I.T.I. FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Física Mecánica Félix Rodríguez - Carlos Bastidas - 10 Guía 11 Conservación de la Energía

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1 I.T.I. FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Física Mecánica Félix Rodríguez - Carlos Bastidas - 10 Guía 11 Conservación de la Energía LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Con mucha frecuencia, a velocidades relativamente bajas tiene lugar un intercambio entre las energías potencial y cinética. Por ejemplo, supongamos que se levanta una masa m hasta una altura h y, luego, se deja caer, como muestra la figura 1. Una fuerza externa ha incrementado la energía del sistema, dándole una energía potencial Ep = mgh en el punto más alto. Ésta es la energía total disponible para el sistema y no puede modificarse, a menos que se enfrente a una fuerza de resistencia externa. A medida que la masa cae, su energía potencial disminuye debido que se reduce la altura sobre el piso. final, la energía cinética es igual a la energía total, y la energía potencial es cero. Es importante señalar que la suma de Ep y Ek es la misma en cualquier punto durante la caída (véase la figura 1). Se dice que la energía mecánica se conserva. En nuestro ejemplo, la energía total en el punto más alto es mgh y la energía total a ras del suelo es, si se desprecia la resistencia del aire. Ahora podemos enunciar el principio de la conservación de la energía mecánica: Conservación de la energía mecánica: En ausencia de resistencia del aire o de otras fuerzas disipativas, la suma de las energías potenciales y cinéticas es una constante, siempre que no se añada ninguna otra energía al sistema. Siempre que se aplique este principio resulta conveniente pensar en el inicio y el final del proceso de que se trate. En cualquiera de esos puntos, si la velocidad no es igual a cero, existe una energía cinética, y si la altura no es cero hay una energía potencial. Así pues, podemos escribir Los subíndices 0 y f indican los valores iniciales y finales, respectivamente. La ecuación, se aplica cuando no participan fuerzas de fricción. En el ejemplo donde se plantea el caso de un objeto que cae a partir del reposo desde una posición inicial h0, la energía total inicial es igual a mgh0(v0 = 0) y la energía total final es (h = 0). Si no existe fricción, la energía mecánica total es constante. En cualquier punto, tiene un valor igual a la energía potencial en el punto más alto o a la energía cinética en el punto más bajo. La disminución de energía potencial reaparece en forma de energía cinética a causa del movimiento. En ausencia de la resistencia del aire, la energía total (Ep + Ek) permanece igual. La energía potencial sigue transformándose en energía cinética hasta que la masa llega al piso (h = 0). En esta posición Resolviendo esta relación para vf obtenemos una ecuación útil para determinar la velocidad final, a partir de las consideraciones generales sobre la energía de un cuerpo que cae desde el reposo sin que lo afecte la fricción. 1

2 Una gran ventaja de este método es que la velocidad final se determina a partir de los estados de energía inicial y final. La trayectoria real no tiene importancia cuando no hay fricción. Por ejemplo, se obtiene la misma velocidad final si el objeto sigue una trayectoria curva partiendo de la misma altura inicial h0. ENERGÍA Y FUERZAS DE FRICCIÓN Es útil considerar la conservación de la energía mecánica como un proceso de contabilidad, en el cual se lleva un recuento de lo que le pasa a la energía de un sistema desde el principio hasta el fin. Por ejemplo, suponga que retira $1000 del banco, y luego paga $400 por un pasaje de avión a Nueva York. Le quedarían $600 para gastar en diversiones. Los $400 ya se gastaron, pero aún deben ser tomados en cuenta. Ahora considere un trineo en la cima de una colina. La energía total inicial es de 1000 J. Si 400 J de energía se pierden a causa de la fricción, el trineo llegaría al fondo con una energía total de tan sólo 600 J. Tomando en cuenta la fricción o cualquier tipo de fuerzas de disipación, enunciamos un principio de la conservación de la energía de carácter más general: Conservación de la energía: La energía total de un sistema es siempre constante, aun cuando se trasforme la energía de una forma a otra dentro del sistema. En las aplicaciones del mundo real, no es posible dejar de considerar a las fuerzas externas. Por lo tanto, un enunciado más general del principio de conservación de la energía toma en cuenta las pérdidas debidas a la fricción: Los signos de valor absoluto asociados al término pérdidas de energía son un recordatorio de que no nos interesa el signo del trabajo realizado contra las fuerzas de fricción. Simplemente se lleva un recuento de la disponibilidad de toda la energía inicial. Si representamos al trabajo de una fuerza de fricción por el producto podemos escribir I I Por supuesto, si un objeto parte del reposo desde una altura h0 sobre su posición final, esta ecuación se simplifica y queda así: Al resolver problemas, es útil establecer la suma de las energías potencial y cinética en algún punto inicial. El valor absoluto de cualquier pérdida de energía deberá entonces sumarse a la energía total del sistema en el punto final, de tal manera que se conserve la energía. ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS 1. Lea el problema, luego dibuje y rotule un diagrama sencillo, identificando cada objeto cuya altura o velocidad cambie. 2. Determine un punto de referencia para medir la energía potencial gravitacional; por ejemplo, la base de un plano inclinado, el piso de una habitación o el punto más bajo en la trayectoria de una partícula. 3. Para cada objeto, anote las alturas y las velocidades iniciales y finales: h0, v0, hf y vf. Cada una de las alturas se mide a partir de la posición de referencia que se elija y sólo se requieren las magnitudes para las velocidades. 4. La energía total del sistema en cualquier instante es la suma de las energías cinética y potencial. Por consiguiente, la energía total inicial E0 y la energía total fina Ef son 5. Determine si se presentan o no fuerzas de fricción. Si la fricción o la resistencia del aire están presentes, entonces la pérdida de energía debe darse como dato a calcularse. Con frecuencia, la pérdida de energía al realizar un trabajo contra la fricción es simplemente el producto de la fuerza de fricción y el desplazamiento s. Recuerde que 6. Escriba la ecuación de la conservación de la energía y resuelva la ecuación para la incógnita. 2

3 7. Recuerde utilizar el valor absoluto de la pérdida de energía cuando aplique la relación anterior. El trabajo real contra la fricción siempre es negativo; pero en este caso se está tomando en cuenta como una pérdida. En los Estados Unidos, el watt y el kilowatt se usan casi exclusivamente en relación con la energía eléctrica; el caballo de fuerza se reserva para la energía mecánica. Esta práctica es simplemente una convención y de ningún modo es obligatoria. Resulta perfectamente correcto hablar de un foco de 0.08 hp o mostrar muy ufanos un motor de 238 kw. Los factores de conversión son: POTENCIA En nuestra definición de trabajo, el tiempo no participó en forma alguna. La misma cantidad de trabajo se realiza si la tarea dura una hora o un año. Si se le da tiempo suficiente aun el motor menos potente llega a levantar una carga enorme. Sin embargo, si deseamos realizar una tarea con eficiencia, la rapidez con la que se efectúa el trabajo se vuelve una cantidad importante en ingeniería. Potencia es la rapidez con la que se realiza el trabajo. Puesto que el trabajo se realiza con frecuencia de manera continua, es útil disponer de una expresión para la potencia que incluya a la velocidad. Así pues, de donde La unidad del SI para la potencia es el joule por segundo, y se denomina watt (W). Por lo tanto, un foco de 80 W consume energía a razón de 80 J/s. En unidades del SUEU, se utiliza el pie-libra por segundo (ft lb/s). Esta unidad de potencia no recibe ningún nombre en particular. El watt y la pie-libra por segundo tienen el inconveniente de ser unidades demasiado pequeñas para la mayoría de los propósitos industriales. Por lo tanto, se usan el kilowatt (kw) y el caballo de fuerza (hp) que se definen como: donde v es la velocidad del cuerpo sobre la que se aplica la fuerza paralela F. De la ecuación, podemos obtener el trabajo: Por lo tanto, la unidad kilowatt-hora (kw h) que usan las compañías de energía eléctrica al hacer sus cobros es una unidad de energía (kilowatt) multiplicada por tiempo (hora), es decir, una unidad de trabajo. Es razonable que se pague por la cantidad del trabajo que se ha realizado. Sin embargo, el precio por kilowatt-hora también puede determinarse por la demanda máxima de potencia del consumidor. 3

4 E J E M P L O 1 En la figura, una bola de 40 kg se impulsa lateralmente hasta que queda 1.6 m por arriba de su posición más baja. Despreciando la fricción, cuál será su velocidad cuando regrese a su punto más bajo? EJEMPLO CONCEPTUAL 2 Un trineo de 20 kg descansa en la cima de una pendiente de 80 m de longitud y 30 de inclinación, como se observa en la figura. Si µk = 0.2, cuál es la velocidad al pie del plano inclinado? Solución La conservación de la energía total requiere que principio y al final, Por lo tanto, sea la misma al Solución La energía total al inicio es energía potencial, ya que la velocidad inicial era cero. La altura h0 está dada por que nos permite calcular la energía total inicial: ( ) de donde se puede eliminar la masa m y obtener Por lo tanto, tenemos 7840 J que deben contabilizarse mientras el trineo se mueve hasta el pie del plano. Para determinar qué cantidad de ellos se ha perdido en forma de trabajo contra la fricción, debemos primero determinar la fuerza normal N ejercida por el plano sobre el bloque. A partir de parte b de la figura, 4

5 de donde la fuerza de fricción es T R A B A J O E N C L A S E El valor absoluto del trabajo realizado por la fuerza de fricción es Ahora podemos determinar cuánta energía quedó para la velocidad por medio de la ecuación 1. Un peso de 64 lb se levanta hasta una altura de 10 ft y después se suelta en caída libre. Cuáles son la energía potencial, la energía cinética y la energía total en: a. El punto más alto. b. 3 ft sobre el nivel del suelo. c. En el suelo. y 2. Un martillo de 4 kg se levanta hasta una altura de10 m y se deja caer. Cuáles son la energía potencial y la energía cinética del martillo cuando ha caído hasta un punto ubicado a 4 m del nivel del suelo? Sustituyendo m = 20 kg, tenemos 3. Cuál será la velocidad del martillo del problema anterior, inmediatamente antes de golpear el suelo? Cuál es la velocidad en el punto localizado a 4 m? Finalmente, si se despeja vf, obtenemos 4. Qué velocidad inicial se le debe impartir a una masa de 5 kg para elevarla hasta una altura de 10 m? Cuál es la energía total en cualquiera de los puntos de su trayectoria? 5. Un péndulo simple de 1 m de longitud tiene en su extremo un peso de 8 kg. Cuánto trabajo se requiere para mover el péndulo desde su punto más bajo hasta una posición horizontal? A partir de consideraciones de energía, halle la velocidad del peso cuando pasa por el punto más bajo en su oscilación. 5

6 T R A B A J O E N C A S A 1. Cuál es la energía cinética de una bala de 6 g en el instante en que su velocidad es de 190 m/s? Cuál es la energía cinética de un automóvil de 1200 kg que transita a 80 km/h? 7. Un ladrillo de 1.2 kg está suspendido a 2 m de distancia por encima de un pozo de inspección. El fondo del pozo está 3 m por debajo del nivel de la calle. En relación con la calle, cuál es la energía potencial del ladrillo en cada uno de esos lugares? Cuál es el cambio en términos de energía potencial? 2. Cuál es el cambio en la energía cinética cuando una pelota de 50 g golpea el pavimento a una velocidad de 16 m/s y rebota a la velocidad de 10 m/s? 8. Un trineo de 20 kg es empujado en una pendiente de 34º hasta una altura vertical de 140 m. Una fuerza de fricción constante de 50 N actúa durante toda esa distancia. Qué trabajo externo se requirió? Cuál fue el cambio en la energía potencial? 3. Un automóvil de 2400 lb incrementa su velocidad de 30 mi/h a 60 mi/h. Qué trabajo resultante se requirió para lograrlo? Cuál es el trabajo equivalente en joules? 9. La figura ilustra un péndulo balístico. Una pelota de 40 g es golpeada por una masa suspendida de 500 g. Después del impacto, las dos masas se elevan hasta una distancia vertical de 45 mm. Calcule la velocidad de las masas combinadas inmediatamente después del impacto. 4. Un martillo de 12 lb que se mueve a 80 ft/s golpea la cabeza de un clavo y lo hunde en la pared hasta una profundidad de in. Cuál fue la fuerza de parada promedio? 5. Qué fuerza promedio se necesita para incrementar la velocidad de un objeto de 2 kg desde 5 m/s hasta 12 m/s en una distancia de 8 m? 6. Un automóvil de 1500 kg transita a 60 km/h por una carretera nivelada. Qué trabajo se requiere para frenar ese vehículo? Si µk = 0.7, cuál es la distancia de frenado? 10. Un trineo de 100 lb se desliza a partir del reposo en la parte más alta de un plano inclinado a 37. La altura original es de 80 ft. En ausencia de fricción, cuál es la velocidad del trineo cuando llega al punto más bajo del plano inclinado? 6

7 11. En la figura, un bloque de 8 kg tiene una velocidad inicial de 7 m/s en su descenso. Sin tomar en cuenta la fricción, calcule la velocidad cuando el bloque llega al punto B. BIBLIOGRAFÍA Mc Graw Hill Serway, Física Tomo II Publicaciones Cultural, Física General Prentice Hall, Wilson - Buffa, Física Editorial Voluntad Física Investiguemos Wikipedia. Enciclopedia libre Apuntes de Física Luis Alfredo Caro Fisicanet Ver FÍSICA OLIMPIADAS 11 (Editorial Voluntad) Ejercicios de página de Internet fuerzas mecánicas. Ejercicios y laboratorios virtuales PIME Editores, Física 1, Mecánica y Calorimetría www. Ibercajalav.net/ Santillana, Física 1 Nueva edición. Limusa Noriega Editores, Física Recreativa 12. Cuál es la velocidad del bloque de 8 kg en el punto C en el problema anterior? 13. Una muchacha que pesa 80 lb está sentada en un columpio cuyo peso es insignificante. Si se le imparte una velocidad inicial de 20 ft/s, a qué altura se elevará? Diseño_Lucho_Acevedo 7