Trabajo No 3. Teoría de Portafolios BONOS

Transcripción

1 Trabajo No 3. Teoría de Portafolios BONOS Norman Giraldo Gómez EIO - Universidad Nacional de Colombia ndgirald@unalmed.edu.co Noviembre, Introducción El Trabajo No 3 consiste de un punto. Cada grupo tiene asignado un pareja de punto de los que se enuncian a continuación. Al final de este tema está la tabla de asignación de puntos para cada grupo. En la página del curso hay algunas funciones en R para los cálculos de este trabajo. Estas funciones se describen a continuación. 2. Notas Estructuras de Tasas de Interés. Para este Trabajo utilizaremos el modelo de Nelson- Siegel para la estructura de tasas de interés dado por i(0,t)=β 1 + β 2 (e λt 1)/λt + β 3, (1) donde t es tiempo en años ó fracciones de año, i(0,t) es la tasa efectiva anual de referencia para un CDT con vencimiento t. Por ejemplo, la estructura correspondiente a 30/10/2001 tiene los valores de β y λ dadas (en notación de R) por: betas = c( , , ) lambda = c( ) Si se coloca un vector de tiempos, por ejemplo, t = c(5/12, 8/12, 11/12, 13/12) el resultado de llamar la función NSrates(betas,lambda,t) es un vector con las tasas efectivas anuales para cada tiempo. 1

2 Para el trabajo se pueden utilizar las ocho funciones que aparecen en la lista siguiente. source("tir.r") source("margen.r") source("convexidad.r") source("duracion.r") source("precio.bono.r") source("precio.bono.fc.r") source("precio.bono.ns.margen.r") source("aproximacion.r") 1. funcion tir(). Calcula la tasa interna de retorno ó tasa de rendimiento a la emisión, con i =, donde A es el precio de emisión, t =(t 1,...,t n ) es el vector de los tiempos de pagos en años o fracciones de año, y cf =(C 1,...,C n ) es el flujo de pagos del bono. Por ejemplo, si es un bono con 12 pagos semestrales, con tasa de cupón 0.08 efectiva semestral, con valor facial 100, y valor de redención 100, con precio A = 98, se coloca source("tir.r") A = 98 t = seq(1,12,1)/2 cf = rep(0.08*100, 12) cf[12] = cf[12] i = tir(a,t,cf) calcula una tir efectiva anual de 0.172, que equivale a una tasa efectiva semestral de funcion margen(). Calcula el margen i m, a partir del precio A, el vector con los tiempos de pagos t = (t 1,...,t n ), el vector de las tasas de la estructura temporal y = (i(0,t 1 ),...,i(0,t n )), y el vector con el flujo de pagos, cf = (C 1,...,C n ). El margen i m se define con la expresión siguiente. n A = C j ((1 + i m )(1 + i(0,t j ))) t j. (2) j=1 Se coloca en R: im = margen(y,a,t,cf). 3. funcion duracion(). Calcula la duración D, colocando D = duracion(f,c,r,i,n), donde F es la denominación, C el valor de redención, r la tasa cupón efectiva para el período de pagos, i es la tir del bono, n el número de pagos. La función permite calcular las duraciones de varios bonos. Para esto se ingresan las variables F,C,r,i,n como vectores. 2

3 4. funcion convexidad(). Calcula la Convexidad CX, colocando CX = convexidad(f,c,r,i,n), con las mismas variables de la función duracion(). Igualmente, la función permite calcular las duraciones de varios bonos ingresando las variables F,C,r,i,n como vectores. 5. funcion precio.bono(). Calcula el precio de un bono con base en las variables (F,C,r,i,n), definidas en la función duracion(). Es decir, calcula A = rf(1 v n )/i+cv n, con v =(1+i) n. Se coloca en R: A = precio.bono(f,c,r,i,n). 6. funcion precio.bono.fc(). Calcula el precio de un bono con base en un flujo de pagos dado, en los tiempos de pago y una tir. Es decir, calcula A = n k=1 C k(1 + i) t k.se coloca en R: A = precio.bono.fc(cf,t,i). 7. funcion precio.bono.ns.margen(). Calcula el precio de un bono con base en un flujo de pagos dado, en los tiempos de pago, en las tasas de la estructura temporal en los tiempos de pago y en un margen. Es decir, calcula A según la fórmula (2). Se coloca en R: A = precio.bono.ns.margen(cf,t,im,y). 8. funcion aproximacion(). Aproxima el precio de un bono con base en la duración y la convexidad, de acuerdo a la fórmula ( A(i + )=A(i) 1 D 1+i + 1 ( ) ) 2 2 CX (3) 1+i Se coloca en R: P = aproximacion(a,d,cx,i,delta). Terminología 1. Son sinónimos: valor facial, denominación, valor nominal. Sinónimos: estructura temporal de tasas de interés, tasas a plazos. 2. La denominación F = 100 es un valor de referencia. En una emisión se especifica el valor de F, por ejemplo, F = 1 mill. Usualmente, el precio de emisión es a par. Luego, se invierte 1 mill para comprar un bono. Con 100 mill se compran 100 bonos. En un portafolio de bonos el número de unidades de cada bono se determina por N = capital/precio. Y el porcentaje invertido en el bono es w = N(precio)/(valor portafolio). 3. Puntos del Trabajo 1. Descripción del punto: consideramos dos bonos con tasas cupón diferentes, vencimiento a 10 años, precios diferentes. Se forman dos portafolios. Uno con duración alta y otro 3

4 con duración baja. Se debe vender a los 5 años, a una tasa de descuento menor que las tir de los portafolios. Queremos ver el efecto en el precio de venta de haber utilizado una duración alta versus una baja. Enunciado. El bono A tiene vencimiento a 10 años, tasa de cupón de 7 % ea. El bono B tiene vencimiento a 10 años, tasa de cupón de 12 % ea. Ambos bonos tienen F = C = 100. Los precios de emisión de los bonos A y B son Pa = ypb =82.1, respectivamente. Considere un portafolio con estos dos bonos. Asuma que el pronóstico a5años es que las tasas del mercado van a decrecer o mantenerse en el nivel actual. a) Encuentre la TIR, la duración D y la convexidad CX de cada bono. b) Conforme un portafolio óptimo con estos dos bonos, maximizando la convexidad y asumiendo una meta de duración alta, es decir, asumiendo que las tasas van a mantenerse o decrecer en el mediano plazo. El portafolio se denota por w = (w 1,w 2 ). c) Asuma que el capital inicial que se invierte en el portafolio es Capital = El valor inicial del portafolio por tanto es Calcule N el número de unidades adquiridas de cada bono, N =(N 1,N 2 ), con capital = (N = floor(w*capital/a)) d) Calcule el flujo de pagos que genera este portafolio, definido como C k = C 1,k N 1 + C 2,k N 2. En esta fórmula C 1,k denota el flujo de pagos del primer bono y C 2,k el del segundo. En R se programa cf.p = cbind(cf1,cf2) %* %N e) Calcule la tir de este portafolio. Use la función tir(a,t,cf.p), con A = capital y t = (1,...,10). f ) Se debe vender el portafolio faltando exactamente 5 años para el vencimiento de los bonos, y en el mercado solamente se puede negociar a una tasa de descuento de Encuentre el precio de venta del portafolio. g) Repita desde el punto b) pero tomando una meta de duración baja. h) Qué se puede concluír de las partes g) y h)?. 2. Descripción: se trata de conformar un portafolio con dos bonos que proteja capital en caso de una baja de las tasas. Se comprueba el efecto de este portafolio calculando el precio de venta después de dos años, asumiendo que la estructura temporal decrece. Se compara con un portafolio que no tenga esa protección. 4

5 Considere un bono con vencimiento a 10 años, pagos anuales, tasa cupón 10.5 %, con F = C = 100, precio emisión A1 = Y otro bono con vencimiento a 8 años, pagos anuales, tasa cupón 10.0 %, con F = C = 100 y precio de emisión A2 = La estructura temporal vigente a la fecha de emisión está dada por las constantes betas β =( , , ) y λ = a) Calcule los flujos de pagos de ambos bonos. Calcule las tasas efectivas para cada período de pagos, según la estructura temporal. Es decir, los valores de las tasas i(0,t k ) según el modelo (1). Use la función NSrates(betas,lambda,t) de la librería YieldCurve, con t = (1,2,...,10). b) Calcule los márgenes a la emisión i m. Use la función im = margen(y,a,t,cf), donde A es precio, y el vector de tasas según la estructura temporal, t vector de tiempos y cf flujo de pagos. Note que para el primer bono y,t,cf son de dimension 10, y en el segundo de dimensión 8. En este caso use im = margen(y[1:8],a,t[1:8],cf). c) Conforme un portafolio óptimo con estos dos bonos, maximizando la convexidad y asumiendo una meta de duración conforme con la proyección de que las tasas van a mantenerse o decrecer en 2 años. El portafolio se denota por w =(w 1,w 2 ). Asuma que el capital inicial que se invierte en el portafolio es Capital = El valor inicial del portafolio por tanto es Calcule N el número de unidades adquiridas de cada bono, N =(N 1,N 2 ), con capital = (N = floor(w*capital/a)) d) Se vende el portafolio a los 2 años. Calcule el precio de mercado asumiendo que a los 2 años todas las tasas en la estructura temporal decrecen Para esto, calcule el flujo de pagos de este portafolio, cf.p, luego la tir que genera este flujo, tir.p, con base en el precio inicial del portafolio que es 100, luego se calcula el margen m.p del portafolio con respecto a la estructura temporal inicial, y.ns, y finalmente, con el flujo cf.p = matrix(c(cf1,cf2,0,0),ncol=2,nrow=10)%*%n tir.p = tir(capital,t,cf.p) m.p = margen(y.ns,capital,t,t(cf.p)) Precio = precio.bono.ns.margen(t(cf.p[3:10]),t[1:8],m.p,y.ns[1:8]-0.003) e) Calcule aproximadamente el precio del bono a los 2 años mediante la aproximación con la duración y la convexidad en la fórmula (3), asumiendo un delta de

6 D.p = t(d)%*%w CX.p = t(cx)%*%w Precio.a = aproximacion(capital,d.p,cx.p,tir.p,-0.003) f ) Repita los pasos desde la conformación del portafolio, pero asumiendo que las tasas van a subir. Qué efecto tiene haberse equivocado en ese supuesto?. Concluya. 3. Se planea invertir A = $100 millones en dos CDT s a 180 y 360 días. Las tasas efectivas anuales de los CDT son y.i =(4.93, 5.45) /100. Defina los tiempos de pagos como el vector t =(1/2, 1). Por teoría, las duraciones de los CDT son D = t, y las convexidades son CX = t(t + 1). a) Encuentre el valor de los pagos en los tiempos t usando las tasas de los CDT. b) Encuentre un portafolio óptimo maximizando la convexidad y fijando un valor meta para la duración, indicado por Dp. Note que 1/2 <Dp<1. Asuma que las tasas van a aumentar y fije el valor de Dp de acuerdo a este supuesto. c) Reporte cuánto se invierte en cada CDT. Con estos totales y con las tasas de los CDT encuentre los pagos que se obtendrán (en mill). Guarde estos valores en un vector con nombre cf. Calcule la tir de este portafolio. Use capital = 100 A = capital*w cf = A*(1+y.i)^t y.tir = tir(100,t,cf) d) Asuma que la estructura temporal de las tasas a corto plazo en la fecha de compra de los CDT estaba dada por un modelo Nelson-Siegel con parámetros betas = c( , , ) lambda = c( ) e) Calcule las tasas según esta estructura para los plazos de los CDT. Indique el vector de las dos tasas por y.ns. Y luego calcule los márgenes de ambos CDT. Reporte los valores. f ) El portafolio se vende transcurridos 4 meses. Asuma que las tasas bajan puntos. Es decir, el vector de tasas y.ns se cambia por y.ns Con esta nueva estructura y con el margen calcule el valor presente de los pagos. Este es el precio de venta según la metodología de la CE 030/09 de la SF. 6

7 g) Qué rendimiento se obtuvo con esta venta?. Es mayor que la tasa tir, y.tir?. Qué hubiera sucedido si las tasas hubieran subido y se hubiera tenido que vender el portafolio?. 4. Los bonos con tasa cupón fija tienen una propiedad interesante, denominada inmunización. Cuando el bono se vende en la fecha que corresponde a la duración, el rendimiento que se obtiene es siempre mayor ó igual que la tir original, independientemente de las desviaciones en la estructura de las tasas a plazo. Este punto es un ejemplo de inmunización. Considere un bono con las siguientes características: tasa cupón de 7 %, valor nominal F = 100, valor redención C = 100, precio de emisión A = 96, pagos anuales durante n =8años. Asuma que la estructura de tasas a largo plazo en la emisión está dada por un modelo Nelson-Siegel con parámetros betas = c( , , ) lambda = c( ) a) Calcule los tiempos y el flujo de pagos de este bono. Calcule la tir. Reporte estos valores. b) Calcule el vector de tasas correspondiente a los tiempos de pago según la estructura dada. Calcule el margen de este bono. Reporte estos valores. c) Calcule la duración del bono. La duración de este bono está en años y fracción. La fracción se convierte a meses multiplicándola por 12. Reporte el valor en años y fracción y en años y meses. d) El bono se vende al final del período de tiempo correspondiente a la duración. Calcule los tiempos para los pagos restantes, contabilizados desde la duración. Indique por t.v el vector con estos tiempos. e) Calcule las tasas a plazo con la estructura temporal en los tiempos t.v, y añádales De esta manera se está especificando una baja en las tasas de interés en la fecha de la venta. Reporte estas tasas. f ) Calcule el precio de venta descontando los pagos que faltan en los tiempos t.v, con las tasas formadas con el margen más las tasas a plazos calculadas en el punto anterior. Reporte el precio. g) Calcule la tir de ese precio. Use la instrucción: y.v = tir(precio,t.v,cf.v), donde precio es el precio de venta, t.v es el vector con los tiempos de los pagos que faltan, 7

8 y cf.v es el vector con los valores de estos pagos. Reporte esta tasa. Con esta tasa recalcule el precio de emisión, usando A.v = precio.bono(f,c,r,y.v,n) Reporte este valor. Entonces, la rentabilidad obtenida por la venta en el tiempo t = D, teniendo en cuenta la variación en la estructura de las tasas, está dada por y.ie = (1+y.v)*(A.v/A)^(1/D)-1 Según la teoría de la inmunización se debe cumplir que esta tasa y.ie debe ser siempre mayor o igual que la tir inicial del bono, independientemente de los cambios en la estructura de las tasas. Reporte la tir y la tasa y.ie y verifique si se cumple la propiedad de inmunización. h) Repita desde el paso e) cambiando por Se cumple la propiedad?. 4. Presentación y Valor del trabajo Para la presentación aplica lo mismo que se especificó para los trabajos anteriores. El valor de este trabajo es 33 %. Asignación de Puntos Grupo No Punto Grupo No Punto Referencias [1] Elton, Gruber (2004). Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. Wiley. 8