Afinación de un piano a partir de la estimación de sus coeficientes de inarmonía.

Transcripción

1 Afinación de un piano a partir de la estimación de sus coeficientes de inarmonía. Juan Manuel Vásquez,Germán Yamhure Pontificia Universidad Javeriana Juan-vasquez@javeriana.edu.co,gyamhure@javeriana.edu.co Abstract Este artículo describe la afinación de un piano a partir de la estimación del coeficiente de inarmonía de sus cuerdas. Se implementó un sistema que obtiene dicha estimación utilizando un método basado en la factorización de matrices no negativas, posteriormente utilizando un modelo paramétrico, calcula las diferentes frecuencias de afinación para cada cuerda, se realizaron pruebas experimentales sobre dos pianos y se compararon los resultados con las frecuencias obtenidas por un software comercial destinado a este propósito, indicando que el modelo empleado, es aplicable a la afinación práctica de un piano. 1. Introducción La necesidad que presentan los músicos para afinar sus instrumentos, es decir hacer que sus sonidos emitan frecuencias que son consideradas notas musicales, ha generado múltiples soluciones. La mayoría de las personas que tocan instrumentos desarrollan la habilidad para escuchar e identificar los sonidos para poder ajustarlos a una frecuencia llamada en música la altura adecuada. Durante siglos solo una persona que tuviera buenas capacidades auditivas podía realizar esta tarea, sin embargo en el siglo XX el desarrollo de la electrónica permitió echarle una mano a personas con oídos sin entrenamiento, para afinar instrumentos, como guitarras o de cuerdas frotadas como violines, chelos, etc. Los dispositivos realizados con este fin son llamados afinadores. Sin embargo, uno de los instrumentos más difundidos en el mundo, el piano, sigue presentando una gran dificultad para ser afinado por variar razones, la primera y más obvia es debido a su forma de construcción ya que un piano acústico, es un instrumento de cuerda de grandes dimensiones, por esto, la manipulación de la tensión de sus cuerdas requiere alto conocimiento técnico. Por otra parte el ajustar sus notas musicales a las frecuencias apropiadas no resulta tan sencillo como en el caso de los instrumentos de cuerda mencionados anteriormente y no puede hacerse a través de afinadores electrónicos convencionales debido a un fenómeno conocido como inarmonía, que básicamente hace que las componentes en frecuencia de sus notas, no sigan una relación armónica entre ellas. El piano suele ser afinado por especialistas llamados afinadores que lo hacen auralmente es decir utilizando su oído. A partir del análisis y procesamiento de señales, se abordó el problema para brindar una herramienta que facilite el proceso de afinación calculando las frecuencias a las que el instrumento debe ser afinado. En la sección 2 se describe brevemente la afinación de un instrumento musical en general, la sección 3 presenta al piano como tal, introduciendo algunos aspectos físicos de su construcción, posteriormente el fenómeno de inarmonía y algunas consideraciones para la afinación aural de este instrumento. La sección 4 introduce un modelo paramétrico de la afinación de un piano propuesto por el Doctor F. Rigaud [7, 8, 9]. La sección 5 muestra un método para la estimación de parámetros que pueden ser aplicados al modelo desarrollado por el mismo autor basado en la Factorización de matices no negativas (NMF). La sección 6 expone el diseño del sistema implementado para calcular las frecuencias de afinación de un piano en particular. Y finalmente en la sección 7 se muestran los resultados experimentales de las pruebas realizadas. 2. Afinación de un instrumento musical El término afinación implica dos aspectos diferentes, ambos relevantes para la solución del problema expuesto. El primero hace referencia a la selección de las frecuencias que son consideradas notas musicales y el segundo al hecho de ajustar los sonidos de un instrumento con relación a una nota fija. Para conseguir que un instrumento musical suene afinado se deben lograr las dos condiciones citadas, respecto de la primera definición, existen diversos sistemas de afinación también llamados temperamentos, estos son conjuntos de frecuencias que guardan ciertas relaciones entre ellas a las cuales se les da el valor de una nota musical [2]. Aunque existen muchos temperamentos, el temperamento que se utiliza en nuestros días es casi exclusivamente el llamado Temperamento Igual (ET) el cual consiste en dividir la octava logarítmica en doce semitonos iguales, que determinan las frecuencias de las notas musicales en este /15/$31.00 c 2015 IEEE

2 sistema. Que puede ser expresado matemáticamente por la ecuación1. F 0,ET (m) = m (1) Donde F 0,ET es la frecuencia ideal a la que se afina la nota identificada con el índice m que es un número entero asociado a una nota en especial y es conocido como el número MIDI (número entero que identifica a cada nota del sistema musical occidental) que en el caso del piano varía en el intervalo [21, 108]. Donde 440 Hz es la frecuencia de la nota La [7, 8, 9] 3. El Piano El piano es un instrumento de cuerda y teclado que produce sonidos mediante la percusión de martillos sobre sus cuerdas. La parte principal del piano consiste en un arpa de cuerdas de acero, realmente son dos arpas superpuestas, una para los sonidos graves y otra para los sonidos agudos. Se construye de esta forma debido a que por razones de tamaño, las cuerdas de los bajos están recubiertas por un entorchado de cobre o de algún otro material para aumentar su diámetro para poder reducir su longitud, cada cuerda está fijada en sus extremos, por un lado a una clavija que permite ajustar su altura y por el otro lado a una estructura fija llamada puente. [7, 8, 9, 5] 3.1. Inarmonía de un piano El problema principal en la afinación del piano se debe al fenómeno conocido como Inarmonía. Este consiste en que debido a la rigidez de sus cuerdas, la solución de la ecuación de vibración transversal de la cuerda produce frecuencias parciales que siguen la relación inarmónica dada en la ecuación 2. [7, 8, 9, 5] f n = nf Bn2 (2) Donde n es un número natural que representa el rango parcial, B es el coeficiente de inarmonía y F 0 es la frecuencia fundamental de vibración de una cuerda flexible ideal dada por la ecuación 3. F 0 = 1 T (3) 2L µ Donde T es la tensión de la cuerda, L su longitud y µ es su densidad lineal. La rigidez de la cuerda es tomada en cuenta en el coeficiente de inarmonía B dado por la ecuación 4. B = π3 Ed 4 64T L 2 (4) Donde d es el diámetro de la cuerda y E es el módulo de Young del material. Como se observa en 2, la segunda frecuencia parcial es ligeramente mayor a dos veces la frecuencia fundamental de la cuerda. En consecuencia, si se tocan al tiempo dos notas que presentan frecuencias parciales muy cercanas pero diferentes, se producirán batidos no deseados Afinación aural de un piano La afinación aural o a oído de un piano es una tarea que se realiza comparando y controlando los batidos presentes entre parciales de dos notas tocadas simultáneamente, ajustando sus alturas. Cuando se afina un intervalo de octava, la relación de frecuencias f 1 (m + 12)/f 1 (m) es mayor que dos, este fenómeno se conoce como estiramiento de la octava. La cantidad del estiramiento varía dependiendo la posición de la nota en la tesitura del piano, para cuantificar el estiramiento se suele expresar la desviación de la nota con respecto al temperamento igual en céntimos como se muestra en la ecuación 5. [7, 8, 9] d(m) = log 2 f 1 (m) F 0,ET (5) Donde F 0,ET está dada por la ecuación 1 que corresponde a la frecuencia ideal en el temperamento igual. El estiramiento aumenta gradualmente desde el rango medio donde la desviación es de más o menos 5 céntimos, a las partes medias del registro hasta alcanzar desviaciones de - 30 céntimos en los bajos, y de +30 céntimos en los agudos. La desviación que se presenta a lo largo de la tesitura es conocida como la curva de Railsback. [7, 8, 9, 5, 1] 4. Modelo paramétrico de la afinación de un piano F. Rigaud y B. David plantean un modelo paramétrico de la afinación del piano que simula el procedimiento que lleva a cabo un afinador aural aunque de forma simplificada, cuya principal ventaja y lo que lo convierte en un modelo útil para esta aplicación, es que tiene en cuenta el estiramiento producido por efecto de la inarmonía y el tipo de octava, el cual es una elección del afinador. El modelo presentado que se basa en la afinación del intervalo de octava, consiste en afinar todas las octavas de una nota de referencia y posteriormente, las demás notas son interpoladas. [7, 8, 9] 4.1. Afinación de una octava Cuando se afina una octava superior de una nota, por ejemplo La 5 a partir de La4, la cancelación de los batidos producidos por el 2ρ-esimo parcial de una nota de referencia indicada por m y el ρ-esimo parcial de su octava indicada por m + 12 puede hacerse afinando F (m + 12) 2

3 Figure 1. Coeficiente de inarmonía para pianos de alta, media y baja inarmonía [7] como muestra la ecuación 6 F 0 (m + 12) = 2F 0 (m) 1 + B(m) 4ρ B(m + 12) 4ρ 2 (6) Donde se observa claramente la dependencia del coeficiente de inarmonía B y del tipo de octava ρ que corresponde la relación de los parciales de ambas notas que deben coincidir y por tanto eliminar los batidos que producen. Para afinar una octava inferior, se puede invertir la relación tomando como nota de referencia m + 12 y como nota a afinar m. [7, 8, 9] Para B se propuso un modelo continuo en escala logarítmica que se obtiene a partir de dos asíntotas lineales ( b T ) y ( b B ) que representan cada uno de los dos puentes, el de los bajos y los agudos. El modelo es denotado B ξ, caracterizadas cada una por su pendiente y su intercepto con el eje Y como se ve en 7. 8 s T m + y T s B m + y B (7) B ξ, es la contribución de las dos curvas en escala lineal. B ξ (m) = e b B(m) + e b T (m) El modelo planteado no sigue consideraciones físicas pero se ha comprobado que modela bien el comportamiento de este coeficiente a lo largo de la tesitura del piano. [7, 8, 9] La Figura 1 muestra modelos para B para tres tipos de pianos, con inarmonía alta, media y baja. Un piano de mayores dimensiones presenta menos inarmonía que uno pequeño en registros bajos, porque a menor longitud y mayor diámetro de la cuerda, mayor coeficiente de inarmonía (ver ecuación 4). Para ρ se definió un modelo en el que esta variable ya no es un número entero sino un número real, esto se hace debido a que en la práctica cuando se afina una octava (8) Figure 2. Tres posibles elecciones para el tipo de octava [7] interactúan más de un solo par de parciales. Al hacer esto, el modelo pierde significado físico pues ρ ya no está relacionado con el rango parcial. La Figura 2 muestra tres elecciones diferentes para el tipo de octava Interpolación a toda la tesitura A partir de los parámetros calculados anteriormente es posible afinar todas las octavas de una nota de referencia utilizando la ecuación 6, para completar la afinación se lleva a cabo una interpolación polinómica de LaGrange sobre la desviación del temperamento igual de las notas afinadas según el modelo [7, 8, 9]. 5. Estimación de parámetros Para poder afinar un piano en particular es necesario conocer cómo cambia su coeficiente de inarmonía a lo largo de todo su registro. Existen diversos métodos para realizar esta estimación pero para este trabajo se tomó un algoritmo basado en la Factorización de matrices no negativas propuesto por Rigaud. [7, 8] 5.1. Factorización de matrices no negativas (NMF) La NMF es un método de descomposición para análisis multivariado y reducción dimensional y de rango de datos no negativos (compuesta por elementos positivos o nulos), basada en la factorización de redundancias presentes de forma natural en la información. La clave de la NMF yace en la restricción estricta de elementos no negativos que obliga a que los elementos de la descomposición estén en el mismo espacio. Cuando se analiza la información compuesta por elementos no negativos, como la intensidad de un pixel en una imagen, La descomposición provista por la NMF exhibe algunos elementos significativos que puedan ser interpretados directamente como distintas partes de las imágenes iniciales. (Lee y Seung, 1999, 2000) [6] resaltaron la importancia de este método, destacando su habilidad para aprender partes significativas de objetos. En audio la factorización de matrices no negativas (NMF) puede ser utilizada para descomponer un espectrograma en una matriz que contenga una base de espectros y una matriz de activación, que al multiplicarse producirían nuevamente el espectrograma, esto es de gran utilidad en aplicaciones 3

4 en trascripción musical Formulación para la NMF estándar Dada la matriz no negativa de observación V de dimensiones K T, la NMF pretende encontrar una factorización aproximada descrita en la ecuación 9. [7, 8, 6] V W H = V kt (9) Donde W y H son matrices no negativas de dimensiones K R y R T respectivamente. Así la matriz de observación V es aproximada por una combinación lineal positiva de R átomos, contenidos en el diccionario W cuyas ponderaciones están dadas por los elementos de la matriz de activación H. Para cada elemento V kt se tiene la relación descrita en la ecuación 10: V kt = K W kr H rt (10) r= cuantificación de la aproximación Para cuantificar la calidad de la aproximación de la ecuación, una medida de las diferencias entre la matriz de observación es evaluada midiendo la distancia (o divergencia) entre estos, denotada como D(V HW ).Esta medida es usada para definir una función de costo 11. [7, 8] C(W, H) = D(V HW ) (11) 5.2. Estimación de parámetros Para poder afinar un piano en particular en necesario conocer cómo cambia su coeficiente de inarmonía a lo largo de todo su registro, existen diversos métodos para realizar esta estimación pero como se mencionó, se tomó un algoritmo basado en la Factorización de matrices no negativas propuesto por Rigaud. [7, 8] El método planteado por Rigaud consiste en la información de inarmonía de las notas del piano, directamente en el diccionario de espectros W. La idea es tomar en cuenta los parámetros (B, F 0 )como restricciones en las frecuencias parciales de cada nota, para realizar una estimación conjunta. Para reducir el número de parámetros que es necesario extraer, además de la amplitud y la frecuencia de cada parcial, se asume que para cada grabación se conoce la nota que está siendo tocada y su correspondiente tiempo de activación, luego se extraen espectros de tiempos cortos, de las grabaciones y se concatenan para construir la matriz de observación V. nótese que V no es estrictamente hablando un espectrograma porque para cada una de sus columnas se conocen las notas que han sido tocadas. Los elementos de Figure 3. Diagráma de bloques del sistema implementado H se fijan a uno cuando la nota es tocada y a cero cuando no, solamente W es optimizada en la información. Por lo tanto se puede observar que el procedimiento propuesto no es una factorización pero ha sido desarrollado utilizando la NMF. 6. Sistema implementado Para dar solución al problema presentado se desarrolló un sistema en Matlab capaz de calcular las frecuencias fundamentales de cada una de las notas de un piano particular a partir de la estimación de su coeficiente de inarmonía, la cual se realiza utilizando grabaciones de todas las notas del instrumento y el algoritmo propuesto por Rigaud basado en la factorización de matrices no negativas diseñado con este propósito. El sistema calcula las frecuencias de todas las octavas de la nota de referencia La y su desviación con respecto al temperamento igual, interpola la desviación de las otras notas y a partir de esta, se hallan sus respectivas frecuencias. Lo anterior hace que la afinación conseguida si bien puede no simular perfectamente la obtenida por un afinador humano, es una buena aproximación. La Figura. 3 muestra un diagrama de bloques del sistema desarrollado, a continuación se dará una breve descripción de cada uno de ellos Adquisición. Este bloque captura desde el programa Matlab grabaciones de todas las notas del piano que se desea afinar y las almacena posteriormente en un directorio especificado. El código graba cada una de las notas en su orden durante 5 segundos y da al usuario un tiempo antes de solicitar la siguiente Calculo de espectros y construcción de la matriz de observación. Para poder estimar los parámetros del piano utilizando la NMF es necesario construir primero la matriz de observación a partir de la cual se estimara la factorización. Para esto se seleccionan pequeños fragmentos de igual duración extraídos de las grabaciones tomadas anteriormente 4

5 tomando la sificiente cantidad de ciclos de la señal para obtener posteriormente espectros precisos. Hecho esto se concatenan los espectros extraídos para obtener la matriz deseada Estimación de parámetros utilizando la NMF. La parte más importante del proyecto consiste en hacer una buena estimación de la evolución del coeficiente de inarmonía a lo largo de la tesitura del piano, que se ajuste a su comportamiento real. Se implementó el algoritmo propuesto por Rigaud mencionado anteriormente Cálculo de frecuencias. Una vez obtenida la estimación de parámetros se calculan las frecuencias de afinación utilizando el modelo paramétrico descrito Comparación de frecuencias. Finalmente, para ayudar al usuario a ajustar la afinación es necesario comparar las frecuencias calculadas con las que tiene el piano en el momento. Para esto se implementó un programa simple que calcula el espectro de la señal del piano, identifica la frecuencia del parcial con mayor amplitud y entrega la desviación en céntimos con respecto a las frecuencias calculadas. 7. Resultados Con el fin de verificar el funcionamiento del sistema, se hicieron pruebas separadas para cada bloque del sistema. Para el propósito de este artículo se presentan solo los resultados del bloque de cálculo de frecuencias (lo que implica un correcto funcionamiento de la estimación de parámetros) Los pianos. Las pruebas se realizaron sobre dos pianos y a las grabaciones de un tercero encontradas en una base de datos MAPS [4]. De la base de datos se utilizaron archivos que corresponde a un piano Concert grand D capturado en un estudio de grabación [4]. Los dos restantes son un Piano de cola Yamaha C3 prestado por la facultad de artes de la Pontificia Universidad Javeriana y el segundo es un piano vertical espineta KAWAI ubicado en un apartamento residencial. Se escogieron estos dos pianos pues son representantes de pianos de baja y alta inarmonía respectivamente, tener la información de estos dos tipos de piano puede contribuir a determinar qué tan universal puede resultar el modelo empleado para aplicarlo a todos los pianos. Figure 4. desviacion respecto al ET del sistema (azul) y del software comercial (verde) 7.2. Resultados del cálculo de frecuencias. Se estimó un modelo paramétrico del coeficiente de inarmonía de ambos pianos y a partir de este se aplicó el modelo de afinación para calcular las frecuencias que se deberían aplicar para afinarlos. Para validar los resultados se compararon las frecuencias obtenidas con las calculadas por un software comercial, el Dirk s piano tuner [3]. Para validar los resultados se utilizó como criterio que la desviación que existe entre las frecuencias sea menor a cuatro céntimos pues la desviación mínima que un oído entrenado puede percibir. [2] La Figura.4 muestra los cálculos realizados por el sistema desarrollado y por la aplicación Dirk s piano tuner para el mismo piano, como se puede observar para el registro bajo y medio las dos curvas se asemejan bastante pero en la última octava la desviación de las frecuencias del sistema desarrollado son más bajas. vale anotarque la afinación conseguida con software comercial no es continua como en el caso del modelo que se ha utilizado. Calculando la desviación entre las dos afinaciones se encontró que la mayor parte de las frecuencias, son menores a los cuatro céntimos, las primeras diez y las últimas notas diez, es decir la primera y última octava y solo 13 notas presentan diferencias de más de dos céntimos. La siguiente tabla muestra la comparación entre las frecuencias de ambos sistemas para todas las octavas de la nota La, se muestran estas notas pues son las calculadas con el modelo paramétrico. Octava Frecuencia de Frecuencias Desviación del La afinación del de afinación ] en céntimos sistema de Dirk s [Hz] en valor desarrollado [Hz] en valor [Hz] absoluto col col Aunque algunas notas superan la desviación de cuatro céntimos aún se puede considerar que ambas son buenas afinaciones, pues la diferencia es lo suficientemente pequeña ya que al realizarse la afinación aural este tipo de diferen- 5

6 Figure 5. desviacion respecto al ET para el nuevo rho cias pueden presentarse, entre diferentes afinadores dada a la opinión subjetiva de la persona que realiza el trabajo. Como en el modelo el tipo de octava depende del afinador puede definirse un nuevo tipo de octava para que las dos curvas se aproximen más Figura. 5. La tabla que se muestra a continuación, muestra las frecuencias de la nota La para un nuevo tipo de octava para la cual los valores de desviación son menores. Octava Frecuencia de Frecuencias Desviación del La afinación del de afinación ] en céntimos sistema de Dirk s [Hz] en valor desarrollado [Hz] en valor [Hz] absoluto col [3] Dirk. Dirk s projets. url [4] V. Emiya, N. Bertin, B. David, and R. Badeau. Maps- a piano database for multipitch estimation and automatic transcription of music, 20. [5] N. H. Fletche and T. D. Rossingli. The Physics of Musical Instruments. Springea, 2 edition, [6] D. Lee and S. Seungr. Learning the parts of objects by nonnegative matrix factorization. Nature, pages , [7] F. Rigaud and B. David. Models of music signals informed by phisics. Application to piano music análisis by non-negative matrix factorization. PhD thesis, [8] F. Rigaud and B. David. A parametric model and estimation techniques for the tuning of the piano. Journal of Acoustical Society of America, pages , [9] F. Rigaud, B. David, and L. Duadet. A parametric model of piano tuning Conclusiones Se implementó un sistema capaz de calcular las frecuencias de afinación de un piano a partir de un modelo paramétrico y de un método de estimación de parámetros existente explorando una de sus muchas posibles aplicaciones. Se validaron los resultados comparándolos con los obtenidos por un software comercial y se observó que estos datos pueden ser aplicados en la práctica para la afinación de un piano aun para personas con oídos entrenados. Para verificar si la afinación obtenida es adecuada convendría afinar en la práctica un piano que varios pianistas experimentados después de tocarlo emitan su juicio ya que finalmente ellos serían los beneficiados con la investigación. La investigación puede ser continuada desde múltiples puntos de vista ya sea en modelos más completos de la afinación del piano o formas más eficientes de estimar los parámetros de afinación con expandir el modelo actual para incluir no solo el temperamento igual sino otros temperamentos históricos entre otras cosas. References [1] J. C. Bryner. Stiff-string theory: Richard feynman on piano tuning. Physics Today, pages 46 49, [2] V. L. Carriónr. Matemáticas para afinar instrumentos musicales. Suma, pages ,