Hoja de Ejercicios. Temas 1 y 2

Transcripción

1 Hoja de Ejercicios Temas 1 y 2 Ejercicio 1: Complete las siguientes frases con las alternativas especificadas. Si existen varias alternativas verdaderas, márquelas todas Cuál(es) de las siguientes afirmaciones acerca del videojuego Buscaminas (suministrado con el Sistema Operativo Windows ver figura de la derecha) es (son) verdadera(s)? (a) El entorno es accesible. (b) El entorno es estático. (c) El entorno es discreto. (d) El juego es parcialmente cooperativo Cuál(es) de las siguientes afirmaciones acerca de la búsqueda de profundización iterativa es (son) verdadera(s)? (a) Es óptima y completa aún si el árbol de búsqueda contiene ramas infinitas. (b) Expande siempre menos nodos que la búsqueda en profundidad. (c) Cuanto mayor sea la profundidad de un nodo en el árbol de búsqueda, más veces será expandido. (d) Es más ineficiente si el factor de ramificación b del árbol de búsqueda es pequeño Si se aplica el algoritmo A * con una función heurística h * 1, tal que h * 1 (n)=0 para todos los nodos n, entonces (a) ya no se puede asegurar que el algoritmo A * sea óptimo (ó: admisible). (b) todas las funciones heurísticas optimistas h * 2 son al menos tan buenas como h * 1. (c) ya no se puede asegurar que el algoritmo A * sea completo. (d) el algoritmo A * se comporta igual que la búsqueda de coste uniforme El algoritmo IDA * con una función heurística h * consistente (a) realiza sucesivamente búsquedas A * hasta un límite f * que va aumentando en cada búsqueda. (b) realiza sucesivamente búsquedas en profundidad hasta un límite f * que va aumentando en cada búsqueda. (c) realiza sucesivamente búsquedas en amplitud hasta un límite f * que va aumentando en cada búsqueda. (d) realiza sucesivamente búsquedas Minimax hasta un límite f * que va aumentando en cada búsqueda. Pág. 1 / 7

2 Ejercicio 2: En el problema de las Torres de Hanoi hay tres agujas (A, B y C) y n discos de distintos tamaños que reposan sobre la aguja A (D1, D2,..., Dn). Se trata de pasar la torre de discos de la aguja A bien a la aguja B o bien a la aguja C. En cada operación es posible mover un disco de una aguja a otra, siempre y cuando dicho disco no se coloque sobre un disco de menor tamaño. A continuación se muestra el estado inicial y un estado meta para el caso de n=3 discos. A B C A B C D1 D2 D3 D1 D2 D3 a) Dos estados se consideran equivalentes, si están los mismos discos en la aguja A mientras que los discos de las agujas B y C están intercambiadas. Desarrolle el árbol de búsqueda generado por la búsqueda en amplitud para el problema arriba indicado (n=3), asumiendo que se filtran todos los estados repetidos (considerándose como tales los estados ya expandidos y los nodos que se encuentran ya en la lista abierta) y todos los estados equivalentes. Indique el orden en el que se expanden los nodos, así como el estado de la lista abierta en cada paso del algoritmo. b) Filtrando los estados repetidos y equivalentes, la búsqueda en profundidad encontraría siempre una solución al problema general de las Torres de Hanoi (es decir: para cualquier n fijo)? Explique brevemente el por qué de su posición. c) Diseñe una función heurística h * optimista para el problema general de las Torres de Hanoi (cuanto más informado mejor) Suponiendo que no se filtran los estados repetidos y equivalentes, el algoritmo A * con esta función heurística h * encontraría siempre la solución óptima al problema de las Torres de Hanoi? Justifique brevemente su opinión. Pág. 2 / 7

3 Ejercicio 3: El grafo que se muestra a continuación representa un esquema de un mapa de carreteras. Los nodos están etiquetados con el nombre de ciudades, y los arcos con la distancia por carretera entre dichas ciudades. Inicialmente nuestro agente se encuentra en la ciudad D, y procura trasladarse por carretera a la ciudad B por el camino más corto. Con tal fin, puede hacer uso de su conocimiento de la región, y en particular de la distancia aérea entre ciudades. La función h * que se muestra al lado indica la distancia aérea entre cualquier ciudad y la ciudad de destino B. O Z A S R T 111 L 70 M 75 D C 99 F 97 P G 160 B N 85 U I 92 V 98 H E 86 h * A 366 B 0 C 160 D 242 E 161 F 178 G 77 H 151 I 226 L 244 M 241 N 234 O 380 P 98 R 193 S 253 T 329 U 80 V 199 Z 374 Suponga que el programa de agente se basa en el algoritmo A* para resolver este problema. a) Desarrolle el árbol de búsqueda que genera la búsqueda A*, asumiendo que se filtran ciclos simples (p.e.: D-M-D). Indique el orden en el que se expanden los nodos, así como el valor de f * de cada nodo del árbol de búsqueda. b) Indique el estado de la lista abierta en cada paso del algoritmo. Pág. 3 / 7

4 Ejercicio 4: El juego de las cifras consiste en hallar la forma de obtener un número positivo, denominado el exacto, a partir de una serie de cifras (también positivas) y las operaciones de suma, multiplicación, resta y división; cada cifra puede ser utilizada como máximo una sola vez. Los siguientes datos muestran una posible instancia del juego: CIFRAS: EXACTO: 420 Las soluciones al juego de las cifras consisten en una secuencia de operaciones, que aplicadas sobre (algunas de) las cifras de entrada, y sobre los resultados intermedios, permiten obtener el exacto. Una instancia del juego puede tener ninguna, una, o varias soluciones. Una solución es óptima si no existe ninguna otra que genere el exacto con menos operaciones. Téngase en cuenta que la obtención de una solución procede de forma incremental, considerando en cada paso un conjunto de cifras determinado. Por ejemplo, la obtención de una de las soluciones a la instancia de juego anterior conlleva los siguientes pasos: PASO CIFRAS DISPONIBLES SOLUCIÓN 2+5=7 6*10=60 60*7=420 a) Defina una representación eficiente para el juego de las cifras. Indique, sobre la base de esta la representación elegida, cuándo se acaba el juego (es decir, para qué estados la función meta? devuelve true?). b) Aplique la búsqueda en amplitud a la siguiente instancia del juego, en el que se dispone únicamente de las operaciones de división y resta (recuerde que una operación es válida solamente si su resultado es un entero positivo) CIFRAS: EXACTO: 35 Desarrolle el árbol de búsqueda, suponiendo que se añaden primero los sucesores que resultan de la operación de menor valor (i.e. el nodo que resulta de calcular 20:5 se añade antes que el 20 5 ). Indique el orden en el que se expanden los nodos, así como el estado de la lista abierta en cada paso del algoritmo. c) La búsqueda en profundidad y la búsqueda de profundización iterativa son completos y/o óptimos para el juego de las cifras? Justifique brevemente la respuesta. Pág. 4 / 7

5 Ejercicio 5: El juego de los cuadrados latinos 3 x 3 consiste en lo siguiente: 1. Tenemos un tablero 3 x 3 que inicialmente está vacío 2. En cada posición colocamos un número del 1 al 9, ninguno de los cuales puede repetirse. 3. El objetivo es tener un número en cada posición del tablero, tal que la suma de las diferentes filas, columnas y diagonales dé siempre el mismo valor: 15. Suponga la configuración descrita en la figura 1, donde tenemos seis posiciones ocupadas, 3 libres y sólo una fila y una columna cumplen que la suma de sus números es Figura 1 De acuerdo con las reglas del juego, se puede poner un número de los que faltan (4, 6, 8) en cualquiera de los huecos libres. a) Modelice el juego de los cuadrados latinos 3 x 3 como un espacio de estados, indicando el conjunto de posibles estados, estados inicial y finales, así como la función expandir que representa los operadores aplicables en cada estado ( tome en cuenta que el orden en el que se añaden los números es irrelevante!). Suponga que cada operador tiene coste uno. b) Suponga la siguiente función heurística: h * (n) = número de filas en n que no suman 15 + número de columnas en n que no suman 15 + número de diagonales en n que no suman 15. Desarrolle el árbol de búsqueda generado por el algoritmo A * con esta función heurística suponiendo que el estado inicial es el que muestra la figura 1. Señale claramente los valores de g, h * y f * de cada nodo del árbol, e indique el orden de expansión. Asimismo, exponga el estado de la lista abierta en cada paso del algoritmo. c) La función heurística h * es optimista y/o consistente? Dadas las características específicas de este juego, el algoritmo A * en la configuración arriba mencionada es completo y óptimo? Razone brevemente sus respuestas! Pág. 5 / 7

6 Ejercicio 6: Las recientes lluvias han provocado daños en la infraestructura de un municipio que deben ser reparados con urgencia. Concretamente, hay N obras por realizar y se ha pedido presupuesto a M empresas constructoras para cada una de las obras. El coste de encargar cada obra a cada empresa viene dado por una tabla como la siguiente, donde C ij indica el coste de encargar a la empresa E i la obra O j Obra O 1 Obra O 2 Obra O N Empresa E 1 C 11 C 12 C 1N Empresa E 2 C 21 C 22 C 2N Empresa E M C M1 C M2 C MN El Ayuntamiento ha decidido asignar una sola obra por empresa. El problema consiste en decidir qué obra se asignará a cada empresa, de modo que se minimice el coste total. Los técnicos deciden utilizar el algoritmo A * para resolver el problema... a) Defina una representación eficiente del problema, especificando el conjunto de posibles estados, estado inicial, estados finales, así como operador(es) y su coste. Para ello tome en cuenta que: Conviene distinguir entre estados intermedios y estados meta: una representación en la que todos los estados son estados meta no es eficiente. La detección de estados meta ha de ser simple: detectar explícitamente un estado meta por el hecho de tener menos coste que todos los demás no es eficiente. Sólo importa a qué empresa se asigna cada obra; el orden en el que se realizan las asignaciones de obras a empresas es irrelevante para el coste. b) Considere el siguiente caso particular (los costes se expresan en millones de Euros) Obra O 1 Obra O 2 Obra O 3 Obra O 4 Empresa E Empresa E Empresa E Empresa E Suponga una función heurística h * que, para cualquier estado s, devuelve la suma de los costes mínimos de todas las obras no asignadas en s, considerando para ello únicamente las empresas sin adjudicación en s. En el caso de arriba, el valor de h * en un estado s 0 sin ninguna obra asignada sería h * (s 0 ) = = 26 Formalice dicha función sobre la base del coste de la realización de obras por empresas (C ij ) y la información contenida en su representación de un estado s. Es esta función h * optimista y/o consistente? Justifique brevemente su opinión! c) Desarrolle el árbol de búsqueda que genera el algoritmo A * para el caso del apartado (b). Indique el orden en el que se expanden los nodos, los valores de g, h * y f * para cada nodo del árbol de búsqueda, y la evolución de la lista abierta. Pág. 6 / 7

7 Ejercicio 7: Nim es un juego bipersonal de suma nula. En una mesa hay i filas de cerillas, cada una con c i cerillas. Cuando es su turno, un jugador puede coger un número cualquiera de cerillas de la misma fila (al menos uno). Pierde el jugador que coge la última cerilla. Suponga un estado inicial en el que hay dos filas, con una y con tres cerillas respectivamente. Es el turno de Max. a) Defina una representación eficiente para los estados del juego NIM. fila 1 b) Desarrolle el árbol de búsqueda Minimax completo, y indique los valores de cada nodo. Max tiene alguna posibilidad de ganar? fila 2 Cuáles es su mejor jugada? c) Indique en su árbol de búsqueda Minimax los subárboles que se pueden podar con la técnica - (no es necesario indicar los valores de y para cada nodo). Ejercicio 8: Para paliar posibles consecuencias traumáticas del cambio de las monedas europeas nacionales por la moneda común, así como para la familiarización con el valor de la moneda única, se ha propuesto el siguiente pasatiempos: Dos contrincantes disponen cada uno de un conjunto de monedas en pesetas. Juegan alternativamente, eligiendo una moneda y colocándola delante de ellos. Se trata de ir colocando monedas de pesetas para acercarse lo más posible al valor de un Euro, pero sin pasarse (recordamos que 1 166,386 Pts). Como restricción, se requiere que un jugador no pueda nunca elegir una moneda del mismo valor que la que haya elegido el otro jugador en la jugada anterior. El jugador que primero se pase del valor de un Euro pierde. El juego se detiene también cuando a un jugador se le agotan las monedas, o bien cuando no puede colocar una moneda sin incumplir la condición de que no coincida con la del turno anterior. En este caso gana el jugador cuya suma de monedas se acerque más a un Euro. Se trata de diseñar un agente inteligente para este juego. Supongamos que se comienza con tres montones de dos monedas que están en poder de cada jugador de, respectivamente, 5, 25 y 100 pesetas. El turno inicial es de nuestro agente. a) Desarrolle el árbol de juego hasta ply 3. Suponga que al expandir un nodo se generan primero los sucesores que resultan de colocar monedas de más valor. b) Suponga que sum max es la suma de las monedas colocadas por nuestro agente, y sum min la suma de las monedas colocadas por el contrincante. Una posible función de utilidad U de nuestro agente para cualquier estado s de juego es: si summin 1Euro U s si summax 1 Euro summax summin de lo contrario Aplique el algoritmo Minimax para determinar la mejor jugada de nuestro agente. c) Añada los valores de y en cada arco del árbol de juego, para ilustrar el funcionamiento del algoritmo Minimax con poda -. Dónde se pueden aplicar podas -? Pág. 7 / 7