La ecuación diferencial que expresa la profundidad como función del tiempo es dh dt. d2 2gh

Transcripción

1 Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. (Cap. 7, Kuo) En los siguientes problemas, comparar la solución de Runge-Kutta con la solución en forma cerrada, o bien, comparar la solución de Runge-Kutta con la solución de Euler cuando no se cuente con la solución analítica. En muchos de estos problemas, se deja al lector la elección del tamaño del incremento y de la longitud del intervalo en los procedimientos de Runge-Kutta y de Euler. 1. Un tanque hemisférico de radio R está inicialmente lleno de agua.en el fondo del tanque hay un agujero de radio r por el cual escapa el agua bajo la influencia de la gravedad. La ecuación diferencial que expresa la profundidad del agua como función del tiempo que se ha obtenido es dy r 2 2g 0 2Ry 1/2 y 3/2 donde g 32.2ft/s 2, R 10ft, r 1/12ft. La condición inicial es que en t 0, y 0. Encontrar la relación entre y y t usando los procedimientos de Runge-Kutta y de Euler. 2. Un tanque cilíndrico con un agujero pequeño en su fondo está lleno de agua. Por el agujero fluye el agua bajo la influencia de la gravedad. La ecuación diferencial que expresa la profundidad como función del tiempo es dh d2 2gh D 2 Encontrar la relación por los procedimientos de Runge-Kutta y de Euler. Datos: D 5ft, d 2in, h 0 10ft. Comparar sus resultados con la solución analítica donde h 0 10ft, c 1 d 2 /D 2 2g. t 2 c 1 h 0 h,

2 3. Debajo del tanque descrito en el problema 2, está colocado un segundo tanque de diámetro D b (D b D). En el fondo del segundo tanque hay un agujero de diámetro d b. Es posible que al vaciarse el primer tanque en el segundo se reboce. Datos: D b 4ft, d b 1.5in, H b 10ft. Determinar la altura a la que se puede llenar el segundo tanque sin causar que reboce el de abajo. 4. Sea x la temperatura al tiempo t de un cuerpo inmerso en un medio cuya temperatura está descrita por la expresión Gt 100t 4 La temperatura satisface la ecuación diferencial dx kx kgt, donde k es una constante de proporcionalidad y la condición inicial es que en t 0, x Obtener la relación x t con el procedimiento de Runge-Kutta y comparar el resultado con la solución analítica x kt expkt. k k 5. Encontrar la relación entre velocidad v y altura r para un proyectil que se disparó con una velocidad inicial v 0 desde la superficie de la tierra. La ecuación es v dv g R2 r 2, dr donde R 20,908,800ft, g 32.2ft/s 2, y la condición inicial es v 0 10,000ft/s en r R. Usar el procedimiento de Runge-Kutta y comparar la respuesta con la solución analítica v 2gR 2 /r v 0 2 2gR. 6. La corriente i en el circuito RL forzado a cualquier tiempo t después de cerrar un interruptor a t 0 se puede expresar por la ecuación di Esint Ri/L donde E 100V, L 1H, 600, R 100Ω y la condición inicial es que en t 0, i 0. Resolver numéricamente la ecuación diferencial usando el método de Runge-Kutta y comparar la respuesta con la solución analítica donde Z R 2 2 L 2. i E Z 2 Rsint L cos t LeRt/L, 7. En un recipiente que contiene 120lb de agua se vacían 20lb de azúcar. La concentración porcentual c de la solución a cualquier tiempo t está expresada como c dc 3 k c100 4c, en donde k, el coeficiente de transferencia de masa, es igual La condición inicial es que en t 0, c 0. Encontrar la relación ct por los métodos de Runge-Kutta y de Euler y comparar el resultado con la solución analítica

3 c 1 e0.0098t 7 4e t La curva de disolución del oxígeno representa el cambio en la cantidad de oxígeno disuelto en una corriente a causa de la introducción de una carga polutante. Este cambio es producido por dos efectos principales, disminución de oxígeno debido a la presencia de desperdicios orgánicos y recarga de oxígeno por reaereación atmosférica. Por consiguiente dd K 1 L K 2 D en donde D es el déficit de oxígeno en mg/l, L es la cantidad de materia orgánica que permanece en la corriente medida en términos de la demanda biológica de oxígeno (BOD), y K 1 y K 2 son las tasas de deoxigenación y reaireación, respectivamente. Además, dl K 1 L. La curva de arrastre de oxígeno se usa principalmente para determinar el déficit máximo de oxígeno en la corriente y el tiempo necesario para alcanzar ese déficit. El máximo déficit permisible se usa como base para determinar la máxima carga polutante que puede introducirse a la corriente. Con K y K 2 0.3, el máximo déficit permisible de oxígeno en la corriente D M 8.14, y el déficit de oxígeno al tiempo cero D , disminuir progresivamente el valor inicial de L, L 0, a partir de L 0 24, hasta que el máximo déficit corresponda al valor de D M. Identificar el valor de L y el del tiempo t al cual esto ocurre. 9. La reacción de NO con H 2 se conoce como una reacción de 3er orden y su rapidez está dada por dx kp NO 2x 2 P H2 x, donde x es la presión parcial del producto, k es la constante de la velocidad, P NO y P H2 representan las presiones parciales del NO y del H 2 respectivamente, en la mezcla de reacción antes de que ocurra la reacción; P NO 2x es la presión parcial del NO en el reactor y P H2 x es la presión parcial del H 2 en el reactor a cualquier tiempo después que la reacción inició. En este problema P NO 359mmHg, P H2 400mmHg, k mm 2 s 1 y la condición inicial es que x 0, 0 t 3min. Encontrar la relación xt por el procedimiento de Runge-Kutta y comparar el resultado con la solución analítica. 10. Una barra sobresale de un satélite en un campo de radiación solar. La ecuación diferencial basada en un modelo unidimensional de conducción de calor es en donde dt 2CT 4 dx 5kA 2SDT sin ka K,

4 absortividad 0.4, emisividad 0.4, constante de Stefan-Boltzmann Btu/h ft 2 R 4, A área transversal de la barra, C circunferencia de la barra, D diámetro de la barra 1in, K constante de intergración, L longitud de la barra 3ft, S constante de la radiación solar 425Btu/h ft 2, T temperatura de la barra en R, k conductividad térmica de la barra 100Btu/h ft R, 30 La condición inicial es que en x 3.0ft, T R, y dt/dx 0. Usando los procedimientos de Runge-Kutta y de Euler, encontrar la relación Tx. 11. Se usa un separador estándar de aceite para separar una mezcla de agua y aceite. El nivel de derrame de aceite está 5 ft arriba del extremo inferior de la pared de retención. Obtener la relación vt usando la ecuación

5 en donde dv w o o g 3f w 4D o v 2, D diámetro promedio del glóbulo de aceite 1 16 in, v velocidad vertical del glóbulo de aceite, o densidad del aceite 0.6 w, w densidad del agua, g aceleración debida a la gravedad 32.2ft/s 2, f coeficiente de fricción La condición inicial es que en t 0, v 0 0 t 0.03s. 12. Usar los procedimientos de Euler y de Runge-Kutta para resolver numéricamente las siguientes ecuaciones diferenciales del primer orden. Comparar los resultados con la solución analítica. dy/dx x sinx y. Condición inicial: x 0, y 0.5. Solución analítica: y 2e x x 1 cos x sinx/ dy/dx yx/y 2 x 2. Condición inicial: x , y Solución analítica: y e x2 /2y dy/dx x 2 sinx/y. Condición inicial: x 0, y 1. Solución analítica: y 2 3 x2 2cos x dv/dx 3x 2 2x/8v. Condición inicial: x 3, v 3. Solución analítica: v x/2 x La ecuación diferencial que describe una esfera en la que hay una fuente de calor en su centro se expresa como d 2 T dr 2 dt 2 r w dr k 0, en donde Tr es la temperatura dentro de la esfera y k es la conductividad térmica de la esfera en Btu/h ft. La fuente de calor se mantiene a una temperatura constante T c, mientras que el gradiente de temperatura dt/dr en el centro es cero. El diámetro de la esfera es igual a 2ft. Los demás valores son: w 100Btu/h ft 3, k 212Btu/h ft, T c 900 Cuál es la distribución radial de temperatura de la esfera? Usar el procedimiento de Runge-Kutta y r 0.1ft. 17. Una tira horizontal larga de madera arde en un extremo como muestra la figura.

6 La ecuación diferencial del perfil de temperatura delante del frente de la flama es d 2 T dx 2 Vs k en donde dt 2U dx kl T T a 2 kl T4 T 4 a 1 2 f kl T f 4 T a 4 1 x x 2 H 2 0 V velocidad de propagación a lo largo del eje x de la flama ft/h, s calor específico de la madera 0.55Btu/lb R, densidad de la madera lb/ft 3, k conductividad térmica de la madera 0.2Btu/h ft R, U coeficiente de transferencia de calor media entre la madera y el aire 2.0Btu/h ft 2 R, L espesor de la tira de madera ft, T a temperatura del aire ambiente 530 R, T f temperatura de la flama 2160 R, constante de Stefan-Bolotzmann Btu/h ft 2 R 4, emisividad radiante de la madera 0.9, f emisividad radiante de la flama 0.85, H altura de la flama 0.87in ft. Los datos experimentales demuestran que T 1200 R en x 0.5in y dt/dx en x 0.5in. Integrar la ecuación desde x 0.5in hasta x 2.5in usando el procedimiento de Runge-Kutta. 18. Usar el procedimiento de Runge-Kutta para integrar la ecuación 0.3 d2 Q 5000 dq Q 1, que describe el circuito eléctrico de la figura.

7 Inicialmente t 0 la carga Q 0 y la corriente i Q dq/ 0. Obtener la carga y la corriente a cualquier tiempo t, 0 t s. 19. Una puerta cuelga de un soporte sin fricción inclinado como muestra la figura. La ecuación diferencial que expresa la oscilación de la puerta es d 2 3g sin sin 0, 2 2b en la que g 32.2ft/s 2. Sean los valores iniciales 0 90, d/ t0 4 rad/s. Integrar la ecuación en el intervalo 0 t 3s. 20. La ecuación diferencial de un péndulo simple es d 2 k d 2 g sin 0, 2 L en donde la fuerza de amortiguamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad angular. Sean los valores k radio de giro 3.0ft, L 3.0ft, g 32.2ft/s 2 d y las condiciones iniciales 0 80, 0 2 rad/s. Calcular t0 numéricamente las cantidades y en el intervalo 0 t 3s.