GEOMETRÍA. ::: 1º CICLO: Teoría de las Transformaciones. Transformación INVERSIÓN.
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- Amparo Acosta Barbero
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1 Transformación INVERSIÓN. Transformación inserta dentro del grupo de transformaciones Anamórficas. Transformaciones que no conservan la forma.
2 Transformación INVERSIÓN. Transformación basada en la proporcionalidad inversa. O r Esta transformación nos permitirá analizar casos de tangencia y generación de nuevas formas. Para definir la Transformación de Inversión se requiere una circunferencia, que llamaremos circunferencia de inversión de centro O y radio r. El punto O es el centro de inversión, r es el radio de inversión y r 2 es la potencia de inversión. Sobre esta circunferencia se invertirán puntos y a través de ellos curvas
3 Transformación INVERSIÓN. Definición de Inversión. Si el punto a invertir P no es el centro de inversión O, con respecto a la circunferencia de centro O y radio r, el inverso de P con respecto a la circunferencia inversión es el punto P`, que está en OP, de modo que: Potencia. OP/ r = r /OP` ( OP) (OP`) = r 2 OP/ tg = tg /PP` (OP) (PP`) = tg 2 r 2 + tg 2 = OP (OP` + PP`) r 2 + tg 2 = OP 2 (OP) (OP`) = R 2. En todo triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional geométrica entre su proyección y la hipotenusa y la hipotenusa completa. Se representa la Inversión con centro en O y potencia K. I ( O, K ) = I ( O, r 2 )
4 INVERSIÓN. A cada punto P del plano distinto de O le corresponde un punto inverso único P1. Si P1 es inverso de P, entonces P es el inverso de P1. La inversión será entonces una transformación del conjunto S sobre si mismo. S está definido por todos los puntos del plano ordinario más un único punto ideal o del infinito Z, inverso del punto O, centro de la circunferencia de inversión. El plano S aumentado con el punto Z se llama plano inversivo.
5 INVERSIÓN. La inversión es una transformación del plano involutivo sobre sí mismo que mapea: El exterior de la circunferencia se invierte en el interior de la misma y viceversa. r O P P1 Cada punto de la circunferencia de inversión se invierte sobre sí misma.
6 PUNTOS INVERSOS. 1.- Punto que pertenece a la Circunferencia de Inversión, se invierte en si mismo. 2.- Punto Exterior a la Circunferencia de Inversión. Procedimiento: Definir Datos. Circunferencia de inversión y punto P. Construir circunferencia auxiliar de diámetro OP. Definir punto de tangencia tg y unirlo con punto O y punto P. Trazar por punto tg, recta perpendicular a OP, donde corte al trazo OP estará punto P1, inverso de P.
7 PUNTOS INVERSOS. 3.- Punto Interior a la Circunferencia de Inversión. Procedimiento: Definir Datos. Circunferencia de inversión y punto P. Construir recta OP y trazar por P perpendicular a OP, definiendo punto tg. Construir segmento O tg. Trazar por punto tg, recta tangente a la circunferencia de inversión, su intersección con prolongación de recta OP definirá punto P1, inverso de P.
8 INVERSIÓN ENTRE PUNTOS. r O P P1 De acuerdo a la simetría existente entre P y P1, se dice que los puntos P y P1, son puntos inversos con respecto a una circunferencia, cumpliéndose siempre lo siguiente: Cada punto del plano tiene un solo inverso. Un punto de la circunferencia de inversión es su propio inverso. Dos puntos inversos distintos, uno está dentro de la circunferencia de inversión y el otro fuera.
9 INVERSAS DE CURVAS. Si P y P1 son puntos inversos respecto a una circunferencia de inversión de centro O, tenemos que si P se mueve de tal forma que traza una curva cualesquiera, entonces P1 también trazará una curva. Estas curvas por definición son una inversa de la otra. Si el punto P se desplaza formando una línea recta que no pasa por el centro de inversión su inversa será una circunferencia que pasa por el centro de inversión. Recíprocamente la inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión será una recta que no pasa por el centro de inversión, perpendicular a la línea de los centros OO1.
10 INVERSA de una Recta L. L recta Exterior a la circunferencia de Inversión. Dada la circunferencia de inversión y la recta exterior L, se determina el inverso de a. Se determina el inverso de los puntos de la recta L b y c. Se construye un arco que pase por los puntos inversos de a, b y c. Se invierte el punto d de la recta L. Por el punto O se traza una perpendicular a L, su intersección con L determina el punto d. Od1 es el diámetro de la circunferencia interior, inversa de la recta L dada.
11 INVERSA de una Recta L. L recta Tangente a la circunferencia de Inversión. Dada la circunferencia de inversión y la recta tangente, se determina el inverso de a. Se determina el inverso de los puntos de la recta L b y c. Se construye un arco que pase por los puntos inversos de a, b y c. Se invierte el punto d de la recta L. Por el punto O se traza una perpendicular a L, su intersección con L determina el punto d. Od1 es el diámetro de la circunferencia tangente, inversa de la recta L dada.
12 INVERSA de una Recta L. L recta Secante a la circunferencia de Inversión. Dada la circunferencia de inversión y la recta secante L, se determina el inverso de a. Se determina el inverso de los puntos de la recta L b, c y e. Se construye un arco que pase por los puntos inversos de a, b y e. Se invierte el punto d de la recta L. Por el punto O se traza una perpendicular a L, su intersección con L determina el punto d. Od1 es el diámetro de la circunferencia secante inversa de la recta L dada.
13 INVERSA de una Recta L. L recta diámetro de la circunferencia de Inversión. Dada la circunferencia de inversión y la recta diámetro L, se determina el inverso de apunto exterior que se invierte en el interior. Los inversos de b y c son los mismos por pertenecer a la circunferencia de inversión. El inverso del punto d interior a la circunferencia de inversión se encuentra en el exterior. La inversa de la recta L es la misma recta L, los puntos exteriores se invierten en puntos interiores y viceversa.
14 Aplicación de INVERSIÓN. Determine el perímetro y área inversa de un triángulo abc equilátero de lado 7 cm. con respecto a una circunferencia de inversión de centro O y radio 5 cm. ubicados en la posición que se indica.
15 Procedimiento. 1.- Contener cada lado del triángulo en rectas secantes a la circunferencia de inversión, L1, L2 y L Por el punto O centro de la circunferencia de inversión trazar una perpendicular a cada lado del triángulo dado, definiendo los puntos 1, 2 y 3..
16 Procedimiento. 3.- Invertir las rectas L1, L2 y L3 con respecto a la circunferencia de inversión dada. 4.- Se sabe que la inversa de una recta secante a la circunferencia de inversión es una circunferencia secante que pasa por el centro de inversión y por los puntos de intersección de la recta respectiva con la circunferencia dada. 5.- Se define la porción de circunferencia inversa a los lados del triángulo, estableciendo el perímetro inverso solicitado.
17 Procedimiento. 6.- Invertir el área interior del triángulo abc dado.
18 Determine la inversión circular del perímetro y área de los triángulos 123, 456, 678 y 6910 de acuerdo a la circunferencia de inversión de centro O y radio 6 cm.
19 Determine la inversión circular del perímetro y área de los triángulos 123, 456, 678 y 6910 de acuerdo a la circunferencia de inversión de centro O y radio 6 cm.
20 Determine la inversión circular del perímetro y área de los triángulos 123, 456, 678 y 6910 de acuerdo a la circunferencia de inversión de centro O y radio 6 cm.
21 Determine la inversión circular del perímetro y área de los triángulos 123, 456, 678 y 6910 de acuerdo a la circunferencia de inversión de centro O y radio 6 cm.
22 Determine la inversión circular del perímetro y área de los triángulos 123, 456, 678 y 6910 de acuerdo a la circunferencia de inversión de centro O y radio 6 cm.
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24 INVERSAS de Rectas Paralelas. Si ninguna de las rectas para por el centro de inversión, sus inversas serán circunferencias tangentes. El punto de tangencia es el centro de inversión. L4 L3 L2 L1 Mientras más cerca esté la recta del centro de inversión, más grande será su circunferencia inversa. r O d a1 b1 c1 c b a d1
25 INVERSAS de Circunferencias Tangentes en el punto centro de inversión. Sus inversas serán rectas paralelas cuya dirección es perpendicular a la línea que une los centros de las circunferencias tangentes
26 INVERSAS de Circunferencias Concéntricas. Circunferencias concéntricas a la circunferencia de inversión se invertirán también en circunferencias concéntricas. Circunferencia de radio menor a la circunferencia de inversión se invertirá en una circunferencia de radio mayor y viceversa. Circunferencia de igual radio a la circunferencia de inversión se invertirá en si misma.
27 INVERSAS de Circunferencias de radio finito no concéntrica y que no pasa por el centro de inversión. Su inversa será una circunferencia de radio finito no concéntrica y que no pasa por el centro de inversión. Se unen los centros, se determinan los puntos diámetros, se sacan sus puntos inversos, cuya unión es el diámetro de la circunferencia inversa. Circunferencia ortogonal a la circunferencia de inversión se invertirá en si misma.
Una recta y una circunferencia, o dos circunferencias, son exteriores si no tienen ningún punto común, y secantes si tienen dos puntos comunes.
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