Fundamentos Astrométricos

Transcripción

1 Fundamentos Astrométricos IV Escuela Venezolana de Astronomía Katherine Vieira - CIDA 1

2 Contenido Esfera Celeste Coordenadas horizontales Coordenadas ecuatoriales Transformación entre sistemas de coordenadas Rotación y Traslación de la Tierra Precesión y Nutación Medición del Tiempo Tiempo sidéreo, solar, universal, legal, atómico Día juliano Catálogos astrométricos y sistemas de referencia celestes International Celestial Reference System (ICRS) Sistemas de referencia en el óptico y en radio Catálogos astrométricos de referencia Movimientos propios Esfera terrestre Coordenadas topocéntricas Coordenadas geocéntricas Modelos de representación terrestre Coordenadas geodésicas Herramientas matemáticas Estadística básica Propagación de errores Mínimos cuadrados lineales Mínimos cuadrados no lineales 2

3 Astrometría Proveemos los sistemas de referencia en astronomía para la medición de Posiciones Distancias Movimientos propios en todas las longitudes de onda 3

4 Esfera Celeste 4

5 Visión estereoscópica Ilusión de Ponzo 5

6 6

7 Orientación primaria 7

8 8

9 9

10 10

11 11

12 12

13 PNC PSC 13

14 PNC PSC 14

15 15

16 16

17 17

18 18

19 Puntos básicos respecto al observador 19

20 Sistema de referencia Centro Círculo fundamental Punto cero Orientación 20

21 Sistemas de Coordenadas Coordenadas Horizontales Centro = Observador Circulo Fundamental = Horizonte Punto cero = Sur Acimut = A, de 0 o a 360 o Altura = h, de -90 o a +90 o 21

22 Ascención Recta = α, de 0 h a 24 h Declinación = δ, de -90 o a +90 o Sistemas de Coordenadas ϒ Coordenadas Ecuatoriales Centro = Observador Circulo Fundamental = Ecuador Celeste Punto cero = Punto Vernal ϒ 22

23 Tiempo Sidéreo = AR del meridiano local Ángulo Horario ( ): H = TS - α TS = H + α AH = TS - AR 23

24 Transformación de coordenadas Trigonometría esférica Coordenadas horizontales (A,h) Coordenadas ecuatoriales horarias (H,δ) / absolutas (α,δ) Latitud del lugar ϕ Para ϕ>0 24

25 Movimiento anual de la Tierra 25

26 Movimiento anual de la Tierra 26

27 Eclíptica Proyección del plano orbital terrestre sobre la esfera celeste DEC AR 27

28 El tiempo y su medida El tiempo es una magnitud física con la que medimos la duración o separación de acontecimientos, sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación 28

29 Movimientos de la Tierra = Calendarios Regularidad de los movimientos de la Tierra como reloj Rotación Traslación Precesión Nutación 29

30 Rotación = 23h 56m 4s Día solar vs. día sidéreo 30

31 Día solar = Tiempo transcurrido entre dos tránsitos del Sol por el meridiano local Día sidéreo = Tiempo transcurrido entre dos tránsitos del punto Aries por el meridiano local Tiempo solar : 24 horas = dos tránsitos del Sol por el meridiano local Tiempo sidéreo : 24h corresponden a dos tránsitos de una estrella Tiempo atómico = 1 segundo atómico = periodos de la transicion entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del Cesio

32 Sol medio = Sol que se mueve por el Ecuador a velocidad constante Tiempo medio = Dia de 24 horas con Sol medio, empieza y termina con tránsito del Sol por el meridiano local Tiempo civil = TM +12h GMT = Greenwich Meridian Time = Tiempo civil en Greenwich Tiempo universal = TU = GMT Zonas horarias = Asignación de la hora local según ubicación geográfica Tiempo legal = Tiempo legalmente asignado a una región HLV = Hora Legal Venezolana = GMT - 04:30 32

33 33

34 Hablando de la duración del día 34

35 Husos horarios 35

36 Hora solar - horal legal 36

37 Años bisiestos (bis-sextus) Traslación 365,24219 días Años bisiestos: Divisibles entre (4 x ) = días (excedidos) cada 4 años Excepto los divisibles entre 100, que no son bisiestos. De los posibles 25 años divisibles entre 4 que hay en un siglo, el último no es bisiesto: ( 24 x ) - 1 = días (faltantes) cada 100 años A menos que sean divisible entre 400, en cuyo caso sí es bisiesto. De los posibles 4 finales de siglo que hay en 400 años, uno sí es bisiesto: ( 3 x ) + 1 = días (excedidos) cada 400 años El calendario maya es más preciso Error por siglo 18h 45m 6h 1h 30m 27m 37

38 Día juliano Propuesto por Joseph Justus Scaliger en = 12.0 GMT del ac Se cuenta a partir de entonces sin interrupción Cualquier instante tiene un valor de día juliano y fracción HLV=07:30 (GMT=03:00) = 2,456, MJD = Modified Julian Date = JD - 2,400, HLV=07:30 (GMT=03:00) = 56,

39 Precesión El Punto Vernal ϒ se mueve El Sol alcanza ϒ en menos de un año sidéreo Las estaciones se adelantan (preceden) 39

40 40

41 Traslación Año trópico = 365,24219 días Año sidéreo = 365,2564 días 41

42 Precesión Rotación del eje terrestre alrededor del eje de la Eclíptica Hiparcos compara coordenadas eclípticas de α Virgo: λ aumenta 36 /año Copérnico describe movimiento con cono de apertura ε Newton explica la causa Atracción gravitatoria del Sol, de la Luna y de los planetas del Sistema Solar, sobre el abultamiento ecuatorial de la Tierra Mediciones modernas indican tasa de aumento en λ de ~50 /año ε=23 o y un período de aproximadamente 26 mil años 42

43 Ecuador medio Ecuador celeste en un determinado instante considerando los efectos de la precesión. Equinoccio medio Intersección de la Eclíptica con el Ecuador medio de un instante dado. Coordenadas ecuatoriales medias Coordenadas (α,δ) medidas respecto al Ecuador y el Equinoccio medios de un instante dado. 43

44 Nutación Oscilación periódica del eje terrestre alrededor del polo medio, provocada por la precesión de los nodos orbitales de la Luna, y que tiene un período de 18,66 años 44

45 45

46 Ecuador verdadero Ecuador celeste en un determinado instante considerando los efectos de la precesión y la nutación Equinoccio verdadero Intersección de la Eclíptica con el Ecuador verdadero de un instante dado. Coordenadas ecuatoriales/eclípticas verdaderas Coordenadas (α,δ)/(λ,β) medidas respecto al Ecuador y el Equinoccio verdaderos de un instante dado. 46

47 Catálogos Astrométricos y Sistemas de Referencia Celeste 47

48 Sistemas y marcos de referencia Un sistema de referencia es la especificación completa de cómo se construye un sistema de coordenadas. Define su orígen y plano (o ejes) fundamental(es). También especifica todas las constantes, modelos y algoritmos usados para transformar los observables en coordenadas conformes al sistema. Un marco de referencia consiste en un conjunto de puntos de confianza identificables sobre el cielo con coordenadas que sirven como realización práctica o materialización del sistema de referencia. 48

49 ICRS International Celestial Reference System Ecuador Celeste Medio Intersección con la Eclíptica Orientación derecha 49

50 ICRF ICRF = International Celestial Reference Frame Mantenido por el IERS (International Earth Rotation Service) Basado en mediciones radiointerferométricas con línea de larga base (VLBI), de quasares a distancias cósmicas ICRF1 Realización más precisa del ICRS hasta 2009 Construído con 608 fuentes, 212 de ellas definitorias Estabilidad de los ejes (Certidumbre) = 20 μas Incertidumbre individual (Precisión) = 500 μas 50

51 ICRF ICRF2 Realización más precisa actualmente disponible del Construído con 3414 fuentes, 295 de ellas definitorias Estabilidad de los ejes (Certidumbre) = 10 μas Incertidumbre individual (Precisión) = 100 μas ICRF3... pronto en sus salas de cine Para 2018 Más fuentes en el hemisferio sur Estabilidad de los ejes (Certidumbre) = 5-7 μas Incertidumbre individual (Precisión) = μas 51

52 Catálogos astrométricos Coordenadas (α,δ) para un época fija, e.g Movimientos propios Época media por estrella Error en posición en época media Error del movimiento propio Incertidumbre del catálogo (error del sistema de referencia) 52

53 Tycho-2 época =

54 LOS MÁS PRECISOS Catálogo N Área Dens Vc σ μ (r/a) [mas/yr] Material / Notas Hipparcos 118K todo el cielo satélite astrométrico Tycho2 2.5M todo el cielo Hipparcos + catálogos terrestres 54

55 SONDEOS ASTROGRÁFICOS Catálogo N Área Dens Vc σ μ (r/a) [mas/yr] Material / Notas UCAC4 (1,2,3) 113M todo el cielo 2K 16.5 ~3 ~3 CCD + placas + catálogos terrestres NPM2 (1) 0.4M δ> ~5 ~1 placas con rejillas de dispersión en lente objetivo SPM4 (1,2,3) 103M δ< K ~1 placas + CCD con rejillas de dispersión en lente objetivo Pul-3 (1,2) 59K -5 <δ<85 3 < placas fotográficas 55

56 SONDEOS TELESCOPIOS SCHMIDT Catálogo N Área Dens Vc σ μ (r/a) [mas/yr] Material / Notas USNO B1 1046M todo el cielo 25K ~21 ~5? POSS1, POSS2, ESO, AAO, SERC GSC M todo el cielo 23K ~ ~ 8 POSS1, POSS2, ESO, AAO, SERC Super COSMOS >1000M δ<+3 46K ~ < 1? POSS1, POSS2, UKST, ESO 56

57 COMBINANDO OTROS SONDEOS Catálogo N Área Dens Vc σ μ (r/a) [mas/yr] Material / Notas SDSS-USNOB1 ~8M ~2,000 gc 3.8K < 0.5? SDSS - USNOB1 XPM 280M todo el cielo ~7K MASS - USNOA2 PPMXL 900M todo el cielo 22K ? 2MASS - USNOB1 57

58 Certidumbre/Profundidad más certeros Hipparcos Tycho-2 UCAC4 NPM2/SPM4 USNOB-1 menos certeros SuperCOSMOS menos profundos menos densos más profundos más densos 58

59 Movimiento Propio Desplazamiento sobre la esfera celeste de un objeto astronómico, producto del campo gravitatorio al que está sometido. En las estrellas, usualmente de unos pocos a varias decenas de milisegundos de arco por año (msa/año) Movimiento propio de la Osa Mayor 59

60 Estrella de Barnard 60

61 61

62 µ α = α t µ δ = δ t PNC µ = (µ cos δ) 2 + µ 2 ϒ. μ > μ V t [km/s] = 4.74 µ[msa/ano] ~ d[kpc] 62

63 Diagrama Punto-Vector µδ[msa/ano] ~ Útiles en áreas pequeñas donde se sospecha la presencia de una población que se mueve coherentemente en relación a otra de fondo. µ α cos δ[msa/ano] ~ Platais et al. AJ 126: 2922 (2003) 63

64 Girard et al. AJ 142: 15 (2011) Campo de 30 x 30 64

65 Contenido Esfera Celeste Coordenadas horizontales Coordenadas ecuatoriales Transformación entre sistemas de coordenadas Rotación y Traslación de la Tierra Movimiento del polo Precesión y Nutación Medición del Tiempo Tiempo sidéreo, verdadero, universal, legal, atómico Día juliano Catálogos astrométricos y sistemas de referencia celestes International Celestial Reference System (ICRS) Sistemas de referencia en el óptico y en radio Catálogos astrométricos de referencia Movimientos propios Esfera terrestre Coordenadas topocéntricas Coordenadas geocéntricas Modelos de representación terrestre Coordenadas geodésicas Herramientas matemáticas Estadística básica Mínimos cuadrados lineales Propagación de errores 65

66 Esfera terrestre Si el orígen del sistema de coordenadas es el lugar de observación sobre la superficie de la Tierra Topocéntricas el centro de masas de la Tierra Geocéntricas Difieren de las coordenadas horizontales para objetos relativamente cercanos Sistema Solar Satélites artificiales 66

67 Transformación Si (A,h) y (A,h ) son las coordenadas topocéntricas y geocéntricas horizontales de un astro, entonces la transformación entre unas y otras viene dada por donde R = radio de la Tierra, d = distancia topocéntrica del astro, d = distancia geocéntrica del astro. 67

68 Modelos de la Tierra Geodesia: ciencia que se ocupa del estudio de la foma y dimensiones de la Tierra Erastóstenes siglo II ac calcula el radio terrestre Newton 1687: esferoide achatado en los polos, confirmado en 1744 Gauss 1795 define el Geoide: superficie equipotencial coincidente con el nivel medio de los mares en reposo Sistemas Geodésicos Globales actuales, establecen: Marco de referencia básico para asignar coordenadas geodésicas a estaciones sobre la Tierra Figura geométrica de referencia Modelo gravitacional 68

69 Superficies de la Tierra Topográfica: la verdadera forma del planeta Esfera: forma de referencia, radio R=6,371 km Geoide: superficie equipotencial que coincide con el nivel medio de los mares en reposo. Por cada punto de la superficie topográfica terrestre pasa una única superficie equipotencial y la dirección normal a esta superficie coincide con la línea de la plomada. Elipsoide de revolución: superficie de referencia de las coordenadas geodésicas angulares latitud y longitud de un punto sobre la superficie topográfica terrestre. Sus parámetros geométricos son a = 6,378,137 m y b = 6,356,752 m 69

70 Superficies de la Tierra Latitudes Geocéntrica = φ, Geodésica = φ, Astronómica = ϕ 70

71 WGS-84 Sistema geodésico en vigencia World Geodetic System Elipsoide de referencia = datum Geoide = EGM84, EGM96... EGM2008 Resolución 200 km, 100 km km Usado por los GPS (Global Positioning System) Error del centro de masas terrestres ~ 2 cm l=0 está a m al este de Greenwich Versiones previas: WGS 72, 66, 60 71

72 Del cielo a la Tierra ITRS = International Terrestrial Reference System ITRF = International Terrestrial Reference Frame VLBI, LLR, GPS, SLR, DORIS IERS = International Earth Rotation and Reference Systems Service International Astronomical Union International Union of Geodesy and Geophysics EOP = Earth Orientation Parameters, mantenido por el IERS ICRS ITRS a través de los EOP 72

73 Herramientas Matemáticas Estadística Básica Errores aleatorios vs sistemáticos Errores internos vs externos Distribución gaussiana Propagación de errores Mínimos cuadrados lineales Definición Correlación de coeficientes Mínimos cuadrados no-lineales 73

74 Certidumbre vs. Precisión 74

75 Tipos de errores Aleatorios vs Sistemáticos Afecta a cada medición de manera estocástica, es decir, cada vez toma un valor diferente, pero su comportamiento estadístico puede ser modelado. Siempre ocurren. Afectan a todas las mediciones de manera determinista, es decir, cada vez toman el mismo valor. Su valor sólo puede ser conocido a través de la comparación con valores de referencia. Pueden o no ocurrir. 75

76 Tipos de errores Internos vs externos Comparación de varias mediciones dentro del mismo experimento Comparación de mediciones entre diferentes experimentos Los errores externos no necesariamente son una medida de los errores sistemáticos 76

77 Estadística de los errores aleatorios Para un grupo de N estrellas, con dos conjuntos de mediciones independientes de datos (i.e. mov. propios): Suponemos que dentro de cada conjunto el error de cada estrella tiene un valor común a todo el conjunto: 77

78 Si tienes tres... Se puede resolver cada error individualmente Estos son errores externos, ya que provienen de la comparación con una fuente externa de información, pero siguen siendo una medida de precisión y no de certidumbre 78

79 Externos vs Internos Si errores externos > errores internos entonces presencia probable de errores sistemáticos en los catálogos Tesis de Eddy Dávila (2014) 79

80 Estadística Básica Variable aleatoria X Función de densidad de probabilidad f : Valor esperado Varianza Distribuciones multivariadas Variables independientes Covarianza 80

81 Distribución gaussiana f(x;μ,σ) x Usada para modelar errores aleatorios en general 81

82 Propagación de errores Cálculo del (error final) 2 = Var(Y), de una función que depende de variables aleatorias con (errores individuales) 2 = varianzas individuales También llamado error formal Valor esperado = combinación lineal de los valores esperados individuales Varianza = es algo más complicado Caso Lineal Combinación lineal de variables aleatorias normales genera una variable aleatoria normal 82

83 Varianza y Covarianza Caso Lineal 83

84 Estimadores de μ y σ 2(*) (*) Conocida μ 84

85 Estimador de la Covarianza distribución de Wishart 85

86 Estimador de la Covarianza 86

87 Propiedades de la Covarianza 87

88 Covarianza muestral μ desconocida? 88

89 Propagación de errores Caso No-Lineal Aproximar la función por Taylor Calcular varianza de la aproximación 89

90 Propagación de errores Caso No-Lineal Aproximar la función por Taylor Calcular varianza de la aproximación 90

91 Mínimos cuadrados lineales ai son coeficientes lineales, i=1,...,m m ecuaciones lineales con m incógnitas 91

92 Ajuste de una línea recta 92

93 Mínimos cuadrados lineales La distribución R 2 /σ 2 tiene n grados de libertad, el problema de MC tiene n-m grados de libertad Generalizacion a variables con distintos errores: 93

94 MC no lineales Tenemos m pares de datos (x1,y1),..., (xm,ym) medidos. Escogemos una función f(x ; λ1,..., λn) con sus respectivos n parámetros λ1,..., λn y la evaluamos en los m puntos x1,..., xm. 94

95 MC no lineales Convergencia no está garantizada Convergencia más rápida si λ inicial cercano al valor que genera el mejor ajuste 95

96 MC no lineales (1,20,5) = ajuste aproximado inicial (0.8,15,4) = iteraciones intermedias = solución a la que converge ( , , ), con R 2 = = Valores verdaderos 96

97 Gracias IV Escuela Venezolana de Astronomía Astrometría y Astrodinámica aplicada a los satélites venezolanos 97