Estudio de un modelo lineal EL CASO DE RESISTIVIDAD ELÉCTRICA

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1 Estudio de un modelo lineal EL CASO DE RESISTIVIDAD ELÉCTRICA OBJETIVOS Encontrar la relación que existe entre la resistencia eléctrica, R, y la longitud, L, para determinado material escribiendo su ecuación experimental explícita. Estimar la resistividad, ρ, del material escribiendo su valor experimental explícito. Describir el comportamiento de la resistencia eléctrica en base al material estudiado, escribiendo las principales características observadas. Habilidades a desarrollar. Al finalizar esta práctica, el alumno será capaz de: i) Tomar correctamente datos experimentales. ii) Reportar correctamente datos experimentales. iii) Analizar datos experimentales mediante el método de los mínimos cuadrados. iv) Corregir el experimento en base a la observación y análisis de los datos experimentales. v) Manejar correctamente el multímetro digital para medir resistencias. PREGUNTAS PRE-LABORATORIO: contéstalas en tu bitácora: 1. Qué es la resistividad de un material?. En qué unidades se mide la resistividad? 3. Qué relación existe entre la resistencia y la resistividad? 4. Qué relación existe entre la resistencia y la longitud? INTRODUCCIÓN Una posible relación entre la resistencia y la longitud de cierto material está dada por la ecuación: R L; donde, R, es la resistencia del A A L material; L, es la longitud del material; A, es el área de la sección transversal del material, y, ρ, es la resistividad del material. Esta relación es válida sólo para ciertos materiales y en un rango de temperatura determinado. ρ 1

2 ACTIVIDAD I: Para realizar nuestro experimento vamos a necesitar el siguiente material. MATERIAL: 1. Once resistencias de carbón de 33.3 Ω;. Socket o protoboard; 3. Multímetro digital; 4. Vernier INSTRUCCIONES: Para encontrar la relación que existe entre la resistencia, R, y la longitud, L, en determinado material escribiendo su ecuación experimental explícita realizaremos las siguientes actividades. I.1. Predice cómo será la gráfica R vs L para un material. Dibújala en tu bitácora después de leer cuidadosamente la introducción. La longitud, L, debe ir en el eje de las x y la resistencia, R, en el eje de las y. Por qué? I.. Mediciones iniciales. Mide la longitud, LR, y el diámetro, DR, de cada una de las once resistencias. En tu bitácora haz una tabla con estas mediciones. Reporta esta tabla de acuerdo con el formato estándar; EN METROS. #/cant L R, ± , m D R, ± , m 1 L R1 D R1 L R D R 3 L R3 4 LR DR

3 I..1. Reporta sus valores. Calcula los valores promedio correspondientes de la longitud, Lprom y del diámetro, Dprom, sin olvidar sus respectivas desviaciones estándar, todo en metros y con el número adecuado de cifras significativas. Repórtalos en su formato estándar con el 68% de confianza. I.3. Medición de la resistencia. En tu bitácora, haz una tabla en el formato estándar, de longitud contra resistencia. Para hacer esto, sigue los siguientes pasos: i) Coloca una resistencia de carbón en el protoboard y mide el valor de su resistencia. ii) Coloca dos resistencias en serie y mide su resistencia total. iii) Continúa así hasta colocar las once resistencias en serie. Elabora una tabla estándar con estos datos. i) Tabla de R vs L #/cant L, ±, m R, ±, Ω 1 L prom R 1 ii) *L prom R 3 3*L prom 4 La longitud es: L = N*Lprom. EN METROS iii) La resistencia, R, es la medida con el multímetro EN OHMS. I.4. Analizando los datos. Ajusta los datos de R en función de L por el método de los mínimos cuadrados y escribe entonces la ecuación correspondiente en el formato estándar. Para hacer esto, 3

4 toma los primeros diez datos experimentales obtenidos en I.3. y utiliza una hoja de Excel o algún programa similar. (Consulta el Apéndice I) I.5. Revisa los puntos en el ajuste y, de ser necesario, vuelve a tomar los datos que se alejen demasiado de la tendencia esperada. Discútelo con tu profesora o profesor y con los miembros de tu equipo. Corrige entonces tu análisis. I.6. Calcula el área. Utilizando el diámetro promedio obtenido en I., calcula el área de la sección transversal del material, de confianza. Ojo: EN METROS CUADRADOS A R D prom. Repórtala en tu bitácora en su formato estándar con el 68% 4 I.7. Discusión. Una vez que tengas los datos y el ajuste correctamente realizados, contesta: i) Cómo se compara tu predicción de la actividad I.1 con la gráfica obtenida? Las gráficas, ii) iii) iv) son iguales o diferentes? Explica brevemente en tu bitácora. Escribe en tu bitácora la ecuación matemática que ajusta los resultados experimentales corregidos del paso I.5, en su formato estándar. (Consulta el Apéndice I) Identifica el significado físico de la pendiente y de la ordenada al origen. Anota en tu bitácora sus valores en el formato estándar. Obtén el valor de la resistividad, ρ, a partir de ii), iii) y I.6. Realiza estos cálculos en la bitácora y escribe entonces el valor de la resistividad en su formato estándar. v) A partir del valor obtenido en iv), podría averiguarse de qué material se trata? En caso vi) afirmativo, cómo se haría y de qué material se trata? Explica ampliamente. Prueba tu ecuación. Para hacer esto, en la ecuación anterior (paso ii), sustituye el onceavo dato de la longitud medido en I.3. Calcula el valor para la resistencia y compáralo con el valor medido. Estos valores son iguales o diferentes? Explica ampliamente. 4

5 PREGUNTAS POST-LABORATORIO: contéstalas en tu bitácora. 1. De acuerdo con los resultados del experimento y el análisis de los mismos: qué tipo de relación existe entre el la resistencia, R, y la longitud, L, para el material estudiado? a) Sinusoidal del tipo: y = Aseno(mx +) b) Exponencial del tipo: y = ke mx c) De potencia del tipo: y = kx m d) Lineal del tipo: y = mx + b. De acuerdo con los resultados del experimento y el análisis de los mismos: cuál es el significado físico de la pendiente y de la ordenada al origen? 3. De acuerdo con los resultados del experimento y el análisis de los mismos: cuál es el valor de la resistividad, ρ? No olvides reportarla con el formato estándar. 4. Los valores obtenidos en las preguntas y 3, son lógicos, coherentes y concuerdan con lo esperado? Explica ampliamente. 5. De acuerdo con los resultados del experimento y el análisis de los mismos: de qué material podría tratarse? Explica ampliamente. BIBLIOGRAFÍA 1. Baird, D. C. Experimentation. New Jersey. Prentice-Hall Holman, Jack P. Métodos experimentales para ingenieros. México. McGraw-Hill Young, H. D. University Physics. Reading Massachusetts. Addison-Wesley Publishing Company

6 APÉNDICE I: El método de los mínimos cuadrados Para ajustar datos experimentales que poseen una tendencia lineal, es decir, que pertenecerían a una recta, se utiliza el método de los mínimos cuadrados. El criterio bajo el cual opera establece que: se ajustan los datos de tal manera que la mejor recta pasa a una distancia mínima de cualquiera de los puntos experimentales al cuadrado. Al aplicar este criterio, se obtienen los parámetros de la mejor recta, de la siguiente manera: m n x iy i x i n x i x i y i S m S y n n x i x i b x i y i x i n x i x i x i y i S b S y x i n x i x i donde: S y y i m x i b n - Utilizando los valores medidos de la variable dependiente, yi; y los valores de la variable independiente, xi; así como el número de datos, n, estas ecuaciones nos proporcionan la pendiente promedio, ; su desviación estándar, Sm. La ordenada al origen promedio, b, y su desviación estándar, Sb, con un nivel de confianza del 68 % si se reporta una desviación estándar. En estos cálculos se presume una distribución normal. Una vez que tenemos los parámetros del modelo, escribimos la ecuación explícita con su formato estándar, con un 68 % de probabilidad: VD = (pendiente) VI + ordenada al origen y = ( m ± Sm) x + ( b ± Sb); Donde y está medida en las unidades u, y x está medida en las unidades u. Por ejemplo, para la velocidad en función del tiempo en una caída libre: v = (9.79 ± 0.0) t + (0.011 ± 0.005); donde v está en m/s, y t está en s. 6