INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS FINITAS

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1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA Carrera de Ingeniería en Sistemas de Información INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS FINITAS Los temas del presente capítulo, corresponden a la Unidad Temática 4, asignatura de Matemática Discreta, Área de Programación, correspondiente al primer cuatrimestre del primer año de la carrera. Período Lectivo Prof. Ing. Juan C.Vázquez Capítulo 5 - Página 1

2 Capítulo 5 INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS FINITAS 5.0. Introducción Sistemas Axiomáticos Estructuras Algebraicas Álgebra de Boole Circuitos combinatorios. Dijimos al iniciar el estudio de la lógica matemática, que "cualquier disciplina (deductiva) cuyo estudio desee encararse con rigor científico, exige para su desarrollo y formalización, el establecimiento de algunos principios básicos o postulados que, a modo de cimientos teóricos, permitan inferir de ellos conclusiones sobre el objeto de estudio, descubriendo, determinando y/o explicando de esta manera, las propiedades que el mismo satisface". A propósito de ello, nos ocupamos en el capítulo de lógica matemática, del establecimiento de métodos de razonamiento deductivo y del estudio de su validez, esto es, de la definición y determinación precisa de reglas de inferencia que garanticen la legitimidad de las demostraciones de teoremas. En el presente, trataremos los principios básicos sobre los cuales deben operar esas reglas y de las estructuras abstractas que consecuentemente se generan, para conformar y hacer evolucionar una determinada teoría. Además, se definirá (aunque en forma intuitiva) el concepto de estructura algebraica y se mostrarán algunas de las más importantes estructuras de la matemática, las que en particular, son de frecuente aplicación en la informática teórica y aplicada como sustento formal de sus investigaciones y progresos.. Por último, se tratarán los fundamentos del diseño de circuitos combinatorios, como una de las muchas aplicaciones de las álgebras booleanas, de fundamental importancia para la computación y la electrónica. Capítulo 5 - Página 2

3 Tema 5.0 INTRODUCCIÓN Breve reseña histórica Objetivos Conocimientos previos Breve reseña histórica. Si bien la matemática como la conocemos ahora, con su simbolismo abstracto, su formalismo estricto y sus conclusiones necesarias, nos parece como altamente consistente y precisa, esto sólo es así desde épocas medianamente recientes. Se dice que los orígenes de la matemática se remontan a los antiguos babilonios, sumerios y egipcios; pero aquella matemática rudimentaria estaba destinada a la resolución de problemas prácticos particulares, carecía de formalismo ya que quienes se interesaban en estos problemas y soluciones discurrían sobre el tema con su lenguaje cotidiano; no se basaba sobre supuestos claramente establecidos y sus métodos de trabajo eran dudosamente intuitivos. El origen de la palabra geometría (medición de terrenos!), nos ilustra claramente el carácter empírico-práctico original de esta disciplina. Siglos después de ellos, un geómetra de la Grecia clásica realmente iluminado, un verdadero adelantado a su época por la claridad conceptual con que abordó sus estudios, recopiló, sistematizó, y desarrolló la geometría plana, basándola sobre dos grupos de supuestos a los que denominó nociones comunes y postulados. Estamos hablando del célebre Euclides (siglo III a.c.) y de sus Elementos, en donde, a partir de sus supuestos, dedujo una secuencia de 465 proposiciones lógicas sobre la geometría, inaugurando para la humanidad formalmente, el método axiomático utilizado en todas las ciencias deductivas actuales. Se cree que este método no es original de Euclides, ya que pueden encontrarse en Aristóteles ( a.c.), y aún antes de él, algunos conceptos similares; sin embargo no se conoce de ninguna obra anterior en la que se sistematizara claramente el método. Arquímedes ( a.c.), otro griego iluminado, utilizó el método axiomático de su coterráneo, para sentar los fundamentos de la mecánica teórica, partiendo de ciertos supuestos básicos y utilizando la lógica para deducir sus proposiciones. Luego de ellos, y salvo honrosas excepciones, el método quedó olvidado durante más de dos mil años, hasta que genios como Descartes, Fermat, Galileo, Viata, Newton, Leibniz y más tarde Lagrange, Gauss, Lobatchevsky, Riemman, Hilbert, etc., lo revivieron y lo instauraron como parte fundamental del estudio científico sistemático 1. 1 Véase para una discusión histórica resumida, El Mundo de las Matemáticas, J.R.Newman, Grijalbo, 1994, Volumen 5, páginas 23-39, y en extenso, Historia de las Matemáticas, E.T.Bell, Fondo de Cultura Económica, 1995, un verdadero clásico, a lo largo de todo el libro. Capítulo 5 - Página 3

4 Sin embargo, el análisis crítico del método axiomático y la determinación y construcción de estructuras matemáticas abstractas que de él se desprenden, recién se encuentran claramente en los siglos XIX y XX. Como ya se indicó en el capítulo de lógica matemática, la aritmetización de la lógica se inicia con George Boole en el siglo XIX y se sistematiza magistralmente en los Principia Mathematica de Bertrand Russell y Whitehead, a principios del siglo XX, en donde se pone especial énfasis en el uso y la formalización del método, pero no abundaremos más en este aspecto, pudiendo quien quiera más detalles sobre la evolución de estos conceptos, investigarlos en la bibliografía de referencia. Por otra parte, la aplicación práctica de los resultados de Boole a los circuitos electrónicos, comienzan con ellos aproximadamente en la tercera década del siglo XX, ante la imperiosa necesidad de sustentar teóricamente y de reducir los costos, de la tecnología que atropellaba, y aún lo hace, su propia evolución Objetivos. El objeto de este capítulo, no es desarrollar una teoría completa de los sistemas axiomáticos, de las estructuras algebraicas o de la construcción de circuitos electrónicos, sino sólo introducir estos conceptos fundamentales y formalizarlos, para que luego sean utilizados, aplicados o abordados en extenso, en estudios posteriores Conocimientos previos. Se requiere para la clara comprensión de los conceptos del capítulo, haber entendido y profundizado, los temas de la lógica matemática, teoría de conjuntos incluida. Además, es preciso tener algún manejo de relaciones y funciones entre conjuntos y de sus propiedades generales. 2 Para un estudio más detallado de estos temas, pueden consultarse Matemáticas para Computación, S.Lipschutz, McGraw-Hill, 1993, Capítulos 7 y 8, Matemáticas Discretas, R.Johnsonbaugh, Grupo Editorial Iberoamérica, 1988, Capítulo 7, Estructuras de Matemáticas Discretas para la Computación, B.Kolman/E.C.Busby, Prentice- Hall, 1984, Capítulos 4, 6 y 8. Capítulo 5 - Página 4

5 Tema 5.1 SISTEMAS AXIOMÁTICOS Concepto de sistema axiomático Interpretación y modelo Propiedades de los sistemas axiomáticos. Los sistemas axiomáticos, constituyen en realidad una forma de encarar el estudio de una determinada disciplina o teoría, sentando las bases de la misma sobre algunos supuestos fundamentales o proposiciones primarias acerca de los objetos bajo estudio, y derivar a partir de ellas nuevas proposiciones (los teoremas), utilizando para ello las reglas de inferencia de la lógica clásica. Esto es, se consideran como "utilizables" en las demostraciones, los principios de no contradicción y del tercio excluso de la lógica bivalente, discutidos anteriormente. Con lo dicho, deberíamos hablar en realidad del método axiomático, pero preferimos utilizar el término más general de sistema axiomático, para referirnos al conjunto completo de proposiciones primarias y de proposiciones derivadas de ellas. El desarrollo actual de la matemática es en general abstracto y, en gran parte, está sustentado por el método axiomático el cual no sólo ordena, formaliza y estructura las ideas de esta disciplina en un cuerpo sistémico claro y lógicamente correcto, sino que permite pisar terreno más firme durante el camino evolutivo de la misma Concepto de sistema axiomático. Por lo escabroso que este tema resulta para la matemática, la filosofía, y otras ciencias formales, procederemos a conceptualizar la idea de qué se entiende por sistema axiomático de una manera un tanto intuitiva, en vez de arriesgar una definición formal que pueda provocar discusiones estériles acerca del formalismo utilizado, contradicciones con otros muchos autores que abordan el tema, y que nos apartarían del objetivo introductorio de este capítulo 3. En sus Elementos, Euclides presenta dos tipos de supuestos fundamentales: nociones comunes (a las que llama axiomas) y postulados, haciendo esta distinción sobre supuestos que son comunes a todas las ciencias 4 y supuestos específicos sobre la disciplina que está desarrollando (la geometría plana en este caso). Hoy en día, se aceptan como sinónimos estos términos y así los trataremos en adelante. 3 Para ver algunos comentarios sobre estos posibles problemas formales, pueden consultarse de los apuntes de la Cátedra de Lógica II de la Escuela de Filosofía de la U.N.C., el libro de Bas C. Van Fraasen, Capítulo I, (estructuras matemáticas) pág. 25 a 30, y Capítulo II, (vinculación semántica y axiomatizabilidad) pág. 58 a Euclides considera supuestos comunes, por ejemplo, a los principios de no contradicción y del tercero excluído de la lógica bivalente, a proposiciones generales como si se suman cantidades iguales a cantidades iguales se obtienen iguales resultados, y cosas por el estilo. Capítulo 5 - Página 5

6 Concepto: Un sistema axiomático, consta de los siguientes objetos: i) Términos primitivos: términos técnicos particulares de la teoría que se está axiomatizando, cuya naturaleza no está determinada previamente. (objetos bajo estudio, conjuntos, elementos, relaciones) ii) Axiomas: que son funciones proposicionales cuantificadas, relativas a los términos primitivos o las variables que los representen. iii) Definiciones: especificación de nuevos términos de la teoría (no primitivos) en base a los términos primitivos, los axiomas y otros términos no primitivos definidos con anterioridad. iv) Teoremas: proposiciones lógicas que se deducen de los axiomas, a través de la aplicación de un número finito de reglas de inferencia de la lógica clásica. Debemos aclarar algunos aspectos de este concepto, a saber: a) Los términos primitivos, son vocablos de la teoría o términos técnicos que quedan sin una definición formal, pudiendo estar informalmente o intuitivamente definidos o, en general, de alguna manera implícitamente definidos en los axiomas. b) Los axiomas, supuestos fundamentales, principios o postulados de la teoría, son afirmaciones generales que establecen propiedades que deben satisfacer los términos primitivos en su conjunto (por esto lo de funciones proposicionales cuantificadas). En realidad, en matemáticas como ciencia abstracta, nada se afirma acerca de la verdad o falsedad de los axiomas, sino que simplemente se los acepta como verdaderos. c) Todo término que pueda definirse, utilizando los términos primitivos, los axiomas, loas términos anteriormente definidos y los teoremas ya demostrados desde ellos, recibe el nombre de término no primitivo o derivado y debe poseer una definición formal para formar parte de la teoría. d) Los teoremas, son como sabemos, proposiciones compuestas tautológicas que se derivan de los axiomas, utilizando razonamientos deductivos válidos (reglas de inferencia). e) Por último, y como ya se anticipó, anexada al sistema axiomático construido se admite la validez de la lógica clásica bivalente, con cuyas leyes es posible efectuar las demostraciones de los teoremas. El método es fundamental en todas las ciencias deductivas, como un modo general de formalizar y sistematizar el conocimiento científico contenido en ellas. Debe quedar claro que, si bien la experiencia cotidiana y la información que nos brindan nuestros sentidos sobre la realidad de la cual formamos parte, puede ser y de hecho en general lo es, la fuente de inspiración de los axiomas de una teoría, hoy se admite que los postulados de un sistema axiomático, no son en sí mismos ni verdaderos ni falsos, sino sólo eso, supuestos sobre los que la teoría basa sus conclusiones. Capítulo 5 - Página 6

7 La visión clásica de los axiomas como verdades autoevidentes, ya no es suficiente para afirmar la veracidad de los mismos respecto de nuestra realidad, como lo ha probado la física relativista y cuántica en infinidad de ejemplos. Esto comenzó ha hacerse patente sobre todo con el desarrollo de las geometrías no-euclidianas, que niegan el famoso quinto postulado de las paralelas de Euclides, y resultan ser tan válidas y consistentes como lo es la euclídea. Ejemplo: Construyamos el siguiente sistema axiomático 5 y denotémoslo con Γ: a) Términos primitivos: punto, recta. b) Axiomas: i) Toda recta es un conjunto de puntos. ii) Existen por lo menos dos puntos. iii) Dados dos puntos, existe sólo una recta que contenga a ambos. iv) Existe al menos un punto exterior a una recta dada. v) Por un punto exterior a una recta, pasa sólo una recta paralela a ella. c) Definiciones: 1) Si R es el conjunto de puntos que constituye una recta, y p pertenece a R se dice que p es un punto de la recta, o que p es interior a R. 2) Si R es el conjunto de puntos que constituye una recta, y p no pertenece a R se dice que p es un punto fuera de la recta, o que p es exterior a R. 3) Si R 1 y R 2 son dos rectas distintas, se dice que son paralelas si no existe un punto p interior a ambas. d) Teorema: 1) Hipótesis: Dado el sistema axiomático Γ. Tesis: Existen por lo menos tres puntos. Demostración: a) Por el axioma 2, existen dos puntos distintos p y q. b) Por el axioma 3, existe la recta R que contiene a p y q. c) Por el axioma 4, existe un punto r exterior a la recta R. De (a), (b) y (c), por la ley del silogismo hipotético de la lógica, se desprende que existen los tres puntos p, q y r, lo que termina la demostración del teorema. El anterior ejemplo de sistema axiomático, sin pretender ser exhaustivo, se parece al que se estudia en la enseñanza preuniversitaria sobre la geometría plana de Euclides. De hecho, pueden demostrarse muchos otros teoremas además del ejemplificado, a partir de los axiomas (i), (ii), (iii), (iv), (v) utilizando reglas de inferencia de la lógica clásica, conformándose así una verdadera teoría formal. Debemos notar que en Γ, además de los términos primitivos específicos de la teoría punto y recta, existen otros conceptos no definidos, como conjunto, existe, todos, etc., que son tomados 5 Véase cualquier texto elemental de geometría, para recordar la presentación usual de la geometría plana. Capítulo 5 - Página 7

8 de la lógica clásica y que se suponen nociones comunes a todas las ciencias (en realidad, términos primitivos y derivados del sistema axiomático que describe a la lógica simbólica bivalente) Interpretación y modelo. Los términos primitivos en un sistema axiomático, están desprovistos de significación, salvo la otorgada específicamente por los axiomas del sistema. En el anterior ejemplo, los términos punto y recta de Γ, quedan indefinidos y no tienen ninguna significación real, y en ese sentido, no sabemos ciertamente qué es un punto o una recta, sino sólo las propiedades que deben cumplir estos objetos abstractos, enunciadas en los axiomas. Eventualmente, podríamos otorgar cierta significación a los términos primitivos, con lo cual las proposiciones representadas en los axiomas se convertirían ahora en afirmaciones sobre determinadas cosas, cuya veracidad podrá ser estudiada y establecida. Veamos un ejemplo. Ejemplo: Sea Γ el sistema axiomático antes definido y supongamos que se asignan los siguientes significados a los términos primitivos 6 : punto = libro recta = biblioteca Bajo estas significaciones, los axiomas del sistema Γ se traducen en: i) Toda biblioteca es un conjunto de libros. ii) Existen por lo menos dos libros. iii) Dados dos libros, existe sólo una biblioteca que contenga a ambos. iv) Existe al menos un libro exterior a una biblioteca dada. v) Por un libro exterior a una biblioteca, pasa sólo una biblioteca paralela a ella. El primer axioma coincide con el concepto habitual que tenemos de biblioteca, por lo cual podemos considerarlo una afirmación verdadera. Sabemos que también es cierto que existen al menos dos libros, por lo cual el segundo axioma, también se transforma en una proposición verdadera. El tercer axioma en cambio, no aparece como una proposición verdadera, ya que si consideramos por ejemplo, las bibliotecas de una determinada ciudad que tiene por los menos dos de ellas, puede darse el caso que, dados dos libros, uno de ellos esté en una biblioteca B 1 y el otro esté en la biblioteca B 2, por lo cual no existiría una biblioteca que los contenga a ambos. Bajo los supuestos anteriores, el axioma (iv) resulta verdadero, ya que existiendo dos bibliotecas, existe al menos un libro exterior a una de ellas. Por su parte, el quinto axioma queda satisfecho, si definimos bibliotecas parale- 6 Un ejemplo similar se comenta en El Mundo de las Matemáticas, J.R.Newman, Grijalbo, 1994, Volúmen 5, pág Capítulo 5 - Página 8

9 las como aquellas que no tienen un libro en común y suponemos que sólo en las bibliotecas pueden encontrarse libros. En el anterior ejemplo, al tratar de dar significaciones a los términos primitivos de Γ no hemos conseguido hacer verdaderos todos los axiomas del sistema, pero el análisis efectuado, nos pone en condiciones de afirmar que una tal significación, sí satisfacería a un sistema axiomático Φ cuyos postulados fueran los axiomas (i), (ii), (iv), (v) de Γ, sin ocuparnos por el momento de la utilidad que pudiera tener un tal sistema. Si por el contrario, atribuimos las significaciones geométricas usuales de punto y recta a los términos primitivos de Γ, sabemos que los axiomas del ejemplo se transforman en proposiciones verdaderas respecto de ellos 7. Formalizamos estas ideas como sigue: Definición: Si Γ es un sistema axiomático, llamamos una interpretación de Γ, a una atribución de significaciones a los términos primitivos indefinidos del sistema. Como vimos, una interpretación I del sistema axiomático en el sentido antes definido, transforma los axiomas del sistema en proposiciones lógicas concretas respecto de los términos primitivos, ahora con "sentido". Si estas proposiciones resultan todas verdaderas, se dice que el resultado obtenido (el sistema axiomático interpretado), constituye un modelo del sistema axiomático general. Formalmente: Definición: Si Γ es un sistema axiomático e I una interpretación de los términos primitivos del mismo, entonces el sistema axiomático interpretado resultante constituye un modelo M (Γ,I) si y sólo si, los axiomas de Γ interpretados por I, son proposiciones lógicas verdaderas. La importancia de este concepto, se relaciona con las propiedades que se deben imponer a un conjunto de términos técnicos y supuestos sobre los mismos, para que puedan ser considerados efectivamente un sistema axiomático. Si se logra establecer un modelo del sistema, se dice del mismo que ha sido modelizado por medio de I Propiedades de los sistemas axiomáticos. No todo conjunto de términos indefinidos y propiedades que los mismos deben cumplir constituyen un sistema axiomático; podemos y debemos asignar a los mismos propiedades necesarias y propiedades deseables que deben satisfacer. Básicamente, es necesario que de un conjunto de axiomas dados, no puedan deducirse proposiciones contradictorias, esto es, utilizando las reglas de inferencia de la lógica clásica no deberían poderse establecer como teoremas las proposiciones P y no-p dentro del sistema, ya que de suceder, la teoría carecería de utilidad en la tarea de sistematizar conocimientos. 7 En el ejercicio 5.1.1, se propone otra interpretación distinta de los términos primitivos de Γ, que consigue transformar los axiomas en proposiciones verdaderas. Capítulo 5 - Página 9

10 Esto se traduce en la siguiente condición necesaria de todo sistema axiomático: Definición: Un sistema axiomático Γ es compatible o consistente, si no implica resultados contradictorios. Ahora bien, la pregunta que surge inmediatamente es: cómo se determina la consistencia de un sistema axiomático dado?. Este cuestionamiento ha causado no pocos dolores de cabeza a varias generaciones de matemáticos y filósofos, y lo trataremos aquí sucintamente, como es actualmente aceptado por la lógica. Según la definición de consistencia, para responder esta pregunta se necesitarían tener absolutamente todos los teoremas que pueden deducirse de los axiomas para poder verificar que no se han deducido proposiciones contradictorias. Como claramente se intuye, esto es virtualmente imposible aún para teorías sencillas, por lo cual la anterior definición tiene un valor conceptual importante, pero absolutamente impráctico, salvo en aquellos casos en que algún científico iluminado, logra obtener un ejemplo contradictorio de proposiciones derivadas de los axiomas de una teoría. A estos fines, se establece que: Definición: Un sistema axiomático Γ es satisfactible, si existe un modelo del mismo. Puede demostrarse, mediante una argumentación lógica demasiado engorrosa para nuestros propósitos, que un sistema axiomático es consistente si es satisfactible, por lo cual una manera indirecta, pero más plausible, de demostrar la consistencia de un sistema axiomático, es definir una interpretación de los términos primitivos del sistema que genere efectivamente un modelo del mismo. Si esto se logra, entonces el sistema es consistente. Otra propiedad, esta vez deseable, que un sistema axiomático debería cumplir, es la de independencia, esto es, que no pueda un axioma derivarse o deducirse de los otros axiomas del sistema. Este hecho se suele formalizar de la siguiente forma: Definición: Dado sistema axiomático Γ y un axioma A del mismo, se dice A es independiente en el sistema, si son satisfactibles Γ y el sistema que surge de Γ al reemplazar el axioma A por su negación no-a. Decimos entonces, que un sistema axiomático es independiente si todos sus axiomas son independientes en el sistema; claramente, esta es una propiedad aconsejable pero no necesaria, ya que la no independencia axiomática no altera la consistencia del sistema. Si ocurriese que, dado un determinado sistema axiomático compatible Γ, alguno de sus axiomas se detectara como no independiente de los demás, sólo bastará extraerlo del conjunto de axiomas y cambiar su rango al de teorema, demostrándolo utilizando como hipótesis el resto de los axiomas, para que la teoría continúe siendo válida, sin más cambios. Por último: Capítulo 5 - Página 10

11 Definición: Dado un sistema axiomático compatible Γ, se dice que el mismo es completo, saturado o decidible, si a partir de sus axiomas puede decidirse la verdad o falsedad de todo enunciado referente a la teoría. Como se verá luego, el concepto de decibilidad de un sistema axiomático y el análisis de su problemática aplicado a la aritmética, constituyó el puntapié inicial de la computación teórica como disciplina en la década de , antes que la tecnología posibilitara la existencia de computadores electrónicos. EJERCICIOS Sea Γ el sistema axiomático construido en el ejemplo del tema Suponga la siguiente interpretación I de los términos primitivos: punto = un diskette de una caja de cuatro diskettes recta = un par cualquiera de diskettes de la caja a) Reescriba los axiomas de Γ bajo esta interpretación. b) Determine la validez de las proposiciones resultantes del punto (a), suponiendo que definimos rectas paralelas, a dos pares distintos de diskettes de la caja que no tienen un diskette en común. c) Constituye Γ interpretado por I, un modelo del sistema? d) El sistema Γ es satisfactible? e) Y consistente? Sea Φ el sistema axiomático siguiente 9 : - Términos primitivos:. Un conjunto A no vacío y una relación R definida en A. (esto es R AxA) - Axiomas:. 1) R es reflexiva en A.. 2) R es antisimétrica en A.. 3) R es transitiva en A. 8 En 1931 Kurt Gödel, un joven matemático de veinticinco años de la Universidad de Viena, publicó en una revista científica alemana, un artículo titulado "Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas análogos". Este complejo artículo, mostraba un teorema (el Teorema de Gödel) que, en pocas palabras, establece ciertas limitaciones inherentes del método axiomático cuando este se aplica a sistemas lo suficientemente complejos, como por ejemplo el de la aritmética. Esto impulsó a Turing, Shannon, Von Newman, y otros matemáticos de la época, ha estudiar con más detenimiento el poder real de los algoritmos, iniciando formalmente la computación teórica. 9 Ejercicio extraído de Algebra I, A.O.Rojo, El Ateneo, 1972, pág Capítulo 5 - Página 11

12 - Definición: Se llama relación inversa de R en A, a la relación S tales que: Entonces: (a,b) S (b,a) R. a) Demuestre en el sistema que S es reflexiva en A. b) Demuestre en el sistema que S es antisimétrica en A. c) Demuestre en el sistema que S es transitiva en A. d) Demuestre la independencia del sistema Φ Sea Ω el sistema axiomático siguiente: - Términos primitivos:. Dos clases de objetos, denotadas por V y L. - Axiomas:. 1) Dos miembros cualesquiera de V, están contenidos en uno y sólo uno de L.. 2) Ningún miembro de V, está contenido en más de dos miembros de L.. 3) Dos miembros cualesquiera de L, contienen uno y sólo uno común de V.. 4) Ningún miembro de L contiene más de dos miembros de V. a) Es este sistema axiomático consistente? b) Experimente con algunos pares de clases V y L para conseguir una interpretación que no constituya un modelo de Ω. c) Puede aplicar una interpretación similar a la del ejercicio a este sistema? d) De ser afirmativa la respuesta al punto anterior, constituye esta interpretación un modelo del sistema Ω? (Ayuda al punto a: busque una interpretación de los términos primitivos en una figura geométrica plana) Capítulo 5 - Página 12

13 Tema 5.2 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Concepto Estructura de monoide Estructura de semigrupo Elementos neutro e inverso Estructura de grupo. La noción de estructura algebraica (o sus sinónimos estructura matemática o sistema matemático) es en cierta forma escurridiza, no tanto por su concepto específico, como por los problemas que apareja su formalización estricta. Este aspecto fue ya indicado al estudiar el concepto de sistema axiomático, lo que no es una mera casualidad, sino que ocurre que las estructuras algebraicas son, precisamente, sistemas axiomáticos. Aún así, encararemos este tema, al menos en forma intuitiva Concepto. Utilizando los conceptos ya estudiados en el capítulo cuarto, podemos exponer la idea moderna de estructura algebraica en general, de la siguiente forma: Concepto: Una estructura algebraica es una colección de objetos: C 1, C 2,..., C m, f 1, f 2,..., f n, e 1, e 2,..., e k,... donde: los C i son conjuntos no vacíos, las f i son funciones incluidas en C 1 xc 2 x...xc m, y los e i son elementos de C 1 C 2... C m. Muchos autores coinciden sin embargo, en definir formalmente las estructuras algebraicas como tuplas ordenadas de objetos en vez de la idea de colección presentada. Las propiedades que las funciones f i satisfagan y el tipo de elementos e i de que se trate (y consecuentemente los conjuntos C i que ellos conforman), determinarán los distintos tipos de estructuras algebraicas que pueden definirse. En particular, si los conjuntos C i son finitos, esto es C i =n con n N, entonces estamos en presencia de una estructura algebraica finita. En su forma moderna más simple, una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una operación binaria definida sobre él. Capítulo 5 - Página 13

14 Hemos trabajado ya con operaciones binarias en los anteriores capítulos y en general durante toda nuestra escuela preuniversitaria, sin embargo, y para evitar ambigüedades, diremos que: Definición: Dado un conjunto A no vacío, llamamos operación binaria en A, a cualquier función de AxA en A. En símbolos, f es una operación binaria en un conjunto A, sii: f: AxA A Como sabemos, esto establece que a cada par de valores (a,b) A 2 la operación binaria f asigna un único elemento f(a,b) A, por lo que se dice que la misma es cerrada en el conjunto A. Es usual al tratar el tema de operaciones binarias, referirse a estas funciones simplemente como operadores y denotar a los mismos con algún símbolo como en vez de una letra como f, por lo cual la notación funcional (a,b) para denotar la imagen en A del par (a,b) a travéz de, resulta poco felíz. Se estila por esto, la notación relacional a b para referirse al resultado obtenido al componer mediante el operador dos elementos cualesquiera de A. (estrictamente, la primer y segunda componente del par (a,b) A 2 ) Análogamente, podemos intentar una definición de operación unaria como sigue: Definición: Dado un conjunto no vacío A, llamamos operación unaria en A, a cualquier función de A en A. En símbolos, g es una operación unaria en un conjunto A, sii: g: A A Nuevamente, la función g que asigna a cada elemento de a A, otro elemento b A resulta ser cerrada en A. Además, denotada la función g como un operador, digamos, se representa a la imagen de un elemento a a travéz de, como el nuevo elemento a A en vez de la notación funcional usual g(a). En lo que sigue, denotaremos a las estructuras algebraicas como tuplas de objetos matemáticos por ser ésta la forma usual utilizada en los textos sobre el tema y por cierta comodidad de notación, pero debemos recordar en cada caso que las mismas son en realidad colecciones de objetos relacionados de algún modo, tal como fué presentado el concepto general Estructura de monoide. Como se anticipó, la estructura algebraica más simple en que podemos pensar según su concepción moderna, es un conjunto cualquiera (no vacío) con alguna operación binaria definida en él. Daremos entonces un nombre a este tipo de estructuras: Definición: Dado un conjunto no vacío M y una operación binaria definida sobre él, llamamos monoide y lo denotamos por (M,*), a la estructura algebraica que ellos conforman. Capítulo 5 - Página 14

15 En símbolos, (M, ) es un monoide, sii se verifica: M 1 ) M M 2 ) : MxM M Como dijimos, las estructuras algebraicas son en esencia sistemas axiomáticos y, según la anterior definición, un monoide es uno de ellos con los términos primitivos M y, y el hecho de ser no vacío el conjunto M y una función de MxM en M, como únicos axiomas. Si atribuimos significaciones particulares al conjunto M y a la operación, esto es una interpretación del sistema axiomático monoide, obtendremos un modelo del mismo si y sólo si la operación interpretada es efectivamente una función sobre el conjunto no vacío, esto es, los axiomas se transforman en proposiciones lógicas verdaderas respecto de la interpretación dada. Ejemplo: El par (N,+) de los números naturales con la operación usual de adición, tiene estructura de monoide (o es un modelo de monoide) ya que N es un conjunto no vacío y +:N 2 N es efectivamente una función cerrada en N. Ejemplo: El par (N, ) de los números naturales con la operación usual de sustracción, no tiene estructura de monoide ya que la substracción de números naturales no es una operación cerrada en N (no es una función de NxN en N sin más restricciones). Ejemplo: Sea A un conjunto no vacío de símbolos y A * el conjunto de todas las concatenaciones o yuxtaposiciones de símbolos de A (en este contexto, A recibe usualmente el nombre de alfabeto y los elementos de A * el de palabras). Sea además la operación de concatenación de palabras de A * que asigna a cualquier par ordenado de palabras, una nueva palabra formada escribiendo una a continuación de la otra. Entonces, el par (A*, ) tiene estructura de monoide. Según las propiedades que cumpla la operación binaria del par (M, ), los monoides definidos toman distintos nombres, pudiendo tenerse así un monoide asociativo si la operación es asociativa en M, monoide conmutativo si es conmutativa en M, etcétera. Ejemplo: Refiriéndonos a los anteriores monoides, puede decirse que (N,+) es un monoide conmutativo asociativo, ya que la adición de números naturales es con- mutativa y asociativa en N. Por otro lado, (A*, ) resulta ser un monoide asociativo pero no conmutativo, ya que la concatenación de palabras antes definida no resulta en general conmutativa, como puede verse en José María=JoséMaría María José=MaríaJosé) Estructura de semigrupo. Por su importancia, variadas aplicaciones y, seguramente, por motivaciones históricas, los monoides asociativos reciben un nombre especial. Capítulo 5 - Página 15

16 Definición: Dado un conjunto no vacío S y una operación binaria definida sobre él, llamamos semigrupo y lo denotamos por (S, ), a la estructura algebraica que ellos conforman si y sólo si es asociativa en S. En símbolos, (S, ) es un semigrupo, sii se verifican: S 1 ) S S 2 ) : SxS S S 3 ) a,b,c: a,b,c S a (b c) = (a b) c Ejemplo: El par (N,+) de los números naturales con la operación usual de adición, tiene estructura de semigrupo (o es un modelo de semigrupo) ya que +:NxN N es efectivamente una función y es asociativa. Además, éste resulta ser un semigrupo conmutativo ya que la adición de números naturales es conmutativa Ejemplo: Sea A un conjunto no vacío y P(A) su conjunto potencia. Entonces la estructura (P(A), ) del conjunto P(A) con la operación usual de unión entre conjuntos, conforma un semigrupo conmutativo. Ejemplo: El par (Z, ) de los números enteros con la operación usual de sustracción no tiene estructura de semigrupo, ya que la sustracción no es asociativa en Z. Ejemplo: Si A es un conjunto de símbolos, entonces (con la notación ya introducida en anteriores ejemplos), el par (A*, ) del conjunto de todas las palabras formadas con los símbolos del alfabeto A y la operación de concatenación de palabras en A*, es un modelo de semigrupo, ya que la concatenación de palabras es una función de A*xA* en A y es claramente asociativa (se dice en este caso que (A*, ) es el semigrupo libre generado por A). Además y como ya se indicó, en general la concatenación de palabras no es conmutativa por lo cual el semigrupo no resulta ser conmutativo Elementos neutro e inverso. Resulta de particular importancia al estudiar y desarrollar una teoría de determinada estructura algebraica, la determinación de la existencia o no de elemento neutro y de elemento inverso respecto de la o las operaciones binarias involucradas en la definición de la misma. Una vez establecida la existencia, normalmente el siguiente problema que se escudriña es el de la unicidad de estos elementos. Por ello, formalizaremos estos conceptos antes de continuar con estructuras algebrai-cas más complejas, como sigue: Definición: Dada una estructura algebraica (A, ), se dice que el elemento e A es neutro o identidad en la estructura respecto de, sii: a A: e A / a e = a e a = a Capítulo 5 - Página 16

17 Debe notarse que el elemento neutro, es el mismo para todo elemento del conjunto A, y aún más, puede demostrarse que de existir bajo las características indicadas, es único. Por otra parte: Definición: Dada una estructura algebraica (A, ) con elemento neutro e, se dice que a' A es inverso de a A en la estructura respecto de, sii: a a' = e a' a = e En este caso, el elemento inverso es particular para cada elemento a del conjunto A, lo que tal vez motive sus sinónimos complemento de a o elemento complementario de a. Si un elemento tiene un inverso en (A, ), se dice que el mismo es inversible. Ejemplo: El semigrupo (Z +,+) de los números enteros positivos con la operación usual de adición, no tiene elemento neutro y, además, ningún elemento de Z + es inversible. Ejemplo: Sin embargo, el semigrupo (Z + 0,+) donde Z+ 0 = Z+ {0}, tiene elemento neutro 0 (cero) respecto de la adición ya que se verifica que a+0=a y 0+a=a. Sin embargo, ningún elemento a Z + 0 tiene inverso ya que no existe un a' Z+ 0 tal que a+a'=0. Ejemplo: Por fin, el semigrupo (Z,+) de los números enteros con la operación usual de adición, tiene elemento neutro (el cero) y además todo elemento de Z es inversible. En este caso, el inverso de un entero dado (a) se denomina su opuesto (-a). Si además ocurriese que todo elemento de un conjunto admitiese inverso, podría pensarse en la definición de una operación unaria (que podríamos llamar inversión o complementación) que aplicada a un elemento del conjunto lo transforme en su inverso Estructura de Grupo. Uno de los conceptos más importantes de las matemáticas (desde su establecimiento a principios del siglo XIX 10 ) y que ha reportado numerosas y destacadas consecuencias en los más variados campos (aritmética superior, geometría analítica, geometría proyectiva, generación de códigos, física cuántica, etc.), es el de grupo, que constituyó el fin de una etapa y el inicio de la moderna concepción de abstracción y estructuración imperante. Definición: Dado un conjunto no vacío G y una operación binaria definida sobre él, llamamos grupo y lo denotamos por (G, ), a la estructura algebraica que ellos conforman, si y sólo si es asociativa en G, con elemento neutro y existe un inverso para todo elemento de G. En símbolos, (G, ) es un grupo, sii se verifican: G 1 ) G 10 Debido al joven matemático francés Galois (inútilmente muerto a los veintiún años en un duelo sin sentido) y ampliado por Abel, Grassman y posteriormente Lie (grupos continuos), entre otros. Capítulo 5 - Página 17

18 G 2 ) : GxG G G 3 ) a,b,c: a,b,c G a (b c) = (a b) c G 4 ) e G/ a: a G a e = a e a = a G 5 ) a G: a' G/ a a' = e a' a = e Si además, la operación verifica la propiedad conmutativa, el grupo recibe el nombre de grupo conmutativo o grupo abeliano. Según la definición anterior, puede verse a un grupo como un semigrupo con elemento neutro e inverso para todo elemento de G. Ejemplo: El par (Z,+) es un modelo de grupo abeliano ya que: G 1 ) Por construcción de Z, sabemos que Z. G 2 ) La operación de adición está definida para todos los números enteros y además es cerrada en Z por definición, ya que: a,b: a,b Z a+b Z. G 3 ) La operación de adición es asociativa en Z, o sea que: a,b,c: a,b,c Z a+(b+c) = (a+b)+c. G 4 ) Existe un elemento neutro en Z (el cero) que satisface: 0 Z / a Z: a+0=a 0+a=a. G 5 ) Existe para cada elemento a Z un inverso (el opuesto) -a Z que satisface: a Z: -a Z / a+(-a)=0 (-a)+a=0. G 6 ) La operación de adición es conmutativa en Z, lo que termina la justificación: a,b: a,b Z a+b = b+a. Los grupos como se indicó, conforman un objeto abstracto particularmente importante en matemáticas y, como las demás estructuras estudiadas, son de aplicación en el desarrollo teórico de las ciencias informáticas. Puede desarrollarse a partir de esta estructura algebraica toda una teoría de grupos (o varias distintas particularizando los conjuntos de definición), con propiedades, teoremas, etc., pero la misma, va más allá de los alcances de este capítulo introductorio, por lo cual remitimos al lector interesado, a la bibliografía de referencia. Sólo se desarrollarán en lo que sigue, algunos ejemplos de estructuras algebraicas simples aplicadas a la informática y en particular, a la construcción de circuitos electrónicos. EJERCICIOS Verifique si tienen estructura de monoide: a) El conjunto de los números naturales con la operación usual de multiplicación. b) El conjunto de los números enteros con la operación usual de sustracción. c) El conjunto de los números enteros con la operación usual de potenciación. Capítulo 5 - Página 18

19 d) El conjunto de los números enteros con la operación usual de división. e) El conjunto Q - {0}, de los números racionales sin el cero, con la operación usual de división Cuáles de las estructuras algebraicas que conforman los conjuntos y operaciones enumeradas en los puntos (a), (b), (c), (d), (e) del ejercicio conforman un modelo de semigrupo y cuáles de grupo? Sea A un conjunto no vacío y una operación binaria definida en A. Demostrar que, de existir un elemento neutro en (A, ) respecto de, el mismo es único Demostrar que en todo semigrupo, se verifica que a m a n = a m+n, siendo a k el resultado de componer k veces a consigo mismo mediante la operación Sea A un conjunto no vacío y sea P(A) su conjunto potencia. Verifique si: a) (P(A), ) tiene estructura de monoide y/o de semigrupo y/o de grupo. b) (P(A), ) tiene estructura de monoide y/o de semigrupo y/o de grupo. c) (P(A)-A, ) tiene estructura de monoide y/o de semigrupo y/o de grupo. d) (P(A)-, ) tiene estructura de monoide y/o de semigrupo y/o de grupo Sea R + es el conjunto de los números reales positivos y una operación definida en R + por a b = 3.a.b siendo. la operación usual de multiplicación en R. Verifique si (R +, ) es un grupo abeliano Sea R n el conjunto de todas las n-tuplas (x 1, x 2,..., x n ) de números reales y sea la operación entre n-tuplas definida por: (x 1, x 2,..., x n-1, x n ) (y 1, y 2,..., y n-1, y n ) = (x 1 +y 1, x 2 +y 2,..., x n-1 +y n-1, x n +y n ) donde + es la operación usual de suma de números reales. Demuestre que (R n, ) es un grupo abeliano Sea G=R-{0} el conjunto de los números reales sin el cero y sea una operación binaria definida en G tal que, a los elementos a,b G le hace corresponder (a.b/2), siendo. y / las operaciones de multiplicación y división usuales en los reales. Demuestre que (G, ) es un grupo abeliano Sea (G, ) un grupo y sean a,b,c cualesquiera elementos de G. Demuestre que: a b = a c b = c (propiedad cancelativa a izquierda) b a = c a b = c (propiedad cancelativa a derecha) Capítulo 5 - Página 19

20 Tema 5.3 ÁLGEBRA DE BOOLE Álgebra de Boole como estructura algebraica Álgebra de Boole como sistema axiomático Propiedades del álgebra de Boole Orden en álgebras booleanas Expresiones booleanas Funciones booleanas. Ya hemos hablado de George Boole. Este matemático-lógico inglés del siglo XIX, es uno de los primeros que dedicó sus esfuerzos a la formalización estricta y la sistematización de los métodos de razonamiento, logrando aritmetizar la lógica en lo que constituyó el inicio oficial de la lógica simbólica. Recién en el siguiente siglo, ya descubierta la electricidad y estando la electrónica en sus comienzos, C.E.Shannon observó que las estructuras algebraicas ideadas por Boole eran de aplicación al análisis y construcción de circuitos eléctricos. Veremos en lo que sigue, un resumen de las ideas introducidas por Boole a la luz de los modernos conceptos de estructuras algebraicas e introduciremos su aplicación a los circuitos eléctricos-electrónicos Álgebra de Boole como estructura algebraica. Desde el punto de vista de las estructuras algebraicas, podemos definir el álgebra de Boole como sigue: Definición: Dado un conjunto no vacío B con al menos dos elementos distintos denotados 0 y 1, dos operaciones binarias + y. y una operación unaria ' definidas sobre él, llamamos álgebra de Boole a la estructura algebráica (B,+,., ',0,1) que ellos conforman, si y sólo si se verifican: B 1 ) Propiedades asociativas de + y. : +) a,b,c: a,b,c B (a + b) + c = a + (b + c).) a,b,c: a,b,c B (a. b). c = a. (b. c) B 2 ) Propiedades conmutativas de + y. : +) a,b: a,b B a + b = b + a.) a,b: a,b B a. b = b. a B 3 ) Propiedades distributivas entre + y. : Capítulo 5 - Página 20

21 +) a,b,c: a,b,c B (a+b).c=(a.c)+(b.c) c.(a+b)=(a.c)+(b.c).) a,b,c: a,b,c B (a.b)+c=(a+c).(b+c) c+(a.b)=(a+c).(b+c) B 4 ) Existencia de neutros para + y. (o leyes de identidad): +) 0 B/ a: a B a + 0 = a 0 + a = a.) 1 B/ a: a B a. 1 = a 1. a = a B 5 ) Existencia de inversos para + y. (o leyes de complementación): +) a B: a' B/ a + a' = 1 a' + a = 1.) a B: a' B/ a. a' = 0 a'. a = 0 Nótese que, si bien algunas propiedades de las operaciones que se verifican en esta estructura nos son familiares, otras, como la distributividad de + respecto de. y las leyes de complementación, no se verifican en la aritmética normal de números reales. Así definida, el álgebra de Boole es una estructura más compleja que las vistas anteriormente en este capítulo, ya que se involucran en su construcción dos operaciones binarias y una unaria. Sin embargo, no es más compleja que otras vistas en los anteriores capítulos (sin advertirlo pero insinuado por la similitud de sus propiedades), hecho que mostraremos con los siguientes ejemplos: Ejemplo: Consideremos el cálculo proposicional del capítulo tres, como una estructura algebraica y para ello establezcamos lo siguiente: - Sea P el conjunto de todas las proposiciones lógicas posibles. - Sea 0 una contradicción lógica c P. - Sea 1 una tautología lógica t P. - Sea + la operación de disyunción lógica (con su símbolo particular ). - Sea. la operación de conjunción lógica (con su símbolo particular ). - Sea ' la operación de complementación lógica (con su símbolo particular ~). Entonces, la estructura (P,,,,c,t) es un álgebra booleana, ya que como sabemos por la lógica simbólica, para cualesquiera proposiciones p, q, r se verifican: B 1 ) (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) B 2 ) p q q p p q q p B 3 ) (p q) r (p r) (q r) (p q) r (p r) (q r) r (p q) (p r) (q r) r (p q) (p r) (q r) B 4 ) p c p c p p p t p t p p B 5 ) p ( p) t p ( p) c ( p) p t ( p) p c Ejemplo: Tratemos ahora la teoría de conjuntos del capítulo cuarto, y establezcamos las siguientes equivalencias de términos: Capítulo 5 - Página 21

22 - Sea C el conjunto de todos los conjuntos posibles (claramente C=P(U)). - Sea 0 el conjunto vacío C. - Sea 1 el conjunto universal U C. - Sea + la operación de unión de conjuntos (simbolizada por ). - Sea. la operación de intersección de conjuntos (simbolizada por ). - Sea ' la operación de complementación de conjuntos (simbolizada por ~). Entonces, la estructura (C,,,,,U) es un álgebra booleana, ya que como demostramos anteriormente al estudiar el álgebra de conjuntos, se verifican las propiedades B 1,B 2,B 3,B 4,B Álgebra de Boole como sistema axiomático. Con el nombre de álgebras booleanas, se identifica a una cantidad de modelos de un sistema axiomático único que llamamos álgebra de Boole. Además, se mencionó que las estructuras algebraicas son ni más ni menos que sistemas axiomáticos, por lo cual se puede caracterizar también el álgebra de Boole como sigue: Definición: Se denomina álgebra de Boole al siguiente sistema axiomático: i) Términos primitivos: - Un conjunto B no vacío con al menos dos elementos distintos. - Dos operaciones binarias + y. definidas en B. ii) Axiomas: B 1 : + y. cumplen la propiedad asociativa B 2 : + y. cumplen la propiedad conmutativa B 3 : + y. cumplen la propiedad distributiva una respecto de la otra. B 4 : Existen elementos neutros respecto de + y. en B, denotados 0 y 1. (esto es, se verifica que a+0 = a y a.1 = a) B 5 : Todo elemento a B admite un inverso (o complementario) a' B. (esto es, se verifica que a+a' = 1 y a.a' = 0) Por supuesto, la definición de álgebra de Boole ya sea desde el punto de vista de estructuras algebraicas o desde el de sistemas axiomáticos, es absolutamente equivalente, por lo que el cálculo de proposiciones y el álgebra de conjuntos antes ejemplificados, también constituyen modelos del sistema axiomático álgebra de Boole. Por último, se admite como es usual la convención que establece que. se evalúa antes que +, convención ésta que permite ahorrar el uso de algunos paréntesis. Además, se suele denominar a las operaciones + y. como suma booleana y producto booleano, respectivamente, omitiendo en general en las expresiones el punto para el producto y escribiendo ab en vez de a. b Propiedades del álgebra de Boole. Capítulo 5 - Página 22

23 Pueden enunciarse varias propiedades importantes (con el rango de teoremas) que se verifican en una estructura algebraica del tipo álgebra de Boole. Las primeras preguntas que surgen de los axiomas, corresponden a los elementos 1 y 0 del conjunto B, en cuanto a si existen varios elementos con las características enunciadas. A este aspecto se refieren los siguientes teoremas de unicidad. TEOREMA: El elemento neutro de la operación + en un álgebra booleana, es único. Hipótesis: Sea (B,+,., ',0,1) un álgebra booleana. Tesis: 0 es único. Demostración: Supongamos que existe más de un elemento neutro para la operación + y sean 0 y 0 1 dos de esos neutros. Entonces: 0 1 = Por ser 0 un elemento neutro de + en B. = Por ser + conmutativa. = 0 Por ser 0 1 un elemento neutro de + en B. lo que concluye la demostración. TEOREMA: El elemento neutro de la operación. en un álgebra booleana, es único. Hipótesis: Sea (B,+,., ',0,1) un álgebra booleana. Tesis: 1 es único. Demostración: Supongamos nuevamente que existe más de un elemento neutro para la operación. y sean 1 y 1 1 dos de esos neutros. Entonces: 1 1 = Por ser 1 un elemento neutro de. en B. = Por ser. conmutativa. = 1 Por ser 1 1 un elemento neutro de. en B. lo que concluye la demostración. Por otro lado, indicamos que el elemento inverso o complemento a' de un elemento a, depende de cada elemento del que se trate. El siguiente teorema, asegura además que cada elemento tiene un complemento único en B. TEOREMA: El complemento de cualquier elemento de un álgebra booleana, es único para ese elemento. Hipótesis: Sea (B,+,., ',0,1) un álgebra booleana y sea a B. Tesis: a', el elemento complementario de a, es único en B. Demostración: Supongamos que existe más de un elemento inverso de a en B y sean a 1 y a 2 dos de esos inversos. Entonces, operemos algebraicamente como sigue: a 1 = a 1. 1 Por ser 1 elemento neutro de. en B. = a 1. (a + a 2 ) Por ser a 2 un elemento inverso de a en B. Capítulo 5 - Página 23