El azar y sus modelos. Rolando Rebolledo

Transcripción

1 El azar y sus modelos Rolando Rebolledo

2 Plan 1. Los nombres del azar. 2. La larga historia del azar. 3. La determinación múltiple de los fenómenos naturales. 4. Interdependencia e interacción. 5. Las leyes del azar. 6. El papel de las probabilidades. 7. Del debate filosófico.

3 Los nombres del azar De su etimología en Español zahr (flor) az-zahr (juego de dados) azar (juego de dados, España 1283)

4 Los nombres del azar De su etimología en Español zahr (flor) az-zahr (juego de dados) azar (juego de dados, España 1283) Un sinónimo importante alea aleatorio (la suerte, también asociado con el juego de dados)

5 Los nombres del azar De su etimología en Español zahr (flor) az-zahr (juego de dados) azar (juego de dados, España 1283) Un sinónimo importante alea aleatorio (la suerte, también asociado con el juego de dados) Otro sinónimo de importancia stokhos (objetivo, blanco en el juego de los dardos) stokhastikos (que apunta bien, hábil para conjeturar) estocástico (adjetivo puesto en uso en Matemáticas en 1953)

6 La larga historia del azar Algunos hitos: Carneades

7 La larga historia del azar Algunos hitos: Carneades Ya en la antigüedad griega hay antecedentes sobre la aparición de una escuela llamada probabilista. Se trata de un momento del desarrollo de la Academia, dirigida en el siglo II A.C. por un sucesor de Platón, su discípulo Carneades. Carneades buscaba un criterio para decidir sobre opiniones inciertas. Es decir, él distinguía el valor objetivo de la opinión (todas las opiniones son inciertas), del valor subjetivo de la misma que mide la seguridad del sujeto acerca de su veracidad.

8 Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que varía entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos. 1 1 Lo probable parece menos seguro que lo probado, a pesar que las dos palabras tienen la misma etimología.

9 Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que varía entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos. 1 Pascal y la noción de sistema Pascal plantea el problema de la enumeración y da nacimiento al cálculo combinatorio, acuñando para ello la noción de sistema.

10 Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que varía entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos. 1 Pascal y la noción de sistema Pascal plantea el problema de la enumeración y da nacimiento al cálculo combinatorio, acuñando para ello la noción de sistema. Leibniz, Newton y el cálculo.

11 Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que varía entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos. 1 Pascal y la noción de sistema Pascal plantea el problema de la enumeración y da nacimiento al cálculo combinatorio, acuñando para ello la noción de sistema. Leibniz, Newton y el cálculo. Bernoulli, Poisson

12 Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que varía entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos. 1 Pascal y la noción de sistema Pascal plantea el problema de la enumeración y da nacimiento al cálculo combinatorio, acuñando para ello la noción de sistema. Leibniz, Newton y el cálculo. Bernoulli, Poisson Laplace y Gauss

13 Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como una medida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que varía entre la ignorancia y el saber, sus valores extremos. 1 Pascal y la noción de sistema Pascal plantea el problema de la enumeración y da nacimiento al cálculo combinatorio, acuñando para ello la noción de sistema. Leibniz, Newton y el cálculo. Bernoulli, Poisson Laplace y Gauss Brown y la primera paradoja de la Mecánica Clásica

14 Boltzmann y la Teoría Cinético-Molecular de la materia

15 Boltzmann y la Teoría Cinético-Molecular de la materia Markov y la noción de proceso

16 Boltzmann y la Teoría Cinético-Molecular de la materia Markov y la noción de proceso La Teoría de la Medida y los aportes de Kolmogorov

17 Boltzmann y la Teoría Cinético-Molecular de la materia Markov y la noción de proceso La Teoría de la Medida y los aportes de Kolmogorov Discusiones sobre los fundamentos de la Teoría de Probabilidades: De Finetti, von Mises, los modelos lógicos.

18 Boltzmann y la Teoría Cinético-Molecular de la materia Markov y la noción de proceso La Teoría de la Medida y los aportes de Kolmogorov Discusiones sobre los fundamentos de la Teoría de Probabilidades: De Finetti, von Mises, los modelos lógicos. Norbert Wiener, Paul Lévy y la construcción de un modelo matemático para el movimiento Browniano.

19 Boltzmann y la Teoría Cinético-Molecular de la materia Markov y la noción de proceso La Teoría de la Medida y los aportes de Kolmogorov Discusiones sobre los fundamentos de la Teoría de Probabilidades: De Finetti, von Mises, los modelos lógicos. Norbert Wiener, Paul Lévy y la construcción de un modelo matemático para el movimiento Browniano. von Neumann y la Mecánica Cuántica.

20 Boltzmann y la Teoría Cinético-Molecular de la materia Markov y la noción de proceso La Teoría de la Medida y los aportes de Kolmogorov Discusiones sobre los fundamentos de la Teoría de Probabilidades: De Finetti, von Mises, los modelos lógicos. Norbert Wiener, Paul Lévy y la construcción de un modelo matemático para el movimiento Browniano. von Neumann y la Mecánica Cuántica. Kiyosi Itô y las ecuaciones diferenciales estocásticas

21 Boltzmann y la Teoría Cinético-Molecular de la materia Markov y la noción de proceso La Teoría de la Medida y los aportes de Kolmogorov Discusiones sobre los fundamentos de la Teoría de Probabilidades: De Finetti, von Mises, los modelos lógicos. Norbert Wiener, Paul Lévy y la construcción de un modelo matemático para el movimiento Browniano. von Neumann y la Mecánica Cuántica. Kiyosi Itô y las ecuaciones diferenciales estocásticas La Teoría de Capacidades.

22 Boltzmann y la Teoría Cinético-Molecular de la materia Markov y la noción de proceso La Teoría de la Medida y los aportes de Kolmogorov Discusiones sobre los fundamentos de la Teoría de Probabilidades: De Finetti, von Mises, los modelos lógicos. Norbert Wiener, Paul Lévy y la construcción de un modelo matemático para el movimiento Browniano. von Neumann y la Mecánica Cuántica. Kiyosi Itô y las ecuaciones diferenciales estocásticas

23 La Teoría de Capacidades. El desarrollo de la Teoría de Procesos Estocásticos (Escuela de Strasbourg).

24 La Teoría de Capacidades. El desarrollo de la Teoría de Procesos Estocásticos (Escuela de Strasbourg). Nacimiento del Análisis Estocástico

25 La Teoría de Capacidades. El desarrollo de la Teoría de Procesos Estocásticos (Escuela de Strasbourg). Nacimiento del Análisis Estocástico Las teorías no conmutativas (Probabilidades Cuánticas).

26 La Teoría de Capacidades. El desarrollo de la Teoría de Procesos Estocásticos (Escuela de Strasbourg). Nacimiento del Análisis Estocástico Las teorías no conmutativas (Probabilidades Cuánticas). Los sistemas cuánticos abiertos. Semigrupos Markovianos Cuánticos.

27 La múltiple determinación de los fenómenos naturales

28 La múltiple determinación de los fenómenos naturales El uso más familiar del término azar se refiere a la ocurrencia de un suceso inesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobre las condiciones determinantes de su ocurrencia.

29 La múltiple determinación de los fenómenos naturales El uso más familiar del término azar se refiere a la ocurrencia de un suceso inesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobre las condiciones determinantes de su ocurrencia. De manera un poco más flexible, se puede también aplicar la denominación a un hecho que aparece en la intersección de dos cadenas causales independientes.

30 La múltiple determinación de los fenómenos naturales El uso más familiar del término azar se refiere a la ocurrencia de un suceso inesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobre las condiciones determinantes de su ocurrencia. De manera un poco más flexible, se puede también aplicar la denominación a un hecho que aparece en la intersección de dos cadenas causales independientes. Así, podemos relativizar el concepto: un suceso es un hecho de azar o contingente relativamente a un contexto dado de investigación, si el enunciado que afirma su aparición no deriva de ningún otro.

31 La múltiple determinación de los fenómenos naturales El uso más familiar del término azar se refiere a la ocurrencia de un suceso inesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobre las condiciones determinantes de su ocurrencia. De manera un poco más flexible, se puede también aplicar la denominación a un hecho que aparece en la intersección de dos cadenas causales independientes. Así, podemos relativizar el concepto: un suceso es un hecho de azar o contingente relativamente a un contexto dado de investigación, si el enunciado que afirma su aparición no deriva de ningún otro. Todas estas acepciones ya estaban presentes a principios del siglo XX cuando Poincaré expresaba en Ciencia y Método la idea de una causalidad

32 probabilitaria. Según él, la noción de azar no es tanto debida a nuestra ignorancia, sino que más bien a una falta de apoyo empírico o experimental que permita abarcar una multiplicidad de causas y efectos posibles.

33 probabilitaria. Según él, la noción de azar no es tanto debida a nuestra ignorancia, sino que más bien a una falta de apoyo empírico o experimental que permita abarcar una multiplicidad de causas y efectos posibles. Es decir, los fenómenos naturales gozan de una determinación múltiple que extiende la relación causa-efecto expresada, por ejemplo, en la Mecánica Newtoniana.

34 Interdependencia e interacción Pero además, de la propia unidad de la Naturaleza, se desprende que cada parte depende del todo y las partes interactúan entre sí. La interdependencia y la conexión universal dan su base natural al azar.

35 Interdependencia e interacción Pero además, de la propia unidad de la Naturaleza, se desprende que cada parte depende del todo y las partes interactúan entre sí. La interdependencia y la conexión universal dan su base natural al azar. Este aparece entonces como una construcción cultural continua que evoluciona junto con el conocimiento que el hombre desarrolla de la Naturaleza, y en relación con ella. En esta construcción, las Matemáticas y el conjunto de las ciencias juegan un rol preponderante. El azar expresa la interdependencia y la interacción de los fenómenos naturales entre sí y como tal involucra los objetos de estudio de las diferentes ciencias.

36 Las leyes del azar Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes:

37 Las leyes del azar Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes: 1. La Ley de los Grandes Números Convergencia de sucesiones de frecuencias hacia un ĺımite (la probabilidad de un determinado suceso). Convergencia de promedios hacia la media o esperanza matemática. Límite hidrodinámico. Límite ergódico.

38 Las leyes del azar Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes: 1. La Ley de los Grandes Números Convergencia de sucesiones de frecuencias hacia un ĺımite (la probabilidad de un determinado suceso). Convergencia de promedios hacia la media o esperanza matemática. Límite hidrodinámico. Límite ergódico. 2. Las leyes sobre las fluctuaciones

39 Las leyes del azar Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes: 1. La Ley de los Grandes Números Convergencia de sucesiones de frecuencias hacia un ĺımite (la probabilidad de un determinado suceso). Convergencia de promedios hacia la media o esperanza matemática. Límite hidrodinámico. Límite ergódico. 2. Las leyes sobre las fluctuaciones (a) Comportamiento de las pequeñas fluctuaciones (Teorema del Límite Central).

40 De Moivre-Laplace. Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal. Convergencia hacia el Movimiento Browniano. Convergencia hacia la ley del semicírculo (ley de Wigner)

41 De Moivre-Laplace. Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal. Convergencia hacia el Movimiento Browniano. Convergencia hacia la ley del semicírculo (ley de Wigner) (b) Comportamiento de las grandes fluctuaciones (Teorema de los Grandes Desvíos). Chernof. Información (Entropía).

42 De Moivre-Laplace. Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal. Convergencia hacia el Movimiento Browniano. Convergencia hacia la ley del semicírculo (ley de Wigner) (b) Comportamiento de las grandes fluctuaciones (Teorema de los Grandes Desvíos). Chernof. Información (Entropía). 3. Ley del aumento de la complejidad en el curso de una evolución Entropía. Convergencia hacia el equilibrio. Propagación del caos (Boltzmann y los modelos cinéticos).

43 De Moivre-Laplace. Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal. Convergencia hacia el Movimiento Browniano. Convergencia hacia la ley del semicírculo (ley de Wigner) (b) Comportamiento de las grandes fluctuaciones (Teorema de los Grandes Desvíos). Chernof. Información (Entropía). 3. Ley del aumento de la complejidad en el curso de una evolución Entropía. Convergencia hacia el equilibrio. Propagación del caos (Boltzmann y los modelos cinéticos). 4. El Principio de Incertidumbre.

44 El papel de las probabilidades Tiene vigencia el debate filosófico entre las escuelas frecuentistas y subjetivistas hoy en día?

45 El papel de las probabilidades Tiene vigencia el debate filosófico entre las escuelas frecuentistas y subjetivistas hoy en día? Si la Teoría de Probabilidades se interpreta como la modelación matemática del azar, ella está en evolución constante y toda nueva versión debe dar cuenta del conocimiento acumulado por la humanidad sobre los fenómenos del azar en su época. La noción de probabilidad está subordinada a una determinada aproximación a los fenómenos del azar.

46 El papel de las probabilidades Tiene vigencia el debate filosófico entre las escuelas frecuentistas y subjetivistas hoy en día? Si la Teoría de Probabilidades se interpreta como la modelación matemática del azar, ella está en evolución constante y toda nueva versión debe dar cuenta del conocimiento acumulado por la humanidad sobre los fenómenos del azar en su época. La noción de probabilidad está subordinada a una determinada aproximación a los fenómenos del azar. Durante el siglo XX se comenzó por elaborar una primera teoría basada en el concepto matemático de medida. La contribución fundacional de Kolmogorov a este respecto permitió dar expresión matemática al menos a

47 las tres primeras leyes del azar en diferentes contextos. Pero esta teoría se reveló insuficiente para dar cuenta del principio de incertidumbre y tratar adecuadamente la Física Cuántica. En la actualidad existen diversas extensiones no conmutativas del modelo de Kolmogorov que permiten dar cuenta de la totalidad de las leyes del azar discutidas anteriormente.

48 Modelos algebraicos de probabilidades Sea A un álgebra (espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos, dotado de un producto) provista de una operación involutiva y una unidad 1. Un estado ϕ sobre A es una aplicación lineal ϕ : A C tal que ϕ(a a) 0 para todo a A y ϕ(1) = 1. El par (A, ϕ) constituye un espacio de probabilidad algebraico que incluye a la vez las estructuras básicas de la teoría clásica de probabilidades y de la Mecánica Cuántica, como se ve en los ejemplos elementales que siguen.

49 Modelos algebraicos de probabilidades Sea A un álgebra (espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos, dotado de un producto) provista de una operación involutiva y una unidad 1. Un estado ϕ sobre A es una aplicación lineal ϕ : A C tal que ϕ(a a) 0 para todo a A y ϕ(1) = 1. El par (A, ϕ) constituye un espacio de probabilidad algebraico que incluye a la vez las estructuras básicas de la teoría clásica de probabilidades y de la Mecánica Cuántica, como se ve en los ejemplos elementales que siguen. 1. Considérese un espacio de probabilidad clásico (Ω, F, P). El álgebra A apropiada es en este caso la de las funciones con valores complejos,

50 medibles, esencialmente acotadas. La operación corresponde a la conjugación y ϕ(x) = XdP, para todo elemento X A. Ω

51 medibles, esencialmente acotadas. La operación corresponde a la conjugación y ϕ(x) = XdP, para todo elemento X A. Ω 2. Dado un espacio de Hilbert h, consideramos el álgebra A de todos los operadores lineales acotados, la operación corresponde a la adjunción y dado un operador ρ que tenga traza unitaria ϕ(a) = tr(ρa), para todo A A, donde tr( ) representa la traza de operadores.un caso particular corresponde a un operador ρ que sea la proyección ψ ψ sobre el espacio generado por un vector unitario ψ h (función de onda).

52 En este contexto se puede analizar la evolución de sistemas dinámicos cuánticos que incluyen los llamados sistemas abiertos.

53 Del debate filosófico La realidad de los objetos observados y su interrelación con el observador.

54 Del debate filosófico La realidad de los objetos observados y su interrelación con el observador. Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes básicos están en nuestras células.

55 Del debate filosófico La realidad de los objetos observados y su interrelación con el observador. Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes básicos están en nuestras células. Si se mide un observable en un determinado momento se encuentra un determinado valor en vez de el observable está en el estado tal en un determinado instante.

56 Del debate filosófico La realidad de los objetos observados y su interrelación con el observador. Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes básicos están en nuestras células. Si se mide un observable en un determinado momento se encuentra un determinado valor en vez de el observable está en el estado tal en un determinado instante. La causalidad es una forma primaria de interrelación: establece, por ejemplo, una relación entre lo que hemos denominado fuerza y lo que llamamos aceleración. Las leyes del azar extienden la causalidad al considerar relaciones de interdependencia múltiples.

57 Del debate filosófico La realidad de los objetos observados y su interrelación con el observador. Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes básicos están en nuestras células. Si se mide un observable en un determinado momento se encuentra un determinado valor en vez de el observable está en el estado tal en un determinado instante. La causalidad es una forma primaria de interrelación: establece, por ejemplo, una relación entre lo que hemos denominado fuerza y lo que llamamos aceleración. Las leyes del azar extienden la causalidad al considerar relaciones de interdependencia múltiples. Los ĺımites de validez de los diferentes modelos matemáticos del azar.

58 Del debate filosófico La realidad de los objetos observados y su interrelación con el observador. Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes básicos están en nuestras células. Si se mide un observable en un determinado momento se encuentra un determinado valor en vez de el observable está en el estado tal en un determinado instante. La causalidad es una forma primaria de interrelación: establece, por ejemplo, una relación entre lo que hemos denominado fuerza y lo que llamamos aceleración. Las leyes del azar extienden la causalidad al considerar relaciones de interdependencia múltiples. Los ĺımites de validez de los diferentes modelos matemáticos del azar.

59 Es posible diseñar un procedimiento de selección para el uso de una determinada teoría de probabilidades? De la relación entre diferentes ciencias a la luz de los fenómenos del azar. El progreso de las diferentes ciencias aumenta nuestro conocimiento de las leyes del azar y determina nuevas relaciones entre ellas. Se abren nuevos campos para la investigación multidisciplinaria.