TEMA 4. Conceptos sobre órbitas. Kepleriana y perturbada.

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1 TEMA 4. Conceptos sobre órbitas. Kepleriana y perturbada. 1. Introducción. Las aplicaciones del GPS dependen en gran medida del conocimiento de las órbitas de los satélites. La determinación precisa de la órbita es esencial para conseguir el objetivo fundamental del GPS, es decir, la determinación de la posición del observador, generalmente sobre la superficie de la tierra. En el caso del posicionamiento absoluto o puntual, hay una fuerte correlación entre el error en la órbita del satélite y el error al calcular la posición del receptor. En el posicionamiento relativo, el error que cometemos en la determinación de la órbita del satélite tiende a cancelarse.. Determinación de la órbita. Movimiento Kepleriano. Para comenzar el estudio del movimiento de un satélite, es necesario comenzar estudiando las leyes que gobiernan el movimiento alrededor de La Tierra. Vamos a considerar una Tierra ideal. Supondremos que toda la masa de La Tierra se encuentra concentrada en el origen (sólo se considera la parte central del Potencial Gravitatorio), que no existe atmósfera y que no existe ninguna otra fuerza externa al sistema Tierra-Satélite más que la de atracción de dos masas. En este caso, el movimiento de un satélite está determinado por la ley de gravitación de Newton. Consideremos dos puntos de masas m 1 y m separados una distancia r, entonces el movimiento de la masa m respecto de m 1 viene expresado por la ecuación diferencial homogénea de segundo grado: G( m1 + m ) r + r = 0 r donde: Tema 4-17

2 r r = G d r dt vector posición relativo. vector aceleración relativa. constante de gravitación universal Si por otro lado llamamos M E a la masa de La Tierra, el producto μ = G M es una constante conocida y es uno de los parámetros que definen el sistema de referencia WGS84: E μ = G M = m s E 8 y si tenemos en cuenta que la masa del satélite es despreciable en comparación con la masa de la Tierra, obtenemos la ecuación diferencial: d r dt r = μ r La solución analítica de esta ecuación diferencial es un problema clásico de mecánica celeste que nos lleva al conocido movimiento Kepleriano, definido por los seis parámetros orbitales que se corresponden con las seis constantes de integración de ecuación diferencial de segundo orden vectorial anterior. 1ª LEY DE KEPLER. La primera ley de Kepler establece que el movimiento de un cuerpo respecto a otro debido a la atracción de las masas se reduce a una cónica, estando uno de los dos cuerpos en el foco de la cónica. En el caso del sistema Tierra-satélite, suponiendo la Tierra ideal y considerando un campo gravitatorio central, el movimiento se reduce a una elipse en uno de cuyos focos se encuentra situada la Tierra. Para situar una órbita en el espacio, vamos a partir de unas definiciones previas. Llamaremos perigeo a la posición, dentro de la órbita del satélite, en que éste se Tema 4-174

3 encuentra más próximo de la Tierra. Llamamos apogeo a la posición, dentro de la órbita, en que el satélite se encuentra más alejado de la Tierra. La línea que une el perigeo con el centro de masas de la Tierra recibe el nombre de línea de ápsides. La línea que resulta de la intersección del plano orbital con el ecuador se llama línea nodal, dentro de la cual hay que destacar el nodo ascendente, punto de la órbita en que el satélite pasa del hemisferio sur al hemisferio norte. Consideremos un sistema de ejes coordenados con origen, O, en el centro de masas de la Tierra, el eje OX en la dirección del equinoccio medio (punto Aries), el eje OZ en la dirección del eje de rotación medio y el eje OY formando un triedro trirrectángulo con orientación positiva. Gráficamente, la órbita kepleriana se describe en la siguiente figura. Una vez consideradas las definiciones anteriores, los seis parámetros que sitúan de forma única una órbita en el espacio (también llamados elementos keplerianos) son: Ω Ascensión recta del nodo ascendente. Es el ángulo, medido en el plano ecuatorial, entre el equinoccio vernal o punto Aries y el nodo ascendente. i Inclinación de la órbita. Es el ángulo formado por el plano orbital y el plano ecuatorial. a Semieje mayor de la elipse orbital. Tema 4-175

4 e Excentricidad de la elipse orbital. Relaciona los dos semiejes de la elipse: e = a b b ω Argumento del perigeo. Es el ángulo, medido en el plano orbital, entre el nodo ascendente de la órbita y el perigeo. () t v Anomalía verdadera. Es el ángulo, medido en el plano orbital, entre la línea de ápsides y la posición del satélite. Los dos primeros parámetros orbitales, es decir, Ω e, sitúan el plano en el que está contenida la órbita (plano orbital) en el espacio. Los parámetros orbitales tercero y cuarto, a y e, definen la forma y dimensiones de la órbita dentro del plano orbital. Por último, los parámetros orbitales quinto y sexto, ω y v (t ), sitúan para cada instante de tiempo la posición del satélite dentro de la órbita. Con los seis elementos keplerianos tenemos, por tanto, definida de forma única la posición de un satélite en el espacio para cada instante. i En el caso que nos trata de movimiento no perturbado, la anomalía verdadera es el único de los parámetros keplerianos que es función del tiempo. El resto permanecen constantes a lo largo del tiempo. Como veremos, en el movimiento perturbado no será así. ª LEY DE KEPLER. La segunda ley de Kepler establece que el radio vector del satélite dentro de la órbita recorre áreas iguales en tiempos iguales. Tema 4-176

5 La posición instantánea del satélite dentro de la órbita se describe por medio de una cantidad angular conocida como anomalía. Existen varios tipos de anomalías según se considere el ángulo medido desde el foco de la órbita (geocentro) o bien desde el centro de la órbita: () t v Anomalía verdadera. Es el ángulo, medido en el plano orbital y desde el geocentro, entre la línea de ápsides (perigeo-geocentro-apogeo) y la posición del satélite. E(t) Anomalía excéntrica. Es el ángulo, medido en el plano orbital y desde el centro de la órbita, entre la línea de ápsides y la posición del satélite proyectada a una circunferencia de radio el semieje mayor de la elipse, a. () t M Anomalía media. Mientras que la anomalía verdadera y la anomalía excéntrica tienen sentido geométrico, la anomalía media es una abstracción matemática. ª LEY DE KEPLER. Nos aporta el conocimiento del periodo orbital del satélite, es decir, el tiempo que tarda en recorrer una órbita completa alrededor de la Tierra. Tema 4-177

6 La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse. En forma de ecuación se expresa: a μ = 4π T Así, fijado el semieje mayor de una órbita para un satélite alrededor de la Tierra, conocemos su periodo orbital a través de esta tercera ley. El conocimiento de este periodo nos lleva a conocer la velocidad angular media del satélite, también llamada movimiento medio: n = π = T μ a y es el que va a dar sentido a la anomalía media. Si llamamos T al tiempo de paso por el perigeo del satélite, se define la anomalía media para un instante t como (abstracción matemática, no tiene sentido geométrico): ( t ) M ( t) = n T 0 0 de forma que podemos relacionar las tres diferentes anomalías mediante las igualdades: ( t ) M ( t) = n T 0 E( t) = M ( t) + e sin E( t) Conocida como Ecuación de Kepler. v ( t) = arctg 1+ e E( t) tg 1 e Estas igualdades, que relacionan las diferentes anomalías dentro de la órbita, nos van a permitir identificar diferentes conjuntos de elementos keplerianos para la definición de la posición de un satélite en el espacio: {, i, a, e,, v( t) } Ω ω con la anomalía verdadera {, i, a, e,, M ( t) } Ω ω con la anomalía media Tema 4-178

7 { Ω, i, a, e, ω, E( t) } con la anomalía excéntrica REPRESENTACIÓN DE LA ÓRBITA EN EL SISTEMA TRIDIMENSIONAL FIJO A LA TIERRA. El sistema de coordenadas { e1,e } que veíamos en la figura anterior nos permite expresar la posición y velocidad de un satélite, dentro de su órbita, en función de la anomalía excéntrica y la anomalía verdadera. Así, podemos obtenerlas como: r = a cos E e cosv = r 1 e sin E sin v donde la representación viene dado por: r = r(v) se denomina Ecuación Polar de la Elipse, cuyo módulo r = a ( 1 ecos E) a(1 e ) = 1+ ecosv y el vector velocidad: r = dr dt = n a r sin E = 1 e cos E μ a(1 e sin v ) cosv + e cuyo módulo viene dado por: r = n a r 1 ( ecos E) = 1 μ r a Ahora bien, para el cálculo con GPS el usuario debe conocer las coordenadas del satélite con respecto a un sistema de referencia fijo terrestre. Consideremos el sistema de referencia ecuatorial cartesiano definido por: origen, O, en el centro de masas de la Tierra, eje OX en la dirección del equinoccio vernal (punto Aries), eje OZ en la dirección del eje de rotación medio y Tema 4-179

8 eje OY formando un triedro trirrectángulo con orientación positiva y el sistema fijo a la Tierra (Sistema Convencional Terrestres, CTS) como: origen, O o, en el centro de masas de la Tierra, eje OX o en la dirección del equinoccio vernal (punto Aries), eje OZ o en la dirección del eje de rotación medio y eje OY o formando un triedro trirrectángulo con orientación positiva Para poder pasar al primero de estos sistemas de referencia, debemos considerar el sistema de referencia orbital como tridimensional, para lo que a nuestro sistema e,e le añadimos un tercer eje e ortogonal al plano de la órbita. 1 { } r están contenidos en el plano de la órbita, este artificio para Como los vectores r y pasar a tres dimensiones no afecta a las coordenadas ya que sus componentes en e son cero en ambos casos. Una vez los dos sistemas son tridimensionales, pasamos del sistema orbital al ecuatorial mediante giros. El primero de ellos respecto al tercer eje y ángulo ω Tema 4-180

9 para llevar la línea de ápsides (eje 1 en el plano orbital) hasta coincidir con la línea nodal. Después un giro respecto al primer eje y ángulo i para llevar el plano de la órbita hasta coincidir con el plano del ecuador. Y finalmente un giro respecto al eje tercero y ángulo Ω que pasa por el equinoccio vernal. para hacer coincidir la línea de ápsides, ya girada, con la línea De esta manera, si llamamos x y x a los vectores obtenidos, tenemos: x = R r x = R r donde la matriz R tiene la forma: cosωcosω sin Ωsinω cosi R = sin Ωcosω + cosωsinω cosi sinω sin i cosωsinω sin Ωcosω cosi sin Ωsinω + cosωcosω cosi cosω sin i sin Ωsin i cosωsin i = cosi ( e, e e ) 1, siendo los vectores columna de la matriz ortogonal los ejes del sistema de coordenadas orbital. Debemos tener en cuenta que los elementos de la matriz son constantes a lo largo del tiempo puesto que la elipse orbital permanece inmóvil. Por último, para pasar al sistema convencional fijo a la Tierra, realizamos un giro respecto al eje tercero y ángulo θ o (hora siderea aparente en Greenwich) para llevar el eje OX que pasa por el punto Aries hasta el eje OX o que pasa por Greenwich (fijo a la Tierra). Finalmente, la matriz de rotación quedaría: R = R ( θ ) R ( Ω) R ( i) R ( ) ' o 1 ω siendo θ o la hora siderea en Greenwich. Existen fórmulas inversas para obtener las coordenadas del satélite dentro del sistema de referencia orbital a partir de las expresadas en el sistema fijo a la Tierra y son las Tema 4-181

10 que usan los centros de control para calcular las efemérides de los satélites e introducirlas en el mensaje de navegación.. Movimiento Perturbado. La órbita kepleriana es una órbita teórica que supone una Tierra esférica cuya masa se acumula en un punto, un sistema en el que no actúa más fuerza que la de atracción entre dos masas y que no existe atmósfera. Las fuerzas o aceleraciones perturbadoras son todas aquellos factores que causan que el satélite se desvíe de su órbita kepleriana teórica, por lo que la ecuación del movimiento perturbado será la del movimiento kepleriano más la acción de las aceleraciones perturbadoras. De esta forma, la ecuación del movimiento perturbado se convierte en una ecuación diferencial no homogénea de segundo grado: μ + = d Debe tenerse en cuenta que, para los satélites GPS, la aceleración derivada de la fuerza atractiva central es 10 4 veces mayor que las aceleraciones perturbadoras. Las fuerzas perturbadoras que afectan a un satélite en su movimiento alrededor de la Tierra podemos dividirlas en dos grandes grupos: Gravitacionales No esfericidad de la Tierra Atracción de mareas (efecto directo e indirecto) No gravitacionales Presión por radiación solar Efecto del Albedo Rozamiento atmosférico Tema 4-18

11 Efectos relativistas Viento solar, campo magnético, etc... En el caso de los satélites GPS, las fuerzas perturbadoras principales a tener en cuenta son las siguiente: No esfericidad de la Tierra Efectos producidos por la marea del Sol y la Luna Presión por radiación solar. Las ecuaciones del movimiento están expresadas en un sistema inercial con unas condiciones iniciales para una época de referencia. Estas condiciones iniciales serán los elementos keplerianos en un instante, que, debido a las fuerzas perturbadoras serán función del tiempo. Las ecuaciones del movimiento en un sistema coordenado cartesiano podemos escribirlas como: dx dt = x d x + μ dt x x = x g + x S + x L + x PRS donde el primer término es la parte central del campo gravitatorio que hemos estudiado en el caso de movimiento no perturbado. Vamos a estudiar las restantes aceleraciones. No esfericidad de la Tierra. El potencial gravitatorio terrestre V puede expresarse mediante un desarrollo en serie de armónicos esféricos en la forma: Tema 4-18

12 V μ r a r a r n E E = 1 J ( sin ) [ cos + sin ] ( sin ) n P n ϕ J nm mλ K nm mλ P nm ϕ n n= n= m= 1 n donde: a E semieje mayor del elipsoide terrestre r distancia geocéntrica del satélite λ longitud esférica de la posición del satélite ϕ latitud esférica de la posición del satélite J J K n,, coeficientes zonales y teserales del desarrollo en armónicos esféricos del nm nm modelo de potencial P n Polinomios de Legendre P nm Funciones asociadas de Legendre El primer término de la parte derecha de la igualdad, V o = μ, representa el r potencial V o para una Tierra esférica y su gradiente es la fuerza central del movimiento kepleriano: μ μ grad = r r r de manera que el potencial total que genera las perturbaciones podemos escribirlo como: T = V V o por lo que la aceleración de la parte no central del campo gravitatorio será el gradiente de T: Tema 4-184

13 x g = gradt T = T T x y z El término más importante del desarrollo del potencial perturbador es el J y representa el abultamiento ecuatorial en el campo gravitatorio. Aproximadamente es tres órdenes de magnitud (10 ) mayor que el resto de coeficientes y menor que el debido al potencial V o en un factor de Así, aceleración generada por la parte no perturbada del moviendo es de 0,57 m s es de 0,5x m s y la generada por el potencial perturbador Actualmente, la solución más completa para el desarrollo en armónicos esféricos tiene 60 coeficientes para n y m, si bien sólo los coeficientes de grado y orden menor (hasta 6) son significativos para el cálculo orbital de los satélites. Efecto de marea. Atracción del Sol y la Luna Una masa externa al sistema Tierra-satélite ejerce una atracción sobre la Tierra y el satélite. Para ver como afecta dicha aceleración al movimiento del satélite, sólo hay que tener en cuenta la diferencia entre la atracción que dicha masa externa ejerce sobre la Tierra y la que ejerce sobre el satélite. Si tenemos en cuenta que estas atracciones son del tipo gravitatorio, cada una de las masas externas generará un potencial con un desarrollo en armónicos esféricos. De este potencial va a derivar la aceleración perturbadora que desvía al satélite de su movimiento ideal, y cada cuerpo celeste generará una atracción diferente. Consideremos un cuerpo celeste puntual de masa m C y su vector de posición geocéntrico C. El ángulo z entre el cuerpo y el satélite respecto a la Tierra puede expresarse como función del vector posición geocéntrico del satélite y el vector posición geocéntrico del cuerpo a través del coseno director como: cos z = C C Tema 4-185

14 Gráficamente: Para el movimiento perturbado del satélite alrededor de la Tierra, sólo la diferencia entre las dos aceleraciones que genera el cuerpo celeste sobre la Tierra y el satélite se debe tener en cuenta, por lo que la aceleración perturbadora tiene la forma: = C C C C m C G d De entre todos los cuerpos celestes que se encuentran en el sistema solar, sólo el Sol y la Luna se deben considerar, puesto que el efecto de los demás planetas es despreciable si se tiene en cuenta la relación entre sus masas y distancias a la Tierra. El valor máximo de esta aceleración perturbadora se alcanza cuando los tres cuerpos se encuentran alineados. En ese instante el módulo de la aceleración perturbadora será: = 1 1 C C m C G d Tema 4-186

15 y si sustitumimos los valores para el Sol y la Luna: G m S 1, 10 m s G m 4, L m s ,5 m,8 m S 10 L 10 obtenemos que las aceleraciones perturbadoras debidas a la atracción del Sol y la Luna tienen unos valores aproximados de: x S 10 6 ms x L ms donde se puede apreciar que el efecto de la Luna es mayor que el del Sol debido a la proximidad de ésta en comparación con el Sol. Ahora bien, además de este efecto directo de la atracción lunisolar sobre el movimiento del satélite, debemos tener en cuenta que existe un efecto indirecto producido por la deformación de la tierra sólida y las mareas oceánicas. Las aceleraciones que se producen en el satélite por cada uno de estos procesos se aproximan a 10-9 ms -, si bien el efecto de la marea oceánica es muy difícil de modelar. La consecuencia de estas mareas es que la posición de un receptor en la superficie de la Tierra varía con el tiempo. Ésta variación debe ser tenida en cuenta a la hora de modelar los errores sistemáticos del receptor en las ecuaciones de observación. Presión por radiación solar La presión por radiación solar es la perturbación producida por el impacto, sobre la superficie del satélite, de los fotones procedentes del Sol. Los parámetros básicos que hay que considerar para estudiar la presión por radiación solar son: El Área Reflectiva, o superficie normal a la radiación incidente Reflectividad de la superficie Luminosidad del Sol Distancia del satélite al Sol. Tema 4-187

16 La magnitud de la aceleración perturbadora por efecto de la presión por radiación solar es aproximadamente: x PRS 10 7 ms Para tener una idea de cómo afectan todas estas aceleraciones perturbadoras al movimiento del satélite, consideremos una aceleración perturbadora media constante de 10-9 ms - actuando sobre un satélite GPS. El desplazamiento asociado que sufre el satélite se obtiene integrando dos veces esta aceleración, y si dicha integración la realizamos en un periodo de 1 horas (aproximadamente es el periodo orbital), obtenemos que tras una revolución completa del satélite, éste ha sufrido un desplazamiento de 1 m, que podemos considerar como un valor típico. Tema 4-188