TAREA # 4 OPTICA LA PROPAGACION DE LA LUZ Prof. Terenzio Soldovieri C.

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1 cuerpo libre. La ausencia de éstos tendrá como consecuencia la anulación de la solución del problema correspondiente. Todos los sistemas de coordenadas a usar deben tener el eje +x apuntando hacia el Este y el +y hacia el Norte. FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE FISICA TAREA # 4 OPTICA LA PROPAGACION DE LA LUZ Prof. Terenzio Soldovieri C. URL: s: tsoldovieri@luz.edu.ve; tsoldovieri@fec.luz.edu.ve; tsoldovieri@hotmail.com (contacto messenger); tsoldovieri@digitel.blackberry.com Texto guía: Hecht E. Optica. 3era ed. Pearson, Addison Wesley, 006. Ultima actualización: 19/05/13. Indicaciones: Resuelva cada uno de los siguientes planteamientos marcados con F plasmando en su hoja todos y cada uno de los cálculos realizados, es decir, NO REALICE CALCULOS DIREC- TOS. El resto de los problemas queda como ejercitación y no deben ser anexados en la tarea a entregar. Puede usar tablas de integrales, pero especificando en cada caso la integral utilizada. La tarea debe ser entregada en hojas tipo examen, a lápiz y sin carpeta. No tiene que anexar la presente hoja ni reescribirla en su tarea. La tarea y el examen son inseparables, es decir, de faltar uno de los dos, la calificación total será cero. Establezca, en los casos que sea necesario, los sistemas de referencia y los diagramas de Puntuación: 10 puntos, los cuales serán sumados al evaluativo del capítulo 4. Entrega: El día fijado para el examen del capítulo 4. Sin prórroga. 1. Un rayo de luz colimado (de rayos paralelos) que viaja en el aire forma un ángulo de 30 con respecto a la normal a una placa de vidrio. Si el índice de refracción del vidrio es n v = 3=, determine la dirección del rayo transmitido a través de la mecionada placa. Resp.: 19; 5.. Imagínese la interfase entre dos regiones, una de vidrio (n v = 3=) y la otra de agua (n HO = 1; 33). Un rayo que viaja a través del vidrio incide sobre la interfase a 45 y se refracta en el agua. Cuál es el ángulo de transmisión?. Resp.: 5; F Muestre que si, n t > n i =) i > t n i > n t =) i < t 4. F (a) Muestre que un rayo incidente a i a una una placa de vidrio plana inmersa en aire emergerá de dicha placa con el mismo ángulo. (b) Derive una expresión para el desplazamiento del rayo si el grosor del vidrio es d. Resp.: (b) = d Sen(i t) Cos t. 5. (a) Imagínese que tenemos dos medios (de índices n 1 y n ) separados por una interfase plana. Un objeto en el medio más denso n está a una distancia y por debajo de la interfase. Un observador por encima de dicha interfase verá el objeto como si estuviera a una distancia y 0 debajo de ésta. Escriba una expresión para y 0 en términos de y y los índices de refracción, suponiendo que la línea visual es casi normal a la superficie. (b) Un pez parece estar m debajo de la superficie de un estanque cuando es visto por un Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, 014. República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 1 / 5

2 pescador desde casi directamente por encima, cuál es la profundidad real del pez?. Resp.: (a) y 0 = n1 n y; (b) ; 66 m. 6. F Imagínese un sistema estratificado que consiste en capas planas de materiales transparentes de diferentes espesores. Mostrar que la dirección de propagación del rayo emergente es determinada sólo por la dirección incidente y los índices de refracción de la capa inicial n in y final n f. 7. F Un rayo láser colimado es dirigido sobre un tanque de agua. Parte del rayo se refleja hacia afuera de la superficie y otra parte se dirige al fondo como se muestra en la figura 1. Mostrar que el rayo reflejado en la superficie y el que emerge desde el fondo a dicha superficie son paralelos. Figura (): Problema Use las leyes de reflexión para mostrar que la desviación originada por los dos espejos mostrados en la figura 3 está dada por, = + = 4 Figura (1): Problema F Muestre que el desplazamiento (ver problema 4) de un rayo de luz que pasa a través de una placa paralela de índice n t puede ser expresada como, = d Sen i 1 n i Cos i n t Cos t 9. F Un rayo atraviesa un prisma como se muestra en figura. Mostrar que el rayo sufre una desviación dada por, = i1 + t Figura (3): Problema Un rayo entra en los espejos de la figura 4 y es reflejado varias veces, hasta salir. Muestre que, i = 3 1. (a) Use la Ley de Snell con la finalidad de encontrar una expresión para c. (b) Calcule el valor de c para una interfase agua-aire (n HO = 1; 33). Resp.: (a) c = Sen 1 (n ti ); (b) 48; 8. Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, 014. República Bolivariana de Venezuela. Pág.: / 5

3 Figura (4): Problema 11. Figura (5): Problema Un tanque de agua está cubierto con una capa de 1 cm de aceite de linaza (n lin = 1; 48) sobre la cual está aire. Cuál es el ángulo que debe hacer un rayo de luz que se origina en el tanque con respecto a la interfase agua-aceite para que no escape luz?. Resp.: Para ángulos de incidencia iguales o mayores que 48; 8 el rayo será reflejado hacia el agua. 14. Tres materiales transparentes de índices n A < n B < n C forman una estructura en capas con n A en la parte superior y n C al fondo. Si el ángulo crítico en ambas interfases A-B y B-C es 45, determine n AC. Resp.: n AC = 1=. Figura (6): Problema F La luz es totalmente reflejada internamente por el prisma de la figura 5. Determinar el índice de refracción mínimo correspondiente del prisma si está inmerso en aire. Resp.: n = 1; F Cuál es el índice de refracción del bloque de vidrio inmerso en agua mostrado en la figura 6 si un rayo de luz incidente a 45 resulta en reflexión interna total en el fondo de la superficie? (esta configuración es la base de varios refractómetros). Resp.: n = 1; F Mostrar que las expresiones para los coeficientes de reflexión para la amplitud pueden ser escritos como, Sen ( i t ) r? = Sen ( i + t ) r k = Tan ( i t ) Tan ( i + t ) 18. F Muestre que los coeficientes de reflexión para la amplitud pueden escribirse, en términos de i y n ti, como, r? = Cos i n ti Sen i 1= Cos i + n ti Sen i 1= r k = n ti Cos i n ti Sen i 1= n ti Cos i + n ti Sen i 1= Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, 014. República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 3 / 5

4 19. F Encuentre las expresiones para los coeficientes de amplitud para incidencia normal. Resp.: 0. Muéstrese que, r k = r? = n t n i t k = t? = n i La figura 7 es una gráfica de r contra i para reflexión interna y externa en una interfaz airevidrio (n va = 1; 51), donde i = 45 Verifique alguno de los puntos en las curvas y, adicionalmente, muestre que, Tan r = Cos ( i t ) Cos ( i + t ) Tan i t? r? = 1 se mantiene para todo i. 1. Mostrar que, n ti t k r k = 1. F Mostrar que los coeficientes de transmisión para la amplitud pueden ser escritos sin dependencia explícita de n i y n t como, t? = Sen t Cos i Sen ( i + t ) Sen t Cos i t k = Sen ( i + t ) Cos ( i t ) Figura (7): Problema Un rayo de luz linealmente polarizado cuyo campo! E es normal al plano de incidencia incide sobre una interfase aire-vidrio a 45. Suponiendo que el índice de refracción del vidrio es n v = 1; 5, determine los coeficientes de amplitud de reflexión y transmisión. Resp.: r? = 0; 3034 y t? = 0; F (a) Determine el valor de t? y r k para un rayo de luz que incide a 30 sobre una interfase airevidrio (n ti = 1; 50). (b) Mostrar que t? r? = 1 y n ti t k r k = 1. Resp.: t? = 0; 759; r k = 0; F Con frecuencia resulta útil trabajar con el ángulo azimutal, el cual se define como el ángulo entre el plano de vibración y el plano de incidencia. En consecuencia, para la luz linealmente polarizada, Tan i = [E oi]? [E oi ] k 6. F Basado en la figura 8, aplique el Principio de Fermat para encontrar la Ley de Snell, n i Sen i = n t Sen t Tan t = [E ot]? [E ot ] k Figura (8): Problema 6. Tan r = [E or]? [E or ] k Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, 014. República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 4 / 5

5 7. F (a) A partir de la figura 8 muestre que, h 1 Tan i + h Tan t = a ) d t d i = h 1 Sec i h Sec t (b) Resolver el problema 6 pero tomando i como la variable espacial y no x (téngase presente el resultado anterior). 8. F Haciendo uso de las definiciones de los ángulos azimutales que se dieron en el problema 5, muestre que la reflectancia y la transmitancia se pueden escribir como, 9. Muestre que, R = R k Cos i + R? Sen i T = T k Cos i + T? Sen i T k = Sen i Sen t Sen ( i + t ) Cos ( i t ) T? = Sen i Sen t Sen ( i + t ) Problema F (a) A partir de la figura 3 muestre que, h 1 Tan i + h Tan r = a ) d r d i = h 1 Sec i h Sec r (b) Resolver el problema 3 pero tomando i como la variable espacial y no x (téngase presente el resultado anterior). 30. F Usando las expresiones dadas en el problema 9 muestre que, R k + T k = 1 R? + T? = F (a) Muestre, para una incidencia casi normal, que: R = R k = R? = nt n i T = T k = T? = 4n tn i ( ) y (b) determine el porcentaje de luz perdida en la refexión sobre una interfase aire-vidrio (n v = 1; 5). Resp.: R = 4 %. 3. F La figura 3 muestra un rayo de luz que incide sobre una superficie pulida y se refleja. Use el Principio de Fermat para llegar a que i = r. Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, 014. República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 5 / 5