1.1 Máquinas secuenciales Modelo de Moore y de Mealy Lenguaje de una máquina secuencial Equivalencia de modelos

Transcripción

1 Guión 1.1 Máquinas secuenciales Modelo de Moore y de Mealy Lenguaje de una máquina secuencial Equivalencia de modelos

2 Modelo de Moore y de Mealy: Definición Una máquina secuencial (MS) es una tupla: M = (Σ E, Σ S, Q, δ, γ) Σ E alfabeto de la cinta de entrada Σ S alfabeto de la cinta de salida Q conjunto finito de estados δ función de transición (de lectura, de entrada) δ : Q Σ E Q γ función de emisión (de escritura, de salida) Modelo de Moore (Emisión en el estado) γ : Q Σ S Modelo de Mealy (Emisión en la transición) γ : Q Σ E Σ S

3 Modelo de Moore y de Mealy: Ejemplos Máquina secuencial que genera como salida una p si hasta el momento se ha recibido un número par de unos, y genere una i si se ha recibido un número impar de unos. Máquina de Mealy ME = ({0, 1}, {i, p}, {q 0, q 1 }, δ, γ) ME 0 1 q 0 q 0 /p q 1 /i q 1 q 1 /i q 0 /p q 0 0/p q 0 1/i q 1 0/i q 1 0/i q 1 Máquina de Moore MO = ({0, 1}, {i, p}, {q 0, q 1 }, δ, γ) MO 0 1 q 0 /p q 0 q 1 q 1 /i q 1 q 0 q 0 /p 0 q 0 /p 1 q 1 /i 0 q 1 /i 0 q 1 /i

4 Modelo de Moore y de Mealy: Comportamiento Una configuración es una tupla (q, u, v) donde q Q, u Σ E y v Σ S. Un movimiento provoca un cambio de configuración (q, au, v) (q, u, vb) donde 1. se verifica que δ(q, a) = q y 2. se verifica que si la máquina es de Mealy γ(q, a) = b si la máquina es de Moore γ(q) = b Denotamos mediante c d una secuencia de n 0 movimientos. Es decir: 1. o bien c = d 2. o bien existen c i con 1 i n tales que c = c 1 c 2... c n = d

5 Modelo de Moore y de Mealy: Extensiones Se añade un estado inicial q 0 Q Se distingue entre estados finales F Q y no finales Se admite la lectura o escritura de la cadena nula Se admite la lectura o escritura de cadenas Se admite indeterminismo en la lectura o escritura

6 Lenguaje de una MS: Funciones δ y γ Extensión de δ a cadenas δ : Q Σ E Q δ (q, λ) = q δ (q, aw) = δ (δ(q, a), w) Extensión de γ a cadenas γ : Q Σ E Σ S : Máquina de Mealy: γ (q, λ) = λ γ (q, aw) = γ(q, a)γ (δ(q, a), w) Máquina de Moore: γ (q, λ) = λ γ (q, aw) = γ(q)γ (δ(q, a), w)

7 Lenguaje de una MS: Definición Dada una máquina secuencial M = (Σ E, Σ S, Q, δ, γ) con estado inicial q 0 finales F Q, el lenguaje L(M) se define mediante: y estados L(M) = {(u, v) Σ E Σ S (q 0, u, λ) (q f, λ, v) y q f F } Dos máquinas secuenciales M y M definidas M = (Σ E, Σ S, Q, δ, γ) M = (Σ E, Σ S, Q, δ, γ ) son equivalentes si y sólo si : 1. q Q q Q w Σ E γ (q, w) = γ (q, w) 2. q Q q Q w Σ E γ (q, w) = γ (q, w)

8 Equivalencia de modelos: De Moore a Mealy Dada una máquina de Moore MO = (Σ E, Σ S, Q, δ, γ) existe una máquina de Mealy equivalente ME = (Σ E, Σ S, Q, δ, γ ) Idea: q/? a p/b es similar a q a/b p Basta con definir para cada q Q y a Σ E γ (q, a) = γ(δ(q, a))

9 Equivalencia de modelos: De Mealy a Moore Dada una máquina de Mealy ME = (Σ E, Σ S, Q, δ, γ) existe una máquina de Moore equivalente MO = (Σ E, Σ S, Q, δ, γ ) Idea: q a/b p es similar a [q,?]/? a [p, b]/b El conjunto Q estará constituido por pares Las funciones de entrada y salida serán: Q = {[q, b] q Q y b Σ S } [q, c] Q a Σ E si δ(q, a) = p y γ(q, a) = b entonces δ ([q, c], a) = [p, b] [q, c] Q γ ([q, c]) = c

10 Equivalencia de modelos: Ejemplos de transformación De Moore a Mealy MO 0 1 q 0 /a q 0 q 1 q 1 /b q 2 q 0 q 2 /a q 1 q 0 ME 0 1 q 0 q 0 /a q 1 /b q 1 q 2 /a q 0 /a q 2 q 1 /b q 0 /a De Mealy a Moore ME 0 1 c 0 c 0 /a c 2 /b c 1 c 0 /a c 1 /b c 2 c 0 /b c 1 /a MO 0 1 [c 0, a]/a [c 0, a] [c 2, b] [c 0, b]/b [c 0, a] [c 2, b] [c 1, a]/a [c 0, a] [c 1, b] [c 1, b]/b [c 0, a] [c 1, b] [c 2, a]/a [c 0, b] [c 1, a] [c 2, b]/b [c 0, b] [c 1, a]

11 Guión 1.2 Autómatas Probabilísticos Autómatas Finitos Probabilísticos (AFP) Cadenas de Markov (visibles) Cadenas de Markov ocultas

12 Autómatas Finitos Probabilísticos: Definición Un Autómata Finito Probabilístico (AFP) es una tupla: Σ alfabeto de la cinta de entrada Q conjunto finito de estados ( Q = N) π vector inicial de N componentes M = (Σ, Q, π, A) A = {A(a) a Σ} es un conjunto de matrices N N de transición π = ( A(a) = π 1... π N ) a a 1N..... a N1... a NN con con 0 π j 1 Σ 1 j N : π j = 1 0 a ij 1 1 i N Σ 1 j N : a ij = 1

13 Autómatas Finitos Probabilísticos: Ejemplo M = ({a, b}, {q 1, q 2 }, π, A) donde π = ( 1/2 1/2 ) A(a) = 1/2 1/2 0 1 A(b) = 1/3 2/3 1 0 Una notación alternativa sería: M A Q π A(a) A(b) q 1 1/2 1/2 1/2 1/3 2/3 q 2 1/

14 Autómatas Finitos Probabilísticos: Vector de estados Dado un AFP M = (Σ, Q, π, A) y una cadena w Σ con w = a 1... a n, denominamos vector de estados P (w) para w al vector: Para el ejemplo anterior: P (w) = πa(a 1 )A(a 2 )... A(a n ) = π 1 i n : A(a i ) P (ab) = πa(a)a(b) ( ) = 1/2 1/2 ( ) = 1/2 1/2 ( ) = 1/2 1/2 1/2 1/ /3 2/ /2 1/3 + 1/2 1 1/2 2/3 + 1/ / / /3 1/3 ( ) = 5/6 1/6 1 0

15 Autómatas Finitos Probabilísticos: Lenguaje Dado un vector de estado P (w) la probabilidad de estar en el estado q tras reconocer w es la componente del vector asociada con el estado q Q (denotada mediante P q (w)). Dado un AFP M = (Σ, Q, π, A), un conjunto F Q de estados finales y un umbral 0 θ 1 definimos el lenguaje L(M) como: L(M) = {w Σ P F (w) θ} donde P F (w) = Σ q F : P q (w) es la probabilidad de alcanzar un estado final al leer w. ( ) Siguiendo con el ejemplo anterior, sabemos que P (ab) = 5/6 1/6 y, de aquí, si F = {q2} tenemos P F (w) = P q2 (w) = 1/6, y de aquí w L(M) siempre que θ 1/6.

16 Sea una secuencia de eventos discretos Cadenas de Markov: Introducción X = (X 1, X 2,..., X T ) donde X t con 1 t T son variables aleatorias que puede tomar N valores. Decimos que X es una cadena de Markov si cumple las siguientes dos propiedades: Ley del horizonte limitado: La probabilidad de que ocurra un evento p en un determinado instante t depende tan sólo del evento q anterior P (X t = p X 1 = s, X 2 = s,..., X t 1 = q) = P (X t = p X t 1 = q) Ley del tiempo estacionario: La probabilidad de que ocurra un evento p tras un evento q es independiente del tiempo en que suceda: P (X t = p X t 1 = q) = P (X t+l = p X t 1+l = q) = P (p q)

17 Cadenas de Markov: Definición Una cadena de Markov (visible) puede representarse mediante un autómata finito probabilístico sin cinta de entrada (Q, π, A) donde: Los N valores que puede tomar X i son los estados de Q Los componentes a ij de la matriz de transición A denotan la probabilidad P (X t = q j X t 1 = q i ) de pasar del estado q i al estado q j. Los componentes π i del vector inicial π denotan la probabilidad P (X 1 comenzar en el estado q i. = q i ) de Dada una secuencia de estados (q 1,..., q T ), (aplicando la Ley de la Cadena y la Ley de Horizonte limitado) tenemos que : P (q 1,..., q T ) = P (q 1 )P (q 2 q 1 )P (q 3 q 1 q 2 )... P (q T q 1 q 2... q T 1 ) = P (q 1 )P (q 2 q 1 )P (q 3 q 2 )... P (q T q T 1 ) = π q1 a q1 q 2 a q2 q 3... a qt 1 q T

18 Cadenas de Markov: Ejemplo Podemos catalogar un día con tres tipos (estados): lluvioso (L), nublado (N) y soleado (S). Supongamos que la probabilidad de cambio de tiempo de un día para otro, recogidas en la matriz A, son las siguientes: A = a LL a LN a LS a NL a NN a NS a SL a SN a SS = 0,4 0,3 0,3 0,2 0,6 0,2 0,1 0,1 0,8 Considerando que hoy hace sol, la probabilidad de que el tiempo sea (S, S, N, L) sería: P (S, S, N, L) = π S a SS a SN a NL = 1 0,8 0,1 0,2 = 0,016

19 Cadenas de Markov ocultas: Definición Una cadenas de Markov oculta M = (Σ, Q, π, A, B) es aquella donde en cada instante de tiempo t conocemos un símbolo a Σ emitido probabilísticamente por el estado en el que se encuentra el autómata en el instate t. En este modelo tenemos dos secuencias: una secuencia desconocida (oculta) de variables aleatorias X = (X 1,..., X T ) donde cada X t puede ser un estado q Q una secuencia conocida (visible) de variables aleatorias O = (O 1,..., O T ) donde cada O t puede ser un símbolo (observación) a Σ emitido por el estado en X t. Los componentes b jk de la matriz B, denominada de emisión, indican la probabilidad de que el estado q j emita el símbolo a k en cualquier instante t: b jk = P (O t = a k X t = q j )

20 Cadenas de Markov ocultas: Ejemplo Disponemos de 2 urnas Q = {u 1, u 2 } que contienen bolas de 3 colores: Σ = {c 1, c 2, c 3 }. Se procede iterativamente de la siguiente forma: se escoge arbitrariamente una de las urnas, se extrae al azar una bola, y tras anotar su color, se devuelve a su urna. Supongamos las siguientes matrices para el modelo: Probabilidad de empezar por cada urna ( ) π = π u1 π u2 = ( 0,5 0,5 ) Probabilidad de cambiar de urna: A = a u 1 u 1 a u1 u 2 a u2 u 1 a u2 u 2 = 0,6 0,4 0,2 0,8 Probabilidad de extraer una bola de una urna B = b u 1 c 1 b u1 c 2 b u1 c 3 b u2 c 1 b u2 c 2 b u2 c 3 = 0,2 0,5 0,3 0,1 0 0,9

21 Cadenas de Markov ocultas: Cálculo de P (o) En un modelo de Markov oculto no conocemos la secuencia de estados que emite una observación o = (o 1,..., o T ), por tanto para calcular P (o) consideramos cualquier posible secuencia de estados q = (q 1,... q T ): P (o) = q P (o q)p (q) = q (b q 1 o 1 b q2 o 2... b qt o T )(π q1 a q1 q 2 a q2 q 3... a qt 1 q T ) = q π q 1 b q1 o 1 a q1 q 2 b q2 o 2... a qt 1 q T b qt o T En el problema de las urnas, para la observación (c1, c3) tendríamos: Para (u 1, u 1 ) tenemos π u1 b u1 c 1 a u1 u 1 b u1 c 3 = 0,5 0,2 0,6 0,3 = 0,018 Para (u 1, u 2 ) tenemos π u1 b u1 c 1 a u1 u 2 b u2 c 3 = 0,5 0,2 0,4 0,9 = 0,036 Para (u 2, u 1 ) tenemos π u2 b u2 c 1 a u2 u 1 b u1 c 3 = 0,5 0,1 0,2 0,3 = 0,003 Para (u 2, u 2 ) tenemos π u2 b u2 c 1 a u2 u 2 b u2 c 3 = 0,5 0,1 0,8 0,9 = 0,036 Sumando quedaría P (c 1, c 3 ) = 0, , , ,036 = 0,093

22 Guión 1.3 Autómatas de células de McCulloch-Pitts Células de McCulloch-Pitts Autómatas de células de McCulloch-Pitts Equivalencia con autómatas finitos

23 Células de McCulloch-Pitts: Definición Una célula de McCulloch-Pitts es una tupla: c = (e, θ, r) e = {e 1,..., e n } es un conjunto de entradas (señales) que pueden estar activas (valor 1) o inactivas (valor 0). Las señales pueden ser de dos tipos: excitadoras e i inhibidoras ẽ j. θ es un entero denominado umbral r es la salida que puede estar activa (1) o inactiva (0)

24 Células de McCulloch-Pitts: Función normal y diferencial El valor de la salida r de una célula en un instante de tiempo t depende de sus entradas e en el instante anterior t mediante una función g de transición: r(t) = g(e(t 1)) = g(e(t )) Se definen fundamentalmente dos tipos de funciones de transición: Función normal: g(e) = 1 i : ei θ y j : ẽ j = 0 0 en otro caso Función (umbral) diferencial: g(e) = 1 ( i : e i j : ẽ j ) θ 0 en otro caso

25 Células de McCulloch-Pitts: Ejemplo c = ({e 1, ẽ 2, e 3 }, 1, r) Normal Diferencial e 1 + e 3 1 y e 2 = 0 e 1 e 2 + e 3 1 t t + 1 t + 1 e 1 e 2 e 3 r r

26 ACMP: Definición Un autómata de células de McCulloch-Pitts (ACMP) es un conjunto finito de células que admiten realimentación (la salida de una célula puede ser entrada en otra): E es el alfabeto de las entradas R es el alfabeto de las salidas r R es la salida del autómata. M = (E, R, r, C) C es un conjunto finito de células tales que el conjunto de entradas de cada célula es un subconjunto de E R. Podemos clasificar los ACMP en dos tipos: Activación única: en cada instante de tiempo está activa exactamente una entrada e i Activación múltiple: es posible cualquier permutación de entradas activas o inactivas

27 ACMP: Ejemplo M = ({e 1, e 2 }, {r 1, r 2 }, r 2, {c 1, c 2 }) c 1 = ({ẽ 1, r 2 }, 0, r 1 ) c 2 = ({e 2, r 1 }, 1, r 2 ) DIFERENCIAL e 1 e 2 r 1 r 2 r 1 r 2 e 1 e 2 r 1 r 2 r 1 r

28 ACMP: Comportamiento Sea la célula c = ({e, r}, 1, r) cuya tabla de transición es: e r r Supongamos que la secuencia de valores para la entrada e será Partiendo de un transitorio que comienza con r(1) = 0, y por tanto r (1) = 0, tenemos que se cumple: t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 t = 6 Asignación de valores e r (0) r (t + 1) := r(t) r (0) r(t + 1) := (e(t) + r (t)) 1

29 Equivalencia con AF: De ACMP a AF Para cada ACMP M = (E, R, r, C) existe un AFD M = (Σ, Q, q 0, F, δ) equivalente: El alfabeto de la cinta de entrada será las combinaciones de valores de las E = n entradas: Σ = {(e 1... e n ) e i {0, 1}} El conjunto de estados se construye a partir de las combinaciones de valores de las salidas de las C = m células: Q = {q r1...r m r i {0, 1}} El estado inicial q 0 representa al autómata cuando las m células está inactivas: q 0 = q Los estados finales son aquellos q r1...r m en los que la salida r = 1 La función de transición δ se construye a partir de la tabla de transición del autómata de células de forma que: δ(q r1 (t)...r m (t), (e 1 (t),... e n (t)) = q r1 (t+1)...r m (t+1)

30 Equivalencia con AF: Ejemplo de ACMP a AF Para el autómata de células anterior descrito por M = ({e 1, e 2 }, {r 1, r 2 }, r 2, {c 1, c 2 }) donde: c 1 = ({ẽ 1, r 2 }, 0, r 1 ) c 2 = ({e 2, r 1 }, 1, r 2 ) q 00 q 10 q 11 q 00 q 01 q 01 q 10 q 11 q 10 q 11 q 10 q 11 q 11 q 01 q 01 q 11 q 11 q 11 q 11 q 11

31 Equivalencia con AF: De AF a ACMP Para cada AFD M = (Σ, Q, q 0, F, δ) existe un ACMP con activación única M = (E, R, r, C) equivalente (y donde las señales de todas las células son excitadoras): E = Σ {, } donde, / Σ R = {r 0, r F } {r [q,a] q Q y a Σ} La salida del autómata es la salida de la célula final: r = r F C = {c 0, c F } {[q, a] q Q y a Σ} cuya composición es: Célula inicial: c 0 = ({ }, 1, r 0 ) Célula final: c F = ({ } {r [q,a] R δ(q, a) F }, 2, r F ) Células de transición: [q, a] = ({a} {r 0 q = q 0 } {r [p,b] R δ(p, b) = q}, 2, r [q,a] )

32 Equivalencia con AF: Ejemplo de AF a ACMP a b q p s p q q s p q Célula Entradas Umbral Salida c 0 1 r 0 [q, a] a r 0 r [p,a] r [p,b] r [s,b] 2 r [q,a] [q, b] b r 0 r [p,a] r [p,b] r [s,b] 2 r [q,b] [p, a] a r [q,a] r [s,a] 2 r [p,a] [p, b] b r [q,a] r [s,a] 2 r [p,b] [s, a] a r [q,b] 2 r [s,a] [s, b] b r [q,b] 2 r [s,b] c F r [q,a] r [s,a] 2 r