Capítulo 6. Fluidos reales

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1 Capítulo 6 Fluidos reales 1

2 Viscosidad El rozamiento en el movimiento de los fluidos se cuantifica a través del concepto de viscosidad, η, que se define como: F A = η v d El coeficiente de viscosidad tiene unidades de N s/m 2.

3 Ley de Poiseuille El caudal total que circula por un cilindro de radio R y longitud L sometido a una diferencia de presiones p 1 p 2 es: Q = p 1 p 2 L πr 4 8η La velocidad media v media del fluido vale: v media = p 1 p 2 L La velocidad máxima es doble que la media. R 2 8η

4 Uniones entre circuitos La presión y el caudal representan equivalen al potencial eléctrico y la intensidad de corriente en los circuitos eléctricos. La ley de Poiseuille es similar a la de Ohm (I = V/R): Q = p R f en donde R f es la resistencia al flujo, igual a: Unión en serie: R f = 8ηL πr 4. Q 1 = Q 2 y p = p 1 + p 2 La resistencia total es la suma de las resistencias de los conductos: Unión en paralelo: R f = R f,1 + R f,2. Q = Q 1 + Q 2 y p 1 = p 2 La inversa de la resistencia total es la suma de las inversas de las resistencias de los circuitos: 1 R f = 1 R f,1 + 1 R f,2.

5 Número de Reynolds El número de Reynolds Re es una magnitud adimensional definida como: Re = ρvd η Si tenemos dos conjuntos de parámetros diferentes, pero con el mismo número de Reynolds, decimos que sus movimientos son semejantes. Cuando Re < 2000, cualquier turbulencia que se origine decae, y lo hace tanto más rápido cuanto menor sea Re. Por el contrario, cuando Re > 2000, cualquier turbulencia que se produzca ya no decae.

6 Fuerzas de arrastre La fuerza de arrastre, la que produce un fluido a un objeto en su seno, es una combinación de la fuerza de inercia y de la de rozamiento. Para número de Reynolds bajos, domina la de rozamiento y para altos, la de inercia. La fuerza de arrastre podemos escribirla como: F a = ρv 2 D 2 f(re) en donde f(re) es una función del número de Reynolds. Para objetos grandes, la fuerza inercial es la dominante y definimos el coeficiente de arrastre como: siendo A el área del objeto. C D = F a 1 2 ρv2 A

7 Ley de Stokes Para los objetos muy pequeños domina la fuerza de rozamiento. La ley de Stokes nos da dicha fuerza para una esfera: en donde r es el radio de la esfera. F r = 6πηvr Cuando una disolución precipita, la velocidad de sedimentación está determinada por la ley de Stokes y vale: v = 2r2 (ρ 0 ρ) g. 9η

8 Circulación sanguínea La resistencia periférica total es el cociente entre la diferencia de presión a la salida y a la entrada del corazón y el caudal sanguíneo. Si un conducto de área A 1 se bifurca en n iguales, de área A 2, la caída de presión por unidad de longitud se mantiene constante si se verifica: A 1 = na 2. La potencia del corazón es el trabajo realizado en un latido W dividido por el intervalo de tiempo entre latidos: P = W t = p V t = p Q Esta expresión ha de ser evaluada separadamente para cada ventrículo.

9 Problema 6.1 Qué fuerza hay que ejercer sobre una superficie circular de 0.2 m de radio apoyada sobre una capa de sangre de 1 cm de grosor para que se mueva con una velocidad de 1 m/s?

10 Problema 6.2 Tenemos una manguera de 10 m de largo y 1 cm de diámetro conectada a un grifo con una presión de 2 atm. Calcula: (a) el caudal de agua que circula por ella, (b) la velocidad media del agua, (c) la velocidad máxima, (d) la resistencia al flujo de la manguera.

11 Problema 6.3 Para medir la viscosidad de un fluido utilizamos un conducto de 2 m de largo y 4 mm de radio. Si aplicamos una diferencia de presión de 10 mm de Hg entre los extremos del conducto, circula por él un caudal de 0,3 l/min. Cuál es el coeficiente de viscosidad del líquido?

12 Problema 6.4 Un depósito cilíndrico de 0.5 m de radio y 1.2 m de altura está lleno de agua y posee un orificio, en su parte inferior, conectado a un conducto de 0.2 m de longitud y 2 mm de radio. Determina la velocidad de salida del agua en función del tiempo, medida desde que se empieza a vaciar el depósito. (Desprecia la velocidad del agua en el interior del depósito.)

13 Problema 6.5 Un circuito está formado por dos conductos de y N s/m 5 de resistencia unidos en serie. La presión total sobre el circuito es de 3 atm. Qué caudal atraviesa el circuito? Cuál es la presión en el punto de unión de los dos conductos?

14 Problema 6.6 Unimos en paralelo seis conductos iguales de N s/m 5 de resistencia. El caudal que a traviesa cada uno de ellos es de 45 l/min. Cuál es el caudal total que atraviesa el circuito? Cuál es la diferencia de presiones entre los extremos del circuito?

15 Problema 6.7 Queremos instalar un goteo en una finca. La longitud del conducto principal ha de ser de 1800 m, y deseamos un caudal de 100 l/min cuando bombeamos con una presión de 3 atm. Qué radio interno ha de poseer el conducto principal?

16 Problema 6.8 Un conducto de 10 8 N s/m 5 de resistencia está unido en serie a otros dos unidos entre sí en paralelo. La resistencia de uno de estos es de N s/m 5. La presión total sobre el circuito es de 200 mm de Hg y el caudal que atraviesa el primer conducto es de 5.3 l/min. Encuentra: (a) la presión en el punto de unión de los circuitos, (b) la resistencia desconocida, (c) el caudal a través del conducto de resistencia desconocida.

17 Problema 6.9 La resistencia al flujo de un vaso aumenta un 10 % porque en algunos tramos la sección se ha reducido a la mitad. En qué porcentaje de la longitud del vaso hay obstrucciones?

18 Problema 6.10 Encuentra la relación entre el número de Reynolds de un objeto que se mueve con igual velocidad en el aire y en el agua.

19 Problema 6.11 Estima aproximadamente el número de Reynolds de: (a) un nadador capaz de hacer 100 m en 52 s, (b) un atleta que recorre 100 m en 10 s, (c) un submarino de 3 m de radio viajando a 36 km/h, (d) un avión de 3 m de radio volando a 900 km/h, (e) una partícula de una micra de diámetro que se desplaza en el agua a 0.01 m/s.

20 Problema 6.12 Para qué caudal se volvería turbulento un flujo de agua en una tubería de 1 cm de diámetro?

21 Problema 6.13 Una aorta posee una sección de 4 cm 2. A qué velocidad comenzará a hacerse turbulento el flujo sanguíneo? Cuál será entonces el caudal?

22 Problema 6.14 Un automóvil de 1000 kg de masa posee un coeficiente de arrastre de 0.32 y su área frontal es de 2 m 2. Calcula: (a) la fuerza de arrastre que experimenta cuando va a 100 km/h, (b) la potencia que necesita para poder viajar a 180 km/h en una carretera horizontal, (c) lo mismo, pero para una carretera con un 2 % de pendiente.

23 Problema 6.15 Con qué velocidad se sumergirá en el agua un objeto esférico de 1.2 kg/l de densidad y 0.8 cm de diámetro?

24 Problema 6.16 Una muestra de sangre posee una velocidad de sedimentación 4 veces superior a la normal debido a que los glóbulos rojos se han unido parcialmente entre sí. Si suponemos que en el caso normal éstos no están unidos en absoluto, cuántos glóbulos rojos se agregan en media formando nuevas partículas efectivas en la muestra considerada?

25 Problema 6.17 En una arteriola de 20 cm de longitud la presión sanguínea cae 18 mm de Hg. Por ella circula un caudal de 0.1 l/min. Cuál es el radio de la arteriola?

26 Problema 6.18 Supongamos que la caída de presión por unidad de longitud es constante en el cuerpo humano, debido a la forma de bifurcarse los vasos. Si el área total de los capilares es 500 veces mayor que la de la aorta, determina: (a) el número de capilares, (b) la sección de cada uno de ellos, sabiendo que la de la aorta es de 3 cm 2, (c) la velocidad de la sangre en los capilares, teniendo en cuenta que el caudal total es de 5 l/min.

27 Problema 6.19 Un corazón bombea 0.08 l de sangre, 60 veces por minuto, con una presión media de 110 mm de Hg. La aorta correspondiente posee un radio de 1.2 cm. Calcula: (a) el caudal sanguíneo, (b) la potencia que ejerce el ventrículo izquierdo, (c) la velocidad de la sangre en la aorta, (d) la resistencia al flujo del sistema circulatorio, (e) la longitud que debería tener un conducto de 1 cm de diámetro para que su resistencia al flujo coincidiera con la del sistema circulatorio.

28 Problema 6.20 Supongamos un modelo de sistema circulatorio en el que cada vaso se bifurca cada x centímetros en dos iguales, cuyas secciones son igual a la del anterior dividida por 2. Despúes de 15 niveles de división, comienza un proceso inverso de unión. La aorta posee un radio de 0.5 cm, el caudal es de 5 l/min y la presión cardíaca es de 100 mm de Hg. Calcula el valor de x.

29 6.1 Qué fuerza hay que ejercer sobre una superficie circular de 0.2 m de radio apoyada sobre una capa de sangre de 1 cm de grosor para que se mueva con una velocidad de 1 m/s? La ecuación que nos da la fuerza de fricción, debida a la viscosidad, es: F = η v d A = π 0.22 = 0.05 N.

30 6.2 Tenemos una manguera de 10 m de largo y 1 cm de diámetro conectada a un grifo con una presión de 2 atm. Calcula: (a) el caudal de agua que circula por ella, (b) la velocidad media del agua, (c) la velocidad máxima, (d) la resistencia al flujo de la manguera. (a) La ley de Poiseuille nos da el caudal que atraviesa la manguera: Q = p 1 p 2 L πr 4 8η = π = m3 /s. (b) La velocidad media es el caudal dividido por la sección: v = Q A = = 63.7 m/s. π (c) La velocidad máxima es doble que la media: v max = 2v = = 127 m/s. (d) La resistencia al flujo de la manguera es: R f = 8Lη = = N s/m 5. πr4 π

31 6.3 Para medir la viscosidad de un fluido utilizamos un conducto de 2 m de largo y 4 mm de radio. Si aplicamos una diferencia de presión de 10 mm de Hg entre los extremos del conducto, circula por él un caudal de 0,3 l/min. Cuál es el coeficiente de viscosidad del líquido? Podemos despejar el coeficiente de viscosidad de la ley de Poiseuille: η = p 1 p 2 L πr 4 8Q = π = N s/m2.

32 6.4 Un depósito cilíndrico de 0.5 m de radio y 1.2 m de altura está lleno de agua y posee un orificio, en su parte inferior, conectado a un conducto de 0.2 m de longitud y 2 mm de radio. Determina la velocidad de salida del agua en función del tiempo, medida desde que se empieza a vaciar el depósito. (Desprecia la velocidad del agua en el interior del depósito.) Para obtener la velocidad de salida, hemos de calcular primero el caudal a través de la ley de Poiseuille. Como la diferencia de presiones en el conducto de salida es igual a la presión hidrostática del agua del depósito, ρgh, tenemos que el caudal vale: Q = ρgh πr 4 L 8η. La altura del agua depende, a su vez, del caudal que sale: h = h 0 Q S t en donde S es el área de la base del depósito. Eliminando h de ambas ecuaciones tenemos: 8Lη ρgπr 4Q = h 0 Q S t = Q = h 0 8Lη ρgπr + t. 4 S Y la velocidad media vendrá dada por: v = Q A = Sh 0 πr 2 8LηS ρgπr 4 + t = t = t m/s.

33 6.5 Un circuito está formado por dos conductos de y N s/m 5 de resistencia unidos en serie. La presión total sobre el circuito es de 3 atm. Qué caudal atraviesa el circuito? Cuál es la presión en el punto de unión de los dos conductos? Al estar los conductos unidos en serie, su resistencia total es la suma de las resistencias, Ns/m 5, y el caudal es entonces: Q = p R f = = m 3 /s. Suponemos que el circuito con una resistencia de Ns/m 5 es el primero. La presión p A en el punto de unión es: p A = QR f = = N/m 2.

34 6.6 Unimos en paralelo seis conductos iguales de N s/m 5 de resistencia. El caudal que a traviesa cada uno de ellos es de 45 l/min. Cuál es el caudal total que atraviesa el circuito? Cuál es la diferencia de presiones entre los extremos del circuito? El caudal total es seis veces el caudal a través de uno de los circuitos: La diferencia de presiones es: Q T = 6Q = 6 45 = 270 l/min. p = QR f = = N/m 2.

35 6.7 Queremos instalar un goteo en una finca. La longitud del conducto principal ha de ser de 1800 m, y deseamos un caudal de 100 l/min cuando bombeamos con una presión de 3 atm. Qué radio interno ha de poseer el conducto principal? Despejamos el radio del conducto a partir de la ecuación de Poiseuille: R = ( 8ηLQ )1/4 = p π ( ) /4 = m π 60

36 6.8 Un conducto de 10 8 N s/m 5 de resistencia está unido en serie a otros dos unidos entre sí en paralelo. La resistencia de uno de estos es de N s/m 5. La presión total sobre el circuito es de 200 mm de Hg y el caudal que atraviesa el primer conducto es de 5.3 l/min. Encuentra: (a) la presión en el punto de unión de los circuitos, (b) la resistencia desconocida, (c) el caudal a través del conducto de resistencia desconocida. (a) Para encontrar la presión en el punto de unión de los dos circuitos, aplicamos la ley de Poiseuille al primer conducto: y despejamos: Q = p p a R 1 p A = p QR 1 = = N/m2. (b) La resistencia total del circuito ha de ser: R T = p = = N s/m 5. Q 5 3 La resistencia del conjunto formado por los dos conductos en paralelo es: R 23 = R T R 1 = = N s/m 5. Por tanto, la resistencia desconocida vale: 1 1 R 3 = 1 1 = 1 R 23 R = N s/m (c) El caudal que se nos pide es: Q = p A R 3 = = m 3 /s.

37 6.9 La resistencia al flujo de un vaso aumenta un 10 % porque en algunos tramos la sección se ha reducido a la mitad. En qué porcentaje de la longitud del vaso hay obstrucciones? La resistencia de un conducto es proporcional a la longitud e inversamente proporcional a R 4. Llamemos α al porcentaje de la longitud en que hay obstrucciones. La nueva resistencia es: ( R f = 1.1R f = 1 α ) R f + α R f o sea: De aquí dspejamos α: 0.1 = α (16 1). 100 α = = 0.67 %.

38 6.10 Encuentra la relación entre el número de Reynolds de un objeto que se mueve con igual velocidad en el aire y en el agua. La relación entre los números de Reynolds en el aire Re 1 y en el agua Re 2 es: Re 1 = ρ 1vDη = Re 2 η 1 ρ 2 vd = 1 15 = Hemos tomado la densidad del aire a 20 C.

39 6.11 Estima aproximadamente el número de Reynolds de: (a) un nadador capaz de hacer 100 m en 52 s, (b) un atleta que recorre 100 m en 10 s, (c) un submarino de 3 m de radio viajando a 36 km/h, (d) un avión de 3 m de radio volando a 900 km/h, (e) una partícula de una micra de diámetro que se desplaza en el agua a 0.01 m/s. (a) El número de Reynolds del nadador es: Re = ρvd η = = ρ y η corresponden al agua, y hemos supuesto un diámetro de 0.3 m. (b) El número de Reynolds del atleta es aproximadamente: Re = ρvd η = = ρ y η corresponden al aire, y hemos supuesto un diámetro de 0.6 m. (c) Para el submarino tenemos: Re = ρvd = η = (d) Para el avión: Re = ρvd η = = 108. (e) El número de Reynolds de la partícula es: Re = ρvd η = = 0.01.

40 6.12 Para qué caudal se volvería turbulento un flujo de agua en una tubería de 1 cm de diámetro? La velocidad a la que se volvería turbulento el flujo es: v = η Re ρd = = 20 m/s. Hemos supuesto que el valor crítico del número de Reynolds es El caudal correspondiente a esa velocidad vale: Q = va = vπr 2 = 20 π = m 3 /s.

41 6.13 Una aorta posee una sección de 4 cm 2. A qué velocidad comenzará a hacerse turbulento el flujo sanguíneo? Cuál será entonces el caudal? La velocidad crítica, por encima de la cual el flujo se hace turbulento, en la aorta será: v = η Re ρd = ( ) /2 = 0.34 m/s π El caudal correspondiente a esa velocidad vale: Q = va = = m 3 /s.

42 6.14 Un automóvil de 1000 kg de masa posee un coeficiente de arrastre de 0.32 y su área frontal es de 2 m 2. Calcula: (a) la fuerza de arrastre que experimenta cuando va a 100 km/h, (b) la potencia que necesita para poder viajar a 180 km/h en una carretera horizontal, (c) lo mismo, pero para una carretera con un 2 % de pendiente. (a) La fuerza de arrastre que experimenta el automóvil es: ( ) F = 1 2 ρv2 AC D = = 296 N. 3.6 (b) La potencia necesaria para vencer la fuerza de arrastre vale: P = F v = 1 2 ( ) = W. (c) En este caso, en que hay una pendiente, hemos de añadir a la potencia anterior la necesaria para vencer la gravedad: P = P + mgh t = P + = mgl sen α t 0.02 = W. Hemos tenido en cuenta que sen(arctan 0.02) 0.02.

43 6.15 Con qué velocidad se sumergirá en el agua un objeto esférico de 1.2 kg/l de densidad y 0.8 cm de diámetro? La fuerza de rozamiento que ejerce el agua sobre el objeto viene dada por la ley de Stoke. La velocidad de caída se consigue cuando dicha fuerza es igual al peso del objeto menos el empuje del agua: v = 2 9η r2 g(ρ o ρ a ) 2 = (1.2 1)1000 = 70 m/s.

44 6.16 Una muestra de sangre posee una velocidad de sedimentación 4 veces superior a la normal debido a que los glóbulos rojos se han unido parcialmente entre sí. Si suponemos que en el caso normal éstos no están unidos en absoluto, cuántos glóbulos rojos se agregan en media formando nuevas partículas efectivas en la muestra considerada? La velocidad de sedimentación se obtiene igualando la fuerza de roxamiento al peso del objeto menos el empuje del agua. Como dicha velocidad de sedimentación es proporcional al radio al cuadrado, tenemos: v v = r 2 r 2 = 4 = r = 2r. La relación entre el volumen de uno de los nuevos agregados de partículas y el de la partícula original es: V V = r 3 r 3 = 8. Luego cada nueva partícula es el agregado de 8 glóbulos rojos.

45 6.17 En una arteriola de 20 cm de longitud la presión sanguínea cae 18 mm de Hg. Por ella circula un caudal de 0.1 l/min. Cuál es el radio de la arteriola? Aplicamos la ley de Poiseuille a la arteriola y despejamos el radio: R = QL8η (p 1 p 2 )π 1/4 = π 1/4 = m.

46 6.18 Supongamos que la caída de presión por unidad de longitud es constante en el cuerpo humano, debido a la forma de bifurcarse los vasos. Si el área total de los capilares es 500 veces mayor que la de la aorta, determina: (a) el número de capilares, (b) la sección de cada uno de ellos, sabiendo que la de la aorta es de 3 cm 2, (c) la velocidad de la sangre en los capilares, teniendo en cuenta que el caudal total es de 5 l/min. (a) Si la caída de presión por unidad de longitud es constante, el área total de n vasos es igual a n por el área del vaso original. Por tanto: n = 500 = n = = (b) La sección de un capilar es el área de la aorta dividida por n: A c = A a n = = cm2. (c) La velocidad de la sangre en la aorta es: v a = Q A a = = 0.28 m/s. La ecuación de continuidad nos permite determinar la velocidad de la sangre en los capilares: v c = Q A c = v a 500 = m/s.

47 6.19 Un corazón bombea 0.08 l de sangre, 60 veces por minuto, con una presión media de 110 mm de Hg. La aorta correspondiente posee un radio de 1.2 cm. Calcula: (a) el caudal sanguíneo, (b) la potencia que ejerce el ventrículo izquierdo, (c) la velocidad de la sangre en la aorta, (d) la resistencia al flujo del sistema circulatorio, (e) la longitud que debería tener un conducto de 1 cm de diámetro para que su resistencia al flujo coincidiera con la del sistema circulatorio. (a) El caudal sanguíneo es el volumen bombeado en cada latido dividido por el período entre latidos: Q = V = T = m3 /s = 4.8 l/min. (b) La potencia es igual al caudal por la presión: P = Qp = = 1.17 W. (c) La velocidad es igual al caudal dividido por la sección: v = Q πr = = 0.18 m/s. 2 π (d) La resistencia al flujo es igual a la diferencia de presiones dividida por el caudal: R f = p 1 p 2 Q = = N s/m 5. (e) Esta longitud efectiva la obtenemos despejando en la expresión de la resistencia al flujo: L = πr4 R f 8η = π = 11 m.

48 6.20 Supongamos un modelo de sistema circulatorio en el que cada vaso se bifurca cada x centímetros en dos iguales, cuyas secciones son igual a la del anterior dividida por 2. Despúes de 15 niveles de división, comienza un proceso inverso de unión. La aorta posee un radio de 0.5 cm, el caudal es de 5 l/min y la presión cardíaca es de 100 mm de Hg. Calcula el valor de x. Las divisiones son tales que la caída de presión por unidad de longitud se mantiene constante. La resistencia al flujo es la misma que tendría un único conducto inicial pero con la longitud total: R f = 8ηx πr4( ) = p 1 p 2 Q Despejando x obtenemos: = x = π = N s/m 5. = 0.32 m.

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