MÉTODO DE COMPENSACIÓN DEL MOVIMIENTO DE CUERPO RÍGIDO EN INTERFEROMETRÍA ELECTRÓNICA DE PATRONES DE MOTEADO

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1 MÉTODO DE COMPENSACÓN DEL MOVMENTO DE CUERPO RÍGDO EN NTERFEROMETRÍA ELECTRÓNCA DE PATRONES DE MOTEADO R. A. Martínez-Celorio 1, B. Barrientos 1, Francisco J. Sánchez-Marín 1, Luis Martí López 2 1 Centro de nvestigaciones en Óptica, AC, Apdo 1-948, C.P , León, Gto, México. Fax: Centro de Neurociencias de Cuba, Apdo 6412, C.P , La Habana, Cuba. Resumen: La nterferometría Electrónica de Patrones de Moteado (ESP) está limitada a la medición de pequeños desplazamientos o deformaciones. Una de las causas de esta limitación lo constituye el desplazamiento de cuerpo-rígido(rbd), el cual provoca una decorrelación entre los campos de moteado que interfieren. Para disminuir esta causa nosotros proponemos utilizar las técnicas de fotografía digital de moteado, las cuales utilizan la correlación entre dos irradiancias de moteado para determinar el RBD que tuvo el objeto. Luego, conociendo el RBD es posible compensar su valor en el interferograma del estado final y obtener patrones de franjas con la información del desplazamiento o de la deformación a medir. El método propuesto fue probado en una superficie metálica sometida a un desplazamiento de 1µm en su parte central y a un RBD de 100µm. En los resultados se observa que tanto la alta sensibilidad como el contraste de las franjas son los inherentes a las técnicas ESP. NTRODUCCÓN ESP es una técnica bien establecida para la medición de pequeños desplazamientos de los objetos [1]. Esta técnica produce patrones de franjas de correlación por substracción entre dos campos de moteado. Las técnicas ESP presentan varias ventajas entre las cuales podemos citar: son técnicas de no-contacto, permiten medir de forma rápida y automática los desplazamientos en tres dimensiones, tienen una alta sensibilidad, etc [2]. Sin embargo, tienen la desventaja que el intervalo de medición es pequeño, 30µm, aproximadamente [3]. Esta limitación se debe a los efectos de decorrelación de las motas. Uno de los factores que más influye en la decorrelación de las motas es el RBD [4]. Este desplazamiento disminuye la calidad de las franjas conduciendo a resultados erróneos en la medición de una magnitud, e incluso puede inhibir la utilización de ESP. Varios autores resuelven este problema utilizando variantes del método de desenvolvimiento temporal de la fase (TPU) [5], por ejemplo, Joenathan et al. analizan variaciones en la frecuencia media temporal de la intensidad de las motas [6] y R. A. Martínez-Celorio et al. utilizan métodos híbridos espacio-temporales para medir grandes desplazamientos [7]. Sin embargo, en ambos casos es necesario un número grande de patrones intermedios entre los estados inicial y final de la deformación medida, para evitar los efectos de de correlación de los campos de moteado. Además, en ambos métodos, la información de la fase final obtenida está presente la componente de error debido al RBD. Una técnica efectiva para medir grandes desplazamientos en el plano es la fotografía de moteado de doble exposición (SP). Esta técnica se basa en correlacionar las funciones de irradiancia de los campos de moteado en instantes antes y después de haber sido desplazado el objeto [8]. Así, estas técnicas permiten medir desplazamientos del objeto mayores al diámetro medio de las motas, donde las técnicas de ESP fallan. Sin embargo, la sensibilidad de los métodos fotográficos es menor que los de ESP en una razón de 1/10, aproximadamente [9]. Recientemente, Andersson et al. [10] publicaron un trabajo donde compensan grandes movimientos en el plano en ESP con el uso de fotografía digital de moteado (DSP). Ellos obtienen las irradiancias de dos campos de moteado que representan el movimiento rígido de las motas entre los estados inicial y final del desplazamiento. Luego, utilizando las técnicas de DSP obtienen el valor del desplazamiento de RB, el cual es usado para compensar la irradiancia en el estado deformado, lo cual a su vez permite la utilización de las técnicas de ESP.

2 En este artículo nosotros presentamos un método que combina las técnicas de ESP, corrimiento espacial de la fase (SPS) y de DSP para estudiar desplazamientos fuera del plano en presencia de RBD en el plano. Para probar el método, se implementaron las técnicas de corrimiento espacial de la fase (SPS) [11,12]. El método permite medir desplazamientos fuera del plano del objeto en presencia de desplazamientos en el plano mayores a la longitud de correlación de las motas. Empleando este método es posible obtener un alto contraste de franjas sin necesidad de utilizar patrones intermedios; además que mantiene la sensibilidad de las técnicas de ESP. En la segunda sección se presentan los fundamentos teóricos del trabajo. La sección 3, explica los detalles experimentales y en la sección 4 se muestran y discuten los resultados obtenidos en las mediciones. Finalmente en la sección 5, se presentan las ventajas y desventajas del método propuesto. Correlación por substracción con desplazamiento espacial de la fase Este método consiste en introducir una diferencia de fase constante, α, entre pixeles consecutivos en una cámara CCD. Luego, aplicando la substracción con desplazamiento entre dos patrones de moteado consecutivos, es posible obtener un conjunto de tres patrones de franjas de correlación con una diferencia de fase de α entre estos. Para realizar la correlación por substracción uno de los patrones es desplazado una distancia - 0, x. Si x es tomado como el espaciamiento interpixel, la correlación por substracción es digitalmente realizada desplazando el patrón de moteado un píxel a la izquierda y entonces se calcula el valor absoluto de la substracción. El mismo procedimiento es repetido desplazando 0 píxel y un píxel a la derecha. Después de este paso las siguientes ecuaciones pueden ser aplicadas [12]: donde: (1) 1 = SP1 SP2 j ) = o1[ 1 + b1 cos( φ( α) ] 2 = SP1 SP2 = 02[ 1 + b2 cos( φ( )] = SP SP j + 1) = [ 1 + b cos( φ( + α )] SP 1 e SP 2 son patrones de moteado consecutivos; 0i son las irradiancias promedios; b i son los factores de modulación; φ( es la fase a calcular y α es la constante de fase desplazada Para implementar este método el tamaño de la mota debe ser mayor que tres pixeles; así se evita el efecto de decorrelación de las motas al desplazar el patrón. Si esta condición es satisfecha; además que, el desplazamiento a medir es menor que la longitud de correlación de las motas, en la ecuación (1) podemos asumir que: y b 1 b 2 b 3. Esta condición se incumple cuando el objeto tiene un desplazamiento rígido en el plano mayor a la longitud de correlación de las motas. Compensación del desplazamiento de cuerpo-rígido por métodos de fotografía digital de moteado El RBD se puede compensar mediante las técnicas de DSP, cuya idea básica es realizar una doble exposición del movimiento del objeto, para después correlacionar estas exposiciones [13]. Para realizar la correlación, las imágenes son divididas en subimágenes de N N pixeles, lo cual permite obtener el desplazamiento local en cada zona. Como resultado de este proceso es obtenido un pico de correlación en la posición que indica el valor del RBD de cada zona. La expresión que describe la correlación entre las funciones A( y esta misma desplazada una distancia ( es: A { } ( y ) A( x + y + y ) = [ A( y )] [ A( x + y + y )] (2) donde:,, -1,, representan los símbolos de las operaciones de correlación, transformada de Fourier, la inversa de la transformada y la operación de conjugación compleja, respectivamente. Así, por cada sub-imagen puede ser obtenido el r vector de desplazamiento, u (, en cada zona que indica el módulo, dirección y sentido del desplazamiento en el plano debido al RBD. Estos vectores permiten obtener los valores de x y y para cada sub-imagen, los cuales se utilizan para compensar por zonas el patrón de moteado del estado final. Para realizar la compensación, a cada píxel del patrón del estado final se le recupera sus coordenadas originales eliminando el desplazamiento debido al movimiento en el plano del objeto. Este método tiene una precisión de subpíxel y permite conocer el sentido del desplazamiento. Una vez realizada la compensación es posible utilizar las técnicas de ESP mostradas en la ec. 1 y obtener el mapa de fase con la información del desplazamiento requerido.

3 Cálculo de la fase Un mapa de fase envuelto, puede ser obtenido a través de la aplicación de un algoritmo standard de tres pasos [14] como: φ ( = arctan + 1 ( ( ( ) y + ( 2 ( (3) donde i ( son los patrones de franjas compensados obtenidos mediante la ecuación (1). Utilizando las ecuaciones (1,3) se puede obtener un mapa de fase envuelta [ π,π] el cual contiene solamente la información producida por la deformación fuera del plano. Finalmente, aplicando los métodos de desenvolvimiento de fase [15] se obtiene un mapa de fase con la información de la deformación buscada. acoplada a una lente zoom que trabaja con un F# de 30, de forma tal que el tamaño de las motas fue de 40.86µm, aproximadamente. Una tarjeta de adquisición de imágenes Matrox Meteor con una resolución de pixeles y 8 bits por píxel fue usada para adquirir las imágenes. Los programas para el procesamiento de las imágenes fueron implementados en lenguaje de programación Matlab versión 6.0 para sistema operativo Windows. RESULTADOS Y DSCUSÓN Cuatro imágenes fueron grabadas en el disco duro de la PC, dos del estado inicial y otras tantas del estado final del objeto. Las imágenes grabadas en ambos estados fueron: el haz objeto DETALLE EXPERMENTAL La figura 1 describe el arreglo experimental usado para medir deformaciones fuera el plano del objeto. Un láser de He-Ne es usado como fuente de iluminación. La longitud de onda del láser es de 633nm y tiene una potencia de salida de 80mW. El haz del láser fue dividido en dos haces, el haz objeto y haz de referencia, con una relación de 10:1, respectivamente. El haz de referencia se filtra espacialmente y se ajusta para tener una incidencia normal (θ 0 rad) sobre el sensor de la cámara CCD. El espejo M de la fig. 1 direcciona el haz de referencia por medio de una montura de rotación (RS), la cual permite ajustar ángulos pequeños con una precisión de 0.5mrad. En orden de introducir un desplazamiento de fase entre los haces de referencia y objeto, el espejo M se inclina un ángulo θ. El haz objeto ilumina una placa rectangular de dimensiones de cm 2, la cual está fija en sus bordes y se encuentra colocada en una montura de traslación que produce una traslación de toda la placa en el plano perpendicular al eje del sistema óptico. Esta montura de traslación se utiliza para introducir un RBD del objeto perpendicular al eje óptico del sistema. En la parte central posterior de la placa es colocado un simple mecanismo compuesto por una cuerda, una polea y un platillo donde se depositan masas para deformar el objeto fuera del plano. Fig. 1 Arreglo experimental. BS, divisor de haz; M, espejos de 100% de reflexión; RS, montura de rotación. solamente y la interferencia entre los haces objeto y referencia. Entre los estados inicial y final el objeto fue sometido a un RBD en la dirección x de x=80µm y en la dirección y de y=60µm, lo cual implicó un desplazamiento en el plano, ( x 2 + y 2 ) 1/2, de 100µm. Adicionalmente, la placa fue sometida a una carga de 28g, de forma tal que su centro se desplazó 1µm en la dirección perpendicular al plano de la placa desde la posición sin carga. Esta medición se comprobó utilizando primero una escala digital para los pesos y comprobando con un arreglo ESP, sin movimiento de cuerpo-rígido, para obtener una deformación del objeto fuera del plano con un cambio de fase menor que π. Una cámara Kodak, fue utilizada para adquirir las imágenes del experimento. El tamaño de los pixeles de la cámara CCD es de 9µm 2. La cámara fue (a) (b)

4 (c) Fig. 2 rradiancias del objeto en los estados inicial (a) y final (b), en (c) vectores de correlación de cada zona. Las irradiancias del objeto fueron usadas para el cálculo del RBD. En la figura 2a-c se muestran las imágenes de las fotografías de moteado del haz objeto en los instantes inicial (a) y final (b). Estas imágenes fueron divididas en sub-imagenes de pixeles para correlacionarlas y obtener el RBD en cada zona. Este resultado es mostrado en la Fig. 2c. Las flechas indican el módulo, la dirección y el sentido del vector de desplazamiento del cuerpo-rígido en el plano. Como el cuerpo fue desplazado como un todo, los vectores mostrados son iguales. Para incrementar la resolución espacial de la correlación, las imágenes pueden dividirse con un tamaño menor (16 16). Una vez obtenidos los r valores del vector u ( por cada zona fue posible determinar los valores de x y y, los cuales se utilizaron para compensar el RBD en el patrón de moteado del estado final. En este estado el patrón obtenido se encuentra libre del RBD y es posible aplicar las técnicas de SPS mencionadas. Para aplicar el método de SPS el haz de referencia fue rotado un ángulo (θ 13.57mrad). Esta rotación se escogió para introducir una diferencia de fase de π/2 entre pixeles adyacentes de la CCD. Aplicando las ecuaciones 1, se obtienen los tres patrones de franjas mostrados en la figura 3a-c. (a) (b) (c) Fig. 3 Patrones de franjas obtenidos por el método de SPS después de compensar el patrón de moteado del estado final. La diferencia de fase en (a) es de π/2 rad, en (b) y (c) es de 0 y π/2 rad, respectivamente. En la figura 3a se muestra el patrón de franjas obtenido después de haber desplazado un píxel a la izquierda, al patrón de moteado compensado, para luego realizar la correlación por substracción con el patrón de moteado de referencia. Las figuras 3b-c corresponden a un desplazamiento de fase de 0 y un píxel a la derecha, respectivamente. En las imágenes mostradas en la fig. 3 se observa que existe una diferencia de fase de π/2 entre los consecutivos patrones de franjas. Además, la calidad de las franjas obtenidas es alta, lo cual muestra que el sistema mantiene la sensibilidad de los sistemas ESP. Luego, cada patrón de franja es filtrado mediante un filtro pasa-bajas, para eliminar la fase aleatoria debida al ruido de moteado. Seguidamente, se aplica un algoritmo de tres pasos de phase-stepping, ec. 3, para obtener un mapa de fase envuelta en el intervalo de [ π,π], correspondiente únicamente a la deformación fuera del plano del objeto. Finalmente en la figura 4a-b, se muestra el mapa de fase desenvuelta en dos (a) y tres (b) dimensiones, debido al desplazamiento fuera del plano del objeto. El mapa mostrado está normalizado de tal manera que la unidad corresponde a un desplazamiento de 1µm. (a) (b) Fig. 4 Mapa de fase desenvuelta normalizado que representa solamente al desplazamiento fuera del plano. En (a) la representación en niveles de grises, en (b) gráfica en tres dimensiones (la unidad se corresponde al valor de un 1µm). En este experimento es imposible utilizar el método de SPS sin previamente compensar al patrón de moteado del estado final, ya que el RBD es mayor que el tamaño de las motas. Para analizar cuando la calidad de las franjas se comienza a afectar por el RBD, se repitió el experimento para varios valores obteniéndose que para RBD mayores a 22.5 µm la calidad de los patrones de franjas disminuía considerablemente. Este resultado corresponde aproximadamente con el 50% del tamaño de la mota. Basados en lo anterior se calculó una cota de error relativo, ε r, en la medición de la fase. El cálculo de ε r se realizó mediante la expresión ε r = (φ c φ s )/φ c, donde φ c representa la fase

5 calculada compensando al patrón de moteado del estado final y φ s es la fase calculada sin la presencia de RBD. Para calcular este error se escogió un RBD de 20µm, dando un error relativo del 8%. El mismo procedimiento fue usado para comparar el cálculo de la fase sin la presencia de RBD y en presencia de este, pero compensando el patrón de moteado del estado final. Como resultado se obtuvo un valor del error relativo de 1.9%. Este error es debido principalmente al cálculo de las coordenadas ( mediante el algoritmo de correlación utilizado, que pese a tener una precisión de subpíxel, en realidad para valores no enteros del desplazamiento presenta errores por redondeo de la posición del pico de correlación. Otros errores que intervinieron en los resultados son los debidos a ruido remanente en el proceso de filtrado, imprecisión en la determinación del ángulo del haz de referencia. Una de las principales limitaciones en la precisión de los métodos de ESP con portadora espacial es la necesidad de tener pequeñas aperturas en el sistema óptico para generar tamaños de moteado grandes. Esto conlleva a que la intensidad de la luz reflejada en el objeto y que llega al sensor de la CCD sea pequeña. CONCLUSONES El método propuesto demuestra que mediante la combinación de técnicas de ESP y de DSP se pueden medir desplazamientos fuera del plano en presencia de grandes movimientos de RB en el plano, 100µm. La combinación de ambas técnicas evita la utilización de patrones de moteado intermedios, métodos de TPU, si la causa de la decorrelación de los patrones de moteado es debida al movimiento de RB. La utilización de SPS nos da la posibilidad de analizar eventos transitorios rápidos. Los resultados muestran que la sensibilidad y el contraste del presente método son aquellos observados en ESP. REFERENCAS [1] R. K. Erf. Speckle Metrology. Academic Press. New York (1978). [2] R. Jones & C. Wykes. Holographic and speckle nterferometry. 2 nd Ed. CUP Cambridge (1989). [3] R. S. Sirohi. Speckle Metrology. Marcel Dekker. New York (1993). [4] B.Pouet. Additive/subtractive decorrelated electronic speckle pattern interferometry. Opt. Eng. 32, (1993). [5] J. Huntley, H. Saldner. Temporal phaseunwrapping algorithm for automated interferogram analysis. Appl. Opt (1993). [6] C. Joenathan, Bernhard Franze, Pascal Haible, Hans J. Tiziani. Novel temporal Fourier transform speckle pattern shearing interferometer. Opt. Eng. 37(6) (1998). [7] R. A. Martínez-Celorio, A. Dávila, B. Barrientos, J. H. Puga, Luis Marti Lopez. Matched spatialphase-shifting for the temporal-phaseunwrapping in electronic speckle pattern interferometry. accepted Optik [8] Mikael Sjödahl. Digital speckle photography. in Trends in optical Non-Destructive Testing and nspection. Ed. Pramod K. Rastogi and Daniele naudi. Elseiver (2000). [9] Thomas Fricke-Begemenn, Jan Burke, Speckle interferometry: three-dimensional deformation field measurement with a single interferogram. Appl. Opt. 40, (2001). [10] Andersson A., Runnemalm A, Mikael Sjödahl, Digital speckle-pattern interferometry: retrieval for large in-plane deformations with digital speckle photography. Appl. Opt (1999). [11] G. Pedrini, B. Pfister, H. Tiziani. Double pulseelectronic speckle interferometry. Journal of Modern Optics 40, (1993). [12] G. Pedrini, H. Tiziani. Double pulse-electronic speckle interferometry. Appl. Opt. 33, No. 34, (1994). [13] T. Upton, D. Watt. Optical and electronic design of a calibrated multichannel electronic interferometer for quantitative flow visualization. App. Opt. 34, (1995). [14] D. Malacara, M. Servin, Z. Malacara. nterferogram analysis for optical testing. Marcel Dekker, New York (1998). [15] D. Ghiglia, M. D. Pritt. Two-Dimensional Phase Unwrapping theory, algorithms, and software. John Wiley & Sons, nc

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