Plan. cuerpo gris factor de forma. Transferencia de Calor p. 1/2

Transcripción

1 Transferencia de Calor p. 1/2 Plan modos de conducción de calor conducción - ecuación del calor convección radiación estado estacionario, 1D resistencia térmica sistemas con generación de calor aletas, disipadores transitorios, 1D radiación cuerpo gris factor de forma

2 Transferencia de Calor p. 2/2 conducción 1D Ley de Fourier flujo unidimensional Q = ka dt dx Q = potencia transferida [watt] k = conductividad térmica [w/m o C] A =área transversal al flujo de calor [m 2 ] signo: el calor fluye hacia temperaturas mas bajas, dt/dx < 0 posibles complicaciones: A = A(x) k = k(x)

3 conductividad térmica Transferencia de Calor p. 3/2

4 Transferencia de Calor p. 4/2 ecuación del calor (1D) para flujo de calor unidimensional en un sólido, T = T (x, t). Balance térmico: T 0 Q x δx Q x+δx A PSfrag replacements δ U = Q x Q x+δx + q gen Aδx c = calor específico, ρ = densidad, A = área transversal = ctes. δ U = cambio en energía interna en elemento δx, δ U = ρcaδxt q gen = potencia generada por unidad de volumen ρcaδx T t = (ka) x T x ρc T t = 1 A x T + (ka) x+δx x x + q gen Aδx x+δx x ( Ak T ) x + q gen

5 Transferencia de Calor p. 5/2 ecuación del calor si el área A es constante, se cancela. Si además la conductividad térmica es constante ρc T t = k 2 T x 2 + q gen y para para el caso 3D, T = T (x, y, x; t), se generaliza a ρc T t = (k T ) + q gen k=cte ρc T t = k 2 T + q gen el laplaciano es 2 = 2 = 2 = 1 r 2 x y z 2 2 ρ ρ cartesianas ρ ρ 2 ϕ z 2 2 r 2 r + 1 r 2 sin θ θ sin θ θ cilíndricas «1 + r 2 sin 2 θ 2 ϕ 2 esféricas

6 Transferencia de Calor p. 6/2 en régimen permanente, régimen permanente T t = 0 la ecuación del calor (k = cte) se reduce a o bien, en 3D, 2 T x 2 = q gen k 2 T = q gen k la misma ecuación que verifica un potencial electrostático (ec. del Poisson o ec de Laplace) símil eléctrico para problemas estacionarios

7 Transferencia de Calor p. 7/2 convección ecuación de convección Q = ha c (T T ) h = coeficiente de convección [w/m 2, o C] A c = área de contacto, [m 2 ] T = temperatura de la superficie, [ o C] T = temperatura del fluido lejos de la superficie, [ o C] complicación: determinación del h apropiado...

8 coeficientes de convección típicos Transferencia de Calor p. 8/2

9 Transferencia de Calor p. 9/2 radiación ley de Stefan-Boltzmann para un radiador ideal (un cuerpo negro) Q e = σat 4 σ = 5, w/m 2 K 4 intercambio radiante con otro cuerpo negro: Q neto = Q e + Q a = σa(t 4 2 T 4 1 ) coeficiente de radiación se define Q neto = h r A(T 2 T 1 ) h r σ(t 2 +T 1 )(T 2 2 +T2 1 ) utilidad limitada: depende fuertemente de las temperaturas

10 Transferencia de Calor p. 10/2 Conducción - caso estacionario 1D si T = T (x), k = cte, la ecuación del calor se reduce a k d2 T dx 2 = q gen Sin fuentes, q gen = 0, el gradiente de temperatura es lineal y el calor se conduce a una tasa constante q Q PSfrag = ka dt dx = cte replacements q = ka T 1 T 2 x x T 1 T 2 Q x A

11 Transferencia de Calor p. 11/2 resistencia térmica símil eléctrico potencia térmica q I corriente eléctrica diferencia de temperatura T V diferencia de potencial resistencia térmica R T = x/ka R = ρ e L/A resistencia eléctrica ley de Fourier q = T/R T I = V/R ley de Ohm q PSfrag replacements T1 T 2 R T q = T 1 T 2 R T R T = x ka

12 Transferencia de Calor p. 12/2 símil eléctrico suma en serie frag replacements T 1 T AB T BC T 2 A B C q

13 Transferencia de Calor p. 12/2 g replacements suma en serie símil eléctrico q T T AB T BC 1 T 2 R A R B R C q = T 1 T 2 R T R T = R A + R B + R C T AB = T 1 qr A, T AB = T 1 q(r A + R B ) etc.

14 Transferencia de Calor p. 13/2 símil eléctrico suma en paralelo T 1 T 2 T AB T BC frag replacements B q A B C si las resistencias térmicas son similares R B R B es decir d B k B A B d B k B A B el flujo de calor permanece aproximadamente unidimensional...

15 Transferencia de Calor p. 13/2 g replacements símil eléctrico suma en paralelo q R B q T 1 T 2 R A T AB R B T BC R C q = T 1 T 2 R T, R T = R A + R + R C, R = R BR B R B + R B

16 Transferencia de Calor p. 14/2 fuentes de calor si T = T (x), k = cte, la ecuación del calor es d 2 T dx 2 = q gen k se genera calor uniformemente en el volumen q gen = cte 0 de modo que T (x) es cuadrática. condiciones: T (0) = T 0 y un balance de calor da 2dA q gen = 2kA dt dx PSfrag replacements dt d dx = q gend d k T W 2d T 0 q gen x T W A T (x) = T 0 q gen 2k x2 T W = T 0 q gen 2k d2

17 Transferencia de Calor p. 15/2 geometría cilíndrica flujo radial (unidimensional),t = T (r), ley de Fourier q r = ka r dt dr b T(r) r T B integrando, con A r = 2πrL, el flujo de calor es a T A L q = 2πkL ln(b/a) (T a T b ) T a T b R T PSfrag replacements resistencia térmica para geometría cilíndrica R T = ln(b/a) 2πkL

18 Transferencia de Calor p. 16/2 geometría cilíndrica Perfil de temperatura, T (r), se obtiene de la ecuación del calor d 2 T dr dt r dr = 1 ( d r dt ) = 0 r dr dr el perfil es logarítmico T (r) ln r T (r) = C 0 ln r + C 1 con condiciones de borde T (a) = T A y T (b) = T B resulta, T (r) = (T A T B ) ln(b/r) ln(b/a) + T B

19 Transferencia de Calor p. 17/2 generación de calor Si en un cilindro de radio R se genera calor uniformemente, cual es el perfil de temperatura? ecuación de calor con fuentes, ( d r dt ) = q genr dr dr k condiciones: temperatura en el eje, T (r = 0) = T 0 en estado estacionario, todo el calor generado sale q gen πr 2 L = k2πrl dt dr dt R dr = q genr R 2k

20 Transferencia de Calor p. 18/2 generación de calor multiplicando por r ( d r dt ) = q genr dr dr k r integrando, resulta la función cuadrática T 0 T (r) = T 0 q gen 4k r2 T W T W en el borde, la temperatura cae al valor PSfrag replacements q gen T W = T 0 q gen 4k R2

21 Transferencia de Calor p. 19/2 geometría esférica flujo radial (unidimensional),t = T (r), ley de Fourier q r = ka r dt dr integrando, con A r = 4πr 2, el flujo de calor es q = 4πk 1/a 1/b (T A T B ) T A T B PSfrag replacements R T b a T A T(r) r T B resistencia térmica para geometría esférica 1/a 1/b R T = 4πk

22 Transferencia de Calor p. 20/2 geometría esférica Perfil de temperatura, T (r), se obtiene de la ecuación del calor 1 2 r r 2 (rt ) = 0 T cae como T (r) 1 r con condiciones de borde: T (a) = T A y T (b) = T B resulta, [ ] 1 a/r T (r) = T A (T A T B ) 1 a/b

23 Transferencia de Calor p. 21/2 Resistencia de contacto cuando dos conductores térmicos se ponen en contacto puede aparecer una discontinuidad en temperatura modelo: R (conducción, puntos de contacto), R (convección/ radiación, cavidades) PSfrag replacements R resistencia de contacto, R c = R R R +R 1 h c A factores: rugosidad, presión ambiente, presión de contacto, área de contacto efectiva... T A R T B

24 Resistencia de contacto Transferencia de Calor p. 22/2

25 Transferencia de Calor p. 23/2 ejemplo h=100 w/m2k 0,02mm 8 mm chip epoxy aluminio h=100 w/m2k determinar la temperatura de operación (debe ser inferior a 85 o C para evitar que se queme) datos: *chip ysustrato tienen área A=1cm 2 * el chip (espesor despreciable) genera q = 10 kw/m 2 * ambiente a T = 25 o C * k Al = 237 w/mk