Capítulo 14. Flujo de fluidos sobre objetos sumergidos.

Transcripción

1 Capítulo 14 Flujo de fluidos sobre objetos sumergidos.

2 Flujo de fluidos sobre objetos sumergidos. En los capítulos anteriores se ha analizado el caso en que los fluidos viajan por el interior de ductos. Existen, sin embargo, muchos casos en los que los fluidos o viajan por el exterior de los tubos o tienen que desplazarse por ductos o equipos que están obstruidos por retenes, mamparas, empaques, tuberías, tal como sucede en los cambiadores de calor, las torres empacadas, las torres de platos, etc. Un caso muy común en el que los objetos sumergidos fluyen entre un fluido son los barcos, aviones, submarinos, cohetes, etc. En esos casos, los objetos que se interponen al paso de los fluidos provocan pérdidas de fricción y se comportan como objetos sumergidos dentro de un fluido. Ley de Stokes La Ley de Stokes se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de bajos números de Reynolds. Fue derivada en 1851 por George Gabriel Stokes 1 tras resolver un caso particular de las ecuaciones de Navier-Stokes. En general la ley de Stokes es válida en el movimiento de partículas esféricas pequeñas moviéndose a velocidades bajas. Supongamos que dejamos caer una esfera de acero dentro de un recipiente que contiene aceite. La esfera comenzará a caer, pero será frenada en su caída por las fuerzas de fricción y flotación. 1 Sir George Gabriel Stokes, primer Baronet (13 de agosto de de febrero de 1903) fue un matemático y físico irlandés que realizó contribuciones importantes a la dinámica de fluidos (incluyendo las ecuaciones de Navier-Stokes), la óptica y la física matemática (incluyendo el teorema de Stokes). Fue secretario y luego presidente de la Royal Society de Inglaterra

3 Fuerza de flotación+fuerza fricción = Fuerza gravitacional. F =fuerza de fricción, F B = fuerza de flotación, Fg = fuerza de la gravedad. Las fuerzas de flotación son fuerzas hacia arriba, ascendentes F B = fuerza de flotación =V f Pe f específico del fluido. en m 3 kg m en donde Pe 3 f es el peso Las fuerza gravitacional está dirigida hacia abajo y es igual a Fg = fuerza de la gravedad=v s Pe s en m 3 kg m, en donde Pe 3 S es el peso específico de la esfera sólida. Las fuerzas de fricción se ejercen empujando el sólido hacia arriba F M = C u 2 = P 2gc ρ u ; P = C 2 ρ, pero P = F por lo tanto 2gc A u F =fuerza de fricción=c 2 ρ 2gc fa en kg, en donde C es un coeficiente de fricción similar al que se utiliza en el flujo a través de tuberías. Por lo tanto: V f Pe f + C u 2 2gc ρ fa = V s Pe s Pero Vf =Vs o sea el volumen de la esfera= 4 3 πr3 = π 6 3 A es el área proyectada de la esfera donde se ejerce la fuerza de fricción. A = π 4 2 Entonces: π 6 3 Pe f + C u 2 2gc ρ f π 4 2 = π 6 3 Pe s

4 u C 2 ρ π 2gc f 4 2 = π 6 3 (Pe s Pe f ) C u 2 ρ f = 4 3 (Pe s Pe f )gc Al caer la esfera su velocidad aumenta hasta que las fuerzas de aceleración y de retardo sean iguales. Cuando se alcanza ese punto la velocidad de la esfera permanecerá constante durante el resto de la caída. Esta velocidad recibe el nombre de velocidad terminal. Experimentalmente se ha observado que si u = 4gc(Pe s Pe f ) 3C ρ f Re < 0.3 entonces C = 24 Re = 24μ f u ρ f por lo que: u = 4guρ f(ρ s ρ f ) 3 24μ f ρ f u = g2 u(ρ s ρ f ) 18μ f u = g2 (ρ s ρ f ) 18μ f e ella se ve que: Conocida como la ecuación de Stokes. μ f = g2 (ρ s ρ f ) 18 u viscosímetros. Esta ecuación sirve para obtener la viscosidad mediante cierto tipo de Ejemplo 1. Cuál será la viscosidad de un fluido que tiene una densidad de 1100 kg /m 3 si se deja caer una esfera de acero de 1 cm de diámetro cuya densidad es de 7800 kg /m 3.? La velocidad terminar que se midió fue de 8 cm /s. 1.- Planteamiento Ley de Stokes.

5 2.- Cálculos Número de Reynolds. μ f = g2 (ρ s ρ f ) 18 u Re = P u ρ = μ μ Si el Re <0.3 se puede emplear la ley de Stokes Viscosidad suponiendo Re bajo. ( )9.81 (0.01)2 μ = Comprobación del Reynolds. = 4.56 kg = 4560 cps. ms Re = P u ρ = = μ 4.56 Este Reynolds es menor de 0.3 por lo tanto el resultado de la viscosidad es correcto. 3.-R.- La viscosidad es de 4560 cps. FACTORES E FRICCION ALREEOR E OBJETOS SUMERGIOS. Cuando un fluido fluye alrededor de un objeto, para evaluar la fuerza cinética F K es necesario (al igual que en el flujo a través de tuberías) definir un coeficiente de transferencia de cantidad de movimiento o factor de fricción "f" según: Fk = fka En general para este tipo de sistemas el área característica se toma como la proyección del sólido sumergido sobre un plano perpendicular a la velocidad del fluido. Así, para una esfera A = π2 4 La energía cinética característica por unidad de volumen se toma como K = 1 ρu 2 2 donde u es la velocidad con que se aproxima el fluido al objeto, medida lejos de éste de manera que su presencia no altere su valor. Nuevamente "f" deberá ser evaluado experimentalmente. ARRASTRE SOBRE UNA ESFERA SUMERGIA. Suponiendo que un fluido newtoniano de ρ y μ constantes fluye alrededor de una esfera lisa acercándose con una velocidad u,

6 La definición de F K quedará: F K = f π ρu 2 Esta ecuación define al factor de fricción o de arrastre para esferas sumergidas "f ".= C Nuevamente con el propósito de evaluar experimentalmente "f " se hace necesario saber de qué parámetros depende. Al igual que para flujo en conductos esta información se obtiene de los balances microscópicos adimensionales que gobiernan al sistema. Como "f " es adimensional dependerá de las distribuciones adimensionales de u * y p * : f = f (Re) onde ρu /μ=re La rugosidad relativa no aparece pues se supone que la esfera es lisa. En la figura se muestra la correlación experimental de "f " vs Re: Para la zona de flujo reptante (Re<1) se observa una dependencia lineal de "f " o C (coeficiente de arrastre, drag coefficient) con el Re y la ecuación correspondiente es: f = 24 Re

7 Si se reemplaza esta ecuación en la definición de "f " se obtendrá la ecuación de Stokes. Para Re >1 comienza a producirse el fenómeno de la separación de la capa límite detrás de la esfera, desplazándose el punto de separación tanto más hacia delante cuanto mayor sea el Re. A medida que esto sucede la fuerza que actúa sobre la esfera se vuelve aproximadamente proporcional al cuadrado de u entonces "f " tiende a ser constante (de acuerdo con su definición). -Esto ocurre para valores de Re: 10 3 Re En esta región f 0.44 y la separación de la capa límite ocurre para θ π/2. En esta zona se dice que se cumple la ley de Newton. Cuando Re>2x10 5 se produce una brusca disminución de "f " que se corresponde con la transición de capa límite laminar a turbulenta con la consiguiente disminución del arrastre. A partir de la correlación de "f " es posible calcular la velocidad límite de caída de una partícula o el diámetro de una partícula que cae con velocidad límite conocida. La primera evaluación es de suma importancia cuando se hacen cálculos de sedimentación, clasificación, fluidización, transporte neumático, etc. Teniendo en cuenta que si la esfera cae con velocidad límite las fuerzas que actúan sobre ella están equilibradas: Peso =Fs +Fk Reemplazando y utilizando la definición de "f ": π 3 6 (ρ π 2 1 sólido ρ fluido )g = f 4 2 ρ 2 fluidou T espejando la velocidad terminal: u T = 4g(ρ s ρ f ) 3ρ f f Para calcular "f, también llamado coeficiente de arrastre C es necesario usar

8 Un método iterativo pues para utilizar la correlación de "f " vs Re es necesario conocer la velocidad. Nótese que utilizando "f " hemos ampliado la zona de cálculo de fuerzas de arrastre desde Re<1 (flujo reptante) a cualquier valor de Re. Ejemplo 2. Cuál es la fuerza que ejercería el aire sobre una esfera de 10 m de diámetro si se desplaza a una velocidad de 30 m /s a 30 C y 1 atm? 1.- Traducción. 2.- Planteamiento Fuerza. F = C u 2 Sρ 2gc 3.- Cálculos Propiedades del aire. Viscosidad = cps, densidad = kg /m Reynolds del aire. Re = = el gráfico f o C = Fuerza. F = 0.2 (30) (10) Resultado. La fuerza ejercida es de 840 kg. = kg ARRASTRE SOBRE PARTICULAS NO-ESFERICAS SUMERGIAS.

9 Es posible extender la metodología anterior a partículas no esféricas utilizando un "diámetro equivalente" que se define como el diámetro de una esfera de igual volumen que la partícula en cuestión. Así, si V p es el volumen de la partícula, el diámetro equivalente e queda definido como: V p = π e e = 6V p π Como ya sabemos que el arrastre no sólo depende del área de contacto fluidosólido, sino que también es función de la forma del sólido, esta deberá ser contemplada de alguna manera. Para ello se define un "coeficiente de forma" o "esfericidad" ψ: Ψ = Superficie de una esfera de igual volumen que la partícula Superficie de la partícula -ado que a igual volumen la superficie de una esfera es la mínima, ψ será menor que 1 y cuanto más esférica sea la partícula se aproximará más a la unidad. Utilizando la definición de diámetro equivalente la superficie de una esfera de igual volumen que la partícula será igual a π e 2. Luego llamando AP a la superficie de la partícula: 2 Ψ = π e 2 = π [ 6V 2 3 p 4A p 4A p π ] 3 V p = No siempre se cuenta con los valores de área y volumen de las partículas, por lo que es común asimilar la forma de la partícula problema a una geometría simple para efectuar los cálculos. En la figura se representa la correlación de "f " vs Re para partículas esféricas y no esféricas. Es necesario ser muy cuidadoso con la elección de la forma de las partículas ya que no debe olvidarse la fuerte dependencia del arrastre con ella. Ejemplo 3. Obtenga la esfericidad de un cilindro de altura 1cm y 1 cm de diámetro. 1.- Cálculos Volumen del cilindro. A p V = π 4 2 H = 0.785(1)(1) = cm 3

10 1.2.- Área del cilindro. A = πh + 2 π 4 2 = = 4.71 cm Área de una esfera con superficie igual a la del cilindro = π 6 3 = cm Área de la esfera =4πR 2 = π 2 = π(1.143) 2 = 4.104cm Esfericidad. Ψ= = Resultado. La esfericidad es de Ejemplo 4. El agua de un río fluye alrededor de los pilotes cilíndricos de un puente. Los pilotes miden 0.4 m de diámetro y están sumergidos 3 m en el agua. Calcule la fuerza que ejerce la corriente sobre cada pilote cuando fluye a la velocidad de 3 m/s y a 15 C. 1.- Traducción. 2.- Planteamiento Fuerza. F = C Su 2 2gc ρ 3.- Cálculos Reynolds. A 15 C la densidad del agua es de aproximadamente 1000 kg / m3 Y la viscosidad de 1x 10-3 kg / m s. Por lo tanto el Reynols es Re= 1.2 x Coeficiente de arrastre. e la gráfica para cilindro el C es de 0.33

11 3.3.- Fuerza. S = 3X0.4 = 1.2 m 2. F = C Su 2 2gc ρ= (3) = kg 4.- Resultado. Se ejerce una fuerza de kilogramos fuerza sobre cada pilote. Otra fuente de error que puede aparecer en cálculos de sedimentación es que rara vez una partícula sedimenta sola, en la mayoría de los casos existen numerosas partículas que conducen a interferencia mutua en sus movimientos. Por ello, es necesario introducir factores de corrección que no serán discutidos en este curso. La gráfica tiene el problema de que si no se sabe el valor de la velocidad (u) se debe hacer tanteos. Por ello, se suelen emplear otras gráficas que eviten eso. Uno de los métodos aconsejables es el empleo de gráficas que utilizan los números de Arquímedes, Reynolds y Lyaschenko. Número de Arquímedes. Ar = (ρ s ρ f )g p 3 μ f 2 Número de Reynolds.

12 Re = u ρ f p μ f Número de Lyaschenko. u 3 2 ρ f Ly = μ f (ρ s ρ f )g Grafica

13 Ejemplo 5. Un tanque esférico de 6 m de diámetro está colocado en una fábrica. Si la temperatura, la presión y la velocidad del aire son de 20 C, 1 atm y 150 km/h, respectivamente. Cuál será la fuerza total que el viento ejerce sobre la esfera? 1.- Traducción. 2.- Planteamiento.

14 2.1 Fuerza F = C u 2 Sρ 2gc 3. Cálculos. 3.1 Reynolds A 20 C, μ= cps; ρ= kg / m Re = = Coeficiente de arrastre e la gráfica para cilindros (apéndice XLVIII): C = Fuerza S = π 2 = m F = ( ) = 452.7kg fuerza. 4.- Resultado. La fuerza que se ejercerá sobre la esfera es de kilogramos fuerza. Ejemplo 6. Se tienen partículas de arena de 2mm de diámetro y una densidad de 2200 kg /m 3. Si se sopla aire sobre ellas a 20 C y una atmósfera Cuál será la velocidad a la cual se empezarán a arrastrar las partículas? 1.- iscusión.

15 Este problema se resuelve a base de tanteos usando las gráficas del Reynols contra el factor de arrastre. También puede resolverse a través de las gráficas de Arquímedes contra Reynolds. 2.- Cálculos atos de las propiedades del aire Viscosidad = cps, densidad = kg /m Número de Arquímedes. Ar = p3 g (ρ s ρ) μ 2 = (0.002)3 ( ) 9.81 ( ) 2 = Número de Reynolds. e la gráfica Re = = u Resultado. u = 7.45 m s Las partículas de arena comenzaran a moverse cuando la velocidad del aire supere los 7.45 m/s. Ejercicios sugeridos de autoevaluación 1.- Calcule la velocidad terminal de unas partículas esféricas de café de 400 micras de diámetro, que caen a través de aire a 150 C. La densidad de las partículas es de 1030 kg /m 3. R.-la velocidad terminal será de 1.32 m /s. 2.-Calcule la fuerza ejercida por el viento sobre una columna de destilación de 50 pies de alto y 8 pies de diámetro cuando la velocidad del viento es de 40 mph. La temperatura del aire es de 20 C y está a la presión de una atmósfera.

16 R.- La fuerza ejercida es de kg fuerza. 3.- Una chimenea de 30 m de alto y 1.5 m de diámetro está sometida a un viento de 100 km /h. Calcule la fuerza que ejerce el viento sobre la chimenea si la temperatura es de 20 C y la presión barométrica de 750 mm de Hg. R.- El aire ejerce una fuerza de kg sobre la chimenea. 4.- Se dejan caer esferas de vidrio con una densidad de 2.62 g /cm 3 a través de tetracloruro de carbono con las siguientes propiedades: densidad 1590 kg /m 3, viscosidad de cups. Qué diámetro deberían tener las esferas para obtener una velocidad terminal de 0.65 m /s.? R.- Las esferas deberían tener un diámetro de m. 5.- Un cable eléctrico de alta tensión de 2.5 cm de diámetro está sometido a la acción del viento, cuya velocidad llega a ser de hasta 80 km/h a 20 C. etermine la fuerza que se ejercería sobre 200 m de cable. R.- la fuerza sería de 182 kg.