Determinación del caudal en sistemas de tuberías en serie. Ejemplo de aplicación de GNU-Octave(UPM)

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1 Artículo de divulgación (Versión preliminar), Vol. I, No., 1-6, 014 Ingeniería de la energía Determinación del caudal en sistemas de tuberías en serie. Ejemplo de aplicación de GNU-Octave(UPM) CMCM 1 * Resumen Este trabajo muestra el uso GNU-Octave(UPM), que es un sistema algebraico computacional de uso general; en este caso se utiliza dicho software para la determinación del caudal en sistemas de tuberías en serie, considerando no solamente las pérdidas primarias o de fricción, sino también las menores o locales. Asimismo, debe destacarse la solución de la ecuación de Colebrook-White con este software, lo cual evita el uso del diagrama de Moody. Dicho programa permite la realización de los cálculos en forma didáctica, rápida, exacta y explícita como una alternativa innovadora de enseñanza que puede ser utilizada en los diversos cursos de mecánica de fluidos, hidráulica, termodinámica, etc., que se imparten en las instituciones de educación superior o para los profesionales de la ingeniería relacionados con la energía. Palabras clave flujo en tuberías, caudal, ecuación de Colebrook-White, GNU-Octave. 1 UPM, Master IE Índice INTRODUCCIÓN 1 1 METODOLOGÍA Datos del sistema hidráulico Fundamento teórico Código GNU-Octave(UPM) para la obtención del caudal del sistema RESULTADOS 3.1 Solución del caudal del sistema Solución del caudal considerando distintos materiales y diámetros de tubería CONCLUSIONES 4 4 GNU-Octave(UPM) 5 Nomenclatura 5 Referencias 5 INTRODUCCIÓN En ingeniería habitualmente se necesitan realizar cálculos relacionados con la determinación del caudal que circula por un sistema de tuberías en serie; estos sistemas hidráulicos generalmente se presentan cuando se conectan dos depósitos, se descarga el fluido a la atmósfera o a algún sistema presurizado, etc. En este tipo de problemas, donde la incógnita es el caudal que circula, generalmente conocemos la geometría y características del sistema hidráulico, por lo que se utiliza la ecuación de la energía para determinar la velocidad. De este modo, podemos decir que se trata de un problema de funcionamiento, que requiere para su solución, suponer valores del factor de fricción ( f ) y con el apoyo del diagrama de Moody y de la ecuación de la energía, realizar una serie de iteraciones que permita la convergencia del factor de fricción; cuando sucede lo anterior, se ha determinado la velocidad. En este sentido, este proceso de cálculo implica un tiempo considerable, puesto que se requiere la lectura iterativa del diagrama de Moody para lograr la convergencia del valor del factor de fricción; además, con dichas lecturas, se incrementa la posibilidad de errores en la misma, que repercutiría en la precisión del cálculo del caudal que circula. En este artículo, se muestra la aplicación del software mencionado a un sistema de tuberías en serie que conecta dos depósitos cuya superficie se encuentra sometida a la presión atmosférica; presenta las bondades que ofrece el GNU-Octave(UPM), en la solución de ecuaciones implícitas, eliminando el uso de figuras y nomogramas, mismos que dificultan el uso de la computadora en los cálculos de ingeniería. 1. METODOLOGÍA El desarrollo general de la aplicación en GNU-Octave(UPM) será el siguiente: se requiere determinar el caudal que circula de un depósito a otro, como se muestra en la figura [1], conocio las características geométricas del sistema (z A, z B, D 1, D, D 3, L 1, L, ε), coeficientes para la determinación de pérdidas menores de los accesorios utilizados (k 1, k, k 3 ), las características del flujo (pa, pb, VA, V B) y del fluido

2 Determinación del caudal en sistemas de tuberías en serie. Ejemplo de aplicación de GNU-Octave(UPM) /5 que circula (µ,ρ). Adicionalmente, se desea conocer como variará dicho caudal si son considerados diversos materiales en las tuberías del sistema; también es de interés conocer la misma variación, pero con respecto a variaciones del diámetro de la tubería 1, considerando constantes los otros diámetros, así como el material de todas las tuberías. Petróleo Borde agudo A D 1 =0. m Tubería lisa L 1 =30 m D =0.3 m 6 o L =60 m m D 3 =0.45 m Figura 1. Representación del sistema hidráulico de tuberías. 1.1 Datos del sistema hidráulico Los datos del sistema hidráulico de tuberías son los siguientes: se tiene una circulación de petróleo a una temperatura de 5[ C] ( µ = 4.0 x 10 3 [Ns/m ], ρ = 98.0 [kg/m 3 ] ) del depósito (1), al depósito () a través de un sistema de tuberías lisas(coeficiente de rugosidad ε = 0 [m]).la tubería 1 tiene un diámetro de D 1 = 0.0 [m] y una longitud L 1 = 30 [m]. La tubería tiene un diámetro de D = 0.30 [m] y una longitud L = 60 [m]. La entrada al depósito () tiene un diámetro de D 3 = 0.45 [m]. El sistema presenta pérdidas secundarias en la entrada de borde agudo (o bordes vivos) (k 1 =0.5),en un ensanchamiento gradual (k =0.71) y en la salida del depósito (k 3 =1). 1. Fundamento teórico Se utilizan cuatro ecuaciones para la resolución de este tipo de problemas, son las siguientes : 1. Ecuación del número de Reynolds: R = DV ρ µ. Ecuación de continuidad: Q = π D V 4 B (1) () 3. Factor de fricción en tuberías. Si R 100 Flujo laminar (Poiseuille) f = 64 R (3a) Si R > 100 Flujo turbulento (Colebrook-White) e 1 = log D f 3,7 +,51 R (3b) f 4. Ecuación del balance de energía: z A + p A γ + V A g = z B + p B γ + V B n g + h f i + i=1 n j=1 hr j (4) Donde las pérdidas por fricción en cada tramo son: h f i = f i Li V i D i g = 1 ( ) f i Li Q A (5) i g D i y las pérdidas menores (o localizadas) son: hr i = k j V j g = 1 ( ) Q k j A j g (6) De este modo, simplificando la ecuación [4], se llega a la siguiente expresión de la ecuación [7] en términos del caudal y de las características conocidas del sistema: z A = 8 f 1L 1 Q D 5 1 π g + 8 f L Q D 5 π g + 8 k 1Q π D 4 1 g + 8 k 3Q π D 4 3 g ( ) k 4 Q π D 4 Q + 1 π D g Este sistema de ecuaciones se resuelve con un proceso iterativo. De este modo, Proponio valores para los coeficientes de fricción ( f 1, f ), calculamos la primera aproximación para el caudal (Q). Con el valor de Q obtenido y utilizando la ecuación de continuidad, obtremos los valores para V y V 3, los números de Reynolds respectivos, y de ahí verificaremos si los valores de los coeficientes de fricción ( f ) supuestos son correctos, resolvio la ecuación de Colebrook-White. Con los nuevos valores de f, se repite el proceso anterior hasta lograr la coincidencia de los valores de f. 1.3 Código GNU-Octave(UPM) para la obtención del caudal del sistema Considerando la facilidad que proporciona GNU-Octave (UPM) para realizar cálculos, es posible programar todo el proceso de obtención del valor del caudal, utilizando las funciones cuyos códigos se muestran a continuación. El código[1], presenta la entada de los datos que caracterizan el sistema hidráulico analizado. Código Octave 1. Datos del sistema. clc; clear all; close all; global nu Dm1 Dm Dm3 epsilon L1 L k1 k k3 z1 g % Constantes (7)

3 Determinación del caudal en sistemas de tuberías en serie. Ejemplo de aplicación de GNU-Octave(UPM) 3/5 g=9.81; % [m/sˆ] % Datos del fluido (Petróleo, T = 93 K, P=10135 Pa) rho = 98; % [kg/mˆ3] Densidad mu = 0.004; % [N s/mˆ] Viscosidad nu = mu/rho; % [mˆ/s] Viscosidad cinem % Datos instalación epsilon=0; % [m] Rugosidad tubería Dm1 = 0.0; % [m] Diámetro tramo1 Dm = 0.30; % [m] Diámetro tramo Dm3 = 0.45; % [m] Diámetro tramo3 L1 = 30; % [m] Longitud tramo 1 L = 60; % [m] Longitud tramo % Pérdidas menores (contracción y expansión) k1 = 0.5; k3 = 1.0; k = 0.71; % Elevación instalación z1=; % [m] Elevación posición (1) z=0; % [m] Elevación posición () El código[], muestra la funciones que se van utilizar para caracterizar el sistema hidráulico. Código Octave. Funciones hidráulicas del sistema. % Ecuación del Número de Reynolds function y1=rey(v,d) global rho mu Q epsilon L KT z1 z g y1=rho * v * D/mu; % Ecuación de flujo Turbulento(Ec.Colebrook) function ff = fcolebrook(v,d) global rho mu Q epsilon L KT z1 z g fz 1/sqrt(f) * log( * epsilon/d +.51/(Rey(v,D) * sqrt(f)))/log(10); ff = fsolve(fz, 0.01); % Ecuación del factor de fricción (Diagrama Mody) function y3=fr(v,d) global rho mu Q epsilon L KT z1 z g if Rey(v,D) > 100 y3=fcolebrook(v,d); else y3=64/rey(v,d); El código[??], muestra la función del balance de energía para la obtención del caudal del sistema. Código Octave 3. Función balance de energía para determinar el caudal del sistema. % Ecuación de balance de energía al sistema function fbe = Balance E(Q) global nu Dm1 Dm Dm3 epsilon L1 L k1 k k3 z1 g f1=fr(0.4e1 * Q / pi / Dm1 ˆ, Dm1); f=fr(0.4e1 * Q / pi / Dm ˆ, Dm); fbe = 0.8e1 * f1 * L1 / Dm1 ˆ 5 * Q ˆ / pi ˆ / g e1 * f * L / Dm ˆ 5 * Q ˆ / pi ˆ / g e1 * k1 * Q ˆ / pi ˆ / Dm1 ˆ 4 / g e1 * k3 * Q ˆ / pi ˆ / Dm3 ˆ 4 / g +... k * (0.4e1 * Q / pi / Dm1 ˆ 0.4e1 * Q / pi / Dm ˆ ) ˆ / g / 0.e1 z1; function % Determinación del caudal del sistema Qm = fsolve(@balance E,1); % Determinación de la velocidad en el tramo 1 Vm1 = (4 * Qm)/(pi * Dm1ˆ);. RESULTADOS En esta sección se muestran los resultados obtenidos con GNU-Octave..1 Solución del caudal del sistema La solución que proporciona el programa es la siguiente: Solución GNU-Octave (a) Caudal, Q = [m 3 /s] = [L/s] (b) Velocidad tramo 1, V1 = [m/s] (c) Factor de Fricción (Tramo 1), fr1 = (d) Factor de Fricción (Tramo ), fr = Solución del caudal considerando distintos materiales y diámetros de tubería Si tenemos en cuenta la posibilidad que nos proporciona GNU- Octave(UPM) para realizar múltiples cálculos, es posible analizar y comparar la variación del caudal, si modificamos el material y los diámetros de las tuberías ; estas variaciones se muestran en el código [??] y el código [??]. Código Octave 4. Código para determinar el caudal en función de las rugosidades absolutas. % Intervalo de rugosidades absolutas analizadas rugosidad=[ ] * 1 E 3; for j=1:10 epsilon = rugosidad(j); Qm = fsolve(@balance,1); Vm1 = (4 * Qm)/(pi * Dm1ˆ); result(j,1)=rugosidad(j); result(j,)=qm; result(j,3)= Vm1; % Soluciones en forma tabular disp( ) disp( Rugosidad Caudal Velocidad ) disp(result)

4 Determinación del caudal en sistemas de tuberías en serie. Ejemplo de aplicación de GNU-Octave(UPM) 4/5 % Representación gráfica de la solución plot(result(:,1),result(:,), o b ) title( Caudal vs Rugosidad ) ylabel( Caudal [mˆ3/s] ) xlabel( Rugosidad [m] ) grid Con los códigos anteriores, es posible obtener los valores del caudal[m 3 /s] que se han obtenido como una consecuencia de considerar diferentes materiales en las tuberías del sistema; esto último, tiene como resultado la variación del caudal en función de la rugosidad absoluta [kg/m 3 ] en las tuberías. La solución obtenida se muestra en la tabla [1]. Tabla 1. Soluciones obtenidas para el intervalo de rugosidades absolutas analizado. Rugosidad [m] Caudal [m 3 /s] V 1 [m/s] 0, , , , , , , ,09301, , ,09104,8978 0,0000 0,08939, ,0005 0,08797,8003 0, ,0885, , ,0768,4447 0, ,0794,3171 0,0000 0,07008,3065 De igual modo, se puede determinar los valores del caudal [m 3 /s] como una consecuencia de la variación del diámetro de la tubería 1, estas variaciones se muestran en la figura [3] y en la tabla []. En este caso, se han considerado constantes los otros diámetros de tubería, así como el material de las mismas. Tabla. Soluciones obtenidas para el intervalo de diámetros analizados. Diámetro ( 1 ) [m] Caudal [m 3 /s] V 1 [m/s] 0, , , , , ,6368 0,0000 0,0005 0, ,0500 0, , , ,0096 1,5090 0, ,0181, , ,05067, ,0000 0, , ,500 0,153 3, ,5000 0, ,0660 La figura [3] muestra la gráfica Caudal-Diámetro tubería 1 utilizando los valores obtenidos con los intervalos de diámetros seleccionados que se presentan en la tabla [] Caudal vs Diámetro tubería 1 La figura [] muestra la gráfica Caudal-Rugosidad absoluta utilizando los valores obtenidos con los intervalos de rugosidad seleccionados que se presentan en la tabla [1] Caudal vs Rugosidad Caudal [m 3 /s] Caudal [m 3 /s] Diámetro tubería 1 [m] 10 3 Figura 3. Caudal en función del diámetro ,5 1 1,5 Rugosidad absoluta [m] 10 3 Figura. Caudal en función de la rugosidad. 3. CONCLUSIONES En la aplicación del GNU-Octave en la solución del sistema de tuberías, vale la pena destacar lo siguiente: Con el uso del GNU-Octave se reduce la posibilidad de cometer errores, puesto que resuelve directamente la

5 Determinación del caudal en sistemas de tuberías en serie. Ejemplo de aplicación de GNU-Octave(UPM) 5/5 ecuación de Colebrook-White, con la que obtenemos el valor del factor de fricción; además, al evitar el uso del diagrama de Moody, reducimos el tiempo de cálculo e incrementamos la precisión en la obtención del valor del factor de fricción. Cuando varían las condiciones del sistema, como serían los diámetros, las rugosidades, las pérdidas de cargas, las viscosidades, etc., es posible determinar de forma rápida y precisa, la variación del caudal. Estas variaciones permiten observar la respuesta del sistema en las diferentes condiciones analizadas. Se tiene la posibilidad de uso del GNU-Octave por el usuario, para el planteamiento y solución de problemas similares, en los cuales las incógnitas varían. Esto es, debido a que el GNU-Octave es un programa matemático de uso libre y general, en el cual el usuario puede desarrollar la solución a los problemas planteados, no existe el riesgo que los usuarios apliquen el software sin el conocimiento de los conceptos teóricos correspondientes. 4. GNU-Octave(UPM) GNU Octave(UPM) es un lenguaje de alto nivel, destinado principalmente a la computación numérica. Es una potente herramienta matemática para la resolución de gran cantidad de problemas, entre otros: cálculo matricial, cálculo integral o resolución de ecuaciones diferenciales. GNU-Octave(UPM) se puede ampliar fácilmente, empleando módulos escritos en C++, C, Fortran u otros lenguajes. R h f Número de Reynolds Pérdidas de cargas por fricción [m] Referencias [1] Bruce, Munson, Young Donald y Osiishi Theodore: Fundamentos de mecánica de fluidos. México. Ed Limusa SA, [] Çengel, Yunus A, John M Cimbala, Víctor Campos Olguín y Sofía Fadeeva Skarina: Mecánica de fluidos: fundamentos y aplicaciones. McGraw-Hill, 006. [3] Franzini, Joseph B, E John Finnemore, Balfour Lambert y María Victoria Hernando Alameda: Mecánica de fluidos con aplicaciones en ingeniería. McGraw-Hill, [4] Mott, Robert L: Mecánica de fluidos. Pearson Educacion, 006. [5] Streeter, Victor L, E Benjamin Wylie, Keith W Bedford y Juan G Saldarriaga: Mecánica de los fluidos, volumen 9. McGraw-Hill, [6] White, Frank M: Mecánica de fluidos GNU Octave (UPM) está amparado bajo los términos de la GNU (General Public License) de la Fundación del Software Libre (Free Software Foundation) por lo tanto su código fuente se puede distribuir de manera libre. GNU Octave UPM se distribuyen como software libre y se pude descargar del siguiente enlace: GNU Octave(UPM). D h r K L ε L V Nomenclatura Diámetro de la tubería [m] Pérdidas de cargas localizadas [m] Coeficiente pérdidas de carga menores Rugosidad de la tubería [m] Longitud de la tubería [m] Velocidad del fluido [m/s] ρ Densidad del fluido [kg/m 3 ] µ Viscosidad dinámica del fluido [Pa s] f Factor de fricción (Darcy)