. La articulación intermedia ofrece la ecuación adicional para resolver el equilibrio Arco con carga puntual Se analizará un arco sujeto a una carga concentrada según se muestra en la figura 7. Resolviendo el equilibrio exterior se tiene : Fx = 0; A x B x = 0 (1) 8

9 Figura 4: Arco tri-articulado (Fuente: Omar Tellez Elgueta) Fy = 0; A y B y P = 0 () M A z = 0; B x (h) + B y (L) P (a) = 0 (3) M C z = 0; B x (y c h) + B y (L x c ) = 0 (4) Las ecuaciones 3) y 4) incluyen sólo dos incógnitas (B x y B y ) por lo que pueden resolverse simultáneamente, es decir : 9

10 Figura 5: Apoyo en arco tri-articulado (Fuente: Omar Tellez Elgueta) [ h L (y c h) (L x c ) ] [ Bx B y ] = [ P (a) 0 ] (5) Conocidas B x y B y pueden resolverse 1) y ) para A x y A y. Supóngase que h = 0, es decir, los apoyos están a la misma altura. Entonces de 3) : B y = P a L (6) La ecuación 6) es similar a la reacción de una viga con una carga concentrada a la distancia a del apoyo A. De la ecuación 4) se tendría : 10

11 Figura 6: Articulacio n intermedia en arco tri-articulado (Fuente: propia) Bx = P a (L xc ) L yc (7) Pa yc (8) Si adema s xc = L/ : Bx = Para una serie de cargas concentradas P1, P,...Pn, simplemente se agregarı an a las ecuaciones anteriores Arco con carga distribuida Ahora, se analizara un arco sujeto a una carga distribuida segu n se muestra en la figura 8. Resolviendo el equilibrio exterior se tiene : 11

12 Figura 7: Arco tri-articulado bajo carga concentrada Fx = 0; A x B x = 0 (9) Fy = 0; A y B y wa = 0 (30) M A z = 0; B x (h) + B y (L) wa = 0 (31) M C z = 0; B x (y c h) + B y (L x c ) = 0 (3) 1

13 Figura 8: Arco tri-articulado bajo carga distribuida Debido a la ecuación 31), la solución sólo será válida para a x x c. Además, las ecuaciones 31) y 3) incluyen sólo dos incógnitas (B x y B y ) por lo que pueden resolverse simultáneamente, es decir : [ h L (y c h) (L x c ) ] [ Bx B y ] = [ wa 0 ] (33) Conocidas B x y B y pueden resolverse 9) y 30) para A x y A y. Nuevamente supóngase que h = 0, es decir, los apoyos están a la misma altura. Entonces de 31) : B y = wa L (34) 13

14 La ecuación 34) es similar a la reacción de una viga con una carga distribuida a la distancia a del apoyo A. De la ecuación 9) se tendría : B x = wa (L x c ) L y c (35) Si además x c = L/ : B x = wa 4y c (36) Considerando ahora que la carga va más allá del punto C, sólo se modificará la ecuación 3) : M C z = 0; B x (y c h) + B y (L x c ) w(x x c) = 0 (37) La solución para esta nueva condición es : [ h L (y c h) (L x c ) ] [ Bx B y ] [ = wa w(x x c) ] (38) Si nuevamente se considera que h = 0 se tendrá : B y = wa L (39) B x = [ wa L (L x c) w(x x c) ] 1 y c (40) 14

15 Si además, a = L B y = wl (41) B x = w(l x c) [( L L x )] c 1 yc (4) Más aun, si x c = L/ ; B x = wl 4 L 1 = wl (43) y c 8y c Deben atenderse con cuidado los límites para los cuales las soluciones dadas antes son válidas, ya que de no hacerlo, los resultados serían incorrectos. 4. Comentarios Es conveniente programar las ecuaciones dadas antes para calcular los valores de N, V y M en varios puntos. Debido a la sencillez de las expresiones y a que el cálculo es directo, puede hacerse en una hoja de cálculo, en donde se definan tantos puntos x como se quiera sobre la longitud del claro L. Puede verse que todas las expresiones sólo dependen de x. Los valores obtenidos pueden graficarse aunque no sigan la curva del arco. Aun así serán un referente para comparar el comportamiento ante cada uno de los elementos mecánicos. En forma general, se presentaron las soluciones del equilibrio exterior para un arco tri-articulado para dos casos específicos; bajo carga concentrada y bajo carga distribuida. En el primero, sólo se incluyó una carga, entendiendo que no hay dificutad en agregar tantas otras como se quiera. En el segundo se consideró la posibilidad de que la carga distribuida se aplique hasta el punto donde se encuentra la articulación o que pase de ese punto. En todos los casos expuestos se han agregado algunas condiciones expeciales como el que 15

16 los apoyos estén a la misma altura y/o que la articulación esté al centro del claro. Por último se recuerda que deben observarse detenidamente los límites para los cuales son válidas las soluciones propuestas. Referencias [1] A. Ghali y A.M. Neville (1983), Análisis estructural, Ed. Diana Técnico, 1a. Ed, 809p [] J. L. Meek, (1971), Matrix structural analysis, ISE, McGraw Hill, 481p [3] F. W. Beaufait, (1981), Análisis estructural, PH internacional, 591p [4] D. Miramontes De León, (009), Static Algorithm for Isostatic Trusses, Investigación Científica, Vol 5, No 1, ISSN