S. Diédrico - 1 SISTEMAS DE PROYECCIÓN
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- Elvira María Pilar Coronel Maidana
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1 S. Diédrico - 1 SISTEMA DIÉDRICO El sistema diédrico es un sistema de proyecciones cilíndricas y ortogonales, es decir, que las rectas proyectantes son paralelas entre sí y perpendiculares a los planos de proyección. SISTEMAS DE PROYECCIÓN ortogonal CILÍNDRICO oblicuo CÓNICO Los planos de proyección son dos, el plano vertical, P.V. y el plano horizontal, P.H., que son perpendiculares entre sí. Estos dos planos dividen al espacio en 4 ángulos diedros (rectos), o cuadrantes. En diédrico se trabaja con el I cuadrante. La línea de intersección de ambos planos se llama línea de tierra, L.T. El sistema diédrico pretende representar el espacio en una superficie plana, para ello se hace coincidir el P.H. con el P.V. mediante un abatimiento (usando la L.T. como eje) según indican las flechas del dibujo: Una vez abatido queda de la siguiente forma: Con la línea de tierra como única referencia,representada con dos trazos debajo de sus extremos. REPRESENTACIÓN DE UN PUNTO. Sea un punto cualquiera A; el punto A se representa en diédrico por sus proyecciones sobre los planos de proyección P.H. y P.V. Su proyección horizontal se llama A1 y su proyección vertical, A2. La distancia del punto A al P.H. se llama COTA (cota = h), y la distancia del punto A al P.V. se llama ALEJAMIENTO (alejamiento = d) En diédrico la COTA es la distancia de la proyección vertical A2 a la L.T. y el ALEJAMIENTO es la distancia de la proyección horizontal A1 a la L.T.
2 S. Diédrico - 2 Cuando el punto está en el I cuadrante (punto A) la cota está por encima de L.T. y el alejamiento por debajo (cota positiva y alejamiento negativo). Cuando el punto pertenece al III cuadrante (punto B) sus proyecciones están al contrario que en el I. Su proyección horizontal B1 está por encima de L.T. mientras que su proyección vertical B2 está por debajo (cota negativa y alejamiento positivo). Cuando el punto pertenece al II cuadrante (punto M) sus dos proyecciones, horizontal M2 y vertical M1, están por encima de L.T. (cota y alejamiento positivos). Cuando el punto está situado en el IV cuadrante (punto N) sus dos proyecciones, horizontal N2 y vertical N1, están por debajo de L.T. (cota y alejamiento negativos). PUNTOS SITUADOS EN LOS PLANOS DE PROYECCIÓN Si un punto está contenido en el plano horizontal, como los A y B, no hay distancia a ese plano, por tanto no tiene cota. Su proyección horizontal coincidirá con el punto y su proyección vertical se encontrará sobre la línea de tierra. Si el punto está contenido en el plano vertical, como los D y F, sucederá a la inversa, por tanto lo que no tiene es alejamiento; su proyección vertical coincidirá con el punto y su proyección horizontal se encontrará sobre la línea de tierra. Si el punto pertenece a la línea de tierra, como el C, no tiene cota ni alejamiento, coincidiendo su proyección horizontal y su proyección vertical sobre la línea de tierra.
3 S. Diédrico - 3 PUNTOS SITUADOS EN LOS PLANOS BISECTORES. Se llama plano bisector al plano que, en geometría, divide a un ángulo recto en dos partes iguales. Existen, en diédrico, dos planos bisectores que se denominan 1 er bisector, que va del I cuadrante al III, y 2º bisector, que va del II al IV. Cuando un punto está situado en uno de los bisectores se caracteriza porque su cota y alejamiento son iguales. PUNTO A PUNTO B PUNTO C PUNTO D 1 er bisector I cuadrante 2º bisector II cuadrante 1 er bisector III cuadrante 2º bisector IV cuadrante REPRESENTACIÓN DEL PUNTO POR COORDENADAS Para representar un punto por coordenadas, siempre nos darán tres datos, A (±X, ±Y, ±Z) Donde, ±XDistancia al origen. Puede ser positiva o negativa, según se encuentre a la derecha o a la izquierda del origen. El origen puede situarse en cualquier punto de la L.T. aunque, salvo indicación contraria, se suele situar en el punto medio de la L.T. ±YAlejamiento del punto. Es la distancia del punto al plano vertical de proyección. Puede ser positivo o negativo, según se encuentre situado delante o detrás de este plano. ±ZCota del punto. Es la distancia del punto al plano horizontal de proyección. Puede ser positiva o negativa, según se encuentre situado encima o debajo de este plano.
4 S. Diédrico - 4 En la imagen de la derecha podemos ver algunos ejemplos resueltos: A (6, 2, 4) B (3, -5, 2) C (-1, 2,-3) D (-4, 0,5) REPRESENTACIÓN DE UNA RECTA. La recta es una sucesión de puntos, está en el espacio y se supone infinita. Las proyecciones de una recta vienen definidas por las proyecciones de dos puntos cualesquiera de la misma. Por ejemplo, en la recta r, obtendremos su proyección vertical al unir las proyecciones verticales de los puntos, A2 y B2, y su proyección horizontal al unir las proyecciones horizontales de los mismos, A1 y B1. Y en la recta s, lo mismo con los puntos C y D. TRAZAS DE UNA RECTA. Las trazas son los puntos de intersección de la recta con los planos de proyección. Se llama V a la traza vertical, donde la recta corta al P.V.; y se llama H a la traza horizontal, donde corta al P.H. Las trazas sirven para definir una recta puesto que son puntos de la misma, así que, dadas las trazas de una recta, no tenemos más que unir sus proyecciones para obtener las proyecciones de la recta. Las trazas, al ser puntos situados en los planos de proyección, tienen una de sus proyecciones en L.T. Las trazas de una recta también sirven para situar rectas en planos. Cuando se conocen las proyecciones r1 y r2 de una recta y se quieren determinar las trazas hay que hacer lo siguiente: - Para hallar la traza horizontal se prolonga su proyección vertical r2 hasta que corta a L.T., ese punto será H2, luego se traza una perpendicular desde H2 hasta que corte a r1 y esa será H1. - Para hallar la traza vertical se hace lo mismo pero con la proyección contraria. Las trazas también determinan los cambios de cuadrante de la recta.
5 S. Diédrico - 5 Para saber por qué cuadrantes pasa una recta se coge un punto cualquiera de la misma a cada lado de las trazas (que es donde cambia) y según a que cuadrantes pertenezcan, esos serán por los que pasa. Por ejemplo la recta r pasa por el IV, I y II. El tramo perteneciente al I cuadrante va en línea continua por ser la parte visible de la misma. Otro ejemplo es la recta s que pasa por el I, II y III. Una recta puede pasar por uno, dos o tres cuadrantes. REPRESENTACIÓN DE LA RECTA POR COORDENADAS Para representar una recta por coordenadas, basta con dar las coordenadas de dos puntos, o de sus trazas, y unir sus proyecciones homónimas. A la derecha se representa la recta r definida por los puntos, A (6, 5, 3) y B (-4, 2, 4) RECTAS QUE SE CORTAN. Dos rectas que se cortan tienen un punto en común, las proyecciones de ese punto son las intersecciones de las proyecciones homónimas de las dos rectas.
6 S. Diédrico - 6 RECTAS QUE SE CRUZAN. Dos rectas se cruzan cuando, sin ser paralelas, no tienen ningún punto en común. En consecuencia, sus proyecciones homónimas tampoco lo tendrán. POSICIONES PARTICULARES DE RECTAS. Recta paralela a L.T. No tiene trazas. Para saber su posición en el espacio es necesario determinar un punto perteneciente a la misma. Recta frontal. Paralela al P.V. y oblicua al P.H. No tiene traza V Recta horizontal. Paralela al P.H. y oblicua al P.V. No tiene traza H.
7 S. Diédrico - 7 Recta de punta. Perpendicular al P.V. y paralela al P.H. Por ser perpendicular al P.V. su proyección vertical será un punto y coincidirá con la traza V. No tiene traza H. Recta vertical. Perpendicular al P.H. y paralela al P.V. Por ser perpendicular al P.H. su proyección horizontal será un punto y coincidirá con la traza H. No tiene traza V. Rectas de perfil. Se llama así a toda recta r situada en un plano perpendicular a los de proyección. Pueden darse dos casos: a) Recta paralela al plano de perfil sin pasar por L.T. Sus proyecciones se confunden en una perpendicular a L.T. Para determinar su posición es necesario recurrir a una tercera proyección r3, situada en un plano de perfil P.P. b) Recta paralela al P.P. pasando por L.T. Sus proyecciones r1-r2 también están confundidas y perpendiculares a L.T. Sus trazas coinciden en L.T. Para determinar su posición en el espacio, es necesario recurrir a un punto A, y además de hallar sus proyecciones A1- A2, hallar la tercera proyección a3 sobre un plano auxiliar P.P. H-V H-V
8 S. Diédrico - 8 Rectas contenidas en el P.H. Toda recta del plano horizontal tiene su proyección horizontal coincidente con ella y su proyección vertical coincidente con L.T. a) Recta contenida en el P.H. oblicua. b) Recta contenida en el P.H. paralela a L.T. c) Recta contenida en el P.H. perpendicular a L.T. Rectas contenidas en el P.V. Toda recta del plano vertical tiene su proyección vertical coincidente con ella y su proyección horizontal coincidente con L.T. a) Recta contenida en el P.V. oblicua. b) Recta contenida en el P.V. paralela a L.T. c) Recta contenida en el P.V. perpendicular a L.T. REPRESENTACIÓN DEL PLANO. El plano se representa en diédrico por medio de sus trazas. Se llaman trazas de un plano a las rectas de intersección de este con los planos de proyección. Un plano tiene dos trazas, la horizontal h y la vertical v. Las trazas de un plano deben de ser siempre concurrentes en un mismo punto de L.T. Un plano cualquiera corta a los de proyección según las rectas h y v que son sus trazas horizontal y vertical, respectivamente. Como h1 y v2 están confundidas con las trazas h y v, las designaremos con estas últimas letras, y prescindiremos de poner letras a las otras dos proyecciones, por estar sobre L.T. No hay que olvidar que aunque no las nombremos están ahí. Así para situar un punto cualquiera en la traza horizontal h, éste tendrá su proyección horizontal en h y su proyección vertical en L.T. De modo análogo, un punto de la traza vertical tendrá su proyección vertical en v y su proyección horizontal en L.T.
9 S. Diédrico - 9 Recta contenida en un plano. Para que una recta esté contenida en un plano, las trazas de la recta han de estar contenidas en las trazas del plano. Ejemplo: recta r, contenida en el plano, que podemos ver en la figura de abajo. Punto contenido en un plano. Para que un punto esté situado en un plano, ha de estar contenido en una de las rectas que pertenezcan al plano. Ejemplo: punto A de la figura inferior está contenido en el plano por estar situado en la recta r que pertenece a dicho plano. FORMAS DE DEFINIR UN PLANO. Un plano se puede definir de las siguientes formas: a) Por dos rectas que cortan, Las rectas r y s se cortan en A. Para hallar las trazas del plano que definen, se hallan las trazas de las rectas dadas. Uniendo las trazas horizontales de las rectas, Hr y Hs, obtendremos la traza horizontal del plano, ha, y uniendo las trazas verticales Vr y Vs, se tiene va, traza vertical del plano. b) Por dos rectas paralelas. La rectas r y s son paralelas al ser sus proyecciones homónimas paralelas. Para hallar las trazas del plano se hallan las trazas de las rectas dadas y se procede como en el caso anterior. c) Por 3 puntos no alineados. Se unen los puntos dados dos a dos mediante 2 rectas, quedando el caso reducido a plano definido por dos rectas que se cortan. d) Por un punto y una recta que no se pertenecen. Podemos resolverlo de 2 formas: - Trazando por el punto dado una recta paralela a la recta dada, con lo que se resolvería igual que el plano definido por 2 rectas paralelas. - Uniendo el punto dado con otro cualquiera de la recta dada, generando así otra recta que corta a la anterior, el problema se resuelve entonces por 2 rectas que se cortan.
10 S. Diédrico - 10 REPRESENTACIÓN DEL PLANO POR COORDENADAS Al igual que el punto, el plano se representa por tres coordenadas, (±X, ±Y, ±Z) Donde, ±XDistancia del origen al vértice del plano. ±YAlejamientode la traza horizontal, medida sobre el origen. ±ZCota de la traza vertical, medida sobre el origen. En el ejemplo representamos el plano (-4, 5, 7) RECTAS PARTICULARES DEL PLANO. Recta horizontal.la proyección horizontal r1 es paralela a la traza horizontal h del plano al que pertenece. La proyección vertical r2 es paralela a L.T. Recta frontal. Su proyección vertical r2 es paralela a la traza vertical v del plano al que pertenece. La proyección horizontal r1 es paralela a L.T.
11 S. Diédrico - 11 Línea de máxima pendiente. Es la recta contenida en un plano que forma el mayor ángulo posible con el P.H. Es perpendicular a la traza h y su proyección horizontal, r1, será, asimismo, perpendicular a la traza horizontal del plano. Se representa poniendo dos pequeños trazos sobre su proyección horizontal, como se puede ver sobrer1 en la imagen inferior derecha. Línea de máxima inclinación. Es aquella recta que contenida en un plano, forma el mayor ángulo posible con el P.V. La proyección vertical r2 de la recta será perpendicular a la traza vertical del plano. Se representa poniendo dos pequeños trazos sobre su proyección vertical, como vemos sobre r2 en la imagen inferior derecha. CASOS PARTICULARES DE PLANOS. Plano paralelo a L.T. Sus trazas son paralelas a L.T.
12 S. Diédrico - 12 Plano frontal. (Paralelo al P.V.) No tiene traza vertical, y su traza horizontal es paralela a L.T. Plano horizontal. (Paralelo al P.H.) No tiene traza horizontal, y su traza vertical es paralela a L.T. Plano de perfil. (Perpendicular a L.T.) Es perpendicular al P.V. y al P.H. Sus trazas están confundidas e una sola perpendicular a L.T., sobre la que se encontrarán las proyecciones de todos los puntos del plano. Para trabajar con él hay que abatirlo. Plano de canto. (Perpendicular al P.V. y oblicuo al P.H.) Su traza horizontal perpendicular a L.T.y su traza vertical es oblicua a L.T. Es proyectante vertical, todos los puntos situados en él se proyectarán verticalmente sobre su traza v, como se comprueba en el punto A1-A2. Del mismo modo la recta r1-r2 situada en el plano tiene su proyección vertical r2 confundida con v.
13 S. Diédrico - 13 Plano vertical. (Perpendicular al P.H. y oblicuo al P.V.) Su traza vertical es perpendicular a L.T. y su traza horizontal oblicua. Es proyectante horizontal, todos los puntos situados en él se proyectarán horizontalmente sobre su traza ha, como se comprueba en el punto A1-A2. Del mismo modo la recta r1-r2 situada en el plano tiene su proyección vertical r1 confundida con ha. Plano que pasa por L.T. Es el único caso en que un plano no queda determinado por sus trazas por estar éstas confundidas con L.T. Para determinar su posición se utiliza un punto A1-A2 del plano. Para indicar que el punto A1-A2 es el que determina el plano, se suelen dibujar dos trazos, uno a cada lado de la línea de referencia del punto y debajo de L.T. Planos bisectores. Para representar el 1 er bisector tomaremos como punto representativo cualquier punto cuyas proyecciones equidisten de L.T., por ejemplo el punto A1-A2 Para representar el 2º bisector tomaremos como punto representativocualquier punto cuyas proyecciones estén confundidas, por ejemplo el punto B1-B2
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