Clase 1. Simulación de procesos estocásticos.

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1 Clase 1 Simulación de procesos estocásticos 1 Introducción De un modo muy general, podemos decir que la probabilidad es la disciplina que se ocupa del estudio de lo aleatorio (o estocástico) y que un proceso estocástico es el estudio de lo aleatorio cuando se incorpora la variable tiempo Por ejemplo, lo que sucede al lanzar una moneda no es un proceso estocástico; sin embargo, la secuencia de resultados obtenidos al lanzar una moneda varias veces seguidas sí que lo es En el campo de las telecomunicaciones encontramos distintas áreas que requieren del control de lo aleatorio Nos servimos de la teoría de la señal para ilustrar el concepto de aleatorio en este campo Una señal aleatoria es una onda en el tiempo que sólo puede caracterizarse mediante la probabilidad Más concretamente, una señal de radio o televisión, cuya emisión está muy controlada, pues llegar al receptor con ciertas perturbaciones como pitidos de fondo o nieve en la imagen La onda que se superpone a la emisión de la radio o de la televisión es una tensión que vista en el osciloscopio fluctúa aleatoriamente (sin un patrón específico) en el tiempo Esta onda se denomina ruido La señal anterior es inherente a cualquier emisión considerada en el campo de la telecomunicación y no es en absoluto deseable, es un mal con el que se convive Ahora bien, también hay señales aleatorias deseables, como puede ser la sucesión de ceros y unos (bits) que transmite un ordenador, la energía eléctrica producida por un aerogenerador, la señal producida por un detector solar, etc El hecho de que las señales anteriores sean aleatorias se debe a que hay fenómenos aleatorios que las generan, como la fuente de información a la que accede el ordenador, la velocidad del viento o las condiciones meteorológicas Ejercicio 1: Generar un ruido con R Consideramos el experimento de lanzar una moneda en el que asignamos el valor 1 al suceso salir cara y el valor -1 al suceso salir cruz 1) Qué distribución sigue esta variable? 2) Si repetimos n veces el experimento, qué distribución sigue la variable número de caras obtenidas? 3) Genera 200 realizaciones de esta variable y guárdalas en un vector denominado ruido 4) Representa la realización del proceso 1

2 2 Procesos estocásticos Antes de dar la definición conviene recordar que las distintas ocurrencias del azar para un experimento aleatorio concreto constituyen el espacio muestral, que se representa con la letra Ω y cada una de estas ocurrencias la denotamos con la letra ω En el contexto de procesos estocásticos, no es necesario determinar, en general, qué elementos constituyen Ω simplemente se incluye por conveniencia notacional y por dejar constancia de que el azar actúa Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias {X(t, ω)} que dependen de dos variables, t que representa su evolución en el tiempo, y w, que es un suceso elemental de un espacio muestral Ω Así, para cada valor ω se tiene una sucesión infinita de valores a lo largo del tiempo que se denomina realización del proceso Por otra parte, fijado un instante t, para distintas ocurrencias en Ω se tienen distintos valores de la variable X y esto se denomina muestra En lo sucesivo, al igual que se hace con una variable aleatoria, se escribirá un proceso estocástico {X t } sin hacer explícita su dependencia con el azar El espacio muestral Ω es desconocido en general y tampoco es necesario determinarlo para trabajar con procesos, su único papel es el de hacer presente la acción del azar Ejemplo: Consideremos el lanzamiento de una moneda infinitas veces, esto es, una sucesión infinita de ensayos de Bernoulli El resultado de este proceso es una sucesión infinita de ceros y unos (cero cruz, uno cara) que denotamos así (X 1 n) El superíndice 1 se refiere a que es la primera realización de este proceso, porque ahora vamos a volver a empezar de cero y vamos a lanzar una moneda infinitas veces Aunque el proceso es el mismo, la secuencia de ceros y unos no será la misma, obviamente, por efecto del azar El resultado de este proceso lo denotamos (X 2 n) Volvemos a repetir el lanzamiento infinito de monedas tantas veces como queramos, de esta manera estamos creando una sucesión de realizaciones del proceso lanzar una moneda infinitas veces: (X 1 n), (X 2 n), (X 3 n), instante 1 instante 2 instante 3 instante m realización 1 : X1 1 X2 1 X3 1 Xm 1 realización 2 : X1 2 X2 2 X3 2 Xm 2 realización 3 : X1 3 X2 3 X3 3 Xm 3 realización m : X1 m X2 m X3 m Xm m 2

3 Ejercicio 2: Generar distintas realizaciones de un proceso estocástico Consideramos de nuevo el experimento del ejercicio 1 1- En primer lugar, realizaremos el estudio sin utilizar el ordenador a) Escribe y dibuja todas las realizaciones de tamaño 3 que puede generar este ruido b) Calcula la distribución de probabilidad de las variables X i : i-ésimo resultado del ruido c) Estudia la independencia de las tres variables 2- Ahora repetiremos el estudio simulando en R a) Genera 100 realizaciones de tamaño 200 del ruido anterior Guarda la simulación en una matriz, A, en la que las filas representen las realizaciones y las columnas los instantes de tiempo b) Representa 4 de estas realizaciones en una misma pantalla c) A partir de la definición frecuentista de la probabilidad, comprueba que se cumplen los resultados del apartado 1b) en un par de instantes, cualesquiera 3 Convergencia Resultados límite La disposición de un proceso estocástico por filas y columnas presentada en la sección anterior junto con la simulación realizada en el ejercicio 2 nos permitirá escribir algunos resultados límite fundamentales tanto desde el punto de vista teórico como práctico Observa que si fijas un instante de tiempo t, estás tomando una columna de observaciones, esto es: (X t (ω 1 ), X t (ω 2 ),, X t (ω n )); donde n se refiere al número de realizaciones Puesto que t es siempre el mismo valor y estos datos varían según la realización del azar y supondremos que estas realizaciones son independientes entre sí, podemos escribir el vector anterior del siguiente modo: (X 1, X 2,, X n ) Esto es una muestra aleatoria simple de la variable X(t, w) que, en el contexto en el que nos encontramos ya la podemos denotar X Por otra parte, de esta variable aleatoria nos interesa conocer media µ X, y varianza, σx 2, así como su distribución Recordarás del curso de estadística básico algunos resultados importantes sobre muestras: 1 La variable X n = n X i /n es un buen estimador del parámetro media i=1 3

4 2 X n µ: cuanto mayor es n, más se aproxima a la media, en dos sentidos: (a) Ley débil: P ( X n µ > ε) 0 (b) Ley fuerte: P (X n µ) = 1 3 Teorema Central del límite: Conforme n crece, X n N(µ, σ 2 /n) NOTA IMPORTANTE: Observa que si en lugar de fijar t, fijamos ω, estamos considerando una realización del proceso y el azar ha actuado una sola vez, los valores de la realización se deben tratar de modo determinista Observa el siguiente cuadro: fijado t, X(t, ω) = X t fijado ω, X(t, ω) = x(t) X t es una variable aleatoria x(t) es una realización 1 T E[X t ] tiene sentido A(t) = lim T x(t)dt 2T 4 Clasificación de procesos En estadística básica se distingue entre variables aleatorias discretas y continuas Aunque el concepto de distribución de probabilidad, esperanza y varianza es el mismo, el tratamiento matemático de las variables es distinto según la naturaleza de la variable Con los procesos estocásticos sucede algo análogo, deberemos distinguir si la información que proporcionan es discreta o continua y si el tiempo es continuo o solo realizamos observaciones a intervalos regulares de tiempo t/x discreta continua discreto secuencia aleatoria discreta proceso discreto en el tiempo lanzamiento de una moneda colesterol en sangre continuo proceso aleatorio discreto proceso aleatorio continuo corriente en un circuito ruido térmico de red Ejercicio 3 Clasificación mediante gráficos Simula con R una realización de longitud 200 para cada uno de los siguientes procesos Cada uno pertenece a uno de los cuatro grupos considerados previamente a) El número esperado de llamadas telefónicas que llegan por minuto a una centralita es de 10 Simula una realización del proceso que cuenta el número de llamadas hasta el minuto i, con i = 1,, 100 Consideramos la hipótesis 4 T

5 habitual de que el número de llamadas por unidad de tiempo se comporta como una Poisson b) Un observatorio meteorológico realiza mediciones cada 5 minutos de la temperatura en el exterior en un día caluroso de agosto en el que no hay grandes alteraciones climatológicas Simula una realización del proceso de 100 observaciones, sabiendo que en todo ese tiempo la temperatura tiene un comportamiento normal de media 36 y desviación típica 1 c) Un parque eólico tiene un potente anemómetro que mide permanentemente la velocidad del viento en metros por segundo Durante un seguimiento continuo de una hora, observamos velocidades que se comportan como una distribución gamma de parámetros α = 2 y β = 2 Simula una realización de este proceso d) El sistema de alarma de un edificio tiene un sensor que transmite la señal 0 mientras no detecta una intensidad de corriente superior a 20 amperios, en el momento que lo detecta transmite un valor igual a uno Suponemos que la intensidad de corriente, I, se comporta como una exponencial trasladada 15 unidades Esto es, I = 15 + X, donde X ξ(025) Simula el proceso que representa la señal emitida durante una hora Anexo: comandos de R para tratar distribuciones de probabilidad Primeras instrucciones que permitan aprovechar sus posibilidades como lenguaje para programar problemas de simulación COMANDO rnorm(n, µ, σ) rbinom(m, n, p) rpois(n, λ) rexp(n, λ) rgamma(m, n, λ) COMANDOS DE R FUNCIÓN genera n realizaciones de una va N(µ, σ) genera m realizaciones de una Bi(n, p) genera n realizaciones de una va (λ) genera n realizaciones de una va ξ(λ) genera n realizaciones de una va E(n, λ) Observa que el comando es el nombre abreviado de la distribución precedido de la letra r Existen otros tres comandos que se escriben precediendo las letras d, p y q al nombre abreviado de la distribución y proporcionan, respectivamente, la función de distribución de masa o densidad, la función de distribución acumulada y el cuartil En el siguiente cuadro escribimos su significado con expresiones probabilísticas, según la variable X sea discreta o continua (suponemos X Bi(20, 04) e Y N(0, 1) y z es un valor entre 0 y 1) 5

6 Figure 1: Ejercicio 3 6

7 COMANDOS DE R DISCRETA CONTINUA dbinom(x, n, p) = P (X = x) dnorm(y, µ, σ) = f(y) pbinom(x, n, p) = P (X x) pnorm(y, µ, σ) = P (Y y) = P (Y < y) P (X qbinom(z, n, p)) = z P (Y qnorm(z, µ, σ)) = z Ejercicio 4 Indica qué se consigue con el siguiente programa en R repeticiones< acumulador<-array(0,repeticiones) resultados<-array(0,repeticiones) proporcion<-array(0, repeticiones) for (i in 1:repeticiones) if (runif(1,0,1)<05) resultados[i]<-1 if (i==1) acumulador[i]<-resultados[i] else acumulador[i]<-acumulador[i-1]+resultados[i] proporcion[i]<-acumulador[i]/i plot(seq(1,10000,1), proporcion, type= l ) Trabajo 1 Vamos a comprobar que los resultados obtenidos en la sección 3 se corroboran con los resultados de simulación Aprovecharemos este ejercicio para recordar algunos resultados estudiados en el curso de Estadística básica a) Considera una variable de interés de acuerdo a la distribución de probabilidad que te sea indicada en clase, debes inventar un contexto práctico que no necesariamente debe encontrarse en el campo de la telecomunicación b) Repasa las características de la misma: distribución de probabilidad o de densidad, media, varianza, parámetros que la determinan, etc c) Efectúa una simulación de tal manera que del resultado de la misma puedas comprobar: c1) Ley fuerte de los grandes números c2) Ley débil de los grandes números c3) Teorema central del límite Tanto para c1) como para c3) acompaña la simulación con un gráfico adecuado que dé idea de lo obtenido con cada resultado de convergencia d) Finalmente para el contexto inventado para tu variable en el apartado a) debes hacer un cuadro comparativo de cómo tu simulación se asemeja a lo teórico de acuerdo a los siguientes puntos: d1) Si tu variable es discreta el diagrama de barras de la simulación debe ser parecido al diagrama de barras de la distribución continual Si es continua, 7

8 el histograma de la simulación debe tener un perfil similar al de la función de densidad d2) Los cuartiles teóricos deben asemejarse a los de la simulación 8