Derivación abreviada de la ecuación omega cuasigeostrófica y la ecuación tendencia de altura cuasigeostrófica. Meteorología sinóptica

Transcripción

1 Derivación abreviada de la ecuación omea cuasieostrófica y la ecuación tendencia de altura cuasieostrófica Meteoroloía sinóptica 1 Empezar con las ecuaciones básicas que obiernan movimiento de fluidos (Navier-Stokes): u u u u u v fv t x y p x v v v v u v fu t x y p y (1) (2) Donde los variables y constantes son definidos así: u componente de velocidad este-oeste v componente de velocidad norte-sur componente de velocidad vertical en coordinados de presión dp p z w dt z t w componente de velocidad vertical (en coordinados cartesianas) ravedad, un constante densidad de aire altura eopotencial, z f componente de Coriolis, f 2 sin - velocidad anular de la Tierra, 729 x 1-5 s -1, un constante El viento horizontal vectorial puede ser escrito así, V u iˆ v ˆj, y el radiente de Coriolis así f y Suponiendo unas restricciones (número de Rossby pequeño, flujo adiabático y sin fricción, estabilidad estática horizontal y uniforme, y fluido en balance hidrostático), las ecuaciones (1) y (2) se convierten a: u u u u v fva yv t x y v v v u v fua yu t x y (3) (4) donde el subíndice indica componente de viento eostrófico, a indica el componente aeostrófico, f es el componente de Coriolis (un constante), y el cambio en Coriolis con latitud 1

2 Tomar una derivada cruz y restar así, ecuación 4 ecuación 3 x y, para obtener: V f f t p (5) v u donde es la vorticidad relativa eostrófica Recuerdan, si, la vorticidad relativa x y es positiva, que para el hemisferio norte, sinifica que el iro es ciclónico y en el sentido de las manecillas del reloj (y para el hemisferio sur, el iro es anticiclónico y todavía en el sentido de las manecillas del reloj) Recordamos (lección #6) que vorticidad relativa es una función de la altura y la eopotencial, 1 Z f f Ahora, irar a la ecuación de enería termodinámica: DT Dt p R donde T es temperatura, p presión, R el constante de un as atmosférico 287 J k -1 K -1, y el RT d ln parámetro estabilidad estática, donde es la temperatura potencial del aire p dp Expandiendo la derivada material nos da: p V T t R La ecuación de estado de aire, p RT, se escribe así: 1 RT p p El balance hidrostático,, puede ser escrita de p z y lueo combinada con la z 1 eopotencial para dar: p Reordenando, le queda así: p En la ecuación de enería termodinámica, divide por p/r para sacar RT V t p 2

3 Dado que RT p, la ecuación de enería termodinámica se convierte a V p t p Distribuir el operador a p para obtener V t p p Reordenar el orden de derivación parcial en el primer término a la izquierda para tener: V p t p Ahora, definir un nuevo variable, llamado tendencia de altura : termodinámica ahora es: La ecuación de enería t V p p (6) Retornar a la ecuación (5), V f f t p Sustituir 1 2 para obtener f 2 V f f Reordenar las derivadas, multiplicar ambos lados de la ecuación t f p por f, y sustituir por la tendencia de altura: f V f f p (7) Eliminar entre las ecuaciones (6) y (7) para obtener la ecuación omea cuasieostrófica 2 f f R 2 p 2 V p f p V pt p p p A B C 3

4 Los términos en la ecuación omea cuasieostrófica son las siuientes: 2 f f R 2 p 2 V p f p V pt p p p A B Término A: El término de la izquierda es muy parecido al laplaciano tridimensional de omea Es común suponer un modo de movimiento vertical predominante sinusoidal: se aproxima a cero tanto en la superficie como en la tropopausa y alcanza un valor máximo/mínimo en la troposfera media En estas circunstancias, el operador diferencial del término de la izquierda se comporta cualitativamente como un sino menos, y actúa que el omea tiene un sino opuesto a los términos de la derecha C Término B: El primer término de la derecha representa la advección diferencial de la vorticidad absoluta Nota que la derivada,, está en presión p (y no z) Esto sinifica que, para una parcela de p aire que sube de 1 mb a 5 mb, el denominador p tiene un sino neativo Término C: El seundo término de la derecha es proporcional al laplaciano horizontal de la advección horizontal de la temperatura Interpretación de la ecuación omea cuasieostrófica Es muy importante notar el sino de omea y los sinos de los términos forzantes (B y C) Dos principios principales son: 1 Advección de vorticidad diferencial que se aumenta con altura (ed, a 5 mb hay más advección positiva de vorticidad absoluta que hay a 7 mb) produce ascenso entre los dos niveles (7 y 5 mb, en este ejemplo) 2 Advección de aire cálido a un cierto nivel (85 mb, por ejemplo) produce ascenso a ese nivel Es imperativo que tú sabes cómo demonstrar estos dos principios principales usando los términos en la ecuación omea cuasieostrófica Nota que ambos términos, B y C, empiezan con sinos neativos y también cuentan con derivadas 4

5 Más sobre la ecuación omea cuasieostrofica Es importante señalar que la ecuación omea es solamente para usos dianósticos La ecuación revela la distribución de omea a la hora de un análisis de altura eopotencial específico Sin embaro, la ausencia de derivadas temporales sinifica que no puede predecir el movimiento vertical en el futuro Esta herramienta evalúa el campo de omea asociado con un modelo simple de dos niveles de la troposfera La distribución de la altura en el nivel de 1 hpa, que se especifica, es sinusoidal en los ejes x e y Esto representa un tren de ondas ideal de sistemas circulares de altas y bajas presiones con una lonitud de onda de 4 km La distribución térmica se representa mediante el espesor de la capa de 1-5 hpa, en la cual se supone que la dirección de las isotermas sea constante con la altura El usuario puede especificar un patrón de espesor zonal o un patrón de espesor sinusoidal cuya posición respecto del patrón de 1 hpa se puede cambiar La distribución de la altura en 5 hpa viene determinada por la altura en 1 hpa y por el espesor de la capa de 1-5 hpa La distribución de omea se presenta para el nivel de 5 hpa Estos niveles se escoieron para que el pronosticador pudiera conceptualizar las distribuciones reales de omea después de una revisión rápida de las cartas de pmnm y espesor o de altura eopotencial y temperatura en 5 hpa La distribución de omea cambia en función del desplazamiento en 1 hpa y de los campos de espesor eleidos por el usuario El impacto de cada uno de los términos de forzamiento del lado derecho de la ecuación se puede visualizar individualmente y cada uno se puede superponer de forma independiente para evaluar su contribución al movimiento vertical total La herramienta de aprendizaje supone que tanto la altura en 5 hpa como patrón de espesor de la capa de 1-5 hpa se comportan como ondas sinusoidales El patrón de omea se intensifica o se debilita de acuerdo con la relación de fase que se establezca entre la altura en 5 hpa y el patrón de espesor de la capa de 1-5 hpa (Fuente: 5

6 Derivar la ecuación tendencia de altura cuasieostrófica: Eliminar entre las ecuaciones (6) y (7) resulta en la ecuación tendencia de altura cuasieostrofica: 2 2 f f R p 2 f V p f V pt p p p A B C Los términos en la ecuación tendencia de altura CG son: Término A: Como en la ecuación omea, El término de la izquierda es muy parecido al laplaciano tridimensional de omea Es común suponer un modo de movimiento vertical predominante sinusoidal: se aproxima a cero tanto en la superficie como en la tropopausa y alcanza un valor máximo/mínimo en la troposfera media En estas circunstancias, el operador diferencial del término de la izquierda se comporta cualitativamente como un sino menos, y actúa que el omea tiene un sino opuesto a los términos de la derecha Término B: Advección de vorticidad absoluta eostrófica Nota: esta advección es solo a un nivel (no como en la ecuación omea, donde era una diferencial entre dos niveles) Entonces, si haya advección de vorticitidad positiva a 5 mb, entonces el sino de chi sería neativa, entonces alturas caerán a esa locación Término C: Advección de temperatura diferencial Nota que aquí si hay presencia de la derivada p, lo cual implica que se debe examinar ese término en la vertical Interpretación de la ecuación tendencia de altura cuasieostrofica Es muy importante tomar en cuenta el sino de chi y el sino de cada uno de los términos forzantes de la derecha Dos principios principales son: 1 Advección ciclónica (positive) de vorticidad absoluta eostrófica a 5 mb (término B positivo) produce una reducción en alturas a ese nivel (chi sería neativo) 2 Advección de aire cálida centralizada (maximizada) a 7 mb Entonces, entre 85 mb a 7 mb, R V T p es neativa y Término C es positivo Entre 7 mb a 5 mb, p p R V T p es positivo y Término C es neativo Entonces, advección de aire cálida a p p 7 mb, alturas eopotenciales se caen entre 85 mb y 7 mb (chi neativo) y alturas eopotenciales entre 7 mb y 5 mb se suben (chi positivo) En el caso de advección de aire frio centralizada (maximizada) a 7 mb, todo sería el opuesto: alturas en la parte inferior se subirían y alturas en la parte superior se caerían 6