Trabajo No 3. Teoría de Portafolios BONOS

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1 Trabajo No 3. Teoría de Portafolios BONOS Norman Giraldo Gómez EIO - Universidad Nacional de Colombia ndgirald@unalmed.edu.co Junio, Introducción El Trabajo No 3 consiste de dos puntos. Cada grupo ó persona individual tiene asignados 1 punto de los 2 que se enuncian a continuación. Al final de este tema está la tabla de asignación de puntos para cada grupo. En la página del curso hay algunas funciones en R para los cálculos de este trabajo, que pueden ser de utilidad. Los cálculos pueden hacerse en otro software p.ej. Excel. 2. Notas Base Para los cálculos se asumirá que todos los meses son de 30 días y el año tiene 360 días. Es decir, una base 30/360. Estructuras de Tasas de Interés. Una estructura temporal proporciona las tasas i(0,t) de los CDT para distintos vencimientos t. En este trabajo indicaremos por D(t) el correspondiente factor de descuento D(t) = (1 + i(0,t)) t.elt está en años o fracciones de años. Por ejemplo, t =5/12 indica cinco meses en forma de fracción. Y t = 3 indica tres años. Para este Trabajo utilizaremos las estructuras de tasas de interés dadas por las expresiones (1) y (2), correspondientes a 19/10/2001 y 08/06/2009, respectivamente. D 1 (t) = t t 2, (1) 1

2 D 2 (t) = t t 2. (2) Ejemplo 1. Sit = 1 (un año) y D 1 (1) = esto significa que el factor de descuento a 1 año el 19/10/2001 fué De manera equivalente, utilizando la relación (1), la tasa efectiva anual para un año, el 19/10/2001 era: i(0, 1) = D1(1) 1 1=1/ = Tasas forward. El símbolo f(t1,t2) indica la tasa efectiva forward, que se define como la tasa efectiva anual para el período futuro [t1,t2], dentro de t1 años. Las tasas forward son tasas diferidas. Aplican dentro de t1 años para un período de t1 a t2 años. La tasa f(t1,t2) se define por la identidad (3): (1 + i(0,t1)) t1 (1 + f(t1,t2)) t2 t1 =(1+i(0,t2)) t2 (3) de donde y (1 + f(t1,t2)) t2 t1 = D(t1)/D(t2), (4) f(t1,t2)=[d(t1)/d(t2)] 1/(t2 t1) 1. (5) Ejemplo 2. Suponga la estructura (1). Se colocarán $100 a interés dentro de 8 meses por un período de 4 meses. Usando la ecuación (4) el valor futuro de esos $100 dentro de 8+4=12 meses es igual a 100D 1 (8/12)/D 1 (1) = Como usamos fracciones de año colocamos 8/12 en lugar de 8 y 1 en lugar de 12. La tasa de interés durante los 4 meses la llamamos tasa forward a cuatro meses, dentro de ocho meses. Se obtiene reemplazando t1=8/12, t2=1=(8+4)/12, 1/(t2-t1) = 3, en (4). Entonces f(8/12, 1) = [D 1 (8/12)/D 1 (1)] 3 1=(0.9275/0.8955) 3 1= Esta es una tasa efectiva anual. Margen. Definimos el margen de un CDT, i m, como una tasa que resulta de la diferencia entre la tasa de emisión del CDT i d y la tasa según la estructura temporal de tasas vigente en la fecha de emisión del CDT, i(0,d), según la ecuación siguiente i m =(1+i d )/(1 + i(0,d)) 1 (6) Note que a partir de (6) se tiene aproximadamente: i(0,d)+m d = i d, que es la relación de la Circular Externa 20/95 de la Superbancaria, sec :...para determinar las tasas de descuento para cada pago basta con tomar la tasa cero cupon del plazo correspondiente al pago... y sumarle el margen para obtener la tasa de descuento buscada. Uso de algunas funciones en R 2

3 1. Uso de la funcion tir(). Colocando i = tir(a,t,cf), donde A es el precio de emisión, t =(t 1,...,t n ) es el vector de los tiempos de pagos en años o fracciones de año, y cf =(C 1,...,C n ) es el flujo de pagos del bono, se obtiene la tasa interna de retorno a la emisión del bono. Por ejemplo, si es un bono con 12 pagos semestrales, con tasa de cupón 0.08 efectiva semestral, con valor facial 100, y valor de redención 100, con precio A = 98, se coloca source("tir.r") A = 98 t = seq(1,12,1)/2 cf = rep(0.08*100, 12) cf[12] = cf[12] i = tir(a,t,cf) calcula una tir efectiva anual de , que equivale a una tasa efectiva semestral de Uso de la función precio.bono(). Colocando (con los valores anteriores) n = 12 is = (1+i)^(1/2)-1 A = precio.bono(f,c,r,is,n) se obtiene el valor Para calcular con las estructuras temporales se define una función que dependa del tiempo en años o fracciones de año. Por ejemplo, para calcular la tasa spot efectiva anual a 1 año con la estructura (2) se coloca d2 = function(t) *t *t^2 i = (d2(1))^(-1) - 1 y se obtiene Puntos del Trabajo 1. Suponga que se invierten A = $100 millones en un portafolio de CDT s a 60, 90, 180 y 360 días. Las tasas efectivas anuales de los CDT son y =(y 1,y 2,y 3,y 4 ). Los porcentajes invertidos en cada CDT se indican con w =(w 1,w 2,w 3,w 4 ). 3

4 Este portafolio tiene un flujo de cuatro pagos C j,j =1, 2, 3, 4, en los tiempos t 1 = 60/360,t 2 =90/360,t 3 = 180/360,t 4 =1. En la página escoja los cuatro CDT y las tasas que ofrecen para los períodos indicados. Además, escoja los porcentajes a invertir en cada CDT. Con estos datos calcule lo siguiente. a) Encuentre el valor de los pagos C j usando las tasas de los CDT. b) Encuentre la TIR de este portafolio al momento de emisión. Compárela con la tasa spot a 1 año según la estructura temporal (2). Encuentre el margen. c) Encuentre la duración D de este portafolio. Nota: la duración en días es 360D. d) Suponga que este portafolio se negocia en una fecha igual a la duración para inmunizarlo contra cambios en las tasas de interés. A qué precio se negocia?. Sugerencia: encuentre cuántos pagos faltan por realizarse en el intervalo de tiempo desde D hasta 1. Descuente estos pagos usando las tasas de interés de los CDT (es lo mismo que usar las tasas spot mas margen). e) Calcule el valor futuro de los pagos, reinvertidos según la estructura (2), es decir, calcule 4 VF = C j (1 + f(t j, 1)) 1 t j. j=1 Es un valor futuro calculado al momento de la inversión. f ) Encuentre la tasa de rendimiento al vencimiento i e dada por i e =(VF/A) 1. Esta es la tasa que obtiene el inversionista reinvirtiendo los pagos de los CDT según la estructura temporal de las tasas. 2. El bono A tiene vencimiento a 10 años, tasa de cupón de 7 % y valor facial El bono B tiene vencimiento a 10 años, tasa de cupón de 9 % y valor facial Los precios de emisión de los bonos A y B son Pa = y Pb = , respectivamente. Considere un portafolio con estos dos activos, con Na unidades del bono A y Nb del bono B. La fecha de compra de ambos bonos es 19/10/2001. El vencimiento de ambos es 19/10/2011. Los valores Na y Nb se asignan en la lista al final del tema. a) Encuentre el valor V del portafolio, los porcentajes invertidos en cada bono wa = NaP a/v, wb =1 wa, y el flujo de pagos de este portafolio: cf b) Encuentre la TIR de ambos bonos. c) Encuentre la TIR de este portafolio, al momento de emisión. Compárela con la tasa spot a 1 año según la estructura temporal (2). Calcule el margen. 4

5 d) Encuentre las duraciones Da y Db de los dos bonos y la del portafolio, D. Recuerde que D = w a D a + w b D b. Encuentre la fecha de la duración: dd/mm/aa. Luego contabilice cuántos dias faltan para los pagos de los cupones restantes. Y el valor de estos pagos. e) Suponga que este portafolio se negocia en la fecha correspondiente a D, es decir, la duración. A qué precio debería negociarse?. Con los datos de los días que faltan para los pagos restantes y los valores de los mismos encuentre el valor presente descontando con la estructura temporal (2) más el margen. f ) Encuentre el valor futuro de los pagos ya causados hasta D usando la tir del portafolio. g) Encuentre la tasa de rendimiento al vencimiento i e en la fecha D: i e =((VF+ PV)/V ) 1/D 1, donde V = valor del portafolio, PV = precio de venta, VF = valor acumulado de pagos. Se cumple i e TIR?. 4. Presentación y Valor del trabajo Presentar el informe con procesador Word ó LaTex. Hojas tamaño carta, numeradas. Presentación con formato tipo artículo, es decir, el contenido debe estar en este orden: título, autores, resumen, introduccion, desarrollo, conclusiones, bibliografía. Gráficas numeradas. El valor de este trabajo es 33 %. Referencias [1] Elton, Gruber (2004). Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. Wiley. 5

6 Asignación de Puntos Grupos Estudiantes 1) 2) Na =, Nb =, 1 Juan José Escobar Puerta Fabio Andrés Gómez 310, Gisela Díaz Ochoa Jorge Moreno Bedoya 1 3 Natalia Alvarea Lopera Lina Betancur Gómez 300, Viviana Rojas 1 5 Luisa Fernanda Rodriquez Yurian Pérez Cortés 320, 80 6 Andrés Fernández Toro Sergio Usme 1 7 Laura Pineda Arango Victoria Bolívar Giraldo 120, María Isabel Cifuentes Estefanía Vélez Vasco 1 9 Lucas Escobar Vallejo Carlos A. Huertas Cardona 300, Juliana Cano Angel Herbert Bolívar Vasquez 1 11 Fabián Granda Daniel Lopera 250, Karen Fontecha Pilar Montañez 1 13 Nataly Hincapié Yairo Oviedo 100, Danny Cardona Zulay Marcela Giraldo 1 15 Marcela Urrego Bedoya Natalia Daza Gutierrez 90, Alexander Rodríguez Gómez Catalina Gutiérrez 1 17 Edgar Andrés Cardona Ana Isabel Montoya 110, David Marín Garcés David Lopera Arroyave 1 19 Mónica Betancur 500, Sebastian Castaño Sebastián López A Maria Elena Giraldo Carvajal 200, Daniela Montoya G. John Correa Bedoya 1 25 Natalia Zuluaga B. 300, Juan Solano Jorge Gallego 1 27 Juliana Ochoa Giraldo 150, 150 6