Matemáticas NS y NM. Calculadoras de pantalla gráfica Primeros exámenes: Programa del Diploma. Material de ayuda al profesor

Transcripción

1 Matemáticas NS y NM Calculadoras de pantalla gráfica Primeros exámenes: 2006 Programa del Diploma Material de ayuda al profesor

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3 Programa del Diploma Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM Calculadoras de pantalla gráfica Primeros exámenes: 2006 Organización del Bachillerato Internacional Buenos Aires Cardiff Ginebra Nueva York Singapur

4 Programa del Diploma Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM: calculadoras de pantalla gráfica Versión en español del documento publicado en mayo de 2005 con el título Mathematics HL/SL (graphic display calculators) teacher support material Publicada en septiembre de 2005 por la Organización del Bachillerato Internacional Peterson House, Malthouse Avenue, Cardiff Gate Cardiff, Wales GB CF23 8GL Reino Unido Tel.: Fax: Sitio web: Organización del Bachillerato Internacional, 2005 La Organización del Bachillerato Internacional es una fundación educativa internacional sin fines de lucro. Fue creada en 1968 y tiene sede legal en Suiza. IBO agradece la autorización para reproducir en esta publicación material protegido por derechos de autor. Cuando procede, se han citado las fuentes originales y, de serle notificado, IBO enmendará cualquier error u omisión con la mayor brevedad posible. El uso del género masculino en esta publicación no tiene un propósito discriminatorio y se justifica únicamente como medio para hacer el texto más fluido. Se pretende que el español utilizado sea comprensible para todos los hablantes de esta lengua y no refleje una variante particular o regional de la misma. Los artículos promocionales y las publicaciones de IBO en sus lenguas oficiales y de trabajo pueden adquirirse a través del catálogo en línea, disponible en al seleccionar Publicaciones en el menú de atajos. Las consultas sobre pedidos deben dirigirse al departamento de ventas en Cardiff. Tel.: Fax: Correo-e: sales@ibo.org Impreso en el Reino Unido por Anthony Rowe Ltd (Chippenham, Wiltshire) 596

5 Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM: calculadoras de pantalla gráfica Índice Introducción 1 Propósito de este material de ayuda al profesor 1 Antecedentes del uso de calculadoras de pantalla gráfica 1 Modelos de calculadoras de pantalla gráfica usados en este documento 2 Características referentes al idioma en las calculadoras de pantalla gráfica 3 Ejemplo 1: Para ver los menús en español 3 Ejemplo 2: Para ver los menús de nuevo en inglés 4 Ayuda de Catalog 5 Ejemplo 1: Instalación de la ayuda de Catalog 5 Ejemplo 2: Uso de la ayuda de Catalog 5 Ejemplo 3: Para salir de la ayuda de Catalog 6 Ejemplo 4: Instalación de la ayuda de Catalog en chino 6 Ejemplo 5: Uso de la ayuda de Catalog en chino 7 Ejemplo 6: Para salir de la ayuda de Catalog en chino 7 Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus 8 Destrezas básicas para las representaciones gráficas 8 Elección de la ventana adecuada 8 Localización de raíces, máximos y mínimos 12 Determinación de las ecuaciones de las tangentes 15 Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones 18 Cálculo del área bajo la curva entre dos puntos 19 Aplicación de transformaciones 21 Selección de herramientas básicas 23 Para hallar raíces de polinomios 23 Para resolver ecuaciones 25 Para resolver sistemas de ecuaciones 27 Estudio de relaciones trigonométricas 28 Resolución de ecuaciones trigonométricas 31 Suma de una progresión 33 Funciones y análisis 34 Cálculo del valor numérico de derivadas 34 Justificación de las expresiones de las derivadas 36 Estudio de gráficas de funciones y sus derivadas primera y segunda 38 Cálculo del valor numérico de integrales 40 Estadística y probabilidad 41 Dibujo de histogramas usando listas 41 Cálculo del valor de 43

6 Índice Cálculo de probabilidades en la binomial 43 Cálculo de probabilidades en la normal 45 Cálculo inverso en la normal 48 Diagramas de caja y bigotes 49 Matrices y vectores 51 Introducción de matrices en la calculadora 51 Álgebra de matrices 52 Cálculo del determinante de una matriz y de la matriz inversa 54 Las calculadoras de pantalla gráfica en la evaluación 56 Lo que los alumnos deben poner por escrito en los exámenes 56 Ejemplo 1 de pregunta 56 Ejemplo 2 de pregunta 57 Preguntas del tipo compruebe que en las que hay que volver a utilizar la solución = preguntas del tipo halle 58 Ejemplo 1 de pregunta 58 Ejemplo 2 de pregunta 60 Casos de uso de la calculadora de pantalla gráfica en el aula 62 Uso de la calculadora de pantalla gráfica en el aula 62 Ejemplos de uso de la calculadora de pantalla gráfica 62 Gestión de la memoria en una calculadora de pantalla gráfica 66 Terminología básica relacionada con la calculadora de pantalla gráfica 66 Hardware 66 Sistema operativo 66 Verificación de la versión del sistema operativo 67 Memoria 67 Funcionalidad, programas y aplicaciones flash 67 Programas integrados 67 Programas RAM 67 Verificación de la memoria RAM 68 Para restaurar la memoria RAM de la familia de modelos de la TI-83/84 68 Para restaurar la memoria RAM de la Casio CFX-9850 Plus/FX Plus/CFX Plus/ CFX1.0 Plus/Graph 65 Plus/Graph 35 Plus 69 Aplicaciones Flash (Apps) de la memoria ROM 70 Cóm o eliminar aplicaciones Flash (APPS) de la memoria ROM de las calculadoras TI-83 Plus/ TI-83+SE/TI-84+/TI-84+SE 70 Para inicializar las memorias RAM y ROM de la Casio FX1.0 Plus 71

7 Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM: calculadoras de pantalla gráfica Introducción Propósito de este material de ayuda al profesor La finalidad de este documento es servir de ayuda a los profesores que utilizan calculadoras de pantalla gráfica en las asignaturas de Matemáticas Nivel Superior (NS), Matemáticas Nivel Medio (NM) y Ampliación de Matemáticas NM del Programa del Diploma. También puede resultar útil como ayuda para el uso de tecnología en otras asignaturas. El uso de las calculadoras de pantalla gráfica ha generado varios debates, y esperamos que este documento sirva para resolver algunas de las cuestiones que plantean profesores y alumnos, entre ellas: Cómo usar la calculadora Cómo usar la calculadora para mejorar la enseñanza y el aprendizaje Qué deben poner por escrito los alumnos en los exámenes cuando utilizan la calculadora Cómo gestionar la memoria de la calculadora Estas cuestiones son comunes a todas las asignaturas en cuyos exámenes se permite el uso de calculadoras, y la información interesa a cualquier profesor que utilice medios tecnológicos en la enseñanza. Para ilustrar los puntos debatidos, se han incluido ejemplos detallados, de los cuales se pueden encontrar más en el Centro pedagógico en línea (CPEL). Se espera que los profesores aporten sus propias sugerencias en el foro de debate sobre calculadoras. Antecedentes del uso de calculadoras de pantalla gráfica La primera vez que IBO permitió utilizar calculadoras de pantalla gráfica fue a mediados de la década de 1990, y en septiembre de 1998 su uso pasó a ser obligatorio en tres de las asignaturas de matemáticas del Programa del Diploma. Enseguida se puso de manifiesto que las consecuencias de esta decisión habrían de ser más importantes para la enseñanza y la evaluación de las matemáticas de lo que en principio se había previsto. El primer problema consistió en la gran disparidad entre las opciones que ofrecían los diversos modelos que manejaban los alumnos. En consecuencia, se decidió establecer unos requisitos mínimos para las calculadoras de pantalla gráfica, y se informó de ello a los colegios en agosto de A partir de 2001, los alumnos que usasen calculadoras científicas con las cuatro operaciones básicas, o los primeros modelos que aparecieron de calculadoras de pantalla gráfica, estaban en desventaja en los exámenes. Al plantear preguntas, los examinadores daban por sentado que todos los alumnos utilizaban una calculadora de pantalla gráfica que cumplía con los requisitos mínimos. En 2004, la calculadora de pantalla gráfica se hizo obligatoria en todas las asignaturas de matemáticas del Programa del Diploma. A partir de mayo de 2006, los alumnos que no utilicen una calculadora de pantalla gráfica adecuada en cualquier examen de matemáticas estarán en desventaja. En el Vademécum se describen las condiciones de uso en los exámenes, y se incluye una lista de los modelos recomendados y autorizados. Organización del Bachillerato Internacional,

8 Introducción Modelos de calculadoras de pantalla gráfica usados en este documento Varios estudios indican que los nuevos modelos se afirman de modo significativo en el mercado en cuestión de pocos años desde su aparición. A finales de 2004, la mayoría de los alumnos matriculados para los exámenes de Matemáticas NS tenían acceso a uno de los modelos que se mencionan a continuación. Texas Instruments TI-84 Plus Silver Edition TI-84 Plus TI-83 Plus Silver Edition TI-83 Plus Casio CFX-9850G Plus/Graph 65 Plus FX1.0 Plus CFX-9950 Plus FX-9750G Plus/Graph 35 Plus En este documento las instrucciones se dividen en dos columnas, una para cada uno de los dos principales modelos que se usan: la Texas Instruments TI-84 Plus Silver Edition (TI-84+SE) a la izquierda, y la Casio CFX Plus (Casio 9850+) a la derecha. En cada modelo, las instrucciones se dividen a su vez en otras dos columnas. La columna de la izquierda muestra las teclas que se deben presionar ( Presione ) y la columna de la derecha muestra la pantalla tal como debería aparecer al seguir las instrucciones ( Aparece ). Véase a continuación un ejemplo de este esquema. 1. y Borre cualquier gráfica almacenada. C X ) = X = m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. C X E X E Téngase en cuenta que las pantallas que aparecen en las instrucciones pueden resultar distintas dependiendo de la configuración establecida y del sistema operativo instalado en la calculadora. La mayoría de los ejemplos bajo el encabezado de la TI-84+SE se pueden realizar con el modelo básico TI-83 Plus y superiores. La TI-83 (sin plus ) está prácticamente obsoleta y no puede almacenar o ejecutar ciertas aplicaciones. Además, la posibilidad de actualizar sus prestaciones está limitada a un número de programas. Aparte de un par de variaciones en las opciones de texto y color, la Casio es idéntica en funcionalidad a la Casio FX-9750 Plus, la Casio Graph 65 Plus y la Casio Graph 35 Plus. También es posible realizar las mismas funciones con la FX1.0 Plus y la Casio CFX-9950 Plus que con la Casio 9850+, aunque las teclas y los números de menú pueden variar entre estos modelos. Las versiones de Casio que no son plus están prácticamente obsoletas y es probable que no reúnan los requisitos mínimos para algunas asignaturas. Téngase en cuenta que pueden existir distintas formas de llegar al mismo resultado. Las posibilidades aquí mostradas no son necesariamente las mejores o las más sencillas. 2 Organisation du Baccalauréat International 2005

9 Introducción Características referentes al idioma en las calculadoras de pantalla gráfica La opción de elegir un idioma se ha convertido en una característica importante de los recientes modelos de calculadoras de pantalla gráfica. Texas Instruments incluye 12 localizadores de idioma en sus nuevos modelos y Casio, en la FX1.0 Plus, ofrece la posibilidad de incorporar cierto número de idiomas. Si se ejecuta un localizador de idioma (TI) o se incorpora un idioma (Casio), se cambia el idioma de la mayoría de los menús de la calculadora, aunque existen algunas limitaciones y excepciones. En la Casio no existen opciones de idioma. Las Casio Graph 35 y Graph 65 están dirigidas a los mercados de idioma francés. Su funcionalidad es idéntica a la de la Casio 9850+; la única diferencia es que algunas teclas llevan el nombre en inglés y en francés. La versión en francés de este documento usa las pantallas en francés de la TI-84+SE (con la aplicación Français instalada). La versión en español usa las pantallas en español de la TI-84+ SE (con la aplicación Español instalada), a excepción de unas pocas que aparecen en inglés. Se encuentra disponible una versión en chino de la ayuda de la aplicación Catalog para los usuarios que prefieran la ayuda en chino. Véase a continuación las instrucciones. Ejemplo 1: Para ver los menús en español TI-84+SE Casio FX1.0 Plus (no disponible en la 9850+) 1. A a C para localizar Español. m a l para acceder al administrador del sistema. 2. = para ejecutar Español. $ para acceder al menú de idiomas para ver los menús en español. d d para seleccionar Español. 4. E para ver los menús en español. Para ver los menús en cualquiera de los otros idiomas se utiliza el mismo método. Organización del Bachillerato Internacional,

10 Introducción Ejemplo 2: Para ver los menús de nuevo en inglés TI-84+SE Casio FX1.0 Plus (no disponible en la 9850+) 1. A a C para localizar Español. m a l para acceder al administrador del sistema. 2. = para ejecutar Español. $ para acceder al menú de idiomas para ver los menús en inglés. E para ver los menús en inglés. 4 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

11 Introducción Ayuda de Catalog Ejemplo 1: Instalación de la ayuda de Catalog TI-84+SE Presione 1. A a P Utilice las teclas de las flechas para localizar CtlgHelp. Aparece 2. =para instalar la ayuda de Catalog, y después cualquier tecla. = para volver a la pantalla de inicio. Ejemplo 2: Uso de la ayuda de Catalog TI-84+SE Presione Aparece 2. m para acceder al menú MATH. La función Frac aparece seleccionada para ejecutar la ayuda de Catalog. 4. r para pegar la función Frac en la pantalla de inicio. 5. = para aplicar la función. Organización del Bachillerato Internacional,

12 Introducción Ejemplo 3: Para salir de la ayuda de Catalog TI-84+SE Presione Aparece 1. A a P Utilice las teclas de las flechas para localizar CtlgHelp. 2. = para ejecutar la ayuda de Catalog para salir de la ayuda de Catalog. Ejemplo 4: Instalación de la ayuda de Catalog en chino TI-84+SE Presione Aparece 1. A a P Utilice las teclas de las flechas para localizar la ayuda de Catalog en chino. 2. = para instalar la ayuda de Catalog en chino, y después cualquier tecla. 6 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

13 Introducción Ejemplo 5: Uso de la ayuda de Catalog en chino TI-84+SE Presione Aparece m para ir al menú MATH. La función Frac aparece seleccionada para ejecutar la ayuda de Catalog. Aparecerá la pantalla de ayuda en chino. 4. = = para pegar la función Frac en la pantalla de inicio. 5. = para aplicar la función. Ejemplo 6: Para salir de la ayuda de Catalog en chino TI-84+SE Presione Aparece 1. A a P Utilice las teclas de las flechas para localizar CtlgHelp. 2. = para ejecutar la ayuda de Catalog. 2 para abandonar la ayuda de Catalog. Organización del Bachillerato Internacional,

14 Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM: calculadoras de pantalla gráfica Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus En esta sección se muestran, paso a paso, ejemplos de características, funciones y herramientas de las calculadoras de pantalla gráfica. Éstos están organizados según las tareas de la función y, con frecuencia, se utilizan ejemplos tomados de pruebas de examen anteriores. En este documento se presuponen adquiridas ciertas destrezas básicas en el manejo de las calculadoras de pantalla gráfica. Los usuarios noveles deben familiarizarse primero con sus calculadoras mediante los Conceptos básicos del manual de Texas Instruments, o el Inicio rápido de la guía del usuario de Casio. Los manuales también se pueden consultar en los sitios web que se indican a continuación. Se debe prestar una atención especial a las instrucciones para introducir expresiones, editar, borrar, usar paréntesis, almacenar valores en la memoria, cambiar la configuración del modo (especialmente las configuraciones en grados o en radianes), configurar la ventana de gráficas, editar tablas, obtener gráficas, listas y matrices, realizar cálculos sencillos, representar datos, volver a la configuración predeterminada (por defecto), instalar y ejecutar aplicaciones, y entender los mensajes de error. Texas Instruments (inglés) (español) Casio (inglés) (español) Sharp (inglés) (español) Hewlett Packard (inglés) (español) Destrezas básicas para las representaciones gráficas Elección de la ventana adecuada Tarea A: Configuración predeterminada (gráficas) 1. A partir de la pantalla inicial. m 8 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

15 2. ] + para acceder a las funciones de memoria. Observación: puede ser necesario utilizar c o 2 M para llegar a la pantalla inicial para activar Reset y cambiar la configuración. Mediante las teclas de las flechas colóquese sobre. E para activar la opción Graph para seleccionar la configuración con los valores predeterminados. s para acceder a V- Window (la configuración de la vista de la ventana) para confirmar. `para seleccionar la configuración estándar de la ventana. En la TI-84+SE, el valor predeterminado en la ventana de gráficas es ±10 en los dos ejes. En la Casio CFX-9850+, el valor estándar en la ventana de gráficas es ±10 en los dos ejes. Tarea B: Utilizando la calculadora para obtener la gráfica de la función y = sen n(ln x ) muestre las diferencias de apariencia de la misma según la configuración que se haya establecido para la ventana.. Use el valor predeterminado ±10 de la ventana de gráficas. Use el valor estándar ±10 de la ventana de gráficas. 1. A partir de la pantalla inicial. Observación: puede ser necesario utilizar c o 2 M para llegar a la pantalla inicial. m 2. Mediante las teclas de las flechas colóquese sobre. Organización del Bachillerato Internacional,

16 3. E para activar la opción Graph. 4. y Utilice las teclas de flecha para resaltar las gráficas introducidas y c para borrarlas. 5. S l m > 1 X ) ) ) = Utilice las teclas de flecha para resaltar las gráficas introducidas y después! para borrarlas. S ( l ( o %! ( X ) ) E 6. g & 7. z 2 = 8. = Con cada nuevo zoom parece como si se mostrase una gráfica distinta. Este efecto parece todavía más acentuado cuando, en lugar de utilizar el zoom, se cambian los parámetros de la ventana a y = 1,5 a +1,5 (y se mantienen así) mientras x se cambia de entre 2 a +2, a entre 1 a +1 y a entre 0,1 a +0,1. 9. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: Xmín = 0.1 Xmáx = 0.1 Xescal = 1 Ymín = 1.5 Ymáx = 1.5 Yescal = 1. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 0.1 max : 0.1 scale : 1 Y min : 1.5 max : 1.5 scale : Organización del Bachillerato Internacional, 2005

17 w :. 1 =. 1 = 1 = : 1. 5 = 1. 5 = 1 = 10. g & s para acceder a V- Window. :. 1 E. 1 E 1 E : 1. 5 E 1. 5 E 1 E Utilice E para volver a la ventana de gráficas. En la configuración predeterminada o estándar de la ventana de gráficas, la gráfica de y = x 3 2x 2 + x sparece cortar una sola vez al eje x. Mediante el uso del zoom o cambiando los parámetros de configuración de la ventana se pueden observar otras características claves de la curva. Tarea C: Obtenga la gráfica de la función y = x 3 2x 2 + x en la ventana predeterminada o estándar. TI-83/84+SE Casio Use el valor predeterminado ±10 de la ventana de gráficas. Use el valor estándar ±10 de la ventana de gráficas. 1. y Borre cualquier gráfica almacenada. Obtenga la gráfica de la función y=x 3 2x 2 +x. X ^ 3-2 X ^ 2 + X = g 2. z 2 = = = para ampliar. m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. Obtenga la gráfica de la función y=x 3 2x 2 +x. X ^ 3-2 X ^ 2 + X E & s " para ampliar. Mediante el uso iterativo del zoom se puede observar que la gráfica corta al eje x al menos una vez en el origen o cerca del mismo. Otro modo de comprobarlo sería cambiando la configuración de los parámetros de la ventana, con x desde 1 a +2 e y desde 0,5 a +0,5. Organización del Bachillerato Internacional,

18 Tarea D: En la pantalla predeterminada, la gráfica y = sen(1 + sen x) parece presentar un máximo local entre x = 0 y x = 4. Utilice el zoom y cambie la configuración para poner de manifiesto otras características de esta curva. Use el valor predeterminado ±10 de la ventana de gráficas. Use el valor estándar ±10 de la ventana de gráficas. 1. y Borre cualquier gráfica almacenada. Obtenga la gráfica de la función y = sen(1 + sen x). S 1 + S X ) ) = g 2. z 2 = para ampliar. m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. Obtenga la gráfica de la función y = sen(1 + sen x). S ( 1 + S ( X ) ) E & s " para ampliar. Se puede observar un valor mínimo local entre dos máximos locales mediante el uso del zoom o cambiando los parámetros de configuración de la ventana para x desde 0,5 a +4, y para y desde 0 a +1,5. Localización de raíces, máximos y mínimos Una vez que se ha obtenido la gráfica de una función, se puede usar la calculadora para determinar muchas de las características importantes de la misma. 3 2 Ejemplo: Considere la función f( x)= x 5x 7x+ 50. Tarea A: Halle las coordenadas del cero (o raíz). 1. y Borre cualquier gráfica almacenada. m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. 2. En Y1 introduzca f( x). X m 3-5 X x - 7 X = En Y1 introduzca f( x). X ^ 3-5 X ^ 2-7 X E 12 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

19 3. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: Xmín = 3.5 Xmáx = 5.5 Xescal = 1 Ymín = 25 Ymáx = 65 Yescal= 10. w : 3. 5 = 5. 5 = 1 = : 2 5 = 6 5 = 1 0 = 4. g E & Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 3.5 max : 5.5 scale : 1 Y min : 25 max : 65 scale : 10. s : 3. 5 E 5. 5 E 1 E : 2 5 E 6 5 E 1 0 E 5. " r 2 para seleccionar la opción de cálculo de ceros. s % 6. < para mover el cursor a la izquierda del cero, después =.! para hallar el cero. 7. Aparece una cruz sobre la curva en ese punto, así como una marca en la parte superior de la pantalla. En la parte inferior de la pantalla aparece un indicador que pide que se ingrese un valor para el extremo superior del entorno. Utilice las teclas de las flechas para mover el cursor a la derecha del cero, después =. Observación: Una característica potente de G-solve es que permite hallar otras raíces, máximos y mínimos utilizando las teclas de las flechas a derecha e izquierda. Organización del Bachillerato Internacional,

20 8. Aparece otra cruz sobre la curva en ese punto, así como otra marca por encima de la curva. En la parte inferior de la pantalla aparece Aprox?. Utilice las teclas de las flechas para mover el cursor tan cerca del cero como sea posible, después =. El cero está en ( 2,979887, 0). Tarea B: Halle las coordenadas del máximo local. 1. " r 4 para seleccionar la opción de cálculo de máximos. s % 2. Para hallar el máximo, utilice las teclas de las flechas y mueva el cursor primero justo a la izquierda del máximo, después =, luego justo a la derecha del máximo, después =, y por último, muy cerca del máximo y después =. " para hallar el máximo. Sobre los puntos de la curva elegidos aparecen cruces, y por encima de la curva aparecen las marcas de izquierda y derecha. Por debajo de la curva aparecen las coordenadas del máximo. El máximo se encuentra en ( 0, , 52,184235). 14 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

21 Tarea C: Halle las coordenadas del mínimo local. 1. " r 3 s % 2. Para hallar el mínimo, utilice las teclas de las flechas y mueva el cursor primero justo a la izquierda del mínimo, después =, luego justo a la derecha del mínimo, después =, y por último, muy cerca del mínimo y después =. para hallar el mínimo. Por debajo de la curva aparecen las coordenadas del mínimo. El mínimo se encuentra en (3, , 5, ). Determinación de las ecuaciones de las tangentes 3 2 Ejemplo: Considere la función f( x)= x 5x 7x+ 50. Tarea A: Dibuje la tangente a la curva en x = y Borre cualquier gráfica almacenada. m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. 2. En Y1 introduzca f( x). X m 3-5 X x - 7 X = En Y1 introduzca f( x). X ^ 3-5 X ^ 2-7 X E Organización del Bachillerato Internacional,

22 3. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: Xmín = 3.5 Xmáx = 5.5 Xescal = 1 Ymín = 25 Ymáx = 65 Yescal = 10. w : 3. 5 = 5. 5 = 1 = : 2 5 = 6 5 = 1 0 = Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 3.5 max : 5.5 scale : 1 Y min : 25 max : 65 scale : 10. s : 3. 5 E 5. 5 E 1 E : 2 5 E 6 5 E 1 0 E 4. g E & 5. " P 5 Aparece de nuevo la curva con las coordenadas de x e y en la parte inferior de la pantalla = Se dibuja la tangente en x = 0 y debajo de la gráfica aparece la ecuación de dicha tangente. s m d d d d! Observación: la Casio no da directamente la ecuación de la tangente en un punto de la curva. Nos ofrece la pendiente para un valor dado de x, y con ello podemos obtener la ecuación de forma manual. e & s! < < < E 7. e d : 7 X E & La ecuación de la tangente en x = 0 es y = 7x Organización del Bachillerato Internacional, 2005

23 Tarea B: Halle el otro punto de corte de esta tangente con la curva. 1. y d d : 7 X = Con esto se introduce la ecuación de la tangente en x = 0 en el menú y. 2. g 3. " r 5 para seleccionar la opción de intersección de curvas. s % para hallar la intersección de estas gráficas. 4. Bajo la gráfica aparecen indicadores que piden que se identifiquen las curvas para las que se busca el punto de intersección. Utilice las teclas de las flechas para mover el cursor justo a la izquierda del punto de intersección, sobre la curva de la función cúbica, después =. 5. Aparece una cruz sobre la curva de la función cúbica en ese punto, y se requiere la selección de la segunda función. = para seleccionar la recta tangente como segunda curva. 6. Mueva el cursor tan cerca como sea posible del punto de intersección, después =. % La calculadora encuentra la primera intersección en x = 0. > para obtener el otro punto de intersección. El punto de intersección es el (5, 15). Organización del Bachillerato Internacional,

24 Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones Tarea A: Resuelva, si es posible, 2 x+ 6 y= 12. 4x y= 24 Use el valor predeterminado ±10 de la ventana de gráficas. Use el valor estándar ±10 de la ventana de gráficas. 1. y Borre cualquier gráfica almacenada. m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. 2. : X / = 4 X = : X / E 4 X E 3. g & 4. ] r = 7. >hasta que aparezca en la pantalla una cruz que parpadea. 18 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

25 8. = s % 9. = % Cálculo del área bajo la curva entre dos puntos 3 2 Ejemplo: Considere la función f( x)= x 5x 7x+ 50. Tarea A: Calcule el área bajo la curva entre x = 0, x = y Borre cualquier gráfica almacenada. m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. 2. En Y1 introduzca f(x). X m 3-5 X x - 7 X = 3. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: Xmín = 3.5 Xmáx = 5.5 Xescal = 1 Ymín = 25 Ymáx = 65 Yescal = 10. w : 3. 5 = 5. 5 = 1 = : 2 5 = 6 5 = 1 0 = En Y1 introduzca f(x). X ^ 3-5 X ^ 2-7 X E Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 3.5 max : 5.5 scale : 1 Y min : 25 max : 65 scale : 10. s : 3. 5 E 5. 5 E 1 E : 2 5 E 6 5 E 1 0 E Organización del Bachillerato Internacional,

26 4. g E & 5. y Si acaba de realizar el ejercicio sobre la tangente, para borrar la gráfica de la recta tangente coloque el cursor sobre el signo = de Y2, después =. El cuadrado negro que hay sobre el signo igual desaparece. Si todavía no ha realizado el ejercicio sobre las tangentes, no hay ninguna función en Y2. 6. g " r 7 para seleccionar la opción de cálculo de áreas bajo la curva. s % & para seleccionar la opción de cálculo de áreas bajo la curva. Aparece la gráfica y un indicador para introducir el extremo inferior del intervalo para el área = Aparece un indicador que pide el extremo inferior del intervalo. Utilice < hasta obtener x = 0 después E. 8. Aparece ahora un indicador para introducir el extremo superior. 5 = Aparece ahora un indicador para introducir el extremo superior. Utilice > hasta obtener x = 5 después E. El área bajo la curva entre cero y cinco aparece sombreada y se da el valor de la integral como 110, Organización del Bachillerato Internacional, 2005

27 Aplicación de transformaciones Considere la curva f( x)= x 3 2 x 2 + x. ( ) Tarea A: Halle la transformación de esta curva en gx ( )= f x 1. Obsérvese que existe una variación muy significativa entre las sintaxis usadas por la TI-84+SE y por la Casio y Borre cualquier gráfica almacenada. m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. X ^ 3-2 X ^ 2 + X = 2. Introduzca: Y1=X Y2=X 1 Y3=Y1 3 2Y1 2 +Y1. X E X - 1 E v $! 1 ^ 3-2 v $! 1 ^ 2 + v $! 1 E 3. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: Xmín = 2 Xmáx = 5 Xescal = 1 Ymín = 5 Ymáx = 5 Yescal = 1. w : 2 = 5 = 1 = : 5 = 5 = 1 = Deje sin seleccionar las gráficas de Y1 e Y2 u u! u!. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 2 max : 5 scale : 1 Y min : 5 max : 5 scale : 1. s : 2 E 5 E 1 E : 5 E 5 E 1 E Organización del Bachillerato Internacional,

28 4. g E & 5. y d v > 1 = ( X - 1 ) = 6. g & e Después d d d para llegar a Y4 y: v $! 2 ^ 3-2 v $! 2 ^ 2 + v $! 2 E. La gráfica muestra ahora la traslación de una unidad a la derecha. Tarea B: Halle la transformación de esta curva en hx ( ) = 2f( x) y Utilice las teclas de las flechas para bajar hasta Y3. 2 v > 1 = - 1 = u u < = para borrar la gráfica de Y2. 2. g & e u "! para borrar la gráfica de Y4. Después introduzca 2f( x) 1 en Y4. 2 v $! 3-1 E La gráfica muestra ahora un estiramiento de razón dos en la dirección del eje y, y una traslación de menos uno también en la dirección del eje y. 22 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

29 Selección de herramientas básicas Para hallar raíces de polinomios Muchas ecuaciones se pueden resolver de un modo más eficaz si se reduce el problema al cálculo de los ceros o raíces de la gráfica de una función. Sin embargo, puede haber situaciones en las que sea preferible hacerlo directamente. Los siguientes ejemplos ilustran cómo hallar raíces de polinomios. 3 2 Tarea A: Resuelva x 2x 5x+ 6= 0 en x. 1. A y después utilice las teclas de las flechas para resaltar PolySmlt. = y después cualquier tecla para acceder al submenú de PolySmlt. Otra forma es: A a 8 d d = para saltar al submenú de PolySmlt, después cualquier tecla. 2. = para ejecutar el buscador de raíces polinómicas. Utilice las teclas de las flechas para resaltar y después E para acceder al submenú de Equation. Otra forma es: a X para acceder al submenú de para ejecutar el buscador de raíces polinómicas = para introducir el polinomio de grado para elegir el polinomio de grado Introduzca los coeficientes. 1 = : 2 = : 5 = 6 = 5. g para hallar las soluciones. Introduzca los coeficientes. 1 E : 2 E : 5 E 6 E! para hallar las soluciones. Organización del Bachillerato Internacional,

30 3 2 Tarea B: Resuelva 0=x 3x 3x + 11x 6 en x. 1. A y después utilice las teclas de las flechas para resaltar PolySmlt. = y después cualquier tecla para acceder al submenú de PolySmlt. Otra forma es: a 8 d d = para saltar al submenú de PolySmlt, después cualquier tecla. 2. = para ejecutar el buscador de raíces polinómicas. En la 9850+, el buscador de raíces está limitado a polinomios de segundo o tercer grado. El siguiente ejemplo utiliza la opción Solver para obtener resultados similares = 1 = : 3 = : 3 = 1 1 = : 6 = a X 4. g para ejecutar la opción Solver, y 0 s. a X a / ^ 4 + a L a / ^ 3 + a l a / ^ 2 + a S a / + a C E 1 E : 2 E : 3 E : 3 E 1 1 E : 6 E. 5. Obsérvese que el buscador de raíces polinómicas no halló las raíces exactas, sino sólo aproximaciones. u o d para resaltar T. 24 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

31 6. & para hallar las soluciones. 7. Para hallar otras raíces, repita los pasos anteriores, pero ingrese otros valores de tanteo para T. Para resolver ecuaciones Muchas ecuaciones se pueden resolver de un modo más eficaz si se reduce el problema al cálculo de los puntos de corte de las gráficas de dos funciones. Sin embargo, puede haber situaciones en las que sea preferible hacerlo directamente. Los dos siguientes ejemplos ilustran cómo resolver ecuaciones. x Tarea A: Resuelva e = x 3, para x entre 4 y 5. Primero se debe escribir de nuevo la ecuación en la forma 0 = f( x). x 0 = e x 3 1. m 0 u c m 1 o $! 2. ] l X ) - X m 3 = s l X - X ^ 3, 4. 5, 4, 5 ) a = E La solución es 4, La solución es 4, Obsérvese que sólo se obtiene una aproximación, y la precisión puede variar dependiendo de la configuración establecida en la calculadora. Organización del Bachillerato Internacional,

32 Tarea B: Resuelva sen 2 (x) = 2cos(3x 1), para x entre 0 y π m 0 u c m 1 o $! 2. ( S X ) ) x - 2 C 3 X ) + 1 = 3. ] ^ / 4 = ( S ( X ) ) x - 2 C ( 3 X ) + 1, s ; / 4, 0, s ; / 2 ) E 4. ] ( 0, ] ^ / 2 ] ) = 5. u a = La solución es 0, Organización del Bachillerato Internacional, 2005

33 Para resolver sistemas de ecuaciones La forma más eficaz de resolver los sistemas de ecuaciones es mediante la opción de resolución de sistemas de ecuaciones. Tarea A: Halle una solución para el sistema de ecuaciones 2 x+ 6 y= 12. 4x y= A a 8 y utilice las teclas de las flechas para resaltar PolySmlt. m X para acceder al submenú de Equation. 2. = y después cualquier tecla para acceder al submenú de PolySmlt para ejecutar la opción de resolución de sistemas de ecuaciones.! para ejecutar la opción de resolución de sistemas de ecuaciones = 2 para introducir dos ecuaciones y dos incógnitas. 5. = muestra el menú de coeficientes = 6 = 1 2 = 4 = : 1 = 2 4 = 7. g para hallar la solución.! para seleccionar dos incógnitas. (Automáticamente se seleccionan dos ecuaciones.) 2 E 6 E 1 2 E 4 E : 1 E 2 4 E! para hallar la solución. (Los sistemas que no tienen solución, al igual que los que tienen muchas, pueden producir resultados imprevistos en la calculadora.) Organización del Bachillerato Internacional,

34 Tarea B: Halle una solución para el sistema de ecuaciones 2 x+ 6 y= 12 4x+ 12y= Repita los pasos de la tarea A, pero utilizando los coeficientes: 2, 6, 12, 4, 12, 24. Repita los pasos de la tarea A, pero utilizando los coeficientes: 2, 6, 12, 4, 12, Resultado Resultado Tarea C: Halle una solución para el sistema de ecuaciones 2 x+ 6 y= 12 4x+ 12y= Repita los pasos de la tarea A, pero utilizando los coeficientes: 2, 6, 12, 4, 12, 12. Repita los pasos de la tarea A, pero utilizando los coeficientes: 2, 6, 12, 4, 12, Resultado Resultado Estudio de relaciones trigonométricas Las características disponibles en las calculadoras de pantalla gráfica varían mucho según los modelos. La TI-84+SE tiene una característica que permite cambiar el grosor de la gráfica de la función representada. La Casio tiene una opción que permite utilizar colores para comparar gráficas. Tanto la Casio FX-9750 Plus como la Casio tienen una característica de gráfica doble que se puede usar para este tipo de estudio. La representación gráfica de cada miembro de la relación trigonométrica sustenta la conclusión sobre la validez de la misma. Sin embargo, estas gráficas no se pueden aceptar como demostraciones de la relación que se investiga, ya que el hecho de que las gráficas parezcan coincidir no garantiza que la identidad sea cierta. Sería una buena idea incluir un contraejemplo en la programación del tema. 28 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

35 Tarea A: Estudie la validez de la relación trigonométrica cos ( 2 ) = 1 2 sen 2 ( ) utilizando las características gráficas de una calculadora de pantalla gráfica. TI-84+SE (con el estilo de la gráfica) Casio (con la pantalla de gráficas dobles) 1. y Borre cualquier gráfica almacenada. m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. 2. C 2 X ) = s m ( S X ) ) x = D d d 4. u < < = para mover el cursor a la izquierda de Y2. Se usará entonces una línea más gruesa para la gráfica de Y2. 5. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: Xmín = 0 Xmáx = 2π Xescal = π/2 Ymín = 1.1 Ymáx = 1.1 Yescal = 0.5. w 0 = 2 " ^ = " ^ / 2 = : 1. 1 = 1. 1 =. 5 =! E C 2 X E Organización del Bachillerato Internacional,

36 6. g Aparece primero la gráfica de Y1 = cos 2x El trazo más grueso de Y2 = 1 2sen 2 (x) aparece después encima de la anterior. & s e ( S X ) x E 10. & Obsérvese que esta imagen muestra dos gráficas. La de la izquierda representa cos 2θ, la de la derecha representa 1 2sen 2. Casio (con gráficas de colores) 1. Introduzca en la pantalla de gráficas las funciones dadas anteriormente. 2. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 2π max : 2π scale : π/2 Y min : 3 max : 3 scale : u para seleccionar y resaltar la segunda gráfica 1 2sen e 30 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

37 5. & La gráfica de cos 2θ aparece dibujada en azul oscuro. la gráfica de 1 2sen 2 aparece dibujada sobre la anterior en anaranjado claro. 6. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 0 max : 2π scale : π/2 Y min : 1.6 max : 1.5 scale : E & Resolución de ecuaciones trigonométricas Considere las funciones f ( t ) = sen ( 2t ) g ( t ) = sen ( 4t ) Tarea A: Para cuántos valores de t entre 0 y 2π, sucede que f() t = g() t? 1. y Borre cualquier gráfica almacenada. m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. 2. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: Xmín = 20 Xmáx = 20 Xescal = 1 Ymín = 20 Ymáx = 20 Yescal = S 2 X ) = Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 10 max : 10 scale : 1 Y min : 10 max : 10 scale : S 2 X E Organización del Bachillerato Internacional,

38 S 4 X ) = S 4 X E 5. g & 6. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: Xmín = 0 Xmáx = 2π Xescal = π/2 Ymín = 0 Ymáx = 25 Yescal = 5. w 0 = 2 " ^ = " ^ / 2 = 0 = 2 5 = 5 = 7. g E & Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 0 max : 2π scale : π/2 Y min : 0 max : 25 scale : 5. s 0 E 2 s ; E s ; / 2 E 0 E 2 5 E 5 E 8. Examine las gráficas y observe que existen cuatro puntos de intersección, que son la respuesta a esta tarea. Tarea B: Cuál es el menor valor positivo de t para el cual f() t = g() t? 1. " r 5 s 32 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

39 2. Asegúrese de que el cursor se encuentra sobre la primera curva, después =. % % 3. Asegúrese de que el cursor se encuentra sobre la segunda curva, después =. Observación: Una característica potente de G-solve es que permite obtener las otras soluciones directamente presionando las teclas de las flechas a derecha e izquierda de la actual, sin necesidad de introducir nada más. 4. Elija un valor de tanteo, por ejemplo, 0, = La solución aparece como x = 0, Suma de una progresión Tarea A: Halle la suma de los 30 primeros términos de la progresión aritmética cuyos primeros términos son 3, 5, 7, 9... El n-ésimo término viene dado por: 3+ 2( n 1). 1. " s < 5 m 1 o! & &! 2. " s > 5 ( & % ( X - 1 ), X, 1, 3 0 ) = ( X - 1 ), X, 1, 3 0, 1 ) ) E La respuesta es 960. Organización del Bachillerato Internacional,

40 Tarea B: Halle la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica cuyos primeros términos son 320, 240, 180, El n-ésimo término viene dado por: 320 (0,75) n " s < 5 m 1 o! & &! 2. " s > 5 ( & % (. 7 5 ) ^ ( X - 1 ), X, 1, 1 0 ) = (. 7 5 ) ^ ( X - 1 ), X, 1, 1 0, 1 ) E La respuesta es 1207, Funciones y análisis Cálculo del valor numérico de derivadas Una manera de aproximar el valor de la derivada de la función, f, en x = a es calcular el valor de la f( a+ h) f( a h) expresión para valores pequeños de h y estudiar el límite cuando h tiende a cero. 2h La mayoría de las calculadoras de pantalla gráfica tienen funciones incorporadas para calcular el valor de la expresión anterior para distintos valores de h. x Tarea A: Halle el valor de la derivada de f( x)= 2 en x = 012,, y m 8 m 1 o $ " 34 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

41 2. 2 ^ X, X, 0,. 1 ) = 2 ^ X, 0,. 1 ) E 3. " = para pegar el cálculo anterior. < para pegar el cálculo anterior. 4. Utilice las teclas de las flechas para cambiar 0,1 por 0,01. < < 0 1 ) = 5. Utilice las teclas de las flechas para cambiar 0,01 por 0,001. " = < < 0 1 ) = 6. Utilice las teclas de las flechas para cambiar 0,001 por 0,0001. " = < < 0 1 ) = Si no se introduce específicamente el valor de h, la calculadora toma por defecto el valor 0,001. Las derivadas en 1, en 2 y en 3 se aproximarán con el valor por defecto. Utilice las teclas de las flechas para cambiar 0,1 por 0,01. < < 0 1 ) E Utilice las teclas de las flechas para cambiar 0,01 por 0,001. < < < 0 1 ) E Utilice las teclas de las flechas para cambiar 0,001 por 0,0001. < < < 0 1 ) E El límite parece ser 0, Este es el valor que se obtiene si se omite el valor de h en el cálculo. Se puede llegar a la conclusión de que el valor de la derivada de 2 x en x = 0 es 0, Tarea B: Compare cada valor con el valor de 2 x para el mismo valor de x. 1. m 8 2 ^ X, X, 1 ) = m 1 o $ " 2 ^ X, 1 ) E 2. Cambie el 1 por 2. " = < < 2 = Utilice las teclas de las flechas para cambiar el 1 por el 2. 2 E Organización del Bachillerato Internacional,

42 3. Cambie el 2 por 3. " = < < 3 = Utilice las teclas de las flechas para cambiar el 2 por el 3. 3 E La siguiente tabla resume estos resultados y establece las comparaciones pedidas. x 2 x Derivada de 2 x Derivada de 2 x 0 1 0, , , , , , , , Se deduce que la derivada de 2 x es igual a 0, veces el valor de 2 x. Justificación de las expresiones de las derivadas A veces, los alumnos no disponen de los conocimientos matemáticos necesarios para proporcionar una demostración formal de la derivada de una determinada función. Al igual que con las relaciones trigonométricas, la equivalencia entre expresiones se puede verificar utilizando las características gráficas de la calculadora junto a la derivación numérica, en este caso. Tarea A: Compruebe que si y x está en radianes, entonces f ( x) = cos x. 2 x 1. y Borre cualquier gráfica almacenada. m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. 2. S X ) = S X E 3. m 8 o "! 36 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

43 4. v > 1 1, X, X ) = S X, X ) E 5. C X ) C X E 6. u < < = para mover el cursor a la izquierda de Y3. Se usará entonces una línea más gruesa para la gráfica de Y3. 7. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: Xmín = 0 Xmáx = 2 π Xescal = π/2 Ymín = 1.5 Ymáx = 1.5 Yescal = 0.5. w 0 = 2 " ^ = " ^ / 2 = : 1. 5 = 1. 5 =. 5 = 8. g La gráfica de cos x debe recubrir a la gráfica de la derivada de sen x. & y después utilice u y d para seleccionar colores distintos para cada función.! o azul para o anaranjado para Y2. o verde para Y3. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 0 max : 2 π scale : π/2 Y min : 1.5 max : 1.5 scale : 0.5. s 0 E 2 s ; E s ; / 2 E : 1. 5 E 1. 5 E. 5 E E & Las gráficas de Y1, Y2 e Y3 aparecen sucesivamente. Se observa claramente que, cuando aparece, Y3 recubre a Y2. Organización del Bachillerato Internacional,

44 Estudio de gráficas de funciones y sus derivadas primera y segunda Tarea A: Represente gráficamente f( x)= 3x 15x + 10x + 30x 45x+ 50 y su derivada ( ) = 15x 4 60x x x 45. El propósito de este ejercicio es examinar la gráfica de una función y su derivada, y comprobar cómo la pendiente de la gráfica de la función viene dada por el valor de la derivada, destacando puntos determinados donde el valor de la derivada es cero o existe un máximo o un mínimo locales. 1. y Borre cualquier gráfica almacenada. m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. 2. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: Xmín = 2 Xmáx = 4 Xescal = 1 Ymín = 70 Ymáx = 100 Yescal = 20. w : 2 = 4 = 1 = : 7 0 = = 2 0 = 3. Introduzca f(x) en Y1. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 2 max : 4 scale : 1 Y min : 70 max : 100 scale : 20. s : 2 E 4 E 1 E : 7 0 E E 2 0 E E Introduzca f(x) en Y X ^ X ^ X ^ X x X = Introduzca f ( x)en Y X ^ X ^ X x X = 3 X ^ X ^ X ^ X x X E Introduzca f ( x)en Y X ^ X ^ X x X E 38 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

45 5. g & Se debe resaltar que la derivada es negativa cuando la pendiente es negativa, y la derivada es positiva cuando la pendiente es positiva, y que los valores más extremos de la derivada se hallan donde la pendiente es más positiva o más negativa. También se debe tener en cuenta que cuando la derivada es cero, la tangente a la gráfica de f es horizontal, y que estas situaciones corresponden a puntos donde existe un máximo local, un mínimo local y un punto de inflexión de tangente horizontal (singular). Asimismo, se observará que se dan puntos de inflexión en los puntos donde la derivada tiene valores máximos o mínimos locales Tarea B: Represente gráficamente f( x)= 3x 15x + 10x + 30x 45x+ 50 y su 3 2 derivada segunda f ( x) = 60x 180x + 60x+ 60. El propósito del siguiente ejercicio es examinar la gráfica de una función y su derivada segunda, y comprobar cómo la concavidad de la gráfica está relacionada con que la derivada segunda sea positiva o negativa, y también destacar cuándo es cero la derivada segunda. 1. y Utilice las teclas de las flechas para bajar hasta Y3. s e Utilice las teclas de las flechas para bajar hasta Y3. 2. Introduzca f"(x) en Y X ^ X ^ X = 3. Para impedir que aparezca la gráfica en Y2, utilice las teclas de las flechas y coloque el cursor sobre el signo = de Y2 y después =. Introduzca f"(x) en Y X ^ X ^ X E Para impedir que aparezca la gráfica en Y2, utilice las teclas de las flechas y coloque el cursor sobre el signo = de Y2 y después!. El cuadrado negro que hay sobre el signo = desaparece. 4. g & El cuadrado negro que hay sobre el signo = desaparece. Organización del Bachillerato Internacional,

46 Se debe observar que cuando la derivada segunda es positiva, la gráfica se abre hacia arriba (cóncava positiva) y cuando la derivada segunda es negativa, la gráfica se abre hacia abajo (cóncava negativa). También se debe ver la relación entre los puntos donde la derivada segunda es cero y los puntos de inflexión. La aparición simultánea de las tres gráficas puede dar lugar a otros análisis. Se debe resaltar el hecho de que f" = 0 no significa necesariamente que exista un punto de inflexión (por ejemplo, y = x 4 ). La opción Colour Graph de la Casio o la opción de estilos de gráfica de la TI-84+SE son muy útiles para comparar las gráficas en estos ejemplos. Cálculo del valor numérico de integrales La posibilidad que proporcionan la mayoría de las calculadoras de pantalla gráfica de calcular el valor numérico de una integral se puede utilizar para obtener una buena aproximación de los valores de integrales que no se pueden obtener por los métodos tradicionales o que conllevarían unos cálculos muy largos o complejos. También se puede utilizar para comprobar los valores de integrales obtenidas por los métodos tradicionales. El siguiente ejemplo está extraído de la prueba 2 del examen de Métodos Matemáticos NM de mayo de Tarea A: Calcule el valor de 3π 4 0 e x 1. m 9 m 1 o $ $. 2. " l X ) ( S X ) + C X ) ), X, 0, 3 " ^ / 4 ) = s l X ( S X + C X ), 0, 3 s ; / 4 ) E El valor de la integral es 7, Organización del Bachillerato Internacional, 2005

47 Estadística y probabilidad Dibujo de histogramas usando listas Tarea A: Dibuje un histograma con los siguientes datos. x f y Borre cualquier gráfica almacenada. m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. 2. s 1 m 2 Borre cualquier dato que hubiese en las listas. u & $! para cada lista. 3. Introduzca los datos en la Lista 1. 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 4. Introduzca los datos en la Lista 2. > 2 = 9 = 1 5 = 1 2 = 4 = 5. " y Introduzca los datos en la Lista 1. 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E Introduzca los datos en la Lista 2. > 2 E 9 E 1 5 E 1 2 E 4 E 6. = = para seleccionar On.! & Organización del Bachillerato Internacional,

48 7. d > > = para seleccionar el icono de gráfica de barras. 8. d " s 1 para insertar L 1 en la línea listax. d&! para asegurarse de que el tipo de gráfica seleccionada es el histograma. d! para asegurarse de que en XList está la Lista d " s 2 para insertar L 2 en la línea Frec. d para asegurarse de que en la frecuencia está la Lista Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: Xmín = 0 Xmáx = 6 Xescal = 1 Ymín = 0 Ymáx = 20 Yescal = 1. w 0 = 6 = 1 = 0 = 2 0 = 1 = 11. Observación: En L 1 la frecuencia para uno se dibuja de uno a dos, así que el eje x ha de ser uno más que cinco. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 0 max : 6 scale : 1 Y min : 0 max : 20 scale : 1. e s 0 E 6 E 1 E 0 E 2 0 E 1 E e!! Configure el inicio ( Start ) en 0 y el ancho de barra ( Pitch ) en g & 0 E 1 E 42 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

49 Cálculo del valor de 8 Tarea A: Halle 3. n r 1. 8 m < 3 m 1 o & 2. 3 = 8 3 E 8 La respuesta es 56 3 =. Cálculo de probabilidades en la binomial Ejemplo: Se tiran ocho dados equilibrados de seis caras. Tarea A: Halle la probabilidad de obtener exactamente dos seises. 1 Se trata de un caso de probabilidad binomial con n= 8, p=. 6 Nos piden: P( x = 2 ). 1. " v 0 m 2 % %! " 2. 8, 1 / 6, 2 ) = d 2 E 8 E 1 / 6 E E La respuesta es 0,2605. Organización del Bachillerato Internacional,

50 Tarea B: Halle la probabilidad de obtener a lo sumo dos seises. Nos piden P( x 2 ). 1. " v a m e e % % " " 2. 8, 1 / 6, 2 ) = d 2 E 8 E 1 / 6 E E La respuesta es 0,8652. Tarea C: Halle la probabilidad de obtener al menos dos seises. Nos piden: P( x 2) La respuesta será 1 p 0 p 1. ( )+ () " v a m e e % % " " 2. 8, 1 / 6, 1 ) = d 1 E 8 E 1 / 6 E E 3. m s : E La respuesta es 0, Organización del Bachillerato Internacional, 2005

51 Cálculo de probabilidades en la normal La función densidad de probabilidad de la distribución normal, φ(x), define la distribución de probabilidad de la variable aleatoria continua, X, en función de la media de su distribución, µ, y su desviación típica, σ. Esta distribución es muy común entre las variables aleatorias. La gráfica de φ(x) tiene la forma característica de una campana. Es simétrica respecto a la media, µ, y los puntos de inflexión de la curva de la campana se encuentran en µ ± σ. El área total bajo la curva es igual a uno, y la probabilidad de que el valor de X se encuentre entre los valores x 1 y x 2 es igual al área bajo la curva entre esos dos valores. La ecuación de la curva viene dada por 2 ( x µ ) 1 2 2σ φ( x) = σ 2π e, aunque para cálculos elementales de probabilidad no es necesario saberla. La función densidad de probabilidad de la distribución normal estándar para una variable z de media cero y 2 z 1 desviación típica uno viene dada por 2 φ( z) = 2π e. x La distribución normal general se puede transformar en la estándar mediante la transformación z = µ σ. Con las tablas tradicionales de la distribución normal, y con algunas calculadoras, es necesario hacer esta transformación. Con otras calculadoras, generalmente se puede evitar esta transformación. Considere a continuación el típico problema de una variable normalmente distribuida: una variable normalmente distribuida, X, tiene una media igual a 100 y una desviación típica igual a 15. Organización del Bachillerato Internacional,

52 Tarea A: Halle la probabilidad de que 90 < X < 120. Utilice la función de distribución acumulada de la normal. 1. " v 2 m 2 %! " 2. Introduzca cuatro parámetros: (extremo inferior, extremo superior, media, desviación típica) 9 0, 1 2 0, 1 0 0, 1 5 ) = Introduzca cuatro parámetros: (extremo inferior, extremo superior, desviación típica, media) 9 0 E E 1 5 E E E La respuesta es 0,656. Tarea B: Halle la probabilidad de que X >130. Teóricamente, aquí se necesita un extremo superior de + y en el apartado c) un extremo inferior de. Se pueden utilizar los valores 1e 99 y 1e 99 respectivamente, pero se puede utilizar valores más convenientes (al menos cinco veces la desviación típica a partir de la media) sin perder precisión en la respuesta obtenida. 1. " v 2 E para volver al menú de la distribución acumulada de la normal , 1 " l 9 9 ), 1 0 0, 1 5 ) = E 1 ; 9 9 E 1 5 E E 46 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

53 3. Con esto obtenemos la solución 0,0228 con tres cifras significativas. Si cambiamos 1e 99 por 1000, obtenemos una solución idéntica a la anterior al menos en 10 cifras decimales. " v , , 1 0 0, 1 5 ) = E Tarea C: Halle la probabilidad de que X < " v 2 e para volver al menú de la distribución acumulada de la normal. 2. : 1 " l 9 9 ), 8 0, 1 0 0, 1 5 ) = 3. Con esto obtenemos la solución 0,0912 con tres cifras significativas. Si cambiamos 1e 99 por cero, obtenemos una solución idéntica a la anterior al menos en 10 cifras decimales. : 1 ; 9 9 E 8 0 E 1 5 E E E " = para que aparezca la entrada anterior y así utilizar las teclas de las flechas y D para editarla. Téngase en cuenta que como no se han introducido los dos últimos parámetros (la media y la desviación típica), la calculadora utiliza una media de cero y una desviación típica de uno, que corresponden a la distribución normal estándar. Si se utiliza la calculadora de este modo, antes se deben convertir los extremos superior e inferior a valores tipificados. Organización del Bachillerato Internacional,

54 Cálculo inverso en la normal A continuación veamos un problema típico en el que se conocen las probabilidades de una variable normalmente distribuida, y se piden los valores de la variable que corresponden a esas probabilidades: una variable normalmente distribuida, X, tiene una media 500 y una desviación típica 100. Tarea A: Halle el valor a, si el 5% de los valores de X son menores que a. De nuevo, según el modelo de calculadora de pantalla gráfica que se utilice, puede ser necesario o no para resolver este problema la distribución normal estándar. 1. En todos los casos, comience por acceder a la función normal inversa mediante la secuencia. " v 3. m 2 %! 2. Los parámetros para invnorm son (probabilidad menor que, media, desviación típica).. 0 5, 5 0 0, ) =. 0 5 E E E E La respuesta es a = 335,5. Tarea B: Halle el valor b, si el 10% de los valores de X son mayores que b. Si la probabilidad de que sea mayor que b es 0,10; la probabilidad de que sea menor que b es 0, En todos los casos, comience por acceder a la función normal inversa mediante la secuencia " v , 5 0 0, ) = E. 9 E E E E La respuesta es b = 628,2. 48 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

55 Tarea C: El 50% central de valores de X se encuentran entre c y d. Halle c y d. 1. La probabilidad de que sea menor que c tiene que ser 0,25; y de que sea menor que d 0,75. " v 3 2. Para hallar c:. 2 5, 5 0 0, ) =. c = 432,6 3. Cambie el 0,25 por el 0,75. " = u > > 7 = e Los extremos del intervalo serán los valores que marcan el 25% inferior y el 75% inferior. Para hallar c:. 2 5 E E. Cambie el 0,25 por el 0,75. e. 7 5 E E La respuesta es d = 567,4. Así pues, el 50% central de valores de X se encuentran entre 432,6 y 567,4. Diagramas de caja y bigotes Tarea A: Represente los siguientes datos mediante un diagrama de caja y bigotes. x f y Borre cualquier gráfica almacenada. m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. 2. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: Xmín = 0 Xmáx = 5 Xescal = 1 Ymín = 0 Ymáx = 10 Yescal= 1. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 0 max : 5 scale : 1 Y min : 0 max : 10 scale : 1. Organización del Bachillerato Internacional,

56 3. s 1 Recuerde que si se ha realizado el ejercicio de histogramas, los valores ya están introducidos. En ese caso vaya directamente al paso Introduzca los datos en la Lista1. 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 5. Introduzca los datos en la Lista2. > 2 = 9 = 1 5 = 1 2 = 4 = 6. " y m 2 Borre cualquier dato que hubiese en las listas. u & $! para cada lista. Introduzca los datos en la Lista1. 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E Introduzca los datos en la Lista2. > 2 E 9 E 1 5 E 1 2 E 4 E 7. = = para seleccionar On. m 2! & 8. d > > > > = d & " 9. g e! 50 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

57 Matrices y vectores Introducción de matrices en la calculadora Tarea A: Introduzca las dos siguientes matrices: A = 3 4 1, B = "t < 1 m = 3 = 3 E 3 E 3. Introduzca los valores de los elementos de la matriz A. Introduzca los valores de los elementos de la matriz A. 2 = 5 = : 3 = 3 = : 4 = 1 = 5 = 2 = : 7 = 2 E 5 E : 3 E 3 E : 4 E 1 E 5 E 2 E : 7 E 4. "t < 2 e d 5. 3 = 1 = 3 E 1 E 6. 7 = 1 0 = 8 = 7 E 1 0 E 8 E Organización del Bachillerato Internacional,

58 7. Si es necesario, "M c m para volver a la pantalla de inicio. Si es necesario, m 1 para volver a la pantalla de inicio. Álgebra de matrices Introduzca las siguientes matrices, utilizando el procedimiento descrito en el apartado Introducción de matrices en la calculadora. A = , B = 10, C = y D = 5. 9 Tarea A: Introduzca en la calculadora las matrices C y D. (Si se realizó el ejercicio anterior, A y B ya deben estar en la memoria. Si no, introdúzcalas ahora.) 1. "t < 3 m 3 d d 2. 3 = 3 = 3 E 3 E 3. : 9 = 1 9 = 7 = 9 = : 6 = : 7 = : 1 1 = 1 6 = : 3 = 4. "t < 4 e d : 9 E 1 9 E 7 E 9 E : 6 E : 7 E : 1 1 E 1 6 E : 3 E 5. 3 = 1 = 3 E 1 E 52 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

59 6. 8 = 5 = : 9 = 8 E 5 E : 9 E Tarea B: Calcule 3B 2D "t 2-2 "t 4 m 1 o " aparece una nueva lista de opciones encima de las teclas de función (F). Ahora se pueden realizar los cálculos con las matrices. 2. = 3! a L - 2! a S E 5 La respuesta es 3B 2D = Tarea C: Calcule 5A + C "t 1 + "t 3 5! a X +! a l 2. = E La respuesta es 5A + C = Organización del Bachillerato Internacional,

60 Tarea D: Calcule el producto de A y B. 1. "t 1 " t 2! a X * \! a L 2. = E 40 La respuesta es AB = Cálculo del determinante de una matriz y de la matriz inversa A = Tarea A: Halle el determinante de la matriz A. 1. Introduzca la matriz A utilizando el procedimiento descrito en el apartado Introducción de matrices en la calculadora. 2. "t > = "t 1 ) = m 1 o "! a X E El determinante de la matriz A es Organización del Bachillerato Internacional, 2005

61 Tarea B: Halle la inversa de la matriz A. 1. "t 1 t = m 1 a F s ) E 2. Aquí se muestra la imagen de la configuración de la calculadora para que escriba los números con dos cifras decimales. (Para acceder a esta pantalla presione M y después seleccione 2 en flot presionando d > > > =.) La inversa de la matriz A es. Organización del Bachillerato Internacional,

62 Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM: calculadoras de pantalla gráfica Las calculadoras de pantalla gráfica en la evaluación Lo que los alumnos deben poner por escrito en los exámenes Los objetivos específicos de los cursos actuales de matemáticas del Grupo 5 establecen que los alumnos deben organizar y representar la información y los datos en forma de tablas, gráficas y diagramas, y formular un razonamiento matemático y exponerlo con claridad. Esto significa que es importante que los alumnos aprendan a expresarse con eficacia en los exámenes. El modelo de evaluación ha cambiado respecto al de los cursos de matemáticas anteriores: ahora, para conseguir la puntuación total, los alumnos deben mostrar por escrito, en todas las pruebas, el procedimiento utilizado. En la prueba 1 de Matemáticas NM y Matemáticas NS, ya no es posible obtener la puntuación total por dar únicamente la respuesta correcta. Para conseguir todos los puntos asignados a una pregunta, la respuesta correcta deberá ir acompañada, generalmente, del proceso seguido para su obtención. El debate sobre lo que los alumnos deben poner por escrito en los exámenes se ha venido planteando desde hace tiempo, incluso antes de la aparición de las calculadoras de pantalla gráfica. Las respuestas a las preguntas Qué se debe poner por escrito en un examen cuando se ha utilizado la calculadora? y Cómo se expone el procedimiento utilizado? también se aplican a las situaciones en las que no se utiliza la calculadora. La clave está en una buena comunicación. Ejemplo 1 de pregunta En una progresión aritmética, el primer término es 2, el cuarto término es 16 y el término n-ésimo es a) Halle la diferencia común d. b) Halle el valor de n. [6 puntos] Escriba u 1 = 2, u 4 = 16, u n = u = u + ( n n ) 1 1 d (a) 16 = 2 + 3d (De aquí se deduce d = 6) (b) = 2 + (n 1)6 Razones (se busca que el alumno ) Escriba la información dada en lenguaje matemático y escriba todas las fórmulas pertinentes al problema. Plantee las ecuaciones. Utilice la utilidad de resolución de ecuaciones de la calculadora para resolverlas (en este ejemplo se utiliza la Casio 9850+). (a) d = 6 (b) n = 2001 Escriba la solución. Compruebe que la solución responde a lo que se pregunta y no contiene errores. Para resolver la mayoría de las preguntas, el primer paso consiste en extraer la información, seleccionar una estrategia adecuada y luego utilizar dicha información. En numerosas ocasiones, para poder utilizarla, es 56 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

63 Las calculadoras de pantalla gráfica en la evaluación necesario reorganizar la información. Si se utiliza una calculadora de pantalla gráfica, es posible que haya que escribir los datos de la forma adecuada para introducirlos en la calculadora: lo que algunos profesores denominan preparar la pregunta para la calculadora. Por ejemplo, si se pide hallar el área entre curvas, es probable que los alumnos deban identificar los puntos de intersección y anotarlos. También deben indicar que para hallar el área van a utilizar una integral definida entre unos límites adecuados. Es posible que la primera parte de la pregunta les pida que escriban una integral que represente el área, pero incluso si no es así, éste debe ser uno de los primeros pasos. Así pues, en la primera parte de la respuesta, los alumnos deben explicar en lenguaje matemático (y no con la notación de la calculadora) lo que están haciendo. Los alumnos deben dar suficiente información para que los pasos claves de la solución resulten evidentes. Sin embargo, no es necesario que escriban todos y cada uno de los pasos algebraicos o aritméticos elementales. El proceso de copiar por escrito todos los resultados de la calculadora puede interrumpir un proceso de razonamiento, consumir demasiado tiempo y probablemente incrementar la posibilidad de cometer errores. La cuestión estriba en determinar lo que constituye una respuesta adecuada. Los profesores deben estimular a los alumnos a que identifiquen las características clave de las respuestas y a que se aseguren de ponerlas por escrito. Durante los últimos años, los debates entre los examinadores y los profesores asistentes a las reuniones celebradas en IBCA han dejado en claro que existe una gran variedad de maneras de enfocar un problema. Con las calculadoras de pantalla gráfica se pueden solucionar problemas de manera innovadora e interesante. Se ha pedido a diversas personas que compartan sus ideas, y algunas de ellas aparecen en este documento. Ejemplo 2 de pregunta Un agricultor posee un campo triangular ABC. El lado [AC] mide 104m, el lado [AB] mide 65m y el ángulo entre estos dos lados es de 60º. Calcule la longitud del tercer lado del campo. Escriba Razones (se busca que el alumno ) A 60 AC = 104 m C Dibuje un diagrama adecuado. AB = 65 m BC B a 2 = b 2 + c 2 2bccos A Identifique y escriba la expresión que corresponde utilizar (teorema del coseno). Hay dos métodos viables. Método 1 Escriba BC 2 = ( 65)( 104)cos60 BC 2 = 8281 Calcule. Razones (se busca que el alumno ) Sustituya en el teorema. BC = 91m Escriba la solución. Organización del Bachillerato Internacional,

64 Las calculadoras de pantalla gráfica en la evaluación Método 2 Escriba 0= b + c 2bccos A a Razones (se busca que el alumno ) Escriba la expresión del teorema igualada a cero e introdúzcala en la calculadora a través de la opción de resolución de ecuaciones. (TI-84+SE) BC = 91m Resalte A y resuelva. Escriba la solución. Obsérvese que, en general, no existe un uso correcto o incorrecto de la calculadora. Algunas preguntas se plantean de modo que sólo es posible responder utilizando una calculadora de pantalla gráfica, otras se pueden resolver con la calculadora o sin ella, y otras están pensadas para que se hagan analíticamente. En concreto, no es adecuado utilizar la calculadora de pantalla gráfica en una pregunta donde se pide una respuesta exacta o donde aparece el término de examen compruebe que. Preguntas del tipo compruebe que en las que hay que volver a utilizar la solución = preguntas del tipo halle El estilo de preguntas con varios apartados implica con frecuencia que los alumnos deben usar la solución de un apartado en otro. La utilización de este resultado previo juega un importante papel en el resto de la pregunta, por lo que, generalmente, se proporciona la solución y el término de examen que se usa en la redacción es compruebe que. Los profesores deben aconsejar a los alumnos que traten estos casos como una pregunta del tipo halle, a pesar de que la solución venga dada. Los alumnos pueden entonces utilizar la solución dada para comprobar si han resuelto la pregunta correctamente. Aun cuando no respondan la parte correspondiente a compruebe que, deben seguir utilizando la solución dada en el resto de los apartados de la pregunta. Los siguientes ejemplos muestran lo que los alumnos deben poner por escrito en las respuestas a este tipo de preguntas, y cuándo puede ser adecuado que utilicen la calculadora. Ejemplo 1 de pregunta ln x La función f viene definida para x 1 por f( x) =. Sea R la región encerrada por la gráfica de f, el eje x y la recta x = 5. x a) Halle el valor exacto del área R. b) Se gira la región R un ángulo de 2π alrededor del eje x. Halle el volumen del sólido de revolución generado. 58 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

65 Las calculadoras de pantalla gráfica en la evaluación Escriba (a) Área = 1 5 ln x dx x Razones (se busca que el alumno ) Escriba una expresión matemática adecuada que represente el área. No sería adecuado utilizar la calculadora de pantalla gráfica para calcular la integral en este apartado, puesto que la pregunta pide el valor exacto. Pero sería adecuado utilizarla para comprobar el resultado obtenido. u = x u = 1 ln,d x dx 2 u x uu d = = ( ln ) 2 2 ( ) Área = ln x 2 Área = ( ) 2 1 ln ln ln = 1 ( 5 ) ( 1 ) ( ) u = ln x, d v = 1 u x d = 1, x v= ln x I = uv udv=( ln x) 2 1 ln x dx=( ln x) 2 I x 2 =( ) = ( ) 2 ln x I ln x I 2 2 Halle la integral por sustitución o análisis. O bien Halle la integral I por partes. ( ) ln x Área = ln ln = 1 ( 5 ) ( 1 ) ( ) 1 ln Área = ( ) En este caso podría ser adecuado utilizar la calculadora de pantalla gráfica para comprobar el resultado obtenido. En el apartado b), la calculadora es adecuada como herramienta para calcular la integral definida. Organización del Bachillerato Internacional,

66 Las calculadoras de pantalla gráfica en la evaluación Escriba (b) V = π y d x a b 5 = π 1 2 ln x x 2 d x Razones (se busca que el alumno ) Escriba una expresión matemática adecuada que represente el volumen. Escriba la integral con los datos del problema. Utilice la calculadora para calcular la integral definida. = 1,38 Escriba la solución. La calculadora de pantalla gráfica también proporciona posibilidades de soluciones muy originales y a veces bastante sorprendentes. Ejemplo 2 de pregunta La variable aleatoria continua X tiene una función densidad de probabilidad: 1 f( x) = x( + x ) para 0 x 2, f( x)= 0 en los demás casos. Halle la mediana de X. Escriba La mediana m verifica m ( x + x ) d x = m m + =3 2 4 Razones (se busca que el alumno ) Escriba una expresión matemática adecuada que represente la mediana. Un método sería obtener el valor de la integral y resolverlo algebraicamente. 4 2 m + 2m 12= 0 m = ± + = 2, m = 1,61 Escriba la solución. Otro método es utilizar la resolución de ecuaciones de la calculadora. Obsérvese que el primer paso de escribir una expresión matemática sigue siendo el mismo, aunque se utilice la calculadora en la mayor parte del procedimiento. 60 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

67 Las calculadoras de pantalla gráfica en la evaluación Escriba La mediana m verifica m ( x + x ) d x = 2 m 0 3 ( x+ x ) dx 3= 0 0 Razones (se busca que el alumno ) Escriba una expresión matemática adecuada que represente la mediana. Simplifique e iguale a cero. Introduzca como Y1. Después introduzca la expresión en la calculadora mediante la opción de resolución de ecuaciones (a continuación se muestra la pantalla que aparece en la TI-84+SE). Resalte M y resuelva. m = 1,61 Escriba la solución. Organización del Bachillerato Internacional,

68 Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM: calculadoras de pantalla gráfica Casos de uso de la calculadora de pantalla gráfica en el aula Esta sección se centra en el uso de las calculadoras TI-84+SE y Casio para impartir los temas del tronco común del programa de estudios de Matemáticas NS y NM. A continuación se presentan cuatro ejemplos sencillos con las instrucciones de las calculadoras. Con ellos se pretende que los profesores con poca experiencia en el uso de calculadoras de pantalla gráfica perciban sus posibilidades como herramientas en la enseñanza. Para consultar los manuales de las calculadoras y otros materiales, los profesores deben dirigirse a los sitios web de los fabricantes. También existen otros sitios web donde se puede encontrar una gran cantidad de material y ejemplos de uso de las calculadoras de pantalla gráfica en el aula. Uso de la calculadora de pantalla gráfica en el aula El uso más frecuente de la calculadora de pantalla gráfica en una clase de matemáticas suele consistir en hacer representaciones gráficas y analizar funciones. A veces, resulta instructivo abordar problemas que no tienen una solución algebraica directa, aprovechando las ventajas de algunas de las técnicas de enseñanza que el uso de las calculadoras de pantalla gráfica hacen posible. A continuación se muestra un ejemplo con una pregunta del tipo resuelva, en la que son posibles diversos enfoques. Resuelva en x: cos x = x. Ejemplos de uso de la calculadora de pantalla gráfica Tarea A: Sea Y1 la expresión de la izquierda de la igualdad e Y2 la expresión de la derecha Obtenga la representación gráfica de ambas y busque las intersecciones. 1. y Borre cualquier gráfica almacenada. C X ) = X = 2. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: Xmín = 2π Xmáx = 2π Xescal = π/2 Ymín = 2 Ymáx = 2 Yescal = 1. m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. C X E X E Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 2π max : 2π scale : π/2 Y min : 2 max : 2 scale : Organización del Bachillerato Internacional, 2005

69 Casos de uso de la calculadora de pantalla gráfica en el aula w : 2 " ^ = 2 "^ = "^ / 2 = : 2 = 2 = 1 = 3. g E & s : 2 s ; E 2 s ; E s ; / 2 E : 2 E 2 E 1 E 4. "r 5 = = = s % % Tarea B: Vuelva a escribir la ecuación, cos x = x, y tome en Y1 la diferencia, cos x x = 0. Obtenga la gráfica de Y1 y busque los ceros. 1. y Borre cualquier gráfica almacenada. C X ) - X = 2. Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: Xmín = 4 Xmáx = 4 Xescal = 1 Ymín = 4 Ymáx = 4 Yescal = 1. w : 4 = 4 = 1 = : 4 = 4 = 1 = m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. c X - X E Cambie los parámetros de configuración de la ventana a: X min : 4 max : 4 scale : 1 Y min : 4 max : 4 scale : 1. s : 4 E 4 E 1 E : 4 E 4 E 1 E Organización del Bachillerato Internacional,

70 Casos de uso de la calculadora de pantalla gráfica en el aula 3. g E & 4. "r 2 Asegúrese de que el cursor está a la izquierda de la raíz, después =. > hasta que el cursor esté a la derecha de la raíz, después =. = de nuevo cuando el cursor esté cerca de la raíz y aparezca un indicador que pide una aproximación. s %! Tarea C: Uso de la resolución de ecuaciones (opción Solve ) para resolver cos x x = 0 1. m 0 u c m 1 o $! 2. C X ) - X = a = C X - X,. 5, 0, 1 ) E 2 Tarea D: Halle la ecuación de la tangente a la recta f( x)= x x+ 6 en x = 1. Aunque generalmente las calculadoras de pantalla gráfica se consideran calculadoras para hacer representaciones gráficas, sus posibilidades son mucho más amplias que las aplicaciones gráficas habituales. Por ejemplo, una de las funciones incorporadas permite a los alumnos hallar y representar gráficamente las ecuaciones de las rectas tangentes, y algunos modelos incluso dan la ecuación. Use el valor predeterminado ±10 de la ventana de gráficas. Use el valor estándar ±10 de la ventana de gráficas. 1. y Borre cualquier gráfica almacenada. : X x - X + 6 = m 5 Borre cualquier gráfica almacenada. : X x - X + 6 E 64 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

71 Casos de uso de la calculadora de pantalla gráfica en el aula 2. g & 3. "P 5 1 = S La ecuación de la recta tangente es y = 3x+ 7. Se pueden seleccionar nuevos valores de x introduciendo el nuevo valor y después =, y aparecerá la nueva recta tangente (y su ecuación). La Casio sólo da la pendiente para cada valor de x dado Téngase en cuenta que las listas, las matrices y las opciones de estadística de la calculadora de pantalla gráfica, utilizadas aisladamente o combinando unas con otras, proporcionan posibilidades para otros ejemplos de uso en el aula. Organización del Bachillerato Internacional,

72 Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM: calculadoras de pantalla gráfica Gestión de la memoria en una calculadora de pantalla gráfica Las calculadoras de pantalla gráfica son dispositivos complejos con procedimientos internos no muy distintos de los que utiliza un computador personal (PC). Una calculadora de pantalla gráfica tiene un hardware y un software que ejecutan distintos niveles de programación. Los profesores deben saber manejar la memoria y las funcionalidades de las calculadoras de pantalla gráfica utilizadas en el aula y en los exámenes. Además de todas las funciones que tienen las calculadoras científicas, una calculadora de pantalla gráfica puede mostrar tablas, matrices, listas y representaciones gráficas y geométricas. Las calculadoras de pantalla gráfica también pueden ejecutar programas y aplicaciones ROM (Apps). No todos los programas o Apps son adecuados para su uso en los exámenes (véase la lista en el Vademécum). Tampoco todas las calculadoras de pantalla gráfica son adecuadas en los exámenes donde se requiere una calculadora de pantalla gráfica (Estudios Matemáticos NM, Matemáticas NM, Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NM). Todos los alumnos del Programa del Diploma necesitarán una calculadora en alguna de las asignaturas. Se recomienda encarecidamente que los alumnos tengan acceso a lo largo del curso a una de las calculadoras de pantalla gráfica recomendadas (véase la lista en el Vademécum). Terminología básica relacionada con la calculadora de pantalla gráfica En este apartado se describen los términos clave y se ofrece información a los profesores para el manejo de la memoria y las posibilidades de una calculadora de pantalla gráfica corriente. La comprensión de estos términos será de gran ayuda para administrar el uso de calculadoras de pantalla gráfica en los exámenes. Aunque los modelos varían, lo que es posible hacer en una calculadora de pantalla gráfica depende del hardware, el sistema operativo y las aplicaciones disponibles. Hardware El hardware de una calculadora de pantalla gráfica ejecuta las instrucciones contenidas en el código del sistema operativo y en otros programas de la memoria de la calculadora. La unidad central de proceso (CPU), junto con la cantidad (y tipo) de memoria disponible, determina qué tipo de código se puede ejecutar y a qué velocidad. Sistema operativo Una calculadora de pantalla gráfica viene con un sistema operativo desarrollado por el fabricante específicamente para ese modelo. Lo que generalmente se denomina funcionalidad de una calculadora de pantalla gráfica se basa en las instrucciones contenidas en el código del sistema operativo. Todo ello está localizado en la memoria principal de la calculadora. La funcionalidad del sistema operativo está limitada por el hardware y el tamaño (y tipo) de la memoria de la calculadora. La utilización de la calculadora no produce cambios en el código del sistema operativo, pero es posible cambiar o actualizar el sistema operativo completo. Algunos fabricantes proporcionan actualizaciones de sistemas operativos a través de la conexión de la calculadora con un computador. Además, existen sistemas operativos de otras empresas para algunos modelos. El cambio del sistema operativo puede cambiar de forma significativa la funcionalidad de la calculadora. Los sistemas operativos de otras empresas pueden provocar daños irreparables al hardware de la calculadora. 66 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

73 Gestión de la memoria en una calculadora de pantalla gráfica Verificación de la versión del sistema operativo Texas Instruments Vaya al menú Acerca de la memoria. " + 1 En el caso de modelos más antiguos remítase al manual. Casio El sistema operativo es generalmente fijo y no se puede alterar. Memoria Las calculadoras de pantalla gráfica tienen distintas zonas en el hardware donde almacenan datos y código. La memoria disponible en estas calculadoras es últimamente bastante grande, permite ampliar el sistema operativo y tiene capacidad para almacenar cierto número de tipos distintos de datos y programas. Memoria principal: la memoria principal contiene el código del sistema operativo y no es accesible por el usuario, salvo para cargar otras versiones del sistema operativo. Memoria de acceso aleatorio (RAM): en esta memoria se pueden almacenar cálculos, listas, variables, datos y programas. Memoria de archivo (Memoria Flash de sólo lectura (ROM)): en esta memoria se pueden almacenar variables, programas, Apps y grupos. No todas las calculadoras tienen memoria ROM. Funcionalidad, programas y aplicaciones flash Es comprensible que la introducción relativamente reciente de distintas zonas de memoria y tipos de código que se pueden ejecutar en una calculadora de pantalla gráfica haya provocado alguna confusión acerca de lo que es un programa. El tipo de programas de una calculadora de pantalla gráfica, y su nivel de complejidad, varían de forma considerable, pero generalmente se pueden clasificar por el tipo de datos que utiliza el programa, el lugar y el modo en que se almacena en la memoria y el método utilizado para generarlo o crearlo. A través de Internet es fácil acceder a programas que se pueden compartir utilizando las conexiones de la calculadora al computador o de las calculadoras entre sí. Programas integrados Técnicamente, el código del sistema operativo es un conjunto de programas localizados en la memoria principal. El sistema operativo y cualquier otro programa contenido en la memoria principal son denominados generalmente programas integrados (aunque esta distinción es incorrecta, estrictamente hablando). Por ejemplo, el programa de matemáticas financieras aparece en el menú de Apps en la TI- 84+SE, pero no se borra aunque se restaure la memoria. Ello es debido a que en realidad este programa forma parte del sistema operativo integrado y no es una aplicación Apps. Lo que ocurre es simplemente que a TI le faltaban teclas y necesitaba un lugar desde el cual fuese posible acceder con facilidad al programa. Programas RAM Se denomina así a los programas almacenados en la memoria RAM. Estos programas están escritos bien en lenguaje Basic o bien en lenguaje Assembler. La mayoría de los programas RAM los generan los alumnos y se escriben directamente en el editor de programas de la calculadora, que utiliza una versión simplificada del lenguaje de programación Basic. Organización del Bachillerato Internacional,

74 Gestión de la memoria en una calculadora de pantalla gráfica Con más frecuencia, los programas RAM que se encuentran en las calculadoras son programas escritos en un computador mediante el lenguaje de programación Assembler y se pueden compartir o cargar desde Internet utilizando la conexión de la calculadora al computador. Estos programas pueden cambiar la funcionalidad de la calculadora de pantalla gráfica. Los programas RAM se ejecutan presionando la tecla P en una calculadora TI o desde el icono de menú en una calculadora Casio. Los nombres de estos programas deben aparecer al verificar la memoria RAM. El nombre de un programa RAM se puede modificar; así pues, este no tiene por qué corresponder con su funcionalidad. A veces es necesario ejecutar el programa para comprobar su funcionalidad real. Verificación de la memoria RAM Texas Instruments Casio La configuración predeterminada dará la ventana de inicio, que incluye la memoria utilizada y la lista de programas. En una Casio, la pantalla Memory Usage ofrece la lista de programas y datos almacenados en la calculadora. 1. ] m a T E para acceder a la pantalla Memory Usage. 2. Esto es similar en casi todas las calculadoras de pantalla gráfica de TI. Hay que buscar en un cierto número de menús hasta encontrar la información que se busca sobre la memoria. Mediante Program se accede al listado de programas cargados en la Casio. m a L E para acceder a la pantalla de la lista de programas. Si se restaura la parte RAM de la memoria, se borran todos los programas RAM. Para restaurar la memoria RAM de la familia de modelos de la TI-83/84 Presione Aparece 1. ] y después + para acceder a las funciones de memoria para acceder a la función de restaurar. 68 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

75 Gestión de la memoria en una calculadora de pantalla gráfica 3. 1 para restaurar toda la memoria RAM para confirmar la restauración de la RAM. 5. ] y aparece la RAM total sin archivos. RAM LIBRE TI-84+SE RAM LIBRE TI-83+SE RAM LIBRE TI-83+ O bien P y aparece la pantalla sin listado de programas. Para restaurar la memoria RAM de la Casio CFX-9850 Plus/FX-9750 Plus/ CFX-9950 Plus/CFX1.0 Plus/Graph 65 Plus/Graph 35 Plus Presione 1. Localice el botón para restaurar que se encuentra en la parte de atrás de la calculadora. Aparece Botón P 2. Presione el botón de restaurar con un objeto de punta fina. Aparece una pantalla para confirmar la restauración. 3.! Si la pantalla parece más oscura o borrosa después de efectuar la restauración, ajuste el color y el contraste. El modelo mostrado en la figura es el CFX Para otros modelos, véase el manual de instrucciones del fabricante. Organización del Bachillerato Internacional,

76 Gestión de la memoria en una calculadora de pantalla gráfica Aplicaciones Flash (Apps) de la memoria ROM Las aplicaciones Flash de la memoria ROM (Apps) son programas complejos escritos por programadores profesionales. Se almacenan en la memoria ROM flash de la calculadora de pantalla gráfica. Muchas Apps son actualizaciones de antiguos programas Assembler de RAM, que eran muy comunes, y tienen, por tanto, nombres y funcionalidades semejantes a los de esos programas. (Algunos de ellos, como el de la resolución de ecuaciones, Solver, se han incorporado ahora al sistema operativo.) La mayoría de las aplicaciones Apps se ejecutan e instalan desde el menú Apps, al que se puede acceder presionando la tecla A en una calculadora TI. Una vez instaladas, algunas APPS cambian la funcionalidad de las teclas y se ejecutan por medio de conjuntos especiales de secuencias de teclas. Por ejemplo, una vez instalada, la Apps Catalog help se ejecuta presionando + cuando se selecciona una función en la pantalla. La TI-84+SE incluye y lleva cargado cierto número de aplicaciones Apps. También se incluye con la calculadora un cable USB para conectar la calculadora con el computador, un CD-ROM con el software para la conexión y copias de seguridad de todas las Apps. En Internet es posible encontrar cientos de otras Apps que se pueden cargar mediante la conexión de la calculadora al computador e instalar en la misma presionando una o dos teclas. La mayoría de las calculadoras Casio no tienen ROM. Un modelo que sí tiene ROM flash es la Casio FX1.0 Plus. Las aplicaciones ROM flash de Casio se denominan add-on y se puede acceder a ellas a través de los sitios web de soporte técnico de Casio. Al instalarlas aparece un icono de menú de las mismas en la pantalla del menú principal, que se puede entonces seleccionar para ejecutar el programa. Al restaurar la memoria ROM flash de una calculadora TI se borran todas las aplicaciones Apps excepto Finance (Financieras). La aplicación de matemáticas financieras, como ya se ha explicado, es un programa integrado, pero aparece en el menú de Apps para comodidad de los usuarios. Los modelos de Casio se deben inicializar para borrar las aplicaciones add-on. Cómo eliminar aplicaciones Flash (APPS) de la memoria ROM de las calculadoras TI-83 Plus/TI-83+SE/TI-84+/TI-84+SE Presione 1. ] y a continuación + para acceder a las funciones de memoria. Aparece 2. 2 para acceder a las funciones de gestión de la memoria. 3. a y a continuación m para ver las APPS que hay en la memoria de la calculadora. (Las APPS que se muestran aquí pueden ser distintas a las de su calculadora). 70 Organización del Bachillerato Internacional, 2005

77 Gestión de la memoria en una calculadora de pantalla gráfica 4. u y d para subir y bajar y seleccionar la APPS que desee eliminar. La flecha indica la APPS que está seleccionada. En este caso, CabriJr. 5. D para eliminar la APPS seleccionada. En ese momento aparecerá una pantalla de confirmación para confirmar la eliminación. Tras unos instantes, aparecerá una lista actualizada de las APPS que quedan en la memoria. La APPS eliminada no aparecerá en la lista. Repita esta operación hasta que en la memoria sólo queden las APPS permitidas. 7. A para comprobar las APPS que están disponibles en la calculadora. Nota: Finance (Financieras) no aparecerá en las pantallas de memoria, sino al pulsar A. Para inicializar las memorias RAM y ROM de la Casio FX1.0 Plus Presione Aparece 1. m 2. Mediante las teclas de las flechas colóquese sobre. 3. E para activar la gestión del sistema System Manager. Organización del Bachillerato Internacional,