3. Afinación del piano. Introducción al sistema temperado

Transcripción

1 20 3. Afinación del piano. Introducción al sistema temperado A la hora de diseñar nuestro modelo de síntesis, es necesario conocer los fundamentos del fenómeno físico armónico y sus efectos sobre la afinación del piano moderno. La relación en frecuencia entre los intervalos más importantes así como entre semitonos consecutivos es de capital importancia en la construcción de modelos de síntesis, en los cuales a menudo se generan tonos secundarios a partir de un conjunto de tonos básicos. Por tanto es necesario describir, aunque someramente, la estructura matemática del sistema musical occidental y su aplicación práctica en la afinación del piano.

2 Bases acústicas de la escala En la Grecia antigua, los matemáticos sabían que las relaciones interválicas más sencillas entre los sonidos corresponden con exactitud a proporciones simples, expresadas en números enteros pequeños, entre las longitudes de una cuerda vibrante. Si una cuerda pulsada que produce un determinado sonido se acorta, por ejemplo, la mitad exacta de su longitud, el sonido resultante es una octava más aguda que el original, suponiendo que la tensión de la cuerda se mantiene constante. La misma cuerda acortada sólo un tercio de su longitud, suena una quinta justa más aguda; otras proporciones simples dan otros intervalos. Los intervalos simples y las proporciones de longitud de la cuerda se pueden comprobar con facilidad utilizando un monocordio, que en realidad es una cuerda con un soporte fijo y el otro móvil, montado sobre una regla apropiada. Si tomamos una cuerda de cualquier longitud (que supondremos 1 sin pérdida de generalidad) entre dos soportes fijos y la dividimos mediante otro soporte situado entre ellos, podemos obtener las notas 1 1 representadas por la longitud y 1, siendo n un número entero. n n Figura 3.1. Monocordio para generar la serie armónica.

3 22 Supongamos que la cuerda sin dividir, de longitud 1, suena como el Do-2 a dos octavas por debajo del Do-4 central del piano. Comprobaremos que las longitudes de los segmentos mostrados en el diagrama anterior sonarán de la siguiente manera: Figura 3.2. Generación de los cuatro primeros armónicos de la nota Do-2. El proceso de división no se puede prolongar demasiado sin llegar a longitudes de la cuerda tan pequeñas que resultarían impracticables. Sin embargo, suponiendo que podamos medirlas exactamente, las longitudes n 1 darían los siguientes sonidos: Figura 3.3. Serie armónica de Do.

4 23 Estos sonidos forman la llamada serie armónica de Do. Los números son los ordinales de los armónicos en la serie. El número de cada sonido, es también el denominador de la fracción que representa la longitud del segmento de la cuerda que produce el sonido. El asterisco indica aquellos sonidos que según los patrones musicales están demasiado desafinados, por razones que pronto aclararemos. Todos los sistemas naturales vibrantes generan armónicos. En condiciones normales, una cuerda vibrante, no produce sólo el sonido fundamental, sino que a la vez suenan todos los armónicos juntos. Los armónicos sobre la fundamental están presentes en el sonido, pero con una intensidad mucho más débil que la fundamental; su fuerza relativa decrece cuanto más alto es el número del armónico, y en la mayoría de los casos, no son audibles en absoluto más allá del decimosexto armónico. La intensidad relativa de los armónicos sobre una fundamental contribuye a nuestra percepción del timbre y de la individualidad instrumental; la distribución de estas intensidades relativas da como resultado una forma de onda característica. Un sonido puro, es decir una fundamental sin armónicos, tiene una sonoridad clara y pobre como un zumbido.

5 Proporciones interválicas La serie de armónicos del ejemplo precedente consta de sonidos que mantienen relaciones interválicas entre sí, pero estas relaciones permanecen constantes sea cual sea la fundamental. Por ejemplo, los seis primeros armónicos del Fa# bajo el Do-4 central son: Figura 3.4. Primeros armónicos de Fa#. Se puede comprobar con facilidad, experimentando con cuerdas de diferente afinación, que la proporción de la longitud de la cuerda para cualquier intervalo debe ser constante, suponiendo que la tensión y la densidad de la cuerda permanezcan constantes. En el plano frecuencial, podemos determinar que las frecuencias de los sonidos de la escala corresponden logarítmicamente a números enteros. Esto es bastante fácil de ver con la relación de octava. Si partimos de una frecuencia f, su octava superior será 2f, la superior 2 2 f, la siguiente 2 3 f y así sucesivamente. Estos coeficientes corresponden a los números de la serie de armónicos. Para el intervalo de octava más quinta justa, la relación en frecuencia sería 1:3 es decir, 3f. El sonido a dos octavas por encima sería 2 2 3f y así sucesivamente. El principio que se desprende es que cuando se suman intervalos, sus proporciones en frecuencia se multiplican. Esto es comparable a un procedimiento logarítmico en base 2.

6 25 Esta propiedad sugiere que debería ser posible obtener sonidos que no aparecen en la serie armónica de Do, y por tanto generar toda la escala cromática en un ámbito dado. Por ejemplo, podríamos generar doce alturas diferentes a partir del Do más grave del piano y afinar los sonidos con quintas justas pitagóricas. Figura 3.5. Serie de Quintas de Do. Puesto que cada una de estas quintas tiene una relación de frecuencia 3 2 de (lo que equivale a una longitud de cuerda de ), para sumar quintas 2 3 sucesivamente, tenemos que multiplicar la frecuencia más grave por 3 factores sucesivos de. Los números del ejemplo son los multiplicadores 2 y el Do más grave es la frecuencia básica (que según el patrón internacional de afinación es de Hz). La serie de once quintas superpuestas proporciona los doce sonidos de la escala cromática y acaba con el Mi# agudo. Si afinamos las notas correspondientes en el piano con las frecuencias indicadas, el resto es una cuestión sencilla, pues partiendo de las notas afinadas basta añadir octavas hacia arriba o hacia abajo. Por desgracia, este procedimiento da resultados muy poco satisfactorios. Para ver el porqué, calculemos la frecuencia de la siguiente quinta ascendente de la serie, el Si# agudo, que enarmónicamente corresponde al Do más agudo del piano. Su frecuencia en relación con la del Do más grave, a partir del procedimiento de las quintas sucesivas sería 3 12 = 129,746. Sin embargo, si consideramos que este Do está a siete 2 octavas sobre el Do más grave, su relación con la frecuencia inicial sería

7 = 128. Esto significa que el Si# obtenido afinando quintas ascendentes desde el Do grave será algo más agudo que el Do obtenido afinando octavas ascendentes. El cociente entre las dos alturas, expresada como la proporción interválica se llama coma pitagórica, que es algo más pequeña que un cuarto de tono, pero fácilmente perceptible. Una coma comparable no se podía haber evitado afinando los sonidos mediante cuartas justas, como demuestra el ejemplo siguiente. Figura 3.6. Serie de Cuartas de Do. La proporción de la cuarta justa 3 4 multiplicada doce veces, da un resultado algo menor que el de cinco octavas mediante un factor de 1.014, 4 12 al igual que en el caso precedente: = = 32 y el Rebb final será 3 fastidiosamente más grave que el Do correspondiente. Una pequeña investigación adicional bastará para descubrir que ninguna de las proporciones que representan intervalos simples dará una división de la octava libre de comas Figura 3.7. Afinación por serie armónica y por quintas sucesivas.

8 27 En el primer caso el Mi se obtiene como 5 1 de la longitud inicial lo que significa una frecuencia 5 veces mayor. En el segundo caso el Mi se 3 4 obtiene tomando quintas sucesivas lo que supone = El resultado práctico de cualquiera de estas afinaciones es que las notas más agudas en la superposición de intervalos repetidos están cada vez más desafinadas. Las desigualdades derivadas de la multiplicación, inherentes a las proporciones interválicas, se pueden comprobar en la propia serie armónica. 81 La proporción de esta diferencia, llamada coma sintónica, revela 80 un hecho sorprendente. En el caso de las otras comas, era evidente que existía una diferencia de notación entre Si#, Rebb y Do, y podríamos haber supuesto que estas diferencias de notación eran el resultado de las diferencias naturales en el método empleado para generar las frecuencias. En el caso de los dos Mi del ejemplo anterior, no existe esta diferencia de notación, ambos son el mismo Mi. Examinemos de nuevo la serie armónica. Una propiedad que podemos advertir, es que los intervalos entre armónicos adyacentes se van 10 haciendo cada vez más pequeños (p.ej. = es más pequeño que 9 9 =1.125). Pero esto no es evidente en la notación. En el ejemplo, la 8 distancia entre Do y Re es una segunda mayor, al igual que entre Re y Mi. Así existe una desigualdad entre la serie armónica que podemos generar y la notación musical que hemos elegido para representarla. En otras palabras, nuestro sistema familiar de notación no puede representar en detalle las notas de la serie armónica, o al menos no todas las notas. Sabemos que la notación musical que utilizamos, aunque complicada e incómoda de aprender, es adecuada para representar la música de nuestra experiencia habitual, y quizás resulte algo alarmante descubrir que está en desacuerdo con la realidad acústica

9 El sistema temperado La respuesta a esta evidente contradicción la proporciona el temperamento igual, inventado a principios del siglo XVII, pero que no gozó de amplia difusión hasta la época de J.S.Bach (que contribuyó en gran medida a popularizarlo). En el temperamento igual, la octava se divide en doce intervalos de semitono exactamente iguales, lo que significa que cada semitono de la octava, allí donde esté situado, está representado por una proporción constante, a saber 12 2 = La segunda mayor temperada 2 viene representada por 2 12 y la tercera menor 2 12 y así sucesivamente a lo largo de toda la escala cromática, de modo que la octava viene representada por 2 =2. El factor 12 2 es un número irracional y no puede expresarse como fracción de dos enteros, por tanto, el semitono temperado no puede ser el intervalo exacto entre ningún par de sonidos de la serie armónica (aunque 18 un valor muy aproximado es ) 17 3 Lo que esto significa es que de todos los intervalos de la escala cromática temperada, sólo las octavas están afinadas con exactitud. Desde el punto de vista de la afinación ideal, medida por la serie armónica, esto es una desventaja general, desde el punto de vista de la interpretación y la notación musical práctica, sin embargo, la ventaja es inmensa. Las comas desaparecen y las diferencias de entonación entre los intervalos se dividen por igual a lo largo de toda la escala y son demasiado pequeñas para ser percibidas en la interpretación En nuestro sistema de notación musical, su base diatónica permite un subsistema den notas cromáticas con signos de sostenidos y bemoles, y que el temperamento igual acomoda a la perfección esas notas cuando se emplea la equivalencia enarmónica. Un pequeño cálculo demuestra que la proporción de la quinta justa 7 temperada (siete semitonos) es 2 12 =1.498, ligeramente más pequeña que 1.5, la quinta pitagórica. La tercera mayor temperada es , más grande que la tercera mayor de la serie armónica En definitiva, todos los intervalos excepto la octava están imperceptiblemente desafinados.