Máquinas Secuenciales, Autómatas y Lenguajes Formales. Tema 7: Máquinas Transductoras. Holger Billhardt

Transcripción

1 Formales Tema 7: Máquinas Transductoras Holger Billhardt

2 Sumario: Bloque 3: Otras Máquinas Secuenciales 7. Máquinas Transductoras 1. Concepto y Definición 2. Función respuesta, Minimización, Equivalencias 3. Aplicaciones 8. Autómatas a Pila 9. Máquinas de Turing Formales 2

3 Máquina Transductora(descripción) Consideramos AFD que dada una palabra de entrada, producen una palabra de salida. Tienen un conjunto finito de estados. Tienen dos cintas asociadas: una de lectura y otra de escritura Dos tipos principales: Máquina de Mealy Máquina de Moore También llamadas máquinas de estados/ maquinas secuenciales x lee M.S. escribe y Formales 3

4 Máquina Sequencial (definición genérica) MS=(Q, Σ E, Σ S, f, g,q 0 ) Q es un conjunto de estados q 0 es el estado inicial Σ E, es el alfabeto de entrada Σ S es el alfabeto de salida f:q x Σ E à Q, es una función de transición entre estados g, es una función de salida Formales 4

5 Máquina Sequencial (decripción) La máquina adopta distintos estados de Q Recibe información del entorno: palabras de entrada sobre Σ E Actua sobre el entorno: palabras de salida sobre Σ S En cada instante t: Está en un estado de Q Como un AFD Lee un símbolo de entrada de Σ E En función del símbolo de entrada y del estado, transita a otro estado de Q Genera un símbolo en la salida del alfabeto Σ S Nuevo a b a b a b a MS Dos tipos: Máquinas de Mealy y Máquinas de Moore Formales 5

6 Máquina de Mealy MS=(Q, Σ E, Σ S, f, g,q 0 ), donde La función de salida: g:q x Σ E à Σ S Por ejemplo: ME=({q 0,q 1 }, {0,1}, {p,i}, f, g,q 0 ) f(q 0,0)=q 0 g(q 0,0)=p f(q 0,1)=q 1 g(q 0,1)=i f(q 1,0)=q 1 g(q 1,0)=i f(q 1,1)=q 0 g(q 1,1)=p Se genera una salida en cada transición Formales 6

7 Máquina de Moore (descripción) MO=(Q, Σ E, Σ S, f, g,q 0 ), donde La función de salida: g:q à Σ S Ejemplo: MO=({q 0,q 1 }, {0,1}, {p,i}, f, g,q 0 ) f(q 0,0)=q 0 g(q 0 )=p Se genera una salida en cada estado al que se llega f(q 0,1)=q 1 f(q 1,0)=q 1 g(q 1 )=i f(q 1,1)=q 0 Formales 7

8 Máquinas Secuenciales: Representaciones Tablas de transición y salida: similares a las de los AFD. f: Q x Σ E à Q 0 1 à q 0 q 0 q 1 q 1 q 1 q 0 f: Q x Σ E à Q 0 1 à q 0 q 0 q 1 q 1 q 1 q 0 g: Q x Σ E à Σ S 0 1 g: Q à Σ S 0 q 0 p i q 1 i p q 0 q 1 p i Mealy: ME Moore: MO Formales 8

9 Máquinas Secuenciales: Representaciones Tablas únicas de transición y salida: similares a las de los AFD. Mezcla las dos anteriores en una ME 0 1 à q 0 q 0 / p q 1 / i q 1 q 1 / i q 0 / p Mealy: ME f: Q x Σ E à Q 0 1 à q 0 / p q 0 q 1 q 1 / i q 1 q 0 Moore: MO Formales 9

10 Máquinas Secuenciales: Representaciones Diagramas de transición (controlador paridad) 1/i 1 0/p q 0 q 1 0/i 0 q 0 /p q 1 /i 0 1/p Mealy: ME 1 Moore: MO Formales 10

11 Ejemplos: Contador mod 3 de a s: Máquina de Mealy a/0 b/0 q 0 q 1 b/0 Cómo sería la máquina de Moore? a/1 a/0 q 2 b/0 Máquina de Moore que identifique subcadenas aaa y ab salida 1 si se ha leído aaa ; salida 2 si se ha leido ab ; salida 0 en otro caso Máquina de Mealy? Formales 11

12 Sumario: Bloque 3: Otras Máquinas Secuenciales 7. Máquinas Transductoras 1. Concepto y Definición 2. Función respuesta, Minimización, Equivalencias 3. Aplicaciones 8. Autómatas a Pila 9. Máquinas de Turing Formales 12

13 Extensión a palabra de entrada y salida Extensión de Mealy La función f* y g* extienden las funciones f y g para palabras de entrada: f * : Q x Σ E * g* : Q x Σ E * Además * f *(q, ax) = f *( f (q, a), x), q Q, a Σ E, x Σ E f *(q, λ) = q, q Q Q Σ S * g*(q, ax) = g(q, a).g*( f (q, a), x), q Q, a Σ E, x Σ E * g*(q, λ) = λ, q Q Donde λ es la palabra vacía. Formales 13

14 Extensión a palabra de entrada y salida Extensión de Moore La función f* se define como en el caso de las Máquinas de Mealy. Respecto a la salida, se define una nueva función g* que describe la salida de la máquinas para palabras de entrada: Tal que: * * g* : Q x Σ E Σ S g*(q, ax) = g( f (q, a)).g*( f (q, a), x), q Q, a Σ E, x Σ E + Notas: g*(q, a) = g(q), q Q, a Σ E g*(q, λ) = λ, q Q Sea q 0 el estado inicial de la máquina (Moore o Mealy). Entonces g*(q 0,x) define la función entre entrada y salida que implementa la máquina. No existen estados finales y sólo nos interesa la salida, no el estado en el que termina la máquina. Formales 14

15 Minimización de máquinas de estados Igual que en el caso de los autómatas finitos deterministas, las máquinas de estados pueden simplificarse fusionando estados equivalentes: Dos estados q y p son equivalentes qep sii: x Σ * E, g*(q, x) = g*(p, x) Dos estados q y p son equivalentes para palabras de longitud n, qe n p sii: x Σ * E con x = n : g*(q, x) = g*(p, x) Algoritmo: 1. Calcular el conjunto cociente Q/E 1 (estados equivalentes resp. a E 1 ) 2. Repetir: Calcular Q/E i+1 a partir de Q/E i 3. Si Q/E i+1 =Q/E i entonces Q/E i+1 =Q/E 4. Construir la máquina mínima donde los estados corresponden a las clases en Q/E Teorema: Dos máquinas secuenciales son equivalentes si y sólo si sus máquinas mínimas son iguales (salvo renombramiento de estados) Formales 15

16 Equivalencia Mealy y Moore Teorema: Las clases de funciones representables con máquinas de Moore y con máquinas de Mealy son iguales. Una máquina de Moore puede transformarse en una de Mealy (y viceversa) Formales 16

17 Equivalencia Mealy y Moore Mealy Moore (Ejemplo contador mod-2) Idea: Añadir un nuevo estado inicial sólo de arranque (con cualquier símbolo de salida, porque nunca se escribe) Convertir transiciones en estados de Q x Σ S, y añadir transiciones: p.e: f(t,1)=v con g(t,1)=n Estado: vn y g (vn)=n Transiciones: para todo estado tx con x in Σ S se añade f (tx,1)=vn 1/n 1 0/n t 1/s v 0/n q /i 0 tn/n ts/s vn/n Formales 17

18 Equivalencia Mealy y Moore Moore Mealy Muy fácil; Idea: pasar la salida del estado a las transiciones entrantes 1 1/i 0 s/p t/i 0 0/p s t/i 0/i 1 1/p Si antes se escribía el símbolo p al llegar al estado s, ahora se escribe en las transiciones que llegan a s Formales 18

19 Sumario: Bloque 3: Otras Máquinas Secuenciales 7. Máquinas Transductoras 1. Concepto y Definición 2. Función respuesta, Minimización, Equivalencias 3. Aplicaciones 8. Autómatas a Pila 9. Máquinas de Turing Formales 19

20 Aplicaciones Las máquinas transductoras permiten formalizar el funcionamiento de sistemas de entradas/salidas (de algunos); Son aplicables en muchos ámbitos de la informática: Circuitos lógicos: X Y X Unidades de control: Sistemas Inteligentes: percepciones Eventos/ Observaciones Acciones entorno acciones Formales 20

21 Aplicaciones Modelización del funcionamiento de circuitos lógicos secuenciales: Ejemplo: sumador de dos series de entrada de bits X q 0 Y X Máquina de Mealy: 11/0 00/0 01/1 10/1 q 0 q 1 10/0 01/0 11/1 Cómo sería la máquina de Moore? 00/1 Formales 21

22 Aplicaciones Especificación de entradas salidas Y si un sistema tiene varias entradas y/o salidas? Se puede codificar varias entradas/salidas en un único símbolo de entrada/salida Ejemplo (tanto para salida como para entrada): X1 E1, X2 E2 entrada de la máquina: X E1xE2 X1 {a,b} X2 {0,1} X {a0,a1,b0,b1} Y si sólo se requiere una salida en determinados casos? Definir un símbolo para no hay salida Nota: las salidas podrían codificar acciones que el sistema realiza, por ejemplo, ejecutando un procedimiento determinado Formales 22

23 Aplicaciones Modelización del funcionamiento de circuitos lógicos secuenciales: Ejemplo: contador modulo-4 emite una señal cuando haya recibido 4 señales de reloj Entrada: siempre la misma (señal de reloj); Salida: 0 sin salida ; 1- si hay salida Cómo sería la máquina de Mealy? Formales 23

24 Aplicaciones Detector de coche en dirección contraria: Especifica un sistema que controla la existencia de coches en dirección contraria en una carretera. Se dispone de dos sensores que están posicionados en la carretera a una distancia menor de la longitud de un coche. Cada sensor emite una señal 1, si por el pasa un coche: S1 S1 S2 S2 Dirección correcta Dirección erronea Formales 24

25 Aplicaciones Máquina expendedora de chicles: Formaliza el funcionamiento de una máquina expendedora de chicles. Como entrada, la máquina acepta monedas (5,10 y 20ct.). Los chicles cuestan 15ct.. La máquina funciona como sigue. Inicialmente la ranura de monedas está abierta y un usuario puede introducir monedas. Mientras no se llega a 15ct. La máquina permite introducir más monedas. En el momento de que se ha introducido 15ct o más, la máquina cierra la ranura, da un chicle,y devuelve el importe restante (se supone que siempre en monedas de 5 ct.). Especifica una máquina de Moore para este problema Formales 25

26 Aplicaciones Carácter artifical de un videojuego: Un jugador artificial debe andar por el terreno, encontrar monedas y llevarlas a su cofre. Mientras tanto puede ser atacado por enemigos. Si son menos de 2 enemigos que atacan, el jugador lucha (o muere y no hace nada más, o gana y sigue con su actividad normal). Si son más que 2 atacantes, el jugador ejecuta la acción huir. Cuando ha huido lo suficiente, vuelve a su actividad anterior. Formales 26