Capítulo 8. Flujo de fluidos a régimen transitorio.

Transcripción

1 Capítulo 8 Flujo de fluidos a régimen transitorio.

2 Flujo de fluidos a régimen transitorio. En flujo de fluidos se puede encontrar el régimen transitorio fenómeno de la descarga de tanques. cuando se presenta el Supongamos por ejemplo, que se tiene un tanque como el que se presenta a continuación, el cual tiene un orificio en su parte inferior por el que escapa el agua. Sea la altura del líquido dentro del tanque en un momento dado, el diámetro del tanque y o el diámetro del orificio a través del cual escapa el agua. Mediante un balance de materia podremos encontrar que:

3 Entrada = Salidas + cumulación () Pero en este caso las Entradas son igual a cero, por lo que: 0= Salidas + cumulación () En un momento dado, las salidas son iguales a: Salida = u (3), en donde o o u o = velocidad del agua en el orificio; ρ o = densidad del líquido; o = área del orificio La acumulación está dada por: cumulación = dm = d d( V ) d d d (4) En donde es el área transversal del tanque, V es el volumen del tanque. Sustituyendo (3 y 4 en ) tenemos, d 0 uo o (5) d e donde u o d (6) d o En la ecuación número (6) se puede observar que la velocidad en el tanque es una función del tiempo y que la velocidad decrece con la altura del líquido en el tanque. Para encontrar cuál será esa velocidad haremos un balance de energía en un momento dado. Entre las energías a considerar están, la energía potencial, la cinética y la de presión: u P g 0 (7)

4 Pero u y como u puede considerarse despreciable con respecto a la u o u velocidad en el orificio, entonces (8) u u o P El término 0 ya que la presión sobre el tanque y sobre el orificio es la misma. Si consideramos que en el orificio es 0, entonces g g Colocando los nuevos valores en la ecuación (7) tendremos que: uo g 0 (9) y por lo tanto: u o g (0). Venturi encontró que al salir el líquido toca el contorno del orificio y continúa convergiendo hasta una sección, en la cual el chorro tiene un área sensiblemente menor a la del orificio. Esta sección recibe el nombre de sección contraída o vena contracta. o La relación entre el área de la sección contraída y el área del orificio recibe el nombre de coeficiente de contracción. Kc () o Kc= coeficiente de contracción, cuyo valor medio es de 0.6 =área de la sección contraída.

5 o =área del orificio. La ecuación (0) nos indica que en un momento dado la velocidad es función de la altura. Sin embargo, esa velocidad no contempla las pérdidas por fricción, por lo que se tiene que incluir un coeficiente de reducción de velocidad, que siempre será menor que : u o Cv g () En donde Cv es el coeficiente por reducción de velocidad, cuyo valor numérico medio es igual a =.985 Igualando 6 con tendremos que: u o Cv g d () d o La ecuación anterior la podemos poner como: d d O como o Cv g d d () o Cv g Que integrando nos da: f d d Cv g i 0 o O f i (3) ocv g Cambiando el signo: i f (4) ocv g

6 En donde i es la altura inicial y f la altura final del agua en el tanque. Para el cálculo de descarga de tanques a través de orificio también se cuenta con ecuaciones empíricas como las que se presentan a continuación:

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8 Ejemplo. En un experimento efectuado en el laboratorio de ingeniería se midió la descarga de agua en el tanque obteniéndose los siguientes resultados: ltura del agua en el tanque en cm. iempo de descarga en segundos

9 altura en cm escarga de un tanque Serie tiempo en segundos Se podría predecir este resultado sin efectuar el experimento? escarga de un tanque que tiene una tubería en su base. La descarga de tanques que poseen una tubería y una serie de accesorios sobre ella es un problema clásico en el cual se necesita usar la ecuación de continuidad en unión con la ecuación de balance de energía en la versión macroscópica (véase el libro de Bird () para la mejor exposición de los balances macroscópicos o también el libro de Morton enn ()). Se debe hacer notar que en el balance de masa la velocidad de acumulación o des acumulación es la que proporciona las corrientes de salida ya sea en los tanques cilíndricos horizontales o verticales. En ambos casos la ecuación diferencial final se da en términos de la altura del líquido en el tanque y de la velocidad de salida. En el caso de del tanque cilíndrico vertical, la integración de la ecuación final para obtener el tiempo de descarga es trivial. El análisis de los datos es también una simple aplicación de los datos experimentales. En el caso de un tanque cilíndrico horizontal el problema es un poco más complejo debido a que la superficie libre no es constante, como sucede en el caso de los tanques verticales. Sin embargo la aplicación de consideraciones geométricas y el uso de las ecuaciones de continuidad y de energía nos proporcionan la ecuación diferencial, sin embargo, la integración de esa expresión final no es simple y es entonces recomendable hacer la integración en forma numérica. continuación se presenta el caso de descarga de tanques cilíndricos verticales con accesorios El sistema que se analiza es el siguiente:

10 El tanque descarga el líquido a la atmósfera. Para este caso el balance de materia daría: u d Ecuación (6) d o Siendo u la velocidad a la salida de la tubería, el área transversal del tanque de descarga y o el área transversal de la tubería de descarga. El balance de energía sería para este caso el siguiente, considerando que hay energía potencial, cinética, de presión y de fricción presentes: u g P M F aciendo las simplificaciones pertinentes nos queda que: u u Le g f (5) En donde u es la velocidad promedio en la tubería de descarga, Le es la longitud equivalente de la descarga, es el diámetro de la tubería de descarga y f es el factor arcy. aciendo arreglos tendremos que:

11 u f Le g (6) e donde: u g K (7) Siendo K Le f (8) Uniendo (6) con (7) u o d d g K (9) e donde: d d (0) o g K d d () g o K Que integrando nos da: 0 f d d g () i o K

12 o i f (3) g K Ejemplo. En un sistema parecido al siguiente se efectuaron unos experimentos de descarga de tanques, dando los resultados siguientes: Figura

13 abla. ltura total Z en cm. iempo θ en segundos ltura total Z en cm. iempo θ en segundos

14 altura total en m descarga del tanque y =.7309e -0.00x R = tiempo en segundos Grafico En el caso mostrado, la longitud de tubo recto es de 3.7 m, la longitud equivalente de los L accesorios es de 4.6 m. El diámetro de la tubería es de.093 cm., por lo que K = f =.7. El área del tanque es de 0.55 m y el área transversal de la tubería es de x 0-4 m. Por lo tanto la ecuación es para nuestro caso igual a: 40( Z Z ) (8) plicando la ecuación anterior a los datos de altura se obtiene que: abla. iempo real en Z m iempo incremento iempo calculado total en

15 seg. segundos

16 Lo cual concuerda bastante bien con los datos experimentales. La discrepancia en los últimos datos se debe a la aparición de remolinos que alteran el patrón de flujo. Ejemplo. En cuánto tiempo se descargaría el tanque representado en la figura siguiente, desde la posición inicial a la final? Por el sistema fluye agua a 0 C. La tubería es de acero galvanizado Cd Cálculos...- atos. iámetro del tanque = m Área del tanque =0.785 X () =3.4 m iámetro interno de la tubería = cm Área de la tubería de descarga =0.785 X ( ) =.3X 0-3 m. Longitud del tubo 64.5 m

17 Longitud de los accesorios = entrada+7 codos+ vál. Compuerta+ válvula de globo+ válvula de retención+ salida. L accesorios = 0.5+7(0.9) = 4.7 Rugosidad relativa = Viscosidad =.005 cps ensidad kg / m 3..- Ecuación de diseño o g K i f..- Cálculos. ltura inicial i = =3 m, ltura fina f =m Factor de fricción considerando flujo turbulento. f =0.0 L ( ) K = f = 0.03 = iempo de descarga. θ = ( 3 ) = segundos 3.- Resultados. El tanque se descargará en 568 segundos. escarga de tanques cilíndricos horizontales.

18 L B Figura 4 En este caso el balance de energía daría una ecuación semejante a la 4. u B g f Le (4) Y el balance de materia daría: C = d d B u B (9) por lo que igualando con 4 tendremos: d B d g f Le (0) Pero en este caso el área varía con la altura. Ya que l L Siendo l, la cuerda y L la longitud del cilindro.

19 Figura 5. d r l () y d=altura del líquido sobre el nivel del diámetro del tanque= r (7) Por lo tanto uniendo 6 y 7 con 5 tendremos que: Le f g d d r r L B () e donde: d B d g Le f r r L (3) La cual no es fácil de integrar. Sin embargo la ecuación (3) se puede poner como: r r K (4) d r

20 L Siendo K= B f Le g (5) Nótese que para encontrar el tiempo de descarga se tiene que integrar desde +r que es la a inicial hasta La a final que es simplemente. Por lo tanto para obtener los tiempos parciales de descarga se puede integrar (numéricamente) desde las fracciones de la altura inicial (+r). Ejemplo 3. L=3m =m 79 cm. 7 cm. =.5 B aciendo un experimento en el tanque anterior se encontraron los datos siguientes: abla 3. Litros tiempo en segundos altura en cm

21 Se podría predecir el resultado sin hacer experimentos?.- iscusión. Nótese que para encontrar el tiempo de descarga se tiene que integrar desde +r que es la a inicial hasta La a final que es simplemente. Por lo tanto para obtener los tiempos parciales de descarga se puede integrar (numéricamente) desde las fracciones de la altura inicial (+r)..- atos. Para el caso que nos ocupa: Longitud equivalente del sistema Le = 9.6 m iámetro de la tubería de descarga.5 pulgadas, Cd. 40 = m.

22 Rugosidad de la tubería Factor de fricción a plena turbulencia f Longitud del tanque L= 3m Área del tubo de descarga B = m. Por lo tanto K = Cálculos. La ecuación (0) para nuestro sistema queda: r 57 r (6) Con la ecuación anterior se puede calcular los incrementos de tiempo en función de la altura. abla 6 altura en cm. iempo real Incremento de incremento de tiempo 64 0 iempo calculado

23 iempo en segundos escarga del tanque tiempo real tiempo calculado ltura en cm.

24 escarga de un tanque que va a otro tanque (Flujo entre tanques) Sea el sistema siguiente: El tanque y el tanque dos están abiertos a la atmósfera. Si en un momento dado se abre la válvula el agua fluirá desde el tanque hasta el tanque por la diferencia de energía potencial-

25 El balance de materia sería: Para el tanque. Entradas =cumulación u d (4) d t u d (5) d En donde u es la velocidad en el tubo y es la sección transversal del tubo, es el área transversal del tanque Para el tanque 0= Salidas + cumulación d 0 u (6) d u d (7) d El balance de energía de a sería: u g P M F (8) En donde F son las pérdidas por fricción en la línea M Pero en este caso: P 0 y u 0 Por lo tanto.

26 F u Le g f ( ) ( ) (9) M Siendo f el factor de fricción arcy y Le la longitud equivalente de la línea y el diámetro interno de la línea. u g Le f g K (30) Uniendo 30 con 5. g K d d (3) d K d (3) g 0 d K f d (33) i g En donde Le K m f m (34) y f m f i f f (35) y m f i f ln i (36) y f ( ) f El subíndice f es para final y el subíndice i expresa las condiciones iniciales. Entonces:

27 f K m d (37) g i m K m ( f ) g i (38) m En el caso de que el fluido sea agua se tienen ecuaciones especiales que dan con más precisión la relación entre las caídas de presión y las velocidades o caudales en función de los diámetros y las longitudes equivalentes. Una de esas ecuaciones es la de azen Williams:.85 F C u L (30) En donde.67 M en la línea. Sustituyendo 30 en 9. F kgm son las pérdidas por fricción M km g gc.85 F C u L (3).67 M u g C (3) gc 6.83L g C (33) ; sustituyendo 33 en 5 gc 6.83L u.85 u.85 g gc.67 C 6.83L.85 d (34) d

28 d d (35) g C.85 gc 6.83L La ecuación anterior se puede integrar fácilmente si tomamos a f i m f ln i como ( f i) g C.85 m gc 6.83L (36) Ejemplo 4. Se tienen dos tanques de almacenamiento de agua conectados entre sí mediante una línea de.5 pulgadas, Cd. 40 y 40 m de longitud, tal y como se muestra en la figura siguiente: El tanque tiene un diámetro de 6 m y el tanque uno de 4.5 m. l abrir la válvula calcule el tiempo en que el nivel del tanque llegará a los 7.5 m

29 , Planteamiento...- Bernoulli K m ( f ) g i m 3.- Cálculos Δmedia a θ = 0 es (9 3) = 6 a θ = θ es Volumen desplazado (6)(6) (9 7.5) = 4.39 m 3 ) ltura en el tanque. 4.39m 3 (4.5) =.66m Z = = 5.66 m por lo tanto = =.84 media = 6.84 ln 6.84 = f medio. Velocidad en la tubería al tiempo cero es:

30 9.8 6 u θ=0 = = f f Sea f = 0.09 Entonces u θ=0 =,7; e = Re = = e la gráfica de Moody se obtiene que f = 0.05 Segundo tanteo, sea u θ=0 =,959; entonces Re = y f = 0.05 Velocidad final u θ=θ = f = f Si f = 0.05; u θ=θ = 0.64; Re = y por lo tanto f = 0.04 Segundo tanteo sea u θ=θ = ; Re = 3930 y por lo tanto f = 0.04 f media = = iempo = (0.067) = = (6) = 8.6 m

31 K m ( f ) g i m K m ( f ) g i m Km = f media L = = 8.3 θ = (6-.84)=904s 4.- Resultado. El tiempo necesario es de 3 horas, 35 minutos y 3 segundos. Ejercicios de autoevaluación.-calcule el tiempo requerido para que el nivel del agua en un tanque caiga desde 9 m a 4 m sobre el nivel de descarga de una tubería a partir de los siguientes datos: R h.

32 Bibliografía. *Valiente Barderas ntonio.- Problemas de flujo de fluidos- Limusa - México-998. *Prácticas de laboratorio- Flujo de fluidos- Facultad de Química- UNM-C.U.- México.F. 006 * Streeter, Víctor L.- Mecánica de los fluidos- Mc Graw ill- México * Bird,Byrond et allí- ransport Phenomena-Wiley- Japan- 960