FME. Teoria de Grafs. Notes de Classe Exemples i Problemes

Transcripción

1 FME Teoria de Grafs Notes de Classe Exemples i Problemes

2 2 La Teoria de Grafs dedica el seu esforç a l estudi estructural de les relacions binàries. Està per tant, en el cor del que avui s anomena Matemàtica Discreta. Va ser Leonard Euler amb la resolució d un problema conegut amb nom de Problema dels Ponts de Königsberg, qui va introduir la primera terminologia d aquesta disciplina reconeguda com a tal des de mitjans del segle XX. El seu ràpid creixement ha estat motivat en gran part per l interès en el món dels ordinadors i les noves tecnologies. En aquest curs intentarem endinsar-nos en aquestes estructures, pel seu propi interès i pel plaer d entendre-les i aprendre a utilitzar-les. Aquestes notes són un resum del que es pretén en aquest curs i desitgem que siguin una ajuda pel seu bon seguiment. Intentem així guanyar esforços en el poc temps de que disposem per entrar en aquesta nova i a la vegada clàssica manera de pensar. Dediquem la primera part d aquestes notes a l introducció dels conceptes bàsics que utilitzarem al llarg del curs. En els capítols següents es presenten els resultats més destacats, així com la majoria de demostracions, sobre els diferents temes del que avui dia s assumeix com les bases de la Teoria de Grafs. En cada capítol s inclouen també col.leccins cronològiques d exercicis. Al final d aquestes notes es presenta també una col.lecció de problemes resolts, proposats en exàmens anteriors d aquesta assignatura. Barcelona, Setembre del 2011

3 Índex 1 Conceptes bàsics Grafs i subgrafs Grafs isomorfs Subgrafs Seqüències de graus Camins i cicles Cicles mínims i màxims Distància Diàmetre Recorreguts i circuits Connectivitat Operacions amb grafs Operacions algèbriques Operacions topologiques Grafs planars Grafs planars maximals Grafs planars maximals bipartits Teorema de Kuratowsky Subgrafs generadors 33 3

4 4 ÍNDEX 2.1 Arbres Cicles Circuits Fluxos i Connectivitat Xarxes i fluxos Algorisme de Ford i Fulkerson Teorema de Menger Aparellaments Independència i recobriments Aparellaments Teorema de Hall Teorema de Tutte Factors i Descomposicions Factors Factoritzacions Descomposicions Coloració Vèrtex-coloracions Aresta-coloracions Coloracions-totals Coloracions en grafs planars Teoría extremal Existència de cliques Teorema de Turán

5 ÍNDEX Grafs de Moore Grafs minimalment k-connexos Altres problemes extremals Problemes resolts Conceptes bàsics Arbres Cicles i circuits Connectivitat Aparellaments Descomposicions Coloració Problemes Extremals

6 6 ÍNDEX

7 Capítol 1 Conceptes bàsics 1. Grafs i subgrafs 2. Seqüències de graus 3. Camins i cicles 4. Connectivitat 5. Operacions amb grafs 6. Grafs planars 1.1 Grafs i subgrafs Habitualment denotem per G = (V, E) el que anomenem graf, on V és un conjunt de punts (o objectes), anomenats vèrtexs, i E és un conjunt de parelles no ordenades de vèrtexs diferents, anomenades arestes. Diem que una aresta e = xy E és incident als vèrtexs x i y que la determinen i també diem que aquests vèrtexs són adjacents, x y. El nombre de vèrtexs V = n i el nombre arestes E = m s anomenen respectivament ordre i mida de G. Denotem per G(n, m) un graf arbitrari d ordre n i mida m. Exercici 1.1 Quin és el nombre de grafs d ordre n? Quants tenen mida m? 7

8 8 CAPÍTOL 1. CONCEPTES BÀSICS Observacions: Si en un graf admetem arestes del tipus {x, x} anomenades autollaços, o be arestes repetides o multiples, aleshores estem parlant d un multigraf. Una generalització de la noció de graf és la de hipergraf, H = (V, E), en el que les arestes estan formades per qualsevol nombre de vèrtexs, és a dir, E (V ). En particular un graf és un hipergraf en el que totes les arestes tenen dos vèrtexs. Així un graf és un hipergraf regular en el sentit que cada aresta té el mateix nombre de vèrtexs. El pla de Fano és un exemple conegut d hipergraf regular amb set vèrtexs, en el que que cada aresta té tres vèrtexs i a més cada vèrtex pertany a tres arestes. Dibuixeu-lo. Si considerem E com un conjunt de parelles ordenades de vèrtexs, aleshores les arestes tenen una orientació i el graf G es diu graf orientat o digraf. En aquest cas una parella ordenada (x, y) E V V s anomena arc de x a y i diem també que x és adjacent cap a y o bé que y és adjacent des de x. Un graf d ordre n sense cap branca, s anomena graf nul d ordre n i es denota per N n. Si el graf té totes les possibles arestes, és a dir m = ( n 2), aleshores parlem d un graf complet d ordre n i el denotem per K n. El graf complement d un graf G = (V, E), denotat per Ḡ = (V, Ē), és el graf que té els mateixos vèrtexs i dos vèrtexs són adjacents en Ḡ si i només si no ho són en G. És a dir, té les arestes complementaries a les de G respecte el graf complet. Donat un graf G = (V, E) i dos subconjunts A, B V denotem per E(A, B), el subconjunt d arestes de E que tenen un vèrtex a A i l altre a B. Diem que un graf G = (V, E) és bipartit si existeix una partició {A, B} del conjunt de vèrtexs V tal que cap aresta de E té els dos extrems en A o en B, és a dir E E(A, B). En aquest cas, diem que tan A com B són conjunts de vèrtexs independents o conjunts estables. Si E = E(A, B) aleshores diem que el graf és bipartit complet i el denotem per K r,s, on r = A i s = B. Una generalització d aquest concepte és la noció de graf t-partit. Aquest és el cas sempre que existeix una partició {A 1, A 2,, A t } del conjunt de

9 1.1. GRAFS I SUBGRAFS 9 vèrtexs V tal que E i j E(A i, A j ). Si E = i j E(A i, A j ) diem que el graf G és t-partit complet i el denotem per K r1,r 2,,r t, on r i = A i. Tot graf G es pot representar en termes de la seva matriu d adjacències, A(G), definida a continuació. Si denotem el conjunt de vèrtexs d un graf G per V (G) = {x 1, x 2,, x n }, aleshores, { 1 si xi x A(G) = (a ij ) n n, a ij = j 0 Observeu que A(G) depèn de la numeració triada pels vèrtexs. És a dir, és única per un graf etiquetat. Observeu també que la matriu A(G) és simètrica independentment de l ordenació triada pels vèrtexs i la diagonal principal, si el graf G no té autollaços, està plena de zeros. Exercici 1.2 Caracteritzeu la matriu d adjacència d un 1. multigraf. 2. digraf. 3. graf bipartit. 4. graf 3-partit Grafs isomorfs Diem que dos grafs G = (V, E) i G = (V, E ) són isomorfs i ho denotem com G G, si existeix una bijecció φ : V V que respecta les adjacències, és a dir, per tota aresta e = xy E, φ(e) = φ(x)φ(y) = x y = e E i e = x y E, φ 1 (e ) = φ 1 (x )φ 1 (y ) = xy = e E. Aleshores escrivim G = φ(g). Exercici 1.3 Proveu que un quadrat amb dues diagonals és isomorf a un tetraedre.

10 10 CAPÍTOL 1. CONCEPTES BÀSICS Observeu que si G G, en particular V = V, E = E. Aquestes condicions clarament necessàries perqué dos grafs siguin isomorfs, són molt insuficients. Considereu un cicle de longitud sis i dos triangles disjunts. Per provar que dos grafs G = (V, E) i G = (V, E ) no són isomorfs hem de veure que cap de les V! possibles bijeccions respecta totes les adjacències. En general, no existeix cap algorisme eficient per resoldre aquest problema. Exercici 1.4 Trobeu tots els grafs no isomorfs d ordre 3 i d ordre Subgrafs Donat un graf G = (V, E) diem que G = (V, E ) és un subgraf de G sempre que V V i E E. Habitualment ho denotem per, G G. Així, tot graf d ordre n és subgraf de K n per n n. Si V = V, aleshores diem que G és un subgraf generador. Així, N n és subgraf generador de qualsevol graf d ordre n. En particular, e E, el subgraf G = (V, E e) és també generador i per simplicitat el denotem com G e. En general, si F E, denotem per G F el subgraf generador resultant de suprimir a G el conjunt d arestes F. Exercici 1.5 Quin és el nombre de subgrafs generadors que podem trobar en un graf d ordre n i mida m? Diem que un graf G = (V, E ) és subgraf induït d un graf G = (V, E) si V V i E = {xy E : x, y V }. Aleshores escrivim G[V ] = G. De forma clara, en suprimir un vèrtex d un graf, suprimim totes les arestes que li són incidents. Per comoditat denotem per G x el subgraf induït per V = V \ {x}, és a dir, G x = (V \ {x}, E \ {xy : y x}). En general, si X V, escrivim G X per denotar el subgraf induït G[V \X]. Donats dos grafs G 1 = (V 1, E 2 ) i G 2 = (V 2, E 2 ) definim el graf intersecció, G 1 G 2, com V (G 1 G 2 ) = V 1 V 2, E(G 1 G 2 ) = E 1 E 2. i el graf unió, G 1 G 2, com V (V 1 V 2 ) = V 1 V 2, E(V 1 V 2 ) = E 1 E 2.

11 1.2. SEQÜÈNCIES DE GRAUS 11 Exercici 1.6 Doneu un exemple en el que, G 1 G 2 no sigui subgraf induït de G 1 però si de G Seqüències de graus El conjunt de vèrtexs adjacents a un vèrtex donat x V, s anomena veïnat de x i es denota per N(x). Al cardinal N(x) se n hi diu grau de x i es denota per d(x). Diem que un vèrtex x és aïllat si d(x) = 0 i si d(x) = 1 diem que x és un vèrtex final. Diem que un graf G és r-regular si x V (G), d(x) = r. Exercici 1.7 Dibuixeu els grafs 3-regulars d ordre sis i d ordre vuit. Existeix algun graf 3-regular d ordre set? Exercici 1.8 En tot graf simple amb ordre n > 1 sempre existeixen dos vèrtexs amb el mateix grau. Anomenem respectivament, grau màxim i grau mínim d un graf G a (G) = max{d(x) : x V (G)}, δ(g) = min{d(x) : x V (G)}. Si tractem amb grafs orientats aleshores cal adequar les definicions anteriors tenint present la orientació dels arcs. Així, donat un digraf G = (V, E), per cada x V s anomena N + (x) al conjunt de vèrtexs adjacents des de x i N (x) al conjunt de vèrtexs adjacents cap a x. Al cardinal N + (x) se n hi diu grau de sortida de x i es denota per d + (x) i N (x) se n hi diu grau d entrada de x i es denota per d (x). Definim els grau màxim i grau mínim de sortida de G com, + (G) = max{d + (x) : x V }, δ + (G) = min{d + (x) : x V }. De forma similar definim, (G) i δ (G), el grau màxim i grau mínim d entrada de G respectivament. Es diu que un digraf G = (V, E) és r-regular de sortida si x V, d + (x) = r i diem que G és un digraf r-regular d entrada si x V, d (x) = r. Diem que un digraf G és r-regular si x V, d + (x) = d (x) = r.

12 12 CAPÍTOL 1. CONCEPTES BÀSICS El següent és un resultat molt simple i alhora clau en teoria de grafs i és conseqüència directa del fet que en qualsevol graf simple, cada aresta és incident a dos vèrtexs. Lema 1.1 En tot graf simple G = (V, E) es compleix, 2 E = x V d(x). Corol. lari 1.2 En tot graf simple el nombre de vèrtexs de grau imparell és zero o bé és un nombre parell. És clar que els grafs regulars són els més còmodes de tractar, però la gran majoria de grafs són no regulars i la seqüència dels seus graus està restringida a unes certes condicions. Dit d una altra manera, no tota n-tupla de nombres del l interval enter [0, n) es correspon amb la seqüència de graus d un graf d ordre n. S anomena seqüència de graus d un graf G d ordre n al conjunt ordenat dels graus dels seus vèrtexs, d 1 d 2 d n. Un dels primers problemes que es varen plantejar en teoría de grafs, és el de determinar en quines condicions una seqüència de nombres naturals pot ser la seqüència de graus d un graf, que habitualment s anomena gràfica. Hi han dues condicions clarament necessaries, 1. d i n 1, 1 i n. 2. n i=1 d i, és un nombre parell. Però aquestes condicions són clarament insuficients tal com podeu comprovar amb la seqüència (3, 3, 1, 1). Cal observar que una seqüència gràfica pot tenir associats diferents grafs. Per exemple, la seqüència (2, 2, 1, 1, 1, 1) correspon a un camí de longitud tres més una aresta aïllada, o bé la unió disjunta de dos camins de longitud dos.

13 1.2. SEQÜÈNCIES DE GRAUS 13 Exercici 1.9 Dibuixeu tots els grafs amb seqüència gràfica (4, 3, 3, 2, 2, 1, 1). Quins d aquests grafs tenen màxima la suma de graus dels vèrtexs adjacents al vèrtex de grau màxim? I quins tenen aquesta suma mínima? El següent lema prova que si una seqüència és gràfica és fàcil trobar un graf el més dens possible al voltant del vèrtex de grau màxim. Lema 1.3 Donat un graf G amb seqüència de graus d 1 d 2 d n, existeix un graf G amb la mateixa seqüència gràfica que G, tal que si d(x 1 ) = d 1, aleshores x 1 és adjacent als d 1 vèrtexs amb graus més grans. Demostració. Sigui G un graf amb seqüència de graus d 1 d 2 d n. Si d i = d j per tot i j, aleshores el graf és regular i el resultat clarament és cert. Suposem que no és el cas, i provem que si existeix algun vèrtex x j / N(x 1 ), amb j d 1 + 1, aleshores intercanviant algunes arestes de G obtenim G. Si x j / N(x 1 ) amb j d 1 +1, aleshores existeix x k N(x 1 ) amb k > d 1 +1 i x l N(x j ) tal que x l / N(x k ), ja que si N(x j ) N(x k ) aleshores d k > d j +1, contradient l ordenació en la seqüència donada. Per tant, canviant les arestes x 1 x k per x 1 x j i x j x l per x l x k obtenim un nou graf G que té la mateixa seqüència gràfica que G, però d(x) > d(x). x N G (x 1 ) x N G (x 1 ) Iterant aquest procès tantes vegades com calgui obtenim el graf G. La iteració del procès del Lema anterior permet obtenir un graf associat a una determinada seqüència en el que el vèrtex de grau màxim és adjacent a tots els vèrtexs amb graus més grans. Per exemple, la seqüència (2, 2, 1, 1, 1, 1) té associats dos grafs d ordre sis, amb dos vèrtexs de grau dos, x 1, x 2. Si x 2 / N(x 1 ), aleshores el lema anterior ens permet obtenir un graf G tal que x 2 N(x 1 ). Exercici 1.10 Quantes vegades heu d aplicar el procediment anterior per obtenir un graf G amb la condició del Lema 1.3 a partir d un graf G format per tres camins disjunts de longitud dos? Feu-ho.

14 14 CAPÍTOL 1. CONCEPTES BÀSICS Al llarg dels anys han aparegut diferents resultats que ofereixen condicions necessaries i suficients per aquest problema. El següent teorema és el primer i també el més simple que es coneix en aquest sentit. La caracterització de seqüències que dona aquest teorema és conseqüència del Lema 1.3. A més proporciona una manera de construir de forma recursiva un dels grafs associats a cada seqüència obtinguda. Teorema 1.4 (Havel, 1955) Una seqüència de nombres enters no negatius d 1 d 2 d n, amb d 1 > 0, és gràfica si i només si la seqüència és gràfica. S = (d 2 1, d 3 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n ) Demostració. Suposem primer que la seqüència d 1 d 2 d n és gràfica. De tots els possibles grafs que existeixen amb n vèrtexs, x 1, x 2,, x n i graus respectius, d(x i ) = d i, 1 i n, triem el graf G tal que x N G (x 1 ) d(x) sigui màxima (existeix gràcies al Lema 1.3). Aleshores, el graf G = G x 1 té n 1 vèrtexs, x 2, x 3,, x n, els graus dels quals són, d(x i ) = d i 1 per 2 i d 1 + 1, i la resta, d(x i ) = d i. Així, S és gràfica. En sentit contrari si S és gràfica, existeix un graf G amb n 1 vèrtexs que té a S com a seqüència de graus. Al connectar un nou vèrtex x 1 als vèrtexs de G obtenim un nou graf G que té a d 1 d 2 d n com a seqüència gràfica. Aquest teorema proporciona una forma recursiva de saber si una seqüència de nombres naturals, d 1 d 2 d n, és gràfica: Eliminant el terme més gran de la seqüència, d 1, i reduint en una unitat els d 1 primers termes de la nova seqüència. Repetint aquest procés en la nova seqüència ordenada, s arriba a una seqüència de zeros, o bé a una seqüència amb algun nombre negatiu. I si aquest no és el cas, totes les seqüències obtingudes són gràfiques i l original també. Exercici 1.11 Comproveu que (5, 4, 3, 3, 2, 1) és una seqüència gràfica i dibuixeu els successius grafs obtinguts amb el procés descrit en el Teorema 1.4. Cal observar que els grafs obtinguts a partir del Teorema 1.4 no tenen per que ser els únics grafs associats a cada seqüència gràfica obtinguda en el procés.

15 1.3. CAMINS I CICLES. 15 El següent teorema és un altre resultat en aquesta direcció que podeu mirar de demostrar com exercici. Teorema 1.5 Una seqüència de nombres naturals d 1 d 2 d n és gràfica si i només si la seqüència és gràfica. S = (n d 1 1, n d 2 1,, n d n 1) 1.3 Camins i cicles. Els camins i els cicles són les estructures bàsiques a partir de les quals s estudien moltes característiques del graf que les conté. Un camí és un graf P = (V, E) on V = {x 0, x 1,, x n : x i x j, i j}, E = {x 0 x 1, x 1 x 2,, x n 1 x n }. Habitualment denotem per P n, un camí de longitud n (mida). Hi ha autors pels quals n indica l ordre. Diem que dos camins P i P són independents si comparteixen com a molt els seus vèrtexs finals o extrems. De vegades es útil referir-se a un camí en termes dels seus extrems. Així, un xy-camí indica un camí que té x i y com a vèrtexs finals, denotat per P xy. En general, un (AB)-camí és un camí, amb un vèrtex final a A i l altre a B, on A i B són subconjunts disjunts de vèrtexs d un determinat graf. Un cicle C n, és un camí tancat, és dir, x 0 = x n, on n és el seu ordre i també la seva longitud. El següent lema garanteix l existència de camins i cicles de longitud mínima en un graf qualsevol, la longitud dels quals només depèn del grau mínim del graf en qüestió. Lema 1.6 Tot graf G conté un camí de longitud δ(g). Si δ(g) 2 també conté un cicle de longitud com a mínim δ(g) + 1. Demostració. Sigui P = {x 0 x 1 x k } un camí de longitud màxima en un graf G. Com que P és de longitud màxima, N(x 0 ) P i per tant δ(g) d(x 0 ) k.

16 16 CAPÍTOL 1. CONCEPTES BÀSICS Si m = max{i : x 0 x i E(P )}, m k, existeix un cicle C = {x 0 x 1 x m } {x m x 0 }, de longitud m + 1 i per tant G conté un cicle de longitud com a mínim δ(g) + 1 m + 1. El problema de determinar condicions per l existència de camins i cicles de longitud màxima no és tan fàcil. De fet és un problema no resolt en general i és clar que no depèn del grau màxim del graf. Per que? Un cicle és una estructura regular molt simple. En el Capítol 5 tractarem el problema clàssic en l ambit de les aresta descomposicions: la descomposició d un graf en subgrafs aresta disjunts. El següent lema ens dona un resultat simple i a l hora decisiu quan els subgrafs són cicles, només en termes de la paritat dels graus del graf que els conté. Lema 1.7 El conjunt d arestes d un graf es pot particionar en cicles si i només si cada vèrtex té grau parell. Demostració. L implicació en sentit directe és evident. Cada vèrtex del graf pertany a un determinat nombre de cicles i per tant ha de tenir grau parell. En sentit contrari, suposem que cada vèrtex d un graf G té grau parell. Veiem primer que G conté com a mínim un cicle. Considerem un camí P = {x 0 x 1 x k } de longitud màxima en G. Com que d(x 0 ) 2 existeix x i V (P ) \ {x 1 } adjacent a x 0 i per tant existeix el cicle C 1 = {x 0 x 1 x i x 0 }. Així el graf G 1 = G E(C 1 ) té tots els vèrtexs de grau parell i per tant existeix un cicle C 2 en G 1. D aquesta manera anem buidant les arestes de G fins obtenir el graf nul. Observeu que tots els cicles extrets són aresta disjunts i per tant descomposen G tal com voliem Cicles mínims i màxims Si un graf G(n, m) té cicles, anomenem respectivament girth (coll) i circumferència de G, a la longitud mínima i màxima dels seus cicles, i les denotem respectivament per g(g) i c(g).

17 1.3. CAMINS I CICLES. 17 De forma clara es compleix, 3 g(g) c(g) n. Aquesta relació, en general, tan àmplia no es pot ajustar més. Per què? En sentit contrari, considereu el següent exercici. Exercici 1.12 Trobeu una familia de grafs G = {G 1, G 2, }, tals que 1. g(g i ) = 3, i c(g i ) = 3 2 i 1, i 1. En un graf tenen un interès especial el camins, oberts o tancats que passen per tots els seus vèrtexs una única vegada. Aquests s anomenen respectivament, camins i cicles hamiltonians. Si un graf té un cicle hamiltonià aleshores diem que el graf és hamiltonià. Clarament, els cicles i els grafs complets són hamiltonians, però en general, donat un graf qualsevol saber si és hamiltonià és encara, després de molts esforços, un problema obert. En el capítol següent veurem el resultat més general i més important sobre l existència de cicles hamiltonians, el Teorema de Dirac, que està en la base de qualsevol altre resultat respecte aquesta interesant propietat, que permet circular de la forma més econòmica per tots els vèrtexs d un graf. Exercici 1.13 Trobeu una familia de grafs G n K n, C n hamiltonians Distància Donat un graf G = (V, E), s anomena distància entre dos vèrtexs x, y V, d G (x, y), a la longitud del camí més curt en G entre aquest parell de vèrtexs. Si no existeix cap camí entre x i y aleshores diem que d G (x, y) =. La distància, d G (x, y) = min Pxy { E(P xy ) }, dóna lloc a un espai mètric en G, (V, d G ). Podeu comprovar-ho. Fent servir la noció de distància és fàcil provar el següent lema que caracteritza l estructura de graf bipartit només tenint en compte la paritat dels seus cicles.

18 18 CAPÍTOL 1. CONCEPTES BÀSICS Lema 1.8 Un graf és bipartit si i només si no conté cap cicle d ordre imparell. Demostració. És suficient provar-ho per grafs connexos (per cada parell de vèrtexs x, y existeix un xy-camí). Sigui G(A, B) un graf connex bipartit i C k = {x 0 x 1,, x k } un cicle de G. Com que els vèrtexs de C k estan repartits alternativament entre A i B, si x 0 A aleshores x k B i per tant k és un nombre senar. Així, C k té mida parell. Suposem ara que G no té cap cicle d ordre senar i veiem que G és bipartit. Triem com estable A un vèrtex arbitrari x V (G) i el conjunt de vèrtexs que estan a distància parell de x. Com que cap cicle de G pot ser senar, V (G) \ A = B és l altre estable de G. Observació 1.9 Es pot estendre la noció de distància als grafs dirigits, fent servir camins dirigits. En aquest cas, però, la distància no té perquè ser simètrica i no tenim un espai mètric Diàmetre Anomenem diàmetre d un graf G, i el denotem per D(G), a la distància més llarga entre totes les parelles de vèrtexs de G. Per exemple, D(K n ) = 1, D(C n ) = n 2, D(P n) = n i D(N n ) =. El següent lema diu que els grafs densos tenen diàmetre petit. En particular, veurem que si en un graf cadascun dels seus vèrtexs és adjacent a més de la meitat dels vèrtexs restants, aleshores, a excepció del graf complet que sabem que té diàmetre ú, aquest graf té diàmetre dos. Lema 1.10 Tot graf G d ordre n amb δ(g) n 1 2 té diàmetre dos. Demostració. Sigui x V (G) un vèrtex qualsevol i y V (G)\N(x). Com que N(x) n 1 i N(y) n 1, existeix z N(y) N(x) de manera que 2 2 xzy es un camí de longitud dos en G. Per veure que aquesta cota és justa considereu per exemple la familia de grafs complets bipartits K n 1. És immediat veure que si en qualsevol dels grafs 2, n+1 2

19 1.3. CAMINS I CICLES. 19 d aquesta família li suprimim qualsevol aresta el graf resultant té diàmetre tres. Per tant la cota no és millorable en general. La circumferència d un graf no té relació directa amb el seu diàmetre. És fàcil trobar exemples en aquest sentit. Sigui G el graf format per un camí P n tan llarg com es vulgui unit per un vèrtex amb un triangle, aleshores, D(G) = n i c(g) = 3. En canvi el lema següent dona una relació útil i simple entre el diàmetre d un graf i la longitud mínima dels seus possibles cicles. Lema 1.11 Si un graf G té algun cicle, aleshores es compleix g(g) 2D(G) + 1. Demostració. Sigui C un cicle de G amb longitud mínima. Suposem per una contradicció que g(g) 2D(G) + 2. Aleshores existeix x, y V (C) tals que d C (x, y) D(G) + 1, i com que d C (x, y) > D(G) d G (x, y), existeix un xy-camí en G de longitud m D(G) que juntament amb el xy-camí de C de longitud mínima ens dona un cicle de longitud k m + D(G) + 1 < g(g). La cota donada en el Lema 1.11 és justa. Els cicles d ordre imparell són grafs extremals per aquesta cota. L anomenat graf de Petersen, és un altre exemple extremal. Aquest és un graf 3-regular, d ordre 10, amb diàmetre 2 i girth 5. Aquest graf és famós per ser contraexemple en moltes conjectures importants. Intenteu dibuixar-lo. Exercici 1.14 Trobeu el graf 3-regular més petit, G, tal que 1. g(g) = 3 i D(G) = g(g) = 4 i D(G) = Recorreguts i circuits Si en un camí P n>2 = {x 0, x 1,, x n }, descuide m la condició de que tots els vèrtexs siguin diferents, tenim el que s anomena un recorregut, que pot

20 20 CAPÍTOL 1. CONCEPTES BÀSICS ser obert tancat, depenent de si x 0 = x n o no, respectivament. De fet, un recorregut és l unió aresta disjunta de camins i cicles de manera que cada dos d aquests objectes tenen com a molt un vèrtex en comú. Si un recorregut és tancat habitualment s anomena circuit. Observeu que un xy-camí és un xy-recorregut i que de tot xy-recorregut se n pot obtenir un xy-camí. Si interpretem cada aresta d un graf com l unió de dos arcs amb direccions contraries, aleshores podem provar que el nombre de recorreguts, no necessariament aresta disjunts, de longitud k entre cada parell de vèrtexs ve donat per la potència k-èssima de la seva matriu d adjacència. Exercici 1.15 Sigui A(G) la matriu d adjacència d un graf G. Proveu que A k (G) compta el nombre de recorreguts de longitud k entre cada parella de vèrtexs. 1.4 Connectivitat Donat un graf és important coneixer la quantitat mínima de formes diferents de comunicar qualsevol parella vèrtexs. Per exemple, en un cicle cada parella de vètexs té dues vies de comunicació, mentre que dos vèrtexs d un camí només en tenen una. La connectivitat és el paràmetre que mesura el nombre mínim de connexions que té qualsevol parella de vèrtexs d un graf. Diem que un graf G és connex si x, y V (G), existeix com a mínim un xy-camí en G. Si un graf no és connex, és a dir, si existeix alguna parella de vèrtexs que no estan conectats per un camí, aleshores, considerem els seus subgrafs connexos d ordre màxim, anomenats components. Així, les components d un graf són les classes d equivalència maximals respecte la relació: estar units per un camí. Exercici 1.16 Trobeu la mida màxima que pot tenir un graf d ordre n amb k < n components. Un fet simple, i alhora útil, que cal mencionar és el següent petit lema. Lema 1.12 El complement d un graf no connex és connex i té diàmetre dos.

21 1.4. CONNECTIVITAT 21 Demostració. Per definició, qualsevol parella de vèrtexs situats en components diferents de G són adjacents en Ḡ. Si dos vèrtexs d una mateixa component no són adjacents, aleshores es connecten mitjançant qualsevol altra component en Ḡ. És fàcil veure que l afirmació contraria no és certa en general. Per exemple C 5 és connex i té diàmetre dos i el seu complement C 5 = C 5 és ell mateix i per tant és connex, mentre que C 4 que està en les mateixes condicions té el seu complement C 4 = K 2 K 2 sí que és no connex. Un graf amb una densitat global molt alta, V (G) E(G), pot no ser connex. Per exemple, N 1 K n, n 2. El Lema 1.10 ens dona una condició suficient per garantir la connectivitat en grafs densos. La condició de que el graf sigui localment molt dens és simple però en la majoria dels casos excessiva. Qualsevol camí P n n >> 1000 és connex i δ(p n ) = 1. Donat un graf G connex, diem que x V (G) és un vèrtex de tall si G x no és connex. En general, diem que X V és un conjunt de tall de G si G X no és connex. Donat un graf G K n estem interessats en conèixer quin és l ordre mínim dels seus conjunts de tall. Aquest ordre és el que s anomena la connectivitat de G i es denota per, κ(g) = min{ X : X V, G X és no connex}. Els grafs complets no tenen conjunts de tall i per conveni diem que κ(k n ) = n 1 i que κ(n n ) = 0. Per exemple, κ(p n ) = 1, és a dir, un camí queda desconnectat en suprimir qualsevol vèrtex no final, mentre que un cicle queda desconnectat amb la supressió de qualsevol parella de vèrtexs no consecutius, κ(c n ) = 2. La connectivitat d un graf G només ens diu que cap subconjunt de vèrtexs amb cardinal més petit que κ(g) pot desconnectar el graf, però òbviament no ens diu com trobar un d aquests conjunt de tall mínim. Exercici 1.17 Trobeu una familia infinita de grafs G n amb ordre n > 4 i connectivitat κ(g n ) = 3. Diem que un graf G és h-connex per tot 1 h κ(g).

22 22 CAPÍTOL 1. CONCEPTES BÀSICS Si κ(g) = 0 diem que G és no connex i aleshores tractem amb les seves components connexes, o subgrafs maximalment connexos, és a dir, amb el màxim nombre de vèrtexs. Si κ(g) = 1 i V (G) > 2, aleshores existeix com a mínim un vèrtex de tall i diem que G és separable (pels seus vèrtexs de tall) en subgrafs de G que són o bé K 2 o bé 2-connexos maximals. Aquests subgrafs s anomenen blocs. Per exemple, un camí és separable en les seves arestes (K 2 ), i un cicle no és separable ja que no té cap vèrtex de tall i ell mateix és un bloc. Exercici 1.18 Proveu que dos blocs diferents d un mateix graf tenen com a molt un vèrtex en comú. En general, trobar condicions que permetin conèixer la connectivitat d un graf és un problema difícil no resolt. Al tercer capítol veurem el Teorema de Menger que expresa la connectivitat com el nombre míınim de camins que uneixen qualsevol parella de vèrtexs del graf. Un graf també es pot desconnectar suprimint certes arestes. Diem que una aresta e d un graf connex G és un pont si G e és no connex. Diem també que F E(G) és un conjunt de arestes de tall si G F no és connex. Definim el que s anomena aresta-connectivitat d un graf G com, λ(g) = min{ F : F E, G F és no connex}. Per exemple, λ(n n ) = 0, λ(p n ) = 1, λ(c n ) = 2 i per conveni λ(k n ) = n 1. Com que al suprimir les arestes incidents a un vèrtex, aquest vèrtex queda aïllat de la resta del graf, tenim que λ(g) δ(g). En el lema següent es prova que la vèrtex connectivitat d un graf mai és més gran que la seva aresta connectivitat. Lema 1.13 En tot graf G es compleix κ(g) λ(g) δ(g). Demostració. Sigui G un graf i F E(G) un conjunt de tall minimal. Sigui X el conjunt més petit de vèrtexs incidents per un extrem a F. Aleshores, com que G X és no connex, tenim el que volíem, κ(g) X F = λ(g).

23 1.5. OPERACIONS AMB GRAFS 23 Aquestes cotes són justes. Per exemple, en els grafs nuls, els camins, els cicles i els grafs complets hi ha igualtat en els tres paràmetres. Exercici 1.19 Trobeu el graf més petit, G, tal que κ(g) = 2, λ(g) = 3, δ(g) = 4. Les nocions de vèrtex i aresta connectivitat s estenen de manera natural al cas de grafs dirigits. Un digraf G és fortament connex si per a qualsevol parella de vèrtexs x, y hi ha un camí dirigit en G que va de x cap a y i un altre que va de y cap a x. Si existeix un parell de vèrtexs x, y del digraf tals que només existeix un camí de x cap a y o un de y cap a x aleshores diem que el digraf és dèbilment connex o simplement, connex. La vèrtex connectivitat κ(g) d un digraf és la mida mínima d un conjunt de vèrtexs tals que la seva supressió produeix un digraf que no és fortament connex. La aresta connectivitat, λ(g), es defineix de forma anàloga. Exercici 1.20 És certa la següent relació si G és un digraf? κ(g) λ(g) δ(g) = min{δ + (G), δ (G)} 1.5 Operacions amb grafs Es poden definir molts tipus d operacions entre grafs, però aquí comentarem les més generals i conegudes. Hi han dos tipus d operacions, unes algèbriques i altres topologiques, aquestes últimes mantenen les estructures topologiques del graf en el que actuen Operacions algèbriques Existeixen certes operacions classiques entre grafs, que permeten obtenir grafs grans a partir d altres grafs més petits de manera que algunes de les seves propietats s infereixen a partir dels grafs petits.

24 24 CAPÍTOL 1. CONCEPTES BÀSICS Donats dos grafs simples G 1 = (V 1, E 2 ) i G 2 = (V 2, E 2 ) tals que V 1 V 2 = es defineix el 1. graf suma, G 1 + G 2, com V (G 1 + G 2 ) = V 1 V 2, E(G 1 + G 2 ) = E 1 E 2 E(V 1, V 2 ). Observeu que el graf suma s obté afegint al graf unió G 1 G 2 totes les possibles arestes que van de V 1 a V 2. Per exemple K n + K m = K n+m. 2. graf producte cartesià, G 1 G 2, és aquell que té per conjunt de vèrtexs el producte cartesià V 1 V 2 i per conjunt d adjacències E(G 1 G 2 ) = {(x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) : x i y i E i, x j = y j, 1 i j 2}. Observeu que el graf producte cartesià s obté substituint cada vèrtex de G 1 per una còpia de G 2, i les altres adjacències s obtenen unint els vèrtexs de cada còpia amb els corresponents vèrtexs de les altres còpies segons les adjacències de G 1. Exercici 1.21 Dibuixeu K 3 + C 4 i K 3 C 4. Exercici 1.22 Proveu que la suma i el producte cartesià de grafs són operacions associatives i commutatives. Exercici 1.23 Sigui Q n = (V, E) el graf anomenat n-cub o hipercub, on V = {(x 1, x 2,, x n ) : x i {0, 1}, 1 i n} i dos vèrtexs són adjacents sempre que difereixen exactament en una coordenada. Proveu que Q n = K 2 K 2 i obteniu els paràmetres bàsics de Q n en termes dels de K 2. Exercici 1.24 Donats dos grafs disjunts G 1 = (V 1, E 1 ) i G 2 = (V 2, E 2 ). Comproveu si són certes les següents igualtats. 1. (a) E(G 1 + G 2 ) = E 1 + E 2 + V 1 V 2 (b) (G 1 + G 2 ) = max{ 1 + V 2, 2 + V 1 } (c) δ(g 1 + G 2 ) = min{δ 1 + V 2, δ 2 + V 1 }. (d) g(g 1 + G 2 ) = 3. (e) D(G 1 + G 2 ) = 2.

25 1.5. OPERACIONS AMB GRAFS (a) E(G 1 G 2 ) = E 1 V 2 + E 2 V 1 (b) (G 1 G 2 ) = (c) δ(g 1 G 2 ) = δ 1 + δ 2. (d) D(G 1 G 2 ) = D(G 1 ) + D(G 2 ). 4, g(g 1 ), g(g 2 ) (e) g(g 1 G 2 ) = min{4, g(g i )}, g(g i ), 1 i 2 min{4, g(g 1 ), g(g 2 )}, g(g 1 ), g(g 2 ). Exercici 1.25 Siguin G i G dos grafs regulars disjunts. Proveu que G G també és regular. Que es pot dir al respecte de G + G? Exercici 1.26 Justifiqueu quins dels següents grafs són hamiltonians. 1. P n + C n, C n + C m. 2. P n C m, C n C m. Exercici 1.27 Trobeu el valor dels següents paràmetres en termes de κ(g i ), λ(g i ), 1 i κ(g 1 + G 2 ), λ(g 1 + G 2 ). 2. κ(g 1 G 2 ), λ(g 1 G 2 ) Operacions topologiques Hi han dues operacions simples i alhora oposades que mantenen les propietats topològiques d un graf, les subdivisions que dilaten els grafs i les contraccions que el contrauen. Subdivisions Si en un graf G substituïm una aresta per un camí, el graf G així obtingut s anomena subdivisió de G. Aquesta operació es pot repetir tantes vegades com es vulgui i el graf H que s obté és topologicament equivalent al graf original G. Per tant es diu que H és un topologic de G i ho denotem com H T G. Per exemple, qualsevol cicle és una subdivisió de K 3.

26 26 CAPÍTOL 1. CONCEPTES BÀSICS Observem que al substituir arestes per camins només afegim vèrtexs de grau dos i per tant en qualsevol topològic H d un graf G K 2 es compleix, (H) = (G). Aquest fet serveix per descartar possibles grafs com a subdivisions d un graf donat. Per exemple, com que el graf de Petersen és cúbic i el graf complet K 5 és 4-regular, cap subdivisió de K 5 pot estar continguda en el graf de Petersen. Exercici 1.28 Proveu que el graf de Petersen conté una subdivisió de K 3,3. Contraccions La subdivisió és una transformació topológica que permet dilatar un graf sense modificar la seva topología. De forma contraria, podem també contraure un graf a partir d una transformació elemental anomenada arestacontracció o simplement contracció, que consisteix en suprimir una determinada aresta fusionant els seus extrems en un nou vèrtex i fent que aquest vèrtex sigui adjacent a tots els veins dels dos vèrtexs eliminats, suprimint, si és el cas, arestes multiples. Denotem per G/e el graf obtingut al contraure la aresta e = xy E(G). Aquest nou graf té per conjunt de vèrtexs, V (G/e) = (V \ {x, y}) {v e } i el seu conjunt d arestes E(G/e) és, E(G)\({xy} {zx : z N(x)} {zy : z N(y)}) {zv e : z N(x) N(y)}. Diem que el graf G/e és una contracció de G. Aquesta operació es pot repetir fins a obtenir un sol vèrtex. El interès està però, en saber si un determinat graf H és una contracció d un altre graf G més gran, és a dir, si es pot obtenir de G contraent alguna de les seves arestes. Per exemple, K 3 és una contracció de K 4. De forma més general, diem que un graf H és un menor d un graf G, i ho denotem per H G, si una copia de H es pot obtenir de G suprimint o contraent arestes de G. Per exemple, és fàcil veure que K 5 és un menor del graf de Petersen fent servir cinc contraccions elementals en aquest graf. Les subdivisions i les contraccions són dues operacions topologiques en certa manera oposades i alhora equivalents. Per exemple les dues són relacions parcialment ordenades.

27 1.6. GRAFS PLANARS 27 Exercici 1.29 Comproveu que les contraccions i les subdivisions donen lloc a relacions d ordre (parcial), és a dir, són reflexives, anti-simètriques i transitives. Si G és una subdivisió elemental d un graf donat G, aleshores podem obtenir G de G contraent les arestes afegides a G en la subdivisió. El següent lema recull aquest fet de forma general. Lema 1.14 Si un graf G conté com a subgraf una subdivisió d un graf H, aleshores H és un menor de G. L implicació contraria no és certa en general. El següent lema dona una condició suficient simple que garanteix l implicació contraria per menors poc densos. Lema 1.15 Si H és un graf tal que (H) 3, aleshores T H G H G. En particular, un graf conté a K 3 o K 4 com a menors si i només si conté una subdivisió de K 3 o K 4, respectivament. El resultat inclou també a K 3,3, és a dir, K 3,3 G si i només si T K 3,3 G. Però per exemple, el cas de K 5 cal tractar-lo per separat. Lema 1.16 Si un graf conté a K 5 com a menor, aleshores conté una subdivisió de K 5 o una de K 3,3. Amb cinc contraccions elementals en el graf de Petersen s obté K 5 com a menor i, segons l Exercici 1.28, conté una subdivisió de K 3, Grafs planars Un graf G es diu planar si es pot dibuixar en el pla Euclidià de manera que les seves arestes no es tallin.

28 28 CAPÍTOL 1. CONCEPTES BÀSICS Observació: En un context topològic, un graf es diu planar si admet una immersió en el pla Euclidià de manera que vèrtexs adjacents estan units per arcs de Jordan que no es tallen entre ells, vegeu per exemple Graph Theory, Diestel. Exercici 1.30 Trobeu els dos grafs d ordre més petit que no es poden dibuixar en un paper sense arestes creuades. Comproveu que són únics per aquests dos ordres. Una qüestió que ha ocupat una extraordinària atenció durant aquest recent segle passat es la següent: Existeixen condicions simples que permetin afirmar si un graf és planar o no?. El pla Euclidià queda dividit, per qualsevol corba simple i tancada continguda en ell, en dues regions: una acotada (interior) i una no-acotada (exterior). Aquest fet tan intuïtiu i de delicada demostració, és l anomenat Teorema de la corba de Jordan. Les corbes de Jordan defineixen diferents regions del pla, separades per les pròpies corbes que actuen com a fronteres d aquestes regions. En el cas dels grafs planars aquestes corbes són cicles i les regions del pla que delimiten s anomenen cares. Així en una representació planar d un graf cada una de les seves cares està delimitada per un cicle. Aquests cicles, o corbes polinomials, són les fronteres de les cares corresponents. Denotem per G(n, m, c) un graf d ordre n, mida m i c cares. Tot graf planar connex ha de complir una certa relació entre aquests tres paràmetres. Va ser Euler qui va provar que la relació que hi ha entre aquests paràmetres, només depèn de la superfície en la que es vulgui representar el graf en qüestió i no del dibuix del propi graf. El pla Euclidià és la superfície que ens ocupa. L única familia de grafs connexos tals que la seva representació planar només té una única cara és la dels grafs acíclics. Els cicles són els únics grafs que compleixen que dues cares diferents comparteixen la mateixa frontera. És clar que un graf no connex és planar si totes les seves components ho són. En el cas dels grafs separables, cal que tots els seus blocs ho siguin. El resultat següent, bàsic i intuïtiu però amb una demostració delicada, permet provar de forma sensilla el famós Teorema de Euler, resultat bàsic per l estudi dels grafs connexos planars. Lema 1.17 Sigui G un graf planar connex i e E(G).

29 1.6. GRAFS PLANARS Si e no pertany a cap cicle de G, aleshores e pertany a la frontera d una sola cara. 2. Si e pertany a un cicle de G, aleshores e pertany a la frontera de dues cares. Teorema 1.18 (Euler, 1750) Tot graf planar connex G(n, m, c) compleix, n m + c = 2. Demostració. Fem servir inducció sobre en nombre de cicles de G. Si el graf G no té cicles, aleshores és un arbre i el resultat és cert (*). (*) En el Capítol següent introduirem la noció d arbre i veurem que és un graf connex sense cicles amb mida n 1, on n és el seu ordre. Suposem que G té k > 0 cicles. Sigui C un d aquests cicles i sigui e E(C). Aleshores, el nombre de cicles del graf G e és una unitat menys, ja que el Lema 2 garanteix que e E(C) està exactament a la frontera de dues cares de G i per tant G e té una cara menys que G i per hipòtesis d inducció es compleix, n (m 1) + (c 1) = 2. Així, al afegir e a H, obtenim el resultat. Si totes les cares d un graf estan delimitades per cicles d igual longitud l aleshores, la condició d Euler ens permet saber el nombre de cares del graf en qüestió. En aquest cas, només tenint en compte que cada aresta pertany exactament a dos cares, obtenim el nombre de cares, lc = 2m. Exercici 1.31 Comproveu amb un dibuix la planaritat dels anomenats sòlids platònics: tetràedre, cub, octàedre, dodecàedre i icosàedre, els paràmetres dels quals són respectivament: T (4, 6, 4), C(8, 12, 6), O(6, 12, 8), D(20, 30, 12), I(12, 30, 20).

30 30 CAPÍTOL 1. CONCEPTES BÀSICS Grafs planars maximals L exemple més simple de graf planar és el d un cicle i el més petit de tots és K 3. Afegint un vèrtex a K 3 i totes les possibles adjacències obtenim una representació planar de K 4. Repetint aquesta operació tantes vegades com es vulgui, obtenint els grafs planars més densos, els anomenats maximals planaris que són coneguts també com triangulacions del pla. Diem que un graf connex G d ordre n 3 és maximal planar si G és planar i, per qualsevol nova aresta e, el graf G + e és no planar. L exemple més petit de graf no planar és K 5 i el graf resultant al suprimir-li qualsevol aresta, K 5 e, és el graf planar més dens d ordre 5 i per tant és el graf maximal planar més petit per aquest ordre. Exercici 1.32 Dibuixeu tots els grafs planars maximals que tenen ordre 6 n 8. Els grafs planars maximals són les triangulacions del pla i tenen el màxim nombre d arestes pel seu ordre. Aquest nombre és conseqüència immediata de la Formula de Euler, tenint en compte que les cares són triangles. Corol. lari 1.19 La mida d un graf planar maximal és, m = 3(n 2). Una conseqüència immediata del corol.lari anterior és el següent resultat. Corol. lari 1.20 Tot graf planar maximal té un nombre parell de cares. També com a conseqüència directa del Corol.lari 1.19 obtenim una cota superior per la mida de qualsevol graf planar només en termes del seu ordre. Corol. lari 1.21 La mida de tot graf planar amb n 3 compleix, m 3(n 2).

31 1.6. GRAFS PLANARS 31 Aquest últim corol.lari ens permet afirmar que cap graf complet amb més de quatre vèrtexs és planar i clarament cap graf que contingui K 5 pot ser-ho. En particular cap graf complet, a excepció de K 3 i K 4, és planar. Fent servir el Corol.lari 1.21 també és fàcil provar el següent resultat. Corol. lari 1.22 Tot graf planar té algun vèrtex amb grau més petit que sis. Demostració. El resultat és clar per qualsevol graf planar amb ordre n 6. Sigui G un graf planar amb ordre n 7 i mida m. Segons el Corol.lari 1.21, m 3(n 2) i per tant, d(x) = 2m 6(n 2). x V (G) Com que no tots els graus poden ser multiples de 6 n hi ha d haver almenys algun amb grau més petit que 6. En particular el Corol.lari 1.22 diu que no existeixen grafs planars maximals que siguin d-regulars per d 6. És fàcil comprovar que existeixen grafs planars maximals d-regulars per la resta valors de d. Exercici 1.33 Proveu que existeix un únic graf planar maximal que sigui d-regular per cada 2 d 5. Dibuixeu-los Grafs planars maximals bipartits La cota que ens dona el Corol.lari 1.21 no és útil per grafs bipartits, ja que aquests grafs no tenen triangles. Per exemple, el graf bipartit més petit no planar és K 3,3 i la seva mida és 9 < 3n 6 = 12. Clarament, si un graf conté K 3,3 podem afirmar que no és planar. En particular cap graf complet bipartit K r,s pot ser planar per r, s 3. Diem que un graf bipartit G(A, B) connex és maximal planar bipartit (mpb), si G és planar i per qualsevol nova aresta e E(A, B), el graf G + e és no planar. L exemple més petit de graf bipartit no planar és K 3,3 i el graf resultant al suprimir-li qualsevol aresta, K 3,3 e, és el graf planar bipartit més dens d ordre 6 i per tant és el graf mpb més petit per aquest ordre.

32 32 CAPÍTOL 1. CONCEPTES BÀSICS Corol. lari 1.23 En un graf mpb el nombre de cares és la meitat de la seva mida. Els grafs maximals planars bipartits són els grafs quadrangulables, és a dir, totes les seves cares són quadrats. La mida d aquests grafs és conseqüència immediata de la Formula de Euler i obviament són els grafs planars bipartits més densos. Corol. lari 1.24 La mida d un graf maximal planar bipartit és, m = 2(n 2). Són maxi- Exercici 1.34 Trobeu tots els grafs bipartits planars regulars. mals? Dibuixeu tots els grafs mpb amb ordres 5 n 9. Com a conseqüència del Corol.lari 1.24 tenim una cota superior per la mida dels grafs planars bipartits. Corol. lari 1.25 La mida d un graf planar bipartit compleix, m 2n Teorema de Kuratowsky Les dues operacions topològiques que hem considerat en l anterior secció, les subdivisions i les contraccions, permeten obtenir, entre d altres, resultats contundents respecte la planaritat d un graf en general. És clar que si un graf G conté una subdivisió d un graf no planar, aleshores G és no planar. Com a conseqüència dels Corolaris 1.19 i 1.24 respectivament, sabem que ni K 5 ni K 3,3 són grafs planars. És per tant clar que si un graf conté com a subgraf una subdivisió de K 5 o K 3,3, aleshores no pot ser planar. De forma sorprenent, l implicació contraria també és certa, tal com diu el famós Teorema de Kuratowsky. Teorema 1.26 (Kuratowsky, 1930) Un graf és planar si i només si no conté com a subgraf cap subdivisió de K 5 o de K 3,3.

33 1.6. GRAFS PLANARS 33 Per exemple, el graf de Petersen segons el Corolari 1.19 podria ser planar, però com sabem segons l Exercici 1.28, conté una subdivisió de K 3,3 i per tant segons el Teorema de Kuratowsky aquest graf és no planar. En 1937 Wagner va donar un altra caracterització dels grafs planars, en aquest cas també només en termes de dos menors petits prohibits. Teorema 1.27 (Wagner, 1937) Un graf és planar si i només si no conté ni a K 5 ni a K 3,3 com a menors. Com il.lustració de l utilitat d aquesta nova caracterització dels grafs planars podeu considerar com exemple el graf de Petersen, que de forma immediata veiem que contè a K 5 com a menor i gracies al Teorema de Wagner deduïm que aquest famós graf és no planar. Observeu que els Lemes 1.15 i 1.16 fan de pont per provar l equivalència entre els Teoremes de Wagner i de Kuratowski. Cal comentar que, en genaral, aquests dos importants teoremes a la pràctica són difícils d aplicar degut a la dificultat que suposa detectar l existència de subdivisions o menors en un graf genèric.

34 34 CAPÍTOL 1. CONCEPTES BÀSICS

35 Capítol 2 Subgrafs generadors 1. Arbres. 2. Cicles. 3. Circuits. Per conèixer l estructura d un graf, és important saber com són les seves subestructures més simples. Els subgrafs connexos més simples d un graf són els que no tenen cicles i aquest és el cas dels arbres. Els cicles constitueixen l altre model de subestructura simple, en el qual tenim dues possibles maneres de comunicar parelles de vèrtexs. Els circuits són subestructures ordenades formades per unions no disjuntes de camins i cicles. Aquí estudiarem els resultats clàssics sobre aquests objectes. 2.1 Arbres Anomenem bosc a tot graf sense cicles i diem que un arbre és un bosc connex. Els següents lemes ens donen diferents caracteritzacions d aquestes estructures. Lema 2.1 Un graf G és un 1. bosc si i només si x, y V (G) existeix com a màxim un xy camí. 2. arbre si i només si x, y V (G) existeix un únic xy camí. 35

36 36 CAPÍTOL 2. SUBGRAFS GENERADORS Lema 2.2 Un graf G és un arbre si i només si 1. G és minimalment connex, això és, G és connex i per qualsevol e E(G), G e és no connex. 2. G és maximalment acíclic, és a dir, G és acíclic i per qualsevol e E(G), G + e és cíclic. Anomenem fulla a tota aresta terminal i el corresponent vèrtex terminal. Observeu que les arestes d un arbre són ponts o fulles i observeu també que la supressió d una fulla en un arbre no desconnecta l arbre i l adició d una fulla no crea cap cicle, per tant en qualsevol dels casos s obté un nou arbre, tal com diu el següent Lema. Lema 2.3 Si T és un arbre i f una fulla de T aleshores, T f també és un arbre. De forma similar si en un arbre T s afegeix una fulla f E(T ), T + f també és un arbre. Aquest fet tan simple ens permet fer servir inducció per aquest tipus de grafs. Si en un graf connex G trenquem cada cicle suprimint una de les seves arestes obtenim un arbre generador. Això és el que ens diu el següent resultat, la demostració del qual es pot expressar en forma algorísmica. Lema 2.4 Tot graf connex conté un arbre generador. Aquest fet tan simple ens permet dir que la mida de qualsevol arbre només depèn del seu ordre. Teorema 2.5 Un graf connex d ordre n és un arbre si i només si té mida n 1. Demostració. Per provar que si T és un arbre d ordre n, aleshores té mida n 1, fem servir inducció sobre n. Per K 2 el resultat és cert. Sigui T un arbre qualsevol d ordre n 1. Per hipòtesis d inducció T té mida n 2. Al afegir-li qualsevol fulla f obtenim un nou arbre T = T + f d ordre n i mida n 1.