Resumen: Geometría Básica

Transcripción

1 Resumen: Geometría Básica Postulados de Euclides Los postulados se basan en elementos primitivos que en esencia son elementos que no podemos definir, sino que los asumimos de forma intuitiva, en el caso de la geometría: El punto. Utilizando las definiciones de segmento, recta o línea, ángulo, circunferencia, se construyen los siguientes conceptos todos ellos fundamentados en los siguientes axiomas o postulados. 1. Dados dos puntos A y B existe una única recta AB que los contiene. 2. Dado un segmento de longitud r y un punto O llamado centro se puede construir una circunferencia de radio r y centro O denotada con C(o,r). 3. Sea AB un segmento existe una única recta que lo contiene. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. 1

2 5. Sean l 1 y l 2 dos rectas, si se pasa una recta l 3 que atraviese a ambas formando ángulos interiores iguales a dos ángulos rectos, entonces l 1 es paralela a l 2. Las rectas son paralelas ssi + =2 90 O su equivalente Ángulos opuestos por el vértice. Sean l 1 y l 2 dos rectas, entonces si no son paralelas se intersectan en exactamente un único punto. Formando ángulos opuestos por el vértice de igual magnitud. Triángulos. Sean l 1, l 2 y l 3 tres rectas no concurrentes (que no llegan a intersectarse en un único punto), se define un triángulo con estos tres puntos de intersección. 2

3 Teorema: La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos (180 ). Por el quinto postulado y ángulos opuestos por el vértice se puede hacer la siguiente construcción: De donde se aprecia que + + =2 90 =180 Para todo triángulo. Para una demostración del teorema de suma de ángulos: Para una demostración del teorema de Pitágoras: Construcción de triángulos. a. Dados los lados del triángulo. 3

4 Para que un triángulo sea construible dados sus tres lados debe cumplir la desigualdad del triángulo: + > + > + > Si no se cumplen las tres el triángulo no es construible. b. Dados un lado y sus ángulos. Dados, y c es posible construir el triángulo de forma simple. c. Dados dos lados y el ángulo entre ellos. 4

5 Semejanza de triángulos Dados b, c y. En los tres casos los triángulos son únicos. Se dice que dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son iguales, o bien, cuando se cumple una relación de proporcionalidad entre lados correspondientes. Ejemplo: Consideremos dos triángulos rectángulos. Los dos triángulos son proporcionales, es decir, al dividir lados correspondientes se obtiene una constantes igual para cada lado. Se cumple: = = = En este caso particular: = = =, =1/2 En caso de que la relación de proporcionalidad sea una constante igual a 1, se dice que los triángulos son congruentes (como ejemplo clásico tenemos un triángulo isósceles) = = =, Otra forma de verlo es que sus ángulos sean iguales, entonces se cumple la semejanza, en el ejemplo de los triángulos rectángulos: 5

6 Razones trigonométricas. Sea C(A,1) una circunferencia de radio 1 y un ángulo central, las razones trigonométricas se pueden calcular de forma gráfica. Ejemplo: Sea C(A,1) una circunferencia de radio 1 con centro en A y un ángulo central de 30, se puede dibujar este ángulo de la forma siguiente: Demostración: En el diagrama consideramos C(A,1) y un ángulo central, por semejanza los triángulos debido a que sus ángulos son iguales (debido a que DE es paralela a BC y se cumple el quinto postulado) entonces: = = = 6

7 De esto nos interesa = = = 1 Y despejando DE: = = Con esto podemos calcular con regla, transportador y compás las razones trigonométricas de cualquier ángulo, tomando en cuenta que son estimaciones debido a las limitaciones de espacio e incertezas en las mediciones. Triángulo de Pascal. Se puede iniciar este triángulo peculiar como un juego, sumando casillas superiores de la forma siguiente: Tenemos varios elementos en este caso, observamos que las filas desde n=0 tienen n+1 elementos o círculos. Se observan distintas sucesiones, como la cantidad de círculos en cada fila: = +1. La primera diagonal es la sucesión: =1 (En analogía con la función constante) La segunda diagonal es la sucesión: = (La aplicación identidad) La tercera diagonal: = = (Como una serie) En el caso de las filas se pueden utilizar para los coeficientes de potencias de binomios. 7

8 Fila Binomio Expansión Coeficientes del binomio = = + + 1, 1 = , 2, 1 = , 3, 3, 1 = , 4, 6, 4, 1 Los coeficientes de la expansión del binomio corresponden a los valores en el triángulo de Pascal. Ejemplo: Para desarrollar la potencia 2 3 se puede desarrollar con el producto normal que es un proceso extenso o al utilizar el triángulo de pascal obtenemos: + = = = Se sustituye x por 2x y +y por -3y 2 y se calculan los productos. Que para el nivel medio es más práctico que memorizar una fórmula de productos notables. Las razones geométricas para el primer caso + se deben al siguiente diagrama: Otra propiedad importante de este triángulo es sobre el conjunto potencia: 8

9 Sea X un conjunto de cardinalidad n ( =. El conjunto potencia es el conjunto (o familia) formada por todos los subconjuntos posibles de X, la cardinalidad del conjunto potencia es 2 n ( =2. ó : Para X de 0 elementos, = Subconjuntos de: Subconjuntos Cantidad Suma ( 0 elementos 1 1 Para X de 1 elemento, = Subconjuntos de: Subconjuntos Cantidad Suma ( 0 elementos elemento 1 Para X de 2 elementos, =, Subconjuntos de: Subconjuntos Cantidad Suma ( 0 elementos 1 1 elemento, elementos 1 Para X de 3 elementos, =,, Subconjuntos de: Subconjuntos Cantidad Suma ( 0 elementos 1 1 elemento, elementos,,,,, 3 3 elementos 1 La cardinalidad del conjunto potencia resulta de sumar los coeficientes del triángulo de pascal, así para la fila n la suma de sus coeficientes será la cardinalidad del conjunto potencia de X con n elementos, es decir, es el desarrollo del binomio en el caso particular de x=y=1. Entonces para un conjunto X de cardinalidad n se cumple. = + = =1,: = 1+1 =2 Se pudo haber demostrado por inducción y con el teorema del binomio, pero esta forma intuitiva de ver el conjunto potencia es muy acertada y muy acercada a la demostración real que se basa en elementos de combinatoria. 9